Curs Msrrch

8/19/2019 Curs Msrrch

1/126

MODELAREA SI

SIMULAREA REACTIILOR SI

REACTOARELOR CHIMICE


2/126

CUPRINS

Introducere ............................................................................................ 4

1. Noţiuni generale de modelare matematică a proceselor chimice ......... 6

1.1. Obiectul, importanţa şi utilizările modelării matematice în ingineriachimică ..................................................................................................................... 9

1.2. Terminologie. Reprezentarea simbolică a modelului matematic .................... 11

1.3. Etape în elaborarea modelului matematic ...................................................... 20

1.4. Clasificarea modelelor matematice ................................................................. 24

2. Modele analitice ............................................................................... 29

2.1. Ecuaţia de conservare a masei totale .............................................................. 33

2.2. Ecuaţia de conservare a masei componenţilor ............................................... 35

2.3. Ecuaţia de conservare a energiei .................................................................... 38

2.4. Ecuaţia de conservare a impulsului ................................................................ 44

2.5. Exemple de modele matematice analitice ale sistemelor chimice ................. 49

3. Modele empirice ............................................................................... 83

3.1. Tipuri de modele empirice .............................................................................. 84

3.2. Etapele elaborării modelelor empirice ........................................................... 85

3.3. Variabile aleatoare; repartiţii .......................................................................... 88

3.4. Repartiţia normală (Gauss Laplace) .............................................................. 93

3.5. Populaţii şi probe statistice ............................................................................. 96

3.6. Intervale de încredere ..................................................................................... 98

3.7. Estimarea parametrilor modelelor empirice ................................................ 103

4. Simularea proceselor cu calculatorul .............................................. 127

4.1. Soluţionarea numerică a ecuaţiilor neliniare ................................................ 129

4.2. Integrarea numericã a ecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii .......................... 142


3/126

5. Optimizarea proceselor chimice ...................................................... 153

5.1. Formularea generalã a unei probleme de optim ............................................ 154

5.2. Natura variabilelor ........................................................................................ 160

5.3. Alegerea variabilelor de decizie ..................................................................... 161

5.4. Restricţii. Domenii admisibile de căutare ..................................................... 162

5.5. Criterii de optimizare ..................................................................................... 170

5.6. Tipuri de funcţii obiectiv şi proprietăţi mai importante ale acestora ........... 172

5.7. Condiţii necesare şi suficiente pentru optim în interiorul domeniuluiadmisibil ............................................................................................................... 177

5.8. Metode de căutare a optimului ..................................................................... 180

5.9. Metode analitice clasice ................................................................................ 182

5.10. Metode directe de căutare a optimului ........................................................ 192

5.11. Metode de programare .................................................................................. 212

Bibliografie ........................................................................................ 233


4/126

4

INTRODUCERE Apariţia şi dezvoltarea calculatoarelor electronice a determinat

accentuarea în ultimele decenii, a preocupărilor pentru analiza ştiinţifică pe bază de model matematic, a proceselor din toate domeniile vieţii materiale şisociale. Importanţa modelării matematice în ingineria chimică rezidă tocmai înposibilitatea de a descrie pe această cale, în mod adecvat şi cât mai precis,procesele ce au loc în diferite componente ale unei instalaţii chimice şi de aextrage cât mai multe informaţii din datele disponibile asupra unui sistem dat.

Alegerea succesiunii modelare-simulare-optimizare nu este

întâmplătoare, aceasta reprezentând una din direcţiile de valorificare amodelării matematice a proceselor chimice cu cea mai largă şi eficientăutilizare.

Dezvoltarea tehnicii automate de calcul în cercetarea, dezvoltarea şiconducerea proceselor chimice a luat în ultima vreme o amploare deosebită.

În paralel cu perfecţionarea sistemelor automate de calcul s-au obţinutprogrese importante şi în domeniul modelării matematice a diferitelor sistemechimice. De calitatea acestora depinde în primul rând succesul şi eficienţaeconomică a utilizării calculatoarelor electronice în proiectarea sau conducereaproceselor industriale.

Modelarea matematică a proceselor chimice şi utilizarea modelelor laproiectarea sau conducerea optimală a acestora sunt activităţi complexe în caresunt antrenaţi specialişti din diverse domenii, sarcina principală în cadrulacestor activităţi revine însă inginerilor chimişti deoarece, aceştia cunosc celmai bine procesul şi ca atare sunt singurii în măsură să elaboreze cel maipotrivit model matematic al acestuia în raport cu scopul urmărit şi cu dateledisponibile.

În această notă, lucrarea de faţă propune o abordare practică şipragmatică a cunoaşterii principiilor de bază ce guvernează lumea modelăriimatematice a proceselor chimice. Lucrarea se adresează în primul rândstudenţilor specializărilor Informatică Industrială, şi Inginerie chimică înrafinării şi petrochimie, asistată de calculator ale Universităţii Petrol – Gazedin Ploieşti precum şi tuturor celor care manifestă un interes deosebit pentrudomeniile modelării, simulării şi optimizării proceselor chimice. Pentruuşurarea înţelegerii, capitolele lucrării sunt structurate în două părţi: primaeste dedicată aspectelor teoretice, care este completată firesc, cu o a doua partecare include exemple specifice proceselor chimice.


5/126

Introducere

5


6/126

6

1. NOŢIUNI GENERALE DE MODELARE A

PROCESELOR CHIMICE

1.1. Obiectul, importanţa şi utilizările modelăriimatematice în ingineria chimică

Activitatea de inginerie chimică, desf ăşurată pe multiple planuri,urmăreşte în ultimă instanţă rezolvarea problemelor legate de dezvoltarea deprocese industriale noi şi de conducere eficientă a celor existente. Acestesarcini ale ingineriei chimice, indiferent la care din cele două domenii deactivitate se referă, nu pot fi îndeplinite cu succes fără a cunoaşte cât maiprecis interdependenţa dintre variabilele ce guvernează desf ăşurareaprocesului, astfel încât să se poată prevedea răspunsul sistemului analizat laorice modificare a mărimilor de care depinde evoluţia acestuia.

Cunoaşterea dependenţei dintre variabilele unui proces chimic serealizează printr-o activitate complexă, ce îmbină experimentarea procesului

pe instalaţii de obicei la scară redusă, cu aplicarea unor principii sau legifundamentale ale operaţiilor unitare de transfer de masă, energie şi moment.

Instalaţia sau aparatul pe care se experimentează un proces în scopuldeterminării interdependenţelor dintre variabile constituie un model fizic alinstalaţiei, respectiv al aparatului industrial. Pe astfel de modele fizice sesimulează procesul, urmărindu-se obţinerea de informaţii privind influenţadiferiţilor factori, de operare sau geometrici, constructivi, asupra performanţeiprocesului.

Informaţiile obţinute prin modelarea fizică nu pot fi utilizate însă direct,ca atare, pentru a prezice performanţa procesului la scară industrială, întrucâtfenomenele fizico-chimice decurg cu viteze şi după reguli ce depind de anumitemărimi fizice care în general sunt diferite la model faţă de prototip (aparatulindustrial). Este suficient să menţionăm, de exemplu, viteza liniară a unui fluidprintr-o secţiune oarecare a aparatului (un tu b al unui schimbător de căldură,un reactor etc.) ca mărime ce diferă în general de la model la prototip şi de caredepinde viteza fenomenelor de transfer de masă şi de energie.

Chiar dacă rezultatele experienţelor de simulare pe modele fizice nuconţin ef ectele scării (simulare pe modele la scară industrială), utilizarea lorpentru a prezice performanţa procesului la valori ale mărimilor de operare,


7/126

Capitolul 1. Noţiuni generale de modelare matematică a proceselor chimice

7

altele decât cele investigate în simulare, nu este posibilă decât dacă se dispunede o lege sau un sistem de legi ce exprimă legatura, dependenţa, dintrediferitele mărimi ale procesului, permiţând astfel prezicerea stării procesului

în orice condiţii de operare. Exprimarea dependenţei dintre variabile se poate face în mai multe

moduri: prin expresii matematice de tipul ecuaţie sau inecuaţie, prin diagrame,tabele sau chiar prin subrutine de calcul prezentate sub forma unui program pecalculator, sau numai sub forma algoritmului propriu-zis.

Indiferent sub ce formă se exprimă relaţiile dintre variabilele procesului,această exprimare constituie ceea ce se numeşte modelul matematic alprocesului. Prin urmare, modelarea matematică reprezintă exprimareaformală, printr-un ansamblu de relaţii matematice sau reguli, a

interdependenţei dintre variabilele unui proces real. Acest act nu constituie ceva nou în ştiinţă sau tehnică, nici măcar nu este

propriu omului de ştiinţă. Orice fiinţă vie există, supravieţuieşte, tocmaidatorită modelului (imaginii) de care dispune asupra mediului înconjurător şia relaţiilor sale cu mediul, model ce îi permite să acţioneze în mod adecvatdiferitelor stări ale mediului.

Ceea ce a determinat însă accentuarea în ultimele decenii a preocupărilorpentru analiza ştiinţifică, pe bază de model matematic, a proceselor din toatedomeniile vieţii materiale şi sociale, este apariţia şi extinderea calculatoarelor

electronice, ce dispun de capacitatea de rezolvare în timp util a modelelormatematice dintre cele mai complexe, graţie vitezei lor de calculimpresionante.

