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Escuela Normal Superior Nº 4
“Estanislao Severo Zeballos”
Cuadernillo de actividades previas a los contenidos de 1º año
Matemática
Autoridades de la ENS nº 4
Rector: Profesor Alicia Dipinto
Vicerrectores: Profesor Cecilia Ansalone
Profesor Eduardo Marcelo Soria
Vicedirectora de Media: Profesor Griselda Camilletti
Este cuadernillo surge a partir del proyecto “Un camino a seguir para el ingreso al Nivel
Medio”(2008-2010) de las profesoras Alicia Manna e Iliana Maselli.
El material aquí presentado es el resultado del trabajo conjunto con la vicerregente del
Departamento e Aplicación Cecilia González; dentro del marco del Proyecto de Mejora 2010,
coordinado por la profesora Gisela Serrano y actualizado por las profesoras María Rosa
Louhau y Silvia Veiga con el aval y consenso de los profesores de Matemática de nuestra
escuela
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Contenidos:
Bloque Números Naturales y Operaciones
Suma y diferencias
Multiplicación
División
Divisibilidad
Bloque Geometría y Medida
Circunferencia y círculo
Ángulos
Triángulos, construcciones
Desigualdad triangular
Suma de los ángulos interiores de un triángulo
Bloque Números Racionales y Operaciones
Escritura fraccionaria y decimal
Uso de las fracciones
Comparación, orden, densidad.
Operaciones con fracciones
Uso de los números decimales
Valor posicional
Apéndice
Diccionario breve de definiciones matemáticas
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Bienvenidos al Normal Nº 4
Nos alegra que hayas elegido esta escuela de tan larga tradición. Te contamos que en
2008 cumplió 100 años (seguramente vos estabas en quinto grado). Habrás visto al entrar que
el edificio es imponente, casi asusta ¿no? Pero no es para tanto, es así gigante porque alberga
una numerosa población distribuida en cuatro niveles: inicial, primaria, medio o secundario y
profesorado (este último forma maestros para jardín y primaria).
La escuela es una de las más complejas de la Ciudad. Cuenta con unos 3000
estudiantes pertenecientes a alguno de los cuatro niveles.
Esperamos que puedas llevarte bien con esta diversidad de estudiantes, manteniendo
siempre una actitud de respeto y cordialidad. Hemos trabajado mucho para recibirte de la
mejor manera. Producto de esa labor es este cuadernillo cuya función principal es la de
favorecer que puedas repasar las nociones fundamentales de lo que has aprendido en la
escuela primaria, para que tu ingreso a la escuela media tenga el mayor éxito posible; además
sirve como instrumento para que veamos juntos cómo estudiás Matemática y cómo podrías
mejorar tu rendimiento. Por supuesto, ello dependerá también de que durante el año te
dediques todos los días al estudio.
El nivel medio, debido a una reciente norma legal de la Ciudad, ha sido declarado
obligatorio. Ello quiere decir, entre otras cosas, que para cualquier trabajo que quieras realizar
te van a exigir el título. Ojalá hayas pensado en seguir estudiando alguna carrera universitaria;
para ello es necesario contar con una buena formación del nivel medio. Está en tus manos
hacerlo con responsabilidad. Es muy importante que te organices; si lo logras tendrás tiempo
para todo. No descuides tu futuro, está muy cerca y hoy empezás a construirlo desde un nuevo
escenario; la “secundaria”.
Docentes y Equipo de Conducción
4
Objetivos de trabajo
Este cuadernillo está pensado como una actividad previa al inicio de 1º año de la
Escuela Media.
Las actividades que propone tienen el objetivo de colocarlos en la situación de
resolver problemas; buscar caminos de resolución (sean correctos o no), tomar
decisiones, analizar ejemplos y contraejemplos, buscar regularidades, conjeturar ideas y
defenderlas.
Es decir tratar de generar producciones matemáticas hechas por ustedes mismos,
sin la intervención de un tutor que guíe sus pasos. “Es dejarlos caminar un poquito solos”.
Los contenidos que trabajarán al confeccionar este cuadernillo están al alcance de
todos independientemente de que haya sido estudiados o no previamente. Más que hacer
hincapié en los contenidos, aunque ellos son de gran importancia, se trata de hacer hincapié en
los procedimientos matemático que éstos ponen en juego.
