Embed Size (px)
Citation preview
Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui plan vectorial euclidian orientat (recapitulare)Clasicarea izometriilor unui plan euclidian
Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui spatiu liniar euclidian 3 dimensional orientat (recapitulare)Clasicarea izometriilor spatiului euclidian trei dimensional
Curs 5Clasicarea izometriilor planului E2 si spatiului E3
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu Curs 5
1 Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui plan vectorial
euclidian orientat (recapitulare)
2 Clasicarea izometriilor unui plan euclidian
3 Clasicarea transformarilor ortogonale ale unui spatiu liniar
euclidian 3 dimensional orientat (recapitulare)
4 Clasicarea izometriilor spatiului euclidian trei dimensional
Clasicarea aplicatiilor ortogonale ale lui(−→E 2, <,>
)
Fie E2 =(E ,−→E ,Φ
)un plan euclidian orientat. Dorim sa clasicam
izometriile sale.
Fie f : E → E o izometrie. In cursul anterior am demonstrat ca f
este un morsm an cu aplicatia liniara asociata ortogonala−→f ∈ O(
−→E ). De aceea consideram utila pentru intelegerea
izometriilor planului o recapitulare a clasicarii aplicatiilor
ortogonale ale lui−→E 2.
Amintim ca valorile proprii ale oricarei aplicatii ortogonale ale unui
spatiu liniar euclidian V sunt ±1.Intr-adevar, daca λ e valoare proprie a lui T ∈ O(V ), atunci pentruorice w ∈ V nenul are loc
< w , w >=< T (w),T (w) >=< λw , λw >= λ2 < w , w >.
Deoarece w 6= 0 rezulta ca λ2 = 1.
Transformarile ortogonale de specia I
Fie B =i , jo baza ortonormata pozitiva in
−→E . Deoarece
−→f este
ortogonala, rezulta ca ea pastreaza norma vectorilor si unghiul
dintre vectori, deci−→f (i),
−→f (j)
este tot o baza ortogonala in
−→E .
(1) Daca B ′ =−→f (i),
−→f (j)
este o baza pozitiva, demonstram ca
matricea lui−→f in raport cu baza B este
A =
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)∈ SO(2), θ = ]o
(i ,−→f (i)
).
Intr-adevar−→f (i) =<
−→f (i), i > i+ <
−→f (i), j > j =
(‖−→f (i) ‖‖ i ‖ cos θ
)i +(
‖−→f (i) ‖‖ j ‖ cos(π
2− θ)
)j = cos θi + sin θj . Analog
−→f (j) =
(‖−→f (j) ‖‖ i ‖ cos(π
2+ θ)
)i +(‖−→f (j) ‖‖ j ‖ cos θ
)j =
− sin θi + cos θj .Ecuatia caracteristica asociata lui A este λ2 − (2 cos θ)λ+ 1 = 0.
Observam ca ecuatia are solutii reale daca si numai daca θ = 0, sau
θ = π, caz in care−→f este aplicatia identica Id−→
E, respectiv −Id−→
E.
Pentru−→f 6= ±Id−→
E, ecuatia caracteristica nu are valori proprii reale.
Demonstram ca−→f este Rθ, rotatia geometrica de unghi orientat θ.
Fie v = v1 i + v2 j ∈−→E arbitrar. Deoarece
−→f este ortogonala,
rezulta ca ‖−→f (v) ‖=‖ v ‖. In plus,
−→f (v) = (v1 cos θ − v2 sin θ) i + (v1 sin θ + v2 cos θ) j , de unde
rezulta ca cos
(v ,−→f (v)
)= <v ,
−→f (v)>
‖v‖‖−→f (v)‖
=
v1(v1 cos θ−v2 sin θ)+v2(v1 sin θ+v2 cos θ)‖v‖2 = cos θ.
Analog sin
(v ,−→f (v)
)=
˛˛ v1 v1 cos θ − v2 sin θv2 v1 sin θ + v2 cos θ
˛˛
‖v‖‖−→f (v)‖
= sin θ, deci−→f
este rotatia de unghi θ.Evident Id−→
E= R0 si −Id−→
E= Rπ.
