Criterios de Decision Diversos Autores

CRITERIO DE HURWICZ

Se trata de un criterio intermedio entre el criterio de Wald y el criterio

maximax. Dado que muy pocas personas son tan extremadamente pesimistas

u optimistas como sugieren dichos criterios, Hurwicz (1951) considera que el

decisor debe ordenar las alternativas de acuerdo con una media ponderada

de los niveles de seguridad y optimismo:

donde es un valor especfico elegido por el decisor y aplicable a cualquier

problema de decisin abordado por l, por lo que T(ai) = si + (1-oi. As, la

regla de decisin de Hurwicz resulta ser:

Los valores de prximos a 0 corresponden a una pensamiento

optimista, obtenindose en el caso extremo =0 el criterio maximax.

Los valores de prximos a 1 corresponden a una pensamiento

pesimista, obtenindose en el caso extremo =1 el criterio de Wald.

ELECCIN DE

Para la aplicacin de la regla de Hurwicz es preciso determinar el valor de ,

valor propio de cada decisor. Dado que este valor es aplicable a todos los

problemas en que el decisor interviene, puede determinarse en un problema

sencillo, como el que se muestra a continuacin, y ser utilizado en adelante en

los restantes problemas que involucren al decisor.

Estados de la naturaleza

Alternativas e1 e2

si oi S(ai)

a1 1 0 0 1 1-

a2

Si las alternativas a1 y a2 son indiferentes para el decisor, se tendr 1- = , por

lo que = 1-. Por tanto, para determinar el decisor debe seleccionar

repetidamente una alternativa en esta tabla, modificando el valor de en cada

eleccin, hasta que muestre indiferencia entre ambas alternativas.

EJEMPLO

Partiendo del ejemplo de construccin del hotel, la siguiente tabla muestra

las recompensas obtenidas junto con la media ponderada de los niveles de

optimismo y pesimismo de las diferentes alternativas para un valor =0.4:

Alternativas

Terreno comprado

Estados de la Naturaleza

Aeropuerto en A Aeropuerto en B si oi S(ai)

A 13 -12 -12 13 3

B -8 11 -8 11 3.4

A y B 5 -1 -1 5 2.6

Ninguno 0 0 0 0 0

La alternativa ptima segn el criterio de Hurwicz sera comprar la parcela

en la ubicacin B, pues proporciona la mayor de las medias ponderadas para

el valor de seleccionado.

CRTICA

El criterio de Hurwicz puede conducir en ocasiones a decisiones poco

razonables, como se muestra en la siguiente tabla:

Estados de la naturaleza

Alternativas e1 e2 ... e50 si oi S(ai)

a1 0 1 ... 1 0 1 1-

a2 1 0 ... 0 0 1 1-

Segn el criterio de Hurwicz ambas alternativas son equivalentes, aunque

racionalmente la alternativa a1 es preferible a la alternativa a2. Ms an, si el

resultado de la eleccin de la alternativa a2 cuando la naturaleza presenta el

estado e1 fuese 1.001, se seleccionara la segunda alternativa, lo cual parece

poco razonable.

CRITERIO DE WALD

Bajo la alternativa ai, el peor resultado posible que puede ocurrir tiene una valor

para el decisor dado por:

El valor si se denomina nivel de seguridad de la alternativa ai y representa la

cantidad mnima que el decisor recibir si selecciona tal alternativa.

En 1950, Wald sugiere que el decisor debe elegir aquella alternativa que le

proporcione el mayor nivel de seguridad posible, por lo que S(ai)=si. As, la

regla de decisin de Wald resulta ser:

Este criterio recibe tambin el nombre de criterio maximin, y corresponde a un

pensamiento pesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al

decisor cuando elige una alternativa.

EJEMPLO


las recompensas obtenidas junto con los niveles de seguridad de las

diferentes alternativas:

Alternativas

Terreno comprado


Aeropuerto en A Aeropuerto en B si

A 13 - 12 -12

B - 8 11 -8

A y B 5 - 1 -1

Ninguno 0 0 0

La alternativa ptima segn el criterio de Wald sera no comprar ninguno de

los terrenos, pues proporciona el mayor de los niveles de seguridad.

CRTICA

En ocasiones, el criterio de Wald puede conducir a decisiones poco adecuadas.

Por ejemplo, consideremos la siguiente tabla de decisin, en la que se

muestran los niveles de seguridad de las diferentes alternativas.


Alternativas e1 e2 si

a1 1000 99 99

a2 100 100 100

El criterio de Wald seleccionara la alternativa a2, aunque lo ms razonable

parece ser elegir la alternativa a1, ya que en el caso ms favorable proporciona

una recompensa mucho mayor, mientras que en el caso ms desfavorable la

recompensa es similar.

CRITERIO MAXIMAX

Bajo la alternativa ai, el mejor resultado posible que puede ocurrir tiene un valor

para el decisor dado por:

El valor oi se denomina nivel de optimismo de la alternativa ai y representa la

recompensa mxima que el decisor recibir si selecciona tal alternativa.

El criterio maximax consiste en elegir aquella alternativa que proporcione el

mayor nivel de optimismo posible, por lo que S(ai)=oi. Esta regla de decisin

puede enunciarse de la siguiente forma:

Este criterio corresponde a un pensamiento optimista, ya que el decisor

supone que la naturaleza siempre estar de su parte, por lo que siempre se

presentar el estado ms favorable.

EJEMPLO


las recompensas obtenidas junto con los niveles de optimismo de las

diferentes alternativas:

Alternativas

Terreno comprado


Aeropuerto en A Aeropuerto en B oi

A 13 - 12

13

B - 8 11 11

A y B 5 - 1 5

Ninguno 0 0 0

La alternativa ptima segn el criterio maximax sera comprar la parcela en

la ubicacin A, pues proporciona el mayor de los niveles de optimismo.

CRTICA

Al utilizar el criterio maximax las prdidas pueden ser elevadas si no se

presenta el estado de la naturaleza adecuado. Adems, en ocasiones puede

conducir a decisiones pobres o poco convenientes. Por ejemplo, consideremos

la siguiente tabla de decisin, en la que se muestran los niveles de optimismo

de las diferentes alternativas.


Alternativas e1 e2 oi

a1 100 -10000 100

a2 99 99 99

El criterio maximax seleccionara la alternativa a1, aunque lo ms razonable

parece ser elegir la alternativa a2, ya que evitara las enormes prdidas de a1

en el caso desfavorable, mientras que en el caso favorable la recompensa

sera similar.

CRITERIO DE SAVAGE

En 1951 Savage argumenta que al utilizar los valores xij para realizar la

eleccin, el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de

la naturaleza con todos los dems resultados, independientemente del estado

de la naturaleza bajo el que ocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza

no es controlable por el decisor, por lo que el resultado de una alternativa

slo debera ser comparado con los resultados de las dems alternativas

bajo el mismo estado de la naturaleza.

