CP- Matematicas Aplicadas Manual (Ya)

7/23/2019 CP- Matematicas Aplicadas Manual (Ya)

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CONAIPMANUAL DE MATEMTICAS APLICADAS (INGENIERA)

Profesor: Jorge Andrs Rosas Avila.

1.- LGEBRA SUPERIOR.2.- CLCULO.3.- INTRODUCCIN A LAS MATEMTICAS APLICADAS Y COMPUTACIONALES.

1.- LGEBRA SUPERIOR

NMEROS REALES Y SUS OPERACIONES

Lossubconjuntosmsimportantesdelconjuntodelosnmerosrealesson:

ElconjuntodelosNmerosNaturales.N={1,2,3,4,}

ElconjuntodelosNmerosEnteros.Z={0,1,2,3,}

ElconjuntodelosNmerosRacionales.

Q={

p

q |p,q!Z,q"0}

El conjunto de Nmeros Reales lo denotaremos por R y est formado por la unin de losnmeros racionales e irracionales.

Es muy importante establecer una asociacin entre los nmeros reales y el conjunto depuntosdeunarecta.Setrazaunarectahorizontal,sefijaunpuntosobrelarectaysehacecorresponderconelcero.Apartirdeestepuntoyhacia laderechasecolocaelsegmentounidad y se marca un punto. A este le corresponde el nmero uno. As sucesivamentepodemos colocar todos los nmeros enteros positivos a la derecha y los negativos a laizquierda.Dividiendo lossegmentospueden localizarse losnmeros racionales (cocientede

dosenteros).Unnmeroracionalesdelaformaa

bcona,benteroyb"0.

Unnmerorealxesmayorqueelnmeroysiseencuentramsaladerechasobrelarectanumrica,esmenorsiseencuentramsa la izquierda.Unnmeroespositivosiesta laderechadelceroyesnegativosiseencuentraalaizquierdadelcero.

Todaescalamidecantidades,porejemplo,unareglagraduadaountermmetrohaceusodeestaasociacin.

El smbolo matemtico = en la literatura usual se lee: igual a. Las siguientes son laspropiedadesbsicasdelaigualdad,lasletrasa,b,c,d,denotarnnmerosreales.

i) Reflexivaa=aii) Simtricaa=beslomismoqueb=aiii)Transitivaa=byb=cimplicana=civ) Adicina=byc=dimplicana+c=b+dv) Multiplicacina=byc=dimplicanac=bd

Parailustrartalespropiedadessemuestranlassiguientesimplicaciones:

i) a=beslomismoque!a=!b


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ii) 5=aeslomismoquea=5iii) 16=!beslomismoque!b=16yporlotantob=!16iv) Sib=13.8yc=b,entoncesc=13.8v) Sia=2.91yd=3a+1,entonces

d=3(2.91)+1=8.73+1=9.73

vi) Six=3yt=x2+2xentoncest=(3)2+2(3)=15

vii) Sim=2,entoncesx=m"=2"

Mencionamoslaspropiedadesdelaadicinymultiplicacindelosnmerosreales:

Suma:conmutatividad:a+b=b+aasociatividad:a+(b+c)=(a+b)+c

0eselneutroaditivo:a+0=0+a=a!aeselinversoaditivo:a+(!a)=0

Multiplicacin:conmutatividad:ab=baasociatividad:a(bc)=(ab)c1eselneutromultiplicativo:a1=a

Sia"0,1

a=a-1eselinversomultiplicativoorecprocodea,esdecir,a

1

a

"

#$

%

&'

=1

Lamultiplicacinsedistribuyeenlasuma:

a(b+c)=ab+ac(a+b)c=ac+bc

Lasumadefraccionesdenmerosrealesarbitrariosobedecelasiguienteregla:

a

b+

c

d=

ad+ bc

bd

dondeb "0yd"0.

Elproductoycocientedeexpresionesconsignoscumplelassiguientesleyes:

1.(a)(b)=(+a)(+b)=ab2.(!a)(b)=(!a)(+b)=!ab

3.(a)(!b)=(+a)(!b)=!ab

4.(!a)(!b)=ab

5.a

b=

+a

+b=

-a

-b

6.

-a

b= -a

+b= +a

-b= " a

b


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7.-a

-b=

a

b

Parauncocientedefraccionesdenmerosrealesarbitrariossecumplelasiguienteregla:a

b

"

#$

%

&'

c

d

"

#$

%

&'

=

ad

bc

EXPONENTES Y RADICALES

DEFINICIN.Siaesunnmerorealynunenteropositivo,definimos

an= a " " " an factores!"#

(elproductodeaconanveces)

queselee:aelevadoalan!simapotencia,oaelevadoalan,osimplementeaalan.Alnmeroalellamamosbaseyanexponente.

