Upload
others
View
5
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
CURS 14
Cluj-Napoca
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >)
doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene
(ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe).
Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V
un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista
un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar
S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U
astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >,
∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt.
operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar
T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V
exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorul
T ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:
< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V ,
atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗
s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T
(si este unic cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic
cf. Prop. de mai sus).
14.1. Adjunctul unui operator liniar:
Fie (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) doua spatii euclidiene (ambele realesau complexe). Fie T ∶ U → V un operator liniar.
Prop.
Daca exista un operator liniar S ∶ V → U astfel ıncat
< T (u), v >=< u,S(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
atunci S este unic.
Demonstratie.
”La tabla!”
Defn. adjunctului unui operator:
Daca pt. operatorul liniar T ∶ U → V exista operatorulT ∗ ∶ V → U cu proprietatea:< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,∀u ∈ U si ∀v ∈ V , atunci T ∗ s. n.adjunctul lui T (si este unic cf. Prop. de mai sus).
Prop 14.1.1
(Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V )
operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctii
T ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 .
Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >)
un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian
siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W )
care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗.
Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatii
sunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W )
admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si
(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv,
atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1
admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct
¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar
F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Prop 14.1.1 (Proprietatile adjunctilor)
Fie T ,T1,T2 ∈ L(U,V ) operatori care admit adjunctiiT ∗,T ∗
1 ,T∗
2 . Fie (W ,< ⋅, ⋅ >) un al treilea spatiu euclidian siS ∈ L(V ,W ) care admite adjunctul S∗. Urmatoarele afirmatiisunt adevarate:
a) (T ∗)∗ = T ;
b) (aT )∗ = aT ∗;
c) (T1 +T2)∗ = T ∗
1 +T ∗
2 ;
d) KerT ∗ = (ImT )⊥;
e) ImT ∗ = (KerT )⊥;
f) Operatorul S ○T ∈ L(U,W ) admite adjunct si(S ○T )∗ = T ∗ ○ S∗;
g) Daca T este bijectiv, atunci T−1 admite adjunct¸si(T−1)∗ = (T ∗)−1.
Demonstratie.
D), E) -la seminar F), G) -”La tabla!”
Thm.
(de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca
(U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si
(V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >)
sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite,
atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V
admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct
T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U
dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de
< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >,
∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T =
[aij]i=1,mj=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T
ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate,
atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ =
[aji ] j=1,ni=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
,
adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
Thm. (de existenta a adjunctului pentru spatii dedimensiune finita):
Daca (U,< ⋅, ⋅ >) si (V ,< ⋅, ⋅ >) sunt spatii euclidiene dedimensiuni finite, atunci orice operator T ∶ U → V admite unoperator adjunct T ∗ ∶ V → U dat de< T (u), v >=< u,T ∗(v) >, ∀u ∈ U si ∀v ∈ V .
Matricea atasata adjunctului:
Daca M(f ,e)T = [aij]i=1,m
j=1,n
este matricea lui T ıntr-o pereche de
baze ortonormate, atunci
M(e,f )T∗ = [aji ] j=1,n
i=1,m
, adica M(e,f )T∗ = (M(f ,e)T )∗.
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >)
un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian
(real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C)
si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V
un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator
(endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru care
exista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul
T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal
daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct
daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct
daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar
daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1
(deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
14.2. Clase speciale de operatori liniari
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian (real K = R sau complexK = C) si T ∶ V → V un operator (endomorfism) pentru careexista adjunctul T ∗ ∶ V → V .
Defn:
Spunem ca T este:
(a) normal daca T ○T ∗ = T ∗ ○T ;
(b) autoadjunct daca T ∗ = T ;
(c) antiautoadjunct daca T ∗ = −T ;
(d) unitar daca T ∗ = T−1 (deci T este si inversabil).