Importanţa modelării matematice în ingineria chimică rezidă tocmai înposibilitatea de a descrie pe această cale în mod adecvat şi cât mai precisprocesele ce au loc în diferite componente ale unei instalaţii chimice şi de aextrage cât mai multe informaţii din datele disponibile asupra unui sistem dat.

Modelarea matematică a devenit astăzi principalul instrument de lucrupentru analiza, conducerea automată şi proiectarea proceselor tehnologice dinindustria chimică. Utilizările ei sunt multiple şi se referă la următoareledomenii mai importante:

1) Cercetarea şi dezvoltarea tehnologică. Modelarea matematică este indispensabilă în exprimarea cineticii proceselor chimice. Prin modelare,datele experimentale obţinute în instalaţii de laborator, micropilot sau pilot,conduc la ecuaţii ce exprimă dependenţa vitezelor de reacţie ale procesuluichimic în funcţie de variabilele sistemului reactant (compoziţie, presiune,temperatură). De asemenea, modelarea matematică permite obţinerea derelaţii adecvate pentru ridicarea la scară a datelor experimentale, utilizându-se

în acest scop corolariile teoriei similitudinii sistemelor.


8/126


8

2) Proiectarea tehnologică. Modelul matematic permite odimensionare cât mai exactă a utilajelor instalaţiei chimice şi în acelaşi timpexplorarea unui număr mare de variante, de ipoteze de lucru, oferind astfelprin simulare pe calculator posibilitatea de alegere a celei mai favorabile

variante de operare, a alternativei optime de automatizare a procesului,evitându-se stările de instabilitate sau de evoluţie periculoasă a procesului.Proiectarea asistată de calculator-CAD (Computer Aided Design)-nu este doaro expresie la modă; ea indică faptul că utilizarea calculatorului electronic laproiectarea instalaţiilor industriale este astăzi o practică obişnuită.

3) Operarea instalaţiilor . Dispunând de modelul matematic alprocesului, operarea instalaţiei industriale se poate efectua în condiţii sporitede siguranţă, deciziile luate de operator în urma unor variaţii semnificative alemărimilor de intrare fiind bine justificate, cu efecte prev izibile înainte ca

acestea să se producă efectiv. Perfecţionarea proceselor tehnologice înfuncţiune prin optimizarea regimului de operare, imperativ de mareimportanţă în condiţiile crizei energetice actuale, constituie de asemenea undomeniu de aplicare a modelării matematice în operarea instalaţiilor.

În ultimul timp, conducerea proceselor cu calculatorul a devenit opractică frecvent utilizată în industria chimică, calculatoarele de procespreluând o bună parte din atribuţiile decizionale ale operatorului chimist.

1.2. Terminologie. Reprezentarea simbolică a modeluluimatematic

În modelarea matematică se utilizează o serie de termeni, noţiuni sauconcepte de mare circulaţie, ceea ce necesită, încă de la început, o succintă prezentare a semnificaţiei acestora.

Noţiunile de bază sunt acelea de sistem şi proces, entităţi asupra cărorase exercită în fond acţiunea de modelare matematică.

Sistemul desemnează un ansamblu de elemente interdependente,

formând un întreg organizat, cu caracteristici bine definite în ceea ce priveştecirculaţia fluxurilor materiale, energetice sau/şi de informaţie şi carefuncţionează conform unui scop prestabilit.

Această definiţie are în vedere atât sistemele din natură (sistememateriale), cât şi cele social-politice.

Sistemele materiale conţin ca elemente componente diverse forme dematerie: corpuri, particule elementare, energie radiantă, între care se exercită interacţiuni. În funcţie de natura interacţiunilor, sistemele materiale pot fisisteme mecanice, electrice, chimice etc.


9/126


9

Aşa cum se defineşte în termodinamică, un sistem material reprezintă o parte a Universului, bine delimitată, fie prin frontiere naturale fie mental,supusă cercetării la un moment dat.

Restul Universului, sau naturii, care înconjoară sistemul considerat,constituie mediul înconjurator .

Această definiţie, cu o sferă foarte largă a noţiunii de sistem, satisface pedeplin scopul şi procedeele de bază ale modelării matematice a diverselorsisteme materiale. În acelaşi timp însă, în această accepţiune un sistem poatefi foarte mic ca întindere, de exemplu un singur atom dintr-o substanţă, dar şifoarte mare, de exemplu întreaga industrie chimică a unei ţări.

Pentru sistemele mari şi foarte mari, analiza acestora ca un tot în vedereamodelării matematice este de cele mai multe ori imposibilă, de aceea esteconvenabil să se dividă sistemul în părţi componente, care se analizează şi se

modelează separat.Modelul matematic al întregului sistem va rezulta printr-o “sintez ă” a

modelelor componente, adecvată legăturilor dintre părţile sistemului. Aceste părţi componente ale sistemului poartă denumirea de

subsisteme. De exemplu, un taler de fracţionare este un subsistem al sistemului

“coloană de fracţionare” , un schimbător de caldură este un subsistem alsistemului “instalaţie de distilare atmosferică a ţiţeiului ” etc.

Se observ ă că delimitarea între noţiunea de sistem şi cea de subsistemeste oarecum arbitrară, depinzând de obiectul concret al analizei la un

moment dat. Astfel, atunci când obiectul modelării îl constituie coloana defracţionare dintr-o instalaţie de prelucrare, sistemul este coloana defracţionare, iar subsistemele acesteia sunt talerele coloanei. Atunci când obiectul modelării îl constituie întreaga instalaţie, aceasta este sistemul,coloana de fracţionare fiind un subsistem al instalaţiei.

Mai trebuie menţionat faptul că subsistemele nu reprezintă în modobligatoriu părţi fizice concrete ale unui sistem. Ele pot fi doar imaginireprezentând în acest caz elemente fictive, abstracte ale sistemului. Deexemplu, modelul matematic al unui reactor tubular poate fi obţinut prinanaliza separată a unui număr foarte mare de reactoare continue cu

amestecare perfectă legate în serie. Deci, în analiza sistemului “reactortubular”, acesta a fost divizat într-un număr oarecare de subsisteme„reactoare cu amestecare perfectă”, acestea fiind elemente fictive de dataaceasta, f ără corespondenţă în realitatea fizică.

Starea sistemului reprezintă ansamblul proprietăţilor ce definescsituaţia în care se află sistemul la un moment dat, atât ca structură internă câtşi în raport cu condiţiile externe (intensitatea gravitaţiei, câmpul electric saumagnetic etc.). Starea se exprimă cu ajutorul unor mărimi, denumiteparametri sau variabile de stare, dintre care unele sunt proprii sistemului şi senumesc parametri interni (compoziţia, presiunea, temperatura, volumul) iar


10/126


10

altele definesc condiţiile externe şi se numesc parametri externi (intensitateacâmpului gravitaţional, a câmpului electric sau a celui magnetic).

În analiza unui sistem material, acesta este localizat precis în spaţiu şi

în raport cu corpurile exterioare, astfel încât parametrii externi sunt ficşi. Deaceea, starea sistemului se exprimă în general numai prin parametri interni,proprii sistemului. Aceştia pot fi intensivi, ce nu depind de masa sistemului(presiunea, temperatura, concentraţia), sau extensivi, ale căror valori suntproporţionale cu masa sistemului (volumul, energia).

Între unele din mărimile de stare există relaţii, cunoscute sub denumireade ecuaţii de stare, astfel încât pentru prezicerea stării sistemului estesuficient să cunoaştem numai o parte din numărul total al variabilelor destare. Celelalte rezultă prin rezolvarea ecuaţiilor de stare.

Numărul minim al variabilelor de stare necesare pentru definireacompletă a sistemului poartă denumirea de grad de libertate sauvarianţă. El este egal cu diferenţa dintre numărul total al variabilelor destare şi numărul relaţiilor independente dintre acestea.

Pentru caracterizarea intensivă a unui sistem, conţinând F faze şi C componenţi, este bine cunoscută din termodinamică relaţia ce exprimă aşanumita lege a fazelor:

F C L 2 (1.1)

în care L este numărul gradelor de libertate pentru caracterizarea intensiv ă asistemului (numărul minim de parametri intensivi ce trebuie cunoscuţi pentrua defini complet sistemul din punct de vedere intensiv).

Pentru caracterizarea extensivă a sistemului, numărul gradelor delibertate creşte cu o unitate pentru fiecare fază a sistemului astfel încât relaţia(1.1) se modifică corespunzător [31].

2 C L (1.2)

Într-adev ăr, pentru un sistem conţinând o singură fază şi N componenţieste suficient să se cunoască N+1 parametri intensivi (de exemplu presiunea,temperatura şi concentraţiile a N-1 componenţi pentru a defini completsistemul din punct de vedere intensiv, întrucât pentru fiecare component, atât

în fază gaz, cât şi în fază lichid, se poate scrie câte o relaţie între temperatură,presiune şi densitate, de unde rezultă şi concentraţia componentului N ,respectiv densitatea totală a amestecului de componenţi.

În schimb, determinarea volumului, respectiv a masei sistemuluiconsiderat necesită precizarea în plus a încă unui parametru de stare, fie


11/126


11

intensiv (de exemplu concentraţia componentului N ), fie extensiv (numărultotal de moli).

În legatură cu starea unui sistem, o importanţă deosebită în modelareamatematică prezintă noţiunile de stare staţionară şi st are de tranziţie (nestaţionară, dinamică).