Con este propsito Savage define el concepto de prdida relativa o prdida

de oportunidad rij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el

resultado de la mejor alternativa dado que ej es el verdadero estado de la

naturaleza y el resultado de la alternativa ai bajo el estado ej:

As, si el verdadero estado en que se presenta la naturaleza es ej y el decisor

elige la alternativa ai que proporciona el mximo resultado xij, entonces no ha

dejado de ganar nada, pero si elige otra alternativa cualquiera ar, entonces

obtendra como ganancia xrj y dejara de ganar xij-xrj.

Savage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las

mayores prdidas relativas, es decir, si se define ri como la mayor prdida que

puede obtenerse al seleccionar la alternativa ai,

el criterio de Savage resulta ser el siguiente:

Conviene destacar que, como paso previo a la aplicacin de este criterio, se

debe calcular la matriz de prdidas relativas, formada por los elementos rij.

Cada columna de esta matriz se obtiene calculando la diferencia entre el valor

mximo de esa columna y cada uno de los valores que aparecen en ella.

EJEMPLO


la matriz de prdidas relativas y el mnimo de stas para cada una de las

alternativas.

Alternativas

Terreno comprado


Aeropuerto en A Aeropuerto en B i

A 0 23 23

B 21 0 21

A y B 8 12 12

Ninguno 13 11 13

El mayor resultado situado en la columna 1 de la tabla de decisin original es

13; al restar a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se

obtienen las prdidas relativas bajo el estado de la naturaleza Aeropuerto

en A. De la misma forma, el mximo de la columna 2 en la tabla original es 11;

restando a esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen

los elementos rij correspondientes al estado de la naturaleza Aeropuerto en

B. Como puede observarse, el valor i menor se obtiene para la tercera

alternativa, por lo que la decisin ptima segn el criterio de Savage sera

comprar ambas parcelas.

CRTICA

El criterio de Savage puede dar lugar en ocasiones a decisiones poco

razonables. Para comprobarlo, consideremos la siguiente tabla de resultados:

Estados de la

Naturaleza

Alternativas e1 e2

a1 9 2

a2 4 6

La tabla de prdidas relativas correspondiente a esta tabla de resultados es

la siguiente:


Alternativas e1 e2 i

a1 0 4 4

a2 5 0 5

La alternativa ptima es a1. Supongamos ahora que se aade una alternativa,

dando lugar a la siguiente tabla de resultados:

Estados de la

Naturaleza

Alternativas e1 e2

a1 9 2

a2 4 6

a3 3 9

La nueva tabla de prdidas relativas sera:


Alternativas e1 e2 i

a1 0 7 7

a2 5 3 5

a3 6 0 6

El criterio de Savage selecciona ahora como alternativa ptima a2, cuando

antes seleccion a1. Este cambio de alternativa resulta un poco paradjico:

supongamos que a una persona se le da a elegir entre peras y manzanas, y

prefiere peras. Si posteriormente se la da a elegir entre peras, manzanas y

naranjas, esto equivaldra a decir que ahora prefiere manzanas!

CRITERIO DE LAPLACE

Este criterio, propuesto por Laplace en 1825, est basado en el principio de

razn insuficiente: como a priori no existe ninguna razn para suponer que un

estado se puede presentar antes que los dems, podemos considerar que

todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, es decir, la

ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturaleza equivale a afirmar

que todos los estados son equiprobables. As, para un problema de decisin

con n posibles estados de la naturaleza, asignaramos probabilidad 1/n a

cada uno de ellos.

Una vez realizada esta asignacin de probabilidades, a la alternativa ai le

corresponder un resultado esperado igual a:

La regla de Laplace selecciona como alternativa ptima aquella que

proporciona un mayor resultado esperado:

EJEMPLO


los resultados esperados para cada una de las alternativas.

Alternativas

Terreno comprado


Aeropuerto en A Aeropuerto en B Resultado esperado

A 13 -12 0.5

B -8 11 1.5

A y B 5 -1 2

Ninguno 0 0 0

En este caso, cada estado de la naturaleza tendra probabilidad ocurrencia

1/2. El resultado esperado mximo se obtiene para la tercera alternativa,

por lo que la decisin ptima segn el criterio de Laplace sera comprar

ambas parcelas.

CRTICA

La objecin que se suele hacer al criterio de Laplace es la siguiente: ante una

misma realidad, pueden tenerse distintas probabilidades, segn los casos

que se consideren. Por ejemplo, una partcula puede moverse o no moverse,

por lo que la probabilidad de no moverse es 1/2. En cambio, tambin puede

considerarse de la siguiente forma: una partcula puede moverse a la derecha,

moverse a la izquierda o no moverse, por lo que la probabilidad de no moverse

es 1/3.

Desde un punto de vista prctico, la dificultad de aplicacin de este criterio

reside en la necesidad de elaboracin de una lista exhaustiva y mutuamente

excluyente de todos los posibles estados de la naturaleza.

Por otra parte, al ser un criterio basado en el concepto de valor esperado, su

funcionamiento debe ser correcto tras sucesivas repeticiones del proceso de

toma de decisiones. Sin embargo, en aquellos casos en que la eleccin slo va

a realizarse una vez, puede conducir a decisiones poco acertadas si la

distribucin de resultados presenta una gran dispersin, como se muestra en la

siguiente tabla:


Alternativas e1 e2 Resultado esperado

a1 15000 -5000 5000

a2 5000 4000 4500

Este criterio seleccionara la alternativa a1, que puede ser poco conveniente si

la toma de decisiones se realiza una nica vez, ya que podra conducirnos a

una prdida elevada.

Leonid Hurwicz

(Leonid Hurwicz obtuvo el Premio Nobel de Economa en 2007, compartido con Eric S.

Maskin y Roger B. Myerson por "haber sentado las bases de la teora de diseo de

mecanismos.

Si no hubiera hecho ms que llamar nuestra atencin sobre la existencia y exacto

significado de ciertas lagunas fundamentales de la teora econmica, la Teora de los

juegos y del comportamiento econmico, de von Neuman y Morgenstern, ya habra sido

un libro de destacada importancia. Pero hace ms que eso. Es un libro principalmente

constructivo: cuando consideran que la teora actual es insuficiente, los autores

presentan una elaboracin analtica al efecto de resolver el problema.

Seramos injustos con los autores si dijramos que su libro es una aportacin

nicamente a la ciencia econmica. El mbito del libro es mucho ms amplio que eso.