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian
(K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)
simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric
(K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)
antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar →
ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d)
⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular:
matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitiene
sau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare
sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular:
matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice
sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale
sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Obs:
Folosim si denumirile:
pt. autoadjunct
hermitian (K = C)simetric (K = R);
pt. antiautoadjunct
antihermitian (K = C)antisimetric (K = R);
pt. unitar → ortogonal (K = R);
(b) sau (c) sau (d) ⇒ (a);
In particular: matricile complexe hermitiene, antihermitienesau unitare sunt matrici normale;
In particular: matricile reale simetrice, antisimetrice sauortogonale sunt matrici normale;
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian
de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,
T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator
iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata.
Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal
⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian
(simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)
⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala
(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian
(antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric)
⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana
(antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar
(ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)
⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara
(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Prop.
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita,T ∈ EndK(V ) un operator iar MT matricea lui T ıntr-o bazaortonormata. Atunci:
a) Daca T este normal⇒ MT este normala;
b) Daca T este hermitian (simetric)⇒ MT este normala(simetrica);
c) Daca T este antihermitian (antisimetric) ⇒ MT esteantihermitiana (antisimetrica);
d) Daca T este unitar (ortogonal)⇒ MT este unitara(ortogonala).
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >)
un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian
de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita
siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V )
un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V )
comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T
(adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )
atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un
vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal
si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V
este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariant
pentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T
atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant
pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal
atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗
au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun
x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V
iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx ,
λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒
T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C)
sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici,
care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta,
atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un
vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Lema 14.2.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian de dimensiune finita siT ∈ EndK(V ) un operator liniar.
a) Daca S ∈ EndK(V ) comuta cu T (adica: T ○ S = S ○T )atunci ele au un vector propriu comun.
b) Daca T este normal si V1 ≤ V este subspatiu invariantpentru T atunci V ⊥1 este invariant pentru T ∗.
c) Daca T este normal atunci T si T ∗ au un vector propriucomun x ∈ V iar daca T (x) = λx , λ ∈ C⇒ T ∗(x) = λx .
Corolar
Daca A,B ∈Mn(C) sunt doua matrici, care comuta, atunci eleau un vector propriu comun.
Folosind Lema 14.2.1
se demonstreaza urmatoarea teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea
teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >)
este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian,
de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,
iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un
operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal
atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V
o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata
formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din
vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T .
(Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
Folosind Lema 14.2.1 se demonstreaza urmatoarea teorema:
Thm. 14.2.2
Daca (V ,< ⋅, ⋅ >) este un spatiu euclidian, de dimensiune finita,iar T ∶ V → V este un operator normal atunci exista ın V o bazaortonormata formata din vectorii proprii pentru T . (Un operatorT pentru care exista o baza formata din vectori proprii pentru T s.n. operator de tip scalar).
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >)
un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex
si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V
unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este
hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian
(antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian
sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar)
atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza
ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V
formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este
hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian
atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T
suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere
reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este
antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian
atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui T
sunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere
imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare;
(Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este
unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar
atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T
suntnumere complexede modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexe
de modul 1.
14.3. Valori pr. pt. operatori hermitieni, antihermitieni si unitari
Thm. 14.3.1
Fie (V ,< ⋅, ⋅ >) un spatiu euclidian complex si T ∶ V → V unoperator liniar.
a) Daca T este hermitian (antihermitian sau unitar) atunciexista o baza ortonormata ın V formata din vectori propriipentru T .
b) Daca T este hermitian atunci valorile proprii ale lui T suntnumere reale.
c) Daca T este antihermitian atunci valorile proprii ale lui Tsunt numere imaginare; (Reλr = 0, r = 1,n).
d) Daca T este unitar atunci valorile proprii ale lui T suntnumere complexede modul 1.