Aplicatii ortogonale de specia a II-a
(2) Daca Daca B ′ =−→f (i),
−→f (j)
este o baza negativa,
demonstram analog ca matricea lui−→f in raport cu baza B este
A =
(cos θ sin θsin θ − cos θ
), θ = ]o
(i ,−→f (i)
).
Ecuatia caracteristica asociata lui−→f este λ2 − 1 = 0, deci
−→f are
valorile proprii ±1. Fie u 6= 0 un vector propriu corespunzator
valorii proprii +1. Daca u = u1 i + u2 j , rezulta ca(cos θ sin θsin θ − cos θ
)(u1u2
)=
(u1u2
)⇔(cos θ − 1)u1 + sin θu2 =
0⇔(− sin θ
2u1 + cos θ
2u2)sin θ
2= 0.
Putem alege u = cos θ2i + sin θ
2j . Acest vector unitar este o baza in
subspatiul liniar U(1) al vectorilor proprii corespunzatori valorii
proprii +1.
Fie v un vector propriu unitar corespunzator valorii proprii −1.Deoarece A este o matrice simetrica rezulta ca
−→f este endomorsm
simetric. Stim ca vectorii proprii corespunzatori unor valori proprii
distincte ale unui endomorsm simetric sunt ortogonali.
Deci u, v este o baza ortonormata al lui−→E .
Deoarece−→f (u) = u si
−→f (v) = −v , rezulta ca
matricea aplicatiei ortogo-
nale de specia a doua−→f in
raport cu baza u, v este(1 0
0 −1
)
Pentru w = w1u + w2v arbitrar in−→E , rezulta−→
f (w) = w1u − w2v = Su(w), deci−→f este simetria ortogonala a
spatiului liniar euclidian orientat−→E fata de U(1) = [u].
In concluzie:
orice transformare ortogonala de specia I a planului vectorial
euclidian orientat−→E este o rotatie Rθ :
−→E →
−→E , cu cazul
particular Id−→E;
orice transformare ortogonala de specia a II-a a planului
vectorial euclidian orientat−→E este simetria ortogonala fata de
u, cu u vector propriu corespunzator valorii proprii +1.
Clasicarea izometriilor unui plan euclidian
Fie f : E → E o izometrie a planului euclidian orientat E si
R =O; i , j
un reper cartezian ortonormat pozitiv in E .
Amintim ca in raport cu R ecuatiile izometriei f se scriu matricial
X ′ = AX + B,
unde X =
(x
y
)sunt coordonatele unuie punct arbitrar P in
raport cu R, X ′ =
(x ′
y ′
)sunt coordonatele lui f (P) in raport cu
R, A ∈ O(2) si B =
(b1b2
).
Translatia
Incepem cu deplasarile, adica izometriile cu−→f aplicatii ortogonale
de specia I.
(A) Daca−→f = Id−→
E⇔ A = I2, atunci f este translatia de vector
b = b1 i + b2 j .
Ecuatiile translatiei tb in raport cu R suntx ′ = x + b1,
y ′ = y + b2.
Translatia tb are puncte xe daca si numai daca b = 0⇔f = IdE .
Rotatia de centru Ω si unghi orientat θ
(B) Daca−→f = Rθ este rotatia lui
−→E de unghi orientat θ 6= 0,
atunci matricea lui−→f in raport cu baza
i , jeste
A =
(cos θ − sin θsin θ cos θ
), deci ecuatiile lui f sunt:
x ′ = x cos θ − y sin θ + b1,
y ′ = x sin θ + y cos θ + b2.
Studiem punctele xe ale acestei izometrii. Punand conditiile x ′ = x si
y ′ = y rezulta
(1− cos θ)x + (sin θ)y = b1,
−(sin θ)x + (1− cos θ)y = b2.Determinantul matricii
sistemului este 2(1− cos θ) 6= 0 pentru θ 6= 0. Deci sistemul are solutie
unica (x0, y0). Rezulta
(1− cos θ)x0 + (sin θ)y0 = b1,
−(sin θ)x0 + (1− cos θ)y0 = b2.