Aquí les proponemos un cronograma (para desarrollar en aproximadamente 2 meses,
podrían ser noviembre y diciembre) para ayudarlos a mantener un ritmo de estudio.
Sem
ana
Día Bloque Actividades
1 Lunes Números naturales y operaciones 1 y 2
Miércol
es
Geometría y medida 1 y 2
Viernes Números racionales y operaciones 1, 2 y 3
2 Lunes Números naturales y operaciones 3 y 4
Miércol
es
Geometría y medida 3 y 4
Viernes Números racionales y operaciones 4 y 5
3 Lunes Números naturales y operaciones 5 y 6
Miércol
es
Geometría y medida 5
Viernes Números racionales y operaciones 6, 7 y 8
4 Lunes Números naturales y operaciones 7, 8 y 9
Miércol
es
Geometría y medida 6 y 7
Viernes Números racionales y operaciones 9, 10, 11 y 12
5 Lunes Números naturales y operaciones 10 y 11
Miércol
es
Geometría y medida 8, 9 y 10
Viernes Números racionales y operaciones 13 y 14
6 Lunes Números naturales y operaciones 12, 13 y 14
Miércol
es
Geometría y medida 11, 12 y 13
Viernes Números racionales y operaciones 15, 16 y 17
7 Lunes Números naturales y operaciones 14 , 15 y 16
Miércol
es
Geometría y medida 14 , 15, 16 y 17
Viernes Números racionales y operaciones 18, 19, 20 y 21
Nota: Las actividades del apartado “calentando motores son para trabajar durante el curso
de ingreso.
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Bloque: Números Naturales y Operaciones
Actividad 1
Uní con una flecha cada expresión coloquial con su correspondiente traducción simbólica.
El doble de 10, aumentado en la mitad de 8. 28210
El doble de: 10 aumentado en la mitad de 8. 28102
La mitad de 10, aumentada en el doble de 8. 28102
La mitad de: 10 aumentado en el doble de 8. 82210
Actividad 2
Julieta compró cinco lapiceras iguales en la librería. Pagó con un billete de $100 y dos de $20; le
devolvieron un billete de $5 y uno de $10. ¿Cuánto costó cada lapicera?
Actividad 3
Pepita gastó en la librería $25. Después fue a una tienda y quiso comprar 3 metros de una tela que
valía $9 el metro, pero le faltaban $6.
a)¿Cuánto dinero tenía Pepita antes de entrar a la librería?
b)¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones permite resolver el problema? Marcalas con una
X.
63925 63925
63925 63925
Actividad 4
Tomás y Malena pasaron al pizarrón a resolver multiplicación
350x24.
Los dos usaron procedimientos diferentes, sin embargo llegaron al mismo resultado.
Tomás Malena
350 x 20 = 7000 350 x 4 = 1400
350 x 4 = 1400 1400 x 6 = 8400
entonces 350 x 24 = 8400 entonces 350 x 24 = 8400
6
a. Explicá con tus palabras como lo pensó cada uno.
b. Resolvé 270 x 35 usando la estrategia de Tomás y luego la de Malena.
Actividad 5
El producto de dos números es 242 ¿Es posible, a partir de este dato, conocer el producto del
doble del primero por el triple del segundo? Si pensás que sí, explicá cómo lo sabés; si pensás que no,
explicá por qué.
Actividad 6: Teniendo en cuenta que el resultado de 135 x 72 es 9720 obtené, sin hacer toda la
multiplicación, el resultado de:
135 x 24 270 x 72 270 x 36
Explicá cómo lo pensaste.
Actividad 7
Javier dice: “Para hacer 2761 : 100 alcanza con mirar bien los números. Sin hacer la cuenta de
dividir sé que el cociente es 27 y el resto 61”
a. Explicá cómo puede haber obtenido los resultados que menciona.
b. Sin hacer las cuentas encontrá el cociente y el resto en cada una de las siguientes divisiones
345 : 10 7689 : 100 48903 : 100
c. “El cociente de 1414 : 14 es 11 porque el primer 14 : 14 es 1 y el segundo 14 : 14 también es 1”
¿Te parece correcto lo que dice Javier? ¿Por qué?