Elexponentedeaes1,esdecira1=a.

Dados,unnmerorealadistintodeceroyunnmeroenteropositivondefinimos,

a0= 1, a-n=1

an

ejemplos:

1.- 30= 1

2.- 2-4=1

24=

1

2 " 2 " 2 " 2=

1

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Es importante sealar que la expresin 00no tiene sentido.

DEFINICIONES.

1.Seanaunnmerorealpositivoynunenteropositivo.Larazn!simadea,denotadapor

an =a

1

n ,eselnmerorealpositivobquesatisfacelaigualdadbn=a.

Larazcuadradadeunnmero a2 sedenotasimplementepor

a .

2. Supongamos que a es un nmero real negativo y n un entero positivo impar. La raz

n!simadea,denotadapor an =a1

n ,eselnmerorealnegativobquesatisfacelaigualdadbn =a.

3.Sinesenteropositivo,definimos 0n =0.

4.Sia1

n esdistintodecero,definimos

a-1

n=

1

a1n

=

1

an

Notemos que las races de orden par de un nmero negativo no estn definidas en el


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conjuntodelosnmerosreales.Paraejemplo,

"14 ,#!5noestndefinidas,sinembargo, "83 =!2,yaque(!2)3=!8.Conloanterior,tenemosdefinidasalaspotenciasenterasyracesdeunnmero.Definimosahoralaspotenciasracionales.

DEFINICIN.Simynsonenterostalesque an tienesentido,entoncesdefinamosam/n=(

an )m= amn

LEYES DE LOS EXPONENTES

Seana,bnmerosrealesym,nnmerosrealestalesquelassiguientescantidadesestndefinidas.Entoncessecumplenlassiguientesigualdades.

1.an am=an+m2.(an)m=anm3.(ab)n= anbn

4.a

b

"

#$

%

&'n

=

an

bn

5.an

am=a

n -m=

1

am-n

PRODUCTOS NOTABLES

Enlgebraelementalhayproductosqueaparecenamenudo.Esconvenienterecordarestosproductosparanorealizarlasoperacionescadavezqueestosaparezcan.Sidesarrollamoselbinomioalcuadrado(a+b)2,obtenemos

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

Esmsfcilrecordarlafrmula(a+b)2=a2+2ab+b2,querealizarlasoperacionesqueaparecenarriba.

Conestafrmulapodemosdeducirrpidamenteque(a+5)2=a2+2(a)(5)+52=a2+10a+25.

Lasfrmulasparalosproductosnotablesmsutilizadasseenlistanacontinuacin.

1.(a+b)2=a2+2ab+b2

2.(a!b)2

=a2

!2ab+b2

3.(a+b)(a!b)=a2!b24.(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b35.(a!b)3=a3!3a2b+3ab2!b3

6.(a+b)(a2!ab+b2)=a3+b3

7.(a!b)( a2+ab+b2)=a3!b38.(a+m)(a+n)=a2+(m+n)a+mn

Ademsentendemos,aestasfrmulascomofactorizaciones,cuandolecturasehacedederechaaizquierda.Porejemplo, la tercera frmula de la lista anterior:

3.a2!b2=(a+b)(a!b)


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ECUACIONES LINEALES

Unaecuacinlinealenlavariablexesunaexpresindeltipoax+b=0

dondea,bsonnmerosreales(a"0).

DEFINICIN.Alacantidad

x=

-b

a= "

b

a

selellamalasolucinorazdelaecuacinlinealdada,envirtuddequesatisfacetalrelacin.

Ecuaciones cuadrticas

Consideremoslaecuacincuadrticadefinidapor

ax2+bx+c=0,dondea"0

Lassolucionesoracesdelaecuacinestndadasporlafrmula

x=

"b b2" 4ac

2a

a.Puedehaberdossolucionesdiferentesdelaecuacin,x=$1yx=$2,locualsetienecuandoeldiscriminantedelaecuacinespositivo,estoes,b2!4ac>0.

b.Puedehaberunasolucin(doble)delaecuacin,queeselcasocuandoeldiscriminanteesnulo,estoesb2!4ac=0.

c.Puedenotenersolucionesreales,queeselcasocuandoeldiscriminanteesnegativo,estoesb2!4ac


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factorizacinylasracesdeunpolinomio.

DEFINICIN.Dadosunconjuntodenmerosrealesa0,a1,a2,,an,alaexpresinenlaindeterminada(variable)x,dondean"0,

P(x)=anxn

+an-1xn-1

++a2x2

+a1x+a0

selellamaelpolinomiodegradonconloscoeficientesdados.

Sin=1elpolinomiosedicelineal,sin=2sedircuadrtico,paran=3sellamarcbico,etctera.