Deci ecuatiile lui f suntx ′ = (x − x0) cos θ − (y − y0) sin θ + x0,
y ′ = (x − x0) sin θ + (y − y0) cos θ + y0,
sau, matricial
X ′ = A (X − X0) + X0,
unde X0 e matricea coloana a coordonatelor punctului x. Notam
acest punct x cu Ω.
Izometria obtinuta se numeste rotatia de centru Ω si unghi
orientat θ.
Simetria centrala
Observam ca rotatia de centru Ω si unghi π coincide cu simetria
fata de punctul Ω:
SΩ = RΩ,π.
Daca Ω(x0, y0) in raport cu reperul R, rezulta ca ecuatiile simetriei
centrale SΩ sunt x ′ = 2x0 − x ,
y ′ = 2y0 − y .
Antideplasarile planului euclidian
(C) Daca−→f = Su este simetria ortogonala a lui
−→E fata de u, cu
−→f (u) = u , am vazut ca este mai usor sa lucram cu baza u, v,unde
−→f (v) = −v . Deci matricea lui
−→f in raport cu baza u, v
este A′ =
(1 0
0 −1
).
In raport cu reperul R′ = O; u, v, obtinut din R printr-o rotatie
de unghi θ2, ecuatiile izometriei f sunt:
x ′ = x + b1,
y ′ = −y + b2.
Mentionam ca, pentru simplitatea scrierii, am notat coordonatele
punctelor in raport cu noul reper in acelasi mod.
Simetria ortogonala axiala
Studiem punctele xe ale lui f . Observam ca x ′ = x si y ′ = y daca
si numai daca
b1 = 0,
y = b22.
(C1) Daca b1 = 0 izometria f are in raport cu R′ ecuatiilex ′ = x ,
y ′ = −y + b2.
In acest caz dreapta d de ecuatie y = b22
(in raport cu R′) este xa
punct cu punct.
Deci f = Sd este simetria ortogonala a planului E2 fata de
dreapta d .
Remarcam ca directia dreptei d este un vector propriu al lui−→f
corespunzator valorii proprii +1.
Simetria alunecata
(C2) Daca b1 6= 0 izometria f nu are puncte xe. Observam ca
f = tw Sd este compunerea dintre simetria ortogonala fata de
dreapta d si translatia de vector w = b1u ∈−→d :
(x , y) Sd−−→ (x ,−y + b2) tw−−→ (x + b1,−y + b2)
In literatura de specialitate in limba romana nu exista o denumire
consacrata pentru aceasta izometrie, dar o putem numi simetrie
alunecata (in engleza: glide reexion).
Ecuatiile simetriei ortogonale axiale in raport cu RDe obicei dorim sa scriem ecuatiile simetriei ortogonale a planului
E2 fata de o dreapta d care are in raport cu un reper ortonormat
R =O; i , j
ecuatia generala
ax + by + c = 0, a2 + b2 > 0.
Deducem ca N(a, b) este un vector normal dreptei d .
Daca P(x , y) si Sd (P) = P ′(x ′, y ′), impunand conditiile−−→PP ′ ‖ N si
1
2P + 1
2P ′ ∈ d , obtinem
x ′ − x
a=
y ′ − y
ba
2
(x + x ′
)+
b
2
(y + y ′
)+ c = 0.
Din aceste conditii rezulta
Sπ :
x ′ = x − 2a(ax+by+c)
a2+b2,
y ′ = y − 2b(ax+by+c)a2+b2
.
Concluzie
Am obtinut urmatoarea clasicare a izometriilor unui plan euclidian
orientat:
deplasarile:
translatia de vector arotatia de centru Ω si unghi orientat θ
antideplasarile:
simetria ortogonala fata de o dreapta d
compunerea dintre simetria ortogonala fata de o dreapta d si otranslatie de vector cu aceeasi directie cu dreapta d
Concluzie
Clasicarea transformarilor ortogonale ale lui(−→E 3, <,>
)
Pentru a studia izometriile unui spatiu an euclidian 3-dimensional
incepem cu clasicarea transformarilor ortogonale ale unui spatiu
liniar euclidian orientat de dimensiune trei.
Fie−→f :−→E 3 →
−→E 3 o aplicatie ortogonala arbitrara.