Starea staţionară corespunde regimului de funcţionare a sistemului în care evoluţia în timp a acestuia este determinată exclusiv de cauze externe(mărimi aplicate la intrare în sistem). Prin faptul că modul de variaţie amărimilor de ieşire din sistem este în acest caz impus din afară (nu depinde destructura fizică a sistemului şi de starea lui iniţială), regimul acesta defuncţionare a sistemului se numeşte regim forţat [31].

Pentru sisteme stabile, noţiunile de regim forţat, permanent saustaţionar sunt practic echivalente.

În regim staţionar, forma de variaţie a mărimii de ieşire este aceeaşi cuaceea a mărimii de intrare (componenta liber ă a răspunsului, rezultat alcauzelor interne, s-a anulat).

În funcţie de modul de variaţie în timp a intrărilor, pot exista diversetipuri de regimuri (stări) staţionare: constante, dacă intrările sunt constante

în timp, liniare, dacă intrările variază liniar în timp (după o funcţie rampă)sau sinusoidale, dacă intrările variază după o funcţie sinusoidală cuamplitudine constantă.

Cum în mod obişnuit procesele tehnologice continue sunt operate la valori constante ale parametrilor de lucru (intrările sunt constante în timp),

de cele mai multe ori prin starea sau regimul staţionar al sistemului sesubînţelege regimul staţionar constant , în care toate variabilele de staresunt constante în timp (nu se iau în considerare fluctuaţiile întâmplătoare,necontrolabile ale acestora).

Dacă unui sistem aflat în regim staţionar i se modifică la un moment datintrarea (fie forma de variaţie în timp a acesteia, fie valoarea unui parametrual funcţiei de variaţie–de exemplu amplitudinea funcţiei sinusoidale),sistemul va ieşi din vechiul regim staţionar şi va tinde către altul nou,corespunzător mărimii de intrare modificate.

Până la atingerea noului regim staţionar, sistemul se va afla într-un regim

tranzitoriu, denumit şi regim dinamic. Deci, starea tranzitorie (nestaţionară, dinamică) a unui sistem este aceea corespunzătoare regimuluide funcţionare dintre două regimuri staţionare consecutive.

Studiul stărilor nestaţionare ale sistemelor face obiectul unei disciplinede foarte mare importanţă în conducerea proceselor tehnologice, denumită dinamica proceselor .

Prin proces, noţiune asociată aceleia de sistem, se înţelege otransformare de orice natură prin care sistemul trece dintr-o stare, numită stare iniţială, în altă stare, denumită finală.


12/126


12

Definiţia aceasta conferă deci o generalitate mai mare noţiunii de proces în general, decât aceleia de proces tehnologic, prin care desemnăm de regulă ansamblul operaţiilor prin care se realizează transformarea unei materii

prime sau material în cadrul unei instalaţii de prelucrare. Întrucât analiza unui sistem se face întotdeauna în directă legătură cu

procesul care are loc în cadrul acestuia, de cele mai multe ori distincţia dintrecele două noţiuni (sistem–proces) îşi pierde din semnificaţie, expresiile„modelarea (sau simularea) procesului” şi „modelarea (sau simularea)sistemului” fiind practic echivalente.

Noţiunea de model matematic a fost deja definită în paragrafulprecedent. În esenţă, modelul constituie exprimarea matematică a procesului(sistemului). Această exprimare se realizează simbolic prin ecuaţii, tabele,grafice, subrutine de calcul etc., în care mărimile fizico-chimice ale procesului

modelat reprezentate prin simboluri se împart, după scopul modelării, înurmătoarele categorii:

a) Variabile independente. Acestea sunt reprezentate prin mărimile cepot fi variate la alegere, în mod independent, în cursul unui experiment realsau simulat. Pentru majoritatea sistemelor chimice, exprimate prin modeleanalitice, varibilele independente ale acestora sunt timpul şi coordonatelespaţiale ale sistemului. În schimb, variabilele independente ale unui modelempiric de tipul intrare-ieşire sunt reprezentate prin unele variabile de starecorespunzatoare, de regulă fluxurile de intrare în sistem ca: temperatură,presiune, concentraţii, etc.

b)

Variabile dependente. Sunt acelea ale căror valori variază în funcţiede valorile variabilelor independente. Ele reprezintă efectul în relaţia cauză-efect exprimată simbolic într-un model matematic.

Pentru totalitatea variabilelor dependente se mai utilizează şi termenulde “r ăspuns” al modelului (sau sistemului).

Mărimile fizice ale procesului ce îndeplinesc în model funcţia de variabiledependente sunt de regulă principalele mărimi de stare: concentraţii,temperatură, presiune, care într-un model empiric se referă la fluxurile deieşire din sistem.

c) Parametri. Aceştia reprezintă mărimile constante în cursul unui

experiment. Valorile lor pot însa să varieze în experimente diferite.

De obicei, într-un model matematic grupul parametrilor este cel mainumeros dintre cele trei categorii de mărimi. El cuprinde în general mărimilereferitoare la caracteristicile geometrice ale sistemului (dimensiunile globaleale unor aparate sau repere, detalii privind structura internă a sistemului etc.),la caracteristicile fizico-chimice şi hidrodinamice ale fluidelor (debite,densităţi, vâscozităţi, călduri specifice, coeficienţi de transfer de masă şicăldură, constante de viteză de reacţie, călduri de reacţie etc), precum şi la

valori iniţiale sau la limită ale variabilelor dependente (de exemplu,


13/126


13

temperatura fluidului la intrare într-un sistem în flux continuu, concentraţiainiţială de cocs pe catalizator într-un proces de ardere a cocsului de pecatalizator etc).

Este instructiv ă exemplificarea modului în care se grupează şi seintercondiţionează variabilele unui sistem în cadrul modelului matematic alacestuia, cu ajutorul aşa-numitului bloc de flux informaţional , care, încazul general al unui sistem oarecare, nespecificat, se prezintă ca în figura 1-1.

.

.

.

.

.

.

m x

x

x

2

1

X

……...

n

2

1

p 21

, X F

Fig.1-1. Bloc de flux informaţional pentru un sistem oarecare.

X reprezintă vectorul variabilelor independente, adică tabelul ceconţine toate variabilele independente ale modelului, β este vectorul parametrilor , iar η –vectorul variabilelor dependente .

Aceşti vectori se reprezintă, de regulă, ca vectori coloană:

; X F

m x

x

x

X

.

.

.

2

1

;

p

.

.

.

2

1

;

n

.

.

.

2

1

.

Se constată că variabilele independente şi parametrii modeluluicorespund mărimilor de intrare în sistem, iar variabilele dependentecorespund mărimilor de ieşire.


14/126


14

Este important de subliniat că vectorul η al variabilelor dependente alemodelului (răspunsul modelului) nu este identic cu vectorul corespunzator Y al

variabilelor de ieşire din sistem, variabile observate experimental.

Diferenţa iii y se numeşte eroare şi se datorează atât impreciziei(neadecvanţei) modelului cât şi erorilor experimentale întâmplătoare cu caresunt obţinute valorile observate y i.

Funcţia vectorială F(X, β) s-a utilizat pentru exprimarea compactă amodelului matematic, indiferent de structura acestuia. Ei îi corespund cele nfuncţii scalare ηi =f i (X, β ); i=1,2,…,n.

Pentru un sistem dat, cu un model matematic specificat, încadrarea uneimărimi în una din cele trei categorii (variabile dependente, variabile

independente sau parametri) trebuie facută în concordanţă cu scopul în careeste utilizat modelul matematic, forma concretă a acestuia şi metoda accesibilă pentru soluţionare.

În acest sens, aceeaşi mărime a sistemului poate avea funcţia de variabilă independentă într-o situaţie dată şi aceea de parametru sau chiar variabilă dependentă, într-o altă situaţie.

Pentru ilustrare, se va considera următorul exemplu: o reacţie chimică deordinul unu A →B are loc într-un reactor continuu tubular de volum V,alimentat cu un debit volumic de fluid Q (constant în întreg volumulreactorului), concentraţia reactantului în alimentare fiind egală cu C A0.Temperatura se consideră constantă în întreg volumul reactorului, egală cu T.Constanta vitezei de reacţie variază în funcţie de temperatură conform ecuaţiei

de tip Arrhenius RT E

Ak

exp (valorile factorului preexponential A şi aleenergiei de activare E sunt cunoscute, R fiind constanta gazelor cu valoarea1,987 cal/mol K).

Dacă se doreşte prezicerea concentraţiei reactantului A la ieşire din reactor,C A, în funcţie de mărimile specificate V , Q, C A0, T , acestea din urmă suntmărimi de intrare, iar C A-mărimea de ieşire a sistemului considerat (fig.1-2.).

A E R

Q, CA0 Q, CAV, T

V

Q

C A0

T

C A),,,( 0 T C QV f C A A

Fig.1-2. Reactor tubular cu blocul de flux informaţional asociat


15/126


15

Modelul matematic al acestui sistem în regim staţionar, neglijând variaţiaradială a concentraţiei (curgere de tip piston), este următorul:

RT

E

A A AQ

V C C expexp0 .

(1.3)

Aşa cum s-a pus problema, C A este în mod evident variabila dependentă amodelului, iar A, E şi R sunt în mod cert parametri. Acest model este explicit înraport cu variabila dependentă. Dintre cele patru mărimi rămase C A0, V, Q, şiT , care sunt variabile independente şi care sunt parametri? Răspunsul laaceastă întrebare depinde de situaţia concretă ce trebuie rezolvată şi înconcordanţă cu aceasta de modul cum se utilizează modelul pentru prezicerea(simularea) concentratiei C A.