Elnmeroreal$esunarazdelpolinomioP(x),sialconsiderarlocomounargumentoloanula,esdecir,

P($)= an#n+an-1#n-1++a2#2 +a1#+a0=0

Enlasseccionesanterioresse hancalculadolasracesdelasecuacioneslinealesycuadrticas ahoraalbuscarlassolucionesdetalesecuacionesseencontrarnsusraices.EstablecemosahoraelsiguienteresultadoqueesunaversindelTeoremafundamentaldellgebra.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL LGEBRA.SeanP(x)unpolinomiorealdevariablerealy$unarazdelpolinomio,entoncesP(x)sepuedefactorizarteniendoa(x!$)comofactor.Esdecir,

P(x)=(x!$) Q(x)

dondeQ(x)esotropolinomiodegradomenorqueeldeP(x).

Enotraspalabras,unaexpresinpolinomialconcoeficientesrealestieneunadescomposicindelaforma(x- $)donde$esunarazdelpolinomioinicial.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un par de ecuaciones lineales se puede resolver trazando la grfica de ambas sobre losmismos ejes y determinando las coordenadas del punto de interseccin.

Cualquier sucesin de valores x1= s1y x2= s2tales quea11s1+ a12s2= b1a21s1+ a22s2= b2

le llamamos una solucin del sistema de ecuaciones lineales.

Si el sistema de ecuaciones lineales tiene solucin se le llama compatible o consistente. Si notiene solucin le llamamos incompatible o inconsistente.

Sistema con solucin nica.

Considrese el sistemax - y = 7x + y = 5

Al sumar las dos ecuaciones se obtiene, por el resultado A, la ecuacin siguiente: 2x = 12 (esdecir, x = 6). Entonces, de la segunda ecuacin, y = 5 x = 5 6 = -1. Por lo tanto, el par (6, -1)satisface el sistema. Por la forma en que se encontr la solucin, se ve que no existe ningn


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otro par que satisfaga ambas ecuaciones. Por tanto, el sistema tiene una solucin nica.

Sistema con un nmero infinito de solucionesConsidrese el sistema

x y = 72x 2y = 14

Es obvio que estas dos ecuaciones son equivalentes. A fin de comprobar esto,multiplquese la primera por 2. x - y = 7 o y = x 7. Por tanto, el par (x, x-7) es una solucin delsistema para todo nmero real x. El sistema tiene un nmero infinito de soluciones. Porejemplo, los pares siguientes son soluciones: (7, 0), (0, -7), (8, 1), (1, -6), (3, -4) y (-2, -9).

DETERMINANTES

Determinantes de 2x2:

" =a11 a12

a21

a22

= a11a22# a

12a21

Determinantes de 3x3:

" =

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

= a11

a22

a23

a32

a33

# a12

a21

a23

a31

a33

+ a13

a21

a22

a31

a32

Mtodo de Cramer para sistemas de ecuaciones lineales:

Sea el sistema de n ecuaciones lineales y n incgnitas:

$11x1 + $12x2+ . $1nxn = %1$21x1 + $22x2+ . $2nxn = %2

. . . .

. . . .

. . . .

$n1x1 + $n2x2+ . $nnxn = %n

Donde las $ijson los coeficientes de las incgnitas x1, x2, . , xn. El determinante:

" =

#11

#12

... #1n

#21

#22

... #2n

! " # !

#n1

#n2

... #nn

, se conoce como determinante principal del sistema lineal de

ecuaciones. Si el determinante es igual a cero, el sistema o bien no tiene soluciones o tieneuna infinidad de stas. Si el determinante es diferente de cero entonces el sistema tienesolucin nica. En ste caso, para calcular cada una de las incgnitas x 1, x2, . , xn, sesustituye la columna de de los coeficientes correspondientes para cada x ipor la columna de %1,%2, . . . , %n, se calcula este determinante y se divide entre el determinante principal del sistema.


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As, el valor de cada incgnita x1, x2, , xn, est dado por:

x1=

"1 #

12 ... #

1n

"2 #

22 ... #

2n

! ! " !

"n #

n2 .... #

nn

#11

#12

... #1n

#21

#22

... #2n

! # " !

#n1

#n2

... #nn

, x2=

"11

#1

... "1n

"21

#2

... "2n

! ! " !

"n1

#n

.... "nn

"11

"12

... "1n

"21

"22

... "2n

! # " !

"n1

"n2

... "nn

, . . . , xn=

"11

"12

... #1

"21

"22

... #2

! ! " !

"n1

"n2

.... #n

"11

"12

... "1n

"21

"22

... "2n

! # " !