Vom face clasicarea in functie de dimensiunea spatiului liniar al
vectorilor proprii ai lui−→f corespunzatori valorii proprii +1.
Notam cu U := U(1) =u ∈−→E |
−→f (u) = u
.
(1) DacadimU = 3 rezulta ca orice vector nenul al lui−→E este
vector propriu corespunzator valorii proprii +1, deci−→f (u) = u, ∀u ∈
−→E . Rezulta ca
−→f = Id−→
E.
(2) Presupunem ca dimU = 2.
Fie u1, u2 o baza ortonormata a lui U si v ∈ U⊥ un vector unitar
‖ v ‖= 1. Altfel spus U⊥ = [v ].
Demonstram ca v este vector propriu al lui−→f corespunzator valorii
proprii −1. Mai intai aratam ca−→f (v) ∈ U⊥. Fie u ∈ U un vector
arbitrar. Rezulta ca <−→f (v), u >=<
−→f (v),
−→f (u) >=< v , u >= 0,
deci−→f (v) ∈ U⊥ = [v ]. Atunci ∃λ ∈ R astfel incat
−→f (v) = λv .
Deci v este vector propriu corespunzator valorii proprii λ. Daca
presupunem ca λ = 1 ar rezulta ca u1, u2, u sunt vectori liniar
independenti ai lui U, in contradictie cu ipoteza dimU = 2. Deci
λ = −1 si−→f (v) = −v .
Consideram baza ortonormata B = v , u1, u2, cu−→f (ui ) = ui , i ∈ 1, 2 si
−→f (v) = −v . Deci matricea lui
−→f in
raport cu baza B este
A =
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
Rezulta ca
−→f este simetria ortogonala a lui
−→E fata de U.
Intr-adevar, daca w = w1 + w2 cu w1 = PrU w = α1u1 + α2u2 si
w2 = PrU⊥w = βv , rezulta ca−→f (w) = −βv + α1u1 + α2u2 =
w2 − w1 =(2PrU − Id−→
E
)(w) = SU(w).
(3) Presupunem ca dimU = 1.
Fie u un vector unitar al lui U si v1, v2 o baza ortonormata in
U⊥. Deoarece dimU⊥ = 2 si restrictia aplicatiei−→f la U⊥ este tot
ortogonala, rezulta din clasicarea transformarilor ortogonale ale
unui plan vectorial euclidian ca−→f |U⊥ este IdU⊥ , o rotatie a lui U⊥
sau o simetrie ortogonala a lui U⊥ fata de un vector. Daca−→f |U⊥
ar aplicatia identica sau o simetrie ortogonala, atunci ea ar
admite vectori proprii corespunzatori valorii proprii +1, imposibil
deoarece dimU = 1.
Deci−→f |U⊥ e o rotatie (de unghi θ) si matricea lui
−→f in raport cu
baza ortonormata u, v1, v2 este 1 0 0
0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
.
Am obtinut astfel ca−→f este rotatia lui
−→E in jurul lui u de unghi θ.
Observam ca rotatia in jurul lui u de unghi π este simetria
ortogonala fata de u: Ru,π = Su.
(4) DacadimU = 0, rezulta ca−→f nu are vectori prorii
corespunzatori valorii proprii +1. Cum polinomul caracteristic al lui−→f este un polinom de grad trei cu coecienti reali, el are cel putin
o radacina reala. Deoarece singurele valori proprii ale aplicatiilor
ortogonale sunt ±1, rezulta ca −1 e valoare proprie a lui−→f .
Fie v un vector propriu unitar corespunzator valorii proprii −1,−→f (v) = −v si W = [v ]⊥. Fie w1, w2 o baza ortonormata in W .
Se demonstreaza in mod analog ca restrictia lui−→f la W este o
rotatie, deci matricea lui−→f in raport cu baza v , w1, w2 este −1 0 0
0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
=
1 0 0
0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
deci−→f = Rv ,θ SW . Am obtinut astfel o compunere dintre
simetria ortogonala fata de W si o rotatie in jurul lui v , v ⊥W .
