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matematicas aplicadas a ingenieria civil
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2
CAPÍTULO I
ELEMENTOS DE ANÁLISIS VECTORIAL
1.1 Campos Escalares
Una función uniforme y,xGGóz,y,xGG , define en cada punto del espacio, o
del plano, o al menos en una parte de ellos, un número Gi. Esta distribución de números
reales en una región del espacio, o del plano, se llama campo escalar.
Sea por ejemplo el campo 222 zyxG . Al punto A(1, 2, 3) le corresponde el valor del
campo GA = 14, y al B(-1, 0, 1) el valor GB = 2, y el campo está definido en todo el
espacio.
Veamos otro ejemplo, sea el campo en el plano yxG . En el punto A(1, 3) se tiene
que GA = 2 y el campo está definido en la parte del plano en la cual (x + y) es positivo.
Las superficies G(x, y, z) = constante, o las curvas G(x, y) = constante, se llaman
superficies, o curvas, de nivel y también superficies, o curvas, equi-G.
En el primer ejemplo las superficies de nivel son esferas con centro en el origen, y en el
segundo, rectas paralelas a la segunda bisectriz.
Ejemplos físicos de campos escalares son el conjunto de presiones o de temperaturas en el
seno de un fluido, la distribución de la precipitación en una determinada cuenca o el
conjunto de las cotas topográficas de una región. Las líneas o superficies de nivel se
denominan isóbaras, isotermas, isoyetas o, simplemente curvas de nivel, respectivamente.
1.2 Derivada Direccional
Dado un campo escala G = G(x, y, z) y un punto P(x0, y0, z0), consideremos la superficie
de nivel G(x, y, z) = Gp, que contiene al punto P y a un vector arbitrario V
aplicado en P,
con una dirección cualquiera pero conocida y determinada por sus cosenos directores.
Sobre la recta de acción de V
tomemos un punto 000000 zz,yy,xxQ . La derivada
de G en la dirección del vector V
se define como:
PQ
GGLim
Vd
dG PQ
QP
3
cosGcosGcosGPQ
GPQ
zG
PQ
yG
PQ
x
PQ
GG000000 zyxz
0y
0x
0PQ
Al tender Q hacia P los incrementos tienden a cero y, por lo tanto, la derivada direccional
será:
cosGcosGcosGPQ
GGLim
Vd
dG000 zyx
PQ
QP
En donde cos , cos , cos , son los cosenos directores del vector V
.
Físicamente, la derivada direccional nos da idea de cómo varía el campo escalar cuando
nos desplazamos en una cierta dirección.
Ejemplo:
La derivada direccional del campo 2y zxG en el punto A(1, -1, 1) en la dirección del
vector k2j2iV
se hallará del siguiente modo:
2G0G1G
z2GxlnxGxyG
000 zyx
z
y
y
1x
x
32cos32cos31cos
13
40
3
1
Vd
dG
1.3 Gradiente de un Campo Escalar
Si la función G(x, y, z) es derivable, se define un vector llamado gradiente por la igualdad:
P
Q
V
Desarrollando en serie de Taylor tenemos:
000 z0y0x0P
000000Q
GzGyGxG
zz,yy,xxGG
Donde es un infinitésimo de segundo orden
respecto a los incrementos.
4
kGjGiGGGgrad zyx
Y, si definimos el vector simbólico nabla: kz
jy
ix
, el gradiente queda
definido por el producto del escalar G y el vector V
.
Este operador vectorial tiene las siguientes importantes propiedades:
1. El gradiente del campo escalar G en un punto P es normal a la superficie de nivel
que contiene a P.
2. La derivada direccional es igual a la proyección del gradiente sobre la dirección
considerada.
3. La derivada direccional máxima se obtiene en la dirección del gradiente y su valor
es igual al módulo de dicho gradiente.
Hallando el producto escalar de este vector por el gradiente, tenemos:
dGdzGdyGdxGdlG zyx
Y como G es constante para todos los puntos de la superficie de nivel, la diferencial de G
será nula y, por consiguiente, el gradiente resulta ser perpendicular a cualquier tangente a
cualquier curva contenida en la superficie de nivel, como queríamos demostrar.
Por otra parte, si u
es el vector unitario de una cierta dirección se tendrá:
kcosjcosicosu
Y, escribiendo de las dos formas posibles el producto escalar del vector V
y el gradiente de
G, tendremos:
cosGud
dGcosGcosGcosGGu zyx
Lo que quiere decir que la derivada direccional es la proyección del gradiente, tal como
indica la figura.
P
G
u
dl
En efecto: Consideremos una curva que
pase por P y esté incluida enteramente
en la superficie de nivel que contiene a
dicho punto. Un vector tangente a esta
curva es:
kdzjdyidxdl
5
Por último, si variamos la dirección de u
manteniendo G y el punto P constantes, lo único
variable será el ángulo y el valor máximo de estas derivadas direccionales se obtendrá
para cos igual a uno, o lo que es lo mismo, para igual a cero, es decir, cuando la
dirección de u
coincide con la del gradiente, en cuyo caso se tendrá:
Gud
dG
max
De acuerdo con todo esto, si n
es el vector unitario normal a la superficie de nivel. El
gradiente se puede escribir en la forma
nnd
dGG
Desde un punto de vista físico podemos observar que, si trazamos las superficies de nivel
que corresponden a incrementos iguales del valor de G, el módulo del gradiente será mayor
allí donde dichas superficies de nivel estén más próximas. O de otra forma, en un punto
fijo la dirección del gradiente indica la dirección en la cual la variación del campo es
mayor. Y, si consideramos dos puntos, aquel en el cual el módulo del gradiente sea más
grande corresponderá a una mayor variación del campo.
Las líneas tangentes al gradiente en cada punto se llaman “líneas de gradiente”. Estas
líneas son, obviamente, normales a las superficies de nivel y, expresando que los vectores
dl y G son paralelos, se obtienen sus ecuaciones diferenciales.
zyx G
dz
G
dy
G
dx
La aplicación de todas las consideraciones del presente párrafo al caso de los campos
bidimensionales no presenta dificultad alguna.
Ejemplo 1:
El gradiente del campo y3xzyxG 22 en el punto (2, 1, 1) se obtiene del siguiente
modo:
4G7G3G
xz2G3xGzxy2G
000 zyx
z
2
y
2
x
k4j7i3G
Ejemplo 2:
Si queremos encontrar un vector unitario normal a la curva 9y2xy2y2x 22 en el
punto (2, 1), bastará considerar el campo escalar y2xy2y2xG 22 y buscar
GGu
. Se tendrá pues:
6
j54i53u
8G6G
2x2y4Gy2x2G
00 yx
yx
Ejemplo 3:
Las líneas de gradiente del campo z2y2x2zyxG 222 se deducen fácilmente
del sistema
2z2
dz
2y2
dy
2x2
dx
Y resultan ser
1zb1y
1za1x
Y, en particular, la que contiene al punto (3, 0, 2) es
2zy
1z2x
1.4 Aplicaciones Geométricas del Concepto de Gradiente
En primer lugar, el concepto de gradiente permite definir la tangente y la normal a la curva
f(x, y) = 0 en el punto P(x0, y0).
Análogamente, si M2(x, y) es un punto cualquiera de la normal en P, el vector
jyyixxPM 002
será paralelo al gradiente y, por tanto:
00 y
0
x
0
f
yy
f
xx
será la ecuación de la normal.
M1
P
G
M2
x
y
Consideremos el campo escalar G = f(x, y).
El gradiente de este campo en P,
jfifG yx
, es perpendicular en P a la
curva de nivel f(x, y) = 0 y, si M1(x, y) es
un punto cualquiera de la tangente, el
producto escalar del vector
jyyixxPM 001
por el gradiente
debe ser nulo. Luego 0yyfxxf 0y0x 00
será la ecuación de la tangente.
7
Ejemplo:
La tangente y la normal a la curva 05y2x2xy2y2x 22 en el punto (1, 1) se
obtienen del siguiente modo:
8f2f
2x2y4f2y2x2f
00 yx
yx
Así, la ecuación de la tangente es: 05y4x01y81x2
Y la de la normal es: 3x4y8
1y
2
1x
Ejemplo:
Para hallar el ángulo entre las curvas 0y2x2yx;0x2y 222 en el punto (2,2),
tenemos:
º6,71θ316,0
10
1
8*20
2*422-θcos
8gj2i2g22y2g22x2g
20fj4i2f4y2f2f
0y0x
0yx
00
00
X
Y
f
g
P
En segundo lugar, el concepto de gradiente
permite definir el ángulo entre dos curvas.
Obviamente, el ángulo buscado es igual
al ángulo entre los respectivos gradientes,
luego:
cosgfgf
De donde:
2
y
2
x
2
y
2
x
yyxx
0000
000o
ggff
gfgfcos
8
En tercer lugar, se pueden definir, tanto el plano tangente como la recta normal a la
superficie f(x, y, z) = 0 en un punto P(x0, y0, z0).
Análogamente, si M2(x, y, z) es un punto cualquiera de la normal en P, los vectores G y
PM2 serán paralelos y por consiguiente, la ecuación de la recta normal es:
000 z
0
y
0
x
0
f
zz
f
yy
f
xx
Ejemplo:
El plano tangente y la normal a la superficie xz = 2y en el punto (1, 1, 2) se obtienen del
siguiente modo:
1xf2f2zf 0zy0x 000
Plano tangente: 0zy2x22z1y21x2
Recta normal:
1
2z
2
1y
2
1x
Así como el concepto de gradiente permite establecer el ángulo entre dos curvas, también
permite definir el ángulo entre dos superficies. Obviamente, ese ángulo es el mismo que
forman los gradientes, luego si f(x, y, z) = 0; g(x, y, z) = 0 son las superficies y P(x0, y0, z0)
el punto en el que se quiere hallar dicho ángulo, se tiene
Z
X
Y
P
G
M2
M1
Como anteriormente, si consideramos
el campo escalar G = f(x, y, z), el
gradiente de G en el punto P,
kfjfifG000 zyx
es normal a la
superficie que contiene a P, f(x,y,z) =
0. Luego, si M1(x, y, z) es un punto
cualquiera del plano tangente, el
producto escalar de G por el vector
kzzjyyixxPM 0001
debe ser igual a cero y, por lo tanto la
ecuación del plano tangente está dada
por:
0zzfyyfxxf 0z0y0x 000
9
gf
gfθcoskgjgiggkfjfiff
000000 zyxzyx
Ejemplo:
Hallemos el ángulo entre las superficies xz = 2y; xyz = 2 en el punto (1, 1, 2).
º62,83θ111,09
1
99
144θcoskj2i2gkj2i2f
Por último, podemos definir la tangente a una curva dada por la intersección de dos
superficies.
Ejemplo:
Si queremos encontrara la tangente a la curva intersección de las dos superficies xz –2y = 0
0zy2x2 222 en el punto (1, 1, 2) tendremos:
k16j12i4
444
122
kji
gxfF
k4j4i4g4y4g4y4g4x4g
kj2i2f1xf2f2zf
0z0y0x
0zy0x
000
000
Y las ecuaciones de la tangente son: 4
2z
3
1y
1
1x
16
2z
12
1y
4
1x
Tangente
P M
f
g
gxf
Como la recta tangente es la
intersección de los dos planos
tangentes a las superficies
f(x,y,z) = 0; g(x,y,z) = 0, un
vector paralelo a dicha tangente
será el producto vectorial de los
gradientes, gxfF
. Y como,
si P(x0, y0, z0) es el punto de
contacto y M(x,y,z) es un punto
cualquiera de la tangente, los
vectores F
y MP deben ser
paralelos. Luego las ecuaciones
de la tangente buscada serán
z
0
y
0
x
0
F
zz
F
yy
F
xx
10
1.5 Campos Vectoriales y Líneas de Campo
Consideremos los vectores
kz,y,xZjz,y,xYiz,y,xXF
Donde X, Y, Z, son funciones uniformes, definidas y derivables. A cada punto del espacio,
en la región donde las funciones X, Y, Z, están definidas, le corresponde un vector. Esta
distribución de vectores se llama campo vectorial. Ejemplos físicos de campos vectoriales
son la gravitación y la velocidad y la aceleración de un fluido en movimiento.
Dado un campo vectorial F
, se llaman líneas de campo aquellas curvas que en todos sus
puntos son tangentes al vector campo que corresponde a dicho punto.
En el campo de velocidades de un fluido, las líneas de campo, que en este caso en
particular se denominan líneas de corriente, serán líneas tangentes en todos sus puntos al
vector velocidad. Además, si el flujo es permanente, es decir si las componentes del vector
velocidad son constantes respecto del tiempo, las líneas de campo representan la
trayectoria de una partícula de fluido.
Para hallar las ecuaciones de dichas líneas de campo, expresaremos que el vector tangente
kdzjdyidxdl
y el vector F
tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes
serán proporcionales:
Z
dz
Y
dy
X
dx
Y bastará con integrar este sistema de ecuaciones diferenciales.
Ejemplo:
Hallemos la línea de campo del campo vectorial kzjy2ixF
que contiene al punto
P(2,4,1).
Las ecuaciones z
dz
y2
dy
x
dx
nos dan
Blnyln2
1zln
Alnyln2
1xln
es decir
yBz
yAx y, en el punto
P, A = 1 B = 2.
1.6 Divergencia y Laplaciana
Se define la divergencia de un campo vectorial F
mediante la igualdad
11
Divergencia de z
Z
y
Y
x
XF
Recordando la definición del vector simbólico
, la divergencia se escribe, comúnmente,
como
z
Z
y
Y
x
XkZjYiXk
zj
yi
xF
Los campos cuya divergencia es idénticamente nula se llaman campos solenoidales.
Ejemplo:
Hallar el valor de m necesario para que el campo kxyz6jmxyiyxF 22
, sea solenoidal.
4m0xy6mxy2xy2F
Sea kVjViVV zyx
el vector que define el campo de velocidades en un fluido, es
decir, el campo de flujo. La divergencia del vector velocidad es z
V
y
V
x
VV zyx
. Si
ese campo es solenoidal, su divergencia será nula, y entonces tendríamos:
0z
V
y
V
x
V zyx
que es la ecuación de continuidad en la mecánica de los fluidos.
La divergencia del gradiente de un campo escalar G recibe el nombre de operador de
Laplace o Laplaciana de G y se representa por G o por G2 .
2
2
2
2
2
22
z
G
y
G
x
GGk
zj
yi
xk
zj
yi
xGGG
Los campos escalares cuya Laplaciana es idénticamente nula se denominan armónicos.
Este operador aparece con frecuencia en el estudio de los fenómenos que implican
transmisión de energía.
Al analizar el flujo del agua en el suelo, el campo escalar que corresponde a la carga
hidráulica, h, en cualquier punto, es un campo armónico si se cumplen ciertas condiciones
de homogeneidad e isotropía, en cuyo caso, se tiene que
0z
h
y
h
x
h2
2
2
2
2
2
12
Expresión conocida como ecuación de Laplace, que permite definir las redes de flujo en el
suelo y establecer presiones hidráulicas que determinan cuales son los puntos de mayor
riesgo en una fundación, en un dique o en una represa de tierra.
Ejemplo:
La Laplaciana del campo escalar xyyzyxG 22 se halla del siguiente modo:
0y2y2G
y2Gyz2G0GzxGy2Gyxy2G 222 zzy
22yxx
Por lo tanto, el campo G es armónico.
1.7 Rotacional
El campo vectorial definido por el producto vectorial simbólico
ky
X
x
Yj
x
Z
z
Xi
z
Y
y
Z
ZYX
zyx
kji
FxFRot
se llama rotacional, torbellino o curl, y los campos cuyo rotacional es idénticamente nulo
se llaman irrotacionales.
Si F
es la velocidad de un fluido, en Mecánica de los Fluidos se demuestra que el
rotacional coincide con la velocidad de rotación media de las partículas, lo que justifica el
nombre impuesto al operador.
Ejemplo:
Hallemos, en el punto P(2, 3, 1), el rotacional del rotacional del campo vectorial
kzxy3jxyzizy2F 2222
.
kyz3jzyixyz4kyzyz4jzy3zy4ixyz2xyz6
zxy3xyzzy2
zyx
kji
FRot 222222
2222
kxz4jxy4iyz3
yz3zyxyz4
zyx
kji
FRotRot 22
22
13
Y, particularizando para las coordenadas del punto P, obtenemos:
k8j24i12FxxFRotRot
1.8 Relaciones de Interés
En resumen, hemos definido los siguientes operadores escalares y vectoriales:
escalar)(un z
G
y
G
x
GGG:Laplaciana
)(un vectorkGjGiGG:Gradiente
GEscalar Campo
un de Operadores
2
2
2
2
2
22
zyx
)(un vector
ZYX
zyx
kji
Fx:Rotacional
escalar)(un z
Z
y
Y
x
XF:aDivergenci
F Vectorial Campo
un de Operadores
Otras relaciones interesantes, además de la que define el operador de Laplace son:
- Rotacional del Gradiente de G
0kGGjGGiGG
GGG
zyx
kji
Gx xyyxzxxzyzzy
zyx
- Divergencia del Rotacional de F
yzxzxyyzzxyx XYZXYZy
X
x
Y
zx
Z
z
X
yz
Y
y
Z
xFx
- Rotacional del Rotacional de F
14
ky
Z
x
Z
zy
Y
zx
Xj
z
Y
x
Y
yz
Z
yx
Xi
z
X
y
X
xz
Z
xy
Y
y
X
x
Y
x
Z
z
X
z
Y
y
Z
zyx
kji
Fx
2
2
2
222
2
2
2
222
2
2
2
222
Sumando y restando
2
2
2
2
2
2
z
Z
y
Y
x
X
Obtenemos
kZjYiXFDivGrad
kz
Z
y
Z
x
Zj
z
Y
y
Y
x
Yi
z
X
y
X
x
X
kz
Z
y
Y
x
X
zj
z
Z
y
Y
x
X
yi
z
Z
y
Y
x
X
xFxx
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1.9 Circulación de un Campo Vectorial
El proceso de cálculo consistirá, como en las integrales curvilíneas, en obtener las
ecuaciones de la curva de modo que queden expresadas explícitamente las variables x, y,
A
B
dl Ft
F
Dada una curva , dos puntos en ella, A y B, y
un campo vectorial F
, se define la circulación
de F
sobre , desde A hasta B, por la integral
curvilínea
ABAB tAB
dzZdyYdxXdlFdlFC
La circulación es, pues, una generalización del
concepto de trabajo mecánico, dado que F
no
es, necesariamente, una fuerza.
15
z, en función de un solo parámetro, que puede coincidir con una de estas variables.
Después se determinan los valores del parámetro que corresponden a los puntos A y B, y,
finalmente, se efectúa la integral entre estos límites.
Ejemplo 1:
Hallemos la circulación del campo kyjxz2iyx2F 2
a lo largo de la curva
0zx3
0z2xy
2 entre los puntos A(0, 0, 0) y B(1, 1, 1).
Las ecuaciones de la curva se pueden escribir como
2t3z
t6y
tx
y, por lo tanto,
67dtt252t8C
tdt6t36dt6t6dtt6t2dzydyxz2dxyx2C
1
0
3
1
0
23
AB
2
Ejemplo 2:
B
B
A
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Para el trozo OB
1
0OB1 3dxx6dyy3dxy2xC
Para el trozo BA
2
1
232
1
22
BA23
86dxxx2x6dxx2x3dxx2xdyy32dxy2xC
Hallemos la circulación del
campo vectorial
jy3iy2xF
Desde O(0,0) hasta A(2,4) a lo
largo del camino formado por la
recta y = x, desde O(0,0) hasta
B(1,1) y desde B hasta A a lo
largo de la curva 2xy .
16
Y, en total, 3
95CCC 21
1.10 Campos Conservativos
Cuando el campo vectorial F
se puede hacer igual a menos el gradiente de un campo
escalar G, GF
, se dice que el campo F
es conservativo, y el campo escalar G recibe
el nombre de potencial.
Si F
es conservativo y sus componentes X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z) son contínuas y
derivables,
1. La circulación entre dos puntos fijos A y B es independiente de la curva que los
une. En efecto:
B
A BAzAB yAB xAB
zyx
z,y,xGz,y,xGdGdzGdyGdxGdzZdyYdxXC
GZGYGXGF
Valor que solo depende de los puntos inicial y final.
2. La circulación a lo largo de cualquier curva cerrada es nula.
Si las componentes de F
no son continuas para todos los puntos interiores a una curva
cerrada , la circulación a lo largo de puede no ser nula, a pesar de ser el campo,
conservativo.
Si F
es un campo bidimensional cuyas componentes no son continuas para un solo punto
interior a , se puede utilizar el siguiente artificio para facilitar el cálculo de la circulación.
A
B
C
D
En efecto:
0
GGGGGGGG
dlFdlFdlFdlFC
DACDBCAB
DACDBCABABCDA
17
CABCDEF = CABC + CCD + CDEF + CFA = CABC + CDEF = 0
Puesto que las circulaciones entre AFyCD se anulan entre sí al ser estas líneas todo lo
próximas que se quiera. Por lo tanto:
CCCC FEDABC
Por otra parte, en el caso de un campo bidimensional, se cumple que
yxxyyx Gx
YG
y
XGYGXGF
Y, ya que según el teorema de Schwartz, yxxy GG , la condición necesaria para que exista
la función potencial es:
x
Y
y
X
Recíprocamente, si esta condición se cumple, el potencial existe y puede calcularse. En
efecto, integrando respecto a x obtenemos
yfdxy,xXG
Puesto que en esta integración se considera la variable y como una constante. Derivando
ahora respecto a y, se tiene:
yfdxy
XYGy
De donde
dxy
XYdx
y
XGyf y
El potencial será, pues
B
A C
M
´ F D
E
Se rodea el punto M por un contorno ´, que
puede ser circular, arbitrariamente pequeño y
se añade un corte constituido por dos líneas
AFyCD , todo lo próximo que se quiera.
La circulación a lo largo del camino
ABCDEF es nula, puesto que el punto M está
fuera del recinto así definido y por hipótesis
no existe otro punto interior a para el cual
las componentes de F
sean discontinuas. Por
lo tanto, tendremos:
18
Cdyyfdxy,xXG
Obviamente, se pueden hacer las integraciones de G en orden inverso y obtener una
expresión inversa.
La constante C resulta indeterminada, lo que no es fundamental puesto que en los
fenómenos físicos la magnitud que interviene no es el potencial sino la diferencia de los
potenciales en dos puntos diferentes. Es frecuente tomar el potencial en un punto como
origen de referencia, por ejemplo es usual adoptar el convenio de que el potencial en el
infinito es nulo.
Ejemplo:
Dado el campo vectorial j2x3xy4ynxix2mxyy2xy2F 2222
a. Hállese m y n para que el campo sea conservativo.
b. Hállese la función potencial.
c. Hállese la circulación de F
entre los puntos A(0,0) y B(1,2) a lo largo de la curva
0x6yyx 32 .
Para que el campo sea conservativo debe cumplirse que x
Y
y
X
, por lo tanto,
2n6mmxy4xy4x6y4nxy2
Para hallar el potencial:
Cy2xyx3xy2yxGCy2yf
2yfyfx3xy4yx22x3xy4yx2YG
yfxyx3xy2yxGx2xy6y2xy2XG
22222
2222
y
2222222
x
Según lo dicho, la circulación entre A y B será:
1C41684CGGC BAAB
Dado que, por ser el campo conservativo, la circulación es independiente del camino
recorrido, también se puede sustituir la curva dada por otro cualquier camino más simple,
como por ejemplo, A(0,0) C(1,0) B(1,2). Así,
dy2x3xy4yx2dxx2xy6y2xy2C 2222
Para el tramo AC 1dxx2C0dy,0y1
01
Para el tramo CB 2
02 2dy23y4y2C0dx,1x
19
Y, en total, 121CCC 21AB
Si el campo F
es tridimensional, podemos proceder de modo análogo:
zyx GZGYGXGF
Y, aplicando el teorema de Schwartz, en la hipótesis de que se verifiquen las condiciones
necesarias,
z
X
x
Z
y
Z
z
Y
x
Y
y
X
Estas tres igualdades equivalen a la anulación idéntica del rotacional de F
y por lo tanto
los campos irrotacionales de componentes continuas son conservativos y, recíprocamente,
los campos conservativos de componentes continuas son irrotacionales.
Para el cálculo del potencial procederemos de un modo análogo a lo hecho anteriormente.
z,yfdxz,y,xXG
ya que en esta integral las variables y, z, figuran como constantes. Para hallar la función
f(y,z) derivemos respecto a y:
dx
y
XYz,yfz,yfdx
y
XYG yyy
La independencia de z,yfy respecto a x se comprueba derivando respecto a x:
0y
X
x
Yz,yf
xy
Efectuando la integración de z,yfy respecto a y, obtendremos f(y,z) salvo la constante de
integración que será función de z únicamente y podremos escribir,
zhz,yfdxz,y,xXG
Derivando, finalmente, respecto a z:
z,yfdxz
XZzhzhz,yfdx
z
XZG zzz
Este último término no depende de y ya que
20
0y
Z
z
Ydx
y
XY
zdx
yz
X
y
Zzh
y
2
Integrando respecto a z podremos encontrar h(z) y escribir, por último,
zhz,yfdxXG
Obviamente, el proceso indicado puede seguirse ordenando las variables de otro modo.
Ejemplo:
Dado el campo vectorial k3z2cxyjx2bxyziayzyF 22
,
a. Hállense a, b, c para que el campo sea conservativo.
b. Hállese la función potencial.
c. Hállese la circulación entre los puntos A(1,1,2) y B(3,0,1).
Calculemos el rotacional de F
:
kayz22byzjcyyibxycxy2
3z2cxyx2bxyzayzy
zyx
kji
FRot 22
22
Para que el rotacional sea idénticamente nulo, debemos tener:
k3z2xyjx2xyz2iy2zyF2a1cc2b 22
Para hallar la función potencial:
z,yfxy2zxyGy2zyG 22
x
Derivando respecto a y,
zhxy2zxyG
zhz,yf0z,yfz,yfx2xyz2x2xyz2G
2
yyy
Derivando, ahora, respecto a z,
Cz3zxy2zxyG
Cz3zzh3z2zhzhxy3z2xyG
22
222
z
21
En tercer lugar, la circulación entre A y B, es:
6C3100C6422GGC BAAB
De otro modo, siguiendo el camino A(1,1,2) D(3,1,2) E(3,0,2) B(3,0,1):
dz3z2xydyx2xyz2dxy2zyC 22
Para el trozo AD : 0dx22C0dzdy2z1y3
1AD
Para el trozo DE : 0dy6y12C0dzdx2z3x0
1DE
Para el trozo EB : 6dz3z2C0dydx0y3x1
2EB
Y, sumando las tres 6CAB .
Cuando el potencial existe, las superficies equipotenciales, que son las superficies de nivel
del campo escala G son, evidentemente, ortogonales al campo vectorial F
que coincide en
dirección, aunque no en sentido, con el gradiente de G.
1.11 Flujo de un Campo Vectorial a Través de un Trozo de Superficie
un trozo S de superficie, por medio de la integral de superficie,
S
dSF
Donde dS es un vector de modulo dS, dirigido según la seminormal a la cara de S que
consideremos. Al cambiar de cara cambiará evidentemente el signo del flujo.
Si F
es la velocidad de un fluido, el flujo representa el gasto o volumen de fluido que
atraviesa, por unidad de tiempo, el trozo de superficie.
dS
dS F
Consideremos una superficie, o una parte de ella, S,
de ecuación f(x,y,z) = 0, en la que consideraremos
dos caras determinadas por el sentido de la semi-
normal en cada punto y, por lo tanto, por el signo de
los cosenos directores de dicha normal. Al cambiar
de cara cambiará también el signo de los tres
cosenos.
Definimos el flujo del campo vectorial F
a través de
22
La superficie considerada es una superficie de nivel del campo escalar G = f(x,y,z), y como
El cálculo del flujo será:
S
zyx
SdS
G
fZfYfXdScosZcosYcosX
Para convertir esta integral de superficie en una integral doble, utilizaremos una de las
siguientes tres igualdades:
dydxcosdSdzdxcosdSdzdycosdS
Obtenidas proyectando el elemento de área curva sobre cada uno de los tres planos
coordenados. Sí, por ejemplo, elegimos la proyección sobre el plano X0Y, se tendrá:
Rz
zyx
Rz
zyx
R
zyxdydx
f
fZfYfXdydx
f
G
G
fZfYfX
cos
dydx
G
fZfYfX
Y, si en la función subintegral sustituimos z por su expresión en función de las variables x
e y, que podemos obtener de la ecuación de la superficie, bastará calcular la integral doble
en el recinto R que es la proyección del trozo de superficie S sobre el plano X0Y.
Ejemplo:
Hallemos el flujo del campo vectorial kzy3jzx2iyxF
a través de la
superficie de plano 6z2y2x situada en el octante positivo.
Para el cálculo de los cosenos directores de dS tenemos:
S
dS
Z
X
Y
R dx dy
ds tiene la dirección del gradiente de G,
los cosenos directores de dS se
obtendrán a partir de la expresión de
dicho gradiente.
kfjfifG zyx
G
fcos
G
fcos
G
fcos zyx
Con el signo que corresponda a la cara
elegida. Como,
icosdSjcosdSicosdSdS
kZjYiXF
23
dS3
zy32zx2y2xdScoszy3coszx2cosyx
3
2cos
3
2cos
3
1cosk2j2iGz2y2xG
SS
1.12 Aplicaciones Geométricas del Concepto de Flujo
El concepto de flujo permite calcular:
a. El área de una superficie.
b. El momento de inercia de una superficie respecto a un plano.
c. El momento de inercia de una superficie respecto a una recta.
d. Las coordenadas del centro de gravedad de un trozo de superficie.
1.12.1 Área de una superficie
En el caso particular de que el vector F
coincida con el vector unitario n
, normal a la
superficie S en cada punto, tendremos:
SSS
dSº0cosdS1dSn
Área de la superficie o trozo de superficie, S
Como, evidentemente,
G
kfjfifn
zyx
Y
Z
G
dS
3
6
3
6y2x
X
Y, puesto que el recinto R es el
triángulo del plano X0Y comprendido
entre los ejes coordenados y la recta x
+ 2y = 6,
2
dydx3
3
y7x3
R
3
0
y26
0dxy7x3dy
2
1
3
0
2
2
117dyy8y654
2
1
24
G
fcos
G
fcos
G
fcos zyx
Si consideramos la proyección sobre el plano X0Y:
Rz
2z
2y
2x
s Rdydx
f
fff
cos
dydxdSS
Y, fácilmente, se obtienen fórmulas análogas para el caso de considerar las proyecciones
sobre los otros planos coordenados.
Ejemplo:
Hallemos el área lateral de la parte de cono 222 yxz comprendida entre los planos
0z y z = 1.
2dydx2cos
dydxdSS
RRS
Ya que R es un círculo de radio uno.
1.12.2 Momento de Inercia de un Trozo de Superficie respecto a un Plano
Si F
es un vector dirigido según la normal a S, cuyo módulo es la distancia h elevada al
cuadrado de cada punto de S al plano P de ecuación 0DCzByAx , el momento de
inercia, Ip, de S respecto al plano P será igual al flujo de este vector a través de la
superficie considerada.
S
2
S
2p dShdSnhI
R
G
Z
X
Y
2
1cos
2z
ycos
2z
x
z4y4x4
x2cos
kz2jy2ix2G
zyxG
222
222
El coseno de debe ser negativo ya que
este ángulo es mayor de 90º.
25
Y, como la geometría analítica nos dice que
222
2
2
CBA
DCzByAxh
Bastará recordar las expresiones de los cosenos directores del gradiente para plantear la
integral doble correspondiente.
Ejemplo:
Hallemos el momento de inercia de una placa circular plana de radio uno situada en el
plano X0Y
0z
1yx 22
, respecto al plano de ecuación x + y + z = 4.
La distancia de cualquier punto de la superficie al plano, es:
3
4zyxh
2
2
Pasando la integral doble a coordenadas polares y recordando que para ello hay que
sustituir dx dy por r dr d, tendremos:
1
0
22332
0p6
65drr16θsenr8θcos8r-cosθθsenr2rθd
3
1I
En el caso particular y frecuente de los momentos de inercia respecto a los planos
coordenados, tendremos:
R
2zY0XR
2yX0ZR
2xZ0Y
cos
dydxzII
cos
dydxyII
cos
dydxxII
Si estamos considerando la proyección sobre el plano X0Y. Si consideramos otras
proyecciones, fácilmente se pueden obtener fórmulas análogas.
Z
h
G
X
Y
Y los cosenos del gradiente correspondiente
a la superficie considerada (plano X0Y) son:
cos = 0; cos = 0; cos = 1.
R
2
R
2
R
2
S
2p
3
dydx4yx
3
dydx4zyx
hcos
dydxdShI
26
Ejemplo:
Hallemos el momento de inercia de la superficie de la esfera 2222 Rzyx , situada en
el octante positivo, respecto al plano X0Z,
6
RθdθsenR
3
2dr
rR
rθdθsenRI
42/
0
24R
0 22
32/
0
2y
1.12.3 Momento de Inercia de un Trozo de superficie respecto a una Recta
Si queremos el momento de inercia respecto a una recta cualquiera dada en la forma
2222
rqpVkrjqipV
kyypxxqjxxrzzpizzqyyr
rqp
zzyyxx
kji
VAM
000000
000
Y
Z
X
h
R 222
2
R
2
S
2y
yxR
dydxyR
cos
dydxydSyI
Y, pasando a coordenadas polares,
R 22
23
y θddr
rR
θsenrRI
A(x0,y0,z0)
M(x,y,z)
V
h
r
zz
q
yy
p
xx 000
Bastará tener en cuenta que
VhθsenVAMVAM
V
VAMh
27
2000
2
0
2
0
2
0
222
2
00
2
00
2
00
2
zzryyqxxpzzyyxxrqp
yypxxqxxrzzpzzqyyrVAM
Ejemplo:
Hallemos el momento de inercia del primer octante de la esfera 1zyx 222 respecto a
la recta x = y = z.
S
2
S
222r
2222
dsyzz2dSyzxzxyzyx3
2I
yzxzxyzyx3
2h
Dadas las simetrías de la recta y de la esfera. Considerando la proyección sobre el plano
X0Y, nos quedará:
3
2drθsenrr1rθd2dydxyyx12dydxyz2I
1
0
22
R
2/
0
22
Rr
Si queremos el momento de inercia respecto a uno de los ejes coordenados, tendremos:
Y
Z
X
h M
A
Dado A(0,0,0), kzjyixAM
kjiV
kyxjxzizyVAM
111
zyx
kji
VAM
3
yxxzzyh
222
2
h
h
Y
X
Z yxS
22Z0
222 IIdSyxIyxh De forma análoga:
S zx22
Y0
S zy22
X0
IIdSzxI
IIdSzyI
28
Ejemplo:
El momento de inercia del primer octante de la esfera 2222 Rzyx respecto al eje 0Z,
se calculará muy fácilmente teniendo en cuenta el resultado de los ejemplos anteriores y la
simetría de la esfera.
3
R
6
R
6
RIII
444
yxZ0
1.12.4 Coordenadas del Centro de Gravedad de una Superficie
Las fórmulas para las coordenadas del centro de gravedad de un trozo S de superficie se
obtienen fácilmente sin más que tomar momentos respecto a los planos coordenados.
dS
dSzz
dS
dSyy
dS
dSxx CGCGCG
Ejemplo:
Hallemos las coordenadas del centro de gravedad de la superficie lateral del cono 222 yxz comprendida entre los planos z = 0 y z = 1.
0y xsimetríapor Y, 3
2
2
322z
2dydx2dS
3
22drrθd2dydxyx2dSz
2
1
zyx
zcoskz2jy2ix2GzyxG
cGCGCG
RS
1
0
22
0R
22
S
222
222
1.13 Estudio del Caso Particular de una Superficie Dada en Forma Paramétrica
Es frecuente el caso de una superficie dada por las tres ecuaciones x = x(u,v); y = y(u,v);
z = z(u,v). Evidentemente, si eliminamos entre las tres ecuaciones los dos parámetros u y
v, llegaremos a la forma anteriormente considerada f(x,y,z) = 0. Pero unas veces esta
eliminación resulta difícil y otras veces los parámetros tiene una significación física que es
interesante conservar.
29
Para el cálculo de áreas, momentos de inercia y centros de gravedad, lo importante será
determinar dS en función de los parámetros. Si suponemos la superficie dada en la forma
z = f(x,y), tendremos:
dydxzz1dSzz1
1cos
kjzizkjfifGzy,xfG
2
y
2
x2
y
2
x
yxyx
Ahora bien,
dx
dzzx con y constante
Luego
uvvu
uvvu
vu
vu
v
u
vu
vu
vu
yxyx
yzyz
dvxdux
dvzduz
dx
dz;
y
y
du
dv
dvzduzdz
dvyduy0
dvxduxdx
Del mismo modo, suponiendo ahora x constante
uvvu
uvvu
vu
vu
v
u
vu
vu
vu
xyxy
xzxz
dvyduy
dvzduz
dy
dz;
x
x
du
dv
dvzduzdz
dvyduydy
dvxdux0
Además, sabemos que para hacer el cambio de variables en una integral doble es necesario
sustituir dx dy por el producto del Jacobiano de x e y respecto a u y v. Es decir,
dvduyxyxdvduyy
xxdydx uvvu
vu
vu
Con todo ello:
dvduFEGdvduzzyyxxzyxzyxdS
dvduxzxzyzyzyxyxdS
22
vuvuvu
2
v
2
v
2
v
2
u
2
u
2
u
2
uvvu
2
uvvu
2
uvvu
Donde E es el módulo del vector kzjyixt uuu1
, G es el módulo de
kzjyixt vvv2
y F es el producto escalar de los dos vectores 1t y 2t .
30
Esta expresión se puede deducir también de un modo más intuitivo, considerando el
cuadrilátero curvilíneo construido sobre los elementos diferenciales de las curvas de u
constante y v constante.
dvGdvzyxdvtdl
duEduzyxdutdl
2
v
2
v
2
vvv
2
u
2
u
2
uuu
Y el ángulo que forman:
EG
F
zyxzyx
zzyyxx
tt
ttθcos
2
v
2
v
2
v
2
u
2
u
2
u
vuvuvu
vu
vu
Si las líneas son ortogonales (cos = 0), evidentemente tendremos:
222
v
2
u
2 dvGduEdldldl
Finalmente, para el elemento de superficie:
dvduFGEGE
FEGdvGduEθsendldldS 2
2
vu
Ejemplo 1:
Dada la superficie x = sen u; y = cos U; z = v, hallemos la longitud del arco de curva
vu comprendido entre los puntos correspondientes a u = 1; u = 2.
dvdlkt
dudljsenuiucost
vv
uu
Y, como las líneas son ortogonales: 2
12du2
v = constante
u = constante
dl dl1
dl2
Si consideramos las curvas de u = constante y las
curvas de v = constante, obtendremos una red de
líneas situadas sobre la superficie, cuyas
intersecciones determinan los puntos de la misma.
Los vectores tangentes a estas curvas serán
kzjyixt uuuu
kzjyixt vvvv
Y los diferenciales de longitud, correspondientes,
son:
31
Ejemplo 2:
Hállese el área de la parte de superficie x = u sen v; y = u cos v; z = u, comprendida entre
los planos z = 2 y z = 8.
260duu2dvdvduu2S
0vcosvsenuvcosvsenuttF
uvsenuvcosuGjvsenuivcosut
21vcosvsenEkjvcosivsent
8
2
2
0
21
222222
221
Ejemplo3:
Hállese el plano tangente y la recta normal a la superficie vuz;uvy;vux 22 , en
el punto de u = 1 y v = 2.
kji4tkj2i2t
1z1uy4v2x1z2vy2u2x
3z2y5x
21
v0v0vu0u0u
000
000000
Un vector paralelo al gradiente, será:
k6j2i
114
122
kji
tt 21
Y, según los criterios establecidos en el párrafo 1.4, las ecuaciones del plano tangente y de
la recta normal, son, respectivamente:
6
3z
2
2y
1
5x03z62y25x
Ejemplo 4:
Hállese el flujo del vector kxzjyixzF 2
a través de la superficie del cilindro
vz;useny;ucosx , (0 v 2).
32
juseniucos
100
0ucosusen
kji
tt
dScosxzcosycosxz
dvdudS0F1G1Ektjucosiusent
21
S
2
21
R
2
0
2
0
3232 2dvusenucosvdudvduusenucosv
0cosusencosucoscos
Ejemplo 5:
Hállese el momento de inercia, respecto al eje 0Z, de la parte de superficie x = v sen u;
y = v cos u; z = v, correspondiente a 0 v 3.
S
3
0
22
0R
222Z0
21
2vuv
21uuu
218dvvdu2dvduv2dSyxI
dvduv2dS0Fucosusenvusenucosvtt
2Gkjucosiusent1zucosyusenx
vEjusenviucosvt0zusenvyucosvx
Ejemplo 6:
Hallemos el centro de gravedad de la parte de superficie x = u + v; y = u – v; z = 6 – 2u,
correspondiente a 0 u 1; 0 v 2.
5;2
1;
2
3CG
1210dvu2612dudSz
12dvvu12dudSy
123dvvu12dudSx
122dv12duSdvdu12dS0ttF
2Gjit0z1y1x
6Ek2jit2z1y1x
2
0
1
0
2
0
1
0
2
0
1
0
2
0
1
021
2vvv
1uuu
1.14 Fórmula de Rieman o de Green
33
tendremos que,
b
a 2R
yX
yX
b
a 1b
adyy,yXYdyy,yXYdxy,xfdydydxy,xf
2
1
Y, cambiando en la segunda integral el signo e invirtiendo a la vez los límites, se obtiene la
suma de dos integrales que en total es una integral curvilínea recorrida en sentido contrario
a las agujas del reloj, es decir, en sentido matemático positivo.
Rdyy,xYdydx
x
Y
suma de las dos integrales una integral curvilínea recorrida esta vez en sentido negativo, es
decir,
Rdxy,xXdydx
y
X
Y, sumando los dos resultados obtenidos aparece la fórmula de Rieman o de Green:
Rdydx
y
X
x
Ydyy,xYdxy,xX
Ejemplo:
X
Y
R
c d
Y2(x)
Y1(x)
X
Y
a
b
X2(y) X1(y)
R
Consideremos un campo vectorial
bidimensional jy,xYiy,xXF
y una
curva cerrada, plana, , sin puntos múltiples.
Supongamos además continuas y derivables las
componentes X e Y del campo.
Sea f(x,y) una función tal que x
Yy,xf
,
Sea, ahora, g(x,y) una función tal que se tenga
y
Xy,xg
. De modo análogo, se obtiene
R
yY
yY
d
c
2
1
dyy,xgdxdydxy,xg
d
c 1d
c 2 dxxY,xXdxxY,xX
Cambiando, como antes, el signo y los límites en
la segunda integral se obtiene también para la
34
Calculemos la circulación del campo vectorial jyx4iyeF x
a lo largo del
contorno ABC de la figura.
círculo, es decir 2/3 y el área del triangulo 0AC es 23 . Por lo tanto, finalmente,
2
3
3
23C
Interpretándola al revés, la fórmula de Rieman nos puede dar un camino cómodo para
calcular el área de una figura limitada por una curva dada en forma paramétrica. En efecto:
Áreadydx112
1dxydyx
2
1
Ejemplo 1:
Hallemos el área limitada por el eje 0X y un arco de cicloide.
Ejemplo2:
Hallemos el área encerrada entre los ejes coordenados y un cuarto de elipse.
En coordenadas paramétricas, la elipse puede expresarse como:
sentbytcosax
Y
X A B
C
4yx 22
0
1ABA0
De acuerdo con la fórmula de Rieman
dydx14dyyx4dxyeC x
= tres veces el área ABC.
Ahora bien, 1/2 θcos;1A0;2C0 , luego
= 60º y por lo tanto el área del sector
circular 0AB será la sexta parte del área del
0 M
Y
X
x = a (t - sen t)
y = a (1 - cos t)
22
0
2
22
0
2
MM
adttcos22tsent2
a
dttcos1dttsentsent2
aA
2t1tcos0y
35
Por lo tanto,
2/
0 4
badt
2
badtsentasentbdttcosbtcosa
2
1S
1.15 Teorema de Stokes
Intentemos, ahora, generalizar a tres dimensiones la fórmula de Rieman o Green que se
acaba de deducir.
Sea la integral curvilínea dzz,y,xZdyz,y,xYdxz,y,xXIC
a lo largo de una
curva cerrada C que se proyecta sobre el plano X0Y según otra curva C´ sin puntos
´C RCdydx
y
Z
z
X
y
Xdxy,xz,y,xXdxz,y,xX
Ahora bien,
2
y
2
x
2
y
2
x
y
yx
zz1
1cos
zz1
zcoskjzizGzy,xzG
Por lo tanto,
cos
coszy , y, además, cosdSdydx . Sustituyendo estas expresiones en
la integral doble obtenida, se tiene,
S SCdScos
y
Xcos
z
XcosdS
cos
cos
z
X
y
Xdxz,y,xX
X
Z
Y
C´ R
S
C
múltiples.
Consideremos, ahora, un trozo
cualquiera se superficie uniforme S que
contenga a S y se proyecte sobre el
plano X0Y por completo dentro del
recinto R interior a C´.
Si z = z(x,y) es la ecuación de esta
superficie, aplicando la fórmula de
Rieman, tendremos:
36
Considerando, de forma análoga, las proyecciones sobre los otros planos coordenados,
obtenemos:
dScosz
Ycos
x
Ydyz,y,xY
SC
dScosx
Zcos
y
Zdzz,y,xZ
SC
Y, sumando las tres igualdades:
dScosy
X
x
Ycos
x
Z
z
Xcos
z
Y
y
Z
dzz,y,xZdyz,y,xYdxz,y,xX
S
C
O, en lenguaje vectorial,
SC
dSFRotdlF
Que se puede enunciar verbalmente del siguiente modo:
“Si las componentes de un campo vectorial F
son continuas y derivables, la circulación de
F
a lo largo de una curva cerrada C es igual al flujo del rotacional de F
a través de un
casquete cualquiera de superficie S, cuyo contorno sea la curva C”.
Dado que, si F
es un campo conservativo, su rotacional es nulo, esta expresión confirma
que la circulación de un campo conservativo a lo largo de una curva cerrada es nula.
Por otra parte, haciendo nulas, tanto la componente Z de F
, como las derivadas de las otras
dos componentes respecto a z, obtenemos de nuevo la fórmula de Rieman.
Ejemplo:
Hallemos la circulación del campo vectorial kyx2yxjzxx3ixyz2F 22
a lo
largo de la circunferencia intersección de la esfera 2222 Rzyx con el plano
2Rzyx .
37
Y, aplicando el teorema de Stokes, sabemos que la circulación es igual a
S
dScos3cos2cos
Donde S es la parte de plano ocupada por la circunferencia
31coscoscoskjiGzyxG
S32dS32CS
Ahora bien, 12
R11
12
RRhRrS
222222
, por lo tanto,
6
3R11C
2 .