"n1

"n2

... "nn

2.- CLCULOFUNCIONES DE VARIABLE REAL

DEFINICIN.Una funcindelconjuntoDenelconjuntoY ,esuna relacinqueasociaacadaelementoxdelconjuntoDunnicoelementodelconjuntoY.SifesunafuncindeDenY,definimos f :D!Y.Sialelementox!D la funcin f leasociaelelementoy!Y ,entoncesdefinimosf(x)=y.

Sif:D!YesunafuncinentoncesllamamosaDdominiodelafuncinf,yalconjunto

Im(f)={ y!Y|f(x)=yparaalgnx!D }rango o imagen de f . En este caso estudiaremos solamente funciones cuyo dominio eimagensonsubconjuntosdeR.

Por ejemplo el dominio e imagen de la funcin f(x) = x2 son los conjuntos R y [0, %)respectivamente.

Esimportanterecordarquenoestpermitido:

i.Dividirporcero.ii.Extraerracesdeordenpardenmerosnegativos.

Dei.sesiguequeeldominiode

f(x) =2

x "1

esD={x|x"1}=R\{1}=(!%,1)!(1,%)

envirtuddequex=1anulaeldenominador.

Considerandolarestriccinii.concluimosquelafuncinf(x)= x tienecomodominioalintervaloD={x|x&0}=[0,+%).

DEFINICIN.Supongamosquef:D!Resunafuncin,dondeD"R.LagficadefeselsubconjuntodelplanocartesianoR2,definidoporGraf ( f )={(x,y)!R2|x!Dyf(x)=y}


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Lafigurailustralagrficadeunafuncin.

Paradeterminareldominio,enproblemasaplicados,esnecesarioconsiderarlasrestriccionesfsicas propias del problema. Llamaremos dominio fsico al conjunto de argumentospermisiblesdelproblema.

Porejemplo,siA(r)="r2eselreadeuncrculo,eldominioesR,peroeldominiofsicoeselconjunto(0 ,&),yaquenoconsideramosradiosnegativos.

DERIVADA Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCIN REAL.

Definicin.-Sea f(x) una funcin continua en el punto x=a. La derivada de f(x),respecto a x, en el punto x=a, que representaremos con los smbolos

Df(a),df(a)

dxo tambin f'(a) es el

lim f(a+(x)-f(a)

(x!

0 (x

Definicin.-Sea f una funcin definida en un intervalo abierto que contiene a a.Entonces la pendiente mde la recta tangente a la grfica de f en elpunto P(a,f(a))est dada por

m = lim f(a+h)-f(a)

h!0 h

siempre y cuando este limite exista.

Definicin.-Sea f una funcin definida en un intervalo abierto que contiene a a.Entonces la derivada de fen ), denotada por f!(a), est dada por

f!(a)= lim f(a+h)-f(a)

h!o h

Tabla de Derivadas.

En la siguiente tabla las letras f , g, h denotan funciones de x, en tanto a, c, representanconstantes reales y n denota un nmero natural fijo.

Los argumentos de las funciones trigonomtricas estn expresados en radianes.

1.Derivada de una constante por una funcin:

d

dx(c f ) = c

df

dx


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2.Derivada de una suma de funciones:

d

dx(f + g) =

df

dx+

dg

dx

3.Derivada de un producto de funciones:

d

dx(f g) = f

dg

dx+ g

df

dx

4.Derivada de un cociente de funciones:

d

dx

f

g

"

#$

%

&'=

gdf

dx( f

dg

dx

g2

5.Derivada de una compuesta de funciones o regla de la cadena:

d

dx(g "f ) (x) =

dg

dx(f(x)) "

df

dx

Derivadas de funciones bsicas

1.d

dx(c) = 0

2.d

dx (x) = 1

3.d

dx(xr) = r xr-1, r !IR.

4.d

dx(sen x) = cos x

5.d

dx(cos x) = !sen x

6.d

dx(tan x) = sec2x

7.d

dx(cot x) = !cosec2x

8.d

dx(sec x) = sec x tan x

9.d

dx(cosec x) = !cosec x cot x

10.d

dx (arc sen x) =1

1" x2 ; ("

#

2 $ arc senx$

#

2 )


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11.d

dx(arc cos x) = "

1

1" x2

; (0 # arc cos x# $)

12.d

dx

(arctan x) =1

1+ x2; ("

#

2$ arc tan x$

#

2)

13.d

dx(arccotan x) = "

1

1+ x2

; (0 # arccotan x# $)

14.d

dx(arcsec x) =

1

x1+ x2

; (0 " arcsec x 0.

Ejemplos:1. f(x) = 3x3 + 2x 1

f'(x) = 9x2 + 2

f''(x) = 18x

Problemas que requieren el concepto de la diferencial.