Astfel, dacă reactorul există şi nu se preconizează modificări constructiveale acestuia, V va fi întotdeauna parametru; dacă interesează în primul rândefectul temperaturii asupra concentraţiei C A, pentru un set de valori date aledebitului şi concentraţiei iniţiale, atunci temperatura va fi variabilaindependentă iar debitul şi concentraţia iniţiala vor fi parametri. Rolurileacestora se pot însă schimba, dacă se urmăreşte în primul rând, de exemplu,

efectul debitului de alimentare asupra concentraţiei de ieşire. În acest caz Q vafi variabila independentă, iar V, T şi C A0 parametri.

Mai interesant este cazul în care modelul matematic se utilizează laproiectarea reactorului şi prin urmare se urmăreşte calcularea volumului V înfuncţie de temperatura de reacţie T , pentru un set de valori date ale debituluiQ, astfel încât să se obţină întotdeauna o valoare impusă a raportului C A /C A0,ce reprezintă fracţia netransformată din reactantul A.

După modul cum se rezolv ă această problemă, în concordanţă şi cuexpresia modelului matematic, se disting următoarele cazuri, în care V este pe

rând variabilă dependentă, variabilă independentă, parametru:a) Modelul se aduce la o formă explicită în V şi se rezolvă în funcţie de T ,pentru valori date ale parametrilor A, E/R, Q şi C A /C A0.

Aceasta este calea cea mai directă pentru calcul şi se recomandă ori decâte ori explicitarea analitică este posibilă.

Pentru sistemul considerat, expresia modelului devine

)/exp(ln0

RT E C

C

A

QV

A

A .

(1.4)


16/126


16

Atunci când explicitarea nu este posibilă, rămân următoarele alternative:

b) Modelul de forma C A /C A0=f(V), cu V ca variabilă independentă, se rezolv ă

pentru valori date ale parametrilor: A, E/R, Q şi T ; Această cale se utilizează întotdeauna când modelul este exprimat printr-o

ecuaţie diferenţială ),/()/(

0

0 T C C f dV

C C d A A

A A , ce nu poate fi integrată analitic.

c) Modelul de forma C A /C A0=f(T), cu T ca variabilă independentă, se rezolv ă pentru valori date ale parametrilor A, E/R, Q şi V .

Atunci când modelul este exprimat printr-o ecuaţie algebrică implicită înV , se poate utiliza oricare din alternativele b sau c.

Cele trei cazuri sunt reprezentate în fig. 1-3, atât prin blocuri de fluxinformaţional adecvate, cât şi prin diagrame calitative ale soluţiei modeluluimatematic.

T

A E/R Q C A/C A0

T V RT E

A

A eC

C

A

QV

0

ln

V

Q=ct

impus A

A

A

A

C

C ct

C

C

00

A E/R Q C A/C A0

V

Q=ct

T=ct

T

V C A/C A0

V eQ

A

C

C RT

E

A

A exp

0

T1

T2

T3(CA/C A0)impus

T1


17/126


17

Fig.1-3. Variante de exprimare a modelului matematic pentru reactorul tubular izoterm cu

curgere piston în care are loc reacţia de ordinul unu B A k

1.3. Etape în elaborarea modelului matematic

Utilizarea modelării matematice în cercetare, proiectare şi operareaproceselor chimice acoperă analiza principalelor operaţii unitare din ingineriachimică: transferul de impuls (curgerea fluidelor), transferul de masă,transferul de caldură, cinetica chimică, dinamica şi automatizarea procesului.

Adesea, modelul matematic al unui proces chimic cuprinde toate acesteoperaţii. Elaborarea acestuia necesită parcurgerea următoarelor etape:

1. Inspectarea procesului şi definirea problemei

În această etapă se stabileşte un obiectiv clar al analizei pe baza următoarelorcriterii:

- natura sistemului fizic ce urmează a fi modelat;

- direcţiile de utilizare a modelului matematic;

- gradul de complexitate ce se doreşte în descrierea fenomenelor;

- posibilităţile de care se dispune pentru testarea modelului (calitatea şicantitatea datelor disponibile).

Evident, aceste criterii nu sunt total independente. De exemplu,complexitatea descrierii fenomenelor fizico-chimice este funcţie de utilizareamodelului matematic, dar şi de calitatea şi numărul datelor disponibilepentru testarea modelului.

2. Analiza teoretică a sistemului

Prin aceasta se defineşte teoria care guvernează fenomenele caracteristiceprocesului modelat. De regulă, teoria este disponibilă din literatura despecialitate. În cazul în care aceasta nu există, se formulează diverse ipotezeprivind mecanismul procesului, urmând ca acestea să fie verificate cu dateexperimentale.

Din punctul de vedere al gradului de cunoaştere apriori a sistemelor ceurmează a fi modelate, se deosebesc următoarele cazuri:

a. Principiile fizico-chimice care stau la baza fenomenelor ce guvernează procesul se cunosc cu suficientă precizie, astfel încât modelul matematicrezultă direct prin exprimarea matematică a acestor principii. În ingineria


18/126


18

chimică, astfel de modele sunt frecvente şi sunt cunoscute sub denumirea demodele ale fenomenelor de transport. Ele sunt expresia legilor de conservare amasei, energiei şi impulsului.

Cu toate că formularea acestor modele este posibilă direct, ele conţinaproape întotdeauna şi parametri necunoscuţi, ce urmează a se determina dindate experimentale culese asupra sistemului studiat. Este cazul, de exemplu, alunor proprietăţi fizice ale fluidelor de lucru, sau al parametrilor de viteză (cinetici) a reacţiilor chimice.

b. Nu se cunoaşte aproape nimic despre sistemul modelat, adică despremecanismul, eventual şi natura fenomenelor ce determină procesul. Avem de-aface în acest caz cu sisteme de tipul “cutie neagră”(black box). Modelul va fielaborat numai pe baza observaţiilor făcute pe sistemul în cauză şi de regulă este de tip intrare-ieşire, adică un model statistic ce corelează mărimile deieşire (răspunsul sistemului) cu cele de intrare, pe baza unui număr mare deobservaţii experimentale, fără a căuta explicaţia acestor dependenţe pe bazamecanismului intim al procesului.c. Există anumite informaţii asupra naturii fenomenelor ce determină procesul, dar nu suficiente pentru a exprima în mod satisfăcător dependenţadintre variabile. Cazul acestora este intermediar între cele două extrememenţionate şi reprezintă probabil situaţia cea mai des întâlnită în analizasistemelor reale. Strategia urmată în modelarea matematică a unor astfel desisteme include de obicei luarea în considerare a mai multor modele probabileşi confruntarea acestora cu date experimentale pentru a opta în final pentru“cel mai bun” model.

3. Exprimarea matematică a sistemelor printr-un număr necesar şisuficient de ecuaţii (formularea modelului matematic)

În această etapă trebuie avute în vedere următoarele două aspecte:

a.

În formularea modelului este necesar întotdeauna să se facă uncompromis între descrierea riguroasă a fenomenelor, conducând la un modelcomplicat ce necesită timp mare pentru elaborare şi soluţionare şi uşurinţa cu

care se obţine şi se utilizează un model mai puţin riguros. Acest compromistrebuie să aibă ca rezultat un model atât de complex cât permit mijloacele decalcul disponibile.

b. După formularea modelului este recomandabil să se facă o verificare aconsistenţei matematice şi dimensionale a acestuia. Prin aceasta se înţelege

verificarea dacă modelul matematic este unic determinat, adică dacă numărul variabilelor este egal cu numărul ecuaţiilor independente, iar, pe de altă parte, verificarea dacă fiecare ecuaţie este omogenă dimensional (toţi termenii suntexprimaţi în aceleaşi unităţi de măsură).


19/126


19

4.

Determinarea valorilor numerice ale parametrilor modelului

Se impune mai întâi o inventariere a tuturor parametrilor şi gruparea lor în următoarele categorii:

a. Parametri ale căror valori sunt fixate sau rezultă din datele problemei. Aceştia constituie mărimile ale căror valori sunt v ariate într-un procedeu desimulare a procesului, iar în cazul unei probleme de optimizare sunt de obicei

variabile de decizie (ale căror valori optime sunt căutate). Ca exemplu se potda: debitul de fluid în sistem sau într-o componentă a sistemului, temperatura

fluidului la intrare în sistem, presiunea de lucru, diametrul tuburilor unuischimbător de căldură etc. b. Parametri ce reprezintă anumite caracteristici fizice ale fluxurilormateriale şi urmează a se determina prin analize de laborator sau prin corelare

în funcţie de alte proprietăţi cunoscute. c. Parametri ce necesită un studiu experimental propriu datorită specificităţii acestora în raport cu fenomenul căruia îi aparţin. Ca exempluclasic se menţionează parametrii cinetici ai reacţiilor chimice (constante de

viteză, ordine de reacţie etc.)

5.

Soluţionarea modelului matematic

După formularea modelului matematic şi determinarea valorilor tuturorparametrilor se trece la calcularea soluţiilor. Pentru aceasta trebuie aleasă metoda de rezolvare. În funcţie de natura şi complexitatea ecuaţiilor modeluluimatematic, metodele de rezolvare pot fi analitice sau numerice.

Metodele analitice au în general o aplicabilitate redusă în ingineriachimică, datorită gradului ridicat de complexitate a modelelor matematice aleproceselor chimice. Ele se pretează numai la rezolvarea unor modele liniare, deregulă explicite în raport cu variabilele independente.