1.16 Teorema de Gauss o de Ostrogradski
Si hacemos ahora dx dy = dS cos y cambiamos el sentido de la normal en la segunda
integral de modo que quede siempre hacia fuera de la superficie, esta segunda integral
cambiará de signo, y por lo tanto,
S Vdzdydx
z
ZdScosZ
h
R
r
k3j2i
yx2yxzxx3xyz2
zyx
kji
FRot
22
N
z2(x,y)
N
z1(x,y)
X
Z
Y
V
Sea kz,y,xZjz,y,xYiz,y,xXF
cuyas
componentes suponemos continuas y derivables. Y
sea V un recinto cerrado limitado por una
superficie S. Así,
12
2
1
S 1S 2
z
zRV
dxdyy,xz,y,xZdxdyy,xz,y,xZ
dzz
Zdydxdzdydx
z
Z
38
Y, como fórmulas análogas se pueden obtener para X e Y
S Vdzdydx
z
Z
y
Y
x
XdScosZcosYcosX
O, también:
VS
dzdydxFdivdSF
Que se puede enunciar diciendo: “El flujo de un campo vectorial F
de componentes
continuas y derivables a través de la cara exterior de una superficie cerrada S, es igual a la
integral triple de la divergencia del campo F
en el recinto limitado por la superficie S”.
Ejemplo:
Hallemos el flujo del campo vectorial kz6jzyeizyx3eF 3xcos3seny
a
Si la divergencia es idénticamente nula, es decir, si el campo es solenoidal, el flujo que
atraviesa cualquier superficie cerrada es nulo. Esto no quiere decir que el flujo que
atraviesa una parte de la superficie es nulo, sino que, en el flujo total, los flujos entrante y
saliente se compensan.
X
Y
Z
5
6
4
través de la cara exterior del tetraedro
formado por los planos x = 0; y = 0;
z = 0; 3x + 2y +4z = 12.
Aplicando el teorema de Gauss:
1203646
110
V10dzdydx613V
39
Total es nulo, cualquier sección transversal del tubo será atravesada por el mismo flujo.
Por esta razón, a los campos solenoidales se les llama también campos de flujo
conservativos. En mecánica de los fluidos, cuando el campo vectorial es un campo de
velocidades, la ecuación que representa la condición antecedente se conoce como ecuación
de continuidad.
1.17 El campo Newtoniano
Se designa por campo newtoniano el producido por una masa atractiva o repulsiva
colocada en un punto fijo P, cuyo módulo en cada punto M del espacio es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia entre P y M.
campo es repulsivo y negativa si es atractivo.
El campo newtoniano es conservativo, ya que si tenemos en cuenta que
r
z
z
r
r
y
y
r
r
x
x
r
se deduce fácilmente que
Supongamos ahora que, dado un campo
solenoidal, construimos un tubo de líneas de
campo, es decir un cilindroide cuya
superficie lateral es, en cada punto, tangente
al vector campo. El flujo que sale a través de
uno de estos tubos es debido, solamente, al
que atraviesa las bases del mismo, ya que el
vector normal a la superficie lateral es
también normal al vector campo. Como por
hipótesis, al ser el campo solenoidal, el flujo
Z
X Y
z
P
M
r
F
Si suponemos el origen de coordenadas
en P y hacemos 2222 zyxr , se
tendrá que
kzjyix3r
h
kcosjcosicosr
hF
2
Donde h es una constante positiva si el
40
553
553
553
r
hyz3
y
Z
r
hxz3
x
Z
r
hzZ
r
hyz3
z
Y
r
hxy3
x
Y
r
hyY
r
hxz3
z
X
r
hxy3
y
X
r
hxX
Con lo cual 0FRot
.
El potencial de un campo newtoniano, V, se calcula fácilmente:
Kr
hV0zgzg
r
hz
r
hzVZ;zg
r
hVzgz,yf
0z,yfz,yfr
hy
r
hyVY;z,yf
r
hV
r
hx
x
V
33z
yy33y3
Y, si convenimos en que el potencial en el infinito es nulo, tenemos, finalmente:
r
hV
Por lo tanto la circulación entre los puntos A y B, independientemente del camino elegido,
es:
BA
ABr
h
r
hC
De la misma forma, la circulación a lo largo de una curva cerrada será igual a cero,
siempre y cuando se excluya el origen de coordenadas, en el cual las componentes del
campo vectorial no son continuas. Es decir, que para afirmar que el campo es conservativo
el camino recorrido no debe rodear los puntos en los que existen masas.
La divergencia de un campo newtoniano es nula. En efecto:
0
r
z3y3x3r3h
z
Z
y
Y
x
XFdiv
r
z3rh
z
Z
r
hzZ
r
y3rh
y
Y
r
hyY
r
x3rh
x
X
r
hxX
5
2222
5
22
35
22
35
22
3
41
En consecuencia, “En ausencia de masas el flujo del campo newtoniano a través de
cualquier superficie cerrada es nulo”.
Ahora bien, si trazamos una esfera de radio R y centro en el punto P donde está colocada la
masa, r será constante a lo largo de ella y el vector campo estará siempre dirigido según la
normal a la esfera. El flujo a través de la cara exterior de la esfera será, por lo tanto,
h4SR
hdS
r
h22
Con h positiva para el campo repulsivo y negativa para el campo atractivo. Puesto que en
ausencia de masas el flujo a través de una superficie cerrada es nulo, el mismo flujo
atravesará la superficie esférica que otra superficie cualquiera que rodee la esfera, y por
otra parte, como el producto escalar tiene la propiedad distributiva, el flujo creado por
varias masas será la suma de los flujos creados por cada una de ellas. Si hacemos h = f m,
donde f es constante y m es la masa, el flujo total será:
mf4
1.18 Interpretación Física de la Divergencia
Supongamos que la divergencia de un campo vectorial F
es positiva en un punto de
coordenadas x, y, z. Rodeemos este punto de una esfera lo suficientemente pequeña para
que la divergencia sea positiva en toda ella, cosa posible si las derivadas de las
componentes del campo son continuas. La integral triple de esta divergencia en el recinto
limitado por la esfera es por lo tanto positiva y, como consecuencia del teorema de Gauss,
también será positivo el flujo a través de la cara exterior de la pequeña esfera. Esta
consideración justifica el que a los puntos cuya divergencia es positiva se les llame “puntos
surgentes” o “manantiales”. Análogamente, cuando la divergencia es negativa, el punto
recibe el nombre de “punto sumente” o “sumidero”.
Ahora bien, si aplicamos el teorema de la media a la integral triple que figura en uno de los
miembros del teorema de Gauss, tendremos,
S
dSFvolumenFdiv
Donde la divergencia está particularizada para un cierto punto interior al recinto
considerado. Y si hacemos tender a cero el volumen de este recinto,
volumen
dSF
LimFdivS
0vol
42
La divergencia en un punto es el flujo emanado, o absorbido, por unidad de volumen en un
entorno infinitesimal del punto considerado.
1.19 Interpretación Física del Rotacional
Sea el producto vectorial
kYjZ
001
ZYX
kji
iF
Para la divergencia, tendremos que:
z
Y
y
ZiFdiv
Primera componente de FRot
.
Si aplicamos lo dicho en el párrafo anterior y tenemos en cuenta que
kcosYcosXjcosXcosZicosZcosYdS
coscoscos
ZYX
kji
dSdSF
Tendremos:
43
FRotdecomponenteª1vol
1Lim
dScosYcosZvol
1LimdSkcosjcosicoskYjZ
vol
1Lim
dSiFvol
1LimFRotdecomponenteª1iFdiv
0vol
0vol0vol
0vol
Y, como lo mismo se puede decir de las otras componentes,
dSFvol
1LimFRot
0vol
Fórmula análoga a la obtenida para la divergencia, en la que en vez del producto escalar de
F
y dS , figura el producto vectorial.
1.20 Problemas Resueltos
1. Dado el campo escalar z2y5x3z,y,xf hallar, en el punto M(2,2,1), la derivada
en la dirección de la seminormal a la esfera 9zyx 222 dirigida hacia el exterior de la
misma.
Solución:
3
2
3
12
3
25
3
23cosfcosfcosf
G
fzyx
2. En el punto O(0,0) la derivada del campo escalar plano, G = G(x,y) en la dirección de la
recta x3
4y es igual a 10, mientras que la derivada en la dirección de x
4
3y es igual a
5. Hallar el valor de la derivada en la dirección de la recta x125y .
Z
X
Y
G
cosenos. los de valoreslos para
positivo signo el tomar hace nos seminormal
la dedirección la de acerca indicación La
3
1
R
zcos
3
2
R
ycos
3
2
R
x
zyx
xcos
kz2jy2ix2GzyxG
222
222
44
Solución:
13
79
13
511
13
122
Vd
dG
13
5cos
13
12cosj5i12V
5
y
12
xx
12
5y
11G
2G
55
3G
5
4G
Vd
dG
105
4G
5
3G
Vd
dG
5
3cos
5
4cosj3i4V
3
y
4
xx
4
3y
5
4cos
5
3cosj4i3V
4
y
3
xx
3
4y
y
x
yx
2
yx
1
222
111
3. Dado el campo escalar 222 xcybyzaxzU y el punto A(1,-1,1), hallar los valores de
a, b y c, para que la derivada direccional de U en el punto A tenga un máximo de magnitud
32 en la dirección de la recta x = y = z.
Solución:
kba2jc2bic2aU
ba2Ubyaxz2U
c2bUcyx2bzU
c2aUxcy2azU
A
A
A
yz
y
2
y
x
22
x
Este gradiente debe ser paralelo a la recta dada, es decir, debe ser paralelo al vector
kji
, por lo tanto,
0cba1
ba2
1
c2b
1
c2a
Además, la derivada direccional debe ser igual al módulo del gradiente, por lo tanto,
0c2ba32ba2c2bc2a2222
45
4. Hallar la derivada de z4xy2z3y2xf 222 , en el punto A(1,2,3), en la dirección
de la tangente a la curva intersección de las superficies 4z4xy2zyx 222
11yzxzxy .
Solución:
k3j4i5U3U4U5U
yxUzxUzyUyzxzxyU
2222
2Y222
AXAXAX
ZX
El producto vectorial de los dos gradientes será paralelo a la tangente:
k18j4i14
345
222
kji
UUV 21
134
104
134
91421076
Vd
df
14f4z6f10fx2y4f6fy2x2f
134
9cos
134
2cos
134
7cos
AAA xzyyxx
5. Dados los campos escalares planos xy3y2xUyxyyxU 22
2
22
1
y el punto A(1,1), hallar la dirección en la que los dos campos tienen, en A, la misma
derivada direccional.
Solución:
1Ux3y4U1Uy3x2U
4U1xy2U3Uyx2U
AXYAXX
AXYAXX
12112
1111
2U
1U
21 UU
k2j2i2U
2U4z2U
2Ux2y2U
2Uy2x2U
z4xy2zyxU
1
11
11
11
222
1
AZZ
AYY
AXX
46
x3
4- y es recta la dedirección la tanto,lopor Y,
3
4tg
cossensensenVd
dUcos4sen3sen4sen3
Vd
dU 21
Además, como 5
3cos
5
4sen
, el valor común de la derivada resulta ser:
5
7
5
3
5
4
Vd
dU
Vd
dU 21
6. Dados dos campos escalares planos y,xfU;yxln2
1U 2
22
1 , hallar la función
f(x,y) para que, si 21 VyV
son dos vectores perpendiculares cualesquiera, se tenga
1
2
2
1
2
2
1
1
Vd
dU
Vd
dU
Vd
dU
Vd
dU
Solución:
cosyx
ysen
yx
x
Vd
dU;sen
yx
ycos
yx
x
Vd
dU
yx
yU;
yx
xU
2222
2
1
2222
1
1
221221 YX
cosfsenfVd
dU;senfcosf
Vd
dUyx
2
2yx
1
2
senfcosfcosyx
ysen
yx
x
cosfsenfsenyx
ycos
yx
x
yx2222
yx2222
Como estas igualdades deben verificarse cualquiera que sea , se debe cumplir:
22y22xyx
xfsen
yx
yf
De la primera se deduce ygx
ytgarcy,xf . Y, de la segunda, derivando respecto a y,
se obtiene g´(y) = 0, por lo tanto,
47
Constantex
ytgarcy,xf
7. Hallar un campo escalar plano,
x
yxfG
22
, tal que, en todos los círculos de centro
el origen, el módulo del gradiente sea constante y además se cumpla que G(1,1) = - 1;
G´x(1,0) = 2.
Solución:
Sea x
yxu
22 , por lo tanto, )u(fG;
x
y2u;
x
yxu y2
22
x
. Y el gradiente es:
)u(fx
yxGj
x
y2)u(fi
x
yx)u(fG
2
22
2
22
Pasando a coordenadas polares:
2cos
)u(fG
Para que esta expresión sea constante en todos los círculos de centro en el oridgen, su
derivada respecto a debe ser nula. Ahora bien,
2
22
cos
senru
cos
r
x
yxu
Derivando el módulo del gradiente e igualando a cero:
Bu
A)u(f
u
A)u(f
u
2
)u(f
)u(f
0)u(f2)u(fu0cos)u(f2)u(fr
0)u(fsencos2coscos
senr)u(f
2
2
2
Por otra parte, 2
22
22 x
yx
u
A
x
u
u
A)x(G
. Y, para x = 1; y = 0; u = 1; G´x = A = 2.
Además, para x = 1; y = 1; u = 2; 0BB2
A1 . Finalmente,
22 yx
x2
u
2)y,x(G
48
8. Dado el campo vectorial kz4
1jyxixF
, hallar la línea de campo que pasa por
el punto P(1,3,0).
Solución:
x2yxB1Bxx2y
x
v21
1Blnxlnv21ln
2
1
x
dx
v21
dv
v21xdx
dvv1vxv
dx
dyvxy;
x
y1
dx
dy
yx
dy
x
dx
AexAlnz2xlndzz4x
dx
:homogénea otra ay separadas variablesde ldiferenciaecuación una a conduce que Lo
z41
dz
yx
dy
x
dx
2
z22 2
Así, las ecuaciones generales de las líneas de campo, son:
x2yCx1
Aex2z2
Y, la que pasa
por el punto P(1,3,0):
x2yx1
ex2z2
.
9. Dado el campo vectorial kzyx2jxz2yxiyz2yxF 2222
, hallar las
ecuaciones generales de las líneas de campo.
Solución:
Bzyx
Azyx:son ecuaciones Las
Blnzlnyxlnz
dz
yx
ydy2xdx20dzyxdyyz2dxxz2
Azyx0dzdydx
0
dzyxdyyz2dxxz2
0
dzdydx
yxz2
dz
xz2yx
dy
yz2yx
dx
22
22
22
22
22
2222
49
10. ¿Cuál debe ser el valor de las constantes a y b para que las superficies
0xz3zyx 222 0y2b3bzax 22 sean ortogonales en el punto A(1,-1,1).
Solución:
Si las superficies son ortogonales, los gradientes deben ser perpendiculares y, por lo tanto,
su producto escalar debe ser nulo.
02b2a0b2)2b3(2a2UU
kj2iUA punto elEn k)x3z2(jy2i)z3x2(U
kb2j)2b3(ia2UA punto elEn kbz2j)2b3(iax2U
21
22
11
Además, el punto A debe pertenecer a ambas superficies, luego:
02b4a02b3ba
Finalmente, de las dos ecuaciones se deduce que:
32b32a
11. Hallar la circulación del campo vectorial j)yx(i)xy(F
a lo largo de la curva
(astroide), 4yx 3/23/2 .
Solución:
tsen8ytsen4ytcos8xtcos4x 323/2323/2
Sustituyendo:
2
0
524542
2332
0
233
dttcostsentsentcossenttcostsentcos192
dttcostsen24tsen8tcos8dtsenttcos24tcos8tsen8C
X
Y Según lo establecido anteriormente, la
circulación está dada por la integral curvilínea
dy)yx(dx)xy(C
El problema que se presenta es colocar la
expresión subintegral en función de un solo
parámetro. La aparición de una suma de
cuadrados en la ecuación de la curva sugiere la
idea de utilizar funciones trigonométricas:
50
2
0
2
0
2222
0
222
0
66
48dtt4cos124C
dtt2sen48dttcostsentcostsen192tsen6
1tcos
6
1192
12. Hallar la circulación del campo vectorial kxyzjxyixF 2
a lo largo del
recorrido de la figura.
Solución:
Para el trozo BC: x = 0; y = 6 – 2z CBC = 0
Para el trozo CD: z = 1; y = 4 – 2x 2
0
2CD 38dxx24x2dxxC
En total: C = 319
13. Hallar la circulación del campo vectorial kzxjzyiy3xF
desde
A(2,0,0) hasta B(0,2,2) a lo largo de la curva intersección del cilindro 4yx 22 con el
plano 2zy2x .
Z
Y
X
z = 1
2x+y+2z =6
A
B
C
D
En general:
dzxyzdyxydxxC 2
Para el trozo AB, tenemos que
z = 0; y = 6 – 2x,
9C
dx2x26xdxxC
AB
3
0
2AB
51
42dtsent4tcos12tcos4tsen4tcossent24C
dttcos4sent22sent4tcos2tcos2sent22sentsent6tcos22C
2/
0
22
2/
0
14. Dado el campo vectorial jyx3ixy2x10F 2234
,
a. Comprobar que el campo es conservativo.
b. Encontrar la función potencial.
c. Hallar la circulación desde (0,0) hasta (2,1) a lo largo de la curva 234 y4xy6x .
Solución:
22234 xy6x
Y
y
Xyx3Yxy2x10X
Luego el campo es conservativo.
Kx2yxGKx2xf
x10xfxfxy2xy2x10Gxfyxdyyx3G
5325
4334
x
3222
Como el campo es conservativo, se puede prescindir de la trayectoria y tener en cuenta
solamente el punto inicial y el final.
60K644KKx2yxC)0,0(
)1,2(532
También se puede sustituir la complicada curva dada, por otra trayectoria más sencilla,
formada por la recta y = 0, desde O(0,0) hasta A(2,0) y la recta x = 2 desde A hasta B(2,1).
604dyy12C64dxx10C
dyyx36dxxy2x10C
2
0
1
0
2AB
4A0
2234
Ctotal en Y,
X
Z
Y
B
A
Solución:
dzzxdyzydxy3xC
Hagamos sent2y;tcos2x con lo
cual 2sent4tcos2z . Por otra
parte, al punto A le corresponde t = 0 y al
B t = /2. Por lo tanto
52
15. Dado el campo vectorial k2axzj4senxbyizxcosyF 232
,
a. Hallar los valores de a y de b para que el campo sea conservativo.
b. Encontrar, con estos valores, la función potencial.
c. Hallar el valor de la circulación desde O(0,0,0) hasta M(1,2,-1) a lo largo de la
curva
0xyzxzxy
y3zyx 222
Solución:
Si el campo es conservativo, el rotacional debe ser nulo, por lo tanto:
0jxcosy2xcosbyjazz3
2axz4senxbyzxcosy
zyx
kji
FRot 22
232
Y, de aquí, a = 3; b = 2.
Kz2y4xzsenxyG
Kz2)z(g2)z(g2xz3Z)z(gxz3G
)z(gy4xzsenxyG
)z(gy4)z,y(f4)z,y(f4ysenx2Y)z,y(fysenx2G
)z,y(fxzsenxyGzxcosyXG
32
22
z
32
yyy
3232
x
Para la circulación podemos no considerar la trayectoria dada y calcular directamente,
634,7111sen4K2811sen4KC
Otra posibilidad es hacer el recorrido O(0,0,0) A(1,0,0) B(1,2,0) M(1,2,-1)
dz2xz3dy4ysenx2dxzzcosyC 232
634,7111sen4381sen40C3dz2z3C2y
1xBM
81sen4dy41seny2C0z
1xAB0C
0z
0yOA
1
0
23
2
021
16. Dado el campo vectorial plano jyx
xi
yx
yF
2222
, hallar su circulación a lo
largo de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a la unidad, 1yx 22 .
53
Solución:
222
22
22222
22
22yx
xy
x
Y
yx
xY;
yx
xy
y
X
yx
yX
Al ser las derivadas cruzadas iguales y la curva a lo largo de la cual se quiere calcular la
circulación, una curva cerrada, parece que la circulación debería ser nula. Pero es preciso
tener en cuenta que existe un punto, el O(0,0), en el cual las componentes X e Y son
discontinuas y por lo tanto no es posible asegurar nada y es necesario hacer el cálculo
directamente.
22 yx
dyxdxyC
Y, haciendo x = cos t; y = sen t, queda:
2
0
22 2dttcostsenC , que es diferente de cero.
17. Siendo 2222 zyxr , hallar las laplacianas de rn, ln r, y 1/r.
Solución:
224n3n2nn
2
2
2n1nn
3
22
2
2
x2nrnrx
rr2nnxnrr
x
nxrx
rrnr
xr
xr
x
r
r
x
x
r
Por simetría 224nn
2
2224nn
2
2
z2nrnrrz
x2nrnrry
Y, sumando, 2nn r1nnr
De la misma manera:
4
22
2
2
4
22
2
2
4
22
2
2
2 r
z2rrln
zr
y2rrln
yr
x2rrln
xr
x
r
x
r
1rln
x
2r
1rln
Finalmente:
54
0r
1
r
rz3
r
1
zr
ry3
r
1
yr
rx3
r
1
xr
x
r
x
r
1
r
1
x 5
22
2
2
5
22
2
2
5
22
2
2
32
18. Si kzjyixr
, y además, W
es un vector constante, hallar el rotacional del
producto vectorial rW
.
Solución:
kWxWyjWzWxiWyWz
zyx
WWW
kji
rWF yxxzzyzyx
W2kWWjWWiWWFRot
WxWyWzWxWyWz
zyx
kji
FRot
zzyyxx
yxxzzy
19. Hallar el flujo del campo vectorial kyz2jx2iyxF 2
sobre la parte de plano
2x + y +2z = 6 comprendida en el triedro positivo.
Solución:
X
Z
Y
A
B O
Aplicando la definición:
dScosyz2cosx2cosyx 2
dS3
yz4x2y2x2
3
2cos
3
1cos
3
2cos
k2ji2Uz2yx2U
2
Y, considerando la proyección sobre el plano X0Y,
3
0
32
x236
0
3
0
2
81dxx4x36x108108
dyxy2y6dx
32
dydx
3
yx26y2y2
55
20. Dado el campo vectorial kzyxjyxzixyxF 3332323
, hallar el flujo
del gradiente de la divergencia de F
sobre el trapecio ABCD situado en el plano
12z6y3x2 limitado por el plano z = 1.
Solución:
21. Hallar el flujo del campo vectorial kyxF 22
sobre la superficie lateral del cono
3z0yx3z 222 .
Solución:
X
Y
A
B
0 3
6 2x + y = 6
Y
B
C
Z
D
A
X
0
6 A X
3
0
1
C´
Z
x + 3z = 6
Proyectando sobre el plano X0Z,
1
0
2
1
0
z36
0
94dzz6z48120
dx8z8x4dzdzdx8z8x4
73
dzdx
7
z36z12x424x16
dS7
z36y6x16
7
6cos
7
3cos
7
2cos
k6j3i2Uz6y3x2U
dScosz6cosy2cosx8
kz6jy2ix8Fdiv
z3yx4z3xyx3Fdiv 2222222
56
22. Hallar el flujo del campo vectorial kzjyixF
sobre la parte de esfera 2222 Rzyx situada en el triedro positivo.
Solución:
dScoszcosycosx
kz2jy2ix2UzyxU 222
23. Hallar el área de la parte de cono 222 yxz que se proyecta sobre el plano X0Y
dentro del círculo 0x2yx 22 .
Solución:
X
Y
Z dydxyxdScosyx 2222
El recinto de integración es un círculo de radio 3 , luego,
pasando a polares,
3
0
32
0
2
2
9drrdddrrr
Y
Z
X
0
2
RSRdSRdS
R
zyx
R
zcos
R
ycos
R
x
z4y4x4
x2cos
3222
222
57
24. Hallar el área de la parte de paraboloide 22 yxz comprendida entre los planos z = 0;
z = 2.
Solución:
Y, pasando a coordenadas polares,
2
0
22
0 3
13drr41rdS
25. Hallar el momento de inercia de la superficie de un octante de la esfera 2222 Rzyx , respecto al plano X0Z.
Solución:
Y
X
Z
2círculo del área2dydx2S
z2
z
z4y4x4
z2cos
kz2jy2ix2UzyxU
cos
dydxdSS
2222
222
Z
Y
X
dydxy4x41S
y4x41
1coskjy2ix2U
zyxUdsS
22
22
22
58
Ahora bien, si W es el peso, 2
2
gR
W2pp
2
R
g
W
y sustituyendo,
g3
WRI
2
.
26. Hallar el momento de inercia de la parte de plano x + 2y + z = 1 comprendida en el
triedro positivo, respecto a la recta x + z = 0.
Solución:
2
zxy2
2
yzxyh
222222
. Por otra parte,
1
0
2/)x1(
0
2
2222
2
p96
67dy1y4y6dx
2
p6I
dydxxy2x1y22
p6dydx6
2
zxy2pdShpI
61coskj2iUzy2xU
Ahora bien, 24
W7I
g6
W4p
4
p6
g
W
4
6dydx6dSS
27. Hallar el centro de gravedad de un octante de la esfera 2222 Rzyx .
Solución:
h dS
Y
Z
X
dShpI 2 donde p es la densidad. Y
como h = y, dSypI 2 .
2/
0
R
0
422
222
222
p6
RdrrRrdRpI
dzdxzxRRpdzdxyRpI
R
ycoszyxU
h
A(0,0,0)
B(x,y,z)
V
Recordemos que V
VABh
, en donde
kzjyixAB
y V
es un vector paralelo a la
recta, en este caso kiV
.
Así, kyjzxiyVAB
, y por lo tanto,
59
Por simetría, S
dSzzyx ggg
. La superficie total de la esfera es 4 R
2, por lo tanto,
para un octante, 2
RS
2 .
R
zcoskz2jy2ix2UzyxU 222
, luego,
4
R
4
RRdydxR
Rz
dydxzdSz
32
. Y, finalmente,
2
Rzyx ggg .
28. Hallar las coordenadas del centro de gravedad del paraboliode z2yx 22 limitado
por la relación 0 z 2.
Solución:
Por simetría xg = yg = 0. Además, S
dSzzg
.
1553
21r
3
1ddrr1rdS
ddrr1rSdydx1yxS
1yx
1cosk2jy2ix2Uz2yxU
2
0
2/322
0
2
0
22
0
222
22
22
polares, a cambiando y, ,
2
0
232
0
222222
dr1rrd2
1ddrr1rr
2
1dydx1yx
2
yxdSz
Integrando por partes, se tiene:
08,15525
1525
15532
515532z
5
2510
35
25
5
2542
6
1drr1r
3
21r
3
rd
2
1dSz
g
2/52/3
2
0
2/322/3222
0
29. Hallar el área del toro circular usenvcosRayucosvcosRax
senvRz .
Solución:
60
dSs , y recordemos que en coordenadas paramétricas, dvduttttdS vu
2
v
2
u .
Así,
dvduvcosRaRdvduRvcosRadS
00senusenvucosvcosRaRsenvucossenuvcosRatt
RtkvcosRjsenusenvRiucossenvRt
vcosRatjucosvcosRaisenuvcosRat
22
vu
22
vv
22
uu
Ra4a22RdvvcosRaduRS 22
0
2
0
30. Hallar, por aplicación de la fórmula de Green, la circulación del campo vectorial
jyx4eiy2x2eF xcossenx
a lo largo del recorrido de la figura.
31. Hallar, mediante el teorema de Green, la circulación del campo vectorial
jyx2iyxF 2222
a lo largo del circuito de la figura.
288C
283
32dsen
3
16cos
3
32drsenr2cosr4dC
2/
4/
2
0
222/
4/2
Y
X A B
C
2
1 1
0
Solución:
2dydx24C Área del trozo ABC =
2(Área del sector 0BC – Área del triángulo 0AC)
Ahora bien, cos = ½ luego = 60º y, por lo
tanto el área del sector es igual a (1/6) (4 ).
Además, el área del triángulo es 23 .
Por último, 33
4C
45º
X
Y
0
2 2
(-1,0)
Solución:
dydxy2x4C , integral que es preciso
efectuar en dos partes.
2x2
0
0
1
20
11 38dx4x4dyy2x4dxC
Pasando a coordenadas polares la segunda
integral, se tiene:
61
32. Hallar la circulación del campo vectorial kxzj4yzi2zyF
a lo largo
del recorrido señalado en la figura, haciendo uso del teorema de Stokes.
2
0
2
04dyydxdydxydydx2zdS
2
2zC
33. Hallar la circulación del campo vectorial kxyj4xzi2xzF
a lo largo
de la intersección del plano x + 2y + 2z = 4 con el prisma recto de base x = 0; y = 0; x = 1;
y = 1; y aristas paralelas a 0Z.
1
0
1
0 4
9dxx36dy
2
1
32
dydx
3
z22y2x2dS
3
z22y2x2C
32cos32cos31cosk2j2iUz2y2xU
34. Dado el campo vectorial kxzjyiyxF
, hallar, por aplicación del
teorema de Stokes, la circulación de dicho campo desde A hasta C a lo largo del contorno
ABC.
Y
Z
X
Solución:
kzj)y1(ix2
xy4xz2xz
zyx
kji
FRot
dScoszcos)y1(cosx2C
X
Y
Z y + z = 2
x = 2
Solución:
kj)1z(iy
xz4yz2zy
zyx
kji
FRot
dScoscos1zcosyC
21coscos0coszyU
62
242
84
2
3dydx
2
3dSC
3
2cos
3
1cosk2ji2Uz2yx2U
dScoscosCkj
xzyyx
zyx
kji
FRot
ABCA
ABCA
Ahora bien, como la recta CA tiene por ecuaciones y = 0; z = 4 – x,
4
0
0
4CA 8dz8z3dz)z4z(dzz4dz)xz(dyydx)yx(C
Y, en total, CABC = 24 – 8 = 16
35. Hallar la circulación del campo vectorial jyxisenzez6yx3F 3x2
kx2zcosex
a lo largo de la curva de ecuaciones zy1yx 22 .
Solución:
x2 + y2 = 1 21cos21cosjiUzyU
dScos4C
j4
x2zcoseyxsenzez6yx3
zyx
kji
FRotx3x2
X A
4
Y
B 8
4
C
Z
2x + y + 2z = 8
Solución:
Como el contorno no es cerrado, será
necesario añadir la circulación a lo
largo del segmento CA, aplicar el
teorema de Stokes y restar
posteriormente la circulación añadida.
63
414dydx4
21
dydx
2
4C
2
36. Hallar el flujo del campo vectorial kx3z2jyxzix2yF 2
a través de
la cara exterior de la esfera de centro (1,0,1) y radio igual a 2.
Solución:
Como la divergencia del campo es x3z2z
yxzy
x2yx
Fdiv 2
=
3212 ; por aplicación del teorema de Gauss, se tendrá:
3dzdydx3 veces el volumen de la esfera. Y, ya que el radio de la esfera es 2,
3223
43 3
37. Hallar el flujo del campo vectorial kzjyixzF 4
a través del elipsoide
4z4yx 222 .
38. Hallar el flujo del campo vectorial kzjyixF
a través de la cara externa de la
zona esférica 42zyx222 (1 z 3).
(0,0,1)
(0,0,1) x2 + y2= 4 – 4z2
Solución:
El teorema de Gauss nos da:
5
16
7
1
5
1
7
1
5
128dzzz28
dzz44z7dydxdzz7
dzdydxz5zz
1
1
64
1
1
241
1
4
444
64
933dydx3dScoszcosycosx1
En la cara 3dydx1cos0coscos1z
Y, en total: 3
4039
3
22
39. Hallar el flujo del vector kzjyix2F 222
a través de la superficie formada por rl
plano z = 0, el paraboloide zyx 22 y la esfera 2zyx 222 .
Solución:
La intersección entre las dos superficies corresponde a z = 1. En efecto
1z02zzzyx
2zyx2
22
222
Y, aplicando Gauss:
dzdydxz2y2x4
2z2
z
2
0
1
0
1
0ddrrz2senr2cosr4ddzdydxz2y2x4dz
Solución:
Si cerramos la zona mediante los planos z = 1 y z = 3,
tendremos una superficie cerrada y podemos aplicar el
teorema de Gauss:
3
1
23
1dz2z4dydxdzdzdydx)111(
3
22
En la cara 1cos0coscos3z
X
Y
Z z = 1
x2 + y2 = 2 – z2
x2 + y2 = z
X
Y
65
6
5
dzzzz22dzzz2sencos2zz23
2dz
1
0
232
0
222/32/321
0
40. Hallar el flujo del vector kxzjyixzF 2
a través de la semiesfera
1zyx 222 (z 0).
Solución:
44
z
2
zdzzz
2
z1zsenz1
3
2cosz1
3
1ddz
drzrsenr2cosrddz
dydxxy2zdzdzdydxxy2z
1
0
421
0
3
22/322/322
0
1
0
z1
0
222
0
1
0
1
0
2
Así, en definitiva:
4
Z En la tapa:
1cos0coscos0z
0dSxz
66
1.21 Problemas Propuestos
1. Dado el campo escalar yzy,xG
hallar, en el punto A(1,1,1), la derivada de G en la
dirección de la recta AB , siendo B(3,7,4).
Solución:
14,87
2ln3632
ABd
dG
2. La derivada del campo escalar G = G(x,y), en un punto dado, en la dirección de la recta
0z
x34y es igual a 2, en la dirección del eje 0X es igual a 3 y en la dirección de la recta
2
z
2
y
1
x es igual a 4. Hallar la derivada del campo escalar en la dirección de la recta
2
z
2
y
4
x .
Solución:
42,312
41
Vd
dG
3. Dado el campo escalar 322 xczbyzaxyG , hallar a, b, c para que la derivada de G
en la dirección del eje 0Z, en el punto A(1,2,-1), tenga un máximo de magnitud igual a 64.
Solución:
a = 6 b = 24 c = - 8
4. Averiguar en qué punto M de la curva
0zyx
2zyx 222
la tangente es perpendicular a
la tangente en el punto A(1,0,-1).
Solución:
Hay dos soluciones:
3
1,
3
2,
3
1M
3
1,
3
2,
3
1M
67
5. Hallar la recta tangente y el plano normal a la curva intersección de las superficies 2222 zx;3zyx en el punto A(1,1,1), y la derivada de zxy3yzx2yzxG 3223
en A, en la dirección de la tangente hallada.
Solución:
Recta Tangente: 1
1z
3
1y
2
1x
Plano Normal: 0zy3x2
14
8
Vd
dG
6. Dadas las curvas 323/23/2 xy;2yx , hallar el punto de corte, A, las ecuaciones de
las rectas tangentes y de las rectas normales en A y el ángulo de corte.
Solución:
A(1,1) Rectas Tangentes
01y2x3
02yx Rectas Normales
05y3x2
xy
26
1cos
7. Dado el campo escalar 2zxyarctgG , hallar, en P(1,1,1), la derivada de G en la
dirección de la tangente a la curva
6yz3xz2xy
3zyx 222
.
Solución:
62
3
Vd
dG
8. Dado el campo escalar xy2
xyG
22
, hallar la ecuación de la línea de gradiente que
pasa por el punto A(-1,2).
Solución:
7xxy2y 2
2
9. Dado el campo vectorial kx2yjzx3iy3z2F
, hallar la ecuaciones de
la línea de campo que pasa por el punto A(0,-1,1).
68
Solución:
1z3y2x
2zyx 222
10. Dado el campo escalar G = xy y la elipse 8y4x 22 , hallar el punto A,
perteneciente a la elipse, tal que la derivada de G en A, en la dirección de la normal a la
elipse sea igual a 5 .
Solución:
Hay ocho soluciones posibles:
5
2,
5
241,21,21,21,2
5
2,
5
24
5
2,
5
24
5
2,
5
24
11. Hallar la circulación del vector kyxjz3x2izyxV
desde
2,1,1A hasta B(0,2,0), a lo largo de la intersección de las superficies 4zyx 222 y
xy2z2 .
Solución:
12C
12. Hallar la circulación del vector kxy3jzx2iy2xV
a lo largo de la
curva
0z
1b
y
a
x2
2
2
2
desde A(a,0,0) hasta B(0,b,0).
Solución:
2
aC
2
13. Hallar la circulación del vector kzyxjyxeiyyeV 2222xy2xy
a lo
largo del contorno de la figura, sin emplear el teorema de Stokes.
69
14. Hallar la circulación de jxy3yx6iyxy6V 2232
desde A(1,2) hasta B(3,4) a
lo largo de 01xy2yx 22 .
Solución:
C = 236
15. Dado el campo vectorial k4xcos2yjy
xziylnx2senxz2F
2
,
a. Demostrar que el campo es irrotacional.
b. Hallar la función potencial.
c. El campo, ¿es solenoidal?
Solución:
a. 0ky
x2jsenx2ik
y
x2jsenx2iFRot
b. Kz4zyylnxxcosz2G 2
c. 0y
xylnxcosz2Fdiv
2
2
El campo no es solenoidal.
16. Dado el campo vectorial kbxejy2xcosisenxayV z
,
a. Hallar a y b para que el campo sea conservativo.
b. Hallar la función potencial.
c. Hallar la circulación desde A(1,1,3) hasta B(-3,-1,1) a lo largo de la curva
0zy2xy
3zxy.
Solución:
Y A
Z
B
X
C
222yx1z
Solución:
C = 0.
70
a. a = - 1; b = 0
b. KeyxcosyG z2
c. 918,16e3cose1cosC 3
17. Si la laplaciana de f(r) es nula 2222 zyxr , hallar f(r) tal que f(1) = 2; f(-1) = 0.
Solución:
1r
1)r(f
18. Expresar la divergencia de BA
en función de BRotyARot,B,A
.
Solución:
BRotAARotBBAdiv
19. Hallar el flujo del vector
kx1y1
y2jyixzyxV
222
222
a través de la
parte del plano X0Y limitada por el eje 0X y la recta y = x.
21. Hallar el flujo del campo vectorial kzy3jxizF 2
a través de la parte de
superficie lateral del cilindro 16yx 22 , comprendida entre los planos coordenados y el
plano z = 5.
X
Y y = x Solución:
4
X
A
D
Z
Y
C
B
z = 4
2x + y = 6
20. Dado el campo vectorial kzjx2iyF
hallar el flujo sobre la parte del plano 6yx2
comprendida entre x = 0; y = 0; z = 4.
Solución:
= 108
71
Solución:
= 90
22. Dado el campo vectorial kzyxjyxixF
hallar el flujo a través de la
parte lateral de la superficie 22 zxy comprendida, en el primer triedro, entre los planos
y = 0; y = 2.
Solución:
89,315
2141
2
23. Hallar la superficie de la esfera 2222 Rzyx .
Solución:
S = 4 R2.
24. Hallar la superficie limitada por la intersección de la esfera 4zyx 222 y el
cilindro 0y2yx 22 .
25. Hallar el momento de inercia de la parte del plano 2x + y + 2z = 2, comprendida en el
triedro positivo respecto al plano z = 2.
Solución:
g6
W17I
g3
W2pp
4
17I
26. Hallar el momento de inercia de la superficie lateral del cono 2z0yxz 222 .
Solución:
Z
Y
X
Solución:
S = 4
72
g
WI
g22
Wpp22I
27. Hallar el centro de gravedad de la superficie lateral del cono
2z0yx2z 222 .
Solución:
3
4z0yx ggg
28. Hallar el centro de gravedad de la parte de cilindro 1yx 22 (0 z 2),
comprendida en el triedro positivo.
Solución:
1z2
yx ggg
29. Hallar el flujo del campo vectorial kzjyixF
a través de la parte de superficie
uzvcosuysenvux comprendida entre z = 2 y z = 4.
Solución:
212
30. Hallar, mediante el teorema de Green, la circulación del campo vectorial
jxxy4y2seniyxy2senxeF 232x
a lo largo del circuito de la figura.
31. Hallar, mediante el teorema de Green, la circulación del campo vectorial
jxy6y4iy8x3F 22
a lo largo del contorno de la figura.
A(1,1)
B(3,3)
C(2,5)
X
Y Solución:
C1 = 24 C2 = 30 C = 54
73
32. Hallar, haciendo uso del teorema de Stokes, la circulación del campo vectorial
kz2y2x3jzyx2izyxF
a lo largo del recorrido señalado en la
figura.
33. Hallar la circulación del campo vectorial k)1y(j)2x(i)3z(F
a lo largo
de la circunferencia de radio 7 situada en el plano 2x + 6y + 3z = 12.
Solución:
C = 77
34. Dado el campo vectorial
kzzjx1
x3xyi
x1
x3xF 2
22
22
2
2
, hallar, haciendo
uso del teorema de Stokes, la circulación a lo largo del contorno de la figura.
X
Y
0 1
1
Solución:
3
5C
Z
X
Y
6x + 2y +3z = 6
Solución:
C = 17/2
X
Y
0
y = x2
Solución:
2ln32
5C
74
35. Hallar la circulación del campo vectorial kyx2yxjzxx3ixyz2F 22
a
lo largo de la circunferencia resultado de la intersección de la esfera 12zyx 222 con
el plano 2x + y + 2z = 9.
Solución:
C = 10
36. Hallar el flujo del campo vectorial kx4jxy2iz3x2F 22
a través de toda la
cara exterior del tetraedro formado por los planos x = 0; y = 0; z = 0; x + y + z = 4.
Solución:
3
64
37. Hallar el flujo del campo vectorial jzysenxixey1
z3F 2y
2
a través de la
totalidad del cilindro 4zx 22 comprendido entre los planos y = 0 y = 1.
Solución:
e
114
38. Hallar, mediante el teorema de Gauss, el flujo del campo vectorial kzyxF
sobre la cara exterior del paraboloide elíptico 22 yxz (0 z 1).
Solución:
22
39. Hallar el flujo del vector j2ixF
a través de la superficie cerrada formada por la
intersección del cono 222 yxz y el paraboloide 22 yx6z para z 0.
Solución:
3
32
75
40. Hallar el flujo del vector kz1xlnjyeixycosF 22z22 2 a través
del elipsoide 11
z
9
y
4
x 222
.
Solución:
= 8
76
CAPÍTULO II
CÁLCULO MATRICIAL
2.1 Definición
Las matrices son usadas en matemáticas discretas para expresar relaciones entre objetos.
En muchos problemas es útil disponer y manejar un conjunto de números dispuestos en
filas y columnas. Así es cómo se introdujo, en matemáticas, el concepto de matriz, como
una disposición rectangular de números. Vienen a ser como una ampliación del concepto
de número, definiéndose para ellas operaciones tales como la suma y el producto.
Así, una matriz se define como un conjunto ordenado de números. Concretamente, Se
llama matriz del tipo m x n a un conjunto de (m * n) números dispuestos en m filas y n
columnas.
2.2 Transformaciones Lineales
Sean dos sistemas de coordenadas X0Y y X´0´Y´, que pueden o no coincidir, y
consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
yaay
yaax
2221
1211
En virtud de estas igualdades, a cada punto M(x,y) del primer sistema le corresponde otro
punto M´(x´, y´) del segundo sistema, que recibe el nombre de “imagen” del primero. Se
dice, entonces, que estas ecuaciones representan una transformación lineal.
El cuadro de números,
2221
1211
aa
aaA
se llama Matriz de la Transformación, y el determinante formado por los elementos de la
matriz,
2221
1211
aa
aaA
77
se denomina Determinante de la Matriz, y no debe ser confundido con ésta última. Por
ejemplo, el sistema
yx3y
y2xx
representa una transformación lineal, cuya matriz es
13
21 y en la cual el punto P´(3;2)
es la imagen del punto P(1;1); y la recta “x´ + y´ = 1” es la imagen de “4x + y = 1”.
Las transformaciones geométricas de simetría y rotación son, por ejemplo,
transformaciones lineales. En efecto:
Sea la recta OQ (Fig. 2.1), de ecuación xmy . Si M´(x´;y´) es el punto simétrico de
M(x;y) respecto a dicha recta, el punto medio P de los dos puntos deberá estar situado
sobre OQ, luego
Figura 2.1 Transformación Geométrica de Simetría
2
xxm
2
yy
Y, por otra parte, las rectas OQ y MM´ deben ser perpendiculares, luego
m
1
xx
yy
Q
P
M
M´
Y = m X
Y = A + n X
X
Y
78
De las dos ecuaciones se deduce fácilmente que
2
2
2
22
2
m1
1mx
m1
m2y
m1
m2x
m1
m1x
myxymx
mxyyxm
Y la matriz de la transformación es:
2
2
2
22
2
m1
1m
m1
m2
m1
m2
m1
m1
En el caso de la rotación (Fig. 2.2), se tiene:
Figura 2.2 Transformación Geométrica de Rotación.
sencosRcosRsensenRy
senRsencoscosRcosRx
Además,
X
Y
M´
M
R
79
senRycosRx
Y, por lo tanto,
cosysenxy
senycosxx
Transformación cuya matriz es
cossen
sencos
De modo análogo se puede establecer una transformación lineal entre dos sistemas de
coordenadas tridimensionales:
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
zayaxaz
zayaxay
zayaxax
O entre uno bidimensional y otro tridimensional o viceversa:
32
22
12
31
21
11
3231
2221
1211
b
b
b
b
b
b
B
ybxbz
ybxby
ybxbx
23
13
22
12
21
11
232221
131211
c
c
c
c
c
cA
zcycxcy
zcycxcx
Así, por ejemplo, en las transformaciones
yxz
yxy
y3x2x
zyx3y
zy2xx
zy2x3z
zyx2y
zyxx
Al punto A(1;1;1) le corresponden, en las dos primeras, los puntos A´(3;20) y A”(2;5), y
en la tercera transformación, al punto B(1;2) le corresponde el B´(8;3;-1).
Prescindiendo de toda intuición geométrica se pueden generalizar estos conceptos
definiendo una transformación lineal entre los puntos de un espacio de dimensión n,
80
A(x1;x2; … ;xn), y los de otro espacio de dimensión m, A´(x1´;x2´; … ; xm´). Las
ecuaciones y la matriz correspondiente serán:
mn2m1m
n22221
n11211
n3m22m11mm
nn22221212
nn12121111
a....aa
..................
a....aa
a....aa
A
xa....xaxax
..................................................
xa....xaxax
xa....xaxax
Por ejemplo, el sistema
214
213
212
211
x5x2x
xx2x
x3xx
x2xx
cuya matriz es
53
12
31
21
hace corresponder al punto A(-1;1) el A´(1;-4;-1;2).
2.3 Algunas Definiciones y Conceptos
El número de filas, m, y el de columnas, n, de una matriz recibe el nombre de
“Dimensión”, m x n, y cuando m es igual a n, la matriz se llama “Cuadrada”, y en caso
contrario, “Rectangular”. Así, por ejemplo, la última matriz del párrafo anterior es una
matriz rectangular de dimensión 4 x 2.
Para que dos matrices sean iguales es necesario que tengan el mismo número de filas y de
columnas, y que además sean iguales elemento a elemento. Si BA , esto implica que
ijijba para todo i y para todo j. Por ejemplo, las matrices
20
62
11
14BA
son diferentes, aunque sus determinantes sean iguales.
Se llama “Matriz Transpuesta” de una matriz dada, A , a la matriz TA que se obtiene
cambiando filas por columnas. Por ejemplo
81
621
032
60
23
12T
AA
Se dice que una matriz es “Simétrica” cuando es igual a su transpuesta, TAA , como
por ejemplo
463
602
321
.
Obviamente una matriz simétrica tiene que ser cuadrada y se debe cumplir que jiij
aa , o
dicho de otro modo, debe ser simétrica respecto a la primera diagonal.