En toda cuenta de dividir siempre se cumple la siguiente relación:
Dividendo = Divisor x Cociente + Resto
Además, el resto debe ser menor que el divisor (pues si no se podría seguir dividiendo) y mayor
o igual que cero.
Actividad 8
Completá los espacios en blanco en cada una de estas cuentas.
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Actividad 9
Primero tenés que decidir y solo después hacer las cuentas para comprobar:
A) ¿Será cierto que con este dividendo la cuenta tiene resto 3? 939765.98
B) ¿Y que con este otro, tiene resto 2? 911765.989
Actividad 10
Inventá para cada ítem, una cuenta de dividir en la cual
a. el cociente sea 10, el divisor sea 34 y el resto sea 2.
b. el divisor sea 12 y el cociente sea 15.
c. el divisor sea 45 y el resto 12.
d. el cociente sea 12 y el resto 6.
En cada uno de los casos anteriores, anotá ¿hay una solamente? ¿Cuántas hay? ¿Por qué?
Actividad 11
¿Es posible que en una cuanta de dividir el dividendo sea 12 el cociente 2 y el resto 1? ¿Por qué?
Actividad 12
Escribí el número 48 como producto de 2, 3, 4 y 5 números, pero que ninguno de ellos sea 1.
Siempre es posible expresar cualquier número natural como una multiplicación al menos entre
dos números, si se acepta que uno de esos números sea el 1, como en el siguiente caso 37 x 1 = 37.
Un número es múltiplo de otro si es el resultado de multiplicar el segundo por algún número
natural.
Un número es divisible por otro si al hacer la división entre el primero y el segundo, el resto es
cero.
También se dice, por ejemplo, que 2 es divisor de 48, pues 48 = 2 x 24, o que 6 es divisor de 48
pues 48 = 6 x 8.
Actividad 13
Sin hacer las cuentas, ¿es posible saber si el resultado de cada cálculo es múltiplo de 7
b1) 5345.127 b2) 21345.127 b3) 7345.127
b4) 11345.127 b5) 9345.127
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Actividad 14
a. ¿Es cierto que todos los números que son divisibles por 4 también son divisibles por 2? ¿Por
qué?
b. ¿Es cierto que todos los números que son divisibles por 2 también son divisibles por 4? ¿Por
qué?
Actividad 15
¿Es correcto lo que dice Pablo? ¿Por qué?
Pablo: Si a un número lo divido por 3 y el resto es 0 y al cociente que se obtienen lo vuelvo a
dividir por 3 y vuelve a dar resto 0, entonces el número es divisible por 9.
Actividad 16
Proponé un criterio para anticipar si un número es divisible por 10 y otro para anticipar si es
divisible por 6.
Calentando motores
1) En primer año del colegio “De la esquina” se eligió al mejor compañero mediante una
votación. Los tres más votados fueron Celeste, Nico y Martina.
A Celeste la votaron 10 compañeros, a Nico 7. Martina fue elegida mejor compañera, pero no
superó la suma de los votos de Celeste y Nico.
a)¿Cuál es la cantidad de votos que pudo haber obtenido Martina? Indica todas las posibilidades.
b)Si llamamos “m” a la cantidad de votos que pudo haber obtenido Martina, ¿cuál o cuáles de las
expresiones traduce el enunciado?
b1) 1810 m b2) 1817my 10 m b3) 1810 m b4) 1711 m
2) a) En la tira se repiten las primeras 4 letras, siempre en el mismo orden. ¿Qué letra estará en el
casillero 17? ¿ y en el 2533?
P A S O P A S O
B)¿Es cierto que en los casilleros 21, 37 y 509 va a estar la letra P?
C) Elegí tres casilleros mayores a 200 en los que estén seguros que va a aparecer la letra O.
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Bloque: Geometría y medida
Antes de empezar a trabajar en este bloque te aclaramos que siempre que construyas una figura
usá papel liso (si tenés sólo cuadriculado o rayado no uses las líneas como apoyo), anotá los pasos que
seguiste (las instrucciones), eso nos va a permitir más adelante poder repasarla juntos y recordar lo que
hiciste en el momento de construir.
Actividad 1
Marcá en tu carpeta un punto y llamalo O. Dibujá 4 puntos que se encuentren a 3 cm de distancia
del punto O. ¿Cuántos puntos podrías marcar?