Los mtodos aplicados por los autores para abordar los problemas econmicoad

suficiente para ser vlidos en la poltica, en la sociologa e incluso en la estrategia

militar. Su aplicabilidad a los que son propiamente juegos (al ajedrez y al pker, p. ej.)

es evidente por el mismo ttulo del libro. Y, adems, esta obra tiene un considerable

inters desde el punto de vista puramente matemtico. De todas formas, nosotros

limitaremos nuestro comentario principalmente a los aspectos puramente econmicos de

la Teora de los juegos y del comportamiento econmico.

Nuestro comentario es, en gran medida, puramente expositivo , lo que queda justificado

por la importancia del libro, su empleo de conceptos nuevos y desacostumbrados y su

misma extensin, que para algunos pudiera suponer un grave obstculo.

Ya al menos desde los trabajos de Cournot sobre el duopolio han conocido los

economistas la existencia de ese vaco que el susodicho libro trata de llenar, aun cuando

todava hay muchos economistas que no advierten la gravedad de esa falta. No existe

solucin adecuada al problema de definir el comportamiento econmico racional de un

sujeto cuando la misma racionalidad de su actuacin depende de la conducta probable

de otros individuos; en el caso de oligopolio, de otros vendedores. Cournot y muchos

otros autores posteriores han tratado de eludir esta dificultad suponiendo que cada uno

de los sujetos tienen una idea precisa de lo que los dems harn dadas las circunstancias

de cada momento. Y, segn sea este comportamiento esperado de los dems sujetos,

tenemos las soluciones particulares y bien conocidas de Bertrand y Cournot, as como el

concepto ms general, de Bowley, de la variacin conjetural. Es decir, el

comportamiento racional del sujeto queda determinado si podemos suponer conocido a

priori el comportamiento de los dems. Pero es que, si los dems han de comportarse

tambin racionalmente, no podemos suponer conocida a priori su actuacin, con lo que

nos encontramos en un callejn sin salida.

Ya hace diez aos, uno de estos autores indic la forma o, al menos, una forma de salir

de esta dificultad: consista en rechazar la interpretacin al pie de la letra del principio

del mximo como sinnimo de comportamiento racional. no es que el mximo (de la

utilidad o de los beneficios) no fuese deseable si cupiera alcanzarlo, pero no se puede

llegar a un verdadero mximo cuando el sujeto de que se trate slo controla uno de los

factores que rigen el resultado (p. ej., de la competencia oligopolista).

Consideremos, por ejemplo, una situacin de duopolio , en la que cada uno de los

duopolistas, A y B, trata de hacer mximos sus beneficios. Los beneficios de A

dependen no slo de su propia actuacin (estrategia) sino tambin de la estrategia de B.

Si A pudiese controlar (directa o indirectamente) a estrategia de B, elegira una para s y

otra para B que hiciesen mximos sus propios beneficios. Pero no puede decidir l la

estrategia de B y no puede, por tanto, estar seguro de que consiga hacer mximos

incondicionalmente sus beneficios mediante la eleccin de una adecuada estrategia para

s mismo.

Pudiera parecer que, en tal situacin, no hay posibilidad de determinar el

comportamiento racional de cada uno de los dos duopolistas. Pero es precisamente aqu

donde entra en escena la nueva solucin propuesta por los citados autores. Aclararemos

esto con un ejemplo.

Supongamos que cada uno de los duopolistas puede seguir tres estrategias : A1, A2, A3,

para el duopolista A, y B1, B2, B3, para el B. El beneficio que vaya a conseguir A, al

que designaremos por a, esta determinado evidentemente por las estrategias que elijan

cada uno de los duopolistas. Indicaremos esta dependencia por subndices de a,

refirindose el primer subndice a la estrategia de A, y el segundo a la de B. As, p. ej.,

a13 es el beneficio que obtendr A si sigue la estrategia A1, y B la B3. Anlogamente,

b13 designa los beneficios de B en ese mismo caso. En las tablas de la pgina 470

representamos los resultados posibles de la competencia duopolista.

La tabla 1a muestra los beneficios que obtendr A segn sean las estrategias elegidas

por A y por B. La primera fila corresponde a la eleccin A1, etc.; las columnas

corresponden a las estrategias de B. La tabla 1b nos ofrece anlogos datos sobre los

beneficios de B.

Para indicar cmo A y B tomarn sus decisiones sobre las estrategias a seguir, nos

serviremos del ejemplo numrico de las tablas 2a y 2b.

Sigamos los razonamientos de A cuando est eligiendo una estrategia. En primer lugar,

observar que, si elige la estrategia A3, sus beneficios no pueden descender por debajo

de 5, mientras que cualquiera de las otras alternativas le exponen al peligro de verlos

reducidos hasta 3 e incluso hasta 1. Pero an hay otra razn para elegir A3.

Supongamos que exista el peligro de que vayan con el soplo a B, de que B se entere de

la decisin de A antes de tomar l la suya. Si A hubiese elegido A1, por ejemplo, B-

caso de saberlo de antemano-elegira a su vez B3 para as hacer mximos sus

beneficios, lo que reducira a 1 el beneficio de A. Si A hubiese elegido A2, B escogera

B2, lo que tambin reducira por debajo de 5 los beneficios de A, siendo as que ste

estara seguro de obtener al menos 5 si eligiese A3.

Tabla 1 a Beneficios de A

estrategias de B

B1 B2 B3

estrategias de A

A1 a11 a12 a13

A2 a21 a22 a23

A3 a31 a32 a33

Tabla 1b Beneficios de B

estrategias de B

B1 B2 B3

estrategias de A

A1 b11 b12 b13

A2 b21 b22 b23

A3 b31 b32 b33


estrategias de B

B1 B2 B3

estrategias de A

A1 2 8 1

A2 4 3 9

A3 5 6 7

Tabla 2 b Beneficios de B

estrategias de B

B1 B2 B3

estrategias de A

A1 11 2 20

A2 9 15 3

A3 8 7 6

Quiz se pueda discutir que la eleccin de A3, por A y en tales circunstancias, sea la

nica forma de definir el comportamiento racional, pero es desde luego una forma de

definirlo y, como veremos ms adelante, una forma muy fructfera. El lector puede

fcilmente comprobar que un razonamiento anlogo por parte de B le har elegir B1

como su estrategia ptima. El resultado de la competencia duopolista resulta as

determinado y puede describirse como sigue: A elegir A3, B elegir B1, el beneficio de

A ser 5, y 8 el de B.

Una interesante propiedad de esta solucin es que ninguno de los duopolistas se sentir

inclinado a variar su decisin, incluso si pudiera hacerlo, despus de darse cuenta de

cul es la estrategia del otro vendedor.

Y vamos a verlo. Supongamos que B ha descubierto que A se ha decidido por la

estrategia A3.