Una matriz “Hemisimétrica” o “Antisimétrica”, es aquella matriz cuadrada en la que se
cumple que AAT
, lo que implica que 0aii y
jiijaa . Como por ejemplo,
063
602
320
Si el determinante de una matriz cuadrada es igual a cero, se dice que la matriz es
“Singular” y en caso contrario se llama “Regular”. En el ejemplo que sigue, A es
singular y B es regular:
31
62
31
62BA
Una matriz “Cero” es aquella que tiene todos sus elementos cero, como por ejemplo:
00
000
000
000
000
0 23
Cuando, como casi siempre ocurre, está clara la dimensión de la matriz cero, se suele
omitir el subíndice. Todas las matrices cero son singulares, pero en general las matrices
singulares no son matrices cero.
82
Una matriz “Diagonal” es una matriz cuadrada cuyos elementos son todos nulos, excepto
lo de la primera diagonal, o diagonal principal, como por ejemplo
700
030
001
Una matriz “Unidad”, I , es una matriz diagonal cuyos elementos no nulos son todos
iguales a uno, como por ejemplo:
10
01
100
010
001
23 II
Igual que sucede con las matrices cero, corrientemente no es necesario indicar la
dimensión de la matriz unidad.
Se dice que dos matrices A y A son “Conjugadas” si sus elementos correspondientes
son números complejos conjugados. Obviamente deben tener el mismo número de filas y
de columnas.
543
12
21
543
12
21
ii
ii
iii
A
ii
ii
iii
A
Se dice que una matriz cuadrada A es “Hermítica” cuando AAT , lo que implica
que los elementos de la primera diagonal deben ser números reales y los simétricos
respecto a esa diagonal, números complejos conjugados. La siguiente matriz es hermética:
33
322
21
ii
ii
ii
2.4 Operaciones Con Matrices
Las operaciones más frecuentes, a realizar con matrices son:
- Producto de una matriz por un número.
83
- Suma de matrices.
- Producto de matrices.
- Inversión de matrices.
2.4.1 Producto de una Matriz por un Número
Para multiplicar una matriz por un número, se multiplican todos los elementos de la matriz
por dicho número. Es decir, que si AkB esto implica que ijij
akb . Por ejemplo:
336
936
303
112
312
101
3
Obsérvese que si A es una matriz cuadrada n x n, se tiene que si AkB , esto
implica que AkB n . En el ejemplo anterior,
8321638216 3 k;A;B . Este producto tiene, evidentemente, la
propiedad distributiva, es decir que AkAkAkk 2121 . La matriz (-1)
A = - A recibe el nombre de matriz “Opuesta” de A .
2.4.2 Suma de Dos Matrices de la Misma Dimensión
Sean las transformaciones lineales
nmn22m11mmnmn22m11mm
nn22221212nn22221212
nn12121111nn12121111
xb....xbxbxxa....xaxax
.....................................................................................
xb....xbxbxxa....xaxax
xb....xbxbxxa....xaxax
Si iii
xxx entonces,
nmnn322m2m11m1mm
nn2n2222221211212
nn1n121212111111
xba....xbaxbax
................................................................................
xba....xbaxbax
xba....xbaxbax
84
En consecuencia, definimos la suma de dos matrices de la misma dimensión como otra
matriz cuyos elementos sean la suma de los elementos correspondientes de las dos dadas.
Es decir, que si BAC , entonces ijijij
bac . Por ejemplo:
644
323
234
011
410
312
De acuerdo con la definición dada, la suma de matrices tiene las siguientes propiedades:
Ley conmutativa: ABBA
Ley asociativa: A CBACB
Ley distributiva: Ak BkAkB
Elemento neutro: 0A A
Elemento opuesto: 0A A
Obsérvese que si CBA esto no implica que CBA , tal como puede
verse en el siguiente ejemplo:
24141 pero52
36
31
24
23
12
2.4.3 Producto de Dos Matrices
Sean ahora dos matrices, A y B , de dimensiones m x n y p x q, respectivamente.
Escribamos la matriz A dispuesta por vectores fila, i
F
, y la matriz B dispuesta por
vectores columna j
C
. Definimos el producto de dos matrices como otra matriz, Q ,
cuyos elementos son los productos escalares de las filas de A por las columnas de B .
Es decir, jiij
CFq
.
85
qmmm
q
q
q
mC.F.....C.FC.F
....................
C.F.....C.FC.F
C.F.....C.FC.F
C...CC
F
...
F
F
21
22212
12111
212
1
Para que el producto sea posible, i
F
y j
C
deben tener el mismo número de componentes,
es decir que n = p. Y, obviamente, la dimensión de Q es m x q. Por ejemplo:
559
436
246
749
123
313
21
11
20
12
.BA
En donde A es una matriz de dimensión (4 x 2), B es de (2 x 3), y su producto es de
dimensión (4 x 3).
El producto matricial tiene las siguientes propiedades:
La ley conmutativa no se cumple: A.BB.A
Ley asociativa: A C.B.AC.B.
Ley distributiva: A C.AB.ACB.
Elemento idéntico: AA.II.A
Además,
enteros)n y (m
000A
nmmnnmAA.AA.A
A..
Que el producto matricial no es, en general, conmutativo se puede comprobar con un
simple ejemplo:
22
87
22
21
10
31
82
51
10
31
22
21..
86
Cuando da la casualidad de que A.BB.A se dice que las dos matrices son
“conmutables”. Por ejemplo:
78
87
12
21
32
23
78
87
32
23
12
21..
Evidentemente, la matriz cero y la matriz unidad son conmutables con cualquier otra
matriz. Obsérvese además que si se cumple que CB.A esto implica que
CBA . Así:
51553
54
21
11
21
13
.
Las ecuaciones de una transformación lineal se pueden escribir ahora en la forma
2
1
21
22221
11211
2
1
mmnmm
n
n
m x
...
x
x
a...aa
............
a...aa
a...aa
x
...
x
x
o, abreviadamente, X.AX
Sean ahora las dos transformaciones lineales XBX;XAX . Evidentemente
XABX , lo que nos dice que la matriz producto es la matriz del resultado de
efectuar dos transformaciones lineales sucesivas.
Finalmente, utilizando la definición de transpuesta y las leyes de adición y multiplicación
es fácil ver que:
- La transpuesta de una suma es igual a la suma de las transpuestas:
BABA
- La transpuesta del producto de un número por una matriz es igual al producto
del número por la transpuesta de la matriz:
AKAK
- La transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de las
transpuestas en orden inverso:
ABBA
2.4.4 Matriz Inversa
Sea la transformación lineal, no singular,
87
nnnnnn
nn
nn
xa....xaxax
.......................................................
XAxa....xaxax
xa....xaxax
2211
22221212
12121111
0A X
Con esta hipótesis resulta posible despejar las xi en función de las xi´:
nnnnnn
nn
nn
xb....xbxbx
........................................................
XBxb....xbxbx
xb....xbxbx
2211
22221212
12121111
X
La matriz B recibe el nombre de matriz inversa y se representa por 1A
. De las
igualdades matriciales anteriores se deduce que
XAAX 1
y también que XAAX1
Luego,
IAA1
y también IAA
1
Lo que quiere decir que toda matriz cuadrada no singular y su matriz inversa son
conmutables. Igualmente, de la definición dada se desprende fácilmente que la inversa de
1A
es, recíprocamente, A .
La matriz inversa de un producto es igual al producto de las inversas de los dos factores, en
orden inverso. En efecto,
1111111111
1111111
111
CABCIABCBBAB
CBACBIACBAAIA
CBAICBACCBAC
De igual manera, la inversa de la matriz transpuesta es igual a la transpuesta de la inversa.
En efecto, si transponemos en 11 AAAA , nos queda
AAAA11
88
Pre-multiplicando por 1
A obtenemos
IAAAAAI
AAAAAA
11
11
11
11
Luego
1
1
AA
2.4.5 Cálculo de la Matriz Inversa
En algunos casos, muy simples, puede hallarse la matriz inversa simplemente resolviendo
el sistema. Así, por ejemplo,
31
52A
21
53A
x3xx
x5x2x
x2xx
x5x3x 1
212
211
212
211
Obviamente este método no puede tener una aplicación muy general y por lo tanto se hace
preciso encontrar procedimientos más prácticos. Expondremos, a continuación, tres de
estos procedimientos.
2.4.5.1 Método de los Adjuntos
El procedimiento para el cálculo de la inversa de una matriz por el método de los adjuntos
es el siguiente:
1. Se escribe la matriz traspuesta.
2. Se halla el determinante A . (Reacuérdese que, al cambiar filas por columnas,
el valor del determinante no se altera y, por lo tanto, es lo mismo hallar el
determinante de la matriz dada que el de la traspuesta.)
3. Se hallan los adjuntos, ijA , de todos los elementos de la matriz traspuesta.
(Recuérdese que el adjunto es el determinante que resulta de suprimir la fila i y
la columna j, precedido del signo + ó del signo –, según (i + j) sea par o impar,
respectivamente.)
4. Se sustituye, en la traspuesta, cada elemento aij por el resultado de dividir el
adjunto ijA por el determinante A .
89
Ejemplo:
312
212
421
5
1A
312
21A1
12
01A2
11
02A
220
21A1
10
01A2
12
02A
420
12A2
10
12A1
12
11A
5421A
120
112
021
A
110
212
021
A
1
333231
232221
131211
T
La demostración es muy simple si se recuerdan los dos teoremas, relativos a los
determinantes, que dicen:
“La suma de los productos de los elementos de una línea por sus adjuntos respectivos es
igual al determinante”.
“La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de una línea
paralela es igual a cero”.
En efecto:
nn2n1n
n22221
n11211
nn2n1n
n22221
n11211
a....aa
................
a....aa
a....aa
A....AA
................
A....AA
A....AA
A
1
90
I
A...00
............
0...A0
0...0A
A
1
Aa...Aa......Aa...AaAa...Aa
.................................................................................................
Aa...Aa......Aa...AaAa...Aa
Aa...Aa......Aa...AaAa...Aa
A
1
nnnnn1n11n2n1112nn1nn111
2nnn12n12n2n12122n1n1211
1nnn11n11n2n11121n1n1111
Y lo mismo se obtiene invirtiendo los factores.
Este método resulta práctico para matrices de segundo y tercer orden. Para una matriz de
cuarto orden es necesario desarrollar cuatro determinantes de tercer orden para encontrar
A , más dieciséis adjuntos. Es decir, un total de veinte determinantes de tercer orden. Y,
en el caso de una matriz de quinto orden, se necesitan 5 + 25 determinantes de cuarto orden
que equivalen a 120 determinantes de tercer orden. Por otra parte este método no es el más
apto para el trabajo con computadoras.
2.4.5.2 Método de las Transformaciones Elementales
Se denomina transformación elemental a cada una de las operaciones siguientes:
- Multiplicar una matriz por un número cualquiera.
- Sumar dos filas cualesquiera
- Intercambiar dos filas cualesquiera
Ahora bien,
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
ka...kakaka
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
a...aaa
1...000
...............
0...100
0...010
0...00k
AT
91
nn2n1n
n33231
n11211
n22221
nn2n1n
n33231
n22221
n11211
c
nn2n1n
n33231
n22221
n2n122122111
nn2n1n
n33231
n22221
n11211
b
a...aa
............
a...aa
a...aa
a...aa
a...aa
............
a...aa
a...aa
a...aa
1...000
...............
0...100
0...001
0...010
AT
a...aa
............
a...aa
a...aa
aa...aaaa
a...aa
............
a...aa
a...aa
a...aa
1...000
...............
0...100
0...010
0...011
AT
Es decir que pre-multiplicar por una matriz del tipo aT equivale a multiplicar una fila por
un número cualquiera, k. pre-multiplicar por una matriz del tipo bT , equivale a sumar
dos filas. Y, pre-multiplicar por una matriz del tipo cT equivale a intercambiar dos filas.
Supongamos ahora que hacemos todas las transformaciones elementales necesarias para
transformar la matriz dada en una matriz unidad. Esto equivale a:
IAT....TT p21
Si post-multiplicamos por 1A
se tiene que:
1p21
11p21
AT....TT
AIAAT....TT
Lo que quiere decir que si hacemos en la matriz unidad las mismas transformaciones que
necesitamos para convertir la matriz dada en la matriz unidad, obtendremos la matriz
inversa.
El método se comprende bien siguiendo el siguiente ejemplo:
92
178112
13122922
1962314
98142
50
1A
1122
3014
3120
5321
A
178112
13122922
1962314
88142
50000
05000
00500
00050
178112
13122922
1962314
4643226
50000
05000
00500
0010050
178112
13122922
5124176
178118
50000
05000
0501000
0302010
178112
0278
0010
0001
50000
131700
3120
5321
1012
0278
0010
0001
6400
131700
3120
5321
1002
0104
0010
0001
9520
171270
3120
5321
1000
0100
0010
0001
1122
3014
3120
5321
1
La fila señalada con una flecha es la que se va a utilizar para obtener los ceros en el
siguiente cuadro. Cuando no se trabaja con números enteros es cómodo dividir la fila que
se va a utilizar para las transformaciones por el primer término no nulo. Por ejemplo,
100
010
0045,0
21,252,198,0
33,322,231,1
81,296,11
100
010
001
21,252,198,0
33,322,231,1
22,633,421,2
93
14,714,871,1
14,700,1140,3
07,631,140,1
100
010
001
14,714,871,1
14,700,1140,3
06,2087,2226,5
100
010
096,11
14,714,871,1
086,269,1
0045,0
100
110
81,296,11
114,124,0
086,269,1
0045,0
14,000
110
81,296,11
1044,0
086,269,1
0045,0
54,040,00
110
81,296,11
1044,0
0159,0
0045,0
54,040,00
35,035,00
81,296,11
2.4. 5. 3 Método de las Particiones
El resultado de dividir, la matriz que se quiere invertir, en cuatro sub-matrices, se puede
considerar como la matriz representativa de la transformación lineal
Y
X
Y
X
AA
AA
Y
X
Y
X
AA
AA
YYAXA
XYAXA1
2221
1211
2221
1211
2221
1211
Donde Aij, X, Y, X´ y Y´ son matrices. Si del sistema inicial conseguimos despejar X e Y,
obtendremos una expresión de la forma
Y
X
Y
X
BB
BB
YYBXB
XYBXB
2221
1211
2221
1211
Luego
2221
12111
BB
BBA
Consideremos de nuevo el sistema
YYAXA
XYAXA
2221
1211
94
Si suponemos que la matriz A12 no es singular podemos despejar sucesivamente:
YXAAXAAAA
YXAAAXAAXA
XAAXAY
1122211
1122221
111
12221
122221
111
121
12
Y si hacemos
111
122221 AAAA
Tenemos
YXAAX 111222
1
Y, sustituyendo:
YAAXAAAAAY
YAAXAAAAXAY
111
112
11222
111
112
112
111
112
11222
111
112
112
Con lo cual,
111
112
11222
111
112
112
111222
11
AAAAAAA
AAA
Ejemplo: Hallemos la inversa de la matriz A
2111
1210
2122
1101
A
22
21
22
01
10
13AAA
10
13
11
12
21
12AA
11
12A
111
1222
11222
112
95
21
02
4
1
63
46
4
1
11
12
63
46
4
1
23
23
21
20
4
1
51
22
4
1
11
31
21
20
4
1
11
31
22
01
11
12
4
1
23
23
4
1
10
13
11
31
4
1
11
31
4
1
11
31
22
21
11
10
1
1222
1
11
1
12
1
12
1
1222
1
11
1
12
1
11
1
12
1
1222
1
1
AAAAA
AAAA
AA
AA
Y sustituyendo los valores obtenidos, en el esquema general, finalmente se tiene que:
96
5121
2202
1123
3123
4
11A
Si la matriz A12 fuera singular, es fácil deducir otra fórmula análoga despejando de otra
manera las submatrices X e Y.
2.5 Matrices Ortogonales
Se define como matriz ortogonal la matriz cuadrada, A, que cumple la igualdad
T1AA
De la definición se deducen los tres teoremas siguientes:
1. Los módulos de todos los vectores fila y de todos los vectores columna son iguales
a uno.
2. Los productos escalares de dos vectores fila o de dos vectores columna,
cualesquiera, es igual a cero.
3. El determinante de una matriz ortogonal es igual a +1 ó a -1.
En efecto, si A es una matriz ortogonal, entonces,
IAAAAT
1
Es decir,
1000
0010
0001
21
3
2
1
21
22212
12111
21
22221
11211
............F...FF
F
...
F
F
a...aa
............
a...aa
a...aa
a...aa
............
a...aa
a...aa
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
Y de aquí,
97
100
010
001
2
21
2
2
22212
121
2
111
nnnnn
n
n
FFF..........FFFF
...................................................................................................
FF..........FFFFF
FF..........FFFFF
Invirtiendo el producto de los dos factores podemos escribir, también
IC...CC
C
...
C
C
n21
n
2
1
Y se pueden deducir igualdades análogas a las anteriores para las columnas. Para
demostrar el tercer teorema, tenemos:
1IAAAAAIAA2TT
Luego 1A .
Ejemplo: Hallemos a, b, c, d, e y f, para que la siguiente matriz sea ortogonal.
0d0a
fe21
dcb
021a
A
1d1dcb0c0d.0c.2
1b.a
0b14
1b
4
3
2
3a10
4
1a
222
22
0f0d.fc.eb.2
1
2
3e0f.0e.
2
1a.
2
1
Con lo que la matriz A , queda:
98
02321
100
02123
A
Matriz, cuyo determinante es igual a -1.
Otro ejemplo de transformación ortogonal es el pase de un sistema de coordenadas
rectangulares a otro, también rectangular, con el mismo origen.
El vector
OPpuede definirse como
jyixjyixOP
Y, ya que,
jcosisenjºseniºcosj
jsenicosi
9090
Tenemos que
jcosysenxisenycosxjyix
jcosisenyjsenicosxjyix
De donde
O X
Y
X´
Y´
P
i (90º -)
j
99
cosysenxy
senycosxx
Cuya matriz es
cossen
sencos
que es, evidentemente, ortogonal.
En el caso de tres dimensiones, sean los datos:
X Y Z
X´ a1 b1 c1
Y´ a2 b2 c2
Z´ a3 b3 c3
Como los ejes primitivos y los nuevos son rectangulares, la matriz
321
321
321
ccc
bbb
aaa
, formada
por los nueve cosenos de los ángulos que forman entre sí los ejes primitivos y los nuevos,
es ortogonal. Ahora bien,
kcjbiazkcjbiaykcjbiaxOP
kzjyixkzjyixOP
333222111
De donde,
zcycxcz
zbybxby
zayaxax
321
321
321
Y, por ser la matriz ortogonal,
zcybxaz
zcybxay
zcybxax
333
222
111
100
Por ejemplo, si 0X forma un ángulo agudo con 0X´, 60º con 0Y´ y 90º con 0Z´ y 0Z forma
60º con 0Z´, la matriz de la transformación es la del ejemplo expuesto más arriba y las
ecuaciones del cambio de ejes serán:
y´z´y2
3´x
2
1z
z2
3x
2
1´y´zy
z2
1x
2
3´x´y
2
1´x
2
3x
2.6 Rango o Característica de una Matriz
Se define el rango de una matriz como el número de vectores fila, o vectores columna,
linealmente independientes. O de otra forma, si llamamos menor de una matriz A al
determinante formado por los elementos que quedan en la matriz cuando se suprimen
algunas filas y algunas columnas, el rango de dicha matriz es igual al orden máximo de un
menor no nulo.
Por ejemplo, dada la matriz
712
210
312
A
se tiene que
0
712
210
312
010
1202
Luego el rango de la matriz A es igual a dos.
Cuando se trata de matrices más grandes, resulta más práctico utilizar el método de las
transformaciones elementales, que consiste en efectuar transformaciones de ese tipo hasta
convertir la matriz dada en otra triangular, suprimir las filas cuyos elementos sean todos
nulos y contar el número de filas que queden. Obsérvese que una transformación elemental
no altera el rango de una matriz.
101
Por ejemplo, sea la matriz
206400
020202
113301
010101
103200
B
Obtenemos, sucesivamente,
206400
000000
103200
103200
010101
206400
020202
113301
103200
010101
000000
000000
000000
103200
010101
206400
000000
000000
103200
010101
Luego el rango de la matriz es dos.
2.7 Solución y Discusión de un Sistema de Ecuaciones Lineales
Consideremos el sistema de n ecuaciones de primer orden con n incógnitas
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
kxa....xaxa
.....................................................
kxa....xaxa
kxa....xaxa
En las que ai son números reales o complejos. El sistema se puede escribir abreviadamente
en forma matricial:
KXA
102
Si A no es singular se puede pre-multiplicar la igualdad anterior por A-1
, con lo cual se
tendrá
KAX1
Se obtiene así una solución del sistema muy elegante, concisa y práctica del sistema, muy
conveniente cuando se necesita conocer el valor de todas las incógnitas y sobre todo
cuando se dispone de una computadora.
Ejemplo:
6xxx
133
142
121
A
111
142
121
A1x3x4x2
6x3x2x
321
T321
321
3x2x1x
3
2
1
33
22
11
11
1
6
1
6
832
925
657
11
1
x
x
x
8A3A2A9A2A
5A6A5A7A11A
321
3
2
1
3332312322
21131211
De un modo más general, sea ahora el sistema de m ecuaciones con n incógnitas,
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
kxa....xaxa
.....................................................
kxa....xaxa
kxa....xaxa
y consideremos la matriz A , formada por los coeficientes de las incógnitas, y la matriz
A , ampliada con los términos independientes:
103
m
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
mn2m1m
n22221
n11211
k
....
k
k
a....aa
................
a....aa
a....aa
A
a....aa
................
a....aa
a....aa
A
Si existe solución, la última columna de A tiene que ser combinación lineal de las
columnas de A , luego el rango de ambas matrices tiene que ser el mismo.
Por otra parte, para que la solución sea única, el número de ecuaciones y el de incógnitas
debe coincidir, luego:
R = R´= Número de incógnitas Sistema Determinado
Si R = R´ Sistema Compatible
R = R´<Número de incógnitasSistema Indeterminado
Si R R´ Sistema Incompatible
El método de las transformaciones elementales, a la vez que permite determinar el rango
de las dos matrices, y por lo tanto la naturaleza del sistema, transforma las ecuaciones en
otras equivalentes que hacen cómodo el encontrar la solución, o soluciones, en caso de que
las haya.
Ejemplo: Estudiemos el sistema,
0000
0400
1310
1112
0400
0400
1310
1112
1710
1110
1310
1112
2513
1223
0111
1112
2z5yx3
1z2y2x3
0zyx
1zyx2
Ya que R = R´ = 3 = número de incógnitas, se trata de un sistema compatible y
determinado cuya solución es:
104
1x1zyx2
1y1z3y
0z0z4
Ejemplo: Estudiemos el sistema,
421600
00000
11130
31511
20620
11130
11130
31511
11111
24421
11130
31511
1vzyx
2z4y2x
1vzy3
3vz5yx
Ya que R = R´ = 3 < número de incógnitas = 4, se trata de un sistema compatible, pero
indeterminado, cuyas infinitas soluciones están dadas por:
2y8v4v2y16
3z10x3vz5yx
1z3y1vzy3
Ejemplo: Estudiemos el sistema,
4000
510
1112
3510
1510
1112
3123
0211
1112
3zy2x3
0z2yx
1zyx2
Ya que R = 2 R´ = 3, se trata de un sistema incompatible que no tiene solución exacta.
105
2.8 Valores y Vectores Propios
Sea el vector no nulo
n
2
1
x
....
x
x
X
Y la transformación lineal
nnn22n11nn
nn22221212
nn12121111
xa....xaxax
XA´X.....................................................
xa....xaxax
xa....xaxax
Determinemos el vector X de tal forma que ´X resulta paralelo a X , es decir, que se
tenga
XXA sea, o X´X
donde es un escalar. Cuando esta igualdad se cumple, decimos que X es un vector
propio, y el número recibe el nombre de valor propio.
Haciendo ii xx , y pasando todo al primer miembro, obtenemos:
0xa....xaxa
.....................................................
0xa....xaxa
0xa....xaxa
nnn22n11n
nn2222121
nn1212111
Sistema homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas que debe tener soluciones no todas
nulas, ya que hemos supuesto que el vector X no es un vector nulo. Por lo tanto, una de
las ecuaciones debe ser combinación lineal de las otras y por consiguiente el determinante
de los coeficientes de las incógnitas debe ser cero. Es decir:
106
0
a....aa
................
a....aa
a....aa
f
nn2n1n
n22221
n11211
Ecuación de grado n que, una vez resuelta, nos proporciona los n valores propios, valores
que pueden ser reales o complejos. Esta ecuación recibe el nombre de ecuación
característica de la transformación o de la matriz.
Ejemplo: Dada la matriz
110
220
301
A
La ecuación característica es
310031
01221
110
220
301
3212
2
Consideremos el caso particular de las matrices de tercer orden:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Cuyo determinante es:
332112113123132231133221312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
La correspondiente ecuación característica es:
107
332112113123132231133221312312332211
2112221131133311322333222
3322113
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaf
aaa
aaa
aaa
f
Con lo que la ecuación característica para matrices de tercer orden se puede expresar
como:
03322112
3322113 AAAAaaa
Y, en el ejemplo anterior:
310034
0
110
220
301
A3AAA
220
01A1
10
31A0
11
22A
4aaa1a2a1a
32123
332211
332211
332211332211
Supongamos ahora todos los vectores propios, reales o complejos, diferentes entre sí y,
para fijar ideas, supongamos la matriz de tercer orden. Como el determinante de los
coeficientes es igual a cero, una de las ecuaciones debe ser combinación lineal de las otras,
y se podrá suprimir. Si, por ejemplo, hemos suprimido la última ecuación, el sistema
quedará:
0xaxaxa
0xaxaxa
3132122121
3132121111
Sistema homogéneo, que se puede poner en la forma:
1
12221
12111
3
2321
13111
2
23122
1312
1 p
aa
aa
x
aa
aa
x
aa
aa
x
108
De la misma manera se puede plantear para los otros valores de . Así se obtiene un
conjunto de tres vectores paralelos que son los vectores propios buscados.
Sea la matriz del ejemplo considerado más arriba. Tendremos:
1321
321
3211 p
20
01
x
20
31
x
22
30
x
0x2x2x0
0x3x0x0
3321
321
3213
2321
321
3212
p
10
02
x
20
32
x
21
30
x
0x2xx0
0x3x0x23
p
10
00
x
20
30
x
21
30
x
0x2xx0
0x3x0x01
Y los vectores propios son:
2
4
3
pX
0
0
3
pX
2
2
6
pX 332211
2.9 Caso Particular de las Matrices Simétricas
Dos propiedades importantes caracterizan los vectores y los valores propios de las matrices
simétricas formadas por números reales: Los vectores propios son ortogonales dos a dos y
los valores propios son todos reales.
En efecto, sean los sistemas correspondientes a dos valores propios diferentes, 1 y 2,
nnnnnn
nn
nn
xxa....xaxa
......................................................
xxa....xaxa
xxa....xaxa
12211
212222121
111212111
109
nnnnnn
nn
nn
xxa....xaxa
......................................................
xxa....xaxa
xxa....xaxa
12211
212222121
111212111
Multiplicamos las ecuaciones del primer sistema por x1´, x2´, …., xn´ y las del segundo
sistema por –x1, -x2, …., -xn y sumamos todo. El resultado es:
nn221121 xx....xxxx0
Igualdad que, al ser el producto escalar nulo, prueba la ortogonalidad de los dos vectores
propios.
Supongamos ahora iba1 . Como la ecuación característica es de coeficientes reales,
debe existir otra solución conjugada, iba2 y las componentes de los vectores
propios correspondientes serán también conjugadas.
iqpx........iqpxiqpxiba
iqpx........iqpxiqpxiba
nnn2221112
nnn2221111
Sustituyendo en la anterior igualdad, nos queda:
2n
2n
22
22
21
2121 qp....qpqp0
Y como todos los xi no pueden ser nulos, ni tampoco los xi´, b debe ser cero, y por lo tanto
los valores propios deben ser reales.
En todo el razonamiento se ha supuesto que por ser la matriz simétrica se tiene que aij = aji,
para todo i para todo j.
Ejemplo: Sea la matriz simétrica
520
262
027
A
La ecuación característica resulta ser:
110
2321
321
3212
1321
321
3211
23
p
02
21
x
22
01
x
20
02
x
0x2x0x2
0x0x2x16
p
32
24
x
22
04
x
23
02
x
0x2x3x2
0x0x2x43
01629918
520
262
027
08816ppXX0163216ppXX0321616ppXX
2
4
4
X
4
2
4
pX
8
8
4
pX
p
32
22
x
22
02
x
23
02
x
0x2x3x2
0x0x2x29
323231312121
32211
3321
321
3213
2.10 Diagonalización de una Matriz
Intentemos descomponer la matriz cuadrada, A , en el producto de otras tres matrices:
DCCA sea o CDCA1
en donde D es una matriz diagonal.
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
nn2n1n
n22221
n11211
nn2n1n
n22221
n11211
d....00
................
0....d0
0....0d
c....cc
................
c....cc
c....cc
c....cc
................
c....cc
c....cc
a....aa
................
a....aa
a....aa
Igualando, en los dos miembros, los productos de las n filas por la primera columna, se
tiene:
111
11n1nnn212n111n
1211nn2212211211
1111nn121121111
dcca....caca
........................................................
dcca....caca
dcca....caca
Comparando estas ecuaciones con las del párrafo anterior observamos que
11n11n221111 d;xc......;;xc;xc y, como algo análogo se deduce con los
productos por las otras columnas, se tendrá que las columnas de la matriz C son los
vectores propios de la matriz A y los elementos no nulos de la matriz D son los valores
propios.
Ejemplo: Sea la matriz
3
321
321
321
3
2
321
321
321
2
1
321
321
321
1
3
2
1
23
31
23
11
23
13
2203
02232
11
21
11
21
11
120
0222
01
20
11
20
10
2200
02201
2
2
1
044
131
111
221
131
111
221
pxxx
xxx
xxx
pxxx
xxx
xxx
pxxx
xxx
xxx
A
112
1211210
43411
32321
200
020
001
1111
111
801
1211210
43411
32321
1111
111
801
11
1
8
1
1
0
3
3
0
1
1
1
2
2
2
1
33222111
//
//
//
A
//
//
//
CC
pXppXppX
Cuando la matriz que se quiere diagonalizar es simétrica, eligiendo p1, p2, p3, … de tal
modo que el módulo de los vectores propios sea igual a uno, es posible evitar el cálculo de
la matriz inversa, ya que por ser la matriz C ortogonal, su inversa será la traspuesta.
Por ejemplo, si consideramos la matriz simétrica de un ejemplo anterior,
520
262
027
A
Sabemos que 1 = 3, 2 = 6 y 3 = 9. Por lo tanto, podemos hacer
3/13/23/2
3/23/13/2
3/23/23/1
900
060
003
3/13/23/2
3/23/13/2
3/23/23/1
A
3/1
3/2
3/2
p
2
4
4
pX
3/2
3/1
3/2
p
4
2
4
pX
3/2
3/2
3/1
p
8
8
4
pX 333222111
Es de hacer notar que la matriz C no tiene porqué ser necesariamente simétrica.
2.11 Potencia de una Matriz
113
La diagonalización puede aprovecharse para el cálculo de la potencia enésima de una
matriz. En efecto:
1n11n1n
131213
12112
1
CDCCDCCDCA
............................................................................
CDCCDCCDCA
CDCCDCCDCA
CDCA
Y, como se comprueba fácilmente, para elevar a la potencia enésima una matriz diagonal
basta elevar los términos no nulos.
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
00
00
00
00
00
00
00
00
00
nnn d...
............
...d
...d
d...
............
...d
...d
d...
............
...d
...d
DDD
Y, así sucesivamente:
m
n
m
m
m
d...
............
...d
...d
D
00
00
00
2
1
Ejemplo: Calculemos la potencia enésima de la matriz
31
22A
Comencemos por la ecuación característica:
0414531
222
Ecuación a la que corresponden los siguientes valores y vectores propios:
114
1
1
1104
1
2
12021
2221
212
1121
211
pXxx
xx
pXxx
xx
Y, finalmente, la potencia enésima de dicha matriz, es:
nn
nn
n
n
.
.
//
//A
42141
42242
3
1
3231
3131
40
01
11
12
2.12 Solución Matricial de un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales de
Coeficientes Constantes
Sea el sistema
nnn22n11nn
nn22221212
nn12121111
xa....xaxadt
dx
.......................................................
xa....xaxadt
dx
xa....xaxadt
dx
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
n
2
1
x
....
x
x
a....aa
................
a....aa
a....aa
dt
dx....dt
dxdt
dx
O, condensadamente
XAdt
dX
Ensayemos la solución
bt
btn
bt2
bt1
n
2
1
eKX sea o
ek
....
ek
ek
x
....
x
x
Sustituyendo en la ecuación anterior,
115
KbKAeKAebK btbt
Ecuación que nos dice que K es un vector propio y b un valor propio de la matriz A . Si
representamos por jiy las componentes de los diferentes vectores propios y por i a los
valores propios, entonces
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
t
n
t
t
n
nnn
n
n
nneC
....
eC
eC
y....yy
................
y....yy
y....yy
x
....
x
x
Ejemplo: Sea el sistema
501
330
321
5
33
32
311
322
3211
A
xxdt
dx
xxdt
dx
xxxdt
dx
Calculamos la ecuación característica y los valores y vectores propios correspondientes a la
matriz de coeficientes:
1
1
1
2220101
0325
1
3
3
1330310
0321
2
3
8
2380401
0320
6
2
1
012209
501
330
321
333321
321
321
222321
321
321
111321
321
321
3
2
1
23
pXpxxx
xxx
xxx
pXpxxx
xxx
xxx
pXpxxx
xxx
xxx
116
Con lo que la solución del sistema es:
ttt
ttt
ttt
t
t
t
eCeCeCx
eCeCeCx
eCeCeCx
eC
eC
eC
x
x
x
6
3
2
213
6
3
2
212
6
3
2
211
6
3
2
2
1
3
2
1
2
33
38
112
133
138
El método puede aplicarse a la resolución de una ecuación diferencial lineal de coeficientes
constantes y de orden n. En efecto, sea la ecuación
xa....dt
xda
dt
xda
dt
xd12n
2n
1n1n
1n
nn
n
Esta ecuación se puede transformar en un sistema análogo al anterior sin más que
introducir n nuevas variables, en la forma:
nn
n
nn
n
xa....xaxadt
xd
xdt
xd
...............
xdt
xd
xdt
dx
xx
2211
1
1
32
2
2
1
Ejemplo: Sea la ecuación x6dt
dx11
dt
xd6
dt
xd2
2
3
3
1233
3
32
2
2
6116 xxxdt
xd
xdt
xd
xdt
dx
6116
100
010
A
Hallamos la ecuación característica y los valores y vectores propios:
117
4
2
1
pXp4
x
2
x
1
x
0xx2x0
0x0xx2
1
1
1
pXp1
x
1
x
1
x
0xxx0
0x0xx
3
2
1
06116
6116
10
01
222321
321
321
111321
321
321
3
2
123
9
3
1
931030
003333
321
321
321pXp
xxx
xxx
xxx
La solución del sistema es:
ttt
ttt
ttt
t
t
t
eCeCeCx
eCeCeCx
eCeCeCx
eC
eC
eC
x
x
x
3
3
2
213
3
3
2
212
3
3
2
211
3
3
2
2
1
3
2
1
94
32
941
321
111
Pero lo que nos interesa es:
ttt
eCeCeCxx3
3
2
211
2.13 Teorema de Cayley – Hamilton
La ecuación característica de una matriz cuadrada A se puede escribir en la forma
0IA
Si sustituimos por A nos queda
00IAA
Lo que quiere decir que si f() = 0 es la ecuación característica, se tendrá que
0Af
118
Este teorema nos proporciona otra manera de encontrar la matriz inversa. Sea por ejemplo:
0110
1321
1210
0101
A
I4A5AA
A4A5AI0IA4A5A tantoloPor
0145
10
121
110
11
132
121
1
110
1321
1210
0101
231
3434
34
2101
1111
0111
1110
1000
0100
0010
0001
4
2531
51594
3962
1422
5
824156
24724419
15442711
619116
A
824156
24724419
15442711
619116
2531
51594
3962
1422
0110
1321
1210
0101
A
2531
51594
3962
1422
0110
1321
1210
0101
0110
1321
1210
0101
A
1
3
2
El teorema proporciona también un método iterativo para calcular potencias positivas y
negativas de una matriz cuadrada.
Ejemplo:
119
53
32
21
113
10
01A3IA
21
11
10
013
11
12I3AA
.....................................................................................
1321
2134
23
35
58
8133AA3A
58
813
11
12
23
353AA3A
23
35
10
01
11
123IA3A
01311
12
11
12A
12
1
234
23
2
2
138
85
53
323
21
11A3AA
213
De acuerdo con este teorema cualquier polinomio matricial AP de grado mayor o igual
a n puede reducirse a otro equivalente de grado (n – 1).
Ejemplo: Sea la matriz
IAAAP
IAAIAAIAAIAAAP
IAAAAIAAAAAA
IAAAAIAAAAAA
IAAAf
IAAAAAAPyA
14173
864464121221141718
14171844142114447
44723464232
2320232
86423
013
112
101
2
2222
222235
222234
2323
2345
120
21436
82513
14319
AP
2.14 Problemas Resueltos
1. Hallar los valores de m y b necesarios para que las matrices
b2
11 y
41
3 m sean
conmutables.
Solución:
b4181
bm3m23
b4m2b6
4m13
b2
11
41
m3
41
m3
b2
11
Por lo tanto:
3b
2/1m
b41b4m2
bm34m
9b6
m234
2. Hallar todas las matrices X conmutables con
12
04A , si además 4X y la
traza (suma de los elementos de la diagonal principal) de X es igual a 5.
Solución:
Si las matrices A y X deben ser conmutables, entonces: A X = X A , es decir:
2
320
2
32
0
2
242
4
244
12
04
12
04ca
c
aXca
d
b
ddb
dcca
bb
baa
dc
ba
dc
ba
121
Si 4X , entonces
aa
aa
Xa
ac
caa 4
3
820
3
824
2
32 22
Finalmente, si la traza de X debe ser igual a 5, entonces
4
10455
4 2aaa
aa y, por lo tanto, hay dos soluciones:
12
04
42
01XX
3. Resolver la ecuación matricial 0I10X3X2
, sabiendo que X es una
matriz de dos filas y dos columnas.
Solución:
La expresión puede escribirse como I10X3X2
, en donde
dc
baX
Sustituyendo X se tiene:
100
010
d3dcbc3cdac
b3bdaba3bca
dc
ba3
dcbcdac
bdabbca2
2
2
2
Y, por lo tanto,
03dab
10a3bcd
03dac
10a3bca 22
Una primera solución del sistema se obtiene haciendo b = c = 0; con lo que
5
2a y
5
2d . Esto arroja cuatro posibles soluciones:
20
05
50
02
50
05
20
02
Otra posibilidad es hacer a + d + c = 0, con lo cual dos de las ecuaciones son redundantes
y de las otras dos se obtiene:
122
b
a3a10c3ad
2
Lo que nos da infinitas soluciones para la matriz:
3ab
a3a10ba
2
4. Dada la matriz
011
121
110
A , hallar una matriz X tal que A X = X .
Solución:
Según el enunciado, debe cumplirse que
321
321
321
321
321
321
011
121
110
ccc
bbb
aaa
ccc
bbb
aaa
Si efectuamos la multiplicación para la primera columna de la matriz X , obtendremos el
siguiente sistema de ecuaciones:
11
1
111
1111
1110
2ac
b
cba
bcba
acb
, obteniéndose algo similar para los otras dos
columnas:
33
3
22
2 00
ac
b
ac
b. Si hacemos a1= , a2 = , a3 = , la solución es:
000X
En donde , , y pueden tomar infinitos valores.
123
5. Por el método de los adjuntos, hallar la matriz inversa de
232
102
311
A
Solución:
Comencemos por hallar el determinante y la traspuesta de la matriz:
213
301
221
A1343218AT
Después los adjuntos en la matriz traspuesta:
2A1A6A5A4A2A1A7A3A 333231232221131211
Con lo que, finalmente la inversa es:
216
542
173
13
1A
1
6. Hallar, por el método de las transformaciones elementales, la matriz inversa de
1220
2102
1210
2101
A
Solución:
1000
0100
0010
0001
¦
¦
¦
¦
1220
2102
1210
2101
1000
0102
0010
0001
¦
¦
¦
¦
1220
6300
1210
2101
124
1020
0102
0010
0001
¦
¦
¦
¦
3600
3300
1210
2101
1224
0102
0010
0001
¦
¦
¦
¦
15000
6300
1210
2101
1224
2142
12134
2447
¦
¦
¦
¦
15000
01500
030150
015015
1224
2142
5050
0505
¦
¦
¦
¦
15000
01500
00150
00015
En donde la fila utilizada como pivote se ha marcado con una flecha. Finalmente,
1224
2142
5050
0505
15
1A
1
7. Hallar, por el método de las particiones, la inversa de
1220
2102
1210
2101
A
Solución:
Si se parte la matriz A en cuatro matrices de dos por dos, el sistema podría expresarse
como:
YYAXA
XYAXA
2221
1211
Pero, en este caso en particular, IAyIA 221211 , por lo tanto, este sistema puede
expresarse como:
YYAX2
XYAX
22
12
Por lo tanto:
125
YAYX
YAXX
YAYX
YAXX
22
12
22
12
2
222
2
Restando se tiene que XYYAA 22 1222 , y si hacemos 1222 2AA , entonces:
YXY 112
y,
YAXAIYXAXX 1
12
1
12
11
12 22
Finalmente,
11
1
12
1
121
2
2 AAIA
Realizando los cálculos respectivos, tenemos:
12
21
15
1
36
63
24
42
12
211
50
05
15
12
50
05
15
1 1
12
1
12 AIA
Y, finalmente,
1224
2142
5050
0505
15
11A
8. Hallar, por el método de las particiones, la matriz inversa de
02110
01132
20110
01232
10121
A
Solución:
Comencemos por establecer las particiones, recordando que la matriz A12 debe ser
cuadrada y no singular, para que la inversa exista.
126
021
011
10
32
201
012
101
10
32
21
22211211 AAAA
El siguiente paso es calcular :
62
34
18
1
42
36
32
64
101
214
1021
11
1
1222
1
12 AAAA
Y ya se puede ir calculando las diferentes particiones:
3812
6812
242648
18
1
32
122
122
18
1
121024
526
18
1
1
1222
1
11
1
12
1
12
1
11
1
12
1
1222
1
AAAAA
AAAA
Finalmente,
323812
1226812
122242648
62121024
34326
18
11A
9. Dado el sistema de ecuaciones
14vz6yx8
6v2y2x
12v3z4yx6
4v6z2y2x3
, discutirlo, hallar las soluciones
(si las hay)y, si es posible, hallar las soluciones enteras y positivas.
Solución:
Comencemos por llevar a cero todos los términos ubicados por debajo de la diagonal
principal:
127
0
1
4
4
0000
6100
3010
6223
10
10
20
4
601000
601000
15050
6223
74
14
20
4
452190
0240
15050
6223
14
6
12
4
1618
2021
3416
6223
El rango de la matriz de los coeficientes de las incógnitas es igual a 3, al igual que el de la
matriz ampliada con los términos independientes. Como el número de incógnitas es 4, el
sistema es compatible e indeterminado. Es decir, que hay infinitas soluciones. Procediendo
de abajo hacia arriba, tenemos:
2v4x4v6z2y2x3
v34y4v3y
1v6z1v6z
Para que las soluciones sean positivas, leyendo de arriba hacia abajo se obtiene:
3
4v
2
1
2
1v
3
4v
6
1v
Y si, además queremos que las soluciones sean enteras, la única posibilidad es hacer v = 1,
con lo que x = 2; y = 1; z = 5.
10. Discutir y resolver, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
0zyx
7vzy3
4vz3y2x
17vz4y2x3
Solución:
Comencemos por llevar a cero todos los términos ubicados por debajo de la diagonal
principal:
29
7
4
4
41380
1130
1210
1321
29
4
7
4
41380
1210
1130
1321
17
0
7
4
1423
0111
1130
1321
128
0
5
4
4
14000
2500
1210
1321
3
5
4
4
4300
2500
1210
1321
El rango de la matriz de los coeficientes de las incógnitas es igual al de la matriz ampliada
con los términos independientes e igual al número de incógnitas que es 4. Por lo tanto, el
sistema es compatible y determinado. Es decir, que hay una única solución. Procediendo de
abajo hacia arriba, tenemos:
3x4vz3y2x
2y4vz2y
1z5v2z5
0v0v14
11. Discutir y resolver, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
5vzyx
1vyx5
1zyx2
0vz2y3x
Solución:
Establezcamos el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada:
1
34
1
0
0000
41100
2570
1231
33
34
1
0
41100
41100
2570
1231
5
1
1
0
0320
410140
2570
1231
5
1
1
0
1111
1015
0112
1231
Ya que el rango de la matriz de los coeficientes, que es igual a 3, es diferente del rango de
la matriz ampliada, que es igual a 4, el sistema es incompatible y no tiene solución.
129
12. Discutir y resolver el siguiente sistema:
i1yi2x
1yi2ix
Solución:
Determinamos los rangos:
2RRi2
1
i130
i2i
i1
1
i21
i2i
Sistema compatible y determinado
Procediendo a resolver el sistema:
6
5i
i
i
i6
i51x
6
i51xi1
6
i55ix1
6
i31i2ix1yi2ix
6
i31
i1
i1
i13
2iyi2yi13
Con lo que la solución es: 6
i31y
6
i5x
13. Discutir, según los valores de k, la naturaleza del sistema
1zykx
kzkyx
kkzyx 2
Solución:
Se llevan a cero todos los términos ubicados por debajo de la diagonal principal:
1kkk
1kk
k
2kk00
1kk10
k11
1k
1kk
k
1k1k0
1kk10
k11
1
k
k
11k
1k1
k11
23
2
23
2
2
2
En general, los rangos R y R´ de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada son
ambos iguales a 3, luego en general el sistema será compatible y determinado.
130
Ahora bien, como 2k1k2kk2 y además, 223 1k1k1kkk , los
casos particulares a estudiar aparte serán los valores de k que hacen cero alguna de las dos
expresiones, es decir k = 1; k = -1; k = -2.
1RR
0
0
1
000
000
111
1k Sistema compatible e indeterminado
3RR
0
2
1
200
220
111
1k
Sistema compatible y determinado
3R2R
3
6
4
000
330
211
2k
Sistema incompatible
14. Discutir, según los valores de a y de b, la naturaleza del sistema
bazayx
3azy2x2
4azyx
Se llevan a cero todos los términos ubicados por debajo de la diagonal principal:
b45a11
11
4
aa00
a40
a11
b4
11
4
01a0
a40
a11
b
3
4
aa1
a22
a11
2
Para que el sistema sea incompatible, el rango de la matriz de coeficientes debe ser
diferente del de la matriz ampliada, R R´. Por lo tanto, 0b45a110aa2 .
Este sistema tiene dos soluciones: a = 0; b -5/4 y a = -1; b -4.
Para que el sistema sea compatible pero indeterminado el rango de la matriz de los
coeficientes debe ser igual al de la matriz ampliada y ambos deben ser menores que el
número de incógnitas, R = R´ < 3. Por lo tanto, 0b45a110aa2 . Este sistema
tiene dos soluciones: a = 0; b = -5/4 y a = -1; b = -4.