Metodele numerice sunt astăzi utilizate aproape exclusiv la rezolvareamodelelor matematice, cu precădere a celor neliniare.

Dificultatea utilizării acestor metode, legată de timpul de calcul, a fostredusă considerabil prin utilizarea calculatoarelor electronice şi prinelaborarea, de către firme specializate, a unor subrutine, pachete de programe,utilizabile la rezolvarea unor modele tipice, întâlnite frecvent în diverse ramuriale ingineriei (de exemplul pentru integrarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale,rezolvarea sistemelor de ecuaţii algebrice liniare, a problemelor de programareliniară etc.)


20/126


20

În alcătuirea algoritmului de rezolvare a modelului matematic cereprezintă un sistem fizic, de mare importanţă pentru obţinerea de soluţiiconvergente şi stabile este “ordonarea ecuaţiilor”. Prin aceasta se înţelegearanjarea “naturală” a ecuaţiilor, stabilindu-se un flux raţional al acestora, înconcordanţă cu succesiunea firească de tip cauză-efect a proceselor dinsistemul modelat.

Acest mod de dispunere a algoritmului are şi avantajul că oferă o imagineclară a mecanismului procesului, dezv ăluind mai bine relaţiile dintre variabile.

Spre exemplificare, se propune alcătuirea unui algoritm pentru calculareadistanţei x , parcurse de un corp de masă m (constantă sau variabilă) subacţiunea unei forţe F (constantă sau variabilă) ce acţionează asupra corpuluiun timp dat, t .

Modelul matematic al acestei probleme rezultă direct din legea conserv ăriiimpulsului si definiţia vitezei liniare a corpului:

F mvdt

d )(

(1.5)

v

dt

dx

(1.6)

Dacă s-ar scrie acest model sub forma unei singure ecuaţii

F dt

dxm

dt

d )( ,

aceasta conduce la ecuaţia de ordinul doi

F dt

dm

dt

dx

dt

xd

m 2

2

.

mult mai greu de rezolvat şi de pus în corespondenţă cu sensul fizic alproblemei. De aceea, este recomandabil să se utilizeze un algoritm în caresuccesiunea etapelor de calcul să urmărească succesiunea naturală cauză-efect;care în cazul problemei date se traduce prin: forţa→ variaţia impulsului;

viteză→ variaţia distanţei, aşa cum exprimă cele două ecuaţii de ordinul întâi,(1.5) , (1.6), în ordinea în care sunt scrise.

Un astfel de algoritm este prezentat în fig.1-4. Diverse alte exemple deacest fel se găsesc în [20].


21/126


21

(mv) v

F m

xt

vdt x0

m

mvv

t

Fdt mv0

Fig. 1-4. Schema logică pentru calcularea distanţei x prin integrarea

ecuaţiei de conservare a impulsului.

6. Evaluarea modelului matematic

Această etapă se referă la compararea soluţiilor modelului cu dateexperimentale.

În acest scop se simulează procesul pe calculator cu ajutorul modeluluimatematic şi se confruntă datele simulate cu cele obţinute experimental înaceleaşi condiţii de operare (pentru aceleaşi valori ale parametrilor). Se obţinastfel informaţii asupra preciziei cu care modelul aproximează sistemul fizicmodelat.

Aceste informaţii sunt folosite ca argument pentru acceptarea modelului, în cazul unei bune concordanţe, sau pentru perfecţionarea acestuia, atunci

când precizia modelui nu satisface exigenţa cerută în domeniul în care acestaeste utilizat.

1.4. Clasificarea modelelor matematice

În modelarea sistemelor chimice se utilizează diverse tipuri de modelematematice, ce diferă prin natura şi forma ecuaţiilor, modul de obţinere a

acestora (în concordanţă cu mecanismul intim al procesului sau empiric),natura variabilelor (continue sau discrete), modul în care se reflectă în model

variaţia întâmplătoare a unor variabile sau parametri etc. O clasificare estedeci utilă, mai ales din punct de vedere didactic, pentru a facilita înţelegereacorespondenţei sistem fizic-model şi, legată de aceasta, opţiunea pentru unmodel adecvat naturii sistemului a cărui complexitate nu depăşeşteposibilităţile de calcul în timp util a soluţiilor.

Diversitatea modelelor matematice necesită clasificarea acestora înfuncţie de câteva criterii mai importante. Astfel, după modul de elaborare a


22/126


22

modelului, se diferenţiază două mari criterii de modele: modele analitice şimodele empirice.

Modelele analitice sunt elaborate prin exprimarea matematică aprincipiilor fizico-chimice de bază ce guvernează desf ăşurarea procesului.Formularea şi utilizarea unor astfel de modele este deci condiţionată decunoaşterea acestor principii.

Din fericire, nivelul actual de cunoaştere în ingineria chimică, ordonareaacestor cunoştinte pe grupe de fenomene comune majorităţii operaţiilor dintr-o instalaţie chimică (operaţii unitare), fac posibilă analiza, pe bazaacestor principii fundamentale a marii majorităţi a sistemelor chimice (coloanede fracţionare, schimbătoare de căldură, cuptoare, reactoare etc.)

Structura de bază a modelelor analitice o constituie ecuaţiile deconservare a masei (totale şi pe componenţi), energiei şi impulsului, denumiteşi ecuaţii de bilanţ. Acestea sunt completate de obicei cu alte ecuaţii: de stare,de echilibru (chimic şi/sau interfazic), etc.

Ecuaţiile de conservare în forma lor cea mai generală conţin patru variabile independente respectiv timpul şi cele trei coordonate spaţiale alesistemului.

Astfel de sisteme, pentru care variaţia spaţială a variabilelor dependente(concentraţii, temperatură, presiune) nu poate fi ignorată, se mai numescsisteme cu parametri distribuiţi.

Pentru acestea, dacă variabilele sunt continue, ecuaţiile de conservare înregim nestaţionar sunt ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale.

În regim staţionar, ecuaţiile de conservare pot fi reduse la ecuaţiidiferenţiale ordinare numai dacă se reduce numărul de coordonate spaţiale launa singură.

Există totuşi sisteme pentru care variaţia spaţială a variabilelordependente se poate neglija, astfel încât singura variabilă independentă rămâne timpul. Aceste sisteme, denumite sisteme cu parametriconcentraţi, vor fi deci descrise matematic cu ecuaţii diferenţiale ordinare în

regim nestaţionar respectiv cu ecuaţii algebrice (sau transcendente) în regimstaţionar.

Exemple tipice pentru cele două categorii de sisteme sunt:

- sisteme cu parametri distribuiţi: reactoare continue tubulare,schimbătoare de căldură, serpentina unui cuptor tubular;

- sisteme cu parametri concentraţi: vas (reactor) cu amestecareperfectă, un taler al unei coloane de fracţionare.


23/126


23

Modelele empirice sunt elaborate f ără a ţine seama de mecanismulprocesului, ci prin simpla corelare a interdependenţelor observateexperimental între variabile. Aceste modele conţin una sau mai multe ecuaţii

empirice (atâtea ecuaţii câte variabile dependente conţine sistemul), ceexprimă dependenţa dintre variabilele dependente şi cele independente:

),( X f ii ; i = 1,2,…,n,

unde:

n este numărul variabilelor dependente;

X – vectorul variabilelor independente;

β – vectorul parametrilor.

Funcţiile f i (X,β) sunt exprimate de obicei prin polinoame, utilizându-semai rar şi alte expresii algebrice (exponenţiale, logaritmice etc).

Parametrii modelelor empirice sunt estimaţi din date experimentale, înurma aşa-numitei analize de regresie.

Spre deosebire de modelele analitice, modelele empirice au avantajul că sunt mult mai simple, obţinerea răspunsului pentru un set de date de intrareavând loc într-un timp foarte scurt (pe calculator), ceea ce le face atractive maiales în conducerea proceselor cu calculatorul sau în optimizarea unor sisteme complicate. Aplicabilitatea modelelor empirice este totuşi limitată la domeniulde valori ale variabilelor independente investigat în etapa de elaborare. Cu altecuvinte, modelele empirice nu sunt extrapolabile pentru situaţii noi, ce nu se

încadrează în sfera programului experimental asociat analizei de regresie.

În domeniul ingineriei chimice, modelarea empirică se utilizează cuprecădere în asociaţie cu modelarea analitică, de exemplu la estimareaecuaţiilor de dependenţă a unor parametri ai modelului analitic în funcţie de

variabilele de stare ale sistemului (ecuaţii de viteză de reacţie, ecuaţii de variaţie a unor proprietăţi fizice în funcţie de temperatură şi presiune etc.)

De asemenea, în cazul unor modele analitice complicate, ce urmează a seutiliza la optimizarea procesului sau la conducerea acestuia cu calculatorul, se

obişnuieşte înlocuirea modelului analitic cu unul empiric, a cărui soluţionarepe calculator necesită un timp de calcul extrem de scurt. Avantajul timpuluiredus de răspuns în conducerea procesului este evident. Pe de altă parte, înoptimizare, apelarea modelului matematic se face de un număr mare de ori,ceea ce poate conduce la un timp de calcul prohibitiv în cazul modelelorcomplexe.

În toate aceste cazuri se recomandă ca obţinerea modelului empiric să sefacă pe baza datelor simulate cu modelul analitic validat al procesului. În felulacesta se poate genera, într-un timp rezonabil, un număr mare de date


24/126


24

“experimentale” necesare elaborarii modelului empiric, conducând prinaceasta la un grad mai mare de încredere în modelul obţinut.