Buscando en la tercera fila de la tabla 2b, ver inmediatamente que la mejor poltica que

l puede seguir en ese caso es la B1, pues es la que le rinde mayores beneficios entre las

que son compatibles con la A3. La solucin a la que hemos llegado es de un carcter

muy estable y ello independientemente de que se averige o no la estrategia seguida por

el otro oferente.

Pero el ejemplo que acabamos de examinar es artificioso en varios aspectos

importantes. Uno de ellos es que no tiene en cuenta la posibilidad de una coalicin

entre A y B. En nuestra solucin, que da la combinacin de estrategias (A3, B1), los

beneficios conjuntos de ambos duopolistas suman 13, mientras que actuando de

acuerdo podran salir mejor que eso. Si conviniesen en seguir las estrategias A1 y

B3, respectivamente, aumentaran sus beneficios conjuntos hasta 21, y podran

dividir esta suma de forma que ambos quedasen en mejor situacin que con la

solucin anterior.


estrategias de B

B1 B2 B3

estrategias de A

A1 2 8 1

A2 4 3 9

A3 5 6 7

Tabla 3 b Beneficios de B

estrategias de B

B1 B2 B3

estrategias de A

A1 8 2 9

A2 6 7 1

A3 5 4 3

Uno de los mayores logros de la Teora de los juegos es el anlisis de las condiciones y

naturaleza de la formacin de coaliciones. Ms adelante indicaremos cmo se hace esto;

pero, de momento, vamos a eliminar el problema de las coaliciones considerando un

caso que es algo particular, pero de gran inters terico; el caso de beneficios conjuntos

constantes, del cual ponemos un ejemplo en las tablas 3a y 3b.

La tabla 3a es idntica a la 2a; pero en la 3b hemos elegido las cifras de manera que los

beneficios conjuntos de ambos duopolistas siempre sumen lo mismo (en este caso, 10)

sean cuales fueren las estrategias elegidas, en cuyo caso lo que A gana lo pierde B, y

viceversa. Por tanto, ya intuitivamente se comprende (aunque los autores se toman

grandes trabajos para demostrarlo rigurosamente) que no se formar ninguna coalicin.

Tabla 4 Beneficios de A

estrategias de B

B1 B2 B3

estrategias de A

A1 2 8 1

A2 4 3 9

A3 6 5 7

Tambin aqu podemos llegar a la solucin mediante el razonamiento empleado en el

caso anterior, solucin que resulta ser de nuevo (A3, B1), con los respectivos beneficios

de 5 y 5, que suman 10, y sigue siendo de aplicacin lo que dijimos anteriormente sobre

la estabilidad de la solucin y la falta de inters de averiguar los planes del rival.

Hay, sin embargo, en este ejemplo un elemento artificioso y del que depende que la

solucin sea o no determinada. Para comprenderlo basta con intercambiar 5 y 6 en la

tabla 3a. La nueva situacin as producida viene representada en la tabla 4, que da los

beneficios de A para las diferentes estrategias.

No hay ahora ninguna solucin que posea la estabilidad del ejemplo anterior. En efecto,

supongamos que A elige A3; si B lo averigua, escoger evidentemente B2, que le

proporciona el mayor beneficio compatible con A3. Pero en ese caso A3 ya no sera la

estrategia ptima de A, pues puede obtener mayores beneficios siguiendo A1; y si as lo

hace, la estrategia ptima de B ya no es B2 sino B3, etc. No hay ninguna solucin que

no estimule al menos a uno de los rivales a variar su decisin si averigua la del otro. No

existe ninguna estabilidad .

Qu es lo que, al construir la tabla, hace que la solucin del caso 3 sea determinada y

que no lo pueda ser en el caso 4? La respuesta es que la tabla 3 tiene un punto mixto de

estabilidad o punto de ensilladura (un mnimo -mximo) del que carece la tabla 4.

Este punto mixto de estabilidad goza de las dos siguientes propiedades: es el mayor de

todos los mnimos de las filas y, al mismo tiempo, es el menor de los mximos de las

columnas. As, en la tabla 3a, los mnimos de las filas son respectivamente 1, 3 y 5,

siendo este ltimo el mayor de ellos (maximum-minimorum); por otra parte, los

mximos de las columnas son respectivamente 5, 8 y 9, siendo 5 el menor de ellos

(minimum-maximorum). Por tanto, la combinacin (A3, B1) da lugar al mayor de los

mnimos de las filas y al menor de los mximos de las columnas, constituyen as un

punto mixto de estabilidad. Por el contrario, es fcil ver que la tabla 4 no contiene un

punto tal. En ella, 5 es tambin el mximo de los mnimos, pero el mnimo de los

mximos es ahora 6; no coinciden uno con otro y es esta falta de un punto mixto de

estabilidad la que da lugar a la indeterminacin existente en la tabla 4.

Por qu es necesaria (y suficiente) a existencia de un solo punto mixto de estabilidad

para asegurar el carcter determinado de la solucin? La respuesta est implcita en el

razonamiento que hemos hecho sobre los ejemplos anteriores: si A elige su estrategia a

fin de encontrarse protegido en el caso de que se descubra su decisin, elegir la

estrategia cuya fila de la tabla convenga el mayor valor de los mnimos, es decir, la fila

correspondiente al maximum-minimorum (fila que en el caso de la tabla 4 es A3), pues

as est seguro de que sus beneficios no sern menores de 5 aunque B se entere de su

decisin. Por su parte, B, siguiendo el mismo principio, elegir la columna (o sea la

estrategia) que contenga el minimum-maximorum (B1 en la tabla 4), asegurndose as

lograr unos beneficios de al menos 4 aunque su rival se entere de su decisin.

De esta forma, ambos duopolistas se han asegurado un cierto mnimo de beneficios: 5 y

4 respectivamente. Pero stos slo suman 9. Queda un resto, 1, por adjudicar, y se lo

adjudicar el que mejor pueda prever los planes de su competidor. Es este residuo el que

explica (y mide) el grado de la indeterminacin, y su presencia no sorprender a los

economistas familiarizados con esta clase de fenmeno por la teora del monopolio

bilateral. Pero hay veces en las que este residuo es cero, a saber: cuando el minimum-

maximorum coincide con el maximum-minimorum, lo que por definicin implica la

existencia de un punto mixto de estabilidad y la total determinacin de la solucin.

Tabla 5 Beneficios de A

estrategias de B

B1 B2 mnimo de las filas

estrategias de A

A1 5 3 3 Mximum minimorum

A2 1 5 1

mximo de las columnas

5 5

Al llegar a esta fase de su estudio, los autores de la Teora de los juegos tuvieron ellos

mismos que hacer una eleccin. Podran haber aceptado el hecho de que no siempre

existen esos punto mixtos de estabilidad, con lo que, en general, siempre habra presente

cierto grado de indeterminacin. Pero prefirieron librarse de la indeterminacin

mediante una muy ingeniosa modificacin del proceso que lleva a la eleccin de la

estrategia adecuada.