Concluzie
Deci aplicatiile ortogonale ale lui−→E 3 sunt:
de specia I:
Id−→E
Ru,θ rotatia in jurul unui vector nenul u, de unghi orientat θ
de specia a II-a:
simetria ortogonala fata de un plan vectorial SURv ,θ SW , cu W un plan vectorial si v ⊥W
Clasicarea izometriilor spatiului euclidian orientat E3
Fie f : E → E o izometrie a spatiului euclidian orientat E si
R =O; i , j , k
un reper cartezian ortonormat pozitiv in E .
Amintim ca in raport cu R ecuatiile izometriei f se scriu matricial
X ′ = AX + B,
unde X =
x
y
z
sunt coordonatele unuie punct arbitrar P in
raport cu R, X ′ =
x ′
y ′
z ′
sunt coordonatele lui f (P) in raport cu
R, A ∈ O(3) si B =
b1b2b3
.
Translatia
(A) Daca−→f = Id−→
E⇔ A = I3 rezulta ca f = tb, unde
b = b1 i + b2 j + b3k . Ecuatiile translatiei in raport cu R sunt:x ′ = x + b1,
y ′ = y + b2,
z ′ = z + b3.
Translatia tb are puncte xe daca si numai daca b = 0.
(B) Daca exista o baza ortonormata v , u1, u2 in raport cu care
matricea aplicatiei liniare asociate sa e
A′ =
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
atunci−→f este simetria ortogonala in raport cu U = [u1, u2] si
ecuatiile lui f in raport cu R′ = O; v , u1, u2 sunt x ′
y ′
z ′
=
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
y
z
+
b1b2b3
⇔x ′ = −x + b1,
y ′ = y + b2,
z ′ = z + b3.
Simetria ortogonala fata de un plan
Punctul P(x , y , z) este punct x al lui f daca si numai dacax = b1
2,
b2 = 0,
b3 = 0.
(B1) Daca b2 = b3 = 0, atunci toate punctele planului π ce are in
raport cu R′ ecuatia x = b12
sunt xe pentru f . In acest caz f este
simetria ortogonala fata de π si are in raport cu R′ ecuatiilex ′ = −x + b1,
y ′ = y ,
z ′ = z .
Observam ca −→π este subspatiul vectorilor proprii ai lui A′
corespunzatori valorii proprii +1.
Simetria alunecata
(B2) Daca b2 6= 0 sau b3 6= 0, atunci izometria f este compunerea
dintre o simetrie ortogonala fata de un plan π si o translatie de
vector a ∈ −→π . Mai exact f = ta Sπ, a = b2u1 + b3u2, unde
Sπ :
x ′ = −x + b1,
y ′ = y ,
z ′ = z ,
ta :
x ′′ = x ′,
y ′′ = y ′ + b2,
z ′′ = z ′ + b3.
In acest caz f nu are puncte xe. Putem sa numim aceasta
izometrie simetrie ortogonala alunecata.
Daca dorim sa scriem ecuatiile simetriei ortogonale Sπ in raport cu
un reper ortonormat arbitrar R, atunci cand se da ecuatia generala
a lui π, procedam astfel.
Presupunem ca planul are ecuatia π : ax1 + bx2 + cx3 + d = 0.
Rezulta ca un vector normal lui −→π este N(a, b, c). DacaP(x1, x2, x3) si Sd (P) = P ′(y1, y2, y3), impunand conditiile−−→PP ′ ‖ N si 1
2P + 1
2P ′ ∈ π, obtinem
y1 − x1
a=
y2 − x2
b=
y3 − x3
c,
a
2
(x1 + y1
)+
b
2
(x2 + y2
)+
c
2
(x3 + y3
)+ d = 0.
Din aceste conditii rezulta
Sπ :
y1 = x1 − 2a(ax1+bx2+cx3+d)
a2+b2+c2,
y2 = x2 − 2b(ax1+bx2+cx3+d)a2+b2+c2
,
y3 = x2 − 2c(ax1+bx2+cx3+d)a2+b2+c2
.
(C) Daca exista o baza ortonormata u, v1, v2 in raport cu care
matricea aplicatiei liniare asociate sa e
A′ =
1 0 0
0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
, θ 6= 0,
atunci ecuatiile izometriei f in raport cu R′ = O; u, v1, v2 suntx ′ = x + b1,
y ′ = y cos θ − z sin θ + b2,
z ′ = y sin θ + z cos θ + b3.
