POLIEDROS

Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.

Elementos de un poliedro:

Caras: Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.

Aristas: Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.

Vértices: Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.

Ángulos diedros: Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.

Ángulos poliédricos: Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.

Diagonales: Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Ejemplo:

Revisar la página.

http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/111213_poliedros.elp/elementos_del_poliedro.html

Los poliedros se clasifican en:

Poliedros regulares: un poliedro regular es aquel que sus caras son poliedros regulares y son todos iguales. Todos los ángulos poliedros también son iguales.

Existen sólo cinco tipos de poliedros

regulares:

Tetraedro regular: poliedro regular

cuya superficie está formada por

cuatro triángulos equiláteros iguales

Cubo (o hexaedro regular): poliedro

regular compuesto por

seis cuadrados iguales

Octaedro regular: poliedro regular la

superficie del cual está constituida por

ocho triángulos equiláteros iguales

Dodecaedro regular: poliedro regular

formado por doce pentágonos

regulares iguales

Icosaedro regular: poliedro regular las

caras del cual son veinte triángulos

equiláteros iguales

Poliedros irregulares: es un poliedro cuyas caras son polígonos no todos iguales.

Dos de las clases fundamentales de

los poliedros irregulares son

las pirámides y los prismas.

Práctica # 11. ¿Cómo se llaman los cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos?

2. Une el nombre con la imagen correspondiente

3. Une según corresponda:

4. Ordena la frase:

5. Ordena estas palabras para que tengan sentido:

6. Analiza y completa el número de caras, de aristas y de vértices:

7. realiza la actividad propuesta en link.

http://www.joaquincarrion.com/Recursosdidacticos/SEXTO/datos/03_Mates/datos/05_rdi/ud13/1/01.htm

ÁREA Y EL VOLUMEN DE CUALQUIER PRISMA

Ejemplo:

Hallar el área total y el volumen de un prisma triangular cuya base mide 10 x 43 y con una altura de 42 cm; si la altura el prisma mide 60 cm.

Solución:

Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras) que es el área coloreada.

Y ahora el área de las bases. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base es triangular; y después el resultado se multiplicará por 2 (ya que el prisma tiene dos bases iguales, en este caso, triángulos isósceles). Es el área coloreada.

Por último sumaremos los valores del área lateral y del área de las dos bases para obtener el área total del prisma triangular especificado.

Ahora obtenemos el volumen del prisma triangular sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del triángulo y multiplicando por la altura del poliedro.

Área y el volumen de cualquier pirámide

Ejemplo:

Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm.

Solución:

Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras triangulares) que es el área coloreada.

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular. Es el área coloreada.

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide cuadrangular especificada.

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide cuadrangular sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del cuadrado y multiplicando por la altura del poliedro.

Práctica # 21. Hallar el área total y el volumen de un prisma cuadrangular regular cuyo lado de la base mide 1.20 m y la altura de 4 m.

2. Hallar el área total y el volumen de un prisma cuadrangular irregular cuya base mide 38 cm por 21 cm y la altura del prisma es de 30 cm.

3. Calcula el total de los prismas con base regular, de acuerdo con las condiciones dadas.

a. base triangular de lado 5 cm

Altura del triángulo: 4,3 cm

Altura del prisma: 8,5 cm

b. base pentagonal de lado 4 cm

Apotema del pentágono: 0,27 dm

Altura del prisma: 0,12 m

4. Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular pentagonal cuya altura mide 3.20m, el lado de la base 0.87185m, el apotema del poliedro 3.25576m; y el apotema de la base 0.60m

4. Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular triangular cuyas medidas son las siguientes:

CUERPOS REDONDOS

Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos que tienen superficies curvas, tales como el cono, el cilindro y la esfera.

Área y volumen de los cuerpos redondos

Esfera

Cilindro

Cono

Práctica # 31. Indica si estos cuerpos geométricos son poliedros o cuerpos redondos

2. Responde

2. Realiza la actividad propuesta en el link.

http://www.primaria.librosvivos.net/archivosCMS/3/3/16/usuarios/103294/9/mate4_ud15_cilindrocono/frame_prim.swf

3. observa los siguientes cuerpos geométricos y escribe su número en la casilla correspondiente.

3. señala si es verdadero o falso.

3. halla el área y el volumen de los siguientes cuerpos redondos.