Para que el sistema sea compatible y determinado el rango de la matriz de los coeficientes
debe ser igual al de la matriz ampliada y ambos deben ser iguales al número de incógnitas,
131
R = R´ = 3. Por lo tanto basta que 0aa2 . Es decir, a debe ser diferente de 0 y de -1, no
importa cual sea el valor de b.
15. Resolver el sistema matricial
AYxB
AyBxAsiendo
10
11B
11
12A .
Solución:
ABAX;BA
;ABAXBA;AXBABXA;XBAY
12
22
11
10
01
11
10
21
11
12
10
21
10
11
10
11B 12
00
11
11
23
11
12ABA
11
23
11
12
10
11AB
00
01
11
00
10
11
11
12Y
11
00
00
11
11
10X
16. Hallar los valores y vectores propios de la matriz
200
111
153
A .
Solución:
Utilizando la expresión desarrollada para matrices de 3 x 3,
03322112
3322113 AAAAaaa
La ecuación característica de la matriz A es:
0420106262)213( 323
De donde los valores propios son: i1i12 321 . Si seleccionamos las
dos primeras ecuaciones, tenemos:
132
0xx1x
0xx5x3
321
321
Para 1 = -2,
10
x
4
x
6
x
11
55
x
11
15
x
11
15
x
0xxx
0xx5x5321321
321
321
Para 2 = 1 + i,
0
x
i1
x
i3
x
i21
5i2
x
11
1i2
x
1i2
15
x
0xxi2x
0xx5xi2
321321
321
321
Y, finalmente, para 3 =1 – i,
0
x
i1
x
i3
x
i21
5i2
x
11
1i2
x
1i2
15
x
0xxi2x
0xx5xi2
321321
321
321
Con lo cual, los vectores propios, son:
0
i1
i3
F
0
i1
i3
F
5
2
3
F 321
Obsérvese que los elementos de 3F
son los conjugados de los elementos de 2F
, ya que 2 y
3 también lo son.
17. Hallar los valores y vectores propios de la matriz
467
101314
566
A
133
Solución:
Desarrollando el determinante de la expresión
0
467
101314
566
, o bien
empleando la ecuación desarrollada para matrices de tercer orden, se obtiene la ecuación
característica: 033 23 . Ecuación que tiene una raíz triple: 1321 .
El sistema correspondiente,
0x5x6x7
0x10x12x14
0x5x6x7
321
321
321
es un sistema indeterminado al que corresponden infinitos vectores propios. Despejando en
cualquiera de las tres ecuaciones:
7
x5x6x 32
1
Si hacemos x2 = 7 x3 = 7, entonces x1 = 6 - 5 y los infinitos vectores propios están
dados por la expresión:
7
7
56
F
18. Hallar los ángulos que forman los vectores propios de la matriz
02231
22031
20231
00011
00000
A
Solución:
La ecuación característica es:
134
08221
2231
22031
20231
00011
0000
2
Y los valores propios son: 1 = 0; 2 = 1; 3 = 2; 4 = -2; 5 = 4. Para 1 = 0, se tiene,
0x2x2x3x
0x2x2x3x
0x2x2x3x
0xx
4321
5421
5321
21
1
1
1
2
2
kF8
x
8
x
8
x
16
x
16
x
2231
2031
0231
0011
x
0231
2031
2231
0011
x
0231
2231
2031
0011
x
0221
2201
2021
0001
x
0223
2203
2023
0001
x
1154321
54321
Para 2 = 1:
0xx2x2x3x
0x2xx3x
0x2xx3x
0x
54321
5421
5321
1
2231
1031
0131
0001
x
1231
2031
2131
0001
x
1231
2131
2031
0001
x
1221
2101
2011
0001
x
1223
2103
2013
0000
x 54321
135
1
1
1
1
0
kF9
x
9
x
9
x
9
x
0
x22
54321
Para 3 = 2:
0x2x2x2x3x
0x2x3x
0xx
0x2
54321
521
21
1
2231
0031
0011
0002
x
2231
2031
0011
0002
x
2231
2031
0011
0002
x
2221
2001
0001
0002
x
2223
2003
0001
0000
x 54321
0
1
1
0
0
kF0
x
8
x
8
x
0
x
0
x33
54321
Para 4 = -2:
0x2x4x3x
0x2x4x3x
0x3x
0x2
5421
5321
21
1
4031
0431
0031
0002
x
2031
2431
0031
0002
x
2431
2031
0031
0002
x
2401
2041
0001
0002
x
2403
2043
0003
0000
x 54321
136
2
1
1
0
0
kF96
x
48
x
48
x
0
x
0
x44
54321
Para 5 = 4:
0x2x2x3x
0x2x2x3x
0x3x
0x4
5421
5321
21
1
2031
0231
0031
0004
x
2031
2231
0031
0004
x
2231
2031
0031
0004
x
2201
2021
0001
0004
x
2203
2023
0003
0000
x 54321
1
1
1
0
0
kF48
x
48
x
48
x
0
x
0
x55
54321
Finalmente, para hallar el ángulo que forman los vectores entre sí, recordemos que el
producto escalar de dos vectores puede calcularse de dos formas diferentes:
cosVVccbbaaVV 2121212121
Siendo el ángulo que forman entre sí ambos vectores. Por lo tanto,
Entre 1V
y 2V
º08,41754,044
5
411
11120cos 11
Entre 1V
y 3V
º90022
0
211
01100cos 22
Entre 1V
y 4V
º90066
0
611
21100cos 33
137
Entre 1V
y 5V
º5,58522,033
3
311
11100cos 44
Entre 2V
y 3V
º9008
0
24
01100cos 55
Entre 2V
y 4V
º90024
0
64
21100cos 66
Entre 2V
y 5V
º30866,012
3
34
11100cos 77
Entre 3V
y 4V
º90012
0
62
01100cos 88
Entre 3V
y 5V
º9006
0
32
01100cos 99
Entre 4V
y 5V
º90018
0
36
21100cos 1010
19. Dada la matriz
3a2
a13a2, hallar el valor de a para que tenga un solo valor propio
y definir el vector propio correspondiente.
Solución:
Planteemos la ecuación característica:
07a7a3a23a2
a13a222
Para que dicha ecuación tenga dos raíces iguales 07a7a43a2 22 , de
donde, a = 2, y por lo tanto, = 5, raíz doble. Tomando la segunda ecuación:
2
1bF
4
x
2
x0x2x4 21
21
.
138
20. Hallar n2A , siendo
157
278
036
A .
Solución:
La ecuación característica es 09
157
278
0363
y, por lo tanto, los
valores propios son: 1 = 0 2 = 3 3 = -3. Así, la matriz diagonal es
300
030
000
D .
Los vectores propios correspondientes resultan ser
2
3
1
kF
1
1
1
kF
3
2
1
kF 332211
Por lo tanto
333
452
214
3
121
115
211
3
1
3230
330
330
A
213
312
111
300
030
000
213
312
111
A
1n2
n2n2
1n2n2
n2n2
n2
n2
n2n2
21. Hallar la potencia enésima de la matriz
acosasen
asenacosA
Solución:
La ecuación característica es, 01acos2acosasen
asenacos2
, ecuación a la
que corresponde los valores propios: ai
2
ai
1 easeniacoseaseniacos .
Los vectores propios, son:
139
i
1kF
i
1kF 2211
. Por lo tanto:
nacosnasen
nasennacos
2
ee
i2
eei2
ee
2
ee
A
1i
1i
i2
1
ieie
ee
ii
11
e0
0e
ii
11A
nainainainai
nainainainai
n
nainai
nainai1
nai
nain
22. Dada la matriz
c
ba
c
bc
b
c
ba
A , hallar, por diagonalización, nA .
Solución:
Hallemos la ecuación característica y los valores propios:
c
b2a
c
a0ab2acba2c0
c
ba
c
b
c
b
c
ba
21
222
Los correspondientes vectores propios son:
1
1kF
1
1kF 2211
. Ahora bien, dado
que la matriz A es simétrica, lo único que se necesita para que la matriz formada por sus
vectores propios sea ortogonal, es que su modulo sea igual a la unidad. Así, si hacemos
21
21F
21
21F 21
, la matriz
2121
2121es una matriz ortogonal, y en
consecuencia, su inversa es igual a la traspuesta. Finalmente,
2121
2121
c
b2a0
0c
a
2121
2121A
n
n
n
140
nnnn
nnnn
n
n
nn
nn
n
n
n
b2aab2aa
b2aab2aa
c2
1A
11
11
c
b2a
c
a
c
b2a
c
a
2
1
11
11
c
b2a0
0c
a
11
11
2
1A
23. Dada la matriz
6131
6132A ,
a. Hallar la suma matricial 1n2
n A...AAIS
b. Hallar nn
SLim
Solución:
IASIA n
n , por lo tanto IAIAS n1
n
Hallemos primero, por diagonalización, nA . La ecuación característica y los valores
propios, son:
3
1
2
1
6
1
6
5
6131
613221
2
Los vectores propios se obtienen fácilmente:
2
1F
1
1F 21
. Con lo que,
nnnn
nnnnn
n
n1n
n
232322
32322
11
12
30
02
21
11
21
11
310
021
21
11A
Por otra parte,
11
2125IA
6531
6131IA
1. Y, finalmente,
11
2125Sn
13322133242
1223
2
3
2
53
2
324
232322
32322
nnnn
nnnn
nnnn
nnnn
141
Y, haciendo tender n a infinito,
11
2125SLimS n
n
24. Resolver matricialmente el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
z5yx2z
z8y3x4y
z14y3x6x
Solución:
Definamos la ecuación característica y calculemos los valores y vectores propios,
correspondientes a la matriz de coeficientes del sistema:
2
4
5
KF
1
2
4
KF
1
0
2
KF211
022
512
834
1436
332211321
23
Y, por lo tanto
t2
3
t
2
t
1
t2
3
t
2
t2
3
t
2
t
1
t2
3
t
2
t
1
eC2eCeCz
eC4eC2y
eC5eC4eC2x
eC
eC
eC
211
420
542
z
y
x
25. Resolver matricialmente, el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
0x2yx
0y2yx
Solución:
Despejando x´ e y´, obtenemos
yxy
yxx
Ecuación característica y valores y vectores propios:
142
i
1bF
i
1aFi1i1022
11
112121
2
Por lo tanto:
tsenitcoseiCtsenitcoseiCy
tsenitcoseCtsenitcoseCx
eC
eC
ii
11
y
x
t
2
t
1
t
2
t
1
ti1
2
ti1
1
tsenAtcosBetsenAetcosBetsenCCtcosiCiCey
tsenBtcosAetsenBetcosAetseniCiCtcosCCex
ttt
2121
t
ttt
2121
t
26. Resolver, matricialmente, la ecuación diferencial 0x6x11x6x .
Solución:
Comencemos por hacer el siguiente cambio de variables: zxyyx . Con lo cual
la ecuación planteada se convierte en un sistema de tres ecuaciones:
z6y11x6z
zy
yx
Cuya resolución es:
t3
3
t2
2
t
1
t3
3
t2
2
t
1
332211321
23
eCeCeCx
eC
eC
eC
941
321
111
z
y
x
9
3
1
kF
4
2
1
kF
1
1
1
kF321
06116
6116
10
01
27. Hallar, utilizando el teorema de Cayley – Hamilton, 2A
, siendo,
143
10000
11000
11100
11110
11111
A
Solución:
Planteemos la ecuación característica:
015101051
10000
11000
11100
11110
11111
23455
Y, aplicando el teorema de Cayley – Hamilton:
1232
2341
2345
A5I10A10A5AA
I5A10A10A5AA
A5A10A10A5AI
Fácilmente se calculan las potencias necesarias:
10000
41000
104100
2010410
35201041
A
10000
31000
63100
106310
1510631
A
10000
21000
32100
43210
54321
A432
Y, sustituyendo, se obtiene sucesivamente
10000
21000
12100
01210
00121
A
10000
11000
01100
00110
00011
A21
144
28. Dada
230
110
401
A , hallar 323322321AAAX .
Solución:
La ecuación característica es: 01
230
110
4013
. Por lo tanto, según el
teorema de Cayley – Hamilton, IA3 .
221071071072107*31107*3107*3AAIAIAIIAAAX
Y, siendo
130
120
4121
A2
,
000
000
0123
130
120
4121
230
110
401
100
010
001
X
29. Dada la matriz
011
112
101
A y el polinomio matricial
I4A3A2AAkAAf2345
, hallar el valor de k necesario para que
Af se pueda reducir a la forma IbAa y calcular los valores de a y de b.
Solución:
La ecuación característica es 022
11
112
10123
, por lo tanto:
I2AA2A23
.
145
I4A4A3A2AI2AA22A2AA2A222234
I6A7A2A4A4I2AA23A4A4A3A222235
I4A3A2I2AA2I4A4A3kI6A7A2Af2222
I12k4A5k4Ak36Af2
De donde
4b
3a
2k
b12k4
a5k4
0k36
30. Dada la matriz
31
20A , hallar, por el teorema de Cayley Hamilton, n
A .
Solución:
La ecuación característica es: 02331
22
. Luego, I2A3A
2
Y, por lo tanto,
I22A12I6A7A2I2A33A2A3A 3323
I22A12I14A15A6I2A37A6A7A 4424
I22A12I30A31A14I2A315A14A15A 5525
I2AIA2I22A12A nnnn
11
22
21
212
10
012
31
20
10
01
31
202A nnn
1212
2222A
1nn
1nnn
146
31. Deducir una regla sencilla para encontrar la raíz cuadrada de una matriz 2 x 2, y
aplicarla para hallar la raíz cuadrada de
12
16A .
Solución:
Si X es la raíz buscada, entonces IbAXaIbXaX2
. De donde:
baa
aba
baa
aba
aa
aaaAaIbAXa
2221
1211
2221
1211
2221
121122222
Desarrollando, se tiene:
2112
2
2222
2
2221112121
2
2212111212
2
2112
2
1111
2
aabaaa
baabaaaa
baabaaaa
aabaaa
Y, descartando el caso trivial 0aa 2112 , se obtiene:
b2aaaAaaaab 2211
2
21122211
2
En nuestro caso particular, b2 = 4, y si tomamos b = 2, entonces 3a . Así,
12
14
3
1X
32. Dada la matriz
012
311
321
A , hallar Ae .
Solución:
Recordemos que el desarrollo en serie de Mac Laurin de ex, es:
xc0cone
!1n
x
!n
x......
!3
x
!2
x
!1
x1e c
1nn32x
Además, aplicando el teorema de Cayley – Hamilton:
147
0A0
12
311
32133
. Por lo tanto,
232323
333
232323
012
311
321
100
010
001
A2
1AIe
2A
212527
034
232121
e A
2.15 Problemas Propuestos
1. Hallar una matriz simétrica que sea raíz cuadrada de la matriz
105
55.
Solución:
Hay cuatro soluciones posibles,
55
50
55
50
31
12
31
12
2. Dada la matriz
315
203
112
A hallar una matriz simétrica X tal que A X = 0 .
Además, la traza de la matriz X debe ser igual a 42.
Solución:
27918
936
18612
X
148
3. Dada la matriz
012
110
101
A hallar 248A
Solución: I3A3 , por lo tanto,
112
122
111
3AI3AA 822822823248
4. Hallar las raíces cuadradas de 2I .
Solución:
0ccon 1
0bcon 110
01
10
01
10
01
10
012
2
ccc
aa
ab
aba
5. Por el método de los adjuntos, hallar la inversa de
345
232
013
A
Solución:
11177
694
231
A1
6. Por el método de las transformaciones elementales, hallar, con dos decimales exactas, la
matriz inversa de
81,772,628,533,4
29,710,658,422,3
28,654,441,311,2
08,561,432,228,1
A .
Solución:
76,004,245,116,0
17,073,013,162,0
58,292,437,141,1
26,246,382,047,0
A1
149
7. Hallar, por el método de las particiones, la matriz inversa de
00101
00011
01100
12000
11000
A
Solución:
00012
00011
00111
11111
10111
1A
8. Hallar, por el método de las particiones, la matriz inversa de
1224
2212
4312
2642
A
Solución:
624120
1242180
1658242
21461
6
11A
9. Dado el sistema de ecuaciones
1vzyx
2z4y2x
3vz5yx
1vzy3
, discutirlo y hallar las soluciones, si
las hay. Si hay más de una solución, hallar las 3 soluciones enteras correspondientes a los
valores de v positivos y más pequeños.
Solución:
26x8y3z22v
16x5y2z14v
6x2y1z6v
10. Discutir y resolver, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
150
9z2y3
6vz2y2x
8vz3yx
2v2zyx2
Solución:
Sistema compatible y determinado. x = 0,5 y = -1 z = 3 v = -2,5
11. Discutir y resolver, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
0z4y4x
5z6yx4
3z2yx
1z2yx2
Solución:
R = 2; R´ = 3, por lo tanto el sistema es incompatible.
12. Discutir y resolver el siguiente sistema:
1i4yx2
iiyx
Solución:
Sistema compatible y determinado. x = 2i; y = -1.
13. Discutir, según los valores de , la naturaleza del sistema
22x
4y2x
Solución:
Para = -2, el sistema es compatible e indeterminado. Para = 1 el sistema es
incompatible. Para = -1 o = -4, el sistema es compatible y determinado. cualquier otro
valor de el sistema es compatible y determinado.
151
14. Discutir y resolver el siguiente sistema:
1azayx
3azy3x
2z3y2x
Solución:
Para que el sistema sea incompatible a debe ser igual a 3. Para que el sistema sea
compatible y determinado basta que a sea diferente de 3. No es posible que el sistema sea
compatible e indeterminado, no importa cual sea el valor de a.
15. Dada la matriz
feb
dc32
a3231
, hallar a, b, c, d, e, f para que la matriz sea
ortogonal, sabiendo que a < 0; b < 0; c >0.
Solución:
31f32e32d31c32b32a
16. Hallar los valores y vectores propios de la matriz
31
21A .
Solución:
Los valores propios son: 1 = 2 + i 2 = 2 – i.
Los vectores propios son:
i1
2F
i1
2F 21
17. Hallar los valores y vectores propios de la matriz
251
231
664
A .
Solución:
Los valores propios son: 1 = 1 2 = 3 = 2.
152
Los vectores propios son:
2
1
3
FF
3
1
4
F 321
18. Hallar los valores y vectores propios de la matriz
achbash
ashbachA
Solución:
Los valores propios son: a
2
a
1 eashacheashach (Recordemos que
2
eeash
2
eeach
aaaa
). Los vectores propios son:
1
baF
1
baF 2211
19. Hallar una matriz A , simétrica, tal que los valores propios sean 1, 2, 3 y dos de sus
vectores propios sean
k
1
1
F
1
1
1
F 21
.
Solución:
k = 0.
1444
4111
4111
6
1A
2
1
1
F3
20. Dada la matriz
3i2
i0A , hallar nA
Solución:
12i22
i1222A
1n1n
nn
n
153
21. Dada la matriz
113
312
112
A hallar los ángulos entre los vectores propios.
Solución:
327,0cos803,0cos451,0cos
1
1
0
cF
4
1
5
bF
2
5
3
aF 111
22. Dada la matriz
110
121
011
A hallar, por diagonalización, nA .
Solución:
nnn
nnn
nnn
n
333233
323432
333233
6
1A
23. Dada la matriz
78
67A , hallar la suma ilimitada
32A
8
1A
4
1A
2
1IS .
Solución:
IAn para n par, y AA
n para n impar. Por lo tanto, 0A
2
1Lim
n
nn
310316
46IA
2
1S
1
24. Resolver matricialmente el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
0ydt
dx
dt
dx4
dt
dyx3
154
Solución:
t3
2
t
1
t3
2
t
1 eC3eCyeCeCx
25. Resolver matricialmente el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
0yx3dt
dx
0yx4dt
dy
dt
dx2
Solución:
itsen3tcosBtsentcos3AytBisentcosAx .
Donde C1 + C2 = A y C1 – C2 = B
26. Resolver matricialmente la ecuación diferencial 0x21x4x .
Solución:
t7
2
t3
1 eCeCx
27. Dada la matriz
121
112
348
A , hallar, utilizando el teorema de Cayley – Hamilton,
2A
.
Solución:
27549
114710
542
9
1A
2
28. Dada la matriz
112
100
221
A , hallar, utilizando el teorema de Cayley –
Hamilton, 42013362A3A2X .
155
Solución:
4523
1122
2230
X
29. Dada la matriz
32
21A , hallar, mediante el teorema de Cayley – Hamilton,
nA .
Solución:
1n2n2
n21n2AI1nAnA
nn
30. Si X es una matriz simétrica 2 x 2, resolver la ecuación matricial
0I2X3X2
, sabiendo que uno de sus vectores propios es
1
1.
Solución:
2321
2123X
31. Dada la matriz
34
23A , hallar Asen .
Solución:
A84,0A1senA.......!7
1
!5
1
!3
1
!1
1.......
!7
A
!5
A
!3
A
!1
AAsen
753
32. Una matriz A es ortogonal y simétrica. Hallar Acos .
156
Solución:
I54,0I1cosI.......!4
1
!2
11.........
!4
A
!2
AIAcos
42
157
CAPÍTULO III
ELEMENTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO
3.1 Introducción
En estas notas, dedicadas a los alumnos del quinto semestre de la Escuela de Ingeniería
Civil de la Universidad de Los Andes, se puede observar la falta de algunas
demostraciones y la ausencia de métodos y fórmulas importantes. Así mismo, la Teoría de
Ecuaciones está apenas esbozada y la solución de las ecuaciones en derivadas parciales ni
siquiera se toca.
La razón de estos serios defectos se encuentra en la escasez del tiempo disponible para esta
enseñanza, que es menos de la mitad de un semestre. Incluso tal como están estas notas es
necesario hacer un buen esfuerzo para llegar a explicarlo todo.
3.2 Diferencias Finitas
Entre los métodos utilizados en las matemáticas aplicadas, tienen especial importancia los
llamados “métodos de diferencia finitas” que son empleados en la resolución de los
problemas de interpolación, ajuste de curvas, derivación numérica, integración numérica,
resolución aproximada de ecuaciones diferenciales, etc. Resulta pues necesario, que los
que se interesan por las matemáticas aplicadas tengan algún conocimiento relativo a las
propiedades de estas diferencias.
3.2.1 Diferencias Divididas
Supongamos una función f(x), dada explícitamente o por medio de una tabla. Los
cocientes:
i1i
i1i1ii
12
1221
01
0110
xx
xfxfxx...........
xx
xfxfxx;
xx
xfxfxx
Se llaman diferencias divididas de primer orden. Los cocientes:
i2i
i1i2i1i2i1ii
02
1021210
xx
xxxxxxx...........;
xx
xxxxxxx
Se llaman diferencias divididas de segundo orden. Y, en general,
158
ii
1-niii1ii1ii
xx
x....xx....xx.....xx
n
nn
Se llaman diferencias divididas de orden n-1.
De estas definiciones se deducen, fácilmente, las siguientes propiedades:
1. La diferencia dividida de la suma de dos funciones es igual a la suma de las
diferencias divididas de cada función.
2. La diferencia dividida del producto de una constante por una función es igual al
producto de la constante por la diferencia dividida de dicha función.
3. La alteración del orden de los elementos de una diferencia dividida no cambia el
valor de ésta. Es decir, 123312321 xxxxxxxxx , etc.
Muchas veces es conveniente expresar las diferencias divididas en forma de tabla. Por
ejemplo: Sea la función dada por la tabla
x 0 0,2 0,3 0,4 0,7 0,9
f(x) 32,671 42,897 57,484 66,395 95,132 116,020
La tabla de diferencias divididas resulta ser:
x f(x) 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
0 32,671
0,2 48,897 81,13
0,3 57,484 85,87 15,8
0,4 66,395 89,11 16,2 1
0,7 95,132 95,79 16,7 1 0
0,9 116,020 104,44 17,3 1 0 0
Que corresponde a
x f(x)
0x y0
1x y1 10xx
2x y2 21xx 210 xxx
3x y3 32xx 321 xxx 3210 xxxx
4x y4 43xx 432 xxx 4321 xxxx 43210 xxxxx
5x y5 54xx 543 xxx 5432 xxxx 54321 xxxxx 543210 xxxxxx
159
Ahora bien, en esta tabla no están todas las diferencias posibles y, así por ejemplo, la
diferencia 042 xxx habrá que calcularla directamente:
16,300,7
82,7194,12xxx
82,7100,3
32,67157,484
xx
yyxx94,12
0,30,7
57,48495,132
xx
yyxx
xx
xxxxxxxxxx
042
02
0220
24
2442
04
2042420042
3.2.2 Diferencias Progresivas
Sea una función f(x), explícita o dada por una tabla, en la cual los valores de x, x0, x1 … xi
…, están uniformemente separados, es decir que xi+1 – xi = h = constante, cualquiera que
sea i. Las diferencias progresivas de f(x) se definen mediante las igualdades:
f(x)Δh)f(xΔf(x)Δ Enésima Diferencia
.............................................................................
Δf(x)h)Δf(xf(x)Δ Segunda Diferencia
f(x)h)f(xΔf(x)PrimeraDiferencia
1n1nn
2
Este operador tiene propiedades análogas a las de las diferencias divididas, es decir que,
como se puede comprobar con facilidad,
1. La diferencia progresiva de la suma de dos funciones es igual a la suma de las
diferencias divididas de cada función.
Δg(x)Δf(x)g(x)f(x)Δ
2. La diferencia progresiva del producto de una constante por una función es igual al
producto de la constante por la diferencia progresiva de dicha función.
Δf(x)kf(x)kΔ
3. La diferencia progresiva de orden m de la diferencia de orden n de una función es
igual a la diferencia progresiva de orden n+m de dicha función.
f(x)Δf(x)ΔΔ nmnm
Con frecuencia los valores de la función y los de sus diferencias se disponen en forma de
tablas que, esta vez si, contienen todas las diferencias posibles. Por ejemplo, sea la función,
x 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
f(x) 1 1,258 1,532 1,820 2,128
160
Con estos valores se obtiene la siguiente tabla
x f(x) ∆ ∆2
∆3
∆4
1,2 1
1,4 1,258 0,258
1,6 1,532 0,274 0,016
1,8 1,820 0,288 0,014 -0,002
2,0 2,128 0,308 0,020 0,006 0,008
Que corresponde a
x f(x) ∆ ∆2
∆3
∆4
x0 y0
x1 y1 ∆y0
x2 y2 ∆y1 ∆2y0
x3 y3 ∆y2 ∆2y1 ∆
3y0
x4 y4 ∆y3 ∆2y2 ∆
3y1 ∆
4y0
En otros casos se manejan diferencias funcionales, como en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1:
Hallemos todas las diferencias del polinomio 3x2xxP(x) 23 con h = 1.
626x21x6P(x)Δ
26xx3x1x1x3P(x)Δ
x3x3x2xx31x1x21xΔP(x)
3
222
22323
Y las diferencias sucesivas son nulas.
Ejemplo 2:
Hallemos la diferencia enésima de x3f(x) , con h = 2.
xnx1n1nn
x2xx2
xxxx2x
383Δ8f(x)Δ
.............................................................
383Δ838Δf(x)Δ
3833933Δf(x)
161
Ejemplo 3:
Hallemos la diferencia enésima de xsenf(x) con h = /2
43πnxsen2f(x)Δ
...................................................
43π2xsen2f(x)Δ
4π3xsen24πxcos4πsen2xsen2πxsenΔf(x)
nn
22
3.2.3 Antidiferencias
Las diferencias de órdenes negativos, o antidiferencias, se definen mediante las igualdades:
f(x)ΔΔf(x)Δ
.....................................
f(x)ΔΔf(x)Δ
f(x)ΔF(X)F(x)f(x)Δ
1n1n
112
1
La obtención de las antidiferencias resulta, en general, más complicada que la de las
diferencias, tal como puede observarse en estos sencillos ejemplos.
Ejemplo 1:
Hallemos la antidiferencia del polinomio 13xxP(x) 2 con h = 2.
Puesto que cada diferencia rebaja en una unidad el grado de cada polinomio, la
antidiferencia de P(x) será un polinomio de tercer grado.
Si dxcxbxaP(x)Δ 231 ; la diferencia de este polinomio debe ser igual a P(x), es
decir, se debe tener
13xx2c4b8ax4b)(12a6ax
13xxdxcxbxad2xc2xb2xa
22
22323
De donde a = 1/6; b = 1/4; c = -2/3; y, por lo tanto, la antidiferencia es:
d3
2x
4
x
6
xP(x)Δ
231
162
Donde d es una constante arbitraria o, de forma más general, una función periódica
arbitraria de periodo 2.
Ejemplo 2:
Hallemos la antidiferencia de x2xf(x) con h = 1.
Probemos la solución x1 2baxf(x)Δ . La diferencia de dicha función,
xx1x 2b2aax2bax2b1xa , debe ser igual a la función dada, x2x .
Y, finalmente, igualando coeficientes, se tiene que: a = 1 b = - 2. Así que la solución es:
x1 22xf(x)Δ , más, obviamente, una constante arbitraria o una función periódica
arbitraria de periodo uno.
3.2.4 Polinomios Factoriales
Con el propósito de manejar cómodamente las diferencias, y sobre todo las antidiferencias,
de los polinomios, se definen los polinomios factoriales que pueden ser de orden positivo o
de orden negativo.
3.2.4.1 Polinomios Factoriales de Orden Positivo
Los polinomios factoriales de orden positivo se definen como:
h1nx...2hxhxxx
......2hxhxxxhxxxxx1x
n
3210
......
Las diferencias de estos polinomios están dadas por la siguiente relación:
1n
n
xnhh1nxhxh2nx....hxx
h1nx....hxxh2nx....hxxhxΔx
Fórmula análoga a la de las derivadas, salvo que debe multiplicarse por h. Para las
antidiferencias, la fórmula es, obviamente, similar a la de integración:
h1n
xxΔ
1nn1
163
Ejemplo:
Hallemos las diferencias y la antidiferencia del polinomio 13xxP(x) 2 , con h = 2,
descomponiéndolo en suma de polinomios factoriales. 13xxCBx2xAxxCxBxAP(x) 2012
Para x = 0, C = 1
Para x = 2, 2B + C = 11, por lo tanto B = 5
Y, finalmente, igualando los términos en x2, A = 1. Así pues,
dx3
2x
4
1x
6
1P(x)Δ
dx2
12xx
4
54x2xx
6
1d
h
x
2h
5x
3h
xP(x)Δ
nulas. son todas sdiferencia siguientes las Y84hxP(x)Δ
104x10x4x5hx2hxΔP(x)
x5xxP(x)
231-
1231-
02
0101
012
3.2.4.2 Polinomios Factoriales de Orden Negativo
Los polinomios factoriales de orden negativo se definen como:
nhx....2hxhx
1x..........
2hxhx
1x
hx
1x n21
Las diferencias son:
1n
n
xnhh1nxnhx....3hx2hxhx
h1nxhx
nhx....2hxhx
1
h1nx....3hx2hx
1Δx
Y, para las antidiferencias:
hn1
xxΔ
1nn1
Ejemplo:
164
Hallemos la primera diferencia y la antidiferencia de 1219x8xx
26xR(x)
23
, con h =
1, descomponiendo esta fracción en suma de polinomios factoriales de orden negativo.
Las raíces del denominador son: -1, -3 y -4, luego
4321
23DxCxBxxA
4x3x1x
26x
1219x8xx
26x
4x3x2x1x
D
3x2x1x
C
2x1x
B
1x
A
4x3x1x
26x
De donde:
D4xC4x3xB4x3x2xA2x26x
Para x = - 4, D = 44
Para x = - 3, D + C = 16, por lo tanto C = - 28
Para x = - 2, D + 2C + 2B = 0, por lo tanto B = 6
Y, finalmente, igualando los coeficientes de los términos en x3, A = 0.
En definitiva:
5x4x3x2x1x
4x24-x12-ΔR(x)
5x4x3x2x1x
176
4x3x2x1x
84
3x2x1x
12ΔR(x)
x176x84x12xh176xh84xh12ΔR(x)
x4428xx6R(x)
2
543543
432
3x2x1x3
190132x18x
3x2x1x3
44
2x1x
14
1x
6R(x)Δ
x3
4414x6xx
3h
44x
2h
28x
h
6R(x)Δ
21
3213211
3.2.4.3 Sumas Finitas
Sea F(x) la antidiferencia de f(x). Se tendrá
165
F(x+h) – F(x) = f(x)
Haciendo en esta igualdad x = h, 2h, 3h, …. nh, se tiene:
F(2h) – F(h) = f(h)
F(3h) – F(2h) = f(2h)
F(4h) – F(3h) = f(3h)
…………………….
F((n+1)h) – F(nh) = f(nh)
Y sumando:
Sn = f(h) + f(2h) + f(3h) + …. + f(nh) = F((n+1)h)- F(h)
Si, como es frecuente, h es igual a 1:
Sn = f(1) + f(2) + f(3) + …. + f(n) = F(n+1)- F(1)
Ejemplo 1:
Hallemos la suma de los n primeros cuadrados. CxB1xxAxCxBxAxf(x) 0122
Para x = 0, C = 0
Para x = 1, C + B = 1, por lo tanto B = 1
Igualando los coeficientes del término en x2, se obtiene A = 1
Por lo tanto:
12n1nn6
1n1n
2
11nn1n
3
1S
1xx2
12x1xx
3
1
2
x
3
xF(x)xxf(x)
n
2312
Ejemplo 2:
Hallemos nn21n 2n....232221S
221n2221nS
2xF(x)2b1axb2aax
2x2bax2b1xa2baxF(x)2xf(x)
1n1nn
x
xx1xxx
3.3 Interpolación
Sean n+1 valores de x: x0, x1, x2, …. , xn, y los correspondientes valores de una cierta
función f(x) en esos puntos: nn221100 yxf......yxf,yxf,yxf . Se trata de
construir otra función F(x) que pertenezca a un tipo determinado y que tome los mismos
valores que f(x) en el conjunto dado de valores de x, lo que geométricamente equivale a
encontrara una curva, de un tipo prefijado que contenga a n+1 puntos dados.
166
En el caso más sencillo F(x) es un polinomio Pn(x) de grado no superior a n, y este es el
caso que vamos a estudiar ahora. El polinomio Pn(x) se utiliza ordinariamente para
aproximar los valores de f(x) en puntos que difieran de los dados. Cuando x es interior al
intervalo n0 x,x se habla de interpolación y en caso contrario de extrapolación. En lo
sucesivo, cuando no se especifique claramente lo contrario, se entenderá que se está
tratando de interpolación.
3.3.1 Fórmula de Lagrange
Escribamos el polinomio buscado en la forma
(x)Ly....(x)LyxLy(x)P nn1100n
Tal como se indica en el párrafo anterior, debe cumplirse que 1xL0;xL iiji .
Como Li(x) debe ser de grado n y anularse para x = x0; x = x1; …. ; x = xi-1; x = xi+1; ….
x = xn, debe ser de la forma
n1i1i10ii xx....xxxx....xxxxC(x)L
Y como Li(xi) debe ser igual a uno, se tiene que
ni1ii1ii1i0ii
xx....xxxx....xxxx
1C
Es decir que
ni1ii1ii1i0i
n1i1-i10i
xx....xxxx....xxxx
x-xx-xx-xx-xx-x(x)L
........
Cuando n es igual a uno, la interpolación se llama lineal y, entonces,
01
01
10
101
xx
xxy
xx
xxy(x)P
Para n = 2 y para n = 3, la interpolación se llama cuadrática o cúbica, respectivamente, y se
tiene:
1202
102
2101
201
2010
2102
xxxx
xxxxy
xxxx
xxxxy
xxxx
xxxxy(x)P
167
231303
2103
301202
3102
302101
3201
302010
32103
xxxxxx
xxxxxxy
xxxxxx
xxxxxxy
xxxxxx
xxxxxxy
xxxxxx
xxxxxxy(x)P
Ejemplo 1:
Sea la función definida por la tabla,
x 2,0 2,5 2,8 3,4
f(x) 0,693 0,916 1,030 1,224
Hallemos un valor aproximado de f(2,3). Con interpolación lineal:
0,82682,02,5
2,02,30,916
2,52,0
2,52,30,693f(2,3)
Con interpolación cuadrática:
0,83182,5)-2,0)(2,8(2,8
2,5)-2,0)(2,3(2,31,030
2,8)-2,0)(2,5(2,5
2,8)-2,0)(2,3(2,30,916
2,8)-2,5)(2,0(2,0
2,8)-2,5)(2,3(2,30,693f(2,3)
Con interpolación cúbica:
0,83222,8)-2,5)(3,4-2,0)(3,4(3,4
2,8)-2,5)(2,3-2,0)(2,3(2,31,224
3,4)-2,5)(2,8-2,0)(2,8(2,8
3,4)-2,5)(2,3-2,0)(2,3(2,31,030
3,4)-2,8)(2,5-2,0)(2,5(2,5
3,4)-2,8)(2,3-2,0)(2,3(2,30,916
3,4)-2,8)(2,0-2,5)(2,0(2,0
3,4)-2,8)(2,3-2,5)(2,3(2,30,693f(2,3)
La función considerada es f(x) = ln x y el valor exacto de f(2,3) es 0,8329.
Cuando los valores de las abscisas están igualmente espaciados, las fórmulas pueden
simplificarse mediante el cambio de variable: x – x0 = r h. Con lo cual:
nrhhnhrxxxxxx
..........................................................................
2rh2hhrxxxxxx
1rhhhrxxxxxx
0n0n
0202
0101
168
Teniendo en cuenta que, según se ha visto,
ni1ii1ii1i0i
n1i1-i10i
xx....xxxx....xxxx
x-xx-xx-xx-xx-x(x)L
........
Sustituyendo y dividiendo numerador y denominador por hn, se tiene:
i))(n(....1)((1)....1)(ii
nr....1ir1ir....1rr(r)Li
Así, para la interpolación lineal:
1
ry
1
1)(ryP(x) 10
Para la interpolación cuadrática:
21
1rry
11
2rry
12
2r1ryP(x) 210
Y, para la interpolación cúbica:
321
2r1rry
211
3r1rry
112
3r2rry
123
3r2r1ryP(x) 3210
Ejemplo 2:
Dada la tabla,
x 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9
f(x) 0,7419 0,8329 0,9163 0,9933 1,0647
hallemos f(2,22).
Del cambio de variable, 2,22 - 2,1 = 0,2 r, por lo tanto, r = 0,6. Con interpolación lineal:
0,7965(0,6)0,83290,40,7419f(2,22)
Con interpolación cuadrática:
0,7974
2
0,40,60,9163
1
1,40,60,8329
2
1,40,40,7419f(2,22)
Con interpolación cúbica:
169
0,7975
6
1,40,40,60,9933
2
2,40,40,60,9163
2
2,41,40,60,8329
6
2,41,40,40,7419f(2,22)
Y, utilizando todos los datos:
0,7975
24
2,41,40,40,61,0647
6
3.41,40,40,60,9933
4
3,42,40,40,60,9163
6
3,42,41,40,60,8329
24
3,42,41,40,40,7419f(2,22)
En este caso concreto el valor exacto es: ln 2,22 = 0,7975072.
3.3.2 Fórmula de Newton Gregory
Partiendo de la definición de las diferencias divididas obtenemos, en forma sucesiva,
1101001
11010
0000
00
xxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxff(x)xx
f(x))f(xxx
Y, sustituyendo:
10101000 xxxxxxxxxxxxff(x)
Procediendo del mismo modo:
2210210102
10210210 xxxxxxxxxxxx
xx
xxxxxxxxxx
Y, sustituyendo otra vez:
210210210101000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxff(x)
Y, procediendo por inducción se llega a
n10n101-n10n210
210101000
xxxxxx....xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxff(x)
............
....
170
Esta igualdad es exacta, pero conocer la última diferencia implica conocer f(x) que es
precisamente lo que se busca. La aproximación consiste en suprimir este último término.
Ejemplo 1:
Dada la tabla
x 4,7 4,8 5,0 5,2 5,3
f(x) 2,16795 2,19089 2,23607 2,28035 2,30217
La tabla de diferencias divididas resulta ser
x f(x) 1º Orden 2º Orden 3º Orden 4º Orden
4,7 2,16795
4,8 2,19089 0,22940
5,0 2,23607 0,22590 -0,01167
5,2 2,28035 0,22140 -0,01125 0,00083
5,3 2,30217 0,21820 -0,01067 0,00117 0,00056
Y, por lo tanto:
2,204540,34)(*0,14)(*0,06*0,16*0,000560,14)(*0,06*0,16*0,00083
0,06*0,16*0,01167)(0,16*0,229402,16795f(4,86)
El resultado exacto, en este caso es: 2,2045074,86
Si las abscisas están uniformemente separadas la fórmula obtenida se puede simplificar del
siguiente modo:
2
02
01
02
1021210
0
0
00
h!2
yΔ
h2
h!1
Δy
h!1
Δy
xx
xxxxxxx
h!1
Δy
xx
f(x))f(xxx
n
0n
n210
3
03
03
2
02
2
12
3210
h!n
yΔx....xxx
h!3
yΔ
xx
h!2
yΔ
h!2
yΔ
xxxx
.........................................................
171
Haciendo de nuevo el cambio de variable x -xo = rh, con lo que,
x – x1 = (r – 1) h; x – x2 = (r – 2) h; ….; x – xn = (r – n) h
y después de sustituir y simplificar las potencias de h en numeradores y denominadores,
nos queda:
....yΔ
!3
2r1rryΔ
!2
1rrΔy
!1
ryf(x) 0
30
200
Es decir,
....yΔn
r....yΔ
2
rΔy
1
ry
0
rf(x) 0
n0
200
O, simbólicamente,
r0Δy1f(x)
Ejemplo 2:
Dada la tabla,
X 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
f(x) 1,2214 1,4918 1,8221 2,2255 2,7183
Hallemos f(0,3)
x f(x) ∆ ∆2
∆3
∆4
0,2 1,2214
0,4 1,4918 0,2704
0,6 1,8221 0,3303 0,0599
0,8 2,2255 0,4034 0,0731 0,0132
1 2,7183 0,4928 0,0894 0,0163 0,0031
0,5rr0,2hr0,20,3xx 0
1,34980,0031
24
2,51,50,50,5
0,01326
1,50,50,50,0599
2
0,50,50,2704
1
0,51,2214f(0,3)
Ejemplo 3:
Hallemos el término general de la suma
172
S = 3 + 7 + 39 + 147 + 403 + 903 + 1767 + 3139 + …..
3 7 39 147 403 903 1767 3139
4 32 108 256 500 864 1372
28 76 148 244 364 508
48 72 96 120 144
24 24 24 24
3n2nnf(n)
4n3n2n1n3n2n1n82n1n141n43f(n)
1nr1*r1n
24
3r2r1rr24
6
1r1rr48
2
1rr284r3f(r)
234
3.3.3 Error en las Fórmulas de Lagrange y Newton Gregory
Sea nn1100n Ly....LyLy(x)P el polinomio obtenido por la fórmula de Lagrange
para aproximar la función f(x), que suponemos derivable al menos (n+1) veces en el
intervalo n0 x,x ; y sea f(xg) el valor aproximado calculado. Consideremos la función
ng10n xx....xxxxk(x)Pf(x)g(x)
Puesto que para n10 x,....,x,xx ; f(x) es igual a Pn(x), la función g(x) se anula en todos
esos puntos. Determinemos ahora k de modo que g(x) se anule también para x = xg,
con lo cual
ng1g0g
n
xx....xxxx
(x)Pf(x)k
Con este valor de k, la función g(x) tendrá (n+2) raíces en el intervalo n0 x,x y
aplicando repetidas veces el teorema de Rolle, se llega a la conclusión de que (x)g 1n se
anula por lo menos una vez en el intervalo citado. !1nk(c)f0g(c) 1n
!1n
(c)gk
1n
Al igualar los dos valores de k obtenidos, se obtiene:
173
ng1g0g
1n
n xx....xxxx!1n
(c)f(x)Pf(x)errorε
Y, si M es un valor igual o superior a (x)f 1n en todo el intervalo de interpolación,
ng1g0g xx....xxxx
!1n
Mε
fórmula que exige conocer las derivadas de la función f(x) a aproximar, lo que no es
siempre el caso.
Ejemplo 1:
Calculemos el error cometido en el ejemplo 1 del párrafo 3.3.1.
8
3
2
6M;
x
6(x)f2,3;x3,4;x2,8;x2,5;x2;x3;nx;lnf(x)
44
IV
g3210
410*63,42,32,82,32,52,322,324
3/8ε
El polinomio Pn(x) obtenido por la fórmula de Lagrange y el polinomio Qn(x) obtenido por
la fórmula de Newton son idénticos puesto que
T(x) = Pn(x) – Qn(x)
Se anula para (n + 1) valores de la variable, xo, x1, …. , xn y al ser de grado n tiene que ser
idénticamente nulo. Por lo tanto, la fórmula que acabamos de obtener será válida también
en este caso.
Ejemplo 2:
Calculemos el error cometido en el ejemplo 1 del párrafo 3.3.2.
93
3
99
V
g43210
10*65,34,865,24,8654,864,84,864,74,86120
10*3,2ε
10*3,2
4,732
105M;
x
1
32
105(x)f
4,86x5,3;x5,2;x5;x4,8x4,7;x4;n;xf(x)
Este error es solamente el error de la fórmula, tanto en el caso de la fórmula de Lagrange
como en la de Newton, y a él, obviamente tendrán que añadirse los errores con los que han
sido calculados los datos.
174
3.3.4 Interpolación Inversa
Supongamos que se dispone de una función y = f(x) dada en su forma tabular. El
problema de la interpolación inversa consiste en encontrara el valor de x que corresponde a
uno dado, yg, de f(x).
Si las abcisas están uniformemente separadas, se tiene
...y
!n
1nr...1rr...y
!2
1rry
!1
ryy 0
n
0
2
00g
De aquí,
0
n
0
0
2
00
0gy
y!n
1nr...1rr...y
y!2
1rr
y
yyr
Como aproximación inicial, tomamos 0
0g
0y
yyr
y hacemos, sucesivamente,
0
n
0
0000
2
0
0001 y
y!n
1nr...1rr...y
y!2
1rrrr
0
n
0
1110
2
0
1102 y
y!n
1nr...1rr...y
y!2
1rrrr
……………………………………………………………………………….
Y así hasta que aparezcan dígitos con exactitud deseada, es decir, hasta que rm = rm+1 con
los decimales deseados.
Una vez encontrado el valor de r, se obtiene x de la igualdad x – x0 = rh.
Ejemplo 1:
Dada la función mediante la tabla
x 0,1 0,2 0,3 0,4
f(x) 0,0998 0,1987 0,2955 0,3894
busquemos el valor de x que corresponde a f(x) = 0,15.
x f(x) ∆ ∆2
∆3
0,1 0,0998
0,2 0,1987 0,0989
0,3 0,2955 0,0968 -0,0021
0,4 0,3894 0,0939 -0,0029 -0,0008
)2r()1r(r6
0008,0)1r(r
2
0021,0r0989,00998,015,0
175
1505,0x1,05054,01,0x
5054,04946,14946,05054,00013,04946,05054,00106,05076,0r
5054,04924,14924,05076,00013,04924,05076,00106,05076,0r
)2r()1r(r0013,0)1r(r0106,05076,0r
5076,00989,0
0998,015,0r
2
1
0
Ejemplo 2:
Aproximemos, por interpolación inversa, la raíz de la ecuación 01x2x 34 , que está
comprendida entre 2 y 2,3.
x f(x) ∆ ∆2
∆3
2 -1
2,1 -0,0739 0,9261
2,2 1,1296 1,2035 0,2774
2,3 2,6501 1,5205 0,3170 0,0396
1069,2x0692,12x
0692,19308,00692,00692,10071,00692,00692,11498,00798,1r
0692,19305,00695,00695,10071,00695,00695,11498,00798,1r
0695,19325,00675,00675,10071,00675,00675,11498,00798,1r
0675,19202,00798,00798,10071,00798,00798,11498,00798,1r
)2r)(1r(r0071,0)1r(r1498,00798,1r0798,19261,0
10r
)2r)(1r(r0396,0)1r(r2774,0r9261,010
4
3
2
1
0
Si las abcisas no están uniformemente separadas el procedimiento es análogo.