Definición: Se llama circunferencia de centro “O” y radio “r” al conjunto de puntos del plano cuya
distancia al punto “O” es igual a “r”.
Actividad 2
Marcá en tu carpeta un punto y llamalo O. Señalá la zona que está a 2 cm o menos del punto O.
Anotá en un recuadro la definición de círculo de centro “O” y radio “r”.
Actividad 3
Dibujá en tu carpeta una recta “r”. Dibujá 4 puntos que se encuentren a 3 cm. de distancia de la
recta “r”. ¿Cuántos puntos más podrías marcar que cumpla la condición pedida?
( Realiza construcciones)
Actividad 4
Dibujá en tu carpeta una recta “r”. Marcá un punto A cualquiera que no pertenezca a la recta r.
Luego marcá un punto B que pertenezca a la recta r pero de tal manera que la recta que pase por
los puntos A y B sea perpendicular a la recta r que dibujaste originalmente. ¿Cuántos lugares posibles
tenés para colocar al punto A? Y al fijar A ¿cuántos lugares para el punto B?
Actividad 5
Dibuja un cuadrado de 6 cm de lado y a uno de sus vértices nombrarlo con la letra A. Dentro de él
marcá con rojo los puntos que están a 6 cm del punto A, de verde los que están a más de 6 cm del
punto A y con azul los que se encuentran a menos de 6 cm del punto A.
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Actividad 6
Observá la figura, representa a dos perros (P y G) a los que hay que alimentar. Están separados por
10 m.
a. Marcá la zona donde convienen poner la comida para que coman los dos perros si la soga del
perro P es de 6 m y la del perro G es de 8 m.
b. ¿Qué longitudes deben tener las dos sogas para que los perros no se puedan juntar?
Actividad 7
Marca todos los puntos que se encuentren a igual distancia del punto A que del punto B
A
B
Actividad 8
Dibuja un ángulo consecutivo del ángulo dibujado
Dibuja un ángulo adyacente del ángulo dibujado
Dibuja un ángulo opuesto por el vértice al ángulo dibujado
Actividad 9
Utilizando solamente regla no graduada y compás, copiá en tu carpeta los siguientes ángulos
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A partir de aquí usá únicamente regla no graduada, compás y transportador.
Actividad 10
Copiá la siguiente figura en tu carpeta.
Actividad 11
Marcar todos los puntos del plano que estén a igual distancia de los lados del ángulo dibujado.
Actividad 12
Dados los segmentos a y b, construyan, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual
a a y otro lado igual a b.
¿Se pueden construir dos distintos? ¿Por qué?
Actividad 13
Dados los ángulos y construyan, si es posible, un triángulo que tenga un ángulo igual a
otro ángulo igual a .
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¿Pueden construir dos distintos? ¿Por qué? ¿Será cierto que dados dos ángulos, siempre es posible
construir un triángulo?
Actividad 14
Construyan, si es posible, un triángulo cuyos ángulos midan 30º, 45º y 75º. ¿Pueden construir dos
distintos?
Actividad 15
Construyan, si es posible, un triángulo cuyos ángulos midan 30º, 45º y 105º. ¿Pueden construir
dos distintos? ¿Por qué?
Actividad 16
Dado el segmento a y los ángulos y construyan, si es posible, un triángulo en el cual uno de
los lados sea igual al segmento a y los ángulos adyacentes (o sea los que están apoyados en los
extremos del segmento) sean iguales a los ángulos y .
¿Pueden construir dos triángulos distintos?
Actividad 17
Dados los segmentos a y b; y el ángulo construyan, si es posible, un triángulo que tenga un
lado igual al segmento a, otro igual al segmento b y el ángulo que se forma entre estos dos lados sea
igual al ángulo .
¿Se podrá construir otro distinto?
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Calentando motores
3) Dibujá dos puntos A y B. Marcá, si es posible, tres circunferencias distintas que pasen por esos
dos puntos. Podés usar regla y compás, pero no medir. ¿Se pueden dibujar otras más? ¿Cuántas se
pueden dibujar?
4) Construí un triángulo equilátero sabiendo que cada lado mide 2 cm.
5) A) Construí una figura a partir de las instrucciones siguientes:
- Trazá una circunferencia de 4 cm de diámetro.
