CONCEPTOS BASICOS DE LA GEOMETRIA

El punto es el elemento geométrico más simple: no tiene tamaño, solo indica una posición. La idea de punto se puede entender como la marca que deja un lápiz afilado sobre una hoja de papel.

La recta está formada por una sucesión de puntos que se prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos.

El plano está conformado por un conjunto infinito de puntos y se prolonga en todas las direcciones. Una hoja de papel, una pared o el piso permite comprender la idea de

plano.

Segmento Parte de la recta que comprende dos puntos y los puntos que están entre ellos.

Semirrecta Parte de la recta que comprende un punto y los puntos que están en una dirección a partir de éste.

Ejemplo:

Determinar los puntos, rectas, planos, semirrectas y segmentos del grafico anterior.

Solución:

Los Puntos: E, C, D, F Y G.

Las Rectas: EC , ED , DC , FG

Los Planos: ECD, GFC

Los segmentos:EC , DC ,FC ,GC ,GF

Las semirrectas: CE , CD, CG , FG

Práctica # 1http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centros-tic/41009470/helvia/aula/archivos/repositorio/0/203/html/datos/05_rdi/U10/01.htm

RECTAS PARALELAS, SECANTES Y PERPENDICULARES

Dos rectas coplanares se pueden clasificar en paralelas, secantes o perpendiculares según si se intersecan o no, así:

Rectas paralelas: dos restas son paralelas si al prolongarse en ambas direcciones no se intersecan en ningún punto.

Rectas secantes: dos rectas son secantes si se intersecan en un solo punto.

Rectas perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si son secantes y forman ángulos rectos, es decir, ángulo 90º.

Ejemplo:

Determinar en cada plano si las rectas son paralelas, secantes o perpendiculares.

Solución:

En el plano E las rectas k y n son paralelas, porque no se intersecan en ningún punto.

En el plano F las rectas AB y CD son secantes, porque se intersecan en un punto.

Práctica # 2

Observa y resuelve

1. Determina 7 pares de rectas paralelas.

2. Determina 5 pares de rectas perpendiculares.

ÁNGULOS

Un ángulo está formado por la unión de dos semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirrectas corresponden al lado inicial y al lado final del ángulo, y el punto común es el vértice.

Según sus medidas

Práctica # 3De los siguientes gráficos indique si el ∢ es agudo, recto, obtuso o llano.

o 20º ↠ ........................................

o 36º ↠ ........................................

o 72º ↠ ........................................

o 100º ↠ ........................................

o 18º ↠ ........................................

o 90º ↠ ........................................

o 170º ↠ ........................................

o 115º ↠ ........................................

o 360º ↠ ........................................

o 180º ↠ ........................................

o 162º ↠ ........................................

o 180º ↠ ........................................

o 162º ↠ ........................................

o 90,5º ↠ ........................................

o 89,5º ↠ ........................................

o 0º ↠ ........................................

Según la suma de sus medidas

- Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º. Si ∢ A y ∢ B son complementarios, se dice que el ∢A es el complemento de ∢B y que ∢ B es el complemento de ∢ A.

Observa que: 35º + 55º = 90º

Los ángulos ∢AOB y ∢DEF son, por tanto, complementarios.

- Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º. Si ∢A y ∢B son suplementarios, se dice que el ∢ A es el suplemento de ∢B y que el ∢ A es el suplemento de ∢ A

Observa que: 135º + 45º =180º

Los ángulos ∢AOB y ∢ DEF son, por tanto, suplementarios.

Según su posición

- Consecutivos Tienen en común, solamente, el vértice y un lado.

∢1 y ∢ 2 son consecutivos.

- Adyacentes Son consecutivos, y los lados no comunes forman un ángulo llano.

∢1 y ∢2 son adyacentes.

- Opuesto por el vértice

Se forman a partir de dos rectas secantes

∢1 y ∢ 2 son opuestos por el vértice;

∢3 y ∢4 también lo son.

Ejemplo:

Observa la siguiente figura. Luego, determinar cuáles ángulos son consecutivos, cuales ángulos son

adyacentes y cuales opuestos por el vértice.

Solución:

Los ángulos ∢ 1 y ∢2, ∢3 y ∢2, ∢3 y∢4, ∢1 y ∢4 son ángulos consecutivos, porque tienen en común solamente el vértice y un lado. Además, son adyacentes por que forman un ángulo llano.

Los ángulos ∢1 y∢3, ∢2 y∢4, son opuestos por el vértice.

Se puede observar que los ángulos que son opuestos por el vértice no son adyacentes. Además, si se miden con un transportador cualquier par de ángulos opuestos por el vértice, se notara que siempre tienen la misma medida.

Práctica # 4

POLÍGONOS

Un polígono es una figura plana limitada por tres o más segmentos de tal forma que:

Como máximo dos segmentos se encuentran en un punto

Cada segmento toca exactamente a otros dos segmentos.