Un alt criteriu de clasificare a modelelor matematice se referă la tipul variabilelor sau al parametrilor de intrare, din punctul de vedere al moduluicum se precizează valorile acestora. Acest criteriu împarte modelelematematice în două mari clase: modele deterministe şi modelestocastice (sau aleatoare, probabilistice).

Modelele deterministe sunt acelea care nu conţin nici un element deincertitudine în reprezentarea matematică a sistemului fizic. Toate variabileleindependente şi parametrii modelelor deterministe sunt definite prin valorifixe, răspunsul modelului, obţinut prin rezolvarea acestuia, fiind de asemeneaexprimat prin valori unice ale variabilelor dependente.

Modelele stocastice, pe de altă parte, conţin cel puţin o mărime(parametru sau variabilă) a cărei valoare exactă nu poate fi precizată.

Pentru astfel de mărimi, denumite aleatoare sau întâmplătoare, se potpreciza numai probabilităţile asociate valorilor posibile ale mărimii respective.R ăspunsul modelului stocastic este mai degrabă o probabilitate decât unnumăr, pentru o variabilă dependentă.

Caracterul aleatoriu al unui model poate proveni, aşadar, din natura întâmplătoare a uneia sau mai multor mărimi de intrare (de exemplufluctuaţiile întâmplătoare, necontrolabile ale compoziţiei fluxului de intrare

într-un sistem), dar, de cele mai multe ori modelul stocastic constituie oreprezentare matematică a unui proces de natură inerent stocastică,

întâmplătoare, cum sunt majoritatea proceselor biologice sau cele sociale.

Şi în ingineria chimică întâlnim procese de natură pur întamplătoare deexemplu distribuţia vitezelor liniare la curgerea turbulentă printr-un tub golsau strat de particule, procese la scară moleculară sau atomică observatemacroscopic (dezactivarea radioactiv ă, emisia de electroni într-un tub catodicetc.), distribuţia timpilor de staţionare a diferitelor elemente de fluid într-un

vas cu amestecare etc.

Elementele de incertitudine ce imprimă sistemului un caracter stocasticpot, prin urmare, să fie generate pe următoarele căi, ilustrate şi în figura 1-5[24]:


25/126


25

Sistem deterministX Y

Sistem stocasticx Y

Sistem stocasticX Y

Sistem deterministx y

Eroare aleatoare

Y

a)

b)

c)

d)

Fig. 1-5. Patru situaţii în care răspunsul unui sistem are caracter aleatoriu

(mărimile deterministe sunt simbolizate cu literă mică, cele aleatoare cu literă mare)

a) Sistemul ca atare este determinist, dar “intrarea” în sistem este întâmplătoare (cel puţin una dintre mărimile de intrare);

b)

Toate mărimile de intrare sunt deterministe, dar natura de bază asistemului este întâmplătoare;c) A tât sistemul, cât şi intrarea au caracter întâmplător;d) Sistemul, ca şi mărimile de intrare sunt deterministe, dar măsurarearăspunsului determinist cu o anumită eroare întâmplătoare produce în final unrăspuns stocastic.

Riguros vorbind, toate modelele matematice, atât cele analitice cât şi celeempirice, prezintă elemente de incertitudine datorate erorilor întâmplătoarecu care sunt calculaţi parametrii acestora din date experimentale, precum şierorilor generate de reprezentarea simplificată a sistemului real.

Datorită însă dificultăţilor de obţinere, dar mai ales de utilizare amodelelor stocastice la optimizarea sau automatizarea proceselor, acestea au oaplicabilitate practică redusă. Tratarea în această lucrare a aspectelor aleatoareale unui model matematic se va limita doar la prelucrarea datelorexperimentale pentru estimarea parametrilor. Modelele analitice vor ficonsiderate toate deterministe, chiar dacă sistemul este uneori de natură stocastică. Acest lucru constituie o practică obişnuită în ingineria chimică,fenomene întâmplătoare, cum ar fi difuzia moleculară sau turbulentă, fiinddescrise matematic cu ecuaţii deterministe (de exemplu ecuaţia lui Fick pentrudifuzie). De asemenea, modelele empirice, o dată elaborate şi acceptate, vor fi


26/126


26

tratate ca modele deterministe în care variabilele aleatoare sunt înlocuite cumedia lor. Pentru documentare asupra modelelor stocastice se recomandă lucrările [24].

Alte criterii de clasificare a modelelor matematice se referă la naturadiscretă sau continuă a v ariabilelor sistemului, la regimul de operare staţionarsau nestaţionar al procesului modelat, precum şi la tipul ecuaţiilor componenteale modelului: algebrice, diferenţiale, integrale, integro–diferenţiale, ecuaţii cudiferenţe etc.

O sistematizare a principalelor tipuri de modele matematice în raport cucriteriile menţionate se prezintă în tabelul 1-1. De remarcat că modelulmatematic complet al unui sistem chimic real conţine, în general, ecuaţiiaparţinând mai multor tipuri menţionate în acest tabel.

În dezvoltarea subiectelor tratate în această lucrare se vor avea în vedere, în mod special, modelele descrise de ecuaţii algebrice şi diferenţiale–ordinareşi cu derivate parţiale – atât în regim staţionar, cât şi nestaţionar. Acestea suntreprezentative pentru marea majoritate a sistemelor chimice.

Modelele exprimate prin ecuaţii cu diferenţe constituie reprezentareamatematică a sistemelor compuse din trepte succesive (de exemplu o coloană de fracţionare cu talere, un sistem de extracţie lichid – lichid format din maimulte vase separate legate în serie, o baterie de reactoare cu amestecare legate

în serie etc.). Chiar şi alte sisteme, care în realitate nu sunt formate din trepte

succesive, pot fi tratate mental ca sisteme în trepte, rezultând şi pentru a cesteamodele exprimate prin ecuaţii cu diferenţe. Este cazul, de exemplu, al unuireactor continuu tubular, asimilat cu un sistem format dintr-un număr foartemare de reactoare cu amestecare perfectă. În acelaşi mod, un extractorcontinuu de tip coloană poate fi analizat şi modelat ca un sistem compus din Ntrepte de extracţie.


27/126


27

Tabelul 1-1. Clasificarea modelelor matematice

Criteriul de clasificare Tipuri de modele

Modul de elaborare 1.

analitice2. empirice

Natura variabilelor şi (sau) a parametrilor 1. deterministe2. stocastice

Natura regimului de operare a sistemului 1. staţionare 2. nestaţionare (dinamice)

Tipul ecuaţiilor componente ale modelului

A. Variabile continue

1. ecuaţii algebrice 2. ecuaţii diferenţiale ordinare 3. ecuaţii diferenţiale cu derivate

parţiale 4. ecuaţii integrale 5. ecuaţii integro–diferenţiale B. Variabile discrete

6. ecuaţii cu diferenţe ordinare 7. ecuaţii cu diferenţe-diferenţiale

Astfel de sisteme sunt tratate extensiv la disciplinele de specialitate, deaceea nu vor face obiectul prezentei lucrări.

Ecuaţiile integrale sunt mai rar întalnite în modelarea sistemelor chimice.Ele sunt de forma

b

a

d yt K t g t y )(),()()(

(1.7)

în care y(t) este funcţia căutată, celelalte funcţii, g şi K, fiind cunoscute.

Limitele integralei pot fi constante (finite sau infinite) sau variabile.

Mai frecvent, aceste expresii integrale apar în ecuaţii de tip integro–

diferenţial, de forma

b

a

dz t z y z x K t x g t

t x y),(),(),(

),(

(1.8)

Un exemplu tipic de sistem modelat cu ecuaţii integro–diferenţiale estesistemul reactant definit pe un spectru continuu de componenţi, în care fiecarecomponent suferă reacţii simultane de transformare, respectiv formare din toţiceilalţi componenţi. Acest sistem prezintă interes în modelarea proceselor cu


28/126


28

reacţii chimice din industria de prelucrare a ţiţeiului şi se va analiza înparagraful 2.5.3.


29/126

29

2. MODELE A NALITICE

Modelele analitice, elaborate prin analiza fenomenelor fizico-chimice ceguvernează desfăşurarea procesului, ocupă o poziţie dominantă în modelareasistemelor chimice, în raport cu modelele empirice.

Nucleul de bază al acestor modele este format din ecuaţiile de bilanţ,ecuaţii ce reprezintă exprimarea matematică a legilor fundamentale deconservare a masei, energiei şi impulsului.

În afară de aceste ecuaţii de conservare, modelul analit ic al unui sistemchimic mai conţine, de obicei, ecuaţii complementare, cum sunt: ecuaţii destare (ce exprimă dependenţa unor mărimi fizice ca: densitate, entalpie etc. înfuncţie de parametrii de stare: temperatura, presiunea, compoziţia), ecuaţii deechilibru (chimic, interfazic), relaţii cinetice, relaţii pentru calculul unorcoeficienţi (de transfer de masă şi caldură, de frecare etc.). Astfel de ecuaţiisunt presupuse cunoscute şi se va apela direct la ele în cadrul unor aplicaţiispecifice.