4. Halla el área de una superficie esférica de 8 cm de diámetro.

5. halla el volumen de la esfera si su radio es de 12.5 cm.

6. halla el área del cilindro si su diámetro es 12 cm y su altura 20 cm.

7.¿Cuál de las siguientes figuras tiene mayor volumen?

8. halla el área y el volumen de los siguientes cilindros

9. Halla el área del cono cuya generatriz mide 10 cm y radio 6 cm.

10. Halla el área y el volumen del siguiente cono.

Estadística es la ciencia de recoger, clasificar, describir y analizar datos numéricos que sirvan para deducir conclusiones y tomar decisiones de acuerdo con esos análisis.

Frecuencia absoluta es el número de veces que se repite un dato.

Frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos.

Porcentaje es la multiplicación de la frecuencia relativa por cien.

Al recoger la información obtenemos un gran número de datos que conviene presentar en forma resumida en una tabla llamada tabla de frecuencias.

Ejemplo:

Determinar la tabla de frecuencias de la información que se ha recogido en un curso de sexto grado sobre el deporte que practican. Los datos son:

Baloncesto, voleibol, voleibol baloncesto fútbol, voleibol fútbol, fútbol, fútbol baloncesto natación, baloncesto fútbol voleibol baloncesto natación, voleibol, fútbol, fútbol, fútbol.

Solución:

Frecuencia absoluta: Contamos las veces que se repite cada dato.

Deporte favorito

Frecuencia absoluta

Baloncesto 5Voleibol, 5Fútbol 8

Natación 2Total 20

Frecuencia relativa: dividimos la frecuencia absoluta en el número total de datos.

Deporte favorito

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Baloncesto 5 520

=0,25

Voleibol, 5 520

=0,25

Fútbol 8 820

=0,4

Natación 2 220

=0,1

Total 20 2020

=1

Porcentaje: Multiplicamos la frecuencia relativa por 100.

Deporte favorito

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

Baloncesto 5 520

=0,25 0,25×100=25%

Voleibol, 5 520

=0,25 0,25×100=25%

Fútbol 8 820

=0,4 0,4×100=40%

Natación 2 220

=0,1 0,1×100=10%

Total 20 2020

=1 1×100=100%

Para graficar se utiliza un histograma de frecuencias, en donde se ubican los datos de la frecuencia absoluta y la variable estudiada.

Baloncesto Voleibol, Fútbol Natación Total0

5

10

15

20

25

Deporte Favorito

Reglas generales para formas distribuciones de frecuencias para datos agrupados en intervalos

Cuando los datos contienen una gran cantidad de elementos, para facilitar los cálculos es necesario agruparlos, a estos grupos se los llama intervalos o clases. Un intervalo es una serie de números incluidos entre dos extremos, así por ejemplo, el intervalo 40 – 45 está formado por 40, 41, 42, 43, 44 y 45, siendo 40 el límite inferior, 45 el límite superior.

Las reglas generales para formas distribuciones de frecuencias para datos agrupados en intervalos son:

1. Calcule el Rango (R): Es la diferencia entre el valor mayor y el menor de los datos.

2. Seleccione el Número de Intervalos de Clase (ni): es la raíz cuadrada del numreo total de datos.

ni=√n

3. Calcule el Ancho del Intervalo (i): Se obtiene dividiendo el Rango para el número de intervalos

Ejemplo:

A 40 estudiantes se les pidió que estimen el número de horas que habrían dedicado a estudiar la semana pasada (tanto en clase como fuera de ella), obteniéndose los siguientes resultados:

36 30 47 60 32 35 40 5054 35 45 52 48 58 60 3832 35 56 48 30 55 49 3958 50 65 35 56 47 37 5658 50 47 58 55 39 58 45

Solución:1) Calculando el Rango se obtiene:

2) Calculando el número de intervalos se obtiene:

ni=√40=6.32=6

3) Calculando el ancho se obtiene:

Redondeando se obtiene: i = 6.