Hasta ahora, el cuadro que hemos presentado de un duopolista que trata de tomar una

decisin respecto a la estrategia a seguir, era el de un hombre que razona cul de las

diversas posibles actuaciones le resulta ms ventajosa (estrategia pura). Vamos ahora a

variar este cuadro y a poner en manos de este empresario un conjunto de dados que va a

lanzar para as determinar la estrategia que va a elegir. Es decir: introducimos un

elemento aleatorio en la decisin (estrategia mista) . Pero no todo se deja al azar. El

duopolista A debe enunciar de antemano una regla sobre cules de los resultados de la

tirada -supongamos que slo se lanza un dado-le harn elegir una estrategia

determinada. Para aclarar esto, utilizaremos una tabla algo ms sencilla pero menos

interesante que las empleadas hasta ahora. En esta nueva tabla (la 5) , cada duopolista

slo dispone de dos estrategias.Una regla que A podra adoptar sera, p. ej.:

Si el resultado de la tirada es 1 2, elijo A1.

Si el resultado de la tirada es 3, 4, 5 6, elijo A2.

Si se sigue esta regla, la probabilidad de que A elija A1 es 1/3, y la de que elija A2 es

2/3. Si se hubiera adoptado otra regla (por ejemplo, la de elegir A1 si el resultado de la

tirada es 1, 2 3), la probabilidad de que se eligiera A1 habra sido 1/2. Llamamos

coeficiente aleatorio de A a la fraccin que expresa la probabilidad de que A elija A1.

En los dos ejemplos anteriores, los coeficientes aleatorios de A seran 1/3 y 1/2,

respectivamente.

Como caso especial, el valor del coeficiente aleatorio podra ser cero (lo que significara

que decididamente se escoge la estrategia A2) o 1 (lo que significa que A escoge

decididamente A1), con lo que, en cierto sentido, las estrategias puras pueden

considerarse como un caso especial de las mixtas. De todas formas, esta ltima

afirmacin est sujeta a condiciones bastante importantes y de compleja naturaleza, en

las que no entraremos aqu.

Tabla 6

Coeficientes aleatorios de A

Coeficientes aleatorios de B mnimos de las filas

0 1/3 2/3 1

0 5 3 1/3 2 1/3 1 1

1/3 4 1/3 3 2/3 3 2 1/3 2 1/3

2/3 3 2/3 3 2/3 3 2/3 3 2/3 3 2/3 maximum minimorum

1 3 3 2/3 4 1/3 5 3

mximos de las columnas

5 3 2/3 4 1/3 5

minimum maximorum

Ahora, en vez de escoger una de entre las estrategias de que dispone, el duopolista A ha

de escoger el coeficiente aleatorio ptimo (que, en cierto sentido, an no est definido).

Cmo se hace la eleccin del coeficiente aleatorio? Para ello, se construye una tabla

que se diferencia en dos aspectos importantes de las que hemos empleado hasta ahora, y

un ejemplo de la cual es la tabla 6. En ellas, cada fila corresponde a un posible valor del

coeficiente aleatorio de B. Como el coeficiente aleatorio puede tomar cualquier valor

entre cero y 1 (ambos incluidos), no hay que considerar la tabla ms que como una

muestra.

Los nmeros que figuran en la tabla son los valores medios (esperanzas matemticas)

correspondientes a la eleccin de los coeficientes aleatorios indicados por las

respectivas fila y columna . (Hay que advertir que la tabla 6 no es ms que un artificio a

efectos de la exposicin, y los procedimientos que se emplean en el libro de que

tratamos son algebraicos y mucho ms sencillos en el clculo).

Si ahora suponemos, con los autores, que cada uno de los duopolistas trata de hacer

mxima la esperanza matemtica de sus beneficios (tabla 6) en vez de los beneficios

mismos (tabla 5), podra parecer que, caso de que no exista un punto mixto de

estabilidad, sigue estando presente la causa de la dificultad. Pero no es vano hemos

introducido las estrategias mixtas. Se puede demostrar (y el que primero demostr este

teorema fue von Neumann, ya en 1928) que en la tabla de la esperanza matemticas

(como la 6, p. ej.)siempre existe un punto mixto de estabilidad, con lo que el problema

es siempre determinado.

El lector, que puede haber visto con cierto recelo la introduccin de los dados en el

proceso de la toma de decisin, estar seguramente de acuerdo en que, ste es un

resultado bastante espectacular. Aunque la primera impresin fuera la contraria, resulta

que es posible convertir el problema en determinado. pero ello tiene un precio: parece

preciso aceptar las estrategias mixtas y suponer que lo nico que importa es la esperanza

matemtica de los beneficios (y no, por ejemplo, su varianza). Muchos economistas

considerarn que ese precio es demasiado elevado. Adems, se podra discutir la

necesidad de dar carcter determinado a un problema de esta naturaleza, y quiz

debiramos considerar como solucin el intervalo de indeterminacin dado por los dos

puntos crticos: el minimum-maximorum y el maximum-minimorum.

Como ya hemos indicado anteriormente, no hay que prescindir, en general, de la

posibilidad de una coalicin, posibilidad que resulta especialmente evidente a

considerar situaciones econmicas ms complejas.

Podra darse, p. ej., una situacin en la que no haya ms que dos vendedores y dos

compradores, en cuyo caso se podra formar una coalicin de vendedores y otra de

compradores. Pero tambin cabra que uno de los compradores sobornase de alguna

forma a uno de los vendedores para enfrentarse juntos con los otros dos. E igualmente

se pueden imaginar otras varias combinaciones de este tipo.

Veamos que, cuando slo figuran dos personas en escena, cual en el caso del duopolio

(en el que prescindamos del papel de los consumidores), no se formara coalicin si la

suma de los beneficios de ambos sujetos era constante. Pero, cuando el nmero de

participantes es tres o ms, pueden provechosamente formarse subcoaliciones incluso si

la suma de los beneficios de todos ellos es constante. As, en el ejemplo anterior de

cuatro sujetos, podra ser ventajoso para los vendedores combinarse contra los

compradores, incluso si (o, quiz, especialmente si) los beneficios de los cuatro siempre

suman la misma cantidad.