În forma lor cea mai generală, ecuaţiile de conservare nu au aplicabilitate

practică, datorită dificultăţilor de soluţionare a acestora. De aceea,simplificarea acestora este absolut necesară şi se efectuează în concordanţă cunatura concretă a sistemului modelat. Rezultă astfel expresii cu totul specificemodelului bazat pe ecuaţii de conservare, pentru diverse sisteme chimice, deşiprincipiul de bază, punctul de plecare este acelaşi. Acest principiu de bază altuturor ecuaţiilor de conservare este cel al bilanţului mărimilor ce se conservă

într-un sistem în care are loc un proces oarecare, bilanţ ce poate fi exprimatsimbolic astfel:

I – E = C + A,(2.1)

în care:

I – intrări: cantitatea totală din mărimea ce se conservă (masă, energie,impuls) care intră în unitatea de timp în sistem din exterior, în timpulprocesului;

E- ieşiri (evacuări): cantitatea totală din mărimea ce se conservă careiese în unitatea de timp din sistem spre exterior, în timpul procesului;


30/126

Capitolul 2. Modele analitice

30

C – consum: cantitatea consumată net în sistem în unitatea de timp dinmărimea ce se conservă (diferenţa dintre consumat şi generat), în timpulprocesului;

A – acumulare: cantitatea totală din mărimea ce se conservă care seacumulează în unitatea de timp în sistem, în timpul procesului (viteza decreştere în timp a cantităţii din mărimea ce se conservă, în interiorulsistemului).

Expresia (2.1) este general valabilă pentru orice sistem material, cu saufără reacţii chimice, în regim staţionar sau nestaţionar. Ea se poate aplica atâtpentru exprimarea globală a sistemului la trecerea acestuia dintr-o stare 1 înaltă stare 2, cât şi pentru exprimarea momentană, instantanee a procesului încursul desfăşurării acestuia.

Astfel, exprimarea globală a conservarii masei totale a unui sistem înregim staţionar, cu sau fără reacţie chimică, se reduce la egalitatea I – E=0 sau

I=E (reacţia chimică nu modifică masa totală a sistemului), atât pentruprocesele discontinue, cât şi pentru cele continue. Aceasta este forma uzuală a

bilanţurilor materiale efectuate pe contururi bine definite ce cuprind aparate,grupuri de aparate, instalaţii sau combinate întregi şi este utilă pentrustabilirea randamentelor de produse ale unui proces tehnologic, încărcărilefiecărui aparat, a unei părţi din acesta sau a unui grup de aparate, pentrustabilirea balanţei generale de produse ale unui combinat sau chiar ale unei

întregi industrii.

Bilanţurile energetice globale în regim staţionar se exprimă prin relaţia

I – E=C în care totalul energiilor ieşite din sistem ( E ) conţine atât energiileasociate fluxurilor materiale, cât şi cele transferate mediului (inclusivpierderile energetice). Analiza energetică globală a sistemelor chimice permitedeterminarea randamentelor energetice ale diferitelor aparate, a consumurilorşi pierderilor energetice, oferind astfel informaţii utile pentru utilizarearaţională a energiei, deziderat de mare importanţă în actuala conjunctură acrizei energetice.

La elaborarea modelului matematic al unui sistem, exprimarea globală alegilor de conservare este de cele mai multe ori insuficientă pentru exprimareadependenţei dintre variabile. Descrierea matematică a evoluţiei în timp şispaţiu a procesului se poate face numai prin exprimarea momentană şi (sau)locală a ecuaţiilor de conservare. Pentru acest mod de exprimare, de exempluecuaţia (2.1), scrisă pentru conservarea masei totale a unui sistem în care areloc un proces discontinuu cu reacţie chimică, se reduce la C+A=0, întrucât încursul procesului fluxurile materiale la intrare şi ieşire din sistem sunt nule( I=0; E=0). Deoarece masa totală a sistemului nu se consumă prin reacţie(C=0), rezultă A=0, adică masa totală a sistemului nu variază în timp, ceea ceeste evident. Rezultă că, în această exprimare momentană, ecuaţia de


31/126


31

conservare a masei totale nu este suficientă pentru descrierea completă aevoluţiei sistemului în timp. Singura informaţie obţinută din ecuaţia deconservare a masei totale este aceea că, în orice moment al procesului,produsul ρV (densitate fluid înmulţită cu volumul acestuia) este constant.

Pentru exprimarea variaţiei în timp a compoziţiei sistemului suntnecesare, în plus ecuaţiile de conservare a masei pentru n-1 componenţi, dintotalul de n componenţi prezenţi în sistem.

Pentru sistemele în care procesul se desfăşoară în flux continuu, termenulacumulare ( A) din ecuaţia (2.1) este egal cu zero pentru regimul staţionar deoperare şi diferit de zero pentru regimul nestaţionar. Exprimarea ecuaţiilor deconservare se va face pentru întreg volumul sistemului, dacă acesta este detipul „cu parametrii concentraţi”, respectiv pentru un element infinitezimal de

volum, dacă sistemul este „cu parametrii distribuiţi”. Deoarece aproape toate procesele chimice sunt în flux continuu, se vor

dezvolta în continuare ecuaţiile de conservare pentru un fluid în curgere

într-un sistem oarecare, în cazul general în care în sistem au loc şi reacţiichimice.

Un astfel de sistem este descris complet cu ajutorul ecuaţiilor deconservare a masei tuturor componenţilor, a energiei şi a impulsului.

Uneori, pentru descrierea compoziţiei este utilă utilizarea ecuaţiei deconservare a masei totale împreună cu n-1 ecuaţii de conservare pecomponenţi, în locul celor n ecuaţii de conservare a componenţilor.

Deducerea şi discutarea în detaliu a ecuaţiilor generale de conservare lacurgerea fluidelor, în special fără reacţii chimice, se găseşte în multe lucrări deprestigiu dedicate proceselor fundamentale de transfer, din care s-auselecţionat [21, 28, 31, 33, 48]. De aceea, în cele ce urmează se va face doar oprezentare succintă a acestora în forma generală, urmând ca în exemplificărilediferitelor tipuri de sisteme să se utilizeze forme simplificate ale ecuaţiilorgenerale de conservare, menţionându-se şi justificând de fiecare datăsimplificările operate.

2.1. Ecuaţia de conservare a masei totale

Pentru procese de curgere a fluidelor, această ecuaţie este cunoscută subdenumirea de ecuaţia continuităţii.

Fiind dat un sistem ce conţine un fluid în curgere, densitatea, temperaturaşi viteza fluidului sunt funcţii de timp şi poziţie. Separând din spaţiul


32/126


32

sistemului un element infinitezimal de volum staţionar, de formăparalelipipedică, fixat într-un sistem cartezian de axe (figura 2-1), laturileparalelipipedului sunt z y x ,, , iar prin convenţie se admite că acest element

de volum este străbătut de fluidul în curgere intrând prin feţele situate ladistanţele x, y, z de planele sistemului de axe (y, z), (x, z), (x,y) şi ieşind prinfeţele opuse, situate la distanţele z z y y x x ,, de aceleaşi plane.

x

z

y

0

x

y z

x x

v x x x

v

y yv

y y yv

z z

v

z z z

v

Fig. 2-1. Element de volum paralelipipedic fixat în spaţiul tridimensional, prin care curge un

fluid de densitate , cu viteza v

Utilizându-se exprimarea generală (2.1) a ecuaţiei de conservare, în caretoţi termenii reprezintă debite masice de fluid (kg/s), rezultă:

; y xv z xv z yv I z z y y x x

y xv z xv z yv E z z z y y y x x x

;

C=0 (masa totală a fluidului nu se consumă prin reacţie chimică);

z y xt

A

.

În aceste expresii v x , vy, v z sunt componentele vectorului viteză liniarădupă cele trei axe de coordonate, iar este densitatea fluidului.


33/126


33

Produsul ( l v ), în care indicele l poate fi x , y sau z , reprezintă raportuldintre debitul masic de fluid (kg/s) şi aria secţiunii de curgere (m2) şi poartădenumirea de viteză de masă (kg/m2s).

Înlocuind în relaţia (2.1) şi împărţind toţi termenii prin z y x , seobţine:

;

z

vv

y

vv

x

vv

t

z z z z z y y x y y x x x x x

Trecând la limită pentru 0;0;0 z y x (element infinitezimal de volum), rezultă:

z

v

y

v

x

v

t

z y x

(2.2)

Aceasta este ecuaţia diferenţială a continuităţii în coordonate carteziene.În transcriere vectorială, ea are expresia:

0

v

t

(2.3)

Simbolul este operatorul „nabla”, produsul scalar v reprezentând

divergenţa vectorului v , vdivv .

2.2. Ecuaţiile de conservare a masei componenţilor

Acestea se mai numesc şi ecuaţii de conservare a speciilor moleculare saude bilanţ material pe componenţi.

Deoarece ecuaţiile de conservare a speciilor moleculare servesc pentrudescrierea evoluţiei în timp şi spaţiu a compoziţiei sistemului, exprimată deobicei prin concentraţiile molare ale componenţilor (moli/volum), termeniiecuaţiei (2.1) vor fi exprimaţi în unităţi de flux molar (moli component/timp).

Ecuaţiile de conservare pentru toţi componenţii se obţin în mod identic,de aceea se va exemplifica pentru un singur component j al sistemului.

Exprimarea fluxului molar al componentului j care traversează o suprafaţăipotetică S a sistemului, necesită admiterea unui mecanism de transport acomponentului.


34/126


34

În hidrodinamica chimică sunt acceptate două mecanisme de transport:cel prin convecţie şi cel prin difuzie.