4) Realizando el conteo de datos que cae dentro de cada clase, calculando la marca de clase y las frecuencias se obtiene:

Clases f xm fr fa f% fra fra%

30-35 8(30+35)/2 =

32,50,2 8 20 0,2 20

36-41 6(36+41)/2 = 38,5

0,15 14 15 0,35 35

42-47 5(42+47)/2 =

44,50,125 19 12,5 0,475 47,5

48-53 7(48+53)/2 =

50,50,175 26 17,5 0,65 65

54-59 11(54+59)/2 =

56,50,275 37 27,5 0,925 92,5

60-65 3(60+65)/2 =

62,50,075 40 7,5 1 100

Total 40 1 100

Para mejor entendimiento revisar el link:https://www.youtube.com/watch?v=-ZnUSLlUj9A

Práctica # 4

1. Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

3, 35, 30, 37, 27, 31, 41, 20, 16, 26, 45, 37, 9, 41, 28, 21, 31, 35, 10, 26, 11, 34, 36, 12, 22, 17, 33, 43, 19, 48, 38, 25, 36, 32, 38, 28, 30, 36, 39, 40.

Construir la tabla de distribución de frecuencias.

2. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de en una prueba han sido:

15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.

Construir la tabla de distribución de frecuencias.

3. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:

3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.

Construir la tabla de distribución de frecuencias.

4. Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:

5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.

Construir la tabla de frecuencias para datos agrupados.

5. Los 40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones, sobre 50, en un examen de Física.

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 23, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

Construir la tabla de frecuencias para datos agrupados.

6. Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:

5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

Si el orden no importa, es una combinación.

Si el orden sí importa es una permutación.

En otras palabras,

Una combinación es un arreglo en donde el orden NO es importante.

Una permutación es una combinación ordenada.

Ejemplo de combinación:

Una persona tiene 3 camisetas y 2 pantalones. ¿De cuántas formas distintas puede combinar estas prendas?

Pantalón Pantalón

Camiseta Camiseta Camiseta Camiseta

Camiseta Camiseta

Un total de seis combinaciones.

Ejemplo de permutación:

Encontrar el número de formas en que se pueden ordenar las letras a, b, c.

Hay seis diferentes formas de ordenar tres letras y son las siguientes:

a b c a c b b a c

b c a c b a c a b

Un total de seis permutaciones

PROBABILIDAD

La probabilidad nos ayuda a entender lo que puede suceder.

Es una parte de las matemáticas en la que conocemos los posibles resultados, pero no podemos predecirlos con exactitud.

Probabilidad expresada en fracciones

Para calcular la probabilidad de que ocurra algo, divide el número de eventos entre las posibles opciones, por ejemplo:

Una moneda tiene 2 lados: cara y cruz. Si tiras la moneda al aire, la probabilidad

de que salga “cara” es 1 de 2 ó 12.

¿Por qué? Sólo hay 1 cara y 2 posibilidades en total.

Probabilidad expresada en un diagrama de árbol

Para ayudarte a resolver problemas de probabilidad, puedes hacer un listado de todos los posibles resultados de algo o un diagrama de árbol. Esto te ayuda a entender las posibilidades.

Por ejemplo:

Deseas anotar los resultados de tirar una moneda al aire. Usemos un diagrama de árbol para ayudarnos a descubrirlo.

Como ves, al final tendrás dos posibilidades.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que, al girar la flecha, se detenga en un número?

2. ¿Ana tiene 14 lápices con los siguientes colores?

Si Ana saca un lápiz al azar, ¿cuál es la probabilidad de que saque 1 lápiz de color violeta?

3. Un dado tiene 6 lados.

Cada lado tiene un número diferente: (1, 2, 3, 4, 5, 6). Si tiras el dado, la probabilidad de que salga un 5 es:

4. Tatiana tiene estas tarjetas en la mesa. Si Tatiana escoge una de ellas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la tarjeta tenga el número 3?

5. Deseas elegir los platos adecuados para la cena. Debes elegir entre platos hondos o planos, de color blanco o negro. ¿Cuántas combinaciones puedes hacer?

6. Deseas una pizza pequeña, mediana o grande. Puedes ponerle jamón o salami.¿Cuántos tipos distintos de pizza puedes hacer?

7. María Clara desea arreglar las mesas de su casa. Esta tabla muestra las

Práctica # 6

Monedasello

cara

opciones que María Clara tiene. ¿Cómo se representa?

8. Vas a salir y no sabes si te vas a poner una camisa con mangas o sin mangas. Además tienes 2 pantalones a escoger: cortos o largos. ¿Cuál diagrama de árbol representa todas las combinaciones?

9. ¿cuántas combinaciones puedes hacer?