pt. EXAMEN(februarie)
se dau 4 probleme tip seminar, curssau T.A.;
problemele pt. EXAMEN(februarie) sunt de la Seminarul 9 laSeminar 14;
toate biletele vor avea 1 problema cu reducerea la formacanonica a conicelor sau cuadricelor;
pt. EXAMEN(februarie) se dau 4 probleme tip seminar,
curssau T.A.;
problemele pt. EXAMEN(februarie) sunt de la Seminarul 9 laSeminar 14;
toate biletele vor avea 1 problema cu reducerea la formacanonica a conicelor sau cuadricelor;
pt. EXAMEN(februarie) se dau 4 probleme tip seminar, curssau
T.A.;
problemele pt. EXAMEN(februarie) sunt de la Seminarul 9 laSeminar 14;
toate biletele vor avea 1 problema cu reducerea la formacanonica a conicelor sau cuadricelor;
pt. EXAMEN(februarie) se dau 4 probleme tip seminar, curssau T.A.;
problemele pt. EXAMEN(februarie) sunt de la Seminarul 9 laSeminar 14;
toate biletele vor avea 1 problema cu reducerea la formacanonica a conicelor sau cuadricelor;
pt. EXAMEN(februarie) se dau 4 probleme tip seminar, curssau T.A.;
problemele pt. EXAMEN(februarie) sunt de la Seminarul 9 laSeminar 14;
toate biletele vor avea 1 problema cu reducerea la formacanonica a conicelor sau cuadricelor;
pt. EXAMEN(februarie) se dau 4 probleme tip seminar, curssau T.A.;
problemele pt. EXAMEN(februarie) sunt de la Seminarul 9 laSeminar 14;
toate biletele vor avea 1 problema cu reducerea la formacanonica a conicelor sau cuadricelor;
NOTA FINALA=
Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];
doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;
Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;
In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];
doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;
Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;
In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];
doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;
Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;
In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];
doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;
Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5
atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;
In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];
doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;
Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si
studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;
In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];
doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;
Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat
(din pacate ) sa intreın restante;
In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];
doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;
Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate )
sa intreın restante;
In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];
doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;
Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;
In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];
doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;
Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;
In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
NOTA FINALA=Rotunjire [ (Nota PARTIAL+Nota EXAMEN(februarie))/2 ];
doar DACA: [ (Nota PARTIAL ≥ 5) si (NotaEXAMEN(februarie) ≥ 5)] ;
Daca PARTIAL < 5 sau EXAMEN(februarie) < 5 atunci NOTAFINALA < 5 si studentul va fi obligat (din pacate ) sa intreın restante;
In restanta se poate retine oricare din notele (PARTIAL sauEXAMEN(februarie)) ≥ 5;
cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pesite) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.
REGULIPARȚIALșiEXAMEN
1. FOIALBE(A4)ÎNNUMĂRDEMAXIM6,CAPSATE!(4-5 foi pentru rezolvare problemelor, 1-2 foi ca șiciorne;ciornelesecapseazălasfârșitulcelor6foi);
2. Dacămai enevoiede foi, se cer în timpul examenuluisauparțialului,apoisecapseazălacele6foi!
3. CARNETDESTUDENTSAUC.I!(fiecarestudenttrebuiesăleaibăasupraluiînvedereaverificării);
4. TELEFOANELE MOBILE TREBUIE ÎNCHISE ȘILĂSATE ÎN GEANTĂ sau într-o HAINĂ LACUIER! (încazul suprinderiimanevrării lor în timpulexamenului,studentulpoatefieliminatdinexamen);
5. ORICE TENTATIVĂ DE FRAUDĂ DUCE LAELIMINAREDINEXAMENȘILANEPROMOVARE!
6. SERECOMANDĂCASTUDENȚIISĂFIEÎNFAȚASĂLIIDE EXAMEN CU 10 MINUTE ÎNAINTE DE ORAOFICIALĂ,PROGRAMATĂ.(Deex: la7,50,dacă8esteoraoficială!);
SUCCES!
SFARSIT-
CURS ALGEBRA
SUCCES!!!
SFARSIT-CURS ALGEBRA
SUCCES!!!
SFARSIT-CURS ALGEBRA
SUCCES!!!