Transportul de masă prin convecţie se datorează curgerii forţate afluidului de concentraţie c cu viteza v, fluxul molar al componentului j cetraversează suprafaţa S prin convecţie după direcţia l fiind dat de expresia:

l j j v scconv F

(2.4)

Transportul de masă prin difuzie se datorează atât diferenţei deconcentraţie în direcţia considerată (difuzie moleculară) cât şi turbulenţeicurgerii ce generează fluctuaţii întâmplătoare ale vitezei liniare. În practică,cele două componente ale transportului difuzional-molecular şi turbulent-se

exprimă împreună, cu o relaţie unică, cea dată de legea lui Fick a difuziei, încare coeficientul de difuzie moleculară se înlocuieşte cu un coeficient dedispersie D:

l

C DS F j

dif j

(2.5)

Pentru elementul de volum din figura 2-1, termenii ecuaţiei de conservarea componentului j, după cele trei direcţii de transport x, y, z şi pentru cele douăcomponente ale fluxului molar au următoarele expresii:

Direcţia transportului Intrări prin convecţie Ieşiri prin convecţie

x z yvc x x j z yvc

x x x j

y z xvc y y j z xvc

y y y j

z y xvc z z j y xvc

z z z j

Intrări prin difuzie Ieşiri prin difuzie

x

z y x

C D

x

j

z y

x

C D

x x

j

y

z x y

C D

y

j

z x

y

C D

y y

j


35/126


35

z

y x z

C D

z

j

y x

z

C D

z z

j

Fluxul molar al componentului j consumat în elementul de volum:; z y xr j

Fluxul molar al componentului j acumulat în elementul de volum:

; z y xt

C j

Cu r j s-a notat viteza totală de reacţie a componentului j , exprimată ca

moli formaţi din componentul j în unitatea de timp pe unitatea de volum defluid. În cazul general al unui sistem în care se produc m reacţii chimice, vitezatotală de reacţie a componentului j este egală cu suma algebrică a vitezelor

individuale pentru cele m reacţii:

m

i

ij j r r 1

. Înlocuind aceste expresii în ecuaţia

de bilanţ (2.1), după împărţirea tuturor termenilor prin z y x se obţine:

j

z z

j

z

j

y y

j

y

j

x x

j

x

j

z z j z z j z y y j y y j y x x j x x j x j

r z

z

C D

z

C D

y

y

C D

y

C D

x

x

C D

x

C D

z

C vC v

y

C vC v

x

C vC v

t

C

Trecând la limită pentru ;0;0;0 z y x rezultă:

j

j j j j z j y j x jr

z

C D

z y

C D

y x

C D

x z

C v

y

C v

x

C v

t

C

(2.6)

Ecuaţia (2.6) reprezintă, în coordonate carteziene, ecuaţia de conservare aspeciei moleculare (componentului) j .

În transcriere vectorială, ea are expresia:


36/126


36

j j j j r C DvC t

C

;

(2.7)

în care jC (fără punct între operatorul şi jC ) este notaţia obişnuită

pentru gradientul scalarului C j (vectorul normal la suprafaţa S=C j (x, y, z), având sensul celei mai rapide creşteri a concentraţiei C j ).

k z

C j

y

C i

x

C C grad C

j j j

j j

; k ji ,, sunt vectorii unitari ai

celor trei axe de coordonate.

Ecuaţia (2.7) se poate simplifica dacă se admit valori constante alecoeficientului de dispersie D în întreg volumul fluidului. În acest caz, se obţine:

j j j j r C DvC t

C

2 ;

(2.8)

în care2

2

2

2

2

2

2

y

C

y

C

x

C C

j j j

j

(Laplacianul concentraţiei C j ).

Între densitatea fluidului şi concentraţiile componenţilor C j , j=1,2,...,n

există relaţia:

j j M C ; (2.9)

unde M j este masa moleculară a componentului j .

Deci, cele n ecuaţii de conservare a speciilor moleculare împreună cuecuaţia de conservare a masei totale nu sunt total independente.

Altfel spus, un sistem dat, conţinând n componenţi, admite numai n ecuaţii independente de conservare a masei.

2.3. Ecuaţia de conservare a energiei

Ca şi conservarea masei, conservarea energiei este o lege fundamentală anaturii, general valabilă pentru orice sistem material în înteracţiune cu mediul

înconjurător.


37/126


37

Formularea matematică a acestei legi de conservare se face în concordanţăcu primul principiu al termodinamicii, conform căruia variaţia energiei interne U a unui sistem între două stări este egală cu suma algebrică dintre lucrulmecanic (W tot ) şi căldura (Q) schimbate între sistem şi mediu:

QW U tot (2.10)

Ecuaţia (2.10) este aplicabilă proceselor discontinue, în care W tot estelucrul mecanic total (al forţelor de presiune ce pot duce la variaţie de volum,lucru electric, magnetic) [40].

În cazul proceselor în flux continuu, în care în afară de variaţia energieiinterne sistemul poate suferi şi variaţie de energie cinetică, potenţială, depresiune, principiul conservării energiei se poate exprima global prin ecuaţia:

QW pV E E U pc )( (2.11)

în care:

12 U U U (variaţia energiei interne a sistemului la trecerea de la starea1 la starea 2)

1212 z z g m E E E p p p (variaţia energiei potenţiale, z fiind înălţimeala care se află centrul de greutate asociat sistemului faţă de un plan orizontalde referinţă);

2

1

2

2122 vvm

E E E ccc (variaţia energiei cinetice);

2

1

2

1

1122)(

p

p

V

V

Vdp pdV V pV p pV (variaţia energiei de presiune-energie

necesară introducerii unui fluid în sistem);

2

1

p

p

VdpW (lucrul mecanic tehnic sau energia mecanică introdusă în

sistem, de exemplu printr-o pompă sau agitator);

Q - căldura schimbată între sistem şi mediu (Q>0 dacă sistemul primeştecăldură de la mediu).

Având în vedere relaţia dintre variaţia energiei interne şi cea a entalpiei ( H ), )( pV H U , relaţia (2.11) devine:

QW E E H pc (2.12)

Ecuaţia (2.12), una dintre formele ecuaţiei lui Bernoulli, reprezintăexprimarea globală a conservării energiei unui sistem în regim staţionar.


38/126


38

Pentru marea majoritate a sistemelor chimice, variaţia energiei cinetice,potenţiale şi lucrul mecanic au o pondere ne însemnată faţă de H şi Q (sub2% chiar în cazul unor variaţii importante a vitezei între intrare şi ieşire[1, 45, 51]), astfel încât ecuaţia de conservare a energiei se reduce la ecuaţia deconservare a energiei termice sau de bilanţ termic:

Q H (2.13)

În ecuaţiile (2.12) şi (2.13) variaţia entalpiei totale H conţine şi variaţiaentalpiei de reacţie (căldura de reacţie) în cazul general în care în sistem seproduc şi reacţii chimice.

Aşa cum s-a mai arătat, exprimarea globală a ecuaţiei de conservare aenergiei, în particular bilanţul termic global, serveşte pentru determinarearandamentelor energetice ale diferitelor utilaje, a consumurilor energetice, darnu este suficientă pentru a exprima variaţia în timp şi spaţiu a temperaturiisistemului, una din variabilele de stare ale acestuia.

Ecuaţia câmpului de temperatură T=f(t, x, y, z) poate fi obţinută numaiprintr-o exprimare locală a legii de conservare a energiei şi în care loculmărimilor extensive U, H, E c, este preluat de fluxurile acestora, asociatefluxurilor materiale. De exemplu, fluxul de entalpie asociat fluxului masic defluid QG (kg/s) ce străbate prin convecţie o suprafaţă S la temperatura T ,este dat de expresia T cS v H Q p , unde c p este căldura specifică

masică a fluidului la presiune constantă.

Acesta reprezintă deci fluxul termic transportat prin convecţie, datorităcurgerii fluidului la temperatura T .

În afară de transportul prin convecţie, căldura se transferă în masa defluid şi prin alte două mecanisme: conductivitate şi radiaţie.

Transportul termic prin conductivitate la fluide se datorează agitaţieitermice a moleculelor ce se ciocnesc elastic între ele, fluxul transportat prinacest mecanism în direcţia l fiind dat de relaţia lui Fourier:

l

T S qcond

(2.14)

în care este conductivitatea termică a fluidului (W/m K).

Transferul termic prin radiaţie se datorează naturii electromagnetice aradiaţiilor termice şi are o pondere în general redusă, devenind important doarla temperaturi foarte mari.


39/126


39

Cu alte precizări, termenii ecuaţiei de conservare a energiei termiceaplicate elementului de volum din figura 2.1, în regim nestaţionar, auurmătoarele expresii:

Direcţia transportului Intrări prin convecţie Ieşiri prin convecţie

x z yT C v x p x

z yT C v x x p x

y z xT C v y p y

z xT C v y y p y

z y xT C v z p z

y xT C v z z p z

Intrări prin conducţie Ieşiri prin conducţie

x z y

x

T

x

z y

x

T

x x

y z x

y

T

y

z x

y

T

y y

z y x

z

T

z

y x

z

T

z z

Fluxul termic consumat în elementul de volum datorită reacţiilor chimice: , z y x H r

jr j unde

jr H reprezintă căldura totală de reacţie exprimată

pe mol de component j transformat chimic;

Fluxul termic acumulat în elementul de volum: . z y xT C t

p

Înlocuind aceste expresii în ecuaţia de bilanţ (2.1), împărţind toţi termeniiprin produsul z y x şi trecând la limită pentru 0,0,0 z y x seobţine ecuaţia:


40/126


40

jr j

z p y p x p

p

H r z T

z yT

y

Documents

Curs Msrrch