Ejemplo 3:
Dada la función f(x), por la tabla
x 0 0,2 0,3 0,5
f(x) 0 0,1823 0,2624 0,4055
Hallemos un valor de x tal que f(x) = 0,2.
Construyamos primero la tabla de diferencias divididas:
176
x f(x) 1ª 2ª 3ª
0 0
0,2 0,1823 0,9115
0,3 0,2624 0,8010 -0,3683
0,5 0,4055 0,7155 -0,2850 0,1667
2214,0x
2214,00786,00214,0022141829,00214,02214,04041,02194,0x
2214,00788,00212,0022121829,00212,02212,04041,02194,0x
2212,00806,00194,0021941829,00194,02194,04041,02194,0x
)3,0x)(2,0x(x1829,0)2,0x(x4041,02194,0x2194,09115,0
02,0x
)3,0x)(2,0x(x1666,0)2,0x(x3683,0x9115,002,0
1
2
1
0
3.3.5 Interpolación de una Función de Dos Variables
Sea una función de dos variables, z = f(x,y), dada en forma tabular:
y\x x0 x1 x2 ….
y0 z00 z10 z20 ….
y1 z01 z11 z21 ….
y2 z02 z12 z22 ….
… …. …. ….
Y, sea zgg = f(xg,yg) el valor que deseamos calcular de un modo aproximado.
En primer lugar, construimos un conjunto de tablas para los valores de zgi = f(xg,yi) (i =
1,2,3,…) utilizando las fórmulas de interpolación ya conocidas. Y, en segundo lugar,
utilizando la misma fórmula de interpolación, u otra diferente, se calcula zgg.
Ejemplo:
Dada la función,
y\x 1,1 1,2 1,3
2 1,6292 1,6487 1,6677
2,2 1,7047 1,7228 1,7405
2,4 1,7750 1,7918 1,8083
Hallemos f(1,15; 2,3).
Utilizando la fórmula de Newton para intervalos igualmente espaciados, tendremos:
177
y = 2
x f(x;2) ∆ ∆2
1,1 1,6292
1,2 1,6487 0,0195
1,3 1,6677 0,0190 -0,0005
6390,12
5,05,00005,05,00195,06292,1z
5,0r1,0r1,115,1
0g
y = 2,2
x f(x;2,2) ∆ ∆2
1,1 1,7047
1,2 1,7228 0,0181
1,3 1,7405 0,0177 -0,0004
7138,12
5,05,00004,05,00181,07047,1z 1g
y = 2,4
x f(x;2,4) ∆ ∆2
1,1 1,775
1,2 1,7918 0,0168
1,3 1,8083 0,0165 -0,0003
7834,12
5,05,00003,05,00168,07750,1z 2g
y zgi ∆ ∆2
2 1,639
2,2 1,7138 0,0748
2,4 1,7834 0,0696 -0,0052
7492,12
5,05,10052,05,10748,06390,1z
5,1r2,0r23,2
gg
Es conveniente hacer las siguientes observaciones:
- Obviamente, el orden de interpolación puede ser invertido, es decir que se puede
hacer variar primero los valores de y, y finalmente, los de x.
- Lógicamente la acumulación de errores hará que el resultado obtenido sea, en
general, menos exacto que en el caso de una variable.
178
- Se puede encontrar una fórmula que utilice diferencias dobles, pero ese punto no se
considerará en el presente texto.
3.4 Ajuste de una Función por el Método de Mínimos Cuadrados
Cuando tratamos de interpolar una función dada, como en los párrafos anteriores, por
medio de una tabla, observamos que el grado del polinomio interpolante crece con el
número de datos, lo que desde un punto de vista práctico limita el número de datos a
utilizar.
El problema es, por lo tanto, encontrar una función de tipo predeterminado (lo más simple
posible) que represente lo mejor posible el comportamiento de un conjunto grande de
datos. El análisis de regresión es la técnica estadística que permite modelar, de la manera
más exacta posible, la relación entre dos o más variables.
El tipo de modelo o función matemática que relacionan a dos o más variables entre sí
puede ser de muy diversos tipos. En ocasiones, el modelo surge de una relación teórica. En
otras, no hay ningún conocimiento teórico de la relación existente entre x e y, y la
selección se basa en el análisis del diagrama de dispersión que es una gráfica en la que
cada par (xi,yi) está representado con un punto en un sistema de coordenadas
bidimensional. En estos casos, el modelo de regresión se considera como un modelo
empírico.
Diagrama de Dispersión
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
0 5 10 15 20 25 30X
Y
3.4.1 Regresión Lineal Simple
El caso más simple es el de la regresión lineal simple que considera un solo regresor o
variable independiente, X, y una sola variable dependiente, Y. Además, supone que cada
179
observación, y, puede describirse mediante una relación lineal, es decir, mediante el
siguiente modelo:
XY 10
En donde es un error aleatorio con media cero y varianza 2. También se supone que los
errores que corresponden a observaciones diferentes son variables aleatorias
independientes entre sí.
Así, el problema ahora es, dado un conjunto de n pares de observaciones (xi,yi), estimar los
parámetros 0 y 1 para que la línea recta resultante represente de la mejor manera posible
al conjunto de los datos. Gauss propuso hacer la estimación minimizando la suma de los
cuadrados de los errores, i, definidos como la diferencia entre el valor observado de la
variable dependiente, yi, y el estimado, iy , definido por la relación
i10i xy
Dicho procedimiento se conoce como método de los mínimos cuadrados. Así, si definimos
n
1i
n
1i
n
1i
2
i10i
2
ii
2
i xyyyD
Los estimadores de 0 y de 1 deben cumplir, por lo tanto, con las siguientes ecuaciones:
0xxy2D
01xy2D
i
n
1i
i10i
1
n
1i
i10i
0
Después de simplificar, se tiene:
n
1i
n
1i
n
1i
ii
2
i1i0
n
1i
n
1i
ii10
yxxˆxˆ
yxˆˆn
Ecuaciones que reciben el nombre de ecuaciones normales. Despejando, queda:
xˆyˆ10
180
2n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii
1
xxn
xyxynˆ
En donde yyx son los valores medios de las variables x y y, respectivamente. En
definitiva, la línea de regresión estimada o ajustada es
i10i xˆˆy
Es de hacer notar, que cada para de valores satisface la relación
ii10i xˆˆy
En donde iii yy es el resto o residuo que describe el error en el ajuste del modelo en
la i-ésima observación, yi.
El principal propósito de un modelo de regresión es la predicción de los valores de la
variable dependiente, y. Si x0 es el valor de la variable independiente, entonces
0100 xˆˆy
es el estimador puntual de la respuesta y0. Ahora bien, ese es solamente el valor esperado
de y0, y se puede definir, estadísticamente, un intervalo de predicción para una observación
futura del 100(1 - ) por ciento de confianza, mediante la expresión
xx
2
02
2n,2/00
xx
2
02
2n,2/0S
xx
n
11ˆtyy
S
xx
n
11ˆty
En donde t/2,n-2 es el valor de la variable en la distribución “t” de Student, para n – 2
grados de libertad correspondiente a una probabilidad /2. representa el nivel de
confianza del intervalo de confianza que, en ingeniería, se suele hacer igual a 0,05, lo que
implica que se trabaja con un 95 % de confianza. En la Tabla 3.1 se presentan algunos
valores de dicha distribución.
Sxx se define mediante la siguiente expresión:
2
n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
2
ixx xn
1xxxS
181
TABLA 3.1
Valores de la Distribución “t” de Student
Para = 0,05
n t/2,n-2
5 3,50
6 3,16
7 2,97
8 2,84
9 2,75
10 2,69
12 2,59
14 2,53
16 2,49
18 2,46
20 2,43
22 2,41
24 2,40
26 2,38
28 2,37
30 2,36
35 2,35
40 2,33
45 2,32
50 2,31
55 2,31
60 2,30
70 2,29
80 2,28
90 2,28
100 2,28
El parámetro 2 , que es la varianza del término de error, , en el modelo de regresión,
refleja la varianza aleatoria alrededor de la verdadera recta de regresión. Es, por lo tanto,
una estimación de la validez del modelo. El estimador insesgado de 2 se define como
n
1i
2
ii
n
1i
2
iE2 yy
2n
1
2n
1
2n
SSˆ
Tal como se ha indicado, el modelo de regresión exige que se cumplan ciertas hipótesis. En
primer lugar, los errores deben ser variables aleatorias independientes entre sí con media
cero y varianza constante. En segundo lugar, se supone que el grado del modelo es
correcto, es decir, si se ajusta un modelo de regresión lineal es porque el fenómeno en
182
realidad se comporta de manera lineal o lo que es lo mismo, que la función detrás de la
tabla de valores que tenemos es un polinomio de primer grado. Una manera de verificar la
validez de alguna de estas hipótesis es el análisis residual.
El residuo, en un modelo de regresión, es la diferencia entre la observación real, yi, y el
correspondiente valor ajustado, iy . Es decir, los residuos son los errores del modelo, que
permiten verificar alguna de las hipótesis planteadas.
Como comprobación aproximada de la normalidad, se pueden llevar los residuos a una
hoja de probabilidad normal. Si estos se ajustan a una distribución normal, el resultado
debe ser una línea recta. También se pueden analizar los residuos estandarizados, di,
2
ii
ˆd
Si los errores tienen una distribución normal, el 95 % (aproximadamente) de los residuos
estandarizados deben caer en el intervalo (-2,+2). Los residuos que se alejan mucho de
dicho intervalo se denominan “valores atípicos”. Si bien, en principio estos valores se
consideran “dudosos” hay que analizarlos cuidadosamente antes de descartarlos pues
pueden proporcionar información importante sobre circunstancias poco usuales, pero de
gran interés.
A menudo es útil hacer una gráfica de los errores, i, contra los valores estimados, iy .
Usualmente estas gráficas tienen un aspecto similar a los cuatro patrones generales que se
presentan a continuación. El primero de ellos representa la situación ideal, mientras que los
otros tres representan anomalías. Un patrón en embudo indica que la varianza aumenta con
la magnitud del valor estimado. Un patrón en doble arco también indica que hay
desigualdad en la varianza. Y, finalmente, un patrón no lineal nos dice que el modelo no es
el adecuado, es decir que hay que añadir términos de orden superior.
Patrón aleatorio
yi estimado
i
Patrón en Embudo
yi estimado
i
183
Doble Arco
yi estimado
i
No Lineal
yi estimado
i
Un parámetro que suele utilizarse para juzgar la validez de un modelo de regresión es el
coeficiente de determinación:
n
1i
i
n
1i
2
ii2
yy
yy
1R
El coeficiente de determinación varía entre 1 (cuando el juste es perfecto y yi es igual a iy
para todo i) y 0 (cuando no hay relación alguna entre las variables y iy resulta ser igual al
valor medio, y ). A veces se hace referencia a R2 como la cantidad de variabilidad en los
datos que es explicada por el modelo de regresión.
La utilización de este parámetro para avalar el modelo es, sin embargo limitada. En primer
lugar, siempre es posible hacer que sea igual a uno aumentando el número de términos del
polinomio de ajuste. Así, puede obtenerse un ajuste “perfecto” a n datos con un polinomio
de grado n – 1. Por otra parte, el coeficiente de determinación es un término relativo. Es
decir, se limita a comparar el resultado de nuestro modelo de regresión con la estimación
de la variable mediante su media.
Finalmente, es conveniente analizar la validez del modelo mediante una prueba de
hipótesis para el valor de la pendiente. Las hipótesis apropiadas son:
H0: 1 = 0
H1: 1 0
En donde H0 es la hipótesis nula y H1 la hipótesis alterna. El respectivo estadístico de
prueba es:
xx
2
10
Sˆ
ˆT
184
Que sigue la distribución “t” de Student con n – 2 grados de libertad. Por lo tanto, la
hipótesis nula puede rechazarse si 2n,2/0 tT . La falla al rechazar la hipótesis nula, 1 =
0, es equivalente a concluir que no hay ninguna relación lineal entre x e y.
Ejemplo:
Los datos que se incluyen a continuación corresponden a los registros de precipitación
anual en dos estaciones metereológicas. Se quieren emplear los valores registrados en la
estación E-391 para completar los datos de la Estación E-395. Definir el modelo de
regresión y analizar su validez.
Año 1941 1942 1943 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950
E-391 (mm) 696 745 1077 1040 892 918 795 838 701 863
E-395 (mm) 755 960 684 453 669 956 638
Año 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960
E-391 (mm) 943 877 722 621 695 677 563 530 1046 1257
E-395 (mm) 796 892 322
Los valores para el ajuste del modelo de regresión son:
x 745 1077 1040 795 838 701 863 943 877 722
y 655 860 784 583 669 605 638 796 692 503
Valores con los que se puede estimar los coeficientes de regresión:
10
1i
2
i
10
1i
ii
10
1i
i
10
1i
i 7546655x5949039xy5,678y6785y1,860x8601x
7605,0
8601754665510
86016785594903910
xxn
xyxynˆ
22n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii
1
42,241,8607605,05,678xˆyˆ10
Antes de pasar a estimar los valores de la variable dependiente, es conveniente analizar la
validez del modelo. El modelo de regresión es:
ii x7605,042,24y
En consecuencia, los valores estimados son:
185
x 745 1077 1040 795 838 701 863 943 877 722
y 655 860 784 583 669 605 638 796 692 503
y 591 843 815 629 662 558 681 742 691 573
Y la sumatoria de los cuadrados de los errores, es:
19535,31yySSn
1i
2
iiE
Lo que permite calcular la varianza del modelo,
2441,918
31,19535
2n
SSˆ E2
Y el coeficiente de determinación:
0,82
105666,50
31,195351
yy
yy
1Rn
1i
i
n
1i
2
ii2
cuyo valor es bastante alto, lo que indica que el modelo tiene cierta validez. Para
confirmarlo hagamos la prueba de hipótesis:
H0: 1 = 0
H1: 1 0
Para lo cual necesitamos calcular T0. Comencemos por definir Sxx,
148934,9010
8601-7546655x
n
1xS
22n
1i
i
n
i1i
2
ixx
Así,
94,5148934,902441,91
0,7605
Sˆ
ˆT
xx
2
10
Ya que 2,75tt94,5T 8;025,02n,2/0 , se debe rechazar la hipótesis nula. En
consecuencia, 1 es diferente de cero y si existe una relación lineal entre ambas estaciones.
186
El cálculo de los errores estandarizados, 2
ii
ˆd
, cuyos valores se incluyen en la
siguiente tabla, indican que no hay valores atípicos, ya que ninguno tiene un valor absoluto
mayor de dos, lo que es indicación de que los errores se ajustan a una distribución normal.
i 64,03 16,55 -31,31 -45,99 7,31 47,49 -42,71 54,46 0,65 -70,48
di 1,30 0,33 -0,63 -0,93 0,15 0,96 -0,86 1,10 0,01 -1,43
Finalmente, al graficar los errores contra los valores estimados, no se aprecia ningún
patrón definido, por lo tanto se puede aceptar que la varianza es constante.
-80,00
-60,00
-40,00
-20,00
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
500 550 600 650 700 750 800 850 900
Yestimado
Una vez comprobada la bondad del modelo, se puede pasar a completar el registro de la
estación,
Año E-391 (mm) E-395 (mm) Límite Inferior Límite Superior
696 554 400 708
892 703 560 846
918 723 578 867
621 497 331 662
695 553 399 707
677 539 383 696
696 554 400 708
892 703 560 846
918 723 578 867
621 497 331 662
Tabla en la que se ha incluido los límites, tanto superior como inferior, de los respectivos
intervalos de confianza, calculados según la relación,
187
xx
2
02
2n,2/00
xx
2
02
2n,2/0S
xx
n
11ˆtyy
S
xx
n
11ˆty
3.4.2 Transformaciones que Llevan a un Modelo de Regresión Lineal
En ocasiones el modelo de regresión lineal es inapropiado, simplemente porque la función
de regresión verdadera es no lineal. Y, en algunas de estas situaciones, la función no lineal
puede llevarse a una línea recta mediante una transformación adecuada. Estos modelos se
denominan “intrínsecamente lineales”. Un ejemplo es la función exponencial:
x
01eY
que puede transformarse en una línea recta mediante una transformación logaritmica:
lnxlnYln 10
Esta transformación requiere que los términos de error transformados, ln , sean normales,
con media cero y varianza 2, y que estén distribuidos de manera independiente. Por lo
demás, el procedimiento de ajuste es similar al del caso anterior, haciendo
i1oi xˆˆy
En donde yi´ = ln yi; 0oˆlnˆ .
A continuación se incluyen algunas de las transformaciones más frecuentes.
xYxYlneY
xYxlnY
xYx
Y
xYxlnlnYlnxY
1010
x
1010
101
0
10100
10
1
3.4.3 Regresión Lineal Múltiple
En general, una variable dependiente, Y, puede estar relacionada con k variables
independientes. El modelo
188
kk22110 x...xxY
recibe el nombre de modelo de regresión lineal múltiple con k variables de regresión, en
donde los parámetros j, se conocen como coeficiente de regresión.
Los modelos polinomiales con una variable de regresión pueden analizarse como un
problema de regresión lineal múltiple. En efecto, si se hace k
k
2
21 xx...,xx,xx ,
entonces el modelo anterior puede escribirse como
k
k
2
210 x...xxY
De la misma forma pueden transformarse otros tipos de relaciones funcionales. Por
ejemplo, el modelo de segundo grado con interacción:
2112
2
222
2
11122110 xxxxxxY
Si se hace 125224113215
2
24
2
13 ,,,xxx,xx,xx , entonces la
ecuación anterior puede escribirse como un modelo de regresión lineal múltiple:
55443322110 xxxxxY
Los coeficientes de regresión pueden estimarse aplicando el método de mínimos
cuadrados. Así, la sumatoria de los cuadrados de los errores,
n
1i
n
1i
n
1i
2
kk22110i
2
ii
2
i iiix...xxyyyD
se deriva respecto a cada uno de los coeficientes a estimar:
0xx...xxy2D
...........................................................................................
0xx...xxy2D
01x...xxy2D
iiii
iiii
iii
k
n
1i
kk22110i
k
1
n
1i
kk22110i
1
n
1i
kk22110i
0
Para obtener, simplificando, las (k + 1) = p ecuaciones normales del sistema, que permiten
hallar los p coeficientes de regresión:
189
n
1i
n
1i
n
1i
ik
n
1i
n
1i
2
kk2k21k1k0
n
1i
n
1i
n
1i
i1
n
1i
n
1i
k1k212
2
1110
n
1i
n
1i
i
n
1i
n
1i
kk22110
yxxˆ...xxˆxxˆxˆ
........................................................................................
yxxxˆ...xxˆxˆxˆ
yxˆ...xˆxˆˆn
iiiiiii
iiiiiii
iii
Matricialmente, el modelo de regresión múltiple puede escribirse como:
XY
En donde,
n
2
1
k
1
0
nk2n1n
k22221
k11211
n
2
1
......
x...xx1
...............
x...xx1
x...xx1
X
y
...
y
y
Y
Así, Y es un vector de observaciones de 1n , X es una matriz pn de los niveles
de las variables independientes, es un vector de 1p formado por los coeficientes de
regresión y es un vector de 1n de errores aleatorios.
Para hallar el vector de estimadores de mínimos cuadrados, hay que minimizar la
expresión,
XYXYDTT
n
1i
2
i
Las ecuaciones a resolver están dadas por:
YXˆXXTT
Cuya solución es:
YXXXˆ T1T
El primer paso para validar el modelo es estimar su varianza, que también se puede
calcular matricialmente:
190
pn
YXˆYY
pn
yy
pn
SSˆ
TTT
n
1i
2
ii
E2
El siguiente paso es la prueba para la significancia de la regresión, que es una prueba que
permite determinar si existe una relación lineal entre la variable dependiente o variable de
respuesta y un subconjunto dado de las variables de regresión. Las hipótesis a utilizar son:
Ho: 1 = 2 = …. = k = 0
H1: j 0 al menos para una j
El rechazo de la hipótesis nula implica que al menos una de las variables de regresión tiene
una contribución significativa en el modelo. El correspondiente estadístico de prueba está
dado por:
pnSS
kSSF
E
R0
En donde,
YXˆYYSSTTT
E
y,
2
n
1i
i
TT
R yn
1YXˆSS
F0 se ajusta a una distribución F con k grados de libertad en el numerador y (n – p) grados
de libertad en el denominador. Así, si el valor calculado del estadístico de prueba es mayor
que f,k,n-p debe rechazarse la hipótesis nula. En la Tabla 3.2 se presentan algunos valores
de la distribución F, para = 0,05.
También suele ser de interés las pruebas de hipótesis sobre los coeficientes de regresión, en
forma individual, a fin de determinar el valor potencial de cada una de las variables
independientes del modelo. En este caso las hipótesis a plantear son:
H0: j = 0
H1: j 0
Si no se puede rechazar la hipótesis nula, el regresor xj debe ser eliminado del modelo. El
estadístico de prueba para esta hipótesis es:
jj
2
j
0
Cˆ
ˆT
191
TABLA 3.2
Valores de la Distribución “F” para = 0,05
n f,2,n-3 f,3,n-4 f,4,n-5 f,5,n-6
5 19,00 215,71
6 9,55 19,16 224,58
7 6,94 9,28 19,25 230,16
8 5,79 6,59 9,12 19,30
9 5,14 5,41 6,39 9,01
10 4,74 4,76 5,19 6,26
12 4,26 4,07 4,12 4,39
14 3,98 3,71 3,63 3,69
16 3,81 3,49 3,36 3,33
18 3,68 3,34 3,18 3,11
20 3,59 3,24 3,06 2,96
22 3,52 3,16 2,96 2,85
24 3,47 3,10 2,90 2,77
26 3,42 3,05 2,84 2,71
28 3,39 3,01 2,80 2,66
30 3,35 2,98 2,76 2,62
35 3,29 2,91 2,69 2,55
40 3,25 2,87 2,64 2,49
45 3,22 2,83 2,61 2,46
50 3,20 2,81 2,58 2,43
55 3,18 2,79 2,56 2,40
60 3,16 2,77 2,54 2,39
70 3,13 2,74 2,51 2,36
80 3,12 2,72 2,49 2,34
90 3,10 2,71 2,48 2,32
100 3,09 2,70 2,47 2,31
En donde Cjj es el elemento de la diagonal de 1TXX
que corresponde a j. La
hipótesis nula se rechaza si pn,2/0 tT .
Finalmente, el intervalo de confianza para la predicción de nuevas observaciones está dado
por la siguiente relación:
0
1TT
0
2
pn,2/000
1TT
0
2
pn,2/0 XXXX1ˆtyyXXXX1ˆty
Ejemplo:
Se quiere establecer la relación existente entre la resistencia al esfuerzo cortante de un
suelo (y) con la profundidad en metros (x1) y con el contenido de humedad (x2).
192
Los datos disponibles (n = 10) son los siguientes:
Y 3,9 5,1 3,7 5,2 5,1 2,8 3,9 4,2 3,3 3,6
X1 18 21 15 23 24 12 16 17 12 15
X2 0,38 0,45 0,17 0,29 0,55 0,4 0,36 0,24 0,15 0,16
Datos que permiten definir las matrices XyY :
6,3
3,3
2,4
9,3
8,2
1,5
2,5
7,3
1,5
9,3
Y
16,0151
15,0121
24,0171
36,0161
40,0121
55,0241
29,0231
17,0151
45,0211
38,0181
X
Y, por lo tanto:
9,33231781,00,1411
0,1781-0096,00,1107-
0,14110,1107-1,9715
XX1T
949,0
205,0
828,0
Con lo que el modelo sería:
21 X949,0X205,0828,0y
Para comprobar la validez del modelo es necesario establecer, en primer lugar, la varianza
y el coeficiente de determinación, para lo cual hay que calcular los valores estimados:
y 3,9 5,1 3,7 5,2 5,1 2,8 3,9 4,2 3,3 3,6
y 4,16 4,71 3,75 5,27 5,23 2,91 3,77 4,09 3,15 3,76
2 0,069 0,151 0,002 0,005 0,017 0,012 0,017 0,012 0,023 0,024
0476,0310
3330,0
pn
SSˆ E2
193
94,0
0360,6
3330,01
yy
yy
1Rn
1i
i
n
1i
2
ii2
Un coeficiente de determinación así de elevado parece indicar que la relación funcional es
adecuada. Para confirmarlo, hagamos la prueba de hipótesis,
Ho: 1 = 2 = 0
H1: 1 0 y/o 2 0
El estadístico de prueba es:
94,59)310(330,0
270,5
pnSS
kSSF
E
R0
En donde,
70,5
10
8,4017,172y
n
1YXˆSS
22n
1i
i
TT
R
Dado que f,k,n-p = f0,05;2;7 = 4,74 es un valor muy inferior, debe rechazarse la hipótesis nula.
Lo que indica que al menos una de las variables independientes influye decisivamente
sobre la resistencia al esfuerzo cortante del suelo.
El siguiente paso es establecer la importancia de X1 y de X2, por separado. Para ello
planteamos las siguientes hipótesis:
H0: 1 = 0
H1: 1 0
El estadístico de prueba es:
58,90096,00476,0
205,0
Cˆ
ˆT
11
2
10
Ya que t/2;n-p = t0,025;7 = 2,84 es menor que el estadístico de prueba, debe rechazarse la
hipótesis nula. En conclusión, la profundidad del suelo si influye sobre la resistencia del
suelo.
La siguiente hipótesis es:
194
H0: 2 = 0
H1: 2 0
42,13323,90476,0
949,0
Cˆ
ˆT
22
2
20
Ya que 42,1T0 es menor que t/2;n-p = t0,025;7 = 2,84 no se puede rechazar la hipótesis
nula. Es decir que la humedad relativa no parece ser factor relevante del modelo.
3.4.4 Mejor Solución de un Sistema de Más Ecuaciones que Incógnitas
Con el método de los mínimos cuadrados se puede resolver el problema de encontrar los
mejores valores posibles de una serie de incógnitas x1, x2, …, xm de un sistema de n
ecuaciones lineales
nmnm22n11n
2mm2222121
1mm1212111
kxa...xaxa
.............................................
kxa...xaxa
kxa...xaxa
cuando n es mayor que m.
Este problema, teóricamente incompatible, se presenta cuando las ecuaciones son el
resultado de medidas empíricas y se acepta que los coeficientes están afectados de un
cierto error que no conocemos.
Consideremos los errores
mmim22i11ii kxa...xaxa
Y busquemos los valores de x1, x2, …, xm que hagan mínima la suma de los cuadrados de
los errores. Obtendremos así un sistema de m ecuaciones con m incógnitas, llamadas
ecuaciones normales, y bastará resolver este sistema. La sumatoria de los cuadrados de los
errores es:
n
1i
2
i
m
1j
jij kxaD
Y, derivando,
195
0kxa...xaxaa
...kxa...xaxaakxa...xaxaax
D
2
1
......................................................................................................................................
0kxa...xaxaa
...kxa...xaxaakxa...xaxaax
D
2
1
0kxa...xaxaa
...kxa...xaxaakxa...xaxaax
D
2
1
mmnm22n11n1n
2mm2222121211mm1212111m1
m
mmnm22n11n2n
2mm2222121221mm121211112
2
mmnm22n11n1n
2mm2222121211mm121211111
1
n
1i
iimm
n
1i
2
im2
n
1i
2iim1
n
1i
1iim
n
1i
i2im
n
1i
im2i2
n
1i
2
2i1
n
1i
1i2i
n
1i
i1im
n
1i
im1i2
n
1i
2i1i1
n
1i
2
1i
kaxa...xaaxaa
.......................................................................................
kaxaa...xaxaa
kaxaa...xaaxa
Ejemplo:
Busquemos el mejor valor de x1, x2, x3, para el sistema:
4xxx
2x3xx3
4x2xx2
7x3x2x
321
321
321
321
2321
2
321
2
321
2
321
4
1i
2
i
4xxx
2x3xx34x2xx27x3x2xD
04xxx2x3xx34x2xx27x3x2x2x
D
2
1
04xxx2x3xx334x2xx227x3x2xx
D
2
1
321321321321
2
321321321321
1
196
04xxx2x3xx334x2xx227x3x2x3x
D
2
1321321321321
3
137,1982
1117x
138,1982
1118x
439,1982
1413x
27x23x2x
16x2x7x4
25xx4x15
3
2
1
321
321
321
3.5 Derivación Numérica
En la solución de problemas prácticos han de hallarse a veces las derivadas de una función
dada en forma tabular. En ese caso para obtener fórmulas que den valores aproximados de
las derivadas de la función considerada se sustituye dicha función por una función de
interpolación que en general es un polinomio. El error cometido será evidentemente la
derivada del error de la función de la función de interpolación y puede ser mucho mayor,
puesto que la proximidad de las ordenadas de las dos curvas no implica la proximidad de
las derivadas.
Sean, en primer lugar, los valores de xi uniformemente espaciados. La fórmula de Newton
nos da:
....y!4
3r2r1rry
!3
2r1rry
!2
1rry
!1
ryrf 0
4
0
3
0
2
00
Ahora bien, como h
xxr 0 se cumple que rf
h
1
dx
dr
dr
df
dx
df . Y, entonces:
....y
24
6r22r18r4y
6
2r6r3y
2
1r2y
h
1xf 0
423
0
32
0
2
0
Y basta sustituir el valor correspondiente de r. Por ejemplo, para encontrar f´(xo), f´(x1),
f´(x2) y f´(x3) habrá que hacer r = 0, r = 1, r = 2 y r = 3, respectivamente. Así, obtenemos
las fórmulas:
.....12
y
6
y
2
y
1
y
h
1xf
.....4
y
3
y
2
y
1
y
h
1xf
0
4
0
3
0
2
01
0
4
0
3
0
2
00
197
.....4
y
6
y11
2
y5
1
y
h
1xf
.....12
y
3
y
2
y3
1
y
h
1xf
0
4
0
3
0
2
03
0
4
0
3
0
2
02
Ejemplo 1:
Dada la función,
x 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
f(x) 1,4832396 1,5491933 1,6124515 1,6733200 1,7320508
Hallar los valores aproximados de f´(2,2), f´(2,4) y f´(2,6).
La tabla de diferencias correspondiente es:
x f(x) ∆ ∆2
∆3
∆4
2,2 1,4832396
2,4 1,5491933 0,0659537
2,6 1,6124514 0,0632581 -0,0026956
2,8 1,6733200 0,0608686 -0,0023895 0,0003061
3 1,7320508 0,0587308 -0,0021378 0,0002517 -0,0000544
Y, por lo tanto,
3100843,012
0000544,0
3
0003061,0
2
0026956,030659537,0
2,0
16,2f
3227525,012
0000544,0
6
0003061,0
2
0026956,00659537,0
2,0
14,2f
3370842,04
0000544,0
3
0003061,0
2
0026956,00659537,0
2,0
12,2f
Los resultados exactos, en este caso, son 0,3370999, 0,3227486 y 0,3100868,
respectivamente.
Para encontrar las derivadas de orden superior, bastará derivar respecto a r y multiplicar
por 1/h cada vez que se derive. Así, por ejemplo,
....y
24
22r36r12y
6
6r6
1
y
h
1xf 0
42
0
30
2
2
198
Y, en particular,
....y
12
11yy
h
1xf 0
4
0
3
0
2
20
Ejemplo 2:
Con los datos del ejemplo anterior calculemos 2,2f .
0762980,012
0000544,0110003061,00026956,0
04,0
12,2f
El resultado exacto, en este caso, es – 0,0766136.
Si los valores de x no están uniformemente espaciados, la fórmula de Newton Gregory nos
da:
.....xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxff(x)
321043210
2103210210101000
Si buscamos el valor aproximado de la derivada en el primer punto de la tabla, obtenemos:
.....xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx(x)f 30201043210201032102101010
Ejemplo 3:
Dada la función
x 3,2 3,3 3,5 3,7 3,8
f(x) 1,1631508 1,1939225 1,252763 1,3083328 1,3350011
Hallemos la derivada de f(x) para x = 3,2.
Construiremos primero la tabla de diferencias divididas:
x f(x) 1º Orden 2º Orden 3º Orden 4º Orden
3,2 1,1631508
3,3 1,1939225 0,3077170
3,5 1,252763 0,2942025 -0,0450483
3,7 1,3083328 0,2778490 -0,0408838 0,0083292
3,8 1,3350011 0,2666830 -0,0372200 0,0073275 -0,0016694
Y, aplicando la fórmula anterior,
199
3124968,0)2,3(f
5,03,01,00016694,03,01,00083292,01,00450483,0307717,0)2,3(f
En este caso, el resultado exacto es 0,3125000.
3.6 Integración Aproximada. Fórmula de Poncelet
Sea una función continua en (a,b) cuya segunda derivada supondremos de signo constante
en dicho intervalo (en la figura, la segunda derivada es siempre negativa).
Dividimos el intervalo (a,b) en un número par de intervalos de igual amplitud, n
abh
.
En primer lugar, unimos mediante rectas los extremos del primer intervalo y los del último,
y luego los extremos de las ordenadas impares (saltándose las pares). Teniendo en cuenta
que el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura, obtenemos
I1 = Área
nx
0x
n1n533110 h2
yyh2
2
yyh2
2
yyh
2
yydxxf
Sumando y restando 2
yy 1n1 ,
pIm22
EEhyyyy2
2
yy
2
yyhI 1n531
1n1n01
Donde E es la suma de las dos ordenadas extremas, E´ es la suma de las dos ordenadas
contiguas a las extremas e Imp es la suma de todas las ordenadas impares.
x0 x1 x2 x3 xn-3 xn-2 xn-1 xn
a b
Y
200
En segundo lugar, trazamos ahora las tangentes en los extremos de todas las ordenadas
impares y, teniendo en cuenta que el área de un trapecio también se puede encontrar
multiplicando la paralela media por la altura, obtenemos
I2 = Área pImh2y2y2y2y2hdxxfnx
0x 1n531
Como una de las expresiones es mayor que la integral buscada y la otra es menor (según la
curva sea cóncava o convexa), tomaremos, como valor aproximado de la integral
b
a
21 pIm24
EEh
2
IIdxxf
Evidentemente, para el error cometido, se tiene
Error 4
EEh
2
II 12
Es importante hacer notar que si la curva representativa de f(x) tuviera un punto de
inflexión en el intervalo (a, b) sería necesario fraccionar el intervalo en dos subintervalos
de modo que el punto de inflexión quedara en uno de los extremos.
Este método tiene dos ventajas: En primer lugar no es necesarios calcular todas las
ordenadas y, en segundo lugar, es muy fácil estimar el orden de magnitud del error
cometido.
Ejemplo 1:
Calculemos un valor aproximado de
1
0 2x1
dx con h = 0,1.
x0 x1 x2 x3 xn-3 xn-2 xn-1 xn
a b
Y
201
Calculemos, para empezar, las ordenadas necesarias:
5,021y5524861,081,1y6711409,049,1y
8,025,1y9174311,009,1y990099,001,1y1y
10
1
9
1
7
1
5
1
3
1
10
Obsérvese que no hemos calculado y2, y4, y6 ni y8.
)yayy a incluye Imp que Observése(9311571,3yyyyypIm
5425851,1yyE5,1yyE
9197531
91100
7851668,09311571,324
0425851,01,0
x1
dx1
0 2
Y el error es 0,0010646 3102 , lo que nos garantiza, por lo menos, dos decimales
exactos. En este caso en particular sabemos que el valor exacto es /4 = 0,7853981.
Ejemplo 2:
Calculemos un valor aproximado de 2,1
0dx
x
senx.
Tomemos h = 0,1. Aplicando la regla de l´Hôpital, se obtiene y0 = 1.
2,1
0
12
1197
531
10783,154311,524
80852,177670,11,0dx
x
senx
54311,5pIm80852,1E77670,1E776699,02,1
2,1seny
81019,01,1
1,1seny87036,0
9,0
9,0seny92031,0
7,0
7,0seny
95885,05,0
5,0seny98507,0
3,0
3,0seny99833,0
1,0
1,0seny
Y, el error es: 0,00080 3101 , lo que nos garantiza que hay, por lo menos, tres
decimales exactos.
3.7 Fórmula de Simpson
Supongamos f(x) continua y con derivadas continuas en el intervalo de integración y
sustituyámosla por un polinomio de segundo grado.
202
Utilizando la fórmula de Lagrange:
2x
0x
102
201
210
2x
0xdx
h2h
xxxxy
hh
xxxxy
h2h
xxxxydxxf
Y, haciendo el cambio de variable x – x0 = r h,
2
0 2102102x
0xyy4y
3
hdrh
2
1rry
1
2rry
2
2r1rydxxf
Y, si dividimos el intervalo (a, b) en un número par de partes iguales y repetimos este
procedimiento para cada par de intervalos parciales, obtenemos
EpIm4P23
hyyyy4yyyyyy2
3
h
yyyy4yy2y2y2y3
h
yy4yyy4yyy4yyy4y3
hdxxf
1n531n0n420
1n531n2n420
n1n2n654432210b
a
Donde P es la suma de las ordenadas pares, Imp la de las impares y E la de las extremas.
Ejemplo:
Calculemos un valor aproximado de
1
0 2x1
dx con h = 0,1.
Fácilmente obtenemos
x0 x1 x2
h h
Y
X
203
5.1yyE
9311571,3yyyyypIm6686574,4yyyyyyP
5,0y5524861,0y6097560,0y6711409,0y7342941,0y
8,0y862689,0y9174311,0y9615384,0y990099,0y1y
100
975311086420
109876
543210
7853981,05,19311571,346686574,423
1,0
x1
dx1
0 2
Resultado más exacto que el obtenido por la fórmula de Poncelet pero para el cual ha
habido que calcular un mayor número de ordenadas.
120
2
32
2
1
32
0
y2yych2
dhchbhay
ay
dhchbhay
Si desarrollamos la función a integrar en serie de Mac Laurin, tendremos:
h
h
h
h
4IV
3
4IV
32
dxx24
xfch
3
2ah2dxxf
x24
xfdxcxbxaxf
Y, si M es un valor mayor o igual a la cuarta derivada de f(x) en todo el intervalo (a, b), y
se tienen en cuenta los valores de las constantes,
h
h
5
210120
h2Myy4y
3
hdxxf
Con lo cual, multiplicando por n/2 el error de dos intervalos parciales:
h h
y0 y1 y2
0 X
Y
Para obtener una fórmula del error
coloquemos, por comodidad, los ejes
tal como indica la figura.
Sea la curva aproximada
32 dxcxbxay
Con lo cual
204
Error Total 120
Mnh5
En esta fórmula del error, lo que a menudo resulta engorroso es estimar el valor de M.
En el ejemplo expuesto más arriba se obtiene que
52
24
24
4
x1
24x240x120
x1
1
dx
d
24 Error 5
5
102120
101024
3.8 Fórmulas de Newton – Cotes
Siguiendo el mismo método que se ha utilizado para deducir la fórmula de Simpson, se
pueden encontrar otras fórmulas que correspondan a los casos en los que se haya dividido
el intervalo total en un múltiplo de tres, o de cuatro, o de cinco, etc… intervalos parciales.
Deduzcamos el primer caso (n múltiplo de tres) y los otros se deducirán de modo análogo.
Utilizando de nuevo la fórmula de Lagrange para sustituir la función a integrar por otra
aproximada, tenemos:
dxh3h2h
xxxxxxy
h2hh
xxxxxxy
h2hh
xxxxxxy
h3h2h
xxxxxxy
dxxf
2103
3x
0x
3102
3201
3210
3x
0x
Y, haciendo otra vez el cambio de variable x – x0 = r h,
dx6
2r1rry
2
3r1rry
2
3r2rry
6
3r2r1rydxxf 3
3x
0x 2103x
0x
Y, en total:
65433210nx
0xyy3y3yyy3y3y
8
h3dxxf
Ejemplo:
205
Calculemos el valor aproximado de 2,1
0dx
x
senx con h = 1.
77670,0y81019,0y
84147,0y87036,0y89670,0y92031,0y94107,0y
95885,0y97355,0y98507,0y99335,0y99833,0y1y
1211
109876
543210
1211109987665433210
2,1
0
yy3y3yyy3y3yyy3y3yyy3y3y8
h3
dxx
senx
10805,139274,7379650,2277670,18
1,03
yyyyyyyy3yyy2yy8
h3dx
x
senx1110875421963120
2,1
0
3.9 Integración de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Fórmula de Euler
Y, si tomamos BC aproximadamente igual a BD , con lo cual evidentemente cometemos
un error, llegamos a
000 y,xfhy
Y si repetimos el proceso obtenemos
iii y,xfhy
Fórmula en la cual se irán acumulando los errores, razón por la cual no será aconsejable
utilizar este métodos más que para obtener una idea general del comportamiento de la
x0 x1
h
A
B
y0
D
C
X
Y
Sea la ecuación diferencial ordinaria de
primer orden y´ = f(x,y) con los valores
iniciales x = x0; y = y0.
Si tomamos como incremento constante de la
variable X, el valor de h, según la figura se
tiene:
000 y,xfhyhtgABBC
206
solución, o para valores próximos a los iniciales. Los cálculos pueden disponerse en forma
de tabla:
x y y´ y
x0 y0 000 y,xfy y0 = h f(x0,y0)
x1 = x0 + h y1 = y0 + y0 111 y,xfy y1 = h f(x1,y1)
x2 = x1 + h y2 = y1 + y1 222 y,xfy y2 = h f(x2,y2)
……. ………. ………. ………..
Ejemplo:
Integremos la ecuación diferencial yx2y en el intervalo (0; 0,5) con x0 = 0 y0 = 1
h = 0,1. (Cálculos con 3 decimales).
x y y´ y
x0 = 0 y0 = 1 0y 1 y0 = 0,1
x1 = 0,1 y1 = 1,100 1y 1,300 y1 = 0,13
x2 = 0,2 y2 = 1,230 2y 1,630 y2 = 0,163
x3 = 0,3 y3 = 1,393 3y 1,993 y3 = 0,199
x4 = 0,4 y4 = 1,592 4y 2,392 y4 = 0,239
x5 = 0,5 y5 = 1,832
En este ejemplo la ecuación se puede resolver exactamente: 2x2e3y x , y los
resultados exactos así como el porcentaje de error del método de Euler son:
x y Error (%)
x0 = 0 y0 = 1 0,00
x1 = 0,1 y1 = 1,116 1,39
x2 = 0,2 y2 = 1,264 2,71
x3 = 0,3 y3 = 1,450 3,90
x4 = 0,4 y4 = 1,675 4,96
x5 = 0,5 y5 = 1,946 5,89
3.10 Método de Euler Modificado
Una mejora apreciable del método de Euler consiste en:
a. Dado y0 calcular, como antes, un primer valor de la pendiente: m0 = f(x0, y0).
b. Estimar un primer valor de y1: y1,1 = y0 + h f(x0,y0) = y0 + h m0.
c. Calcular luego un valor para la pendiente en el punto (x1, y1,1), es decir
m1,1 = f(x1, y1,1).
207
d. Finalmente, tomar el promedio de las dos pendientes para calcular el valor
definitivo de y1:
2
y,xfy,xfhy
2
mmhyy 1,1100
01.10
01
.
e. Así, sucesivamente.
En general:
- Partimos de xn e yn
- Calculamos nnn y,xfm
- Calculamos yn+1,1 = yn + h mn
- Calculamos mn+1,1 = f(xn+1, yn+1,1)
- Finalmente, 2
mmhyy 1.1nn
n1n
Ejemplo:
Repitamos el ejemplo anterior, es decir, integremos la ecuación diferencial yx2y en
el intervalo (0; 0,5) con x0 = 0 y0 = 1 h = 0,1.
xn yn mn yn+1 mn+1,1 yn+1 Error (%)
x0 = 0 y0 = 1 m0 = 1 y1,1 = 1,1 m1,1 = 1,3 y1 = 1,115 0,00
x1 = 0,1 y1 = 1,115 m1 = 1,315 y2,1 = 1,247 m2,1 = 1,647 y2 = 1,263 0,05
x2 = 0,2 y2 = 1,263 m2 = 1,663 y3,1 = 1,429 m3,1 = 2,029 y3 = 1,448 0,09
x3 = 0,3 y3 = 1,448 m3 = 2,048 y4,1 = 1,652 m4,1 = 2,452 y4 = 1,673 0,13
x4 = 0,4 y4 = 1,673 m4 = 2,473 y5,1 = 1,920 m5,1 = 2,920 y5 = 1,942 0,17
x5 = 0,5 y5 = 1,942 0,20
Tal como se puede ver, ahora el error resulta aceptable.
3.11 Método de Adams
Sea la ecuación diferencial y´ = f(x, y) con los valores iniciales x = x0; y = y0; así como el
incremento constante de la variable X que designaremos, como de costumbre, con la letra
h.
- La ecuación dada permite, por derivación, encontrar los valores de 000 yey,y .
- Si expresamos la solución en forma de desarrollo en serie de Taylor en las
proximidades de x0 y limitamos el desarrollo a la derivada de tercer orden incluida,
obtenemos
3002
00
00
0 xx!3
yxx
!2
yxx
!1
yyy
208
Bastará hacer x = x1 = x0 + h; x = x2 = x0 +2 h; para obtener y1 e y2:
0
3
0
2
002
0
3
0
2
001
y3
h4yh2yh2yy
y6
hy
2
hyhyy
El error cometido al suprimir términos del desarrollo en serie de Taylor no es
grande por ser, en general, h pequeña.
- No se puede seguir calculando los valores de Y por este camino porque los errores
se incrementarían muy rápidamente. Para encontrar los siguientes valores de la
solución desarrollemos Y en las proximidades de x = x2, limitando otra vez el
desarrollo en las derivadas de tercer orden.
3222
22
22
2 xx!3
yxx
!2
yxx
!1
yyy
Haciendo x = x3 = x2 + h, obtenemos
2
3
2
2
223 y6
hy
2
hyhyy (1)
El valor de 2y lo podemos obtener de la ecuación diferencial dada, pero para los
valores de 22 yey necesitamos algo más.