As, pues, podemos estudiar la formacin de coaliciones sin abandonar el tan

conveniente supuesto de la constancia de la suma de los beneficios. En realidad, cuando

se sabe que esa suma no es constante, se puede introducir (en teora) un nuevo y ficticio

participante, quien, por definicin, pierde todo lo que ganan los participantes reales, y

viceversa. Con ello, podemos considerar que una situacin de beneficios globales no

constantes y tres personas, p. ej., es un caso especial de la situacin de beneficios

globales constantes y cuatro personas. Esta es una razn ms limitar la mayor parte del

estudio (tanto en el libro como en este artculo) al caso de beneficios globales

constantes, y ello a pesar de que los problemas econmicos son casi siempre del tipo de

suma no constante.

Pasaremos ahora a estudiar el caso ms sencillo de los de suma constante que admite la

formacin de una coalicin: el de tres participantes .Aqu ya no es suficiente la tcnica

de anlisis que hemos empleado en el caso de slo dos sujetos. El nmero de

posibilidades aumenta rpidamente. Cada uno de los participantes puede actuar

independientemente, o bien se puede formar una de las tres posibles coaliciones de dos

personas (A y B contra C, A y C contra B, B y C contra A). Y, si no fuera por la

condicin impuesta de que la suma de los beneficios ha de ser constante, cabra adems

la posibilidad de una coalicin de los tres participantes.

Tambin aqu se pone de manifiesto la novedad de la forma en la que los autores

abordan el problema. En la mayor parte de la teora econmica tradicional, se postula la

formacin-o ausencia- de determinadas coaliciones . As, p. ej., se estudia la economa

de los crteles sin investigar rigurosamente las condiciones necesarias y suficientes para

su formacin. Adems, se tiende a excluir a priori fenmenos tales como la

confabulacin entre vendedores y compradores, aunque se sabe que tales fenmenos se

dan en la realidad. La Teora de los juegos, aunque en apariencia ms abstracta que la

teora econmica que ya nos es familiar, en estos puntos se aproxima mucho ms de

cerca a la realidad. Para dar una solucin completa a los problemas de la teora

econmica. hay que resolver los fenmenos que son la formacin de coaliciones, el

soborno, la confabulacin, etctera. Ahora disponemos de la respuesta a esas cuestiones,

aunque en los casos ms complicados sea de carcter un tanto formal y aunque no

siempre nos proporcione la suficiente visin interna del funcionamiento del mercado en

la realidad.

Volvamos ahora al caso de tres sujetos. Supongamos que dos de ellos son vendedores y

el otro comprador. La teora tradicional nos dira la cantidad vendida por cada oferente

y el precio. Pero sabemos que en el proceso de la transaccin uno de los vendedores

puede sobornar al otro para que se abstenga de competir, con lo que este ltimo de todas

formas obtendra un beneficio y, por otra parte, el beneficio real del que realiz la venta

sera inferior al normal en la cantidad que pag a su rival.

Conviene, pues, introducir el concepto de ganancia. La ganancia del participante

sobornado es el importe del soborno, y la ganancia del vendedor es el beneficio

obtenido con la venta menos el importe del soborno. Llamaremos imputacin a una

distribucin concreta de las ganancias entre los participantes. La imputacin no es un

nmero, sino un conjunto de nmeros. As, p. ej., si las ganancias de los participantes en

un caso determinado son gA, gB, gC, a lo que se llama imputacin es al conjunto de

esas tres g. La imputacin resume el resultado del proceso econmico. Para cada

situacin, hay muchas imputaciones posibles, y uno de los principales objetivos de la

teora econmica es hallar, entre todas ellas, las que tendrn en un comportamiento

racional.

En una situacin como la descrita anteriormente (tres participantes y beneficios globales

constantes), cada uno de los sujetos empezar preguntndose qu beneficios podr

obtener actuando independientemente, aunque sea en el pero de los casos y aunque los

otros dos formen una coalicin contra l. Para ello, considerar la situacin como de

slo dos participantes (considerando a la coalicin formada contra l como un solo

sujeto) y calcular el maximum-minimorum del caso, o punto mixto de estabilidad, si es

que ese punto existe, lo cual naturalmente siempre tendr lugar si se emplean las

estrategias mixtas. A continuacin, el sujeto considerar la posibilidad de formar l una

coalicin con uno de los otros dos participantes. Y aqu se plantea la cuestin crucial:

Cules son las condiciones para que se pueda formar tal coalicin?.

Antes de examinar en detalle esta cuestin, resumiremos en la tabla 8 los datos del caso.

Tabla 8

I Si A acta solo, puede obtener 5 Si B acta solo, puede obtener 7 Si C acta solo, puede obtener 10

II Si A y B se coligan, pueden obtener 15 Si A y C se coligan, pueden obtener 18 Si B y C se coligan, pueden obtener 20

III Si A, B y C actan de acuerdo, pueden obtener 25

Entre las muchas posibles imputaciones, consideremos las tres de la tabla 9:

Tabla 9

A B C

1 6,5 8,3 10,2

2 5,0 9,5 10,5

3 4,0 10,0 11,0

Se observar que, en la imputacin #1, B y C resultan en mejor situacin que si

hubieran actuado individualmente, pues obtienen 8,3 y 10,2 en vez de 7 y 10,

respectivamente. B y C tendrn, por tanto, inters en formar una coalicin, ya que sin

ella no sera posible la imputacin #1,. Pero, una vez formada la coalicin, no es la #1 la

imputacin que ms les conviene; con la #2, p. ej., ingresan 9,5 y 10,5 en vez de 8,3 y

10,2, respectivamente. En tales casos, diremos que la imputacin #2 domina a la #1.

Pudiera parecer, por otra parte, que la imputacin #3 domina a su vez a la #2, pues

promete an ms, tanto para B como para C. Pero promete demasiado; en la #3, la suma

de las ganancias de B y C es 21, que es ms de lo que la coalicin puede lograr (vase a

tabla 8). As, pues, hay que descartar esta ltima imputacin irreal, y no se puede decir

que domine a ninguna otra.

La dominacin es una relacin de extraordinario inters. Por una parte, no es transitiva:

puede ocurrir que una imputacin, i1, domine a otra, i2, que domina a su vez a la i3, sin

que ello quiera decir que i1 domine a i3; incluso puede que i1 est dominada por 13.

Adems, es fcil construir ejemplos de dos imputaciones (pongamos por caso) ninguna

de las cuales domine a la otra.

Para darnos una idea geomtrica de esta situacin un tanto extraa, fijmonos en la

figura 1, en la cual los puntos de la circunferencia representan distintas imputaciones

posibles. (Tngase presente, sin embargo, que esto no es ms que una til analoga

geomtrica.) Convengamos ahora en que si el punto #2 est a menos de 90 grados (en el

sentido de las agujas del reloj) del punto #1, este ltimo domina al #2. Es fcil de ver en

la figura que #1 domina a #2 y que #2 domina a #3, pero a pesar de ello #1 no domina a

#3.