 

Partes de un polígono

De un polígono debes conocer los componentes siguientes:

Lados: son los segmentos que lo limitan.

Ángulos interiores: los que forman dos lados contiguos (color verde).

Vértices: los puntos donde coinciden dos lados.

Diagonales: las rectas que unen dos vértices que no sean consecutivos (color rojo).

Los polígonos se clasifican en:

Polígonos regulares:

Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en una circunferencia.

Poligonos irregulares:

Polígono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos en una circunferencia.

Triángulos

Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos

Los tres ángulos siempre suman 180°

Clasificación de triángulos según la medida de sus lados.

Triángulo equilátero

Tres lados igualesTres ángulos iguales, todos 60°

Triángulo isósceles

Dos lados igualesDos ángulos iguales

Triángulo escaleno

No hay lados igualesNo hay ángulos iguales

Clasificación de triángulos según la medida de sus lados.

Triángulo acutángulo

Todos los ángulos miden menos de 90°

Triángulo rectángulo

Tiene un ángulo recto (90°)

Triángulo obtusángulo

Tiene un ángulo mayor que 90°

CUADRILATEROS

El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados y cuatro vértices. Según las relaciones que se establecen entre sus lados y entre sus ángulos, pueden distinguirse tres tipos de cuadriláteros: paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Práctica # 51. Colorea y completa. El triángulo de amarillo, el pentágono de azul, el hexágono de rojo y el cuadrilátero de verde.

2. Une según corresponda.

3. Nombra los elementos del polígono ABCDEF

4. Calcula el número de diagonales de cada uno de los siguientes polígonos.

a. cuadrilátero

b. Nonágono

c. Hexágono

d. Dodecágono

5. Un polígono es una figura _____ que está limitada por líneas .

6. Los elementos de un polígono son: , vértices y __ .

7. De estas figuras señala cuáles son polígonos.

8. Dibuja las figuras que te nombro a continuación y dí el número de lados y de vértices que tiene cada una:

9. Los triángulos según sus lados pueden ser , ____ y .

10. Los triángulos según sus ángulos se llaman , y .

11. Coloca los cuadriláteros en el grupo que les corresponda según sus lados y sus ángulos.

12. Clasifica los cuadriláteros en paralelogramos o no paralelogramos.

13. clasifica los siguientes cuadriláteros

ESTADISTICA

Estadística es la ciencia de recoger, clasificar, describir y analizar datos numéricos que sirvan para deducir conclusiones y tomar decisiones de acuerdo con esos análisis.

Frecuencia absoluta es el número de veces que se repite un dato.

Frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos.

Porcentaje es la multiplicación de la frecuencia relativa por cien.

Al recoger la información obtenemos un gran número de datos que conviene presentar en forma resumida en una tabla llamada tabla de frecuencias.

Ejemplo:

Determinar la tabla de frecuencias de la información que se ha recogido en un curso de sexto grado sobre el deporte que practican. Los datos son:

Baloncesto, voleibol, voleibol baloncesto fútbol, voleibol fútbol, fútbol, fútbol baloncesto natación, baloncesto fútbol voleibol baloncesto natación, voleibol, fútbol, fútbol, fútbol.

Solución:

Frecuencia absoluta: Contamos las veces que se repite cada dato.

Deporte favorito

Frecuencia absoluta

Baloncesto 5

Voleibol, 5

Fútbol 8

Natación 2

Total 20

Frecuencia relativa: dividimos la frecuencia absoluta en el número total de datos.

Deporte favorito

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Baloncesto 5 520

=0,25

Voleibol, 5 520

=0,25

Fútbol 8 820

=0,4

Natación 2 220

=0,1

Total 20 2020

=1

Porcentaje: Multiplicamos la frecuencia relativa por 100.

Deporte favorito

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

Baloncesto 5 520

=0,25 0,25×100=25%

Voleibol, 5 520

=0,25 0,25×100=25%

Fútbol 8 820

=0,4 0,4×100=40%

Natación 2 220

=0,1 0,1×100=10%

Total 20 2020

=1 1×100=100%

Para graficar se utiliza un histograma de frecuencias, en donde se ubican los datos de la frecuencia absoluta y la variable estudiada.

Baloncesto Voleibol, Fútbol Natación Total0

5

10

15

20

25

Deporte Favorito

La media aritmética es la suma de todos los

datos dividida entre el número total de datos.

Se calculan dependiendo de cómo vengan

ordenados los datos.

 

Ejemplo:

¿Cuál es la media de las edades de Andrea y

sus primos?

 

 

La media aritmética de un grupo de datos se

calcula así: 

Se debe multiplicar cada dato con su

respectiva frecuencia, sumar todos estos

productos, y el resultado dividirlo por la suma

de los datos.