Definicin.-Sea y = f(x)donde fes derivable y sea (xun incremento de x.Entonces

(i) la diferencial dyde la variable dependiente y est dada pordy = f!(x) (x.

(ii) la diferencial dxde la variable independiente xest dada por dx = (x.


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INTEGRAL INDEFINIDA

1. Reglas principales para la integracin

a) Si F'(x) = f(x), entonces

'f(x)dx = F(x) + C, (aqu y en las frmulas siguientes C designa una constante arbitraria).

"# ' A f(x)dx = A'f(x)dx, donde A es una constante.

$# '(f1(x) f2(x) )dx ='f1(x)dx 'f2(x)dx

d) Si 'f(x)dx = F(x) + C y u = !(x),se tiene,

'f(u)du = F(u) + C

2. Tabla de Integrales Indefinidas Inmediatas

1.'xadx = xa+1

a +1+ C (a= "1)

2.' dxx

= ln(x(+ C

3.'sen x = - cos x + C

4.'cos x = sen x + C

5.' dxcos

2x

= tg x + C

6.'

dx

sen2x

= % ctg x + C

7.' tg x = % ln (cos x(+ C

8.' ctg x = ln (sen x(+ C

9.'exdx = ex+ C

10.'axdx = axln a + C

11.' dx1+ x

2= arc tg x + C

12.'

dx

a2+ x

2dx =

1

aarc tg

x

a

+ C

13.

'

dx

a2

"x2 =

1

2a

lna + x

a - x

+C


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14.'dx

x2" a

2 =

1

2aln

x" a

x + a+C

15.'dx

1- x2

= arcsen x + C

16.'dx

a2

- x2

= arcsen xa

+ C

17.'dx

x2a

2= ln(x +

x2+a

2 (+ C

18.' a2 " x2 dx = a2

2

arcsenx

a

+x

2

x2+a +C

19.' x2 +a dx = a2lnx + x

2+a +

x

2x

2+a +C

INTEGRACION MEDIANTE LA INTRODUCCION BAJO EL SIGNO DE LA DIFERENCIAL.La regla d) ampla la tabla de las integrales inmediatas. Precisamente, gracias a esta regla, latabla de las integrales es vlida, independientemente de que la variable de integracin sea unavariable independiente o una funcin diferenciable.Ejemplo:

dx

5x" 2#= 15

5x" 2( )# "1

2d(5x" 2) = 15

u"1

2# du = 15$ u

1

2

1

2

+C= 15(5x" 2)

1

2

1

2

+C= 25

5x" 2 +C

donde se puso u = 5x 2. Se emple la regla d) y la integral 1 de la tabla.En este ejemplo antes de aplicar las integrales de la tabla, se transform la integral dada a laforma

f("(x))"'(x)dx# = f(u)du,# donde u ="(x)

Este tipo de transformacin se llama introduccin bajo el signo de la diferencial.

MTODO DE SUSTITUCIN O CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL INDEFINIDA.

Poniendo

x = !(t),

donde tes una nueva variable y !una funcin continua diferenciable, tendremos:

f(x)dx" = f #(t)[ ]#'(t)dt,"

la funcin !se procura elegir de tal manera, que el segundo miembro de la frmula anteriortome una forma ms adecuada para la integracin.

Ejemplo. Hallar x x"1dx#


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SOLUCIN. Es natural poner t= x"1, de donde x =t2 +1, y dx = 2tdt.Por consiguiente:

x x"1dx# = (t2 +1)t$ 2tdt= 2 (t4 +t2)dt=2

5t

5+

2

3t

3+ C=

2

5(x"1)

5

2+

2

3# (x"1)

3

2+ C,#

INTEGRACIN POR PARTES.

FRMULA PARA LA INTEGRACIN POR PARTES. Si u = !(x) y v = "(x) son funcionesdiferenciables, tendremos que

udv" =uv# vdu," Ejemplo. Hallar x lnxdx"

Poniendo u = ln x; dv = x dx, tendremos du =dx

x; v =

x2

2. De donde,

x lnxdx" =x

2

2lnx#

x2

2

dx

x=

x2

2lnx#

x2

4+C" .

A veces, para reducir la integral dada a una inmediata, hay que emplear varias veces la frmulade integracin por partes.

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN R2Y R3.

Gradiante de una funcin

Definicin.-Si f es una funcin de dos variables, entonces el gradiante de f sedefine como+f(x, y) = = fx(x, y)i+ fy(x, y)j.