Figura 1

Esta imagen geomtrica nos servir para definir el fundamental concepto de solucin.

Consideremos los puntos (imputaciones) #1, #3, #5 y #7 de la figura 1. Ninguno de

ellos domina a ninguno de los otros, ya que cada par de ellos est separado por 90 ms

grados. Pero cualquier otro punto del crculo est dominado por, al menos (en este caso,

exactamente), uno de ellos: todos los puntos entre #1 y #3 estn dominados por #1, etc.;

no hay ningn punto de la circunferencia que no est dominado por uno de los cuatro

mencionados. Definimos una solucin como un conjunto de puntos (imputaciones) que

gozan de dos propiedades: 1) ninguno de los elementos del conjunto domina a ningn

otro elemento del mismo conjunto, y 2) todo punto exterior al conjunto ha de estar

dominado por al menos uno de los elementos del conjunto.

Hemos visto que los puntos #1, #3, #5 y 37 gozan de ambas propiedades, por lo que los

cuatro puntos en conjunto forman una solucin, Tiene importancia observar que no se

puede considerar como solucin a ninguno de esos puntos aisladamente; incluso si

prescindiramos de uno solo de esos puntos, los tres restantes ya no constituiran una

solucin. Por ejemplo: si prescindimos de #1, los puntos entre #1 y #3 no estn

dominados por ninguno de los #3, #5 o #7 restantes; ello violara la segunda condicin,

por lo que esos tres puntos solos no constituyen solucin. Por otra parte, si aadimos un

quinto punto a los #1, #3, #5 y 37, el subsiguiente conjunto de cinco elementos tampoco

constituye solucin. Supongamos, p. ej., que es #2 el nuevo y quinto punto; observamos

que #2 est dominado por #1 y que a su vez domina a #3, con lo que nos falta la primera

condicin.

Pero, al contrario de lo que podra dictarnos la intuicin, un elemento de la solucin

puede estar dominado por puntos extraos a sta: p. ej.: 31 est dominado por #8, etc.

Es fcil que haya ms de una solucin, y el lector no tendr dificultad en comprobar que

#2, #4, #6, #8 tambin forman solucin, siendo evidente que existen infinitas ms.

Existe siempre una solucin por lo menos? Hasta ahora no se ha podido responder a

esta pregunta. Entre los casos examinados por los autores no se ha encontrado ninguno

que careciera de al menos una de ellas, pero an no se ha demostrado que siempre haya

de existir solucin.

Para comprender la posibilidad terica de un caso sin solucin, alteraremos ligeramente

el concepto de dominacin (vase la figura 2) y diremos que #1 domina a #2 si su

ngulo de separacin (en el sentido de las agujas del reloj) no es mayor de 180.

De esta forma resulta (en la figura 2) que el punto #1 domina al 3, pero no al #4; etc.

Podemos ahora demostrar que en este caso no existe solucin. Para ello, supongamos

que existiese una solucin y sea #1 uno de sus puntos (sin que esta eleccin concreta

nos haga perder nada de generalidad). Es evidente que #1 no constituye por s solo una

solucin, pues hay puntos de la circunferencia (el #4, por ejemplo) que no estn

dominados por #1; o sea, que la solucin ha de incluir al menos dos puntos. Pero

cualquier otro punto de la circunferencia, o bien est dominado por #1 (el #2, p. ej.,), o

bien domina a 31 (el #4, p. ej), o bien ocurren ambas cosas (como en el #), lo que

contradira a la primera condicin de los elementos de la solucin. Por tanto, tampoco

hay solucin que conste de dos elementos. A fortiori, no hay soluciones que contengan

ms de dos puntos; es decir, hemos construido un ejemplo que no tiene ninguna

solucin. Pero el que tal situacin pueda darse en economa (o en los juegos de azar, si

se quiere) es an objeto de discusin.

Fijmonos ahora en la interpretacin econmica del concepto de solucin. Dentro de la

solucin, no hay motivo para variar de una imputacin a otra, pues ninguna de ellas

domina a otra del conjunto. Adems, nunca hay razn suficiente para salirse de una

solucin determinada, pues toda solucin extraa a la solucin puede ser desacreditada

por una imputacin de la solucin que domina a la exterior. Pero, como hemos visto,

tambin la recproca es generalmente cierta: las imputaciones de la solucin pueden

estar dominadas por las exteriores a la misma. Si prescindimos de esta ltima

consideracin, la solucin de que se trate cobra un carcter institucional y, segn los

autores, una solucin puede ser equivalente a lo que podramos llamar los "standards de

comportamientos" de una colectividad determinada.

Podemos ahora considerar que la multiplicidad de soluciones corresponde a distintos

ordenamientos institucionales alternativos: a un cierto marco institucional slo

correspondera una solucin. Pero aun as, queda un gran nmero de posibilidades, pues

generalmente cada solucin contiene ms de una imputacin. y an existira mayor

indeterminacin si no hubiramos introducido las estrategias mixtas. Sera, pues,

sorprendente que von Nuemann y Morgenstern no lograsen, en las aplicaciones que

llevan a cabo, algo ms que los resultados clsicos y no descubrieran imputaciones

hasta aqu descuidadas o totalmente abandonadas; y sealan algunos resultados

heterodoxos bastante interesantes, especialmente en el ltimo captulo del libro.

Pero hay un caso en el que, a la vista de la literatura posterior sobre la materia, no est

justificada la pretensin de los autores de lograr mayor generalidad que la de la teora

econmica, y es el caso que corresponde en esencia al monopolio bilateral (pg. 564,

proposicin 61:C). Empleando sus mtodos nuevos. los autores llegan a un cierto

intervalo de indeterminacin del precio, que es un intervalo ms amplio que el indicado

por Bhm-Bawerk, por haber prescindido (como advierten los mismos autores) del

supuesto del precio nico. Pero en las teoras del excedente del consumidor (por no citar

ms de un ejemplo) ya se haba llegado a una anloga ampliacin del intervalo de

indeterminacin de precio levantando aquel mismo supuesto.

Repito, sin embargo, que la Teora de los juegos ofrece una forma ms general de

abordar los problemas de la que sera posible de otro modo, y de ello es un ejemplo la

existencia de soluciones discriminatorias, descubierta por mtodos puramente

analticos; as como tampoco sera posible explicar, con los mtodos y tcnicas

corrientes de la teora econmica, los diversos tipos de acuerdos y confabulaciones a los

que nos hemos referido al hablar de los casos de tres y cuatro sujetos.