- Trazá uno de sus diámetros y llamá A y B a sus extremos.
- Elegí un punto cualquiera de la circunferencia( excepto A Y B) y llamalo C.
- Construí el cuadrilátero que se forma al unir los puntos A,D,B,C
B) ¿Qué tipo de cuadrilátero es el ADBC? Valida tu respuesta.
Bloque: Números Racionales y Operaciones
Los números racionales pueden expresarse de distintas maneras.
OFERTAS
1
4kg de café .................. $ 4,80
1
2kg de yerba ................ $ 2,60
Habrás observado en el cartel de arriba dos formas de escribirlos como fracciones y como
expresiones decimales.
Actividad 1
Determiná qué parte del área del rectángulo representa la región sombreada.
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Actividad 2
¿En cuál de los cuadrados se pintó más superficie? Tené en cuenta que los cuadrados son iguales.
Actividad 3
Analizá si para repartir en partes iguales 3 chocolates entre 4 chicos son o no equivalentes los
siguientes procedimientos
a. repartir cada uno de los 3 chocolates en 4 partes iguales y dar a cada chico una parte de cada
chocolate,
b. partir por la mitad 2 de los 3 chocolates y dar una mitad a cada chico, y partir el tercer chocolate
en 4.
Expresá usando fracciones cada uno de los repartos anteriores. Después analizá y argumentá si son
o no equivalentes las expresiones que surgen en cada caso.
Actividad 4
En cada uno de los siguientes casos el dibujo representa una fracción de la unidad. Para cada uno
tu tarea consiste en dibujar la unidad
a. Representa 2
7de la unidad. b. Representa
6
5de la unidad.
c. Representa 8
2de la unidad.
¿Hay un único dibujo posible?
Actividad 5
Resolvé los siguientes problemas:
a. De un ramo de 12 flores, 1
4son rosas. ¿Cuántas flores son rosas?
b. Joaquín perdió 2
3de sus 30 figuritas. ¿Cuántas figuritas perdió?
c. Martín decidió regalar a su primo 1
4de sus bolitas. Si le dio 23 bolitas a su primo, ¿cuántas
tenía?
d. 2
5de los alumnos forman parte del equipo de fútbol. Hay 32 alumnos en el equipo de fútbol,
¿cuántos alumnos hay en total?
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e. María pegó 27 figuritas en su álbum. Si el álbum completo tiene 54 figuritas, ¿qué parte del
álbum completó?
Simplificar una fracción significa dividir el numerador y el denominador por un número natural
distinto de cero, divisor de ambos.
Una fracción es irreducible si el numerador y el denominador no tienen divisores comunes, salvo
el 1.
O sea, si una fracción es irreducible, no se puede simplificar.
Actividad 6
Completá los espacios en blanco para que se cumpla la igualdad.
a. 64
16=
4 b.
30
120=
1 c.
28=
56
152 d.
44=
1
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Actividad 7
¿Qué número multiplicado por 4 da 7? ¿Es un número natural?
Actividad 8
Respondé las siguientes preguntas
a. ¿Qué es mayor 1
3ó
1
5? ¿Por qué? b. ¿Cuántos
1
5se necesitan para formar 2?
c. ¿Cuánto es la mitad de 1
5? d. ¿Cuánto es el doble de
1
8?
Actividad 9
Completá los espacios en blanco
a. 3
4+ ......... = 1 b.
3
4+ ......... = 2 c.
9
4- ......... = 2 d.
9
4- ......... = 1
16
Actividad 10
Indicá en cada caso, cuál de las fracciones es la más cercana a 1
2
a. 1
4;
1
3;
1
5 b.
3
4;
2
3
Actividad 11
Anotá estos números como una sola fracción:
a. 2 + 3
4 b. 5 +
3
4
Actividad 12
Anotá estas fracciones como sumas de un número natural más una fracción menor que 1:
a. 8
5 b.
17
6 c.
102
10 d.
115
100
Actividad 13
Dibujá en tu carpeta una recta numérica, ubicá en ella el 0 y el 1. Marcá en esa misma recta
numérica los números 1
3;
3
4 y
7
2.