Derivada direccional de una funcin

Definicin.-Si f es una funcin de xy yy u= es un vector unitario, entoncesla derivada direccional de fen la direccin de u, denotada por Du f(x, y), est dada por

Du f(x, y) = u +f(x, y)

Derivadas de funciones vectoriales

Definicin.-Una funcin vectorial Fes continua en asi lim r(t) = r(a)t!a

Definicin.-Si r es una funcin vectorial, entonces la derivada de r es la funcin vectorial r'definida por

r'(t) = lim"t#0

r(t+ "t)$ r(t)[ ]"t

para todo t para el cual el lmite existe.


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3.- INTRODUCCIN A LAS MATEMTICAS APLICADAS YCOMPUTACIN.

La herramienta fundamental para el anlisis y diseo de circuitos digitales es el lgebraBooleana. Esta lgebra es un conjunto de reglas matemticas (similares en algunos aspectos

al lgebra convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento decircuitos basados en dispositivos de conmutacin (interruptores, relevadores, transistores, etc).En esta seccoin se presentan los postulados que definen el lgebra booleana, se presentanen forma de teoremas los resultados ms importantes, se presentan tambin los tres ejemplosclsicos de lgebras boolenas (lgica proposicional, lgebra de conjuntos, lgebra de switches)y herramientas bsicas como tablas de verdad y diagramas de Venn.

POSTULADOS DEL LGEBRA DE BOOLE

Postulado 1. Definicin. El lgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjuntoB, el cual contiene dos o ms elementos y entre los cuales se definen dos operacionesdenominadas "suma u operacin OR" ( + ) y "producto o multiplicacin u operacin AND" ( ), las

cuales cumplen con las siguientes propiedades:

Postulado 2. Existencia de Neutros. Existen en B el elemento neutro de la suma,denominado O y el neutro de la multiplicacin, denominado 1, tales que para cualquierelemento x de B:

(a) x + O = x (b) x 1 = x

Postulado 3. Conmutatividad. Para cada x, y en B:(a) x+y = y+x (b) x y =y x

Postulado 4. Asociatividad. Para cada x, y, z en B:(a) x + (y + z) = (x + y) + z (b) x (y z) = (x y) z

Postulado 5. Distributividad. Para cada x, y, z en B:(a) x+(y z)=(x+y) (x+z) (b) x (y+z)=(x y)+(x z)

Postulado 6. Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento nicodenotado x!(tambin denotado xc), llamado complemento de x tal que(a) x + x!= 1 (b) x x!= O

CIRCUITOS DE CONMUTACIN

1.- Para este ejemplo de lgebra de Boole, el conjunto B es el conjunto de todos los switcheso interruptores. La operacin suma de switches es la conexin en paralelo y la multiplicacin deswitches es la conexin en serie, como se muestra en la siguiente figura. Los valores que

pueden tomar los switches son slo dos: {ON, OFF} o bien, {1,0}.

2.- Existencia de neutros. El neutro de la suma, es un circuito abierto (un switch que siempreest abierto), mientras que el neutro del producto es un corto circuito (un switch que siempreest cerrado)


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3.- Conmutatividad. Evidentemente las conexiones en serie y en paralelo funcionan de lamisma manera independientemente del orden de colocacin de los switches que interconectan.

4.- Asociatividad. Las conexiones en serie y en paralelo son asociativas, es decir, al conectartres switches en paralelo, no importa cual par se conecte primero. En forma similar pasa con laconexin de tres switches en serie.

5.- Distributividad. La conexin serie es distributiva sobre la conexin en paralelo y la conexinparalelo es distributiva sobre la conexin en serie, en el sentido que se ilustra en la figurasiguiente

6.- Existencia de complementos. Se puede fabricar un switch A complemento de otro switch Asimplemente acoplando mecnicamente ambos, para que cuando uno se abra el otro se cierrey viceversa.

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)565$9'10* B +01'* /'* .0*9"/)* $0-"95'$905)* 1) *6* $0(()*.0519)5+)* F'/0()* 1) F)(1'1 0

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B K RS010 953)59)(0 )/)$+(9$9*+' $050$) /'* 50(-'* TU?%VWWWR

894: 6;:?QB7 6;7?Q B K Q C B K RS010 953)59)(0 )/)$+(9$9*+' 10-95' /' +('5*I0(-'1' 1) L06(9)( C $050$) /'* 50(-'*TU?%VWWWR

>7456343DB7?! K D7 Q K RD7 +010 953)59)(0 )/)$+(9$9*+' 10-95' /' +('5*I0(-'1' 1) L06(9)(R K>)Q9*+) :6 43D78 9D


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953)59)(0 )/)$+(9$9*+' E93 D7 10-95' /' +('5*I0(-'1' 1) L06(9)(> X =D=D

G:H6:8 A3 I3@A:A?