- Desarrollemos ahora en serie de Taylor, en las proximidades de x = x2, la derivada
y´. Es decir:
222
22
2 xx!2
yxx
!1
yyy
Haciendo x = x1 = x2 – h y, luego x = x0 = x2 – 2h llegamos a
2
2
220
2
2
221
yh2yh2yy
y2
hyhyy
Restando estas ecuaciones se obtiene
209
2
2
2010
2
2
2121
y2
h3yhyyy
y2
hyhyyy
Y, de restar estas dos últimas ecuaciones:
2
2
010
2 yhyyy
De ello se deduce fácilmente que
0
2
120
2
22 yh2
1y
h
1yy
h
1y
Y, finalmente, sustituyendo en la ecuación (1) y después de simplificar, se tiene:
0
2
1223 y12
h5y
2
hyhyy
Como el proceso indicado puede continuarse del mismo modo, en general tenemos:
2n
2
1nnn1n y12
h5y
2
hyhyy
Ejemplo:
Sea la ecuación diferencial 1,0h;2y;1xxyxy3y 00
22
Encontremos, en primer lugar, los valores de 000 yey,y :
123221231316y2yy2y2yx3y6y
31212211323yx2yy2yx3y3y
112213yxyxy3y
2
0
2
0
22
0
22
El siguiente paso es hallar los valores de y1 e y2:
2587,213
1,0431,0211,022y
3
h4yh2yh2yy
1148,216
1,03
2
1,011,02y
6
hy
2
hyhyy
32
0
3
0
2
002
32
0
3
0
2
001
Los siguientes cálculos se pueden disponer en forma de tabla:
210
x y y´ y´ 2y´
x0 = 1 y0 = 2 0y 1
x1 = 1,1 y1 = 2,1148 1y 1,2964 0y 0,2964
x2 = 1,2 y2 = 2,2587 2y 1,5896 1y 0,2932 0
2y -0,0032
x3 = 1,3 Y3 = 2,4322 3y 1,8800 2y 0,2904 1
2y -0,0028
x4 = 1,4 y4 = 2,6346 4y 2,1642 3y 0,2842 2
2y = -0,0062
x5 = 1,5 y5 = 2,8649
3.12 Método de Runge Kutta
Como la justificación del método es bastante laboriosa, solamente indicaremos el proceso
de esta justificación, sin acabar todos los cálculos.
a. Derivando la ecuación diferencial dada obtenemos
fffyffy yxyx
Volviendo a derivar,
ffffffff2fyfyfyf2fy yxy
2
yyxxy
2
yyxx 2222
Y, volviendo a derivar podremos obtener una expresión análoga de yIV
en función
de f y de sus derivadas parciales hasta las de tercer orden incluidas. Por el
desarrollo en serie de Taylor limitado en la derivada cuarta, tenemos:
IV432
y!4
hy
!3
hy
!2
hyhxyhxyy
Y, sustituyendo los valores de las derivadas obtenidos más arriba, llegaremos a una
expresión del incremento de y en función de f y sus derivadas parciales.
b. Haciendo
342
3
121
ky,hxfhk2
ky,
2
hxfhk
2
ky,
2
hxfhky,xfhk
Y, si desarrollamos en serie de Taylor de dos variables estas expresiones, hasta los
términos en h4 incluidos, llegamos a obtener k1, k2, k3, k4, también en función de f y
de sus derivadas parciales.
211
c. Se comprueba que la expresión
4321 kk2k2k6
1y
da el mismo resultado que el obtenido en el punto (a).
d. En resumen:
- Se calculan
2
ky,
2
hxfhky,xfhk 10
00200010
30004020
0030 ky,hxfhk2
ky,
2
hxfhk
- Se calculan 00101403020100 yyyhxxkk2k2k6
1y
- Se calculan
2
ky,
2
hxfhky,xfhk 11
11211111
31114121
1131 ky,hxfhk2
ky,
2
hxfhk
- Se calculan 11212413121111 yyyhxxkk2k2k6
1y
- Y así sucesivamente.
Ejemplo:
Tomemos de nuevo la ecuación diferencial 22 xyxy3y con los valores iniciales
1,0h;2y;1x 00 .
1148,2y1,1x1148,0y6
1297,01145,021152,021,0y
1297,01145,21,11145,21,131,0k
1145,00576,205,10576,205,131,0k
1152,005,205,105,205,131,0k
1,0212131,0k
110
0
22
40
22
30
22
20
22
10
31114121
113111
11211111 ky,hxfhk2
ky,
2
hxfhk
2
ky,
2
hxfhky,xfhk
212
2591,2y2,1x1143,0y6
159,0144,021446,021296,0y
1590,02588,22,12588,22,131,0k
1440,01871,215,11871,215,131,0k
1446,01796,215,11796,215,131,0k
1296,01148,21,11148,21,131,0k
221
1
22
41
22
31
22
21
22
11
32224222
223212
22222212 ky,hxfhk2
ky,
2
hxfhk
2
ky,
2
hxfhky,xfhk
4326,2y3,1x1735,0y6
188,01731,021738,02159,0y
1880,04322,23,14322,23,131,0k
1731,03460,225,13460,225,131,0k
1738,03386,225,13386,225,131,0k
1590,02591,22,12591,22,131,0k
332
2
22
42
22
32
22
22
22
12
33334323
333313
33233313 ky,hxfhk2
ky,
2
hxfhk
2
ky,
2
hxfhky,xfhk
6349,2y4,1x2022,0y6
2164,02019,022026,02188,0y
2164,06346,24,16346,24,131,0k
2019,05340,235,15340,235,131,0k
2026,05267,235,15267,235,131,0k
1880,04326,23,14326,23,131,0k
443
3
22
43
22
33
22
23
22
13
34444424
443414
44244414 ky,hxfhk2
ky,
2
hxfhk
2
ky,
2
hxfhky,xfhk
8650,2y5,1x2301,0y6
2435,02297,022306,022164,0y
2435,08646,25,18646,25,131,0k
2297,07502,245,17502,245,131,0k
2306,07431,245,17431,245,131,0k
2164,06349,24,16349,24,131,0k
554
4
22
44
22
34
22
24
22
14
3.13 Integración de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer
Orden
Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden bastará con
aplicar cualquiera de los métodos expuestos, pero llevando a la vez tantas tablas como
ecuaciones contenga el sistema.
213
Ejemplo:
Integremos el sistema
yxz
zxy con los valores iniciales x0 = 0; y0 = 0; z0 = 1; h = 0,1
en el intervalo x = 0; x = 0,4.
Utilicemos el método de Adams:
1zyz0zy1z0zyxz
0yzy1yz1y1yzxy
000
000
2200,003
1,0411,0211,020y
3
h4yh2yh2yy
1050,006
1,01
2
1,011,00y
6
hy
2
hyhyy
32
0
3
0
2
002
32
0
3
0
2
001
9987,013
1,0401,0201,021z
3
h4zh2zh2zz
9998,016
1,00
2
1,001,01z
6
hz
2
hzhzz
32
0
3
0
2
002
32
0
3
0
2
001
El resto de los cálculos se incluyen en las siguientes dos tablas que deben resolverse
simultáneamente.
x y y´ y´ 2y´
x0 = 0 y0 = 0 0y 1
x1 = 0,1 y1 = 0,1050 1y 1,0998 0y 0,0998
x2 = 0,2 y2 = 0,2200 2y 1,1987 1y 0,0989 0
2y -0,0009
x3 = 0,3 y3 = 0,3448 3y 1,2955 2y 0,0968 1
2y -0,0021
x4 = 0,4 y4 = 0,4791
x z z´ z´ 2z´
x0 = 0 z0 = 1 0z 0
x1 = 0,1 z1 = 0,9998 1z -0,0050 0z -0,0050
x2 = 0,2 z2 = 0,9987 2z -0,0200 1z -0,0150 0
2z -0,0100
x3 = 0,3 z3 = 0,9955 3z -0,0448 2z -0,0248 1
2z -0,0098
x4 = 0,4 z4 = 0,9894
214
3.14 Integración de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior al
Primero
Toda ecuación del tipo 1nn y,...,y,y,y,xfy se puede reducir a un sistema de
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, mediante un adecuado cambio de
variables.
1n211n
n
32211 z,....,z,z,y,xfzy;....;zzy;zzy;zy
Ejemplo:
Integremos, por el método de Runge-Kutta y en el intervalo x = 0; x = 0,4, la ecuación
diferencial 22 yxyxy con los valores iniciales x0 = 0; y0 = 1; 1y0 .
Sustituimos la ecuación por el sistema 1z1y0xxzyxz
zy00022
215
Los resultados se incluyen en las siguientes dos tablas.
x y k0i x+h/2 y+k1i/2 k2i y+k2i/2 k3i x+h y+k3i k4i y
0 1 0,1000 0,05 1,05 0,1050 1,0525 0,1053 0,1 1,1053 0,1106 0,1052
0,1 1,1052 0,1108 0,15 1,1606 0,1164 1,1634 0,1167 0,2 1,2219 0,1228 0,1166
0,2 1,2218 0,1232 0,25 1,2834 0,1296 1,2866 0,1301 0,3 1,3519 0,1371 0,1299
0,3 1,3517 0,1378 0,35 1,4206 0,1453 1,4244 0,1459 0,4 1,4977 0,1542 0,1457
0,4 1,4975
x z k0i z+h/2 z+k1i/2 k2i z+k2i/2 k3i z+h z+k3i k4i z
0,0 1,0000 0,1000 0,05 1,0500 0,1053 1,0526 0,1058 0,1 1,1058 0,1232 0,1075
0,1 1,1075 0,1121 0,15 1,1636 0,1195 1,1673 0,1201 0,2 1,2276 0,1533 0,1241
0,2 1,2316 0,1286 0,25 1,2959 0,1386 1,3009 0,1393 0,3 1,3709 0,1918 0,1460
0,3 1,3776 0,1504 0,35 1,4528 0,1632 1,4592 0,1641 0,4 1,5417 0,2403 0,1742
0,4 1,5518
3.15 Raíces de una Ecuación
Cuando se trata de encontrar las raíces de una ecuación hay que mirar, en primer lugar, si
se trata de una ecuación algebraica no lineal de coeficientes enteros. En ese caso hay que
comenzar por establecer si dicha ecuación tiene raíces enteras o fraccionarias. Si no es así
o si la ecuación no pertenece a este tipo en particular, la determinación de las raíces se
suele hacer en dos pasos:
1. Separar las raíces. Es decir, encontrar intervalos en los cuales está contenida una, y
una sola, raíz.
2. Aproximar las raíces. Es decir, reducir la magnitud de los intervalos anteriores
hasta que nos den las raíces con el grado de aproximación deseado.
3.15.1 Raíces Enteras de una Ecuación Algebraica No Lineal de Coeficientes Enteros
Sea la ecuación 0axaxa...xaxa 01
2
2
1n
1n
n
n
en la que suponemos todos los
coeficientes enteros.
Sea p una raíz entera. Despejando a0 tenemos:
12
2n
1n
1n
n0 apa...papapa
Luego a0 debe ser múltiplo de p, o lo que es igual, las posibles raíces enteras de la ecuación
deben ser divisores del término independiente.
Ejemplo 1:
Consideremos la ecuación 06xx11x2x2 234 , Las posibles raíces enteras son;
216
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6.
1 2 -2 -11 -1 -6 2 2 -2 -11 -1 -6 3 2 -2 -11 -1 -6
2 0 -11 -12 4 4 -14 -30 6 12 3 6
2 0 -11 -12 -18 2 2 -7 -15 -36 2 4 1 2 0
-1 2 4 1 2 -2 2 4 1 2
-2 -2 1 -4 0 -2
2 2 -1 3 2 0 1 0
Por lo tanto, las raíces enteras de esta ecuación son x = 3; x = -2.
Cuando el término independiente tiene un gran número de divisores convendrá buscar el
modo de eliminar rápidamente varios de ellos simultáneamente.
Sea Pn(x) = 0 la ecuación considerada. Dividiendo por x – k obtenemos:
0Cbxbxb...xbxbkxxP 01
2
2
2n
2n
1n
1nn
Si todos los coeficientes bi son positivos y también el resto C, evidentemente Pn(x) no se
puede anular para ningún valor de x mayor que k. Esta regla, llamada regla de Laguerre,
permite en muchos casos eliminar varias posibles raíces de una sola vez.
Para eliminar raíces negativas, bastará hacer x = - y, con lo cual las raíces negativas se
convierten en positivas, y estaremos en el caso anterior.
Ejemplo 2:
Consideremos la ecuación 0576x384x36x40xx 2345 .
Como 576 tiene un gran número de divisores aplicaremos la regla de Laguerre. Probemos
k = 4:
4 1 -1 40 -36 -384 576
4 12 208 688 1216
1 3 52 172 304 1792
Como todos los coeficientes son positivos ya sabemos que no puede haber raíces mayores
que 4. A continuación, haciendo el cambio de variable x = - y, obtenemos la ecuación
0576y384y36y40yy 2345 . Probemos otra vez con k = 4.
4 1 1 40 36 -384 576
4 20 240 1104 2880
1 5 60 276 720 2304
217
Como todos estos coeficientes son positivos, sabemos que no puede haber raíces mayores
que y = 4, o lo que es lo mismo, no puede haber raíces menores que x = - 4. Por lo tanto,
las únicas posibles raíces enteras son: 1, 2, 3.
1 1 -1 40 -36 -384 576 2 1 -1 40 -36 -384 576
1 0 40 4 -380 2 2 84 96 -576
1 0 40 4 -380 196 1 1 42 48 -288 0
x = 2 es una raíz, pero es necesario probar x = 2 de nuevo porque esta raíz podría estar
repetida.
2 1 1 42 48 -288
2 6 96 288
1 3 48 144 0
En efecto, x = 2 es una raíz doble y, como la ecuación que ha quedado,
0144x48x3x 23 , tiene todos los coeficientes positivos, no puede haber más raíces
enteras positivas. Probemos las negativas:
-3 1 3 48 144
-3 0 -144
1 0 48 0
X = -3 es una raíz y, como la ecuación que ha quedado es 048x2 , no puede haber más
raíces enteras.
3.15.2 Raíces Fraccionarias de una Ecuación Algebraica con Coeficientes Enteros
Si qpx (irreducible) es una raíz de la ecuación, p (entero) debe ser divisor del término
independiente y q (entero) debe ser divisor del primer coeficiente, an. En efecto, por ser p/q
una raíz,
0qapqaqpa...qpapa
0aq
pa
q
pa...
q
pa
q
pa
n
0
1n
1
2n2
2
1n
1n
n
n
012
2
21n
1n
1nn
n
n
Y, de aquí:
1n
0
2n
1
3n2
2
1n
1nn
n
1n
1
2n
2
2n
1n
1n
n0
n
qapqaqpa...qaqap
qapqa...qpapapaq
La primera igualdad nos dice que a0 es múltiplo de p y la segunda que an es múltiplo de q.
Ejemplo 1:
218
Busquemos las raíces fraccionarias de 010x35x73x7x15 234 .
Después de haber comprobado que no tiene raíces enteras, busquemos las raíces
fraccionarias positivas.
El numerador debe estar entre los números 1, 2, 5 y 10. Y el denominador entre los
números 1, 3, 5 y 15. Por lo tanto, las posibles raíces fraccionarias son: 1/3, 2/3, 5/3, 10/3,
1/5, 2/5, 1/15 y 2/15 (5/5 y 10/5 son enteros y, 5/15 y 10/15 están repetidos). Probando,
llegamos a:
2/3 15 -7 73 -35 -10
10 2 50 10
15 3 75 15 0
La ecuación que queda es: 015x75x3x15 23 que no tiene raíces positivas. Como
los divisores de 15 son 1, 3, 5 y 15, las posibles raíces fraccionarias negativas son: -1/3,
-5/3, -1/5, -3/5 y -1/15. Probando,
-1/5 15 3 75 15
-3 0 -15
15 0 75 0
La ecuación que queda es 075x15 2 que no tiene raíces reales.
Otro procedimiento consiste en hacer el cambio de variable x = z/an. Después de hacer el
cambio de variables el coeficiente del término de mayor grado es la unidad y, por lo tanto,
la nueva ecuación no tiene raíces fraccionarias (el denominador ha de ser la unidad).
Tomando de nuevo la ecuación del ejemplo anterior y haciendo x = z/15,
01015
z35
15
z73
15
z7
15
z15
234
Y multiplicando por 153,
033750z7875z1095z7z 234
Probemos z = 11
11 1 -7 1095 -7875 -33750
11 44 12529 51194
1 4 1139 4654 17444
219
Como todos los coeficientes son positivos sabemos que no puede haber raíces mayores que
11. Las raíces positivas posibles son, pues, 1, 2, 3, 5, 6, 9 y 10. Probando llegamos a
10 1 -7 1095 -7875 -33750
10 30 11250 33750
1 3 1125 3375 0
Quedando 03375z1125z3z 23 , ecuación que no tiene raíces positivas. Haciendo
z = - y queda 03375z1125y3y 23 . Probamos con y = 5.
5 1 -3 1125 -3375
5 10 5675
1 2 1135 2300
No puede haber raíces mayores que 5. Por lo tanto las posibles raíces enteras de la
ecuación en y son 1 y 3.
3 1 -3 1125 -3375
3 0 3375
1 0 1125 0
Y, así, queda 01125y2 que no tiene raíces reales. Las raíces fraccionarias de la
ecuación en x son: 5
1
15
3xy
3
2
15
10x
.
3.16 Separación de Raíces de una Ecuación
En muchos casos resulta difícil o imposible encontrar los valores exactos de las raíces de
una ecuación algebraica o trascendente f(x) = 0. Por ello resulta importante conocer
métodos que nos permitan hallar valores aproximados de dichas raíces.
En particular, veremos tres métodos:
- Método del cambio de signo.
- Método gráfico.
- Método de Sturm para separar las raíces de un polinomio.
3.16.1 Método del Cambio de Signo
Tal como se ha indicado anteriormente, el primer paso en estos casos es separar las raíces.
Para ello es importante el siguiente teorema:
220
Si la primera derivada tiene signo constante, la ecuación no contiene, en este caso, ninguna
raíz en dicho intervalo.
Estos teoremas permiten, a veces, separar las raíces de un modo sencillo como puede verse
en los ejemplos que siguen.
Ejemplo 1:
Sea la ecuación 03x3x3x 23
Si f30f63ff3x3x3xxf 23 . Y como
una ecuación de tercer grado no puede tener más de tres raíces, éstas ya están separadas:
x1 - 3 - 3 x2 0 0 x3
Repitiendo el proceso se pueden estrechar los intervalos. En este caso resulta
b
f(x)
X
“Si una función continua f(x)
toma valores de signos opuestos
en los extremos de un intervalo
(a, b), el intervalo contiene un
número impar de raíces”.
X
b a
f(x)
Para que la raíz sea única, será necesario,
además, que la primera derivada xf tenga
signo constante en dicho intervalo. Es decir,
que sea siempre creciente o decreciente.
b
X
a
f(x)
Análogamente, “Si una función
continua f(x) toma valores de
signos iguales en los extremos
de un intervalo (a, b), dicho
intervalo contiene cero o un
número par de raíces”.
221
- 3,7 x1 -3,6 -0,7 x2 -0,6 1,2 x3 1,3
Ejemplo 2:
Consideremos la ecuación 0senxx2 .
Si xcos2xfsenxx2xf que siempre es positiva, y como f
f la ecuación tiene una sola raíz real que, mediante la busqueda del cambio de
signo podemos situar en el intervalo - 0,7 x - 0,8.
3.16.2 Método Gráfico de Separación de Raíces
Dada la ecuación f(x) = 0, cuando no es difícil encontrar las raíces de la primera derivada,
f´(x) = 0, es cómodo hacer un gráfico aproximado de la curva y = f(x) y buscar sus puntos
de intersección con el eje 0X para determinar el número de raíces reales de la ecuación y
sus intervalos de separación. Los ejemplos que siguen aclaran fácilmente la cuestión.
Ejemplo 1:
Consideremos otra vez la ecuación 03x3x3x 23 .
0,41
-2,41
-8,00
-6,00
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3X
Y
6x6xf3x6x3xf3x3x3xxf 223
Las raíces de f´(x) = 0 son x = 0,41 y x = -2,41. 41,0f es positiva y 41,2f es
negativa. Luego en (0,41;-3,66) hay un mínimo y en (-2,41;7,66) hay un máximo. La figura
nos dice que la ecuación tiene tres raíces reales y que sus intervalos de separación son:
321 x41,041,0x41,241,2x
222
Ejemplo 2:
Consideremos la ecuación 07x5x 45 .
4
-300,00
-250,00
-200,00
-150,00
-100,00
-50,00
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6X
Y
2333445 x60x20xf4xx5x20x5xf7x5xxf
Las raíces de f´(x) son x = 4 y x = 0. Como 4f es positiva, en el punto (4;-249) hay un
mínimo. Para x = 0 se anulan tanto la primera como la segunda derivada, por lo tanto hay
que seguir derivando hasta encontrar una derivada no nula para x = 0. Así:
120x120xfx120x60xf IV2
Como la primera derivada no nula para x = 0 es de orden par y 1200f IV es negativa,
en el punto (0; 5,97) hay un máximo, y la figura nos dice que hay tres raíces reales:
321 x44x00x
Ejemplo 3:
Consideremos la ecuación 02x3ex
xxx exf3exf2x3exf
La primera derivada tiene una sola raíz: 099,13lnx . La segunda derivada es siempre
positiva, luego en el punto (1,099; -2,297) hay un mínimo y no hay más máximos ni
mínimos. La figura nos dice que la ecuación tiene dos raíces reales:
21 x099,1099,1x
223
1,099
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
-3 -2 -1 0 1 2 3X
Y
En ocasiones conviene más escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma g(x) = h(x) y graficar
las curvas y = g(x) y = h(x). Los puntos de intersección de las dos curvas serán las raíces
de la ecuación considerada.
Ejemplo 4:
Consideremos la ecuación 0xxln4
Escribamos la ecuación en la forma 4xxln ; y graficaremos las curvas xlny
4xy .
y = ln x
y = x/4
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
0 2 4 6 8 10 12X
Y
224
La figura nos dice que la ecuación considerada tiene dos raíces reales y, estudiando los
puntos en los que ln x es mayor o menor que x/4, se llega a:
1,5 < x1 < 1,5 8,5 < x2 < 8,6
3.16.3 Método de Sturm para Separar las Raíces de un Polinomio
En una sucesión finita de números a1, a2, …, ap llamamos variaciones al número de
cambios de signo ocurridos en la sucesión. Por ejemplo, la sucesión 1, 3, -2, 3, -4, contiene
tres variaciones.
Dado un polinomio P(x), se llama sucesión de Sturm a la sucesión formada por los
polinomios P(x), P´(x), -R1(x), -R2(x), -R3(x),…. obtenidos según el siguiente algoritmo,
muy parecido al que se utiliza para encontrar el máximo común divisor de dos polinomios,
en el que los Qi(x) son los cocientes de las divisiones y Ri(x) los restos.
Q0(x) Q1(x) Q2(x) Q3(x)
P(x) P´(x) - R1(x) - R2(x) - R3(x) …..
R1(x) R2 (x) R3(x) R4(x) R5(x) …..
Ejemplo:
Consideremos el polinomio 1x3x4 .
4
x
729
256x
81
64x
9
16 2 1931
729x
7724
6561
1x3x4 3x4 3 1x
4
9
729
1931
x4
3x4
1x4
9
23 x9
16x4
3x9
16 2
x81
64x
9
16 2
3x81
64
81
256x
81
64
729
1931
x4
9
-1
1
0
225
Y la sucesión de Sturm está formada por los polinomios:
729
1931;1x
4
9;3x4;1x3x 34
Para separar las raíces basta tener en cuenta el teorema de Sturm (en cuya demostración no
entraremos) que dice:
“Sea P(x) = 0 una ecuación polinómica sin raíces múltiples y (a, b) un cierto intervalo. El
número de raíces reales de la ecuación contenidas en el intervalo es igual a la diferencia de
las variaciones que, para x = a y para x = b presenta la sucesión de Sturm”.
Sigamos el ejemplo ya iniciado, es decir la ecuación 01x3x4 .
0 1 2 +
1x3x4 + + - + +
3x4 3 - - + + +
1x4
9
- - + + +
729
1931
+ + + + +
Nº de Variaciones 2 2 1 0 0
No hay más que dos raíces reales porque entre - y + la diferencia en el número de
variaciones es: 2 – 0 = 2.
Una de esas dos raíces reales está entre 0 y 1 porque para esos dos números la diferencia en
el número de variaciones es: 2 – 1 = 1.
La otra raíz real está entre 1 y 2 porque para esas dos cifras la diferencia en el número de
variaciones es: 1 – 0 = 1.
3.17 proximación de Raíces
Una vez definido el intervalo en el cual se encuentra cada una de las raíces de una
ecuación, el siguiente paso es estimarla con el grado de precisión requerido. Para ello
veremos los siguientes métodos:
- Método de Newton
- Método de Newton Modificado
- Método de las Cuerdas
226
- Método de Newton – Fourier
- Método de Iteración
- Método de Lagrange
3.17.1 Método de Newton
Sea la ecuación f(x) = 0 y x0 un valor aproximado de una raíz ya separada. Si x0 + h es el
verdadero valor de la raíz, desarrollando en serie de Taylor hasta los términos de segundo
grado, se tiene:
0hxf2
hxfhxfhxf 0
2
000
Siendo un número desconocido comprendido entre 0 y 1. De aquí,
0
0
2
0
0
xf2
hxfh
xf
xfh
Y, despreciando el término en h2 obtenemos un valor aproximado de x:
0
0001
xf
xfxhxx
Repitiendo el proceso:
n
nn1n
2
223
1
112
xf
xfxx;;
xf
xfxx;
xf
xfxx
Veamos ahora, si estando la raíz comprendida en el intervalo (a, b) nos conviene hacer
x0 = a ó x0 = b. Supongamos que xf tiene signo constante en el intervalo (a, b), lo que
siempre se puede conseguir en caso necesario estrechando el intervalo. Sabemos que
0
0
2
0
00
0
001
xf2
hxfh
xf
xfxx;
xf
xfxx
Luego,
0
0
2
0
00
0
0
2
1xf2
hxfh
xf
xfxx
xf2
hxfhxx
227
Como interesa que 1xx sea menor que 0xx los dos sumandos que figuran en
0xx deben sumarse, luego f(x) y xf deben tener el mismo signo.
Todo esto puede verse de un modo intuitivo muy simple acudiendo a una representación
gráfica.
0
001
xf
xfxx
Tal como se había establecido anteriormente. Es decir, que el método consiste en sustituir
la curva por la tangente, razón por la cual se suele llamar al método de Newton método de
las tangentes.
Con objeto de ver cual de los dos extremos del intervalo es x0 consideremos los cuatros
casos posibles en los que suponemos f(x) continua y xf de signo constante. En las
figuras es fácil comprobar que x0 debe corresponder al punto en el cual la función y la
derivada segunda tienen igual signo.
a
x0
x1
b
f(x)
X
f(a) > 0
0xf
f(x)
a
x0=b
a
x0 = b
f(x)
X
f(b) > 0
0xf
X
b
X
f(a) < 0
0xf f(x)
x0 = a
a
x0
x1
b
f(x)
X
Sea la ecuación f(x) = 0 y consideremos la curva
y = f(x) representada en el figura. La ecuación de
la tangente en el punto (x0, f(x0)) es:
000 xxxfxfy
Y, buscando su punto de intersección con el eje
0X, se obtiene:
f(b) < 0
0xf
228
Veamos ahora el cálculo del error 1nxx . Aplicando el teorema del valor medio y
teniendo en cuenta que, por ser x raíz f(x) es igual a cero,
1n1n1n1n xxmcfxxxfxfxf
Donde c es un valor interior al intervalo (x, xn+1) y m un valor menor que la primera
derivada en dicho intervalo. De aquí
m
xfxx 1n
1n
Ahora, por desarrollo en serie de Taylor
2n1nn1nnn1n xx2
dfxxxfxfxf
Donde d es interior al intervalo (x, xn+1). Y, como sabemos que
0xxfxfxf
xfxx 1nnn
n
nn1n
Nos queda
2n1n
2
n1n1n xx2
Mxx
2
dfxf
Y, sustituyendo en la ecuación que define el error:
2n1n1n xxm2
Mxx
Donde M es un valor mayor que xf y m un valor menor que f´(x).
Ejemplo 1:
Aproximemos la raíz de la ecuación 01x3x3 que está comprendida entre 0,3 y 0,4.
136,04,0f127,03,0f
x6xf3x3xf1x3xxf 23
Y, como xf es positiva en el intervalo (0,3; 0,4), debemos tomar x0 = 0,3.
229
34730,063977,2
00205,034652,0x34652,0
73,2
127,03,0x 21
Si nos detenemos aquí, para calcular el error tenemos:
M = Máximo valor de 6x = 2,4 m = Mínimo valor de 3x2 – 3 = 2,52
Con lo cual,
7210334652,034730,0
54,22
4,2
Por lo tanto podemos asegurar que x es igual a 0,34730 con todos los decimales exactos.
Ejemplo 2:
Aproximemos la raíz de la ecuación 02x3ex que está comprendida entre 2 y 3.
009,93f061,0)2(f
exf3exf2x3exf xxx
Y como xf es siempre positiva, debemos tomar x0 = 3.
1254015,24067663,5
0196556,01290369,2x1290369,2
9881688,5
4004415,01959091,2x
1959091,28015660,8
3968704,24682322,2x4682322,2
085537,17
085537,93x
43
21
Si nos detenemos aquí, teniendo en cuenta que la raíz está comprendida entre 2,1 y 2,2
tenemos, para el error:
M = Máximo de ex < 9,1 m = Mínimo de e
x -3 > 5,1
521037,11290369,21254015,2
1,52
1,9
Luego sólo podríamos asegurar que x es igual a 2,1254. Si quisiéramos más decimales
habría que continuar el proceso.
3.17.2 Método de Newton Modificado
230
Y, haciendo y = 0 y x = x2 obtenemos 0
112
xf
xfxx
. Y, del mismo modo:
0
nn1n
0
223
xf
xfxx.......;;
xf
xfxx
La convergencia suele ser algo más lenta pero los cálculos se simplifican.
Ejemplo:
Aproximemos la raíz de 0senx1x1xx 3 que está comprendida entre 1,2 y 1,6.
senx1x9
21x
4
x1xxf
xcos1x3
11x
2
x1xxfsenx1x1xxxf
3/52/32/1
3/22/12/13
f(1,2) = -0,45274 0 f(1,6) = 0,20528 0 xf 0 luego x0 = 1,6
96150,16,1cos6,23
16,2
2
6,16,2xf
20528,06,1sen6,26,26,1xf
3/22/12/1
0
30
Esta derivada no hay que volverla a calcular.
49053,196150.1
00007,049057,1x
00007,049057,1f49057,196150.1
00075,049095,1x
00075,049095,1f49095,196150.1
00863,049535,1x
00863,049535,1f49535,196150.1
20528,06,1x
1
3
2
1
f(x)
x0 x1 x2 X
A veces, cuando f´(x) resulta difícil
de calcular o varía poco en el
intervalo considerado, puede interesar
sustituir las tangentes que siguen a la
primera por paralelas a esta última,
tal como se puede ver en la figura.
Para el cálculo de x2, tenemos:
101 xxxf)x(fy
231
3.17.3 Método de las Partes Proporcionales, “Regula Falsi” ó Métido de las Cuerdas
ax
afxf
xfxx 0
0
001
Y, repitiendo el proceso,
ax
afxf
xfxxax
afxf
xfxx n
n
nn1n1
1
112
Como se ve, hay un extremo fijo, que en este caso es el x = a. Si el extremo fijo fuera el
x = b procediendo del mismo modo llegaremos a
bxbfxf
xfxx n
n
nn1n
Haciendo como en el párrafo anterior los gráficos de los cuatro casos posibles se ve que el
extremo fijo es aquel en el que coinciden los signos de f(x) y xf .
Para el cálculo del error, tenemos:
n1n
n
nnn
n
nn1n xx
ax
afxfxfax
afxf
xfxx
Y, teniendo en cuenta que si x es la raíz, entonces f(x) = 0
n1n
n
nn xx
ax
afxfxfxf
Utilizando, dos veces, el teorema del valor medio,
X
b= x0 x1 x2
a
f(x) Se trata, en este caso, de sustituir la curva
por la cuerda, en vez de sustituirla por la
tangente, tal como indica la figura. La
ecuación de la cuerda es:
0
0
00 xx
ax
afxfxfy
Y, haciendo y = 0; x = x1 obtenemos
232
n1nn1nn1nn1n
n1nnn1nn
xxcf
cfdfxx1
cf
dfxxxxxx
xxcf
dfxxdfxxcfxx
Y si M es el máximo de la primera derivada y m es el mínimo,
1nxx n1n xxm
mM
Ejemplo:
Aproximemos, por el método de las cuerdas, la raíz de la ecuación 02x3xx 24 que
está comprendida entre 1,5 y 2.
X1 X2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1X
Y
42f6875,35,1f
2x12y3x2x4y2x3xxy 2324
Como xf es positiva en el intervalo, el extremo fijo corresponde a x = 2.
1,80802806,1)4-0,04139(
)-0,04139(806,1x 1,806027953,1
)4-0,22073(
)-0,22073(7953,1x
1,795327398,1)4-1,08361(
)-1,08361(7398,1x7398,1x
25,1)46875,3(
)6875,3(5,12x
4xf
xfxxbx
bfxf
xfxx
43
21
0
0
001n
n
nn1n
233
1,808428080,1)4-0,00764(
)-0,00764(8080,1x5
Si nos detenemos aquí, tendríamos, para el error, que:
M = f´(2) = 25 m = f´(1,5) = 7,5
3
n1n
10
8080,18084,15,7
5,725xx
m
mM
Lo que nos garantiza tres decimales exactos. Si quisiéramos asegurar cuatro decimales
exactos tendríamos que continuar el proceso.
3.17.4 Método de Newton – Fourier ó Método Mixto
Se trata de utilizar simultáneamente los dos métodos que se acaban de explicar en los
párrafos anteriores. Sea, por ejemplo, la ecuación 01senxx1ln3 , y consideremos
la raíz comprendida entre 0 y 1.
senxx1
3xfcox
x1
3xf1senxx1ln3xf
2
0
40f9209,11f10f
La tangente en A tiene por ecuación 0x41y , de donde, haciendo y = 0, x1 = 0,25.
A
B
X2
X1
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2X
Y
La cuerda tiene por ecuación 0x9209,21y , de donde obtenemos x1 = 0,3424.
234
Como el intervalo en el que se encuentra la raíz (0,25; 0,3424) es todavía excesivamente
grande, tomemos como nuevo intervalo el (0,25; 0,35) y repitamos el procedimiento.
3689,325,0f2432,035,0f0832,025,0f
La ecuación de la tangente en C es pues 25,0x3689,30832,0y de donde, haciendo
y = 0, obtenemos x3 = 0,2747.
La ecuación de la cuerda CD es 25,0x2640,30832,0y , de donde x4 = 0,2755.
Si nos detenemos aquí, tomaremos como solución aproximada de la ecuación:
2751,02
xxx 43
Y, evidentemente, el error es;
0004,02
xx 34
10-3
Lo que implica que sólo podemos asegurar tres decimales.
3.17.5 Método de Iteración
Sea la ecuación x = f(x) cuyas raíces han sido separadas de tal modo que sabemos que hay
una sola raíz en el intervalo (a, b). Sea, además, x0 un valor arbitrario interior al intervalo,
por ejemplo, 2
bax0
. Si f(x) es continua en dicho intervalo, hacemos sucesivamente
n1n231201 xfx;;xfx;xfx;xfx
D
C
X4
X3
X
Y
235
Demostraremos ahora que si 1Mxf la sucesión es convergente. En efecto:
1nn1nn1nnn1n xxMcfxxxfxfxx
Y, dando valores a n,
1nnn1n
1223
0112
xxMxx
................................
xxMxx
xxMxx
Y, multiplicando todas las desigualdades,
01
n
n1n xxMxx
Como M es menor que uno en valor absoluto, tiende hacia cero al tender n a infinito.
La interpretación gráfica del método puede verse en las dos figuras que siguen.
Estas figuras nos dicen que si f´(x) es positiva (y menor que uno, claro es) la sucesión de
las xi es monótona creciente o decreciente según que el valor inicial x0 sea menor o mayor
que la raíz, mientras que si f´(x) es negativa (y menor que uno en valor absoluto) nos
acercamos a la raíz en espiral; es decir que si xp es mayor que la raíz, xp+1 es menor y
viceversa.
Veamos ahora una fórmula para el error. Hagamos F(x) = x – f(x) , y tenemos,
M1xxcf1xxcFxxxFxF 1n1n1n1n
Por otra parte, teniendo en cuenta que si x es la raíz, F(x) = 0,
y = x
y = f(x)
x2 x1 x0
y = x
y = f(x)
x0 x2 x3 x1
236
MxxxxxxfxFxF n1n1n2n1n1n1n
Finalmente
Error = n1n
1n2n
1n xxM1
M
M1
xxxx
Es opinión generalizada que si xn+1 y xn tienen p decimales iguales, podemos asegurar que
conocemos p decimales exactas de la raíz. Esto no es siempre cierto. Si M es mayor que ½,
M/(1 – M) es mayor que 1 y, aunque xn+1 – xn sea menor que 10-p
, no podremos asegurar
que el error sea menor que 10-p
.
Ejemplo 1:
Aproximemos la raíz de la ecuación x4 – x
3 – x
2 – x – 1 = 0, que está comprendida entre 1
y 2.
56,0M
1xxx4
1x2x3xf1xxxx
4 323
24 23
Tomando x0 = 1,5 obtenemos sucesivamente
x1 = 1,6883; x2 = 1,7937; x3 = 1,8527; x4 = 1,8857; x5 = 1,9042; x6 = 1,9145;
x7 = 1,9203; x8 = 1,9235; x9 = 1,9253; x10 = 1,9263
Como la derivada es positiva, la sucesión de las xi resulta ser monótona creciente. Para el
error tenemos:
Error = 0013,09253,19263,156,01
56,0
Luego, si nos detenemos aquí, no podríamos asegurar las milésimas.
Ejemplo 2:
Aproximemos la raíz de x3 + x – 9 = 0, que está comprendida entre 1 y 2.
28,0Mx9
1xfx9x
3 2
3
Haciendo x0 = 1,5 obtenemos sucesivamente
x1 = 1,9574338; x2 = 1,9168008; x3 = 1,9204801; x4 = 1,9201475;
x5 = 1,9201776; x6 = 1,9201749;
237
Si nos detenemos aquí, y dado que f´(x) es negativo, podemos calcular el error de dos
maneras; por la fórmula general o como la semidiferencia entre x6 y x5.
Error = 6101,19201749,19201776,128,01
28,0
Ó
Error = 61035,12
9201749,19201776,1
De la segunda forma obtenemos una cota ligeramente mayor. Si quisiéramos seis
decimales exactos tendríamos que continuar algo más.
Ejemplo 3:
La ecuación ln x – x + 2 = 0 tiene dos raíces, la primera de las cuales está comprendida
entre 0,1 y 0,2 y la segunda entre 3 y 4. Aproximemos las dos raíces por el método de
iteración.
La ecuación dada se puede escribir de estas dos formas:
x1xf2xlnxyexfex 2x2x
Para la primera raíz los valores de M son 0,17 y 10, respectivamente. Por lo tanto habrá
que elegir la primera forma ya que la primera derivada debe ser menor que uno.
x0 = 0,15; x1 = 0,1572372; x2 = 0,1583792; x3 = 0,1585602; x4 = 0,1585889;
x5 = 0,1585935; x6 = 0,1585942; x7 = 0,1585943
Error = 7101585942,01585943,017,01
17,0
Para la segunda raíz los valores de M son 7,39 y 0,34, respectivamente. Por lo tanto habrá
que elegir la segunda forma.
x0 = 3,5; x1 = 3,2527630; x2 = 3,1795048; x3 = 3,1567255; x4 = 3,1495352;
x5 = 3,1472549; x6 = 3,1465306; x7 = 3,1463005; x8 = 3,1462273;
x9 = 3,1462041; x10 = 3,1461967; x11 = 3,1461943; x12 = 3,1461936
Error = 6101461936,31461943,334,01
34,0
Luego podemos asegurar con exactitud que x =3,146194
238
3.17.6 Método de Lagrange
Sea la ecuación 0axa...xaxaxf 01
1n
1n
n
n
y supongamos que f(x) tiene una
sola raíz comprendida entre dos enteros consecutivos a y a+1, es decir que a x a+1. Si
hacemos y
1ax obtendremos otra ecuación:
0ygy
1af
Que tendrá una sola raíz entre uno e infinito. Dando valores a y obtendremos la sucesión
g(1), g(2), g(3) …. Que continuaremos hasta obtener un cambio de signo. Si este cambio se
produce entre b y b+1 esto querrá decir que b y b+1. Hagamos ahora z
1by con lo
que llegaremos a
0zhz
1bg
Y así sucesivamente obteniendo la raíz en forma de fracción continua:
...d
1c
1b
1ax
El esquema para hacer abreviadamente los cambios de variable puede verse en los
ejemplos que siguen.
Ejemplo 1:
Aproximemos la raíz de la ecuación x3 + x – 9 = 0 que está comprendida entre 1 y 2.
1 1 0 1 -9
1 1 2
y
11x
1 1 1 2 -7
1 2
1 1 2 4
1
1 1 3
1
239
El resultado es 01y3y4y7 23 . El cambio de signo se obtiene entre 1 y 2,
1 7 -4 -3 -1
7 3 0
z
11y
1 7 3 0 -1
7 10
1 7 10 10
7
1 7 17
7
El resultado es 07z17z10z 23 . El cambio de signo se obtiene entre 11 y 12.
11 1 -10 -17 -7
11 11 -66
u
111z
11 1 1 -6 -73
11 132
11 1 12 126
11
11 1 23
1
El resultado es 01u23u126u73 23 . El cambio de signo se obtiene entre 1 y 2.
1 73 -126 -23 -1
73 -53 -76
v
11u
1 73 -53 -76 -77
73 20
1 73 20 -56
73
1 73 93
73
El resultado es 073v96v56v77 23 . El cambio de signo se obtiene entre 1 y 2.
240
1 77 56 -96 -73
77 133 37
w
11v
1 77 133 37 -36
77 210
1 77 210 247
77
1 77 287
77
El resultado es 077w287w247w36 23 . El cambio de signo se produce ahora entre
7 y 8. Si queremos detenernos aquí tomamos w = 8, con lo cual, v = 9/8; u = 17/9;
z = 196/17; y = 213/196; x = 409/213 = 1,9201877,
En la teoría de las fracciones continuas se demuestra que el error es menor que el cuadrado
de la inversa del denominador. Es decir que en nuestro ejemplo,
Error
00003,0213
12
Luego podemos asegurar que x = 1,9202.
Si buscamos una raíz negativa, bastará cambiar por – x y nos encontraremos en el caso
anterior.
Ejemplo 2:
Aproximemos la raíz de la ecuación x3 – 4x + 2 = 0 que está comprendida entre – 3 y – 2.
Cambiando x por – x obtenemos la ecuación x3 – 4x – 2 = 0 que tiene una raíz
comprendida entre 2 y 3.
2 1 0 -4 -2
2 4 0
y
12x
2 1 2 0 -2
2 8
2 1 4 8
2
2 1 6
1
Obteniéndose 01y6y8y2 23 . El cambio de signo se produce entre 4 y 5.
241
4 2 -8 -6 -1
8 0 -24
z
14y
4 2 0 -6 -25
8 32
4 2 8 26
8
4 2 16
2
Obteniéndose 02z16z26z25 23 . El cambio de signo se produce entre 1 y 2.
1 25 -26 -16 -2
25 -1 -17
u
11z
1 25 -1 -17 -19
25 24
1 25 24 7
25
1 25 49
25
Obteniéndose 025u49u7u19 23 . El cambio de signo se produce entre 1 y 2.
1 19 -7 -49 -25
19 12 -37
v
11u
1 19 12 -37 -62
19 31
1 19 31 -6
19
1 19 50
19
Obteniéndose 019v50v6v62 23 . El cambio de signo se produce entre 1 y 2.
242
1 62 6 -50 -19
62 68 18
w
11v
1 62 68 18 -1
62 130
1 62 130 148
62
1 62 192
62
Obteniéndose 062w192w148w 23 . El cambio de signo se produce entre 149 y
150. Tomemos w = 150, con lo cual obtenemos sucesivamente:
v = 151/150; u = 301/151; z = 452/301; y = 2109/452; x = 4670/2109 = 2,2143195
Y, como el error es:
7
2103
2109
1 , podemos asegurar que x = - 2,214320.
Puede suceder que entre los enteros a y a+1 haya dos raíces en vez de una. En ese caso el
procedimiento es el mismo, pero hay que tener cuidado para estar seguro de que estamos
calculando la raíz que nos interesa.
Ejemplo 3:
Aproximemos la menor de las dos raíces de la ecuación 20x3 – 15x
2 + 1 = 0 que están
comprendidas entre 0 y 1.
Hacemos el cambio de variable 020y15yy
10x 3 . Buscando los cambios de
signo averiguamos que esta ecuación tiene una raíz entre 1 y 2, y otra entre 2 y 3. La que
nos interesa es la segunda puesto que lo dicho equivale a que x está comprendida entre 1 y
1/2 para la primera y entre 1/2 y 1/3 para la segunda. La que nos interesa es, pues, ésta
última y en lo sucesivo ya no habrá más dificultades puesto que la ecuación en y solo tiene
una raíz entre 2 y 3.
2 1 0 -15 20
2 4 -22
z
12y
2 1 2 -11 -2
2 8
2 1 4 -3
2
2 1 6
1
243
01z6z3z2 23 cambia de signo entre 1 y 2.
1 2 3 -6 -1
2 5 -1
u
11z
1 2 5 -1 -2
2 7
1 2 7 6
2
1 2 9
2
02u9u6u2 23 cambia de signo entre 4 y 5.
4 2 -6 -9 -2
8 8 -4
v
14u
4 2 2 -1 -6
8 40
4 2 10 39
8
4 2 18
2
02v18v39v6 23 cambia de signo entre 6 y 7.
6 6 -39 -18 -2
36 -18 -216
w
16v
6 6 -3 -36 -218
36 198
6 6 33 162
36
6 6 69
6
06w69w162w218 23 cambia de signo entre 1 y 2.
w = 2; v = 13/2; u = 54/13; z = 67/54; y = 188/67; x = 67/188 = 0,3563829
El error es:
5
2103
188
1 , podemos asegurar que x = 03564.
244
3.18 Fórmula de Cardano Vieta
El álgebra se demuestra que solamente las ecuaciones de tercer y cuarto grado tiene
soluciones que pueden expresarse exactamente por medio de números irracionales, reales o
imaginarios (salvo casos excepcionales como raíces enteras, fraccionarias, etc…). A
continuación se explicará la fórmula de Cardano Vieta, que permite encontrar la solución
exacta de cualquier ecuación de tercer grado (para la ecuación de cuarto grado existe otra
fórmula pero es demasiado engorrosa).
Sea la ecuación 0axaxaxa 01
2
2
3
3 . Veamos, en primer lugar, que siempre es
posible reducirla al tipo 0qpxx3 . Haciendo x = z + h obtenemos:
0ahahahazaha2ah3zaha3za
0ahzahzh2zahzh3hz3za
01
2
2
3
3123
22
23
3
3
01
22
2
3223
3
Haciendo 32 a3ah , queda:
0ahahahazaha2ah3za 01
2
2
3
3123
23
3
Y, dividiendo por a3, la ecuación queda de la forma:
0qpxx3
Ejemplo:
Sea la ecuación 06x4x3x 23 . Haciendo x = z + h obtenemos
06hz4hzh2z3hzh3hz3z 223223
Es decir,
06h4h3hz4h6h3z3h3z 23223
Y, anulando el término en z2 queda 08zz3 .