Rotatia in jurul dreptei d de unghi orientat θPunctul P(x , y , z) este x pentru f daca si numai daca
b1 = 0,
y cos θ − z sin θ + b2 = y ,
y sin θ + z cos θ + b3 = z .
Sistemul format din ultimele doua ecuatii are solutie unica, e aceasta(y0, z0) (sunt coordonatele centrului unei rotatii de unghi θ din planulO + [v1, v2]).(C1) Daca b1 = 0 observam ca orice punct care in raport cu R′ arecoordonatele P(x , y0, z0) este x pentru f . Deci f are o dreapta depuncte xe, avand directia u, care este un vector propriu al lui A′
corespunzator valorii proprii +1.Izometria f este in acest caz rotatia in jurul dreptei d de unghi orientat
θ, notata Rd,θ. Ecuatiile lui d sunt
y = y0,
z = z0.
Ecuatiile rotatiei Rd,θ suntx ′ = x ,
y ′ = y cos θ − z sin θ + b2,
z ′ = y sin θ + z cos θ + b3.
Simetria ortogonala axiala
Observam ca rotatia in jurul dreptei d de unghi orientat π este
simetria ortogonala fata de dreapta d . In raport cu R′ ea are
ecuatiile x ′ = x ,
y ′ = −y + b2,
z ′ = −z + b3,
matricea aplicatiei liniare asociate in raport cu baza u, v1, v2 ind 1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
.
Rototranslatia (miscare elicoidala)
(C2) Daca b1 6= 0 izometria f nu are puncte xe. Ea se poate scrie
sub forma ta Rd ,θ, cu a = b1u ∈−→d , deci este compunerea intre o
rotatie in jurul unei drepte d , de unghi θ si o translatie de vector
paralel cu d :
Rd ,θ :
x ′ = x ,
y ′ = y cos θ − z sin θ + b2,
z ′ = y sin θ + z cos θ + b3,
ta :
x ′′ = x ′ + b1,
y ′′ = y ′,
z ′′ = z ′.
Numim o astfel de izometrie rototranslatie sau deplasare elicoidala.
Rotosimetria (simetrie rotativa)
(D) Daca exista o baza ortonormata v , w1, w2 in raport cu care
matricea aplicatiei liniare asociate sa e
A′ =
−1 0 0
0 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
, θ 6= 0,
atunci ecuatiile lui f in raport cu R′ = O; v , w1, w2 suntx ′ = −x + b1,
y ′ = y cos θ − z sin θ + b2,
z ′ = y sin θ + z cos θ + b3.
Aceasta izometrie are un singur punct x, care are in raport cu R′coordonatele P(b1
2, y0, z0), cu (y0, z0) centrul rotatiei din planul
O + [w1, w2] data de ultimele doua ecuatii ale sistemului de mai sus.
Aceasta izometrie este f = Rδ,θ Sπ, deci compunerea dintre o
simetrie ortogonala fata de un plan π de ecuatie x = b12
(−→π = [w1, w2]) si o rotatie in jurul unei drepte δ, (−→δ = [v ]) de
unghi θ, cu δ ⊥ π:
Sπ :
x ′ = −x + b1,
y ′ = y ,
z ′ = z ,
Rδ,θ :
x ′′ = x ′,
y ′′ = y ′ cos θ − z ′ sin θ + b2,
z ′′ = y ′ sin θ + z ′ cos θ + b3.
Numim aceasta izometrie o rotosimetrie.
Concluzie
Am obtinut astfel urmatoarele izometrii ale lui E3:
deplasari:
translatiarotatia in jurul unei drepte d , de unghi orientat θ, cu cazulparticular θ = π cand obtinem simetria ortogonala fata dedreapta d
rototranslatia (miscare elicoidala): ta Rd,θ, a ∈−→d
antideplasari:
simetria ortogonala fata de un plan Sπsimetria alunecata ta Sπ, a ∈ −→πrotosimetria Rδ,θ Sπ, δ ⊥ π