1234567 A3 9D ,39B@7 A3 6: 894:?L K RS010 953)59)(0 )/)$+(9$9*+' )* .()-90 50F)/ 1) /9+)('+6('Y

1234567 A3 9D ,39B@7 A3 6: 496B=56=>:>=;D?M K RS010 953)59)(0 )/)$+(9$9*+' )* -'B0( 1) )1'1 R

2.- Existencia de neutros. El neutro de la suma, es un enunciado que evidentemente siemprees falso, (ver ejemplo). en forma similar, el neutro de la multiplicacin es un enunciado que

evidentemente siempre es verdadero.

3.- Conmutatividad. Evidentemente las conjunciones y, o no alteran el sentido del enunciadototal, independientemente del orden en que son tomados.

4.- Asociatividad. Las conjunciones y, o son asociativas, es decir, al conectar tresenunciados gramaticales con y o con o no importa cual par de enunciados evaluemosprimero para determinar si el enunciado total es verdadero o falso.

5.- Distributividad. La conjuncin y es distributiva sobre la conjuncin o y viceversa, esto esfcil de probar mediante tablas de verdad, como se muestra a continuacin:

6.- Existencia de complementos. El complemento de un enunciado dado x es simplemente el

enunciado negado gramaticalmente: no x y se denota x.

*H83@I:>=;DP N* 9-.0(+'5+) +)5)( $/'(0 G6) $6'510 Q )* F)(1'1)(0!# )* I'/*0A B F9$)F)(*'A '*ZA .0(),)-./0 )/ $0-./)-)5+0 1) =+010> 50 )* =5953650>A *950 ='/ -)50* 650 50>7

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/:39$0* 1)50-95'10*2#!,.&) ( $(-2#!,.&) /3+%$&)7 N*+'* .6)(+'* )5 3)5)('/ ().()*)5+'5 "/0G6)*

I65$905'/)* G6) ()$9")5 65 $05,65+0 1) )5+('1'* ;F'(9'"/)* 951).)519)5+)*# B .(016$)5 65' *'/91'

;F'(9'"/) 1).)519)5+)# $0-0 *) -6)*+(' )5 /' I936(' *9369)5+)


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Una de las ventaja de usar stos smbolos es que por ser una representacin entrada / salidapermiten la interconexin de puertas (la salida de una con la entrada de otra) para representarfunciones ms complejas a partir de funciones sencillas.

Otra ventaja es el hecho de que los bloques sencillos (puertas con pocas entradas) seencuentran disponibles en circuitos integrados comerciales, de aqu que un diagrama de

puertas lgicas corresponde directamente a un diagrama de alambrado de circuito lgico.

A continuacin se presentan los smbolos para las funciones lgicas ms sencillas,especialmente para las presentadas en la seccin anterior


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Matemticas discretas

I. Lgica

1. Lgica proposicional

Reglas de inferencia

[p #(p !p)] )q Modus Ponens[(p !q) #q ] ) p Modus Tollens o demostracin por

contradiccin[(p !q) #(q !r)] )(p !r) Ley del silogismo

2. Lgica de predicados

Reglas para frmula bien formadas

Una frmula esta bien formada cuando esta bien estructurada de acuerdo con el conjunto dereglas establecidas y con el dominio de discurso.


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Formas clausales: resolucin, unificacin

La resolucin es una tcnica para demostrar teoremas en el lenguaje de la lgica.

La resolucin considera 2 ms clusulas e intenta deducir hechos o relaciones no explcitasen la clusulas originales del problema.

Las demostraciones por resolucin involucran los siguientes pasos:

1. Poner las premisas o axiomas en forma clausular.2. Agregar al conjunto de axiomas la negacin de lo que se demostrar en forma clausular.3. Resolver las clusulas entre s, produciendo nuevas clusulas que se sigan lgicamente deellas.4. Producir una contradiccin, generando la clusula vaca.

Ejemplo:Si estudio obtengo buenas calificaciones, si no estudio me divierto

Conclusin: Por lo tanto u obtengo buenas calificaciones o me diviertoE EstudioC Calificaciones buenasD Divierto

Relaciones y grafos

1. Relaciones

Ordenes parciales

Definicin.-Una relacin puede considerarse como un cuadro quemuestra las correspondencias de unos elementos conrespecto a otros.

Definicin.-Una relacin R en un conjunto A recibe el nombre derelacin de orden parcial si R es reflexiva, antisimtrica y transitiva.

Relaciones de equivalencia

Definicin.-Una relacin que es reflexiva, simtrica y transitiva en un

conjunto X se conoce con el nombre de relacin deequivalencia sobre X.


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2. Grficas y rboles

Recorridos, nmeros cromticos, coloracin de aristas y vrtices

Definicin.-Sea G = (V, A) un grafo no dirigido. G se denomina rbol sies conexo y no contiene ciclos.

Como un lazo es un ciclo de longitud uno, un rbol no tiene lazos.