Esto puede razonarse de otro modo también. Haciendo x = z + h y desarrollando en serie
de Taylor, nos queda:
0z6
hfz
2
hfzhfhfhzf 32
Para anular el término en z2 tendremos que hacer 0hf , de donde obtendremos el valor
de h, y la ecuación quedará:
245
0hf
hf6z
hf
hf6z3
Considerando el ejemplo anterior, tenemos
6hf6h6hf4h6h3hf6h4h3hhf 223
Anulando hf obtenemos h = - 1; y, entonces nos queda
6hf1hf8hf
Con lo cual nos queda, como antes,
08zz6
86z
6
16z 2323
El segundo paso en la fórmula de Cardano Vieta consiste en hacer x = u + v en la ecuación
0qpxx3 , con lo cual,
0qvupvuv3vu3u 3223
Que se puede escribir
0qvuvuuv3p 33
Ecuación que se cumple si hacemos
qvu
27pvu
qvu
3puv
33
333
33
Como se sabe que en una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, la suma de las
raíces es – b/a y su producto c/a, podemos decir que u3 y v
3 son las raíces de la ecuación
027
pqww
32 . Ecuación que, una vez resuelta, da:
2
27p4qqw
32
Es decir que
3
32
3
32
27
p
4
q
2
qv
27
p
4
q
2
qu
246
Ahora bien, como se debe recordar, cada número real o imaginario tiene tres raíces cúbicas
diferentes, reales o imaginarias. Por lo tanto hay nueve maneras diferentes de obtener
x = u + v. Seis de ellas son soluciones extrañas introducidas al elevar al cubo la igualdad
uv = – p/3. Se hace pues necesario encontrar un criterio que permita desechar estas
soluciones extrañas. Como uv = – p/3 es un número real bastará emparejar aquellos valores
tales que su producto sea real, para lo cual es necesario que la suma de sus argumentos sea
un múltiplo de 180º. Es decir que
Argumento de u + argumento de v = múltiplo de 180º.
A continuación, analicemos en detalle los casos que pueden presentarse:
- Primer Caso: 0d27
p
4
q 232
. En principio tenemos las siguientes posibilidades
a. 0sd2
q;0rd
2
q 33
b. 0sd2
q;0rd
2
q 33
c. 0sd2
q;0rd
2
q 33
(La otra posibilidad que queda es imposible.)
a. º120k3 º0
3º120k
3 º03 ssv;rru
sr2
3i
2
srº120sensº240senriº120cossº240cosrvux
sr2
3i
2
srº240sensº120senriº240cossº120cosrvux
srvux
233
322
111
b. º60º120k3 º180
3º120k
3 º03 ssv;rru
º2403
º1202
º01
ru
ru
ru
º2403
º1202
º01
sv
sv
sv
247
sr2
3i
2
rsº300sensº240senriº300cossº240cosrvux
sr2
3i
2
rsº60sensº120senriº60cossº120cosrvux
srvux
333
122
211
c. º60º120k3 º180
3º60º120k
3 º1803 ssv;rru
sr2
3i
2
srº60sensº300senriº60cossº300cosrvux
srvux
sr2
3i
2
srº300sensº60senriº300cossº60cosrvux
133
222
311
Como se ve en este primer caso se obtiene siempre una raíz real y dos imaginarias
conjugadas.
- Segundo Caso: 2
32
d27
p
4
q ó 33 di
2
qv;di
2
qu . Como d es un
número positivo, tenemos dos posibilidades:
a. q positivo
b. q negativo
a. q > 0. Si hacemos
q
d2tgarc;md
4
q 622
3/º60º120k3 º180
33/º60º120k
3 º1803 mmv;mmu
º3003
º1802
º601
ru
ru
ru
º3003
º1802
º601
sv
sv
sv
º2403
º1202
º01
ru
ru
ru
º3003
º1802
º601
sv
sv
sv
248
3º60cosm2
3sen3
3cosm
3º60sen
3º300senmi
3º60cos
3º300cosmvux
3cosm2
3º180sen
3º180senmi
3º180cos
3º180cosmvux
3º120cosm2
3º60cosm2
3sen3
3cosm
3º300sen
3º60senmi
3º300cos
3º60cosmvux
133
222
311
b. q < 0. Hacemos
q
d2tgarc;md
4
q 622
3/º120k3 3
3/º120k3 3 mmv;mmu
3º60cosm2
3sen3
3cosm
3º240sen
3º120senmi
3º240cos
3º120cosmvux
3cosm2vux
322
111
3/º2403
3/120
3/1
mu
m2u
mu
3/º2403
3/1202
3/1
mv
mv
mv
3/º3003
3/180
3/º601
mu
m2u
mu
3/º3003
3/1802
3/º601
mv
mv
mv
249
3º60cosm2
3sen3
3cosm
3º120sen
3º240senmi
3º120cos
3º240cosmvux 233
En este segundo caso, siempre se obtienen tres raíces reales diferentes
- Tercer caso: 0d27
p
4
q 232
hacemos 3m2
q . 3 2qvu y tenemos sólo
dos posibilidades:
a. q > 0.
b. q < 0.
a. º60º120k3 º180
3 mmvu
mxvux
m2º180senº180senmiº180cosº180cosmvux
mº300senº60senmiº300cosº60cosmvux
1133
222
311
b. º120k3 º0
3 mmvu
mxvux
mº240senº120senmiº240cosº120cosmvux
m2º0senº0senmiº0cosº0cosmvux
2233
322
111
En este tercer caso se obtiene siempre una raíz doble y una sencilla, ambas reales.
º2403
º120
º01
mu
m2u
mu
º2403
1202
º01
mv
mv
mv
º3003
180
º601
mu
m2u
mu
º3003
1802
º601
mv
mv
mv
250
En resumen, para obtener las soluciones válidas basta sumar los valores de u y de v cuyos
argumentos sumen un múltiplo de 180º.
La naturaleza de las raíces depende del signo de la expresión 27
p
4
q 32
, llamada
discriminante.
Si el discriminante es positivo, se obtiene una raíz real y dos imaginarias conjugadas.
Si el discriminante es negativo se obtienen tres raíces reales diferentes.
Si el discriminante es nulo se obtiene una raíz doble y otra simple, ambas reales.
Ejemplo 1:
Resolvamos la ecuación x3 + 9x – 26 = 0.
º60º120k3 º1803
º120k3 º03
223
311413v;3271413u
141964
q
27
p;26q;9p
i321º60sen1º120sen3iº60cos1º120cos3vux
213º180sen1º0sen3iº180cos1º0cos3vux
122
211
Para x3 no es necesario hacer cálculos puesto que las dos raíces imaginarias deben ser
conjugadas, así i321x3 .
Ejemplo 2:
Hallemos las raíces de la ecuación x3 – x – 2 = 0.
º120k3
º033
23
9869912,094614791,04614791,05,0108
23
2
1u
2129629,0108
23
4
q
27
p;1q;1p
º2403
º1202
º01
3u
3u
3u
º3003
º1802
º601
1v
1v
1v
251
º120k3
º033 3377267,00385209,04614791,05,0
108
23
2
1v
i5622794,06623583,0x
i5622794,06623583,0x
º240seniº240cos3377267,0º120seniº120cos9869912,0vux
3247179,13377267,09869912,0vux
3
2
322
111
Ejemplo 3:
Hallemos las raíces de x3 – 3x + 1 = 0.
º80º120k3 º2403
º40º120k3 º1203
23
112
3i
2
1v
112
3i
2
1u
4
3
4
q
27
p;1q;3p
3472963,0º80cos2º80senº280seniº80cosº280cosvux
8793852,1º160cos2º200senº160seniº200cosº160cosvux
5320888,1º40cos2º320senº40seniº320cosº40cosvux
133
222
311
Ejemplo 4:
Busquemos las raíces de x3 – 6,6534x + 5,8833 = 0.
º2803
º1602
º401
3u
3u
3u
º3203
º2002
º801
1v
1v
1v
º2403
º1202
º01
9869912,0u
9869912,0u
9869912,0u
º2403
º1202
º01
3377267,0v
3377267,0v
3377267,0v
252
º014954,69º120k3 º04486,2073
º985045,50º120k3 º95513,1523
223
4892280,1302896,3501748,1i94165,2v
4892280,1302896,3501748,1i94165,2u
501748,12552472,26533047,8908552,104
q
27
p
066057,14892280,1º014954,69cos2vux
9416643,24892280,1º985045,170cos2vux
875007,14892280,1º985045,50cos2vux
133
222
311
Ejemplo 5:
Busquemos las raíces de x3 – 12x + 16 = 0.
º60º120k3
23
28vu064644
q
27
p
2xvux
4º180cos4vux
2º60cos4vux
1133
222
311
3.19 Solución Gráfica de la Ecuación de Cuarto Grado
Sea la ecuación 0axaxaxaxa 01
2
2
3
3
4
4 . Si hacemos x = z + h, obtenemos
0ahahahaha
zaha2ah3ah4zaha3ah6zaha4za
01
2
2
3
3
4
4
123
2
4
32
234
23
34
4
4
º3003
º1802
º601
2u
2u
2u
º3003
º1802
º601
2v
2v
2v
º985045,2903
º985045,1702
º985045,501
4892280,1u
4892280,1u
4892280,1u
º014954,3093
º014954,1892
º014954,691
4892280,1v
4892280,1v
4892280,1v
253
Dividiendo por a4 y haciendo h = – a3/4ha4 podremos llegar siempre a una ecuación del
tipo
0cbxaxx 24
Ejemplo 1:
Consideremos la ecuación 01x4x6x16x2 234 , Haciendo x = z + h, obtenemos
01h4h6h16h2z4h12h48h8z6h48h12z16h8z2 234232234
Haciendo h = 2 y dividiendo luego por 2, tenemos
05,32z50z21z 24
Sea ahora la ecuación 0cbxaxx 24 . Haciendo x2 = y tendremos:
0
4
c41ab
2
1ay
2
bx
cy1abxyxcbxx1axxcbxaxx
2222
2224224
Luego las soluciones de la ecuación se pueden obtener por la intersección de la parábola
2xy y la circunferencia de centro
2
1a,
2
b y radio
4
c41abR
22 .
Ejemplo 2:
Sea la ecuación 07x2x3x 24 .
X1 X2
-1,00
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3X
Y
254
091y1x7y2x2yx7x2x3x222224
Que corresponde a una circunferencia de centro (-1; -1) y radio igual a 3, lo que nos da dos
raíces reales, una negativa comprendida entre -1 y -2 y otra positiva comprendida entre 1 y
2. Para obtener alguna exactitud es necesario hacer el dibujo con precisión. En este caso en
particular, las raíces son x1 = – 1,40 y x2 = 1,08.
3.20 Solución Gráfica de la Ecuación de Tercer Grado
Dada la ecuación 0qpxx3 (lo que como sabemos no quita generalidad a la solución
porque siempre podemos llegar a ella) basta multiplicar por x para estar en el caso anterior:
0
4
1pq
2
1py
2
qx
y1pqxyxqxx1pxxqxpxx
2222
2224224
Y, como antes, bastará buscar la intersección de la parábola y = x2 con la circunferencia de
centro
2
1p,
2
q que pasa por el origen.
Ejemplo:
Consideremos la ecuación 05x7x3 .
025,224y5,2xy8x5yxx5x8xxx5x7x222224224
La circunferencia tiene su centro en (– 2,5; 4) y pasa por el origen. Se obtienen tres raíces
reales: x1 = – 2,95 x2 = 0,78 y x3 = 2,17-
X1 X2 X3
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3X
Y
255
3.21Problemas Resueltos
1. A partir de la siguiente tabla, hallar las diferencias divididas más usuales y, además,
042 xxx .
x 0,2 0,35 0,5 0,6 0,8 1,0
f(x) -0,6900 -0,4559 -0,3010 -0,2218 -0,0969 0,0000
Solución:
Construyamos, en primer lugar, la tabla de diferencias divididas más usadas:
x f(x) 1º Orden 2º Orden 3º Orden 4º Orden 5º Orden
x0 = 0,2 -0,6990
x1 = 0,35 -0,4559 1,6207
x2 = 0,5 -0,3010 1,0327 -1,9600
x3 = 0,6 -0,2218 0,7920 -0,9627 2,4933
x4 = 0,8 -0,0969 0,6245 -0,5583 0,8985 -2,6580
x5 = 1 0,0000 0,4845 -0,3500 0,4167 -0,7413 2,3959
Además:
0772,12,08,0
3267,16803,0xxx
3267,12,05,0
6990,03010,0
xx
xfxfxx
6803,05,08,0
3010,00969,0
xx
xfxfxx
xx
xxxxxxxxxx
042
02
0220
24
2442
04
2042420042
2. Dados h3ax;hax;hax;h3ax;xxf 3210
4 , hacer la tabla de
diferencias progresivas y hallar a y h, tal que 8xxxx58xxx 3210321 .
Solución:
x f(x)
a – 3h (a – 3h)4
a – h (a – h)4
4a3 – 24a
2h + 52ah
2 – 40h
3
a + h (a + h)4
4a3 + 4ah
2 6a
2 – 12ah + 10h
2
a + 3h (a + 3h)4
4a3 – 24a
2h + 52ah
2 – 40h
3 6a
2 + 12ah + 10h
2 4a
256
De donde 2a8a4xxxx 3210
517h1h5824h24h10h10ha12a6xxx 222
321
3. Dado 3x;1x;0x;2x2xxf 210
34 , hallar x para que 7xxxx 210 .
Solución:
5x72x3
1xx5x2xxxxx
5x2x2
1xxx9x3xxxxx
1xxx
11xxxxxx
9x3xxx3
2x2x25xx
1xxx1x
32x2xxx1
01
23xx
25xf3xf2xf
22
210
22323
21
223
10
2334
2
2334
110
210
4. A partir de la siguiente tabla, y sabiendo que f(x) es un polinomio de tercer grado, hallar
f(4) y f(5).
x 0 1 2 3
f(x) 1 0 11 46
Solución:
Planteemos la tabla de diferencias progresivas hasta x = 4:
x f(x) ∆ ∆2 ∆
3
0 1
1 0 -1
2 11 11 12
3 46 35 24 12
4 a b c 12
Es de hacer notar que si la función es un polinomio de tercer grado, las diferencias de
orden cuatro deben ser nulas, y por lo tanto las de tercer orden deben ser iguales entre sí.
De ahí podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
1174fa7146a71b3635b36c1224c
Y repetimos para hallar f(5)
257
x f(x) ∆ ∆2 ∆
3
0 1
1 0 -1
2 11 11 12
3 46 35 24 12
4 117 71 36 12
5 a b c 12
2365fa119117a119b4871b48c1236c
5. Hallar la diferencia enésima de la función f(x) = e-3x
para h = 1.
Solución:
x3n3n
x323x31x332
3x3x3)1x(3
e1exf
..................................................................................
e1eee1exf
1eeeexf1xfxf
6. Hallar la antidiferencia de x2 31x6x2xf para h = 1.
Solución:
Probemos con una función del tipo x21 3cbxaxxfxF
c2b3a3xb2a6ax233cbxax3c1xb1xaxF 2xx21x2
k31xxf
1c1c2b3a30b6b2a61a2a2
31x6x2c2b3a3xb2a6ax23xF
x21
x22x
7. Si
x
x
2
3sen2xf , resolver xfxf para h = 1.
Solución:
Si xfxf , entonces xfxf1xf , y por lo tanto xf21xf
258
02
23sen
2
3sen
02
3sen
2
3sen
2
3sen2
2
3sen22
2
3sen2
x
x
1xxx
1x
x
x
1x
1x
Recordemos que:
4
asen
4
a3cos22asensena . Si hacemos
2xx 2
3
4
a
2
3a
y
2x2
33
4
a3
, con lo que la ecuación queda 02
3sen
2
33cos2
2x2x
.
Ecuación que tiene dos soluciones: 02
3sen
2x
y 02
33cos
2x
. En el primer caso,
2ln
k4ln3lnx
k4
32k4
2
3k
2
30
2
3sen x
x2x2x
Y en el segundo,
2ln
2k4ln9lnx
2k4
92
3
1k22
2
3
21k2
2
330
2
33cos x
x2x2x
Para k = 0,
2ln
2ln9lnx;
2ln
3lnx
8. Dada la función 1xx2xxxf 234 , descomponer en polinomios factoriales y
hallar xyxf,xf 12 para h = 2.
Solución:
13BED6C24B4815916x
36CED4C83574x
17DED2352x
E10x
EDx2xCx4x2xBx6x4x2xAx
ExDxCxBxAx1xx2xx 0(1(2(3(4234
Términos en x4 A1
259
Por lo tanto, 0(1(2(3(4 xx17x36x13xxf . Para las diferencias tenemos:
288x216x48xf
288x3122xx48x288x312x48xf
x21144x2278x238xf
34x52x30x8xf
34x1442xx784x2xx8x34x144x78x8xf
x2117x2236x2313x24xf
22
0(1(22
0(1(22
23
0(1(2(3
0(1(2(3
Y, para la antidiferencia,
kx5
2x
4
1x
2
1x
8
3x
10
1xf
kx2
12xx
4
17
4x2xx66x4x2xx8
138x6x4x2xx
10
1xf
xk21
x
22
x17
23
x36
24
x13
25
xxf
23451
1
0(1(2(3(4(5(
1
9. Dada la función x3( 3xxf , hallar, mediante la fórmula de la diferencia de un
producto y para h = 1, el valor de xf4 .
Solución:
La fórmula de la diferencia de un producto es: (uv) = u v + v u +u v. En efecto, si
f(x) = u(x) v(x), entonces:
xfxvxuhxvhxuxvxuhxvxu
xvhxuhxvhxuxuxvhxuxvxvxuhxvxu
xvhxvxuhxuxuhxuxvxvhxvxuuv
Si hacemos 2(3( x3uxu , y xx 32v3v , por lo tanto:
x2(3(x2(2(xx3( 3x9x232x3x3332xxf
Haciendo ahora 1(2(2(3( x18x6ux9x2u y repitiendo el procedimiento
anterior, tenemos:
260
x1(2(3(2
1(2(x1(2(xx2(3(2
3x54x36x4xf
x18x632x18x6332x9x2xf
x0(1(2(3(3
0(1(2(x0(1(2(xx1(2(3(3
0(1(2(1(2(3(
3x162x324x108x8xf
x54x72x1232x54x72x12332x54x36x4xf
x54x72x12ux54x36x4u
x0(1(2(3(4
x0(1(2(
0(1(2(xx0(1(2(3(4
0(1(2(0(1(2(3(
3x1296x1296x288x16xf
32x324x216x24
x324x216x24332x162x324x108x8xf
x324x216x24ux162x324x108x8u
10. Hallar la diferencia tercera de 6x11x6x
1xx3xf
23
2
, y su valor para x = 0 (h = 1).
Solución:
Descomponiendo el denominador de la función, tenemos:
3AxEn
16BCB152xPara
C313xPara
C3xB3x2xA1xx3
3x2x1x
C
2x1x
B
1x
A
3x2x1x
1xx3
6x11x6x
1xx3xf
2
2
2
23
2
Y, expresando la función en polinomios factoriales,
6(5(4(3
5(4(3(2
4(3(2(
3(2(1(
x1860x384x18xf
x372x96x6xf
x93x32x3xf
x31x16x3xf
6x5x4x3x2x1x
1860
5x4x3x2x1x
384
4x3x2x1x
18xf3
261
15
2
720
96
654321
186063843018xf0xPara
6x5x4x3x2x1x
18606x3846x5x18xf
3
3
11. Descomponer en suma de polinomios factoriales la expresión 3x1x
1xf
, con
h = 1, y hallar xfyxf 1 .
Solución:
0Axen
1BCB02x
C13x
C3xB3x2xA2x
3x2x1x
C
2x1x
B
1x
A
3x2x1x
2x
CxBxAx3x2x1x
2x
3x1x
1
2
3(2(1(
Por lo tanto, 3(2( xxxf , y para las diferencias,
4x6x2
3x2
2x1x2
1
1x
1xf
x2
1x
31
x
21
xxf
24x50x35x10x
5x2
4x3x2x1x
3
3x2x1x
2xf
x3x2x13x12xf
2
1
2(1(2(1(
1
234
4(3(4(3(
12. Hallar n
1
n23n utilizando diferencias finitas.
Solución:
Definimos la función x23xxf y hallamos su antidiferencia, xfxF 1
x2 3cbxax .
262
x2x2
x21x2x2
3c2b3a3xb2a6ax23x
3cbxax3c1xb1xa3x
Identificando coeficientes, tenemos:
x2
2
32
3x
2
3x
2
1xF
23c2c3b3a0nteindependie Término
23bb2a60xen
21aa21xen
Recordemos que Sn = F(n+1)- F(1), por lo tanto:
2
331nn
2
1S
32
3
2
3
2
13
2
31n
2
31n
2
1S3n
1n2
n
n
1
1n2
n
n2
13. Sumar los n primeros términos de Sn = – 4 +1 + 18 + 53 + 112 + 201 +326 + … y
hallar el valor de Sn para n = 30.
Solución:
Hallemos las diferencias progresivas:
x f(x) ∆ ∆2 ∆
3
1 - 4
2 1 5
3 18 17 12
4 53 35 18 6
5 112 59 24 6
6 201 89 30 6
7 326 125 36 6
De aquí se deduce que la función puede expresarse mediante un polinomio de tercer grado.
3d2c
0b1aa66
b2a1818
b2a1212
cb7a3735
cb5a1917
cb3a75
dc4b16a6453
dc3b9a2718
dc2b4a81
dcba4
dcnbnannf 23
263
Por lo tanto f(n) = n3 – 2 n – 3. El siguiente paso es expresarlo como suma de polinomios
factoriales:
Kx32
1xx2x1xx
4
3x2x1xxxf
Kx32
xx
4
xxfx3xx3xxf
1A3B1C3D
DCx1xBx2x1xAxDxCxBxAx3x2x
1
1(2(
3(4(
10(1(2(3(
0(1(2(3(3
Y, por lo tanto:
16n3n2n4
n121n21n42n1n
4
nS
K3K1n32
n1n1nn1n
4
2n1nn1nS
2322
n
n
Para n = 30, S30 = 215.205
14. Hallar la suma de los primeros n términos de ...975
14
753
12
531
10Sn
Solución:
El término general de la suma puede expresarse como: 3x21x21x2
8x2xf
, y si
hacemos z = 2x – 3 entonces 2x – 1 = z + 2; 2x + 1 = z + 4; 2x + 3 = z + 6 . Quedando,
5C1B0A
C6zB6z4zA11z
6z4z2z
C
4z2z
B
2z
ACzBzAz
6z4z2z
11zzf 3(2(1(
K4z2z4
5
2z2
1K
4
z5
2
zzfzFz5zzf
2(1(13(2(
Ahora es necesario desarrollar la fórmula de la sumatoria:
zfzF2zF
264
3n21n24
11n4
12
11S
12
5
2
1
3n21n24
5
1n22
1S
1F1n2FS
1n2f1n2F1n2F
3f3F5F
1f1F3F
1f1F1F
n
n
n
15. Dada la siguiente tabla, calcular, por la fórmula de Lagrange, el valor de la función en
x = 3.
x 0 1 2 4 5
f(x) 0 16 48 88 0
Solución:
Recordemos que el polinomio desarrollado por Lagrange es:
n
0i
ii xLyxP , en donde,
ni1ii1ii1i0i
n1i1-i10i
xx....xxxx....xxxx
x-xx-xx-xx-xx-x(x)L
......... Por lo tanto,
843f
10
10
2
188148
12
616
10
10
45251505
432313030
54241404
5323130388
52421202
5343130348
51412101
5343230316
50402010
5343231303f
16. Dada la tabla que se incluye a continuación hallar, mediante la fórmula de Lagrange, el
valor de f(50,2).
x 50 51 52 53 54 55
f(x) 7,07107 7,14143 7,21110 7,28011 7,34847 7,41620
Solución:
Ya que las abscisas están uniformemente espaciadas, conviene hacer el cambio de variable
x – x0 = r h. En este caso: 2,01502,50r , y el polinomio de Lagrange es:
265
08520,7
120
42,032,022,012,02,041620,7
24
52,032,022,012,02,034847,7
12
52,042,022,012,02,028011,7
12
52,042,032,012,02,02111,7
24
52,042,032,022,02,014143,7
120
52,042,032,022,012,007107,72,50f
54321
4r3r2r1rry
4321
5r3r2r1rry
32112
5r4r2r1rry
21123
5r4r3r1rry
11234
5r4r3r2rry
12345
5r4r3r2r1ryxf
44
32
10
17. Dada la tabla
x 3 3,02 3,03 3,06
f(x) = cos x -0,9900 -0,9926 -0,9938 -0,9967
Calcular, por Newton – Gregory, cos 3,01 y estimar la cota del error de la fórmula.
Solución:
Calculemos, en primer lugar la tabla de diferencias divididas:
x f(x) 1º Orden 2º Orden
3º Orden
3 -0,99
3,02 -0,9926 -0,13000
3,03 -0,9938 -0,12000 0,33333
3,06 -0,9967 -0,09667 0,58333 4,16667
La fórmula de Newton – Gregory es:
n10n101-n10n210
210101000
xxxxxx....xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxff(x)
............
....
Por lo tanto,
9913,016667,403,301,302,301,3301,3
33333,002,301,3301,313,0301,399,001,3f
266
La fórmula del error es:
M!4
xxxxxxxx 3210
En donde M es, en este caso, el máximo de la cuarta derivada, 1Mxcosxf IV
9102,41
24
06,301,303,301,302,301,3301,3
18. Dada la tabla
x 0 0,2 0,3 0,4 0,7 0,9
f(x) 132,651 148,877 157,464 166,375 195,112 216
Hallar f(0,25).
Solución:
x f(x) 1º Orden 2º Orden 3º Orden
0 132,651
0,2 148,877 81,130
0,3 157,464 85,870 15,80
0,4 166,375 89,110 16,20 1
0,7 195,112 95,790 16,70 1
0,9 216 104,440 17,30 1
f(0,25) = 132,651 + (0,25 – 0) 81,13 + (0,25 – 0) (0,25 – 0,2)15,80 + (0,25 – 0)
(0,25 – 0,2) (0,25 – 0,3) 1 = 153,130
19. Dada la tabla
x 3,5 3,55 3,6 3,65 3,7
f(x) 33,115 34,813 36,598 38,475 40,447
Hallar f(x) y particularizar para x = 3,58.
Solución:
x f(x) 2
3
4
3,5 33,115
3,55 34,813 1,6980
3,6 36,598 1,7850 0,0870
3,65 38,475 1,8770 0,0920 0,0050
3,7 40,447 1,9720 0,0950 0,0030 -0,0020
267
5
0
4
0
3
0
2
00
1033,83r2r1rr
000833,02r1rr0435,01rrr698,1115,33xf
002,024
3r2r1rr005,0
6
2r1rr087,0
2
1rrr698,1115,33xf
y!4
3r2r1rry
!3
2r1rry
!2
1rry
!1
rxfxf
Y, para x = 3,58, 6,105,0
5,358,3
h
xxr 0
. Finalmente:
873,351033,84,14,06,06,1
000833,04,06,06,10435,06,06,16,1698,1115,33xf
5
20. Dada la siguiente tabla, hallar el valor de x para el cual f(x) = 0,79216.
x 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75
f(x) 0,70711 0,74162 0,7746 0,80623 0,83666 0,86603
Solución:
Ya que las abscisas están uniformemente separadas, comenzamos por calcular las
diferencias progresivas:
x f(x) ∆ ∆2 ∆
3 ∆
4 ∆
5
0,5 0,70711
0,55 0,74162 0,0345
0,6 0,7746 0,0330 -0,0015
0,65 0,80623 0,0316 -0,0013 1,80E-04
0,7 0,83666 0,0304 -0,0012 1,50E-04 -3,00E-05
0,75 0,86603 0,0294 -0,0011 1,40E-04 -1,00E-05 2,00E-05
El primer tanteo es:
46450,20345,0
70711,079216,0
y
yyr
0
0g
0
El siguiente es:
4
1 108,10345,0
24645,214645,24645,20015,0
0345,0
14645,24645,24645,2r
268
543015,2100,20345,0
44645,234645,224645,214645,24645,2
100,30345,0
34645,224645,214645,24645,2
5
5
549592,2r
100,20345,0
4543015,23543015,22543015,21543015,2543015,2
100,30345,0
3543015,22543015,21543015,2543015,210
8,10345,0
2543015,21543015,2543015,20015,0
0345,0
1543015,2543015,24645,2r
2
5
54
2
Así sucesivamente hasta r5 = 2,55020516. Por lo tanto, x = rh + x0 = 2,549592 0,05 + 0,5
= 0,628.
21. El coeficiente de contracción utilizado en la estimación de la socavación general y
transversal de un cauce, es función de la velocidad media de la corriente y de la separación
entre estructuras, tal como lo indica la tabla que se presenta a continuación. Calcular el
valor de dicho coeficiente para una velocidad media 1,3 m/seg y una separación entre pilas
de 12,5 m.
Coeficiente de Contracción, Cc
Velocidad (m/seg) Separación entre estructuras (m)
10 13 16
1,00 0,96 0,97 0,98
1,50 0,94 0,96 0,97
2,00 0,93 0,94 0,95
2,50 0,90 0,93 0,94
Solución:
Utilicemos, por ejemplo, el método de Newton – Gregory. Ya que las dos variables
independientes están uniformemente espaciadas, podemos utilizar la fórmula simplificada.
Así, para una separación entre estructuras de 10 m, tenemos:
x f(x) ∆ ∆2 ∆
3
1,0 0,96
1,5 0,94 -0,0200
2,0 0,93 -0,0100 0,0100
2,5 0,90 -0,0300 -0,0200 -0,0300
269
6,05,0
13,1
h
xxr5,0h 0
945,003,06
26,016,06,001,0
2
16,06,002,06,096,0xf
y!3
2r1rry
!2
1rry
!1
rxfxf 0
3
0
2
00
Para una separación entre estructuras de 13 m:
x f(x) ∆ ∆2 ∆
3
1,0 0,97
1,5 0,96 -0,0100
2,0 0,94 -0,0200 -0,0100
2,5 0,93 -0,0100 0,0100 0,0200
966,002,06
26,016,06,001,0
2
16,06,001,06,097,0xf
Para una separación de 16 m:
x f(x) ∆ ∆2 ∆
3
1,0 0,98
1,5 0,97 -0,0100
2,0 0,95 -0,0200 -0,0100
2,5 0,94 -0,0100 0,0100 0,0200
976,002,06
26,016,06,001,0
2
16,06,001,06,098,0xf
Y, finalmente, introduciendo la separación entre estructuras como variable independiente,
se tiene:
y f(y) ∆ ∆2
10 0,945
13 0,966 0,0210
16 0,976 0,0100 -0,0110
8333,00,3
105,12
h
xxr0,3h 0
963,0011,02
18333,08333,0021,08333,0945,0yf
Es decir, Cc = 0,963.
270
22. En la siguiente tabla se presenta el valor límite de resistencia a la rotura en N/mm2 (Y)
en función de la dureza Brinell en N/mm2 (X) de cabillas de acero utilizadas en la
construcción. ¿Existe una relación funcional entre las dos variables?
X 263 262 262 262 263 260 263 262 265 262 260 265 265 265 263
Y 88,5 90 90,5 87,5 88,5 90 87,5 88 90,5 88,5 87,5 90 87,5 89,5 90
Solución:
Dado que se trata de una función de una variable, intentemos una relación lineal. Los
cálculos correspondientes son:
X Y X2 XY
263 88,5 69169 23275,5
262 90 68644 23580
262 90,5 68644 23711
262 87,5 68644 22925
263 88,5 69169 23275,5
260 90 67600 23400
263 87,5 69169 23012,5
262 88 68644 23056
265 90,5 70225 23982,5
262 88,5 68644 23187
260 87,5 67600 22750
265 90 70225 23850
265 87,5 70225 23187,5
265 89,5 70225 23717,5
263 90 69169 23670
3942 1334 1035996 350580
Media 262,8 88,93
Y, los coeficientes de regresión son:
125,0
3942103599615
3942133435058015
xxn
xyxynˆ
22n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii
1
08,568,262125,093,88xˆyˆ10
Es decir: x125,008,56y . Según esta relación, cuya validez hay que establecer, los
valores estimados y los correspondientes errores son:
271
X Y y 2yy 2yy
263 88,5 89,0 0,21 0,19 -0,46
262 90 88,8 1,36 1,14 1,17
262 90,5 88,8 2,78 2,45 1,67
262 87,5 88,8 1,78 2,05 -1,33
263 88,5 89,0 0,21 0,19 -0,46
260 90 88,6 2,01 1,14 1,42
263 87,5 89,0 2,13 2,05 -1,46
262 88 88,8 0,69 0,87 -0,83
265 90,5 89,2 1,67 2,45 1,29
262 88,5 88,8 0,11 0,19 -0,33
260 87,5 88,6 1,17 2,05 -1,08
265 90 89,2 0,63 1,14 0,79
265 87,5 89,2 2,92 2,05 -1,71
265 89,5 89,2 0,09 0,32 0,29
263 90 89,0 1,09 1,14 1,04
3942 1334 18,83 19,43
La varianza del modelo es:
45,1215
83,18yy
2n
1ˆ
n
1i
2
ii
2
Y,
40,3815
39421035996x
n
1xS
22n
1i
i
n
1i
2
ixx
Planteemos las hipótesis,
H0: 1 = 0
H1: 1 0
El estadístico de prueba es 64,040,3845,1
125,0
Sˆ
ˆT
xx
2
10
. Y el valor de referencia es
t/2,n-2 = t0,025;13 = 2,53. Ya que 64,0T0 es menor que el valor de referencia, t/2,n-2, no es
posible rechazar la hipótesis nula, es decir 1 es igual a cero, indicando que no hay relación
entre las variables. Por otra parte, el coeficiente de determinación es:
03,0
43,19
83,181
yy
yy
1Rn
1i
i
n
1i
2
ii2
272
Con un coeficiente de determinación tan bajo se puede afirmar que el modelo lineal no es
apropiado. Para mayor certeza, probemos haciendo un ajuste a un polinomio de segundo
grado:
Y X
X2
263 88,5 7832,25
262 90 8100
262 90,5 8190,25
262 87,5 7656,25
263 88,5 7832,25
260 90 8100
263 87,5 7656,25
262 88 7744
265 90,5 8190,25
262 88,5 7832,25
260 87,5 7656,25
265 90 8100
265 87,5 7656,25
265 89,5 8010,25
263 90 8100
= 3942 1334 118656,5
Media = 262,8 88,93 7910,43
Utilizando las expresiones matriciales, tenemos:
101,097,1773,798
97,1750,319590,142067
73,79890,14206756,6316255
XX1T
044,0
028,8
101,105
YXXXˆ T1T
Es decir, 044,0x028,8101,105y . Planteemos la hipótesis
Ho: 1 = 2 = 0
H1: j 0 al menos para una j
Para el estadístico de prueba necesitamos el valor de 20,37YXˆYYSSTTT
E
y de 18,1yn
1YXˆSS
2n
1i
i
TT
R
. Con ello:
273
19,0
31520,37
218,1
pnSS
kSSF
E
R0
Dado que f,k,n-p = f0,05;2;7 = 4,74 es superior a 19,0F0 no es posible rechazar la hipótesis
nula. Con lo que se puede concluir, razonablemente, que no hay relación funcional entre
las variables propuestas.
23. Ajustar a los datos que se incluyen en la siguiente tabla un polinomio de segundo
grado. Comprobar la bondad del ajuste.
Y 11,62 8,35 11,17 6,81 5,7 7,03 13,48 10,3
X 0,76 0,42 0,8 0,2 0,05 0,29 0,94 0,69
Y 13,23 12,07 9,84 8,18 7,41 10,87 6,48
X 0,98 0,89 0,64 0,4 0,36 0,69 0,13
Solución:
Comencemos por definir las matrices, recordando que, en este caso, la tercera columna de
la matriz X está conformada por el cuadrado de los valores de x:
9360,126132,134547,2
6132,130960,150063,3
4547,20063,37649,0
XXC
48,6
87,10
41,7
18,8
84,9
07,12
23,13
30,10
48,13
03,7
70,5
81,6
17,11
35,8
62,11
Y
0169,013,01
04761,69,01
1296,036,01
1600,040,01
4096,064,01
7921,089,01
9604,098,01
4761,069,01
8836,094,01
0841,029,01
0025,005,01
0400,020,01
6400,080,01
1764,042,01
5776,076,01
X1T
Y los coeficientes del modelo son:
274
091,3
005,5
553,5
YXCˆ T Es decir: 2x091,3x005,5553,5y . La varianza del modelo:
1086,0
315
3026,1
pn
yy
ˆ
n
1i
2
ii2
, y el coeficiente de determinación:
9856,0
6043,90
1086,01
yy
yy
1Rn
1i
i
n
1i
2
ii2
indican un buen ajuste. En la prueba de
hipótesis:
Ho: 1 = 2 = 0
H1: 1 0 y/o 2 0
El estadístico de prueba,
33,411123026,1
230,89
pnSS
kSSF
E
R0
es mucho mayor que el
valor de referencia, f,k,n-p = f0,05;2;12 = 3,89 lo que nos dice que hay que rechazar la
hipótesis nula. Es decir, por lo menos uno de los coeficientes es diferente de cero, lo que
indica que hay una relación funcional entre las variables.
En la prueba de hipótesis,
H0: j = 0
H1: j 0
El estadístico de prueba,
jj
2
j
0
Cˆ
ˆT
, es igual a 3,91 (C11 = 15,0960) para 1 y es igual a
2,61 (C22 = 12,9360) para 2. En ambos casos el valor es superior al de referencia,
56,2tt 13;025,0pn,2/ . Lo que obliga a rechazar la hipótesis nula. Esto quiere decir que el
polinomio de segundo grado es un modelo adecuado. Finalmente, la representación gráfica
de los errores no presenta ningún patrón definido:
-0,50
-0,40
-0,30
-0,20
-0,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0
Valor Estimado
Error
275
24. Hallar el mejor valor de x1, x2, x3 y x4 para el sistema
1,85 x1 – 2,15 x2 + 2,89 x3 + 5,03 x4 = – 1,25
1,57 x1 – 1,94 x2 + 3,15 x3 + 4,87 x4 = – 1,05
0,89 x1 – 2,06 x2 + 3,04 x3 + 4,95 x4 = – 1,17
1,05 x1 – 2,16 x2 + 3,09 x3 + 4,90 x4 = – 0,95
1,22 x1 – 1,90 x2 + 2,99 x3 + 5,11 x4 = – 1,00
1,17 x1 – 2,11 x2 + 2,90 x3 + 5,19 x4 = – 1,23
1,01 x1 – 2,18 x2 + 3,16 x3 + 5,07 x4 = – 1,18
1,32 x1 – 2,02 x2 + 3,14 x3 + 5,06 x4 = – 1,09
Solución:
La mejor solución posible la da el sistema:
n
1i
i4i4
n
1i
2
4i3
n
1i
3i4i2
n
1i
2i4i4
n
1i
1i4i
n
1i
i3i4
n
1i
4i3i3
n
1i
2
2
n
1i
2
3i1
n
1i
1i3i
n
1i
i2i4
n
1i
4i2i3
n
1i
3i2i2
n
1i
2
2i1
n
1i
1i2i
n
1i
i1i4
n
1i
4i1i3
n
1i
3i1i2
n
1i
2i1i1
n
1i
2
1i
kaxaxaaxaaxaa
kaxaaxaxaxaa
kaxaaxaaxaxaa
kaxaaxaaxaaxa
3i
Y, sustituyendo valores:
84,44x31,201x31,122x98,82x61,50
12,27x31,122x26,74x29,50x62,30
46,18x98,82x29,50x19,34x78,20
29,11x61,50x62,30x78,20x40,13
4324
4321
4321
4321
Finalmente, resolviendo el sistema matricialmente, se tiene:
x1 = – 0,064 x2 = 0,416 x3 = 0,309 x4 = – 0,222
25. Dada la tabla
x 0,4 0,7 1,0 1,3 1,6
f(x) -1,9564 -1,9667 -2,0000 -1,9477 -1,7012
Hallar 8,0f1f4,0f4,0f .
276
Solución:
Ya que la variable independiente está uniformemente separada comencemos por hallar las
diferencias progresivas.
x f(x) ∆ ∆2 ∆
3 ∆
4
0,4 -1,9564
0,7 -1,9667 -0,0103
1 -2 -0,0333 -0,0230
1,3 -1,9477 0,0523 0,0856 0,1086
1,6 -1,7012 0,2465 0,1942 0,1086 0,0000
Y, según la fórmula de Newton – Gregory,
r2r3r0181,0rr0115,0r0103,09564,1xf
2r1rr6
1086,01rr
2
0230,0r0103,09564,1xf
232
En donde 3,0/4,0xr . Derivando,
2r6r30181,01r20115,00103,03,0
1xf 2
Volviendo a derivar,
6r60181,00230,009,0
16r60181,020115,0
3,0
1xf
2
Para x = x0 = 0,4 r = 0, por lo tanto:
4622,160181,00230,009,0
14,0f
1247,020181,00115,00103,03,0
14,0f
Para x = x2 = 1 r = 2 0287,020181,030115,00103,03,0
11f
Para x = 0,8 r = (0,8-0,4)/0,3 = 4/3
1384.03
20181,0
3
50115,00103,0
3,0
1xf
26. Dada la tabla
x 1,00 1,50 2,20 3,00
f(x) -0,2817 -2,2683 -5,4950 -6,9145
277
Hallar los máximos y mínimos de la función.
Solución:
Comencemos por calcular las diferencias divididas:
x f(x) 1º Orden 2º Orden 3º Orden
1,00 -0,2817
1,50 -2,2683 -3,9732
2,20 -5,4950 -4,6096 -0,5303
3,00 -6,9145 -1,7744 1,8901 1,2102
La fórmula de interpolación de Newton – Gregory es, en este caso,
2103210210101000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxff(x)
Derivando,
2120103210
1021010
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx(x)f
82395,5x43648,12x6306,3xf
2,2x5,1x2,2x1x5,1x1x2102,1
5,1x1x5303,09732,3xf
2
Y, haciendo f´(x) = 0 y resolviendo la ecuación de segundo grado resultante, los puntos
críticos son: x1 = 0,4462 y x2 = 2,9792. Volviendo a derivar,
4365,12x2612,72,2x25,1x21x22102,15303,02xf
xx2xx2xx2xxxxxxx2(x)f 2103210210
Así, para x = x1 = 0,4462 11,12xf 0 x1 es un máximo. Y, para x = x2 =
2,9792 2,9xf 0 x2 es un mínimo.
27. Hallar, por el método de Poncelet, dx1xx3
1
3 2
con dos decimales exactas.
Solución:
Verifiquemos, en primer lugar, que no haya ningún punto de inflexión en el intervalo:
278
1x2xinflexión de Puntos01xx9
4x2x2xf
1xx3
1x2xf
1xxxf
213/52
2
3/22
3 2
Ya que no hay puntos de inflexión dentro del intervalo, podemos aplicar la fórmula de
Poncelet. Hagamos n = 8, por ejemplo. Así, 25,0813h .
3513,2y3x
8070,3yyE2448,2y75,2x
7936,3yyE0257,2y25,2x
6307,7yyyypIm7980,1y75,1x
5622,1y25,1x
4423,1y1x
88
7177
8055
753133
11
00
81453,36307,724
8070,37936,325,0pIm2
4
EEhdx1xx
3
1
3 2
El error es:
Error 4
8070,37936,325,0
4
EEh
4105,8
Lo que quiere decir que hay tres decimales exactos, que es más de lo que nos pedían. Por
lo tanto,
815,3dx1xx3
1
3 2
28. Hallar, por el método de Poncelet, el valor de 1
0
4 dxxlnx con, por lo menos, tres
decimales exactos.
Solución:
Comencemos por buscar los puntos de inflexión:
5580,0exó0x07xln12xx3x4xlnx12xf
xxlnx4xfxlnxxf
12/72222
334
279
Ya que el segundo valor está dentro del intervalo es necesario dividir la integral en dos. Es
decir,
1
e
4
2
e
0
4
1 12/7
12/7
dxxlnxIdxxlnxI . Haciendo n = 10 en la primera integral, se
tiene 05580,0100eh 12/7 .
056567,0y55804,0x
043817,0y50223,0x
043845,0yyE021886,0y39062,0x
056567,0yyE007736,0y27902,0x
074871,0yyyyypIm001404,0y16741,0x
000028,0y05580,0x
0y0x
1010
99
9177
10055
9753133
11
00
El primer valor de la función presenta una indeterminación que se resuelve aplicando la
regla de l´Hôpital: 04
xLim
x4
x1Lim
x
xlnLimxlnxLim
4
0x50x40x
4
0x
. Así:
0085,0074871,024
043845,0056567,005580,0dxxlnxI
12/7e
0
4
1
Con un error 4
043845,0056567,005580,0
1,77 10
-4.
Para la segunda integral, con n = 10, 04420,010e1h 12/7
0y1x
037726,0y95580,0x
104431,0yyE080525,0y86741,0x
056567,0yyE091970,0y77902,0x
361134,0yyyyypIm084209,0y69062,0x
066705,0y60223,0x
056567,0y55804,0x
1010
99
9177
10055
9753133
11
00
0314,0361134,024
104431,0056567,004420,0dxxlnxI
1
e
4
1 12/7
Con un error 4
104131,0056567,004420,0
5,29 10
-4.
280
Finalmente, 0399,00314,00085,0dxxlnx1
0
4 con un error 1,7710-4
+ 5,2910-4
= 7,0610-4
. Es decir que se tienen 3 decimales exactos, por lo tanto, I = – 0,040.
29. Dada la integral
1 32xx1
dx, convertirla en una integral propia mediante un cambio
de variable y calcular su valor, por el método de Poncelet con h = 0,1.
Solución:
Haciendo x = 1/z, la integral queda:
1
0 2
3
2
0
1 2
3
1z
z
z
dz
z11
z, que ya no es una
integral impropia. Con 2
3/1
1z
zzf
, los valores son:
25,0y1x
2675,0y90,0x
6511,0yyE072,0y70,0x
25,0yyE3528,0y50,0x
7072,1yyyyypIm3961,0y30,0x
3836,0y10,0x
0y0x
1010
99
9177
10055
9753133
11
00
3314,07072,12
4
6511,025,01,0pIm2
4
EEhdx
1z
z1
0 2
3
Y el error es error 4
6511,025,01,0
1 10
-2. Por lo tanto
33,0
1z
z1
0 2
3
.
30. Hallar, por el método de Simpson y con h = 0,2, el valor de 8,0
8,0
x/1 dx2arctg .
Solución:
La función tiene un punto de discontinuidad dentro del intervalo, x = 0. En efecto, para
5708,12/arctg2arctg2arctgLim0x
00artcg2arctg2arctgLim0x
x/1
0
x/1
0
281
Por lo que es necesario dividir la integral en dos: 0
8,0
x/1
1 dx2arctgI e
8,0
0
x/1
2 dx2arctgI . Para la primera:
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1X
Y
Luego:
1396,000312,041750,01750,03051,043980,03
2,0I1
Para la segunda integral:
x0 = 0 y0 = 1,5708 x3 = 0,6 y3 = 1,2657
x1 = 0,2 y1 = 1,5396 x4 = 0,8 y4 = 1,1728
x2 = 0,4 y2 = 1,3958
1171,11396,12657,143958,13958,15396,145708,13
2,0I2
Finalmente,
I = I1 + I2 = 1,2566
31. Hallar, por el método de Simpson, el valor de 3
1dx
x
xln con n = 10. ¿Cuántos
decimales exactos tiene el resultado obtenido?
Solución:
Para n = 10
2,010
13h
, y en este caso es necesario calcular todas las ordenadas.