Actividad 14
Encontrá cuatro números racionales entre 5
12 y
7
12.
a. Da una estrategia para inventar 30 números más.
b. ¿Cuántos se pueden inventar con la estrategia desplegada?, ¿son todos los posibles?
Actividad 15
Decidí, sin averiguar el resultado, si es posible que
a. 1
4+
7
5 sea menor que 1 b.
2
5+
2
10 sea mayor que 1
Para cada caso pensá cómo explicar las razones de tu respuesta.
Actividad 16
Calculá el valor de estas sumas
a) 2
5+
2
10 = b)
1
4+
7
5=
Actividad 17: Proponé una cuenta cuyo resultado sea 7
2 utilizando:
a. suma de fracciones b. resta de fracciones
c. multiplicación de fracciones d. división de fracciones
17
Actividad 18
¿Cuánto dinero (en $) hay en 10 monedas de 10 centavos? ¿Y en 10 monedas de 1 centavo? ¿Y en
100 monedas de 1 centavo? ¿Y en 100 monedas de 10 centavos?
De las cuestiones anteriores surgen algunos cálculos
0,1 x 10 = 0,01 x 100 =
0,01 x 10 = 0,001 x 100 =
Actividad 19
Apoyado en los cálculos anteriores, realizá ahora estos cálculos:
0,2 x 10 = 0,2 x 100 =
1,2 x 10 = 1,2 x 100 =
0,02 x 10 = 0,02 x 100 =
Actividad 20
Ya sabés que de una multiplicación siempre se pueden extraer dos divisiones.
Por ejemplo si se sabe que
1,2 x 10 = 12
se sabe también que 12 : 10 = 1,2
y que 12 : 1,2 = 10.
Anotá todas las divisiones que surgen del problema 19.
Actividad 21
Escribí reglas para multiplicar por 10 y por 100 un número decimal.
Calentando motores
6) Completá la tabla, que relaciona la cantidad de dulce que se obtiene según la cantidad de fruta.
Cantidad de peras en kg
2
1
1 2 3 5 9
Cantidad de dulce en kg
2
1
2
3
7) El trayecto desde la casa de Anabella a su trabajo es de 4800 m. Anabella recorre 1/12 del
trayecto a pie, 578 del resto en subte y el último tramo lo realiza en colectivo.
¿Cuántos metros recorre a pie? ¿Cuántos en subte? Y ¿Qué parte del recorrido realiza en
colectivo?
chocolate, ¿cuántos décimos de la barra sobraron?
8) José comió las tres quintas partes de una barra de chocolate, ¿Cuántos décimos de la barra
sobró?
18
Apéndice
Diccionario breve de nociones matemáticas que se usaron en este cuadernillo.
Ángulo: región del plano delimitada por un vértice y dos semirrectas que tienen origen en dicho
vértice.
Arco de circunferencia: parte de una circunferencia.
Cuerda: segmento cuyos extremos son puntos de la circunferencia.
Diámetro: cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Distancia entre dos puntos: longitud del segmento que los une.
Divisibilidad: reglas asociadas a poder hacer divisiones que tengan resto cero. (Otras palabras
asociadas: divisible, divisor).
Equidistantes: que están a igual distancia.
Equivalentes: que valen lo mismo.
Lado: segmento que une dos vértices consecutivos en un polígono.
Longitud: largo.
Mayor que: >
Menor que: <
Múltiplo: es un número que contiene a otro exactamente.
Número compuesto: tiene más de dos divisores.
Número primo: es el que sólo es divisible por 1 o por sí mismo.
19
Número racional: números que pueden expresarse como razón a/b, con b distinto de 0; el
conjunto se lo denomina con la letra Q.
Números naturales: son los números que utilizamos para contar y el cero.
N = {0; 1; 2; 3, 4; ...}
Polígono: poli: muchos; gono: ángulos.
Recta numérica: recta donde se determinan dos puntos el 0 y el 1; y que se utiliza para
representar algunos conjuntos numéricos.
Radio: segmento que tenga un extremo en un punto de la circunferencia y el otro en el centro de
ésta. También se llama radio a la longitud de esos segmentos.
Segmento: parte de una recta, que tiene dos extremos.
Simplificar: dividir el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, que
sea divisor de ambos.
Triángulo: polígono de tres lados.
Vértice: punto que tienen en común dos lados de un polígono.