Cuando un grafo es no conexo no puede ser un rbol, pero cadacomponente del grafo es un rbol y se denomina bosque.

Cuando un grafo es un rbol se escribe R en lugar de G paradestacar su estructura.

Definicin.- Sea R = (V, A) un rbol con raz r. Si R no tiene otros vrtices, entoncesla raz misma constituye el recorrido orden previo, simtrico y posterior de R. Si |V| > 1, seanR1, R2, R3, . . . , Rk los subrboles de R segn se va de izquierda a derecha.

a) El recorrido en orden previo de R comienza en r y despus pasa por los vrtices de R1 en

orden previo, a continuacin por los vrtices de R2 en orden previo, y as sucesivamente hastaque se pasa por los vrtices de Rk en orden previo.

b) El recorrido en orden simtrico de R primero, se pasa por los vrtices de R1 en ordensimtrico, despus por la raz r y a continuacin por los vrtices de los subrboles R2, R3, . . . ,Rk en orden simtrico.

c) El recorrido en orden posterior de R pasa por los vrtices de los subrboles R1, R2, . . . , Rken orden posterior y a continuacin por la raz.Ejemplo:

a) Recorrido en orden previo: 1, 2, 5, 11, 12, 13, 14, 3, 6, 7, 4, 8, 9, 10, 15, 16,17.

b) Recorrido en orden simtrico: Comenzando en el vrtice 1, se recorren los vrtices del


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subrbol R1, con raz del vrtice 2 en orden simtrico. Esto lleva al vrtice 5 y despus al 11,una hoja. De ah que al pasar en orden simtrico por los vrtices del subrbol con raz delvrtice 5, se comience listando los vrtices visitados como 11, 5, 12, 13, 14. A continuacin, sepasa por el vrtice 2, la raz del subrbol R1 y despus por la raz del vrtice 1. Para completareste recorrido, ahora se debe pasar por los vrtices de los subrboles R2 y R3 en ordensimtrico. Para R2 esto lleva del vrtice 6 al vrtice 3 (la raz de R2) y despus al vrtice 7. Por

ltimo, para el subrbol R3 con raz en el vrtice 4 primero, se pasa por el vrtice 8, despuspor la raz en el vrtice 4 y a continuacin, por el 9. Despus de que se recorre el subrbol conraz del vrtice 10; resulta el listado en orden simtrico 15, 10, 16 y 17. En consecuencia, elrecorrido en orden simtrico del rbol determina la sucesin (en orden simtrico) 11, 5, 12, 13,14, 2, 1, 6, 3, 7,8, 4, 9, 15, 10, 16, 17 para los vrtices.

c) Recorrido en orden posterior: Para el recorrido en orden posterior de un rbol se comienzaen la raz y se construye el camino ms largo, yendo al hijo situado ms a la izquierda de cadavrtice interno al que se llegue. Al llegar a una hoja h se pasa por este vrtice y se retrocedehasta su padre p. Sin embargo, no se pasa por p hasta despus de pasar por todos susdescendientes. El siguiente vrtice por el que se pasa se halla aplicando el mismoprocedimiento a p que a r, para obtener h. Nunca se pasa por un vrtice ms de una vez o

antes que por sus descendientes. El recorrido en orden posterior pasa por los vrtices en elorden 11, 12, 13, 14, 5, 2, 6, 7, 3, 8, 9, 15, 16, 17, 10, 4, 1.

Definicin.- Si G = (V, A) es un grafo no dirigido, aparece una coloracin apropiada de Gcuando se colorean los vrtices de G de modo que si {a, b} es una arista de G, entonces a y bse pintan con colores distintos. (De ah que vrtices adyacentes tengan colores distintos). Elnmero mnimo de colores necesarios para colorear de forma apropiada G se denominanmero cromticode G y se escribe -(G).

Vrtices de corte

Definicin.-La divisin, o separacin, de un vrtice en un grafo da lugar a un nuevo grafo conms componentes, ese vrtice se denomina vrtice de corteo punto de articulacin.

Se llaman vrtices los crculos o puntos de un grafo o rbol y se les llama aristas a las lneasque unen un vrtice con otro vrtice.

BIBLIOGRAFA:

Preclculo.Becerril Fonseca, Rubn; et. al. UAM-I, Mxico, 2002.

Problemas y Ejercicios de anlisis Matemtico.

B. Demidovich. Mir, Mosc. Novena reimpresin, 1988.

Clculo diferencial en varias variables.Becerril Fonseca, Rubn; et. al. UAM-I, Mxico, 2002.

Gua de Matemticas (Ingeniera Informtica y Computacin).CENEVAL. 2010.

Documents

CP- Matematicas Aplicadas Manual (Ya)