367721,0y8,2x366204,0y3x
364119,0y4,2x367504,0y6,2x
346574,0y0,2x358390,0y2,2x
293752,0y6,1x326548,0y8,1x
151935,0y2,1x240337,0y4,1x
0y1x
991010
7788
5566
3344
1122
00
x0 = – 0,8 y0 = 0,3980
x1 = – 0,6 y1 = 0,3051
x2 = – 0,4 y2 = 0,1750
x3 = – 0,2 y3 = 0,0312
x4 = 0 y4 = 0
282
366204,0yyE
524760,1yyyyypIm658984,1yyyyyyP
100
975311086420
Luego la integral es
6034,0366204,0524760,14658984,123
2,0EpIm4P2
3
hdx
x
xln3
1
El error está dado por la relación 120
Mnh5
, en donde M es el máximo de la cuarta derivada
en el intervalo de integración. Por lo tanto es necesario calcular las derivadas:
5
IV
432 x
50xln24xf
x
xln611xf
x
3xln2xf
x
xln1xf
x
xlnxf
De donde M = 50, y el error es 35
1033,1120
2,01050
, por lo que sólo se puede
garantizar que haya dos decimales exactos.
32. Por sucesivas aplicaciones de la fórmula de Simpson hallar dydxy,xfR .
dc,baf16dc,b2fd2,bafc2,bafdc,a2f4
d2,b2fc2,b2fd2,a2fc2,a2f9
cdab
d2,b2fdc,b2f4c2,b2fd2,baf4dc,baf16
c2,baf4d2,a2fdc,a2f4c2,a2f9
cdabdydxy,xf
d2,fdc,f4c2,f6
c2d2dyy,f
y,b2fy,baf4y,a2f6
a2b2dxy,xf
b2
a2
d2
c2
d2
c2
b2
a2
2a 2b X
2c
2d
Y
R
Solución:
La integral puede expresarse como:
b2
a2
d2
c2dxy,xfdy
Y, recordando la fórmula de Simpson,
210 yy4y3
hI , tenemos que:
283
33. Hallar, utilizando la fórmula de Newton – Cotes con n = 9, el valor de
8,1
0 3dx
1x2
1x.
Solución:
La fórmula para un número de intervalos que sea múltiplo de 3 es:
987665433210
8,1
0 3yy3y3yyy3y3yyy3y3y
8
h3dx
1x2
1x
Para n = 9, h = (1,8 – 0)/9 = 0,2 y los valores de la función son:
2735,1y4,1x1630,2y6,0x
3259,1y2,1x0233,2y4,0x
2169,1y8,1x4142,1y0,1x2988,1y2,0x
2398,1y6,1x5907,1y8,0x1y0x
3733
6622
995511
883400
0337,1dx1x2
1x8,1
0 3
34. Resolver la ecuación x
seny2y con x0 = 0; y0 = 0; h = 0,2 por el método de Euler y
en (0 x 1,2). Repetir por Euler Modificado.
Solución:
Recordemos que iiiii1i y,xfhyyyy . Es de hacer notar que para x = y = 0 se
plantea una indeterminación, pero si aplicamos la regla de L´Hôpital:
11
xcosLim
x
senxLim
0x0x
Por lo tanto para x = y = 0, y´ = 1. Y la tabla resultante es:
x y y´ y
0 0 1 0,2
0,2 0,2 1,0067 0,201
0,4 0,401 1,0234 0,205
0,6 0,606 1,0507 0,210
0,8 0,816 1,0894 0,218
1 1,034 1,1406 0,228
1,2 1,262
284
Con Euler Modificado,
Xn Yn mn Yn+1,1 mn+1,1 Yn+1
0 0 1,0000 0,2 1,0067 0,201
0,2 0,201 1,0034 0,401 1,0234 0,403
0,4 0,403 1,0188 0,607 1,0492 0,610
0,6 0,610 1,0450 0,819 1,0868 0,823
0,8 0,823 1,0832 1,040 1,1376 1,045
1 1,045 1,1349 1,272 1,2035 1,279
1,2 1,279 1,2018
En donde nnn y,xfm , nn1n mhyy , 1n1n1,1n y,xfm ,
2
mmhyy 1.1nn
n1n
35. Integrar, por los métodos de Euler y Euler Modificado, la ecuación diferencial
x
yy4y
en el intervalo 5,1;1 con x0 = 1; y0 = 4; h = 0,1.
Solución:
Por el método de Euler:
x y y´ y
1 4 8 0,8
1,1 4,8 9,4877 0,949
1,2 5,749 11,1704 1,117
1,3 6,866 13,0632 1,306
1,4 8,172 15,1812 1,518
1,5 9,690
Por Euler Modificado:
xn yn mn yn+1,1 mn+1,1 yn+1
1 4 8,0000 4,8 9,4877 4,874
1,1 4,874 9,6967 5,844 11,4220 5,930
1,2 5,930 11,6503 7,095 13,6358 7,195
1,3 7,195 13,8841 8,583 16,1524 8,696
1,4 8,696 16,4214 10,339 18,9953 10,467
1,5 10,467
Esta ecuación puede ser resuelta de manera exacta ya que es una ecuación de Bernoulli:
285
4y4y
y
xy4y4yx
x
yy4y
Si hacemos yz se tiene 2z2xzy2
yz
que es una ecuación lineal.
Resolviendo la incompleta:
22222
3
22
2
Cx1zyCx1zCxkx
2k2kx2xkxk2x
kxzklnxln2zlnx
2
z
z0z2xz
Y, ya que para x = 0, y = 4 C = 1 y por lo tanto el valor exacto de y está dado por:
22x1y . Así, los errores, en cada caso, son:
x y y (Euler) Error (%) y (Euler Mod) Error (%)
1 4,000 4,000 0,00 4,000 0,00
1,1 4,884 4,800 1,72 4,874 0,20
1,2 5,954 5,749 3,44 5,930 0,39
1,3 7,236 6,866 5,12 7,195 0,57
1,4 8,762 8,172 6,73 8,696 0,74
1,5 10,563 9,690 8,26 10,467 0,90
36. Resolver, por el método de Adams y para 0 x 0,8, la ecuación y´ = 1 + x sen xy.
Para x = 0, y = 0.
Solución:
0yyxysenxyxxycosyxyx4y2y
yxysenxyyx
xycosyxxycosyx2yxysenxyxyxycosxyxycosyxycosyxyy
0yxycosxyxysenxyy
1ysenxyx1y
0
22
2
2
0
0
Recordemos que
2,00011,020y3
h4yh2yh2yy
1,00011,00y6
hy
2
hyhyy
0
3
0
2
002
0
3
0
2
001
286
Y la tabla de valores resultantes es:
x y y´ ∆ ∆2
0 0 1,0000
0,1 0,100 1,0010 0,0010
0,2 0,200 1,0080 0,0070 0,0060
0,3 0,301 1,0271 0,0191 0,0121
0,4 0,406 1,0646 0,0375 0,0184
0,5 0,515 1,1273 0,0626 0,0251
0,6 0,632 1,2220 0,0947 0,0321
0,7 0,760 1,3550 0,1331 0,0383
0,8 0,904 1,5292 0,1742 0,0412
En donde, a partir del valor de y3 se ha utilizado la ecuación
2n
2
1nnn1n y12
h5y
2
hyhyy
Por ejemplo,
301,0005,012
5.0007,005,008,11,02,0y
12
h5y
2
hyhyy 0
2
1223
37. Dada la ecuación y3x2y hallar, por Adams, y3 e y4. x0 = 2a; y0 = a; h = 1.
Solución:
6a9yy3y
a32yy32y
aa3a4yy3x2y
0
0
0
4a98a12a64a2ay3
h4yh2yh2yy
a21a2
3a
2
31aay
6
hy
2
hyhyy
0
3
0
2
002
0
3
0
2
001
x y y´ ∆ ∆2
2a a a
2a +1 2a 2-2a 2-3a
2a +2 9a-4 16-23a 14-21a 12-18a
2a +3 24-32a 100a-66 123a-82 144a-96
2a +4 (379/2)a-123 0,0375 0,0184
287
38. Resolver la ecuación yxy , por el método de Runge – Kutta en 0 x 0,6.
x0 = 0; y0 = 0; h = 0,2.
Solución:
Recordemos el método de Runge – Kutta:
nn1n yyy en donde n4n3n2n1n kk2k2k6
1y y nnn1 y,xfhk
2
ky,
2
hxfhk n1
nnn2 n3nnn4n2
nnn3 ky,hxfhk2
ky,
2
hxfhk
Y los resultados correspondientes son:
x y k1i x+h/2 y+k1i/2 k2i y+k2i/2 k3i x+h y+k3i k4i y
0 0 0,0000 0,1 0 0,0632 0,0316 0,0726 0,20 0,0726 0,1044 0,0627
0,2 0,0627 0,1025 0,3 0,1139 0,1287 0,1270 0,1307 0,40 0,1934 0,1541 0,1292
0,4 0,1919 0,1539 0,5 0,2688 0,1754 0,2796 0,1766 0,60 0,3685 0,1968 0,1758
0,6 0,3677
39. Dado el sistema
yxz
zyy con x0 = 0; y0 = 1; z0 = 2; h = 0,1, halar y1, y2, z1, z2, por
Runge – Kutta.
Solución:
Hay que resolver simultáneamente los dos sistemas y, para evitar confusiones usemos la
letra k para los coeficientes de la primera ecuación, es decir para la y, y la letra c para los
coeficientes de la segunda ecuación, es decir para la z.
1207,21207,02z3214,13214,01y
1207,01422,0121,0212,021,06
1z
3214,03443,0322,0232,023,06
1y
1422,0322,11,01,0c3443,0121,2322,11,0k
121,2cz322,1ky1,0hx
121,016,105,01,0c322,006,216,11,0k
06,22cz16,12ky05,02hx
12,015,105,01,0c32,005,215,11,0k
05,22cz15,12ky05,02hx
1,0101,0c3,0211,0k
2z1y0x
11
44
30300
33
20200
22
10100
11
000
288
2859,21652,01207,2z6916,13702,03214,1y
1652,01892,01656,021644,021421,06
1z
3702,03979,03709,023685,023442,06
1y
1892,06923,12,01,0c3979,02863,26923,11,0k
2863,2cz6923,1ky2,0hx
1656,050565,115,01,0c3709,02029,250565,11,0k
2029,22cz50565,12ky15,02hx
1644,04935,115,01,0c3685,01918,24935,11,0k
1918,22cz4935,12ky15,02hx
1421,03214,11,01,0c3442,01207,23214,11,0k
1207,2z3214,1y1,0x
22
44
31311
33
21211
22
11111
11
111
40. Resolver la ecuación 2xyyy , por Euler Modificado, con x0 = 0; y0 = 1; y0´ = 1;
h = 0,1 en 0 x 0,4.
Solución:
Ya que se trata de una ecuación diferencial de orden superior, el primer paso es hacer un
cambio de variable: y´ = z, con lo que la ecuación de segundo orden se transforma en un
sistema de dos ecuaciones:
1z1y0xxyzzy
zy0002
Sistema que debe ser resuelto de manera simultánea. Comenzamos con la variable y:
1,111,01hmyy1zm 0o1,100
Para z:
1,111,01hmzz1011xzym 0o1,1
2
0000
Para y:
105,12
1,111,01
2
mmhyy1,1zm 1,10
o11,11,1
Para z:
111,12
22,111,01
2
mmhzz22,11,01,11,1xzym 1,10
o1
22
11,11,11,1
289
Los valores numéricos resultantes se incluyen en las siguientes tablas:
xn yn mn yn+1,1 mn+1,1 yn+1
0 1 1 1,1 1,1 1,105
0,1 1,105 1,111 1,216 1,2348 1,222
0,2 1,222 1,2500 1,347 1,4067 1,355
0,3 1,355 1,4276 1,498 1,6301 1,508
0,4 1,508
zn zn mn zn+1,1 mn+1,1 zn+1
0 1 1 1,1 1,22 1,111
0,1 1,111 1,2377 1,235 1,5416 1,250
0,2 1,250 1,5678 1,407 1,9853 1,428
0,3 1,428 2,0246 1,630 2,6017 1,659
0,4 1,659
41. Resolver la ecuación 0yyyxy , por Adams, con x0 = 0; y0 = 1; y0´ = 1;
1y0 ; h = 0,1 en 0 x 0,4.
Solución:
En este caso, y ya que se trata de una ecuación de tercer orden, se necesitan dos cambios de
variable: y´ = z z´ = u. Y tendremos un sistema de tres ecuaciones que deben resolverse
simultáneamente:
1u1z1y0x
yzxuu
uz
zy
0000
1uyzuxu2u1zuz0yzy
1uyzuxuu0zuz1yzy
0uyzxuu1zuz1yzy
000
000
000
9952,016
1,01
2
1,001u
9002,016
1,0011,01z
095,1012
1,011,01y
6
hy
2
hyhyy
32
1
3
1
2
0
3
0
2
001
290
9813,011,03
411,0201u
8013,011,03
4011,021z
18,1011,0211,021y3
h4yh2yh2yy
32
2
3
2
2
0
3
0
2
002
x y y´ ∆ ∆2
0 1 1
0,1 1,0950 0,9002 -0,0998
0,2 1,1800 0,8013 -0,0988 0,0010
0,3 1,2552 0,7043 -0,0971 0,0018
0,4 1,3209
x z z´ ∆ ∆2
0 1 -1
0,1 0,9002 -0,9952 0,0048
0,2 0,8013 -0,9813 0,0138 0,009
0,3 0,7043 -0,9591 0,0223 0,0084
0,4 0,6098
x u u´ ∆ ∆2
0 -1 0
0,1 -0,9952 0,0953 0,0953
0,2 -0,9813 0,1824 0,0871 -0,0082
0,3 -0,9591 0,2632 0,0808 -0,0062
0,4 -0,9290
42. Hallar las raíces enteras y fraccionarias de 04x12x15x58x12x72 2345 .
Solución:
Las raíces enteras deben ser divisores del término independiente, en este caso, (1, 2, 4).
El numerador de las raíces fraccionarias debe ser divisor del término independiente, es
decir (1, 2, 4) y el denominador debe ser divisor del coeficiente de mayor grado, en este
caso, (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 72). Por lo tanto las posibles raíces, tanto enteras como
fraccionarias, son:
3
4,
3
2,
2
1,
3
1,
4
1,
6
1,
8
1,
12
1,
18
1,
24
1,
72
1,4,2,1 .
Comencemos por determinar si hay raíces enteras:
72 12 -58 -15 12 4
291
1 72 84 26 11 23
72 84 26 11 23 27
Lo que indica, según Laguerre, que no hay raíces enteras positivas. Hagamos x = – y, y
tendremos 04y12y15y58y12y72 2345 y probemos si hay raíces enteras
negativas.
72 -12 -58 15 12 -4
1 72 60 2 17 29
72 60 2 17 29 25
Lo que indica, de nuevo según la regla de Laguerre, que tampoco hay raíces enteras
negativas. Se puede comprobar que
3
1,
4
1,
6
1,
8
1,
12
1,
18
1,
24
1,
72
1 no son raíces de la
ecuación. Para x = 2/3,
72 12 -58 -15 12 4
2/3 48 40 -12 -18 -4
72 60 -18 -27 -6 0
Así que 3/2x1 . Volviendo a probar:
72 60 -18 -27 -6
2/3 48 72 36 6
72 108 54 9 0
De donde se deduce que 2/3 es raíz doble y que no hay más raíces positivas. De nuevo se
puede comprobar que
4
1,
6
1,
8
1,
12
1,
18
1,
24
1,
72
1 no son raíces de la ecuación. Para
x = -1/2:
72 108 54 9
-1/2 -36 -36 -9
72 72 18 0
Por lo tanto x2 = -1/2, y la ecuación restante es de segundo grado que, después de
simplificar, es: 01x4x4 2 que a su vez tiene una raíz doble: -1/2. En resumen la
ecuación original tiene una raíz doble, 2/3, y una triple, -1/2.
43. Separar las raíces de la ecuación 01xx2x3x 235 por el método del signo y
definirlas con un mínimo de cuatro decimales exactos por el método de Newton.
Solución:
Veamos como varían los signos de la función y de su primera derivada.
292
- – 1 0 +
1xx2x3xxf 235 – … – + … +
1x4x9x5xf 24 + … + + … +
Ya que el signo de la función no cambia entre + y 0, el número de raíces en dicho
intervalo debe ser par o no hay ninguna. Pero además el signo de la primera derivada es
constante, lo que indica que no hay raíces positivas.
Entre – y 0 cambia el signo de la función, por lo tanto el número de raíces en ese
intervalo es impar. De nuevo, el signo de la primera derivada es constante, luego solo hay
una raíz en dicho intervalo. Precisando más, el signo de la función cambia entre – 1 y 0,
por lo tanto, la ecuación tiene una sola raíz real: – 1 x 0.
La fórmula de Newton es: n
nn1n
xf
xfxx
y el primer paso es fijar el valor de x0, es
decir, definir con cual de los extremos del intervalo hay que comenzar. Recordemos que en
ese punto los signos de la función y de la segunda derivada deben coincidir:
0xf4x18x20xf
10fbf61faf1xx2x3xxf
3
235
Por lo tanto x0 = a = – 1. Así,
41824,049611,4
03292,049281,0x42556,0
45194,5
36667,049281,0x
49281,004593,9
73138,168421,0x68421,0
19
61
xf
xfxx
43
2
0
001
Veamos si este resultado tiene cuatro decimales exactos. El error es 2n1n xxm2
M en
donde M es el máximo de la segunda derivada en el intervalo y m es el mínimo de la
primera derivada. En el intervalo – 0,5 x – 0,4 ,que es el intervalo en el que está
ubicada la raíz, M = 15,5 y m = 4,2. Por lo tanto:
4522
n1n 10109,942556,041824,02,42
5,15xx
m2
M
Es decir que el resultado si tiene los cuatro decimales exactos que nos pedían: x = – 0,4182
293
44. Separar las raíces de la ecuación x4senx5 por el método gráfico y definirlas con un
mínimo de cuatro decimales exactos por el método de Newton.
Solución:
Dibujando las funciones f(x) = 5 sen x y g(x) = 4x, que son funciones conocidas,
encontramos que los puntos de corte entre ambas funciones están comprendidos, tal como
se puede observar en la figura, entre – 1,5 y – 1 y entre 1 y 1,5, respectivamente. Además
de x = 0, que es, evidentemente, una raíz exacta.
f(x)
g(x)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3X
Y
Debido a la simetría de la función bastará con encontrar una de las raíces, por ejemplo la
comprendida entre 1 y 1,5.
0xfsenx5xf
4xcos5xf
0125,15,1fbf2074,01fafx4senx5xf
Por lo tanto x0 = b = 1,5. Así,
13110,187207,1
0002,013119,1x13119,1
9099,1
0159,013953,1x
13953,12927,2
1898,022232,1x22232,1
6463,3
0125,15,1
xf
xfxx
43
2
0
001
En el intervalo 1 x 1,5; M = 5 y m = 1,3. Por lo tanto:
7822
n1n 10106,113119,11311,13,12
5xx
m2
M
294
Así que las raíces de la ecuación, además de x = 0, son: x = 1,13110 y x = – 1,13110 con
todos los decimales exactos.
45. Precisar la raíz de la ecuación 0xLog8x 3
x que está comprendida entre 1 y 2, por
el método de Newton modificado.
Solución:
Recordemos que 3ln
xlnxLog3 , con lo que la ecuación puede escribirse como
0xln8x3ln x . Así:
2
1x2xxx
x
8x1xlnx3lnxf
x
81xlnx3lnxfxln8x3lnxf
1ax0xf1507,12fbf0986,11faf 0
La modificación al método de Newton consiste en mantener fijo el valor de la derivada, es
decir, 0
nn1n
xf
xfxx
. Por lo tanto:
18218,190139,6
0041,015212,1x18212,1
90139,6
00165,018188,1x
18188,190139,6
00673,018090,1x18090,1
90139,6
02783,017687,1x
17687,190139,6
12205,015919,1
xf
xfxx15919,1
90139,6
09861,11
xf
xfxx
65
43
0
112
0
001
46. Precisar con cinco decimales exactas, por el método de las cuerdas, la raíz de la
ecuación 01,0tgxx comprendida entre 0,6 y 0,7.
Solución:
0xf04229,07,0fbf01586,06,0faf
xtg1tgx2xfxtgxf1,0tgxxxf 22
El extremo fijo es b = 0,7 (en ese punto coinciden los signos de la función y de la segunda
derivada) y x0 = a = 0,6. Por lo tanto, la fórmula a utilizar es
bxbfxf
xfxx n
n
nn1n
295
63166,07,063165,004229,000001,0
00001,063165,0x
63165,07,063158,004229,000004,0
00004,063158,0x
63158,07,063107,004229,000032,0
00032,063107,0x
63107,07,062728,004229,000232,0
00232,062728,0x
62728,07,06,004229,001586,0
01586,06,0bx
bfxf
xfxx
5
4
3
2
0
0
001
Y, para el error, n1n xxm
mM
, en donde M es el máximo de la primera derivada
en el intervalo, 0,71 en este caso, y m el mínimo de la primera derivada en el intervalo, 0,5
en este caso. Así:
6102,463165,063166,05,0
5,071,0
Lo que indica que los cinco decimales del resultado son exactos, x = 0,63166
47. Separar las raíces de la ecuación 02x5x2 25 por el método de Sturm, y
precisarlas por el método de las cuerdas con cinco decimales exactos.
Solución:
El primer paso es hallar la sucesión de Sturm. Los dos primeros términos son:
x10x10xfy2x5x2xf 425 . Como en la sucesión de Sturm lo que nos
interesa es el signo, podemos simplificar la primera derivada y trabajar con xx4 . Así,
x2 92x31 2 32x3 316x6227
2x5x2 25 xx4 2x3 2 94x 2762 25 x2x2
2x3 2
24 x32x
xx32 2
94x32 2
94x
x32x3 3
2x32
278x32
2762
x
94
94
0
296
Por lo tanto, la sucesión de Sturm es: 2x5x2 25 , xx4 , 2x3 2 , 94x ,
2762 . El siguiente paso es definir el número de variaciones.
– 1,5 – 0,5 0,5 +
2x5x2 25 – – + + +
xx4 + + – + +
2x3 2 – – – – –
94x + + + – –
2762 + + + + +
Nº de Variaciones 3 3 2 2 2
Lo que indica que hay una sola raíz real que está comprendida entre – 1,5 y – 0,5.
0xf1875,35,0fbf9375,15,1faf
x40xfx10x10xf2x5x2xf 3425
Por lo tanto, el extremo fijo es a = – 1,5 y comenzamos con x0 = b = – 0,5 .
4394583,1x4394576,1x439451,1x439392,1x
433851,15,1390281,19375,127614,1
27614,1390281,1x
390281,15,1121951,19375,173838,4
73838,4121951,1x
121951,15,15,09375,11875,3
1875,35,0ax
afxf
xfxx
7654
3
2
0
0
001
El máximo de la primera derivada es M = 3,6 y el mínimo es m = 0,4, y el error es:
Error < 6
n1n 1054394576,14394583,14,0
4,06,3xx
m
mM
Por lo tanto la raíz es x = – 1,43946
48. Aproximar, por el método mixto, la raíz de 01x3x4 que está comprendida entre
– 0,4 y – 0,3.
Solución:
0xf10810,0bf1744,04,0faf
x12xf3x4xf1x3xxf 234
297
Lo que indica que para el método de la tangente x0 = b = – 0,3.
33738,0892,2
10810,03,0
xf
xfxx
0
001
Para el método de la cuerda, el extremo fijo es b = – 0,3 y x0 = a = – 0,4.
33827,03,04,010810,017440,0
17440,04,0bx
bfxf
xfxx 0
0
002
Si dejamos el problema en este punto:
41052
33738,033827,033782,0
2
33738,033827,0x
Si se necesita más precisión, se vuelve a repetir el procedimiento en el intervalo
33738,0x33827,0 , obteniéndose, para el método de la tangente:
337667,0x33738,0bx 10
Y para el método de la cuerda:
Extremo fijo = b = – 0,33738 x0 = a = – 0,33827 x2 = – 0,337667
Ahora x = – 0,337667 y < 3,1 10-8
.
49. Separar las raíces de la ecuación 0xlnshx por el método gráfico y aproximarlas
por el método iterativo. ¿Cuál es el error?
Solución:
Hagamos f(x) = shx y g(x) = – lnx. Ambas funciones son conocidas y fáciles de graficar.
f(x)
g(x)
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
X
Y
298
Tal como se puede apreciar en la figura, hay una sola raíz comprendida entre 0,5 y 1.
Precisando algo más: f(0,5) = – 0,17 y f(0,6) = 0,13. Por lo tanto 0,5 x 0,6.
Ahora, si despejamos:
1xg63,06,0gbg
67,05,0gagechxxgexgex shxshxshx
5566,0x5568,0x5564,0x
5570,0x5562,0x5574,0x5555,0x5584,0x
5539,0ex5609,0ex55,0x
1098
76543
5609,0sh
2
55,0sh
10
En este caso en particular la convergencia es lenta. Después de 10 iteraciones el error es
de:
4
n1n 103,45568,05566,067,01
67,0xx
M1
M
(En donde M es el máximo de la primera derivada en el intervalo). Es decir, que solo tres
decimales pueden considerarse exactos.
50. La ecuación 03xlnx2 tiene dos raíces: 0,01 x1 0,1 y 1 x2 2. Precisarlas
por el método iterativo y definir, en cada caso, el error.
Solución:
Si despejamos haciendo 3xlnx , tendremos: 3xln2
x1xg3xlnxg
Ahora bien, en este caso, el valor de la derivada es menor que 1 en el intervalo 2;1 , pero
es mayor que en el intervalo 1,0;01,0 . Por lo tanto solo sirve para precisar el valor de x2.
Comenzando con x0 = 1,5, se tiene:
9097,1x9095,1x
9085,139007,1lnx9007,138454,1lnx8454,135,1lnx
54
321
Para un error, 5
n1n 1069095,19097,129,01
29,0xx
M1
M
. Así el valor de la
segunda raíz, con los cuatro decimales exactos, es 1,9097.
Para precisar la raíz comprendida entre 0,01 y 0,1 es necesario despejar de otra manera:
3x3x3x 222
ex2xgexgex . De esta forma el valor de la primera
derivada es menor que uno en el intervalo. Comenzando con x0 = 0,055, se tiene:
299
04991,0ex04994,0ex 304994,0
2
3055,0
1
22
Para un error de 7
n1n 107,204994,004991,0011,01
011,0xx
M1
M
, es decir
que los cinco decimales son exactos: x1 = 0,004991.
51. Definir, por el método de Lagrange y hasta las milésimas, la raíz de la ecuación
07x14x3 que está comprendida entre 3 y 4.
Solución:
3 1 0 -14 7
3 9 -15
y
13x
3 1 3 -5 -8
3 18
3 1 6 13
3
3 1 9
1
El resultado es 01y9y13y8 23 . El cambio de signo se obtiene entre 2 y 3,
2 8 -13 -9 -1
16 6 -6
z
12y
2 8 3 -3 -7
16 38
2 8 19 35
16
2 8 35
8
El resultado es 08z35z35z7 23 . El cambio de signo se obtiene entre 5 y 6,
5 7 -35 -35 -8
35 0 -175
u
15z
5 7 0 -35 -183
35 175
5 7 35 140
35
5 7 70
7
300
El resultado es 07u70u140u183 23 . El cambio de signo se obtiene entre 1 y 2,
1 183 -140 -70 -7
183 43 -27
v
11u
1 183 43 -27 -34
183 226
1 183 226 199
183
1 183 409
183
El resultado es 0183v409v199v34 23 . El cambio de signo se obtiene entre 7 y 8.
Si lo dejamos aquí, se tiene:
4609,3x106,7
115
146086,3x
115
398
115
533x
53
115
53
92y
9
53
9
85z
8
9
8
11u8v
5
2
Resultado que supera la precisión solicitada.
52. Hallar las raíces de la ecuación 03x7xx2 23 utilizando la fórmula de Cardano
– Vieta.
Solución:
El primer paso es hacer el cambio de variable x = z + h:
03h7hh2z7h2h6z1h6z2
03hz7hzhz2
23223
23
Para anular el término en z2 h = 1/6. Sustituyendo el valor de h la ecuación queda:
0216
904z
6
43z2 3 . Simplificando y dividiendo por el coeficiente de z
3, es decir, por dos:
054
113z
12
43z3 . De donde
54
113q
12
43p .
El discriminante es:
609375,027
1
12
43
4
1
54
113
27
p
4
q3232
301
Como el discriminante es menor que cero, la ecuación tiene tres raíces reales y diferentes.
33
3333
32
i780625,0046296,12
qv
i780625,0046296,1609375,0108
113
2
q
27
p
4
q
2
qu
º120kº76,1073 º27,323
º120kº24,123 º73,36
092906,1305416,1v
092906,1305416,1u
º76,3473º24,2523
º76,2272º24,1322
º76,1071º24,121
092906,1v092906,1u
092906,1v092906,1u
092906,1v092906,1u
Combinando las raíces de forma que la suma de los ángulos sea múltiplo de 180º, se tiene:
302776,261136109,2hzx136109,2z
º76,107seniº76,107cos092906,1º24,12seniº24,12cos092906,1vuz
111
311
302776,161469442,1hzx469442,1z
º76,227seniº76,227cos092906,1º24,132seniº24,132cos092906,1vuz
222
222
5,061666667,0hzx666667,0z
º76,107seniº76,107cos092906,1º24,252seniº24,252cos092906,1vuz
333
133
53. Hallar las raíces de la ecuación 05x9x3x 23 utilizando la fórmula de Cardano
– Vieta.
Solución:
El primer paso es hacer el cambio de variable x = z + h:
05h9h3hz9h6h3z3h3z
05hz9hz3hz
23223
23
Para anular el término en z2 h = -1. Sustituyendo el valor de h la ecuación queda:
016z12z3 . Directamente se obtiene: 16q12p .
302
El discriminante es:
06464
27
12
4
16
27
p
4
q332
El que el discriminante de la ecuación sea nulo indica que la ecuación tiene tres raíces
reales, una de ellas doble.
º120kº603
º180
333
28vu
v802
16
2
qu
º3003º3003
º1802º1802
º601º601
2v2u
2v2u
2v2u
514hzx
42º180seniº180cos2vuz
x112hzx
2i2
3
2
12i
2
3
2
12º300seniº300cos2º60seniº60cos2z
vuzvuz
22
222
311
1
133311
54. Resolver gráficamente la ecuación 016x4x 34 .
Solución: El primer paso es hacer el cambio de variable x = z + h:
016h4hzh12h4zh12h6z4h4z
016hzh3hz3z4hzh4hz6hz4z
016hz4hz
34232234
3223432234
32
Para anular el término en z3 4h + 4 = 0 h = – 1. Y la ecuación queda:
13c8b6a013z8z6z 24
303
Por lo tanto, el centro de la circunferencia está en el punto:
5,3;4
2
16;
2
8
2
1a;
2
b
. Y su radio es:
4
c41abR
22 =
91,325,15
4
13416822
. En definitiva la ecuación de la circunferencia es:
025,155,3y4z22
. Finalmente, se dibujan dicha circunferencia y la parábola
y = x2.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-6 -5,5 -5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
Z
Y
En el gráfico puede verse que la ecuación tiene dos raíces 7,2z1z 21 , por lo tanto,
7,317,2hzx211hzx 2211 .
55. Resolver gráficamente la ecuación 02x6x3x 23 .
Solución:
El primer paso es eliminar el término en x2, haciendo x = z + h:
06z9z
1h03h3
02h6h3hz6h6h3z3h3z
02hz6hzh2z3hzh3hz3z
3
23223
223223
304
Multiplicando la ecuación por z, se tiene:
0z6z10zz0z6z9z 24224
Y, haciendo y y = z2:
0345y3z0z6y10yz2222
Que es la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (3;5) y que pasa por el
origen. Dibujando dicha circunferencia junto con la parábola y = x2, tenemos:
X3
Z1 Z2 Z3
-2
0
2
4
6
8
10
12
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Z
Y
En esta figura vemos que z1 – 2,58 z2 – 0,7 z3 3,3. Y recordando que z = x + h,
tenemos, en definitiva:
x1 – 1,58 x2 0,3 x3 4,3
3.22 Problemas Propuestos
1. A partir de la siguiente tabla hallar las diferencias divididas hasta las de orden siete y,
además 531 xxx .
x 0,1 0,3 0,4 0,6 0,7 0,9 1,0 1,1
f(x) 0,9048 0,7408 0,6703 0,5488 0,4966 0,4066 0,3679 0,3329
305
Solución:
x f(x) 1º Orden 2º Orden 3º Orden 4º Orden 5º Orden 6º Orden 7º Orden
0,10 0,9048
0,30 0,7408 -0,8200
0,40 0,6703 -0,7050 0,3833
0,60 0,5488 -0,6075 0,3250 -0,1167
0,70 0,4966 -0,5220 0,2850 -0,1000 0,0278
0,90 0,4066 -0,4500 0,2400 -0,0900 0,0167 -0,0139
1,00 0,3679 -0,3870 0,2100 -0,0750 0,0250 0,0119 0,0287
1,10 0,3329 -0,3500 0,1850 -0,0625 0,0250 0,0000 -0,0149 -0,0435
2767,0xxx 531
2. Dados f(x) = x5 – x
3; x0 = – 1; x1 = 1; x2 = 2, hallar x tal que xxxx 210 = 28.
Solución:
x = 4 ó x = – 6.
3. Dada 3x;1x;0x;1x;x5xxf 3210
56 , hallar a y b para que la función
23
321210 x3xxxxxbxxxxax sea un polinomio de primer grado.
Solución:
2b1a45x15x
4. A partir de la siguiente tabla, y sabiendo que f(x) es un polinomio de cuarto grado, hallar
f(5) y f(6).
x 0 1 2 3 4
f(x) 1 -1 1 -1 1
Solución:
f(5) = 31 f(6) = 129
5. Hallar la diferencia enésima de f(x) = cos x con h = /2.
Solución:
43nxcos2xfn
n
306
6. Dada la función 3x10x24x16xf 23 hallar la antidiferencia para h = 1.
Solución:
kx2x3x4xf 241
7. Dado
3
xsen3xxxf , hallar xf4 .
Solución:
3
xsen432x144x16xf 24
8. Dada la función 1x2xxf 2 hallar, mediante polinomios factoriales, xf1 y
xf2 para h = 2.
Solución:
nmxx24
5x
12
1x
48
1xfkx
6
7x
6
1xf 234231
9. Hallar xfn para x
1xf .
Solución:
n(nnn xx
1h!n1xf
10. Hallar la diferencia enésima de x
1xf .
Solución:
n(n
nn xx
h1xf .
11. Descomponer en suma de polinomios factoriales la expresión 12x8x
1xf
2 ,
con h = 2, y hallar xfyxf 1 .
Solución:
307
16x12x2
3xxf
384x400x140x20x
20x4xf
2
1
234
12. Hallar la suma de los n primeros números impares.
Solución:
Sn = n2 + 2n +1
13. Hallar la suma de los n primeros términos de S = 2 + 7 + 16 + 29 +46 + 67 + 92 + …
Hallar n para que 1665Sn
6n y el límite
3
n
n n
SLim
.
Solución:
3
2
n
SLim20n1665S
n
65n3n4
6
nS
3
n
nn
2
n
14. Hallar la suma de los n primeros términos de
13107
1
1074
1
741
1S
y su límite cuando n tiende a infinito.
Solución:
24
1SLim
4n31n36
1
24
1S n
nn
15. Dada la siguiente tabla, calcular, por la fórmula de Lagrange, el valor de la función en
x = 4,01.
Solución:
f(4,01) = 0,603144.
16. Dada la tabla que se incluye a continuación hallar, mediante la fórmula de Lagrange, el
valor de f(1,03).
x 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20
f(x) 1,000000 1,257625 1,531000 1,820875 2,128000
Solución:
f(1,03) = 1,152727
308
17. Dada la tabla
x 1,1 1,3 1,4 1,6 1,7
f(x) = ex 3,0042 3,6693 4,0552 4,9530 5,4739
Hallar el valor de f(1,2) y estimar la magnitud del error correspondiente a la fórmula.
Solución:
f(1,2) = 3,3201 2 x 10-5
.
18. Dada la tabla
x 0 2,5069 5,0154 7,5227
f(x) 0,3989423 0,3988169 0,3984408 0,3978138
Hallar f(3,7608).
Solución:
f(3,7608) = 0,3986603
19. Dada la tabla
x 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 1
f(x) 3,0211893 3,0170333 3,0128372 3,0086002 3,0043214 3
Hallar f(1,044).
Solución:
r = 0,6 f(x) = 3,0187005
20. Hallar, por interpolación inversa, la raíz de la ecuación 05x4x3x2x 234 que
está comprendida entre 2 y 2,1.
Solución:
x = 2,0591
21. La tabla que se presenta a continuación indica los valores de velocidad máxima no
erosionable en un río, para suelos no cohesivos, en función de la profundidad media del
flujo y del diámetro medio del material de fondo. Estimar la velocidad máxima no
erosionable correspondiente a una profundidad media de 1,45 m y a un diámetro medio del
material de fondo de 1,8 mm.
309
Velocidad Máxima no erosionable (m/seg)
Diámetro medio (mm) Profundidad Media del Flujo (m)
0,40 1,00 2,00
0,25 0,35 0,45 0,55
1,00 0,50 0,60 0,80
2,50 0,65 0,75 0,80
5,00 0,80 0,85 1,00
Solución:
V = 0,77 m/seg.
22. Los datos que se incluyen en la siguiente tabla representan las variaciones de la
temperatura media ambiental en grados centígrados (Y), con la altura en metros (X).
X 1142 1742 280 437 678 1002 1543 1002 1103 475 1049 566 995 1008 208
Y 11 7 14 16 13 11 4 9 8 13 10 15 10 13 18
Ajustar un modelo de regresión lineal a los datos y comprobar su validez. ¿Cuál sería la
temperatura a esperarse a 2000 m de altura?
Solución:
39,7T81,0R78,2x0075,008,18y 0
22 t/2,n-2 = 2,53 por lo tanto se
rechaza la hipótesis 1 = 0. No hay valores atípicos. No hay un patrón en los errores.
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
3,00
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
Yestimado
La temperatura más probable a 2000 m de altura es de 3,1 ºC, y los límites del intervalo de
confianza correspondientes a un 95 % de confianza son – 2,1 ºC y 8,3 ºC, respectivamente.
23. Ajustar los datos que se presentan a continuación a un modelo de regresión múltiple.
310
Y 11,2 14,2 11,9 12,3 9,6 10,9 4,1 8,9
X1 7,32 24,62 4,53 6,14 4,46 10,78 2,85 1,32
X2 3,1 0,8 0,7 1,2 5,8 4,5 11,6 3,7
Y 11,3 12,9 10,2 11,9 10 13,1 17,9
X1 2,55 14,44 16,4 13,18 5,34 14,99 21,6
X2 0,1 6 10,4 4,8 2,2 1,6 0,3
Solución:
3714,18662,0Rx517,0x258,0727,10y 22
21 . Se rechazan las hipótesis
nulas. F0 = 38,84 T0 (1) = 5,92 T0 (2) = - 5,79.
24. Hallar el mejor valor de x1, x2, x3 y x4 para el sistema
2,04 x1 + 1,02 x2 – 1,01 x3 + 3,00 x4 = 4,05
2,10 x1 + 0,98 x2 – 0,98 x3 + 3,02 x4 = 4,02
2,08 x1 + 1,03 x2 – 1,01 x3 + 2,98 x4 = 4,02
1,95 x1 + 1,03 x2 – 1,02 x3 + 2,99 x4 = 3,95
1,98 x1 + 1,04 x2 – 0,95 x3 + 2,97 x4 = 3,97
2,03 x1 + 0,99 x2 – 1,05 x3 + 2,95 x4 = 3,99
2,04 x1 + 0,98 x2 – 1,03 x3 + 3,05 x4 = 4,00
2,05 x1 + 1,00 x2 – 0,97 x3 + 3,03 x4 = 4,01
Solución:
x1 = 0,698 x2 = 0,930 x3 = – 0,332 x4 = 0,437
25. Dada la tabla
x 0,40 0,70 0,90 1,00 1,20
f(x) 0,3805 0,6107 0,7328 0,7854 0,8761
Hallar 86,0fy9,0f,9,0f
Solución:
5508,09,0f5751,086,0f5528,09,0f
26. Dada la tabla
x -0,5 0 0,5 1,0
f(x) 1,3125 2 1,3125 0,7500
Hallar los máximos y mínimos de la función.
Solución:
311
x1 = 1,877 es un mínimo y x2 = -0.044 es un máximo.
27. Hallar, por el método de Poncelet, el valor de
2/
0
x dxsenxe con, por lo menos, dos
decimales exactos.
Solución:
2/
0
x dxsenxe 0,39
28. Hallar, por el método de Poncelet, el valor de
3
1
x4 dxex con, por lo menos, dos
decimales exactas.
Solución:
35,4dxex3
1
x4
29. Hallar, por los métodos de Poncelet y de Simpson, el valor de 2/1
1dx
xx4
xln , con h =
1/20. ¿Cuál es el error cometido en cada caso?
Solución:
Por Poncelet, I = 0,07621 con un error 1,4 10-3
Por Simpson, I = 0,07592 con un error 4 10-6
30. Hallar, por el método de Simpson y con n = 6, el valor de 2,2
1
x
dxx
e. ¿Cuántas
decimales exactas hay en el resultado.
Solución:
83755,3dxx
e2,2
1
x
Hay tres decimales exactos, es decir 834,3dxx
e2,2
1
x
.
31. Hallar, por el método de Simspon,
8,1
2,01x
1
12
dx, con h = 0,2.
Solución:
312
8000,0
12
dx8,1
2,01x
1
. Hay que tomar en cuenta que x = 1 es un punto de discontinuidad.
32. Hallar por el método de Simpson el valor de
8,2
2,1
xxEdx2
3
(en donde E(x) es parte
entera de x) con h = 0,2.
Solución:
I = 4,3719
33. Desarrollar la fórmula de Newton – Cotes para un número de intervalos que sea
múltiplo de cuatro y particularizar para n = 16.
Solución:
Para n intervalos:
8765443210
x
xy7y32y12y32y7y7y32y12y32y7
45
h2dxxf
n
0
Para 16 intervalos:
1284141062
15131197531160
x
x
yyy14yyyy12
yyyyyyyy32yy745
h2dxxf
n
0
34. Resolver la ecuación yxyy 2 con x0 = 1; y0 = 1; h = 0,1 por Euler y Euler
Modificado. (1 x 1,4).
Solución:
Por Euler
x 1 1,1 1,2 1,3 1,4
y 1 1,2 1,478 1,889 2,541
Por Euler Modificado
x 1 1,1 1,2 1,3 1,4
y 1 1,239 1,603 2,220 3,471
35. Integrar, por los métodos de Euler y Euler Modificado, la ecuación diferencial
0yx2yx 22 en el intervalo 5,1;1 con x0 = 1 y0 = 0 y h = 0,1.
Solución:
313
Por Euler
x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
y 0 -0,2 -0,416 -0,642 -0,870 -1,096
Por Euler Modificado
x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
y 0 -0,208 -0,429 -0,655 -0,880 -1,102
36. Resolver por el método de Adams, la ecuación yxy 2 con x0 = 0; y0 = – 1; h = 0,1.
(0 x 0,5). Hallar el error resolviendo exactamente la ecuación.
Solución:
La ecuación es lineal y su solución exacta es: 2x2xey 2x .
x y y (Adams) Error (%)
0 -1 -1 0
0,1 -1,1048 -1,1048 0,00
0,2 -1,2186 -1,2187 0,01
0,3 -1,3401 -1,3403 0,01
0,4 -1,4682 -1,4684 0,01
0,5 -1,6013 -1,6015 0,02
37. Resolver, por el método de Adams y para 0 x 0,5, la ecuación y
x2yy . x0 = 0,
y0 = 0, h = 0,1.
Solución:
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
y 1 1,095 1,176 1,256 1,332 1,403
38. Dado 2haya2xyx2y 00 , hallar, por Runge – Kutta, los valores de
y1 e y2 en función de a.
Solución:
9
56a
6
23y
3
8a3y 21
314
39. Dado el sistema 1,0h1u1z0y0xcon
uxyu
zxuz
yxzy
0000
hallar, por el
método de Adams, y3, z3, u3,
Solución:
y3 = 0,0417 z3 = 0,7908 u3 = 1,3503
40. Dada la ecuación diferencial 3,0h1y0y1x0yyxy 000 hallar, por
el método de Adams, los valores de y1, y2, y3, y4.
Solución:
y1 = 0,3495 y2 = 0,8160 y3 = 1,4643 y4 = 2,4150
41. Dada la ecuación diferencial 2,0h1y0y1x0yyxy 000 hallar, por
el método de Runge – Kutta, los valores de y1, y2, y3.
Solución:
y1 = 0,2215 y2 = 0,4932 y3 = 0,8302
42. Hallar las raíces enteras y fraccionarias de 030x75x41x10x6 234 .
Solución:
Solo hay dos raíces reales x1 = – 2; x2 = 1/3.
43. Separar las raíces de la ecuación 01xx 34 por el método gráfico y precisarlas por
el método de Newton con cinco decimales exactos.
Solución: x1 = -0,81917 x2 = 1,38028
44. Separar las raíces de la ecuación 05,0x2e x3,0 por el método del signo, y
precisarlas por el método de Newton con cinco decimales exactos.
Solución: x1 = 0,90620 x2 = 9,84954
315
45. Precisar la raíz de la ecuación 01xx2x5,1 2 que está comprendida entre 0,2 y
0,3, por el método de Newton modificado.
Solución:
x = 0,27283
46. Separar las raíces de la ecuación 01x7x4 por el método de Sturm y precisarlas
con cuatro decimales exactos por el método de las cuerdas.
Solución:
x1 = – 0,1828 x2 = 1,9584
47. Separar las raíces de la ecuación 1senx2x por el método gráfico y precisarlas con
cuatro decimales exactos por el método de las cuerdas.
Solución: x = 0,3376
48. Dada la ecuación 05x3x3x 23 , separar las raíces por el método de los signos.
Hallar el valor aproximado de las raíces por el método mixto, repitiendo dos veces el
procedimiento y establecer el error.
Solución:
En el primer cálculo: – 2,666667 x a – 2,428571.
En el segundo: – 2,579213 x – 2,579213 x = – 2,58516 < 6 10-3
.
49. Separar las raíces de la ecuación 0xln14ex y precisarlas por el método iterativo
con cuatro decimales exactos.
Solución:
x1 = 1,2995 x2 = 2,5891
50. Precisar las raíces de la ecuación 01xx 34 por el método iterativo con, por lo
menos, tres decimales exactos.
Solución:
x1 = -0,8192 (Es necesario definir un intervalo pequeño y hacer x = 1/z) x2 = 1,381.
316
51. Hallar, por el método de Lagrange y con cinco decimales exactas, la raíz de la ecuación
01x4x2x 24 que está comprendida entre –3 y –2.
Solución:
x = – 2,04748
52. Resolver, mediante la fórmula de Cardano – Vieta, la ecuación 03xx2x 23 .
Solución:
x1 = 1,573950 – 0,368989 i x2 = -1,147899 x1 = 1,573950 + 0,368989 i
53. Resolver, mediante la fórmula de Cardano – Vieta, la ecuación 01x8x3 23 .
Solución:
x1 = 2,618034 x2 = -0,333333 x1 = 0,381966
54. Resolver gráficamente la ecuación 01xx2x3x 234 .
Solución:
x1 = 1 x2 2,2
55. Resolver gráficamente la ecuación 04x3x3x 23 .
Solución:
Sol hay una raíz real: x = – 4