Las posibilidades de los nuevos mtodos de von Neumann y Morgenstern parecen ser

enormes y es de esperar que contribuyan a reforzar y aumentar el realismo de buena

parte de la teora econmica; pero, tambin en gran parte, no son ms que posibilidades,

y los resultados estn an en gran medida por lograr. Aun empleando los ms poderosos

mtodos matemticos, las dificultades con las que se tropieza al tratar las situaciones en

las que existen ms de tres sujetos son enormes. Incluso los problemas del monopolio y

del monopsonio estn fuera de nuestro alcance en el estado actual de la investigacin, y

lo mismo puede decirse de la competencia perfecta, aunque pueda resultar que esta

ltima no es una solucin legtima, ya que excluye la formacin de coaliciones que

pueden dominar las imputaciones de competencia. Mucho han ayudado estos mtodos a

aclarar el problema del oligopolio, pero tambin aqu los resultados estn lejos de

alcanzar el grado de determinacin deseado por el economista terico.

Por todo ello, considero un tanto lamentables algunas de las afirmaciones hechas en el

primer captulo del libro atacando (con bastante falta de discriminacin) las tcnicas

analticas actualmente empleadas por los tericos de la economa. Cierto que las

deficiencias de la teora econmica sealadas en la Teora de los juegos son muy reales,

y no podramos desear nada mejor que un modelo que nos diera las propiedades

generales de un sistema de m vendedores y n compradores, p. ej., del cual pudieran

considerarse como casos particulares el monopolio, el duopolio y la competencia

perfecta. Pero desgraciadamente ni siquiera podemos vislumbrar an el tal modelo. A

falta del mismo, los economistas tericos han empleado (y sin duda alguna seguirn

empleando) otros, aunque menos satisfactorios, muy tiles de todas formas; pues no

podemos permitirnos ignorar la necesidad social de unos resultados de la teora

econmica, y ello aunque lo mejor de los mismos sea bastante tosco. El hecho de que se

haya estudiado tanto la teora de las fluctuaciones econmicas no es una prueba de

"cunto se han subestimado las dificultades por resolver" (pg. 5), sino que ms bien

demuestra que la ciencia econmica no puede permitirse el lujo de desarrollarse en la

forma tericamente ms lgica cuando la necesidad de obtener resultado es tan

imperiosa como el caso de los altibajos del nivel de empleo.

Ni tampoco es seguro, aunque s posible desde luego, que, cuando se disponga de una

teora rigurosa elaborada segn las directrices propuestas por von Neuman y

Morgenstern, los resultados obtenidos en los problemas importantes sean lo suficiente

distintos de los alcanzados con los mtodos actuales (y reconocidamente imperfectos)

como para justificar algunas de las ms duras acusaciones hechas en el primer captulo

del libro. No hay que olvidar, p. ej., que, aunque sera de gran valor la explicacin

terica de las coaliciones que se van a formar en una situacin determinada, disponemos

de conocimientos empricos que podemos emplear como substitutivos (siempre

imperfectos) de la teora. As, p. ej., la formacin de cartels puede ser una cosa que tan

se vea venir en una situacin determinada, que el terico puede sencillamente incluirla

como uno de sus supuestos; mientras que von Neuman y Morgenstern demostraran (al

menos en principio) la formacin del cartel sin tener que darla como un supuesto ms (y

lgicamente innecesario).

Los autores critican de tal forma la aplicacin de los mtodos matemticos a la

economa, que algunos lectores casi podran llegar a pensar, a pesar de las protestas de

aqullos en contrario, que von Neumann y Morgenstern no se dan cuenta de que gran

parte de los recientes progresos en muchos campos de la teora econmica se debe en

gran medida al empleo de mtodos matemticos. Tampoco parecen advertir el hecho de

que la economa desarrollada en forma literaria se basa, implcitamente, en las tcnicas

matemticas que ellos critican. (Lo que ponen en duda no son en realidad los mtodos

de la economa matemtica, sino aquellos elementos de la teora econmica que son

comunes a la economa matemtica y a la literaria). Aunque es cierto que ni siquiera el

estudio matemtico de la economa es siempre lo suficiente riguroso, generalmente lo es

ms que su correspondiente forma literaria, aunque esta ltima sea a veces ms realista

en muchos aspectos importantes.

Este comentarista no abriga la menor duda de que nada puede estar ms lejos de la

intencin de los autores comentados que servir, alentar o hacer concesiones a aquellos

otros que rechazan la investigacin rigurosa de la economa, pero algunas vagas crticas

incluidas en el primer captulo pudieran surtir ese efecto y apenas merecen ir parejas de

los logros positivos del resto del libro.

Probablemente, los economistas se sorprendern de encontrar tan pocas referencias a

trabajos econmicos ms recientes. Casi podra uno terminar la lectura del libro con la

impresin de que la ciencia econmica es sinnima de Bhm-Bawerk y Pareto. Ni

siquiera se hace alusin a los primitivos del siglo XIX (como Cournot) ni a los autores

de las ltimas dcadas (tales como Chamberlin, Joan Robinson, Frisch, Stackelberg).

Pero quiz los autores puedan recabar la exencin de relacionar su trabajo con el de sus

antecesores, y ello en virtud del tremendo esfuerzo constructivo incorporado a su obra;

pues no es por menos de admirar la audacia de visin, la perseverancia en los detalles y

la profundidad de pensamiento de que hacen gala en la casi totalidad de las pginas del

libro.

Por intrincado que pueda ser a veces el razonamiento, la exposicin es notablemente

lcida y fascinante. Adems, los autores se esfuerzan constantemente por evitar el

supuesto de que el lector est familiarizado con algo ms que las matemticas

elementales y, siempre que se necesitan, se forjan en el mismo libro las herramientas

auxiliares que pudieran resultar ya ms complicadas.

Tambin es de mencionar, aunque esto ya se sale del mbito de esta breve exposicin,

que, en el campo de los que propiamente son juegos (ajedrez, pquer), los resultados

obtenidos son ms concretos que algunas de las aplicaciones econmicas. Los lectores

que se interesen por la naturaleza de la determinacin en el juego de ajedrez por la

teora del bluff en el pquer, o en la adecuada estrategia a seguir por Sherlock Holmes

en su famoso encuentro con el profesor Moriarty, disfrutarn con la lectura de esta parte

del libro, la cual no tiene relacin directa con la ciencia econmica. Y tambin es

probable que el lector vea afectadas sus opiniones sobre las estrategias ptimas militares

o diplomticas.

As, pues, la lectura de este libro, adems de ser un paso ms en la evolucin intelectual

del lector, hace pasar muy buenos ratos. La inmensa mayora de los economistas se

encontrarn capacitados para leerlo, incluso si la lectura ha de ser a veces lenta; el

esfuerzo vale la pena. Y ya slo nos queda por decir que la aparicin de un libro de la

envergadura de la Teora de los juegos es en verdad un acontecimiento poco frecuente.

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