La moda de un conjunto de datos es el dato

que más veces se repite, es decir, aquel que

tiene mayor frecuencia absoluta. Se denota

por Mo. En caso de existir dos valores de la

variable que tengan la mayor frecuencia

absoluta, habría dos modas. Si no se repite

ningún valor, no existe moda.

Ejemplo:

Se ha anotado el número de hermanos que

tiene un grupo de amigos. Los datos

obtenidos son los siguientes:

 

Hermanos: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4

El dato que más se repite es el 1,  es el que

tiene mayor frecuencia absoluta (4 veces).

 

La moda del número de hermanos es 1

 

La mediana es el valor que ocupa el lugar

central entre todos los valores del conjunto de

datos, cuando estos están ordenados en

forma creciente o decreciente. 

La mediana se representa por  Me.

 

Calculo de la mediana:

 1° Ordenamos los datos de menor a mayor.

 - La mediana de un conjunto con un número

impar de datos es, una vez ordenados los

datos, el dato que ocupa el lugar central.

Ejemplo:

Calcular la mediana del conjunto de datos:

 

 

- También podemos usar la siguiente fórmula

para determinar la posición del dato central:

(n + 1) /2  = mediana datos impares.

 

 - La mediana de un conjunto con un número

par de datos es, una vez ordenados, la

media de los dos datos centrales.

Probabilidad

La probabilidad nos ayuda a entender lo que puede suceder.

Es una parte de las matemáticas en la que conocemos los posibles resultados, pero no podemos predecirlos con exactitud.

Probabilidad expresada en fracciones

Para calcular la probabilidad de que ocurra algo, divide el número de eventos entre las posibles opciones, por ejemplo:

Una moneda tiene 2 lados: cara y cruz. Si tiras la moneda al aire, la probabilidad

de que salga “cara” es 1 de 2 ó 12.

¿Por qué? Sólo hay 1 cara y 2 posibilidades en total.

Probabilidad expresada en un diagrama de árbol

Para ayudarte a resolver problemas de probabilidad, puedes hacer un listado de todos los posibles resultados de algo o un diagrama de árbol. Esto te ayuda a entender las posibilidades.

Por ejemplo:

Deseas anotar los resultados de tirar una moneda al aire. Usemos un diagrama de árbol para ayudarnos a descubrirlo.

Como ves, al final tendrás dos posibilidades.

1. Gina esta ordenando sus camisetas de la siguiente forma: amarilla, verde, roja, roja, azul, roja, verde, azul, amarilla, azul, verde, verde, amarilla, amarilla, azul, azul, verde, verde, azul, azul. Con estos datos rellena el cuadro.

Colores de las

camisetas

Amarilla

Roja Azulverd

e

Frecuencia

absolutas

Práctica # 6

Monedasello

cara

2. Rellena la siguiente tabla con los datos

de las personas que van a un balneario. Cincuenta personas van al sauna, setenta y cuatro personas van a la piscina, cuarenta utiliza la ducha de esencias y treinta y seis van a darse un masaje.

Sauna

Piscina

Ducha de esencias

Masaje

Frecuencia absoluta

50

Frecuencia relativa

0,2

3. En un restaurante italiano las raciones que más se sirven son: 20 pizzas, 30 espaguetis, 35 ensaladas y 15 canelones. Con estos datos rellena la tabla de frecuencias relativas.

4. Observa las tablas y expresa la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa en cada uno de los datos.

a)

b)

5. Realiza un diagrama que muestre la distribución de los estudiantes del colegio, con base en la siguiente información: la mitad pertenecen a bachillerato, la tercera parte a primaria y el resto a preescolar.

Si en el colegio hay 450 estudiantes.

a) ¿Cuántos están en bachillerato?b) ¿Cuántos son de primaria?c) ¿Cuántos niños del colegio están en

preescolard) ¿Qué porcentaje representan los

estudiantes del colegio que están en primaria?

e) ¿Qué porcentaje forman los estudiantes de preescolar y bachillerato juntos?

6. ¿Cuál es la probabilidad de que, al girar la flecha, se detenga en un número?

7. ¿Ana tiene 14 lápices con los siguientes colores?

espaguetis

ensaladas

pizzas

canelón

Frecuencia absoluta

30 35 20 15

Frecuencia relativa

Materia preferida

No. de estudiante

s

Matemáticas 9

Naturales 13

Español 8

Sociales 6

Color preferido

No. de estudiante

s

Verde 16

Azul 5

Rojo 12

blanco 2

Si Ana saca un lápiz al azar, ¿cuál es la probabilidad de que saque 1 lápiz de color violeta?

8. Un dado tiene 6 lados.

Cada lado tiene un número diferente: (1, 2, 3, 4, 5, 6). Si tiras el dado, la probabilidad de que salga un 5 es:

9. Tatiana tiene estas tarjetas en la mesa. Si Tatiana escoge una de ellas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la tarjeta tenga el número 3?

10. Completa la siguiente tabla.

11. Resuelve: