Curso de Algebra y Trigonometria.pdf

UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE UNIDAD CULIACAN

CURSO DE

ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRIA

PARA INGENIERÍA

Ing. Luis Antonio Achoy Bustamante Ing. José Antonio Castro Inzunza

JUNIO DE 2012

Curso de Algebra y Trigonometría para Ingeniería.

1

ÍNDICE

Página: INDICE 1 PRESENTACIÓN 2 UNIDAD I LOS NÙMEROS REALES Y PROPIEDADES DE LOS EXPOENETES 5

ACTIVIDAD 1 NUMEROS NATURALES Y ENTEROS 6 ACTIVIDAD 2 NUMEROS RACIONALES 8 ACTIVIDAD 3 NUMEROS IRRACIONALES 10 ACTIVIDAD 4 PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NUMEROS REALES 12 ACTIVIDAD 5 PROPIEDADES DE LA IGUALDAD 14 ACTIVIDAD 6 DE LA ARITMETICA AL ALGEBRA 16 ACTIVIDAD 7 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES ACTIVIDAD 8 EXPONENTES RACIONALES

18 20

UNIDAD II OPERACIONES ALGEBRAICAS , PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

22

ACTIVIDAD 9 EXPERSIONES ALGEBRAICAS 23 ACTIVIDAD 10 PRODUCTO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 26 ACTIVIDAD 11 DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 28 ACTIVIDAD 12 PRODUCTOS NOTABLES 29 ACTIVIDAD 13 BINOMIO DE NEWTON 31 ACTIVIDAD 14 PRODUCTOS DE BINOMIOS 32 ACTIVIDAD 15 FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMUN 34 ACTIVIDAD 16 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS 37 ACTIVIDAD 17 FACTORIZACION DE TRINOMIOS 39 ACTIVIDAD 18 FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIAS DE CUADRADOS,

SUMAS Y DIFERENCIASD DE CUBOS 42

ACTIVIDAD 19 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION 44

UNIDAD III EXPRESIONES RACIONALES Y RADICALE S 45 ACTIVIDAD 20 EXPRESIONES RACIONALES 46 ACTIVIDAD 21 MULTIPLICACION Y DIVISION DE FRACCIONES 49 ACTIVIDAD 22 SUMA DE FRACCIONES Y FRACCIONES COMPLEJAS 51 ACTIVIDAD 23 SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES IRRACIONALES 54 ACTIVIDAD 24 SUMA DE EXPRESIONES CON RADICALES 57 ACTIVIDAD 25 PRODUCTOS Y DIVISIONES DE EXPRESIONES RADICALES 58 ACTIVIDAD 26 OPERACIONES CON RADICALES Y RACIONALIZACION 60 ACTIVIDAD 27 LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO ACTIVIDAD 28 OPERACIONES EN EL CALCULO MISCELANEA DE EJERCICIOS

62 66 69

UNIDAD IV TRIGONOMETRIA ACTIVIDAD 29 ANGULOS Y SUS MEDIDAS ACTIVIDAD 30 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ACTIVIDAD 31 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS ACTIVIDAD 32 LEY DE SENOS ACTIVIDAD 33 LEY DE COSENOS ACTIVIDAD 34 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

73 74 76 79 80 81 83

BIBLIOGRAFÍA 85


2

PRESENTACIÓN

La enseñanza basada en competencias establece que hay que dotar al alumno de un conjunto de conocimientos, destrezas y actitudes que le permitan su realización y desarrollo en el ámbito personal como profesional. Dentro de las competencias básicas se encuentran las competencias matemáticas, las cuales se relacionan con el desarrollo de habilidades para usar diferentes tipos de pensamiento matemático, como son el lógico, espacial, el de representación por medio de modelos, fórmulas, gráficos, que tienen aplicación universal para la explicar y describir la realidad.

En definitiva, la competencia Matemática supone: aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas de apoyo adecuadas e integrando el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para dar una mejor respuesta a las situaciones de la vida de distinto nivel de complejidad. Se deben desarrollar las siguientes competencias básicas:

� Organización, comprensión e interpretación la información. � Identificación de los elementos matemáticos que se presentan en una situación

real. � Aplicación de técnicas adecuadas de selección, ordenación y representación de

los datos. � Utilización de procedimientos matemáticos que permitan su análisis y la

extracción de conclusiones. � Expresión matemática oral y escrita.

� Uso del vocabulario y los símbolos matemáticos básicos. � Utilización de formas adecuadas de representación según el propósito y la

naturaleza de la situación. � Expresión correcta de los resultados obtenidos al resolver problemas. � Justificación de resultados con argumentos y expresiones de base matemática. � Capacidad para seguir una demostración sencilla de un resultado matemático,

identificando las ideas fundamentales y enjuiciando la lógica y validez de las argumentaciones e informaciones.

� Planteamiento y resolución de problemas. � Reconocimiento y planteamiento de situaciones reales susceptibles de ser

formuladas en términos matemáticos. � Traducción a esquemas o estructuras matemáticas. � Valoración de distintas vías para resolver problemas. � Selección de los datos y estrategias apropiadas para resolver un problema. � Utilización con precisión de procedimientos de cálculo (exacto, aproximado,

mental, con calculadora, …), fórmulas y algoritmos. � Expresión correcta de los resultados y su interpretación en términos de la

situación inicial. � Uso de medios tecnológicos en el tratamiento de la información.


3

El Álgebra es una de las ramas más importante de la Matemática, permite el manejo de expresiones en forma general, permite simplificarlas y transformarlas en otras formas equivalentes más simples, por este motivo se deben desarrollar las habilidades algebraicas por medio del entendimiento y practica de sus principios fúndateles. El presente curso consta de una serie de actividades donde se desarrollan los conceptos fundamentales y se proponen ejercicios los cuales deben ser resueltos para adquirir la habilidad en el manejo de expresiones algebraicas, las cuales son la base para el entendimiento de otras áreas como el Cálculo, Estadística, Investigación de Operaciones, matemáticas financieras. Una de las preguntas que nos hacemos con cierta frecuencia es ¿QUÉ ES LA MATEMÁTICA? Podríamos decir que la Matemática es una expresión de la mente humana, que refleja la voluntad activa, la razón contemplativa y el deseo de una perfección estética. Sus elementos básicos son: Lógica e intuición, análisis y construcción, generalidad y particularidad. Sin duda alguna, todo el desarrollo matemático ha tenido sus raíces psicológicas en necesidades más o menos prácticas, mediante un largo proceso de abstracción.

La historia de las Matemáticas comienza en Oriente, donde hacia el año 2 000 a. C. los babilonios poseían ya una gran cantidad de conocimientos que podrían ser clasificados como Álgebra Elemental. Pero como ciencia en sentido moderno, donde aparece más tarde es en Grecia entre los Siglos V y IV a. C. donde se origina un desarrollo axiomático-deductivo, con Eudoxio y culmina con los elementos de Euclides, concepción que actualmente se conserva.

Durante casi 2000 años el peso de la tradición geométrica de los griegos retrasó la inevitable evolución del concepto de número y del desarrollo del Cálculo Algebraico, después de un periodo de preparación lenta, la Matemática comenzó su vigorosa evolución en el Siglo XVII, con la Geometría Analítica y el Cálculo Diferencial e Integral. En este proceso hubo grandes aportaciones de personajes, tales como Vieta, Descartes, Newton, Leibnitz, Euler, Gauss y muchos otros.

Los conocimientos matemáticos fueron construidos de una manera progresiva, donde han sido pulidos hasta llegar al grado de desarrollo actual. Las Matemáticas, son la llave para la comprensión del mundo físico; nos dan el poder sobre la naturaleza y le han dado al hombre la convicción de que se puede seguir profundizando en los secretos de la misma.

Además, las Matemáticas, han permitido a los pintores, pintar en forma realista, así como la comprensión de los sonidos musicales, el análisis de tales sonidos fueron la base para la construcción del teléfono, fonógrafo, la radio e instrumentos de grabación y reproducción. Las Matemáticas cada vez son más importantes para la investigación biológica y médica, el desarrollo de la electrónica, la computación y otras ciencias, también juega un papel importante en la planificación de la economía, la dirección de la producción, el diagnóstico y tratamiento de enfermedades, el estudio del rendimiento de los atletas, invadiendo así, todos los campos del saber de la humanidad.


4

Actualmente los estudiantes tienen la idea de que se les enseñan las Matemáticas para fastidiarlos y causarles problemas. Este enfoque ha causado un bajo nivel de aprovechamiento de la materia por lo que se aprenden los contenidos en forma memorizada y los procedimientos en forma mecanizada, sin tener un claro entendimiento de los mismos o la forma de utilizarlos en la vida diaria o en su profesión.

Es necesario que los estudiantes tengan una participación activa en la construcción del conocimiento matemático, no ser simples repetidores, la enseñanza constructiva no es fácil, pero no hay caminos fáciles, para disfrutar la vista de lo alto de una montaña hay que escalarla, en las Matemáticas no hay teleféricos, los cables se rompen en la mente de los jóvenes, el arte de enseñar reside en la habilidad para la utilización de los procesos de descubrimiento, con esto se puede estimular y desarrollar el poder creativo de los estudiantes y de darles el placer del descubrimiento.

La Ciencia está más activa que nunca, cada vez más se usa a las Matemáticas para presentar y predecir los fenómenos que ocurren en la naturaleza, por esta razón es necesario que los nuevos profesionistas tengan un conocimiento más amplio para poder entender los modelos matemáticos y formular nuevos, además de que son un lenguaje universal.

El aprendizaje de las Matemáticas requiere de un esfuerzo significativo por parte de los alumnos, el desarrollo de las habilidades y la adquisición de conocimientos matemáticos es gradual y solo es posible a través de la constancia en el estudio. También el aprendizaje de las Matemáticas en la escuela está fundamentado en tres elementos básicos:

• El reconocido valor de los conocimientos matemáticos para la solución de problemas que enfrenta nuestra sociedad.

• La potencialidad del aprendizaje de las matemáticas para el desarrollo del pensamiento.

• La contribución de las matemáticas al desarrollo de la conciencia y educación de las nuevas generaciones.

¡NO TEMAS IR DESPACIO, TEME NO AVANZAR !


5

UNIDAD I

LOS NUMEROS REALES Y

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES


6

ACTIVIDAD 1 NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

COMPETENCIA.- Realiza operaciones con números naturales y enteros. Los números reales están formado por los números que se pueden escribir en notación decimal, para estudiar sus propiedades y operaciones, se dividen en: Números naturales: Son los números que se usan para contar y se representan:

� = �1,2,3,4, … Números enteros: Se forman de los naturales, sus inversos aditivos y el cero

� = �… ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, … OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS SUMA

a) Si los números tiene el mismo signo se suman sus valores y al resultado se les asigna el signo de los números.

3 + 4 = 7 − 2 − 5 = −7 b) Si los números tienen diferentes signos, se restan sus valores y al resultado se le

asigna el signo del número mayor. 6 − 4 = 2 − 6 + 4 = −2

PRODUCTO: a) El producto de dos números enteros del mismo signo da como resultado un número

entero positivo. �3��4� = 12�−4��−2� = 8

b) El Producto de dos números enteros de diferente signo da como resultado un número entero de signo negativo.

�−5��2� = −10�3��−5� = −15 Para indicar operaciones más complicadas es necesario usar símbolos de agrupamiento, en estos casos debemos respetar la jerarquía de las operaciones, por ejemplo la operación )64(35 ++ , primero se realiza la suma dentro de los paréntesis )10(35+ , enseguida la multiplicación

305+ y por último la suma, el resultado final es 35, esto lo representamos: 35305)10(35)64(35 =+=+=++

En el siguiente ejemplo observa el orden en que se realizaron las operaciones

( )[ ]{ } ( )[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }{ } 686443224

36424123424483424 2283424 53283424

=+=−−=−−=−−=+−−=−−−−=−−−−

Otra operación importantes es la potencia, la cual es una simplificación de la multiplicación, esta se presenta cuando una cantidad se multiplica por si mimo varias veces, por ejemplo si

multiplicamos )3)(3)(3)(3( lo podemos escribir como 43 , una potencia tiene dos elementos, la base que en este caso es el número 3 y el exponente que indica el número de veces que se toma la base como factor, en general una potencia se puede escribir como:

aaaaaaaaan ....))....()()(( == Al estudiar los números enteros se encontró que cualquier entero positivo se puede expresar como el producto de números primos, a esto se le conoce como “El principio Fundamental de la Aritmética”. Los números primos los tienen la característica que sólo se pueden dividir exactamente entre ellos mismos y la unidad, algunos de estos números son los siguientes:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ..


7

El proceso para factorizar un número en factores primos se realiza dividiendo consecutivamente el número en factores primos, bajo el siguiente esquema: Por ejemplo el número 48 lo podemos expresar en números primos de la siguiente manera 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1 48=(24)(3)

ACTIVIDAD 1 1.- Realiza las operaciones siguientes:

a).- =−+ )63(68

b).- [ ])43(32 +−− =

c).- { }=−−+−− )63(4)23(3

d).- { }2)63(33 34 −−− =

e).- ( )[ ]{ }2 32263 3 −−−+ =

f).- ( )[ ] ( )[ ] =−+−++−−−− 12(4325 63(342

g).- [ ] =−+− 223 )53(3)43(

2.- Descomponer en factores primos los siguientes números usando el principio fundamental de la aritmética. a).- 192

b).- 525 c).- 1500


8

ACTIVIDAD 2 NUMEROS RACIONALES

COMPETENCIA.- Simplifica y realiza operaciones con números fraccionarios. Estos números se originan por la división de dos enteros, por ejemplo al dividir 4/2=2, el cual es un entero, pero si hacemos la división:

....66666.03

2 =

El resultado no es un entero, es posible desarrollar operaciones con estos números sin expresarlos en su forma decimal, a estos se les conoce como fracciones. Una característica de estos números es que al realizar la división sus decimales presentan periodicidad. Los números racionales se definen como el cociente de dos números enteros ��, donde � ≠ 0, se representan por la letra � De acuerdo a esta definición los números enteros son racionales, por ejemplo el número 2 lo

podemos escribir como 12

. Otro concepto importante es el de fracciones equivalentes, las cuales tienen la propiedad de que su valor numérico es el mismo, si consideramos las fracciones:

8

6

4

375.0

8

675.0

4

3 === entonces

Las fracciones equivalentes se obtienen al multiplicar o dividir el numerador o denominador por el mismo número, excepto el cero. OPERACIONES

Para sumar fracciones deben tener el mismo denominador, las fracciones 5

6

5

3 y se pueden

sumar directamente:5

9

5

6

5

3 =+ , observe que solo se suman los numeradores y queda el mismo

denominador. Si las fracciones tiene diferente denominador, se deben llevar a un denominador común, esto lo podemos hacer usando el principio de las fracciones equivalentes. Si queremos

sumar las fracciones: 3

2

5

3 + las transformamos en las fracciones equivalentes: 15

19

15

10

15

9 =+

Observe que el común denominador es el producto de los denominadores, en algunos casos el común denominador se puede obtener por observación, este tiene la propiedad de

poderse dividirse entre cada denominado. Por ejemplo, la operación 12

5

3

2 + , el común

denominador pueden ser los números 12,24,36,… utilizando cualquiera de ellos debemos obtener el mismo resultado, por facilidad se utiliza el Mínimo común denominador.. Para obtener el MCD se dividen los denominadores entre factores primos y el MCD es el producto de los factores:

Sumar 45

4

60

7

15

3 ++ al descomponer cada denominador en factores primos se obtiene:

15 60 45 5 3 12 9 3 1 4 3 3 4 1 4 1 El MCD=(5)(3)(3)(4)=180


9

Realizando la suma 180

73

180

162136

180

)4(4)3(7)12(3

45

4

60

7

15

3 =++=++

=++

PRODUCTO El producto entre fracciones se realiza multiplicando los numeradores y denominadores, las reglas de los signos para los enteros también se aplican para los racionales.

( )5

4

5

2

1

2

5

22 )

4

15

2

5

2

3 c)

20

3

5

3

4

1 b)

15

8

)5)(3(

)2)(4(

5

2

3

4 a) =

=

−=

−−=

−

==

d

Se observa que el resultado anterior se puede obtener multiplicando el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda se obtiene el numerador de la fracción resultante y al multiplicar el denominador de la primera por el numerador de la segunda se obtiene el denominador del resultado:

8

15

5

24

3

=

ACTIVIDAD 2 Realiza las operaciones siguientes:

a).- =−+12

1

3

5

4

2

b).- =+−32

7

28

5

64

3

c).- =

++2

35

2

3

22

d).- =

−+−+5

11

3

25

5

2

5

4

e).- =

−

+2

5

23

2

32

f).- =−

+

3

22

5

33


10

ACTIVIDAD 3 NUMEROS IRRACIONALES

COMPETENCIA.- Simplifica y Realiza operaciones con números con radicales. Son aquellos que no se pueden escribir como una fracción, las raíces de números que no son

exactas son irracionales 2 , 3 5 así como el valor de pi � = 3.1416…, la característica principal es que los decimales no son periódicos, se representan por �′. Los números con radical se pueden sumar si tienen el mismo orden de su radical y el mismo subradical, por ejemplo:

333 5 25 35

363)42(3432

−=−

=+=+

Para multiplicación solo es necesario que tengan el mismo orden del radical:

333 123 4

1262

=

=

En la división se tiene la misma característica anterior:

23

6

3

6 ==

Para algunas multiplicaciones de números irracionales es necesario utilizar una propiedad llamada distributiva, por ejemplo, consideremos el producto:

242)22(2)1(2)321)(2( +=+=+ Al realizar la operación se observa que el número 2 se multiplica por cada número dentro del paréntesis, esto lo podemos generalizar para cualquier número:

acabcba +=+ )( Esta propiedad es una de las más importantes para el desarrollo del álgebra. Usando esta propiedad es posible desarrollar los productos:

15356336

)53)(32()3)(32()533)(32(

++−−=

++−+=+−+

En este ejercicio no es posible simplificar, puesto que hay radicales del mismo tipo. Es posible simplificar los radicales expresando el subradical en dos factores, de tal manera que uno de ello tenga la raíz exacta, consideremos el radical 12 , este lo podemos escribir

3234)3)(4( == , para números más grandes se usa el principio fundamental de la

aritmética. Simplifiquemos 128= 28264 = . Otra operación importante con los radicales es la racionalización, la cual consiste en quitar el radical o radicales del numerador o denominador de un cociente donde hay radicales.

Supongamos que se quiere racionalizar el denominador del número 2

2, para esto se multiplica

el numerador y denominador por 2 , la operación es:

22

22

4

22

2

2

2

2 ===⋅


11

ACTIVIDAD 3: 1.- Simplifica los siguientes radicales:

a).- 32 =

b).- =720

c).- =3 54 2.- Realizas las operaciones indicadas:

a).- =−+ 54580 b).- ( )=+ 233

c).- ( ) =+2

522

d).- =75

160

3.- Racionalizar el denominador

a).- =3

5

b).- =6

3

c).- =2

2

Si reunimos a todos los números que hemos tratado en un solo conjunto formaremos el conjunto llamado NÚMEROS REALES, los cuales tienen la característica de poderse expresar mediante una notación decimal. Así tenemos el siguiente esquema: Enteros positivos (Naturales) Z+

Racionales � Cero Enteros negativos Z-

Números reales � Irracionales �′


12

ACTIVIDAD 4 PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

COMPETENCIA.- Utiliza las propiedades de campo para desarrollar una operación. Al estudiar las operaciones con los números se pueden obtener propiedades básicas a las cuales se les conoce como propiedades de campo de los números reales, que son: Sean cba ,, números reales: 1.- Existe un elemento identidad en la suma y multiplicación:

aa =+ 0 aa =)1( 2.- Existe un inverso multiplicativo y aditivo para cada número (excepto el cero en la multiplicación)

0)( =−+ aa 11 =

aa

3.- Propiedad Asociativa: )()( cbacbacba ++=++=++ )()( bcacababc == 4.- Propiedad conmutativa: abba +=+ baab= 5.- Propiedad Distributiva:

acabcba +=+ )( 6.- Propiedad de cerradura: ba + es un número real y ab es un número real El buen manejo y entendimiento de las propiedades de campo de los números reales es requisito indispensable para poder desarrollar el álgebra. En las operaciones anteriores aparecen literales y números, a estas se les llama expresiones algebraicas A continuación se muestran algunas operaciones donde se utilizan las propiedades de campo de los números reales. Ejemplo: Multiplicar )1(2 +a usemos la propiedad distributiva:

identidad elemneto del propiedad la usando 22)1(22)1(2 +=+=+ aaa Ejemplo: Multiplicar )43)(32( ++ aa

12176

asociatia propiedad 12896

vadistributi propiedad )4)(3()4)(2()3)(3()3)(2(

vadistributi propiedad )4)(32()3)(32()43)(32(

2

2

++=

+++=

+++=+++=++

aa

aaa

aaaa

aaaaa

Multiplicar )13)(13( −+ aa

aditivo inverso 19

identidad Elemento )1()3(39

vadistributi propiedad )1)(1()3)(1()1)(3()3)(3(

aconmutativ propiedad )13)(1()13)(3(

vadistributi propiedad )1)(13()3)(13()13)(13(

2

2

−=

−+−++=

−+−++=+−++=

−+++=−+

a

aaa

aaaa

aaa

aaaaa


13

ACTIVIDAD 4 Realizar las siguientes operaciones, indicando la propiedad de campo utilizada

a).- =+ )2(3 a b).- =++ )2)(1( xx c).- =+ 2)3(a d).- =−+ )23)(32( xx

e).- =+ 3)1(a g) =−+ )23)(1( 2 xx


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ACTIVIDAD 5 PROPIEDADES DE LA IGULADAD

COMPETENCIA. - Aplica las propiedades de la igualdad para resolver ecuaciones de primer grado. El signo igual se usa en aritmética para indicar el resultado de una operación:

4 + 3 = 7 4(5-2(3+1)) = 4(5-2(4)) = 4(-3) =-2

Es decir lo usamos en la lectura de expresiones matemáticas siempre de izquierda a derecha, o también para relacionar procesos que nos el mismo resultado:

(4)(3)=(2+2)(3)=(5-1)+(6-3) En todos los casos anteriores los supuestos que establecen son siempre verdaderos, pero en el caso de que en las expresiones existan literales, el sentido del signo igual es diferente, por ejemplo:

a + =5 7 Esta igualdad no se cumple para cualquier valor de a , se observa que solo el número 2 la hace verdadera, en este sentido el signo igual indica restricción, en este caso se le llama una ecuación, tomemos ahora el siguiente ejemplo:

222 2)( bababa ++=+ Esta igualdad se cumple para cualquier valor de a y b.

2525

91245

3)3)(2(223)+(2 3y 2 Si2

222

=++=

++=== ba

El signo igual relaciona dos expresiones que numéricamente son iguales, pero están escritas de forma diferente. Se dice que las expresiones son equivalentes (en este caso fue una identidad). En álgebra el signo igual en estas expresiones debe verse en forma bidireccional, es decir, debemos verlo actuar tanto de izquierda a derecha, como de derecha a izquierda. Otro uso de signo igual es para relacionar valores de una variable con los valores de otra, esto da origen al concepto de función, si tenemos la expresión:

y x= +2 5 Nos dice que al valor de la variable y le corresponde el valor que impone la variable x :

6515)(2 2

1 Si

7525)1(2 1 Si

9545)2(2 2 Si

21 =+=+==

=+=+===+=+==

yx

yx

yx

Como vez el signo igual tiene varias interpretaciones que es importante distinguirlas claramente. Podemos mencionar que la igualdad tiene las siguientes propiedades.

bcacba

cbcaba

cacbba

abba

aa

==+=+=

=====

=

entonces Si tivaMultiplica

entonces Si Aditiva

entonces y Si Transitiva

entonces Simetrica

Reflexiva


15

Las propiedades de campo de los números reales y de la igualdad son de suma importancia para un manejo de las propiedades algebraicas. Determinar el valor de a de la siguiente expresión:

2 4 10a + = Para obtener el valor de a debemos aplicar las propiedades de la igualdad y las propiedades de campo:

identidad Elemento 3

tivamultiplica Propiedad 2

6

2

2

identidad Elemento 62

aditivo Inverso 602

aditiva Propiedad 410442

=

=

==+

−=−+

a

a

a

a

a

Podemos decir que una cantidad pasa de un miembro a otro efectuando la operación contraria pues existen propiedades de las operaciones que permiten hacerlo así, es decir, si está sumando se pasa restando, si está multiplicando se pasa dividiendo y viceversa, a esto se le conoce como TRANSPOSICION DE TERMINOS. Hay que tener mucho cuidado al aplicar estos atajos, puesto que su aplicación incorrecta puede conducir a errores, resolvamos el ejemplo anterior usando transposición de términos: 2x + 8 = 16 Pasamos el 8 restando al segundo miembro 2x = 16 -8 2x = 8 Pasamos dividiendo el 2 al segundo miembro y luego reducimos 8/2 a 4 x = 4 ACTIVIDAD 5 1.- Calcular el valor de la incógnita usando las propiedades de la igualdad

xxx

xxaaa

bbx

532 f) 3x -12

2x-14

3

123 e)

57

2

3

5

4

1 d) 2

5

2

3

1 c)

3853 b) 1564 a)

=+=

+

−

+−=+−+=+

+=−=+

2.- Despejar la literal que se indica en cada fórmula: a) = !" + #$ despejar $ b) % = &'()* + ℎ despejar � c) = -)

. despejar /


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ACTIVIDAD 6 DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA

COMPETENCIA.- Plantea y resuelve problemas que dan origen a ecuaciones de primer grado. Es de primordial importancia, contar con una buena base en Álgebra para los cursos avanzados de Matemáticas. También es útil en problemas de la Industria, los Negocios, la Estadística y muchas otras. El Algebra se ha desarrollado a partir de la generalización de las reglas y operaciones de la Aritmética. Las siguientes operaciones con números:

4+7, (37)(681), 79 – 22, 40 / 5 Se pueden representar de manera general si se introducen símbolos o letras para denotar números arbitrarios obteniendo “Expresiones Algebraicas”, en las cuales aparecen números y letras realizando diferentes operaciones, las operaciones anteriores se pueden representar con símbolos:

a+b, cd, x – y, x/a Este lenguaje del Algebra es útil por dos razones. Primero, puede ser utilizado para abreviar y simplificar expresiones largas o complicadas y segundo, es un modo adecuado de generalizar muchas expresiones específicas. Algunas fórmulas usadas en la ciencia y en la industria nos pueden ayudar a ilustrar la generalidad del Algebra. Por ejemplo si un avión vuela a razón constante de 300 mph (millas por hora) durante 2 horas, entonces la distancia recorrida es

(300)(2) o 600 millas Si la velocidad es de 250 mph y el tiempo transcurrido es de 3 horas, entonces la distancia recorrida es de

(250)(3) o 750 millas Si ahora introducimos símbolos y denotamos con 0 la velocidad, $ el tiempo transcurrido y d la distancia recorrida, entonces se puede representar 1 = 0$, a estas expresiones se les conoce como fórmulas. Otro tipo de expresiones que se obtienen son los procesos de simbolización de problemas son las ecuaciones de primer grado, en la cuales existen una o más cantidades desconocidas las cuales se representan por una literal, consideremos la siguiente situación. La suma de las edades de Pedro y Juan suman 75 años, pero Pedro es mayor 15 años que Juan, ¿Cuáles son las edades de cada una? En este caso la solución la podríamos obtener por prueba y error, usando un procedimiento matemático el planteamiento es el siguiente:

Edad de Pedro + Edad de Juan = 75 Edad de Pedro= Edad de Juan + 15

Se tomamos la edad de Juan = x, entonces Edad de Pedro = x + 15 Sustituyendo en la suma de las edades:

x + 15 + x = 75 Resolviendo la ecuación se x= 30, entonces la edad de Juan es 30 años y la de Pedro es 45 años.


17

Una persona tiene dos tipo de café, uno nacional que cuesta $ 120 el kilogramo y otro importado que tiene un costo de $ 180 el kilogramo, quiere forma una mezcla la cual la pueda vender a $150 el kilogramo, determine cuantos kilogramos de cada café debe utilizar: Se debe cumplir que:

Cantidad de café nacional + Cantidad de café importado=100 En cuanto a los ingresos se tiene: Ingresos por la venta del café nacional + Ingresos por el café importado = 100(160) Si consideramos Cantidad de café nacional = x , entonces Cantidad de café importado= 100-x Sustituyendo en la segunda condición: 120 x + 180 (100-x)=16000 Despejando se obtiene que x= 33.33 kg de café nacional, por lo tanto 100-x= 66.37 kg de café importado. ACTIVIDAD 6 1.- Determine tres números enteros positivos consecutivos cuya suma sea 93. 2.- Una persona pagó por un par de zapatos $760. La tienda tenía una oferta de descuento del 15%. ¿Cuál era el precio original de los zapatos? 3.- El Depto. de recursos humanos de Kuroda le informa a uno de sus empleado que su sueldo se incrementará un 4.85%. Si recibirá $6250 mensuales. ¿Cuál era su salario anterior? 4.- Una persona quiere invertir $15000, tiene dos opciones: la primera una cuenta que le paga el 8% de interés anual y la otra que le paga el 12% de interés anual. Al final de un año quiere reunir $1700 por concepto de intereses, ¿Cuánto debe invertir en cada cuenta? 5.- Se tiene un terreno cuyo perímetro es de 500m, si se sabe que el largo es 25% más grande que el ancho, ¿Cuales son las dimensiones del terreno? 6.- Una persona tiene $120 en monedas de $5 y de $2, si hay tres veces más monedas de $2 que las de $5, ¿Cuantas monedas hay de cada denominación?


18

ACTIVIDAD 7 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

COMPETENCIA.- Realiza operaciones usando las propiedades de los exponentes. Una potencia con exponente entero positivo, indica el número de veces que una cantidad se toma como factor, por ejemplo aaaa =3 , se pueden obtener propiedades generales para realizar operaciones con los exponentes de potencias, el valor de / se llama base y 2 expoenente.

0 .6

)( .5

0 1 .4

)( .3

0 .2

.1

positivos enteros números ,y reales números ,Sean

0

≠=

−

=−

≠=−

=−

≠=−

=−

−

+

bb

a

b

a

baab

aa

aa

aaa

a

aaa

nmba

m

mm

mmm

mnnm

nmn

m

nmnm

Si se tienen exponentes negativos se utiliza la propiedad:

nn

aa

1=−

Ejemplos.- Se aplican las propiedades de los exponentes para simplificar las siguientes expresiones sin exponentes negativos.

27333

6 h)

1111

)

4

1

)2(

1)2(

2 g)

64

1

)8(

1)8( )

1)( f) )( )

12)4)(3( e) ))(( )

6243283263

12

60

11

64232232

2

3

2

222

6632

4

664232

4332936

yxyxyyxx

yx

yx

baba

d

yxyxyx

y

x

xxxc

bbb

a

bbabab

yxxyyxxxxa

=

=

=

+=

+

===

==

====

==

−−−−

−−

−−

−−−−−


19

ACTIVIDAD 7 1.-Usando las propiedades de los exponentes simplifique cada expresión sin exponente negativo (suponga que las cantidades en el denominador son diferentes de cero).

a).- =)3)(2( 323 xyyx b).- =)3)(3( 332 yxxy

=

=

=

=

++

==

==

−

−−

−

−

−

−

−

−

−

−

−−−

23

15

432

12

2

21

12

3

322

021

2

2

212

3

3

32

0232

2 -j).

34 -i).

3

3 -h).

)(

)( -g).

6

3 -f).

8

16 -e).

)4( -d). )3()(2 -c).

yx

yx

yx

xy

yx

yx

ay

ay

ba

ba

yx

xy

ax

xa

xyabba


20

ACTIVIDAD 8 EXPONENTES RACIONALES

COMPETENCIA.- Realiza operaciones usando exponentes fraccionarios. En las operaciones anteriores solo se trabajaron exponentes enteros positivos, en general el exponente puede ser un número real, a continuación trataremos los exponentes racionales. Ya se estudiaron los números irracionales algunos de los cuales los podemos representar por medio de un radical, por ejemplo 2 y definimos que la raíz de un número es otro número que al elevarlo al orden del radical da como resultado el subradical, por ejemplo.

2 se caudrado al elevado que númroun encontrar debemos caso esteen 2

42 que puesto 24 2 ==

Si recordamos las propiedades de los exponentes ( )a an m nm= , tenemos 3√25* = 1 entonces es válida la siguiente operación:

22222 que puesto 22 12

2)2(

2

12

2

1

2

1

====

=

Que es el resultado que buscábamos. Se concluye que cualquier radical lo podemos transformar a una potencia con exponente racional:

Sea n a , con a>0 si n es par, entonces nn aa1

= siempre y cuando n sea diferente de cero. Ejemplos.- escribir los siguientes radicales con exponente racional

0)( )(

11

)5(5 33

4

142

1

2

1

5

153

132

1

≥++=+==

−=−==

−bababaa

aa

xx

Si el subradical es una potencia se razona de la misma manera, por ejemplo a35 lo podemos

escribir como a3

5 puesto que 3

5

5

3

aa =

, en forma más general podemos decir que:

Sea amn , con 0≥ma si n es par, entonces 0con , ≠= naa n

mn m

Estos exponentes racionales cumplen con todas las propiedades de los exponentes enteros, para su buen manejo es necesario recordar las operaciones con los números racionales, hagamos algunos ejemplos:

15

215

2

3

1

5

23

1

5

2

6

1

2

1

3

2

2

1

3

2

12

7

4

1

3

1

4

1

3

1

2

1

2

1

2

1

1 d)

c) b) 3233)

b

bbb

xx

x

xaaaaa

===

====

=+

−⋅−−

−+


21

ACTIVIDAD 8 1.- Usando las propiedades de los exponentes simplifique cada expresión, de tal manera que en el resultado no aparezcan exponentes negativos:

41

2

f)

2

4 e)

24 d)

2 c)

2 b)

)2( a)

2

211

5

12

5

1

3

1

3

12

4

1

2

1

3

22

3

1

3

2

3

1

3

2

3

12

=

=

=

=

=

−

=+

−

−

−

−

mn

mn

yx

yx

yx

yx

xx

yx

aaa

xxx


22

UNIDAD II

OPERACIONES CON EXPRESIONES

ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES Y

FACTORIZACIÓN


23

ACTIVIDAD 9 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

COMPETENCIA.- Clasifica y realiza operaciones con expresiones algebraicas. Una expresión algebraica está formada por la suma, diferencia o cociente de números y literales elevadas a diferentes potencias, por ejemplo:

132 2 −+ xx yx

x

yx

yxw

yabab

+−

−++++ 2

1

xy 362

2

En los ejemplos anteriores las expresiones las podemos dividir en expresiones más pequeñas llamadas términos, por ejemplo xx 35 2 + tiene dos términos 25x y x3 , esto tiene por objeto hacer una clasificación de las expresiones de acuerdo al número de términos, por ejemplo:

cuatro o términosdos Tiene 3

5

2

términos tresTiene 532

términosdos Tiene 501022

2

−++++

+

aba

abab

xx

El concepto de término es relativo y depende del sentido que se le dé a la expresión. A las expresiones que involucran sumas y restas de términos que son productos de números o variables elevadas a exponentes enteros les llamaremos MULTINOMIOS, por ejemplo: 532 ++ xyx 232 76 abba + 63 23 −++ xxx En particular si existe una sola variable, le llamaremos POLINOMIOS, la expresión x3+3x2+x-6 es un polinomio con respecto a x, otros ejemplos: 636 24 −+ xx 332 2 −+− xx cbxx ++2 De lo anterior podemos decir que un término está formado por el producto de un coeficiente numérico y variables elevadas a diferentes potencias positivas. Los Multinomios se pueden clasificar de acuerdo a su número de términos o a su grado, el segundo se obtiene como la suma de los exponentes de la parte literal de cada término, el grado del multinomio será el mayor de los términos. Multinomio Tipo grado

0 Monomio 8

6 Monomio 5-

4 Binomio

2 Trinomio 632

23

22

2

zxy

cxxab

xx

+

++

Como los términos involucrados en los multinomios son números reales, las propiedades de estos son aplicables para las operaciones algebraicas. Uno de los objetivos básicos del álgebra es la simplificación de las expresiones algebraicas, es decir, llevarlas a una forma donde se use la menor cantidad posible de términos y operaciones, así como realizar las operaciones básicas con estas expresiones. La simplificación se basa en el concepto de agrupación de términos semejantes, los cuales tienen la característica de tener la misma parte literal elevada a los mismos exponentes, por ejemplo:


24

Términos semejantes

5 2

4

2 2

2 2

x y x y

ab ab

ax ax

,

, 3

,

−

− −

Hagamos algunos ejemplos: 1.- Simplificar las siguientes expresiones 6x2y+ 3x2+ 2x2y-3x2 = 6x2y+ 2x2y + 3x2-3x2 = (6+2)x2y+(3-3)x2

= 8x2+0(x2)=8x2

Podemos omitir algunos pasos para simplificar las operaciones, se observa que al agrupar sólo se suman los coeficientes de los términos y podemos marcar los términos semejantes para no cambiarlos de lugar:

83236 22222 xxyxxyx =−++−−−−−−−−−−−

En conclusión al sumar o restar dos o más expresiones algebraicas debemos agrupar los términos semejantes, (en el caso de la resta debemos cambiar de signo al sustraendo), algunos ejemplos: Sumar 6x2 + 3x + 5 a 8x2 - 5x + 6 (6x2 + 3x+5)+(8x2-5x+6)= 6x2+ 3x+ 5 + 8x2-5x+6 = 14x2-2x+11 Restar 5xz + 3x2z a 8xz-4x2z-10 (8xz-4x2z-10)-(5xz + 3x2z) = 8xz-4x2z-10-5xz-3x2z = 3xz-7x2z-10

35

14

15

4

351

52

332

)351

52

()332

(

35

1

5

2 a 3

3

2Sumar

32

32323232

3232

++=

+−−+=+−−++

+−−+

abyx

abyxabyxabyxabyx

abyxabyx

ACTIVIDAD 9 1.-Indicar en los siguientes ejercicios el tipo y grado de los multinomios: a).- x3-6x ____ b).- -3cb3z2 ____ c).- a3b3-6a2bc4+8ab____ 2.- Sumar los Multinomios siguientes a).- 3x2+2x-5 y -2x2+5 b).- -8x3+2x2-1 y 5x3+x-5 c).- -7c2b2-3cb+2 y 4c2b2 + 8cb-5 d).- 3xnym +8xn y -6xnym-6xn


25

2.- Restar los polinomios siguientes: a).- -2x2+ 3x-4 de 6x2-4x+1 b).- 8x3+ 4x-5 de -9x3+ x2+9 c).- 4a4b-6ab4+2 de 2a4b+ab4-7 d).- 8x2nyn+5xn de -9xn-3x2n-5 4.- Realizar las operaciones indicadas a).- (b2+3b-4)+(b3-b2-b+4) b).- 3(x3+4x4-2)-2(x4-x3-x+1) c)- 2(5c4b2-7c2b4+3)-3(2c2b2+cb-7)-4(-c2b2-cb-6)


26

ACTIVIDAD 10 PRODUCTOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

COMPETENCIA.- Realiza productos con expresiones algebraicas. Para multiplicar expresiones algebraicas se utiliza la propiedad distributiva. Por ejemplo al multiplicar 2x2+ 3x +6 por 2x-x2 se representa (2x+ x2)(2x2+ 3x +6) Si tomamos a 2x-x2

como un número, podemos distribuir entre los términos de 2x2+3x+6

= (2x-x2)(2x2)+(2x-x2)(3x)+(2x-x2)(6) Aplicamos de nuevo la propiedad

distributiva = (2x)(2x2)+(-x2(2x2)+(2x)(3x)+(-x2)(3x)+(2x)(6)+(-x2)(6)

= 4x3-2x4+ 6x2-3x3+ 12x-6x2 Agrupamos términos semejantes

= x3-2x4+ 12x

semejantes terminos hay no

( rMultiplica

24222

2222

222

23

9

2

3

2

9

1

3

1

)3

2)(

3

1()

3

2)(()

3

1)(

3

1()

3

1)((

)3

2)(

3

1()

3

1)(

3

1(

)3

2

3

1)(

3

1

abababa

bababaaaab

baabaaab

baaab

+++=

+++=

+++=

++

La operación anterior se puede simplificar si multiplicamos cada término de la primera expresión por cada término de la segunda: (2x-x2)( 2x2+ 3x+6)=4x3+ 6x2+ 12x-2x4-3x3-6x = x3-2x4+ 12x

La operación anterior la podemos realizar en la siguiente forma. 2x2+3x+6 -x2+2x 4x3+6x2+12x -2x4-3x3-6x2

-2x4+ x3 +12x


27

ACTIVIDAD 10 1.- Realizar los productos indicados: a).-(-6x2y3)(-3x4y) = b).- (5b2c)(-7b3c3) =

c).- -6x2y(2xy-8x3)= d).-(5xy+3)(2xy-7)= e).- (7x+2y)(7x-2y)= f).- (6x-7y+2)(2x-3y)= g).- (3a-7b)(4a2-2ab+7b2)= h).- (4x+5y)(8x2+xy-3y2)= i).- {(x-2y)+5} {(x-2y)-5}= j).- (xn-yn)(xn+yn)= k).- (x2-3xy+ 2y2)(2x2+ 4xy-3y2) =


28

ACTIVIDAD 11 DIVISIONES DE MULTINOMIOS

COMPETENCIA.- Aplica el algoritmo de la división entre Multinomios. Para dividir dos expresiones dos Multinomios se aplica el siguiente algoritmo: 1. - Ordenar las expresiones en forma descendente. 2. - Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. 3. - Multiplicar el resultado por los términos del divisor y restar el producto al dividendo. 4. - Determinar si el grado del primer término del residuo es menor al grado del primer

término del divisor, si lo es, se termina el proceso, si no lo es, se repite el paso 2 en adelante.

EJEMPLOS

Dividir x2-x3+1 entre x-2 Ordenamos los polinomios -x3+x2+0x+1 y x-2 , en el lugar que ocupa la potencia x se deja un espacio:

3-

42

12

2

10

2

2

102

2

2

23

2

23

−++−

−+

++−

−+

−−−+++−−

x

x

xx

xx

xx

xx

xxxx

El resultado se escribe 2

3

2

1 223

−−+−−−=

−++−

xxx

x

xx

ACTIVIDAD 11 1.- Realiza las siguientes divisiones a).- (2x2+5xy-3y2)/(2x-y) b).- (x5-x4-2x3+4x2-15x+5)/(x2-5) c).- (6c3+5bc2+4b2c+b3)/(b+3c)

d).- (y5-y4+y2+3y+2)/(y2+y+1)


29

ACTIVIDAD 12 PRODUCTOS NOTABLES

COMPETENCIA.- Desarrolla binomios usando las reglas de los productos notables. En la búsqueda de racionalizar el trabajo algebraico, es posible encontrar reglas que nos permitan hacer algunas operaciones sin necesidad de desarrollar todo el proceso, esto principalmente en el producto y división, en el presente sección se estudiarán algunas de estas reglas. Como los productos notables y factorización son dos procesos esencialmente inversos, iniciaremos con los productos notables. Una de las operaciones básicas que se pueden desarrollar como una regla es la potencia de binomios, el primer caso es un binomio al cuadrado, la regla la obtenemos a partir de la propiedad distributiva: 22222 2)()())(()( bababababababbaabababa ++=+++=+++=++=+

Omitiendo los pasos intermedios tenemos que 222 2)( bababa ++=+ , traduciendo literalmente tenemos la regla: El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. Al resultado de elevar un binomio al cuadrado se le denomina trinomio cuadrado perfecto. Ejemplos: Desarrolle los siguientes binomios al cuadrado usando la regla. ( a+3)2 = a2+2( a )(3)+32 = a2+6 a+9 (2b-1)2 =(2b)2+2(2b)(-1)+(-1)2 =4b2-4b+1 (x2+5)2 =(x2)2+2(x2)(5)+52 = x4+10x2+25 (3xy2+2y)2 =(3xy2)2+2(3xy2)(2y)+(2y)2= 9x2y4+ 12xy3+ 4y2

(b2n+ 5n)2 =b4 n + 2b2n5 n +52n

( ) ( )

( )aaaaaaaaa

yyxxyx

xxxxxxxxxx

xxxxx

++=

+

+

=

+

+++−+−=++−

+−=

−+

−+=

−

++=+

+

=

+

6

5

3

22

2

1

2

1

3

12

3

12

2

1

3

1

222

22

22

2222

22

)2()2)(1(2)1()2()1(

4

1

2

1

2

12

2

1

163

8

9

14)4(

3

12

3

14

3

1


30

ACTIVIDAD 12 1.- Desarrolla cada expresión usando la regla del binomio al cuadrado: a).- (c-3)2 b).- (3-b)2 c).- (5a+6)2 d).- (x2+y2)2 e).- (6ab2+3ba)2 f).- (xm+yn)2 g).- (2n+1+2n)2 h).- (

31 cb+b2)2

( )

( )

( )223

22

22

2

23 -n). 3

5

5

3 -m).

)1( -l). 1

2

3 -k).

33 -j). 341

-i).

+

−

−+

+

+

−

xx

yxy

x

xyy

De la misma forma podemos obtener una regla para elevar un binomio al cubo:

32233 33)( babbaaba +++=+ ACTIVIDAD 12.1 1.- Desarrollar los binomios al cubo, usando la regla: a).- =+ 3)2(x b).- =− 3)52( x c).- =+ 32 )2( xx d).- =+ 3

312 )( aba

2.- Realizar las operaciones y simplificar

a).- =+++ 23 )1(2)12( xx

b).- =−−+ 332 )2()2( xx

d).- =−−−−+++ 2323 )()()()( hxhxhxhx


31

ACTIVIDAD 13 BINOMIO DE NEWTON

COMPETENCIA.- Aplica la fórmula de Newton para desarrollar un binomio a diferentes potencias.

Esta fórmula permite desarrollar un binomio a una potencia positiva, su forma es la siguiente:

( ) nkknnnnnn bbak

knnnnba

nnnba

nnbnaaba +++−⋅⋅−−++−−+−++=+ −−−− ..

!

)1()2)(1(...

!3

)2)(1(

!2

)1( 33221

La operación !k se le conoce como el factorial de un número, y se calcula: 1)3)(2)(1(! ⋅⋅⋅−−−= kkkkk ejemplo 12012345!5 =⋅⋅⋅⋅= Al desarrollar el binomio 5)2( +x usando la fórmula del binomio de Newton se obtiene:

543223455 )2(!5

)1)(2)(3)(4(5)2(

!4

)2)(3)(4(5)2(

!3

)3)(4(5)2(

!2

)4(5)2(5)2( +++++=+ xxxxxx

3280804010 2345 +++++= xxxxx Una forma de obtener los coeficientes del desarrollo de Newton es usar el triangulo de pascal 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Por ejemplo �" + 2�6 = "6 + 4�"7��2� + 6�"*��2*� + 4�"��27� + �26� = "6 + 8"7 + 24"* + 32" + 16 ACTIVIDAD 13 1.- Desarrolla los siguientes binomios usando la fórmula de Newton: a).- =+ 4)( hx b).- =− 5)3(x c).- =+ 6)12( x


32

ACTIVIDAD 14 PRODUCTOS DE BINOMIOS

COMPETENCIA.- Multiplica binomios usando la regla correspondiente.

Al multiplicar dos binomios usamos la propiedad distributiva, por ejemplo: (x+3)(x+2)=x(x+2)+3(x+2)=x2+ 2x +3x+ 6= x2+ 5x+6 (2x+5)(3x-2)=2x(3x-2)+5(3x-2)=6x2-4x+15x-10=6x2+11x-10 (x+y)(x-y)=x(x-y)+y(x-y)=x2-xy+xy-y2=x2-y2

Para algunos productos se pueden establecer reglas que permiten realizarlos más rápidamente. Al primer producto se le denomina producto de binomios con un término común, una condición que se pide es que el coeficiente de los términos comunes sea uno, por ejemplo: (b+5)(b+6)=b(b+6)+5(b+6)=b2+6b+5b+30=b2+11b+30 (c-3)(c+4)=c(c+4)-3(c+4)=c2+4c-3c-12=c2+c-12 (x-5)(x-3)=x(x-3)-5(x-3)=x2-3x-5x+15=x2-8x+15 De los ejemplos se puede observar que el coeficiente del término central del trinomio, es la suma de los términos no comunes y el tercer miembro es el producto de éstos, si lo hacemos en general: abxbaxabaxxbxbxabxxbxax +++=+++=+++=++ )()()())(( 22 Lo anterior corrobora nuestra afirmación, hagamos unos ejemplos: (x+8)(x-3)=x2+(8-3)x+(8)(-3)=x2+5x-24 (y-3)(y-2)=y2-5x+6 (x2+5)(x2+2)=x4+7x2+10 2110)3)(7( 22 ++=++ abbaabab En el segundo caso no es mucho lo que se puede simplificar, a lo sumo algunas operaciones. (2x+6)(3x-2)=2x(3x-2)+6(3x-2)=6x2-4x+18x-12=6x2+14x-12 (y+5)(3y+4)=y(3y+4)+5(3y+4)=3y2+4y+15y+20=3y2+19y+20 La operación anterior la podemos hacer bajo el siguiente esquema: 4y 15y (y +5 ) · ( 3y + 4)=3y2 +19 y + 20 3y2

20 En forma general: bdxbcadacxdcxbax +++=++ )())(( 2 La utilidad de la expresión anterior es más que nada en la factorización. Ejemplos: (4x+7)(5x-6)=20x+ 11x-42 (2b-8)(4b-6)=8b2-34b+48 (3x-2y)(2x+ y)=6x2 -y-2y2


33

Otra operación muy común es el producto de dos binomios conjugados, los cuales tienen la característica de solo diferir en un signo, por ejemplo: (x+y)(x-y) (-3b+6)(3b+6) (x2y2-b2)(x2y2+ b2) Desarrollemos estos productos tratando de encontrar una regla: (x+y)(x-y)=x(x-y)+y(x-y)=x2- xy + yx-y2= x2-y2

(-3b+6)(3b+6)=-3b(3b+6)+6(3b+6)=-9b2-18b+18b+36=-9b2+36 (x2y2-b2)(x2y2+ b2)=x2y2(x2y2+ b2)-b2(x2y2+ b2)=x4y4+ b2x2y2-b2x2y2-b4= x4y4-b4

Se concluye que al multiplicar dos binomios conjugados se obtiene como resultado el término del mismo sigo elevado al cuadrado menos el término de signo diferente elevado al cuadrado, hagámoslo en forma general:

22))(( axaxax −=−+

A este resultado se la conoce como una diferencia de cuadrados. Ejemplos: (2x+y)(2x-y)=(2x)2-y2=4x2-y2 (c2+b2)(-c2+b2)=-c4+b4=b4-c4

(-x2-y2)(x2-y2)=-x4+y4 =y4-x4 (b2n-yn)(b2n+yn)= b4n-y2n

ACTIVIDAD 14

1.- Realiza los siguientes productos usando la regla:

a).- (x+7)(x-10) e).- (xy-10)(2xy+10)

b).- (2x+1)(2x-3) f).- (4x-2y)(x-y)

c).- (y2-8)(y2+5) g).- (yn+7)(yn-8)

d).- (3x+9)(2x-5) h).- ( ab+c)(6 ab-c)

2.- Realiza los siguientes productos entre binomios: a).- (x+5)(x-5) b).-(y-10)(y+10) c).- (2c+6)(-2c+6) d).- (-3y2+5)(-3y2-5) e).- {(x+y)-c}{(x+y)+c} f).- (x2y6-16x)(16x+x2y6) g).- (bx+1-yx)(bx+1+yx) h.-) (6x-2+5)(6x-2-5)


34

ACTIVIDAD 15 FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMUN

COMPETENCIA.- Factoriza una expresión determinando un factor común. La factorización es el proceso de descomponer una expresión matemática como el producto de factores, todas las expresiones se pueden factorizar. El primer tipo de factorización es por factor común. Por ejemplo:

8c3b2+16c2b Factorizando cada término, el factor común está formado por los factores repetidos en cada término:

2·2·2cccbb + 2·2·2·2ccb =2·2·2ccb(cb+2) =23c2b(cb+2 =8c2b(cb+2) Se puede obtener el segundo factor dividiendo la expresión original entre el factor común:

28

16

8

8

8

1682

2

2

23

2

223

+=+=+cb

bc

bc

bc

bc

bc

bcbc

Factorizar 10x2y+6xy2+8xyz Factorizando cada término:

5·2xxy+3·2xyy+2·2·2xzy =2xy(5x+3y+4z) Podemos observar que el factor común tiene las siguientes características: 1. -Contiene los factores comunes de los coeficientes numéricos (en el caso de números

enteros se expresan en factores primos y se toman los de menor exponente) 2.- Aparecen las letras comunes a todos los términos elevadas al menor exponente. 3.- El segundo factor se puede obtener al dividir la expresión original entre el factor común. Ejemplos: Factorizar: -6x3y2+ 12x3y6-4x2y2

Por simple inspección tenemos que el factor común es 2x2y2, para obtener la segunda expresión dividimos cada término entre el factor común.

-6x3y2+ 12x3y6-4x2y2= 2x2y(-3xy+ 6xy4-2)

Factorizar: 720b6c5+ 180b4c3-300b4c2

Expresamos cada coeficiente en factores primos 720 2 180 2 300 2 360 2 90 2 150 2 180 2 45 5 75 5 90 2 9 3 15 5 45 5 3 3 3 3 9 3 1 1 3 3 1

720=24·32·4 180=22·32·5 300=22·52·3


35

Factor común de los coeficientes: 22·3·5=60 60b4c2(12b2c3+ 3c-5)

Factorizar: xz

xy

z

xy

z

yx

1284

2

23

2

−+ en este ejemplo podemos tomar los el factor común del

numerador y denominador:

−+=−+x

y

zz

x

z

xy

xz

xy

z

xy

z

yx

32

1

41284 2

2

23

2

En algunos casos es necesario factorizar alguna cantidad que no se encuentra en todos los términos, por ejemplos:

222

22

2222

obtiene sey producto el efectua se correcto es resultado el quedemostrar para , 1

esión factorizac la tantolopor , factor como tomamos, expresión siguiente la de Factorizar

vcc

vc

cvcc

+

+

+

++++a

cx

a

bxacbxaxa 22 es reusltado el expresión la de Factoriza

Este tipo de factorizaciones son importantes en la solución de ecuaciones cuadráticas. ACTIVIDAD 15 1.- Factorizar cada expresión: a).- 16+24

b).- 2

9

4

3

2xx +

c).- -bc2+b2c

d).- 7x3y-3xy2+2xy

e).- 33423

3

1

2

7

3

4dcbbcddcb −+

-f).b

xa

b

ax 2

2

2 2

8+

2.- Factorizar de cada expresión la cantidad que se te indique:

34

2

22

5factor 35 )

factor 23 d)

4factor 234 )

factor b)

factor 462 a)

xxxe

abbaabx

xxc

xbax

xxx

+

++

−+

+

+−


36

Existen otras expresiones que se pueden factorizar por medio de factor común, por ejemplo:

cx+by+cy+bx No existe un factor común a todos los términos, pero si observamos el primero y cuarto tienen en común x y el segundo y tercero y, podemos agruparlos y factorizar:

cx+bx+cy+by =x(b+c)+y(b+c) Tenemos un factor común que no es un monomio, sino un binomio, usando la propiedad distributiva.

(b+c)(x+y) A este tipo de factorización se le conoce por agrupamiento. Factorizar: 2cx+bx+2cy2+by2

Los dos primeros términos tienen como factor x y los restantes y2. 2cx+bx+2cy2+by2 = x(2c+b)+y2(2c+b) = (2c+b)(x+y2)

ACTIVIDAD 15.1 1.- Factorizar cada expresión.

a).- 4tc+2bc-4tb-4b2

b).- 3x+2-12x2-8

c).- x4+2x2+tx3+2tx

d).- em+1+bem+e+b

e).- x2+bxy+cx+xy+by2+cy


37

ACTIVIDAD 16 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

COMPETENCIA.- Identifica un trinomio cuadrado perfecto y lo factoriza como un binomio al cuadrado. A continuación trataremos como factorizar un trinomio cuadrado perfecto, para esto primero debemos saber cómo identificarlo como tal, por ejemplo el trinomio:

x2+ 4x +4 Si hacemos el proceso inverso, los términos de los extremos deben provenir del cuadrado de dos números, en este caso de x y 2, el termino central debe ser el doble del producto de estos, 2(x)(2)=4x, por tanto si es un trinomio cuadrado perfecto, su factorización es simplemente un binomio al cuadrado cuyos términos son x y 2:

x2+ 4x+4=(x + 2)2

Otro ejemplo 4b2-12b+9 Debemos buscar dos números cuyos cuadrados sean respectivamente 4b2 y 9, estos son 2b y 3, ahora debemos probar que el doble de su productos es el término central 2(2b)(3)=12b , no coincide puesto que debe ser -12b, para que se cumpla podemos hacer negativo cualquiera de los números: 2(-2b)(3)=-12b o 2(2b)(-3)=-12b, la factorización es:

4b2-12b+9=(-2b+3)2

o 4b2-12b+9=(2b-3)2

Podemos concluir los siguientes pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto: 1.- Identificar que se trate de un trinomio cuadrado perfecto, para esto se buscan números cuyos cuadrados sean los términos de los extremos y el doble producto el término central. 2.- Formar el binomio al cuadrado, si el término central es negativo se le asigna un signo negativo a cualquiera de los dos términos del binomio. Ejemplos: factorizar los siguientes trinomios:

a) x2-10x+25 Los números que elevados al cuadrado dan los extremos son x y 5, como 2(x)(5)=10x si es un trinomio cuadrado perfecto:

x2-10x+25=(x-5)2

El proceso anterior se puede simplificar bajo el siguiente esquema

b) 9b2 +12bc + 4c2= (3b+2c)2

3b 2c 2(3b)(2c)=12bc


38

c) x4-6x3+9x2 Primero factorizamos por factor común: x2(x2- 6x+ 9)=x2(x-3)2

x 3 2(x)(3)=6x Con un poca de práctica la verificación se puede hacer mentalmente. d) x2n+2xnyn+1+y2n+2= (xn+yn+1)2

( )

2

3

1

2

1

3

2

3

1

2

1

22

22

2 g)

2

1

3

1

4

1

3

1

9

1 f)

2222 e)

+=++

+=++

+=++

babbaa

xxx

xxx

ACTIVIDAD 16 1.- Factorizar cada trinomio: a) x2-4x+4 b) m2-8m+16 c) x4+2x2+4 d) b3-2b2+b e) c2m+2cm+1 f)x2-2x-3 g)(x+2)2+10(x+2)+25

h) 1

16

1

6

1

94 2 3 2x y x y x− +

3 344 i) 2 ++ xx


39

ACTIVIDAD 17 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

COMPETENCIA.- Factoriza trinomios como un producto de dos binomios. Ahora trataremos los trinomios donde el coeficiente del primer término es uno y se puede escribir como x2+cx+d. Recordemos que estos provienen del producto de dos binomios de la forma ))(( bxax ++ de tal manera que: abxbaxabbxaxxbaxxaxbxax +++=+++=+++=++ )()()())(( 22 Entonces debe cumplirse que c= a+b y d= ab es decir, debemos buscar dos números cuyo producto sea d y su suma sea c, por ejemplo:

x2+ 3x+2 Los únicos números que multiplicados su resultado es 2, son (2)(1) y (-2)(-1) y sumados 3 son los primeros (2+1)=3, la factorización es:

x2+ 3x+2=(x +1)(x +2) Factoricemos x2-x-2 Los factores de -2 son (-1)(2) ó (1)(-2) de estos, el segundo cumple que su suma es el término central -2+1=-1, por lo tanto:

x2-x-2=(x-2)(x +1) Otro ejemplo: x2-3x+2 los factores del número 2 son (-2)(-1) y (2)(1), los primeros cumplen que su suma es -3:

x2-3x+2=(x-2)(x-1) El proceso es por tanteos y lo podemos resumir : 1.- Buscar los posibles factores del tercer término 2.- Determinar cuáles de los factores anteriores su suma es el coeficiente del término central. 3.- Formar el producto de los binomios. En cuanto al signo de los factores podemos concluir: 1.- Si el segundo y tercer término son positivos, los factores son positivos. 2.- Si son de diferente signo o negativos ambos, los factores tiene signo diferente. 3.- Si el segundo es negativo y el tercero positivo, ambos factores son negativos. Ejemplos: a) x2+10x+16 Los factores del 16 son:(16)(1), (8)(2), (4)(4) como el segundo y tercer término son positivos, los factores deben ser positivos y son 8x2


40

x2+10x+16=(x+8)(x+2) b) x2-x-6 Los factores son (6)(1)y(3)(2),como el segundo y tercer término son negativos, los factores deben tener diferente signo, tomamos -3 y 2 puesto que -3+2=-1

x2-x-6=(x-3)(x+2)

Existen otros ejemplos que se pueden ajustar a este caso, como x4+6x2+8 y x2+8bx+12b2 , en el primero podemos hacer c=x2, entonces el trinomio tomaría la forma c2+6c+8 que factorizado es (c+2)(c+4), sustituyendo c=x2 el resultado es (x2+2)(x2+4), para hacer este cambio la raíz cuadrada del primer término debe aparecer como la parte literal del segundo. Ejemplo: factorizar y6+4y3-21 es resultado es (y3+7)(y3-3). En el segundo caso x2+8bx+12b2 se puede resolver por analogía, si observamos la raíz cuadrado de la parte literal del primero y tercer término aparecen como producto en el término central, entonces solo buscamos dos números que multiplicados sean 12 y sumados 8, estos son 6 y 2, la factorización es:

x2+8bx+12b2=(x+2b)(x+6b) Factorizar x6-2x3b2-8b4 el resultado es (x3+2b2)(x3-4b2) El caso más general es donde el coeficiente del primer término del trinomio sea diferente de uno, estos trinomios son de la forma ex2+fx+d y deben provenir del producto de dos binomios de la forma ))(( dcxbax ++ :

gfxexbdxbcadacxdcxbax ++=+++=++ 22 )())(( Se debe cumplir que : e= ac , f= ad+bc , g=bd Esto significa que debemos buscar los factores de e y g , y combinarlos adecuadamente para obtener f. Factorizar 6x2-7x-5 Los factores de 6 son (6)(1)y(8)(2), los factores de 5 son (5)(1) Probamos combinaciones hasta obtener -7, como el tercer término del trinomio es negativo los factores del 5 deben tener diferente signo: (6x+5)(x-1)=6x2-x-5 no cumplen (3x-5)(2x+1)=6x2-7x-5 si cumplen Factorizar 4x2+ 9x-9 Factores de 4, (4)(1) y (2)(2) Factores de 9, (9)(1) y (3)(3) Con un poco de ingenio podemos darnos cuenta que la factorización es:

4x2+ 9x-9=(4x-3)(x+3)


41

ACTIVIDAD 17 1.- Factorizar cada trinomio: a).- x2-8x+15 b).- y2-y-30 c).- c2+5c-14 d).- 2x2-4x-6 e).- 3x2-15x+18 f).- 6b2+b-1 g).- x4+3x2-18 h).- 30z2-34z+8 i).- 9x2-15x-24 j).- 12c2+50c+48 k).- 4x2n+14xn+6 l).-16b2x+64bx+60 m).- x2+30x+224 n).- x2+3x-504 ñ).- bx3+6bx2-7bx o).- 5b2-3bc-2c2 p).-12x2+5xy-2y2 q).- x2+30x+200


42

ACTIVIDAD 18 FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIAS DE CUADRADOS, SUMAS Y DIFERENCIAS DE

CUBOS

COMPETENCIA.- Factoriza expresiones donde se tienen diferencias de cuadrados, sumas y diferencias de cubos Otro tipo de factorización es la de una diferencia de cuadrados la cual da como resultado el producto de dos binomios conjugados, cuyos términos son la raíz cuadrado de los términos de la diferencia de cuadrados, por ejemplo: x2-64 = (x+8)(x-8) y4-100=(y2+10)(y2-10) b2x4-y6= (bx2-y3)(bx2+y3) x2n-y2n=(xn+yn)(xn-yn)

( )( ) [ ][ ]2)3( 2)3(4)3( 222 22 ++−+=−+−+=− xxxxxx

−

+

+

+=−

+

++

−+=−+

32

13

2

13

2

1

2

3)1(

2

3)1(

4

9)1(

2

2

xxx

xxx

Las cuatro últimas factorizaciones son de suma importancia en la solución de ecuaciones cuadráticas. ACTIVIDAD 18 1.- Factorice cada expresión: a).- b2-16 b).- 4c2-36 c).- 36x2-64 d).- (x-y)2-81 e).- x2y6-16x2 f).- c2m-b4m

( ) 95 -h). 321

-g). 22

−+−

− xx

Una diferencia de cubos se puede factorizar usando la identidad

))(( 2233 babababa ++−=− este resultado se obtiene al realizar la división ba

ba

−− 33

cuyo

resultado es 22 baba ++ . Ejemplos: x3-8=x3-(2)3=(x-2)(x2+2x+4) c6-b9=(c2)3-(b3)3=(c2-b3)(c4+c2b3+b6)


43

x3y6-b12=(xy2)3-(b4)3=(xy2-b4)(x2y4+b4xy2+b8)

)255)(5(5 33233 ++−=− xxxx

Una suma de cubos se factoriza con la identidad ))(( 2233 babababa +−+=+ . El trinomio a2- ab+b2 no se puede factorizar.

Ejemplos: x3+8=x3+(2)3=(x+2)(x2-2x+4) b6+c9=(b2)3+(c3)3=(b2+c3)(b4-b2c3+c6) 8x3b6+1=(2xb2+1)(4x2b4-2xb2+1)

)93)(3(3 33233 +−+=+ xxxx ACTIVIDAD 18.1 1.- Factorice las siguientes expresiones a) b6+27 b) c12-x6 c) x3y9+64

d) 6

64

1

8

1x− e) x3nb6n+1 f)(x+6)3+(1+x)3


44

ACTIVIDAD 19 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

COMPETENCIA.- identifica y resuelve de diferentes tipos de expresiones algebraicas, donde se usen los productos notables y las factorización No hay que perder de vista que las regles son tan solo vías más practicas, en algunas ocasiones, para obtener un resultado. Pero estas pueden olvidarse o confundirse fácilmente lo que puede ocasionar una aplicación incorrecta de las mismas. Lo más recomendable aprenderse una regla a través de la realización repetida de las operaciones algebraicas correspondientes y hacer uso de las reglas solo cuando se está seguro de que el resultado es correcto.

ACTIVIDAD 19 1.- Desarrolla cada expresión usando las reglas de los productos notables: a).- (x+5)(x-3) b).-(2x+3)2 e).-(y-6)3 d).- (3b+4)(2b-6) e).-(x2+6)(x2-6) f).-(6t3-2t)2 g).- (2x+3x)(2x-3x)(22x-32x) h).-(cm-4m)3 i).-(d3c2-c3)2 j).- (8x2+y3)(6x2+4y3) k).-(x2m - b3n)(x2m + b3n) l).-(ex-e-x)2 2.- Factoriza cada una de las siguientes expresiones: a) 3a3b+6a2b2+3a2b3 b) 6x2-9x-6 c) 16x6-9x2 d) x2-x-6 e) c3b6+c9 f)x3+3x2y+2xy2 g) 9x2+3x-30 h) 27x6-216b6 y) x4+7x2+16 j) c4+4c2b+4b2 k) 6x+1-6x+2 l) cx+bx+5c+5b m) e2x-e4x n)(x+y)3-27 ñ) c2+c + 1/4 o)6w8+17w4+12 p) x16 + 1 r) 5ru+10vr+2ut+4vt s) x4+25 t) a3-a2b+ab2-b3 u) 3x3+2x2-12x-8 v) 22m+2m+n+1+22n w)4z+3-4z+2 x) 2x2+7x-15+x4+5x3


45

UNIDAD III

EXPRESIONES RACIONALES Y RADICALES


46

ACTIVIDAD 20 EXPRESIONES RACIONALES

COMPETENCIA.-Simplifica expresiones algebraicas racionales. Los números racionales se forman por el cociente de dos números enteros, por ejemplo: 1/3 -4/5 6/7 -5/9

En general estos números se pueden expresar como 0con ≠bb

a , ahora, si consideramos el

numerador y denominador son multinomios o polinomios, entonces tendremos una expresión racional, por ejemplo:

2

2222

2

4

25

3

5

2

a

aba

x

xx

x

x

x

−−

−+−+

En todos los casos anteriores el denominador debe ser diferente de cero; a continuación se desarrollan métodos para simplificar y realizar operaciones con expresiones racionales. En primer lugar se tratará la simplificación de expresiones racionales, para esto recordemos que un número racional se puede simplificar expresando el numerador y denominador en

factores primos, por ejemplo la fracción 54

81 se puede simplificar:

2

3)1)(1)(1(

2

3

3

3

3

3

3

3

2

3

)3)(3)(3)(2(

)3)(3)(3)(3(

54

81 =

=

==

Lo anterior también se puede hacer cancelando los factores comunes, recordando que al hacer esto se multiplica por la unidad:

2

3

)3)(3)(3)(2(

)3)(3)(3)(3(

54

81 =//////=

Cuando se tienen expresiones racionales podemos proceder de la misma manera, es decir expresar el numerador y denominador en factores y cancelar los comunes. Ejemplo:

Simplificar 4

6

2

3

x

x , Expresamos el numerador y denominador en factores

xx

x2

2

)2)(3(

)2)(2(

Cancelamos factores comunes:

xxx

x

3

2

)2)(3(

)2)(2(2

2

=////

Simplificar xx

x

2

42

2

+− el numerador es una diferencia de cuadrados y en el denominador

podemos factorizar por factor común:

x

x

xx

xx 2

)2(

)2)(2( −=+

−+

Se elimino el factor común en el numerador y denominador x + 2. Un error muy común es tratar de cancelar antes de expresar en factores:


47

xxxx

x 2

2

4

2

42

2

−=−=+/−/

Una manera de comprobar si tenemos un error es sustituir un valor en la variable, como los resultados son equivalentes excepto para x=-2* , el resultado de la operación deben coincidir, tomemos x=3:

3

22

3

1

15

5

)3(23

43

2

42

2

2

2

−=−==+

−=+−

xxx

x

Como se observa los resultas no coinciden Para simplificar expresiones racionales hay que tener muy buen manejo de la factorización, hagamos otros ejemplos:

Simplificar 32

652

2

−+++

xx

xx factorizando el numerador y denominador como producto de dos

binomios:

1

2

)1)(3(

)2)(3(

−+=

−+++

x

x

xx

xx

Simplificar 4

82

3

−−

x

x en este caso el numerador es una diferencia de cubos y el denominador una

diferencia de cuadrados:

2

42

)2)(2(

)42)(2( 22

−++=

−+++−

x

xx

xx

xxx

Simplificar 2

222

+−−−+

x

yxxyx factorizando el numerador por agrupamiento

2

)2)((

2

)(2)(

+−−+=

+−+−+

x

xyx

x

yxyxx

Aparentemente no podemos cancelar ningún factor, si observamos la expresión del denominador solo tiene cambiados los signos, para cambiarle de signo la anteponemos un signo negativo:

)()2(

)2)((yx

x

xyx +−=−−

−+

* En la expresión original x=-2 hace que el denominador sea cero, pero en el resultado simplificado para este valor si existe la expresión.


48

ACTIVIDAD 20 1.- Simplificar cada una de las siguientes expresiones racionales

))()((

))()(( ñ)

)(

)( n)

)26()9( m)

422

1 l)

2)3()2(

)3)(2( k)

3)52(

3 j)

34

3)52( i)

h)

g)

242

22 f)

443

6113 e)

352

12 d)

2

23 c)

2

84 b)

2

8 a)

5

3

12

2

3

2

33

22

22

33

2

2

2

2

2

2

2

4

32

acbcab

cacbba

xy

yx

xx

kk

k

xxxx

xx

xx

xxx

xxba

baba

yx

yx

bybxayax

aybybxaxxx

xx

xx

xx

xx

xx

x

xx

xy

yx

−−−−−−

−−

−−−−+

−

++++++

−−−

+−−−

−++

−+

−+−−−+

−++−−+−+

−++−

+

−

−

−


49

ACTIVIDAD 21 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

COMPETENCIA.- Realiza operaciones con fracciones y simplificación de resultados. Al multiplicar dos números racionales, se multiplica el numerador y denominador de cada expresión, por ejemplo:

10

3

20

6

4

3

5

2 ==

En el caso de expresiones racionales se proceda de la misma manera:

)3)(5(

)107)(9(

3

107

5

9 2222

−+++−=

−++⋅

+−

xx

xxx

x

xx

x

x

Para simplificar se procede de la misma manera que en la sección anterior, factorizando cada expresión para cancelar factores comunes:

)2)(3()3)(5(

)2)(5)(3)(3( ++=−+

++−+xx

xx

xxxx

En general para multiplicar expresiones racionales se factoriza el numerador y denominador en cada expresión y enseguida se cancelan factores comunes:

x

x

x

xx

xx

xx

x

x

xx

xx 22

2

2 )3(

2

)3)(3(

)3(

)3)(2(

2

9

3

6 −=+

−+⋅+

−+=+−⋅

+−−

ACTIVIDAD 21 1.- Realiza cada uno de los siguientes productos

323

32

32

6 h)

232

65

3103

156 g)

1

32

3 f)

)2(64

166 e)

63

3

62

2 d)

2

9

18

24 c)

)2)(15()3)(2( b)

3

5

2

3 a)

22

22

22

22

2

2

2

2

2

2

12

2

14

3

6

2312

32

23

2

2

yx

yx

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

xx

xx

xx

xx

x

x

xx

xx

yy

yy

ba

ba

ba

ba

m

n

m

nm

abba

ba

ba

ab

ba

++⋅

+−−−⋅

−−−+

=−+++⋅

+−+−

=+⋅−+

+

=−−

−+

=−+⋅

+−

=

⋅

=

=⋅

−

−

−−


50

Para dividir expresiones racionales se usa el mismo criterio que para los números racionales:

15

14

5

7

3

2

7

5

3

2

7

53

2

=⋅=÷=

Se observa que la división la podemos transformar en una multiplicación, simplemente tomando el reciproco de divisor, en las expresiones racionales el procedimiento es el mismo:

933

2793

3

2722

32

2

3

++⋅

−−

=++

÷−−

xx

x

xx

x

x

xx

xx

x

Factorizando cada expresión:

193)3(

)93)(3(2

2

=++

⋅−

++−xx

x

xx

xxx

Otro ejemplo:

+++

⋅+

+++÷

++

22

2

23

1

2

22

2 yxyx

x

x

yxxyx

yx

yx

Primero efectuamos la operación entre paréntesis:

11

2

22

1

2)2)((

1

2

))(2(

2 ++=

++⋅

++=

++÷

++=

+++⋅

+++÷

++

x

yx

x

yx

yx

yx

yx

x

yx

yx

yxyx

x

x

yxx

yx

yx

ACTIVIDAD 22 1.- Realiza las operaciones siguientes

=−−+−÷

−−−−

=−

+÷+−+−⋅

++−+

=+

÷−+

+

=−

÷−−

−

=−÷+−

=+

÷−−

=÷

=÷

3)12(

2)3(

3)1(4

1)12( h)

2252

44

34

6 g)

132

3 f)

25

6

352

142 e)

)62(4

9 d)

84

8 c)

9

14

3

7 b)

32

5 a)

22

22

22

22

2

2

2

3

2

2

32

3

3

3

2

22

22

xx

xx

xx

xxba

ba

baba

baba

baba

baba

x

x

xx

xx

z

z

zz

z

xx

x

x

x

x

x

ax

xa

ax

xa

aa


51

ACTIVIDAD 22 SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Y FRACCIONES COMPLEJAS

COMPETENCIA.-Realiza operaciones de suma con expresiones racionales Al sumar números racionales es necesario primero obtener el mínimo común denominador, el cual es el resultado de la factorización de cada denominador en sus factores primos y se toman los factores diferentes elevados a la potencia mayor:

36

1

100

3

75

4 ++

Factorizando cada denominador en factores primos: 75 3 100 2 36 2 25 5 50 2 18 2 5 5 25 5 9 3 1 5 5 3 3 1 1 75=3(52) 100=(22)(52) 36=(22)(32) El M.C.D. es (32)(22)(52)=900 , usemos el algoritmo para la suma de racionales:

9

1

900

100

900

252748

900

)1(25)3(9)4(12

36

1

100

3

75

5 ==++=++=++

En el caso de expresiones racionales el procedimiento es análogo, es decir cada denominador se expresa en factores y se toman los factores diferentes elevados a la potencia mayor, por ejemplo:

32 3

52

xx+

Los denominadores están expresados en factores, el M.C.D. es 3x3, ahora dividimos el M.C.D. entre cada denominador y el resultado se multiplica por su numerador correspondiente:

3332 3

52

3

)5(1)2(

3

52

x

x

x

x

xx

+=+=+

Enseguida se simplifica la expresión resultante, en este ejemplo no es posible.

Ejemplo: 34

2

182 23

2

+++

+− xx

x

xx

x factorizamos cada denominador:

)3)(1(

2

)9(2 2

2

++++

− xx

x

xx

x la primera expresión podemos simplificarla

)1)(3)(3(2

12113

)1)(3)(3(2

12102

)1)(3)(3(2

)3)(2)(2()1(

)3)(1(

2

)3)(3(2

222

+−+++=

+−+++++=

+−+++++=

++++

−+ xxx

xx

xxx

xxxx

xxx

xxxx

xx

x

xx

x

La expresión resultante no se puede simplificar.

Otro ejemplo 25

2

1072510

3222 −

−++

+++

−xxx

x

xx

x factorizando cada denominador:

)5)(2()5(

)2)(5(2)5()5)(2)(3(

)5)(5(

2

)5)(2()5(

32

2

2 −++++−++−+−=

−+−

+++

+−

xxx

xxxxxxx

xxxx

x

x

x

La simplificación se deja al lector.


52

ACTIVIDAD 22 1.- Efectúa las operaciones indicadas, simplificando a su mínima expresión el resultado:

22

1

12 i)

12

6

1

3 h)

)1(

3

)1(

8

1

5 g)

84

2

63 f)

13

213 e)

2

1

4

32

3

12 d)

1

4

3

2

1 c)

12

32

2

1

3

2 b)

7

5

5

3

3

2 a)

2

32

2

2

−+−

−+−

−−

+

−−

−+

−

+−−

+−

−++

+−−+

−+

−−−

−+

x

x

x

xx

ss

s

xxx

sr

sr

sr

sr

tt

nn

n

n

naa

rs

tr

rt

xy

z

xz

y

yz

x

222222

2

22

32

2

56

5

43

10 l)

2

1

21

231 k)

244

j)

yxyxyxyxyxyx

xxx

x

x

mn

nm

nmnm

nm

+−−

+−−

+−

−+

−−+

+−−

+++

Por último estudiaremos las expresiones racionales complejas, en las cuales tenemos

expresiones racionales en el numerador y denominador, para simplificarlas recordemos como se trabaja con las fracciones complejas:

4

1

2

35

42

−

+

Primero reducimos el numerador y denominador a una fracción:

2562

25

56

4

55

14

4

165

410

===−

+


53

En las expresiones racionales complejas se trabaja de la misma manera:

2

2

12

1

xx

xx

+

+

Expresando el numerador y denominador como una sola fracción:

12

1

)12(

)1(12

13

2

32

2

2

3

++=

++=+

+

x

x

xx

xx

x

xx

x

Si existen mayor número de fracciones, se reduce primero las más alejadas de la división principal:

13

)1(3

113

3

121

3

12

1

3

12

1

3

11

21

3

++=

++=

+++=

++

=

++=

++ x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

ACTIVIDAD 22.1 1.- Simplifica cada una de las siguientes fracciones compuestas

1

22

1 h)

1

11

11

11

11

g)

1

1 f)

3

7

1

3

2

1

5

e)

11

d)

5

117

5

13

c)

44

3

41

b) 1

2

32

a)

2

2

a

bb

ab

a

x

x

ba

bba

ab

a

xx

xx

x

x

ba

a

b

b

a

xx

xx

xx

x

x

x

++−

−

+−

−+

+

−+

+−

−

++

+

++

+

+

−

++−

+++

−−

−

+

−


54

ACTIVIDAD 23 SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES CON RADICALES

COMPETENCIA.- Simplifica expresiones con radicales . En las expresiones con radicales podemos tener por ejemplo:

433 2

2-6

3 36 6

x

xxxxx −++

El objetivo de esta sección es desarrollar métodos que nos permitan simplificar y realizar operaciones con expresiones de este tipo. Primero trataremos como simplificarlas, recordemos que un radical se puede escribir como un exponente racional:

nn aa

aa1

21

=

=

Este resultado lo podemos utilizar para establecer las siguientes propiedades:

)3()(

)2(

)1()(

111

1

11

111

−−−−−−===

−−−−−−−−==

=

−−−−===

nmmnmnm n

n

n

n

nnn

nnnnnn

aaaa

b

a

b

a

b

a

b

a

babaabab

Las cuales son una aplicación de las propiedades de los exponentes enteros, ahora la pregunte es ¿Cómo podemos utilizar las propiedades anteriores para simplificar una expresión racional?

,consideremos el siguiente ejemplo a4 , tenemos que a4 tiene raíz cuadrada exacta que es

a2 , si tenemos a5 , no tiene raíz exacta, pero podemos expresarla en dos factores de tal

manera que uno tenga raíz exacta a a a5 4= aplicamos la propiedad (1) y obtenemos

a a a a a a4 4 2= = , en general este procedimiento lo podemos aplicar en cualquier radical.

Simplificar a b4 53 descomponiendo en factores de tal manera que algunos de ellos tengan raíz exacta:

3 23 23 333 2333 233 abababbaabbababa === Si existen coeficiente numéricos enteros, se descomponen en factores primos y se toman

tantos factores como el orden del radical, simplificar 3 5432 yx descomponemos el número 32

en sus factores primos se obtiene 28: Tenemos entonces 3 23 223333 5453 54 4 2)2(2232 xyxyxyyxyxyx ===

Simplificar 232800 bya factorizando en factores primos tenemos que 2800=24527

abayabayabyabyabya 720752)7(527522800 22224232423 ====

Simplificar 3 4)(8 yx+− lo podemos escribir en factores de la siguiente forma:

33 333 3 )(2)()()2()(8 yxyxyxyxyx ++−=++−=+−

Si tenemos un Multinomios en el radical, debemos tratar de expresarlo en factores, buscando que tengan raíz exacta para extráelos del radica:


55

Simplificar 2223 4 baba − factorizando usando factor común:

4)4(4 222223 −=−=− aababababa

Simplificar 422 ++ xx la expresión es un trinomio cuadrado perfecto:

2)2(42 22 +=+=++ xxxx

En algunos casos se hacen factorizaciones especiales, con el fin de escribir la expresión de una manera equivalente y poder interpretarla mejor, en la teoría de la Relatividad aparece la expresión:

22

0

vc

cmm

−=

Se puede factorizar c2 en el denominador para cancelarla con la del numerador:

2

2

0

2

2

0

2

22

0

111c

v

m

c

vc

cm

c

vc

cmm

−

=

−

=

−

=

Esta expresión nos dice que la masa de un cuerpo aumenta conforme aumenta su velocidad y que la velocidad limite es la velocidad de la luz c (300000 Km/s). A continuación trataremos expresiones irracionales que contengan expresiones racionales, para simplificarlas se utiliza la segunda propiedad.

Simplificar 3

3

9

8

y

xa el radical lo aplicamos sobre el numerador y denominador

y

x

y

a

yy

xa

yy

xa

y

xa

y

xa 2

3

2

3

22

)(9

)2(4

9

8

9

82

2

3

3

3

3

====

Simplificar 34

6

75

54

a

yx

32

333

633

4

6 2

5

3

)(5

)2(3

75

54

a

y

x

x

aa

yx

a

yx ==

Los ejemplos anteriores son los más comunes, pero existen otros donde se debe hacer un trabajo algebraico previo antes de simplificar, por ejemplo:

Simplificar 22 −− + ba primero aplicamos la propiedad de los exponentes aa

nn

− =1

22

11

ba+ sumando las fracciones, el M.C.D. es a b2 2

22

22

ba

ab + aplicando la propiedad de los radicales ab

ab

ba

ab 22

22

22 +=+

Un error muy común es aplicar las propiedades de los radicales a una suma

ababab +=+=+ 2222 , esta operación en general es incorrecta. Como te habrás dado cuenta en la operación anterior es necesario utilizar varios conocimientos para llegar al resultado, en realidad las operaciones algebraicas requieren una integración de los conocimientos, esto se adquiere con la práctica y teniendo una visión clara de lo que podemos hacer para simplificar una expresión.


56

Simplificar 2

22

4

6

y

x

y

x + procediendo de la misma manera que en el ejemplo anterior:

y

yx

y

yx

y

yx

y

xyx

y

x

y

x

2

124

4

124

4

)124(

4

24

4

62

2

2

2

2

22

2

22 +=

+=+=+=+

Otro operación es la simplificación de un radical dentro de otro radical, por ejemplo 3 97192 yx para esta operación usamos la tercera propiedad de los radicales:

6 36 3666 973 97 3 2)3(64192192 xyxyxyyxyxyx ===

En algunas ocasiones es posible reducir el orden de un radical, por ejemplo en el radical 6 338 yx no podemos extraer ningún factor, si lo escribimos ( )23 3 36 x y se observa que los

exponentes tienen un factor común, usando las propiedades de los exponentes y radicales

xyxyxyxy 2)2()2()2( 2

1

6

36 3 === , lo anterior solo se puede hacer si los exponentes tienen un

factor común y que el orden del radical sea múltiplo de este. ACTIVIDAD 23 1.- Simplificar cada uno de los siguientes radicales:

3 3 56

3 63 43

5222

2257

96

412

3

39

3

6

5

2

5 1174 70

3 3924

43

64 r)

q) p)

o) )123)(34( ñ)

))(( n) 32

486 m)

81

2 l)

8

6 k)

16

5 j)

9

2 i)

486 h) 243 g)

2 f) 5 e)

3125 d) 108 c)

363 b) 18 a)

yx

xba

baxxxx

yxyxa

yx

a

x

y

x

b

a

b

a

yxba

bayx

nn

nn−+++

−+

2.- Reduzca el orden de los siguientes radicales s, simplifandolos lo más posible

10 54 2

8 61210 6

96

)52(243 f) 16)1( e)

25 d) 32 c)

64 b) 4 a)

+− xx

yxx


57

ACTIVIDAD 24 SUMA DE EXPRESIONES CON RADICALES

COMPETENCIA.- Realiza sumas con expresiones radicales y simplifica el resultado Ahora trataremos la suma de radicales, para esto recordemos el concepto de radicales comunes, los cuales tienen el mismo orden y el mismo subradical:

3 33 2 )(2 , )(

5 ,

3 , 32

yxyx

xyxy

+−+

Para sumar se procede de la misma manera que en los términos semejantes, sumar 3532 + usamos la propiedad distributiva:

353)32(3532 =+=+

Hagamos otros ejemplos: 3333 3 4 5 2 xyxyxyxy =−+

Ejemplo 50188 −+ aparentemente no hay radicales comunes, simplifiquemos los radicales

0252322)2(25)2(9)2(4 =−+=−+

Los radicales son comunes y el resultado es cero. Al sumar radicales debemos llevarlos a la mínima expresión para determinar si hay radicales comunes.

Ejemplo 33 73 7 58 xyyxyx ++ podemos simplificar los dos primeros radicales:

32

3223323233 63 6

)53(

)52( 52 5)(8)(

xyx

xyxxxyxyxxyxxyxyxxyx

+=

++=++=++

Ejemplo 3 33 33 363 36 241921352560 xyxyyxyx −+− simplificando cada radical

332

3322

333232

3 333 333 3633 363

3 25 5

3 )24(5 )38(

3 23 45 35 8

)3(2)3(4)5(3)5(8

xyyx

xyyyxyx

xyxyyxyx

xyxyyxyx

+=

−+−=

−+−=

−+−

ACTIVIDAD 24 1.- Efectúe las siguientes adiciones y sustracciones con radicales.

3 273 53 543 42

6 334 22

37553333

88 g)

25

450

3

1

5

3

9

32 ) 2793 e)

5082 d) 250542 c)

216150246 b) 5082 a)

qpqpqpqp

h

h

k

h

h

k

k

hfyxyxxy

bababa

−+−

+++++

−++−

+−−+−


58

ACTIVIDAD 25 PRODUCTO Y DIVISIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES

COMPETENCIA.- Efectúa operaciones con expresiones radicales y simplificación de resultados. Al multiplicar radicales del mismo orden se usa la propiedad (1) en sentido inverso, enseguida el resultado se simplifica:

yxyyxxyxyxyxy 416)8)(2(82 3222 ===

Se observa que se uso la propiedad en los sentidos.

Ejemplo 3 43 2 34 xyyx procediendo de la misma manera

3 23 533 43 2 12 123 4 yxyyxxyyx ==

Ejemplo yxxyxy 22 842 + al multiplicar se usa la propiedad distributiva

xyxy

xyyxyxyxyxxyxyxyxyxy

222

)22(4168)84(2842 2223322222

+=

+=+=+=+

Ejemplo 332

93

xx multiplicamos las dos fracciones

xxxxxx

32793933

33

233

2==⋅=

ACTIVIDAD 25 1.- Realiza las siguientes operaciones:

)2)(12(12 f)

1224 e)

42 d)

254 c)

326

b)

82 a)

4 324 23

2

3 23 2

−−−

−+

xxx

yxyx

xx

xx

xx

xx


59

Para dividir radicales del mismo orden se usa la propiedad número (2) , de la misma manera que en la multiplicación y el resultado se lleva a la mínima expresión:

xyxy

xy

xy

xy2

3

6

3

6 22

==

Ejemplo 3 23

3 32

27

3

yx

yx escribimos la operación con un solo radical 3

3 23

3 32

927

3

x

y

yx

yx=

Ejemplo107

62

2

++

−−

xx

xx escribimos en un solo radical y factorizamos cada expresión:

53

)5)(2()2)(3(

107

6

107

62

2

2

2

+−=

+++−=

++−−=

++

−−x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

ACTIVIDAD 25.1 1.- Realiza las siguientes operaciones

537

335

23

3 2

3

2

32

22

2

54

4 3

4 3

3 2

3 42

2

3

8

26 h)

))((

g)

42

37 f)

)(

e)

3

50 d)

75

12 c)

36

243 b)

18

3 a)

zyx

zxyyzx

dcdc

ba

xz

yzzx

yx

yxyx

ay

ya

bx

xb

ab

ba

xy

yx

−+

+

−

−+

−

−


60

ACTIVIDAD 26 OPERACIONES CON RADICALES Y RACIONALIZACIÓN

COMPETENCIA.- Realiza diferentes tipos de operaciones con expresiones radicales y aplica el proceso de racionalización. Ahora podemos realizar operaciones que involucren varias propiedades a la vez:

xxy

yx

xy

yx

xy

xyxy5

2

10

2

10

2

522

22

2

22

2===

Ejemplo 2)2( x+ usamos los productos notables

xxxxx ++=++=+ 44)())(2(22)2( 222

Ejemplo )23)(( yxyx ++ multiplicamos usando la propiedad distributiva

yxyxyxyxyx

yyxyyxxxyxyx

2532323

)2)(()3)(()2)(()3)(()23)((

22 ++=+++=

+++=++

Ejemplo ))(( xhxxhx ++−+ tenemos el producto de binomios conjugados

hxhxxhxxhxxhx =−+=−+=++−+ 22 )()())((

Ejemplo ))()()(( 3 233 233 xhxxhxxhx ++++−+ multiplicamos usando la propiedad

distributiva:

hxhx

xhxxhxxhxxhxxhx

xhxxhxxhx

=−+=−+−+−+++++

=++++−+3 33 223 23 23 23 3

3 233 233

)()()()()(

))()()((

Las dos operaciones anteriores son utilizadas en cálculo

1.- Efectúe las operaciones siguientes reduciendo el resultado a su mínima expresión

( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )aaaaaa

bababa

xx

yx

2 2 e)

d)

2 2 c)

2 b)

21 a)2

2

−++−

+++

−+

+

+

Por último trataremos otra operación con expresiones racionales, la racionalización, esta consiste en que por algún procedimiento algebraico quitar el radical o radicales del numerador o denominador de una expresión racional, supongamos que se quiere quitar el radical de ala

expresión a

1, para esto multiplicamos el numerador y denominador por a

a

a

a⋅1

Al hacer esto se multiplica por la unidad, por lo que no se altera el valor de la expresión, usando las propiedades de los radicales:


61

a

a

a

a =2

Ejemplo x

x

2 para racionalizar tenemos que multiplicar por x2 el numerador y denominador

2

2

2

2

4

2

2

2

2 2

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x===

En general este procedimiento se realiza multiplicando numerador y denominador por un radical de tal manera que el radical resultante tenga raíz exacta

Ejemplo xy

yx3 24 racionalizar el numerador, en este ejemplo tenemos que multiplicar por

3 224 xy

3 23 23 2

3 333

3 22

3 223 2

16

4

16

4

16

4

4

44

xyxyxy

xy

xyxy

yx

xy

xy

xy

yx===

En el numerador y denominador de la expresión pueden aparecer binomios o trinomios que contengan radicales, por ejemplo:

3

6

−+

x

x

Para racionalizar el denominador se multiplica por su conjugado para formar una diferencia de cuadrados:

9

189

3)(

)3)(6(

3

3

3

622 −

++=−

++=++⋅

−+

x

xx

x

xx

x

x

x

x

Ejemplo: Racionalizar el denominador de xhx

h

−+ multiplicamos por el conjugado del

denominador:

xhxh

xhxh

xhx

xhxh

xhx

xhxh

xhx

xhx

xhx

h ++=++=−+++=

−+++=

++++⋅

−+)()(

)()(

)(22

ACTIVIDAD 26 1.- Racionalice el denominador de las siguientes expresiones

22

1 f)

13

33 e)

17

3 d)

4

1 c)

2

2 b)

3 a)

3 2

3

++−+

+

x

xy

x

x

x

x


62

ACTIVIDAD 27 LA ECUACIÒN DE SEGUNDO GRADO

COMPETENCIA.- Conoce la forma general de una ecuación de segundo grado y sus métodos de solución, identificando los tipos de raíces.

Una ecuación del tipo 02 =++ cbxax , en la cual a, b, y c son constantes arbitrarias y 0≠a , se llama ecuación de segundo grado.

Existen tres métodos de solución para las ecuaciones de segundo grado: El de factorización, Completando cuadrados y Aplicando la Fórmula General. El primer método se aplica en trinomios que se pueden factorizar como el producto de dos binomios, a partir de los factores se obtienen las raíces de la ecuación, es decir, los valores de la variable que la satisfacen. Ejemplo: Resuelva factorizando la ecuación : .0322 =−− xx Como la ecuación ya tiene los términos en el lado izquierdo, nos concretamos a factorizar dicho miembro 0)1)(3( =+− xx . Si se iguala con cero cada factor, entonces tenemos:

01y 03 =+=− xx . Lo que nos lleva a que 1y 3 21 −== xx . Estos valores con las raíces de la ecuación original y a su vez, son la solución. Podemos concluir que una ecuación de segundo grado tendrá como solución siempre a dos valores de su variable. Para comprobar la solución, basta con sustituir cada uno de ellos en la ecuación planteada y ésta se convertirá en una identidad. Ejemplo: Resolver la ecuación 0494 2 =−x .(ecuación simple o incompleta). Su factorización es 0)72)(72( =−+ xx Por lo que 072y 072 =−=+ xx generan las

raíces .2

7y

2

721 =−= xx

ACTIVIDAD 27 1.- Factorice las siguientes ecuaciones de segundo grado:

0123 )6 994x )5

046 )4 02030x )3

092110 )2 082 )1

22

22

22

=+=−

=+=−−

=++==−

xx

xxx

xxxx

Ya se vio en los Productos Notables que el resultado de elevar al cuadrado un binomio, es un trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo 222 2)( aaxxax ++=+ , la cual es una forma del trinomio cuadrático general. En el se observa que primer término es x, que el segundo término contiene la primera potencia de x y que el último término es positivo e igual al cuadrado de la mitad del coeficiente de x. Dado un trinomio como éste, puede factorizársele fácilmente. Por ejemplo 962 +− xx , es un cuadrado perfecto, ya que el primer término es 2x , el segundo


63

término contiene sólo la primera potencia de x el tercer término, 9, es igual al cuadrado de la

mitad del coeficiente de x , o sea .32

6 =

Con lo anterior se puede formar un trinomio cuadrado perfecto al sumarle a ambos

miembros de la igualdad la cantidad &-*+* lo cual se usa para resolver una ecuación cuadrática,

analicemos el siguiente ejemplo. Ejemplo: Resolver la ecuación 1144 2 += xx . Trasponiendo términos: 1144 2 =− xx .

Dividiendo por 4 cada miembro: 4

112 =− xx .

Se suma 2)]1(2

1[ − en ambos miembros: 222 )

2

1(

4

11)

2

1( −+=−+− xx .

Por lo tanto: 4

1

4

11

4

12 +=+− xx

Que es lo mismo que: 34

12 =+− xx por lo tanto 3)2

1( 2 =−x

Extrayendo la raíz cuadrada en cada miembro: 32

1 ±=−x

Se producen las ecuaciones de primer grado: 32

1 =−x y 32

1 −=−x .

Al resolverlas, se obtiene: 2

13y

2

13 21 +−=+= xx . Que son las dos raíces.

ACTIVIDAD 27.1 I.- Resolver las ecuaciones de segundo grado siguientes, completando cuadrados:

793 )7

04121 )6 1829x )5

236 )4 544 )3

3 )2 0152 )1

2

22

22

22

−=

=−+=−

=+=+

−=−=−−

xx

xxx

xxxx

xxxx

La fórmula general que permite resolver una ecuación de segundo grado, se deduce o se obtiene a partir de la forma general 02 =++ cbxax , usando el método de completar cuadrados. Trasponiendo términos: cbxax −=+2

Dividiendo por a: a

cx

a

bx −=+2

Sumando 2)2

1(

a

b en cada miembro: 2

2

2

22

44 a

b

a

c

a

bx

a

bx +−=++

Simplificando: 2

22

4

4)

2(

a

acb

a

bx

−=+


64

Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: a

acb

a

bx

2

4

2

2 −=+

Resolviendo para x: a

acb

a

bx

2

4

2

2 −±−=

Por lo que: a

acbbx

2

42 −±−= . Esta expresión recibe el nombre de Fórmula General

Cuyas raíces son: a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

2

4

2y

2

4

2

2

2

2

1−−−=−+−=

Para la aplicación de dicha fórmula es necesario identificar los valores de a, b y c. Esto se logra una vez que se le da la forma .02 =++ cbxax

Por ejemplo. Para resolver .126 2 xx += Lo primero que debemos hacer es trasponer términos igualando con cero: 0126 2 =−− xx . De donde se obtiene a=6, b=-1 y c=-12. Sustituyendo estos valores en la fórmula general:

)6(2

)12)(6(4)1()1( 2 −−−±−−=x se tiene que

12

28811 +±=x ∴ 12

171±=x

Resolviendo para x: 3

4

12

16

12

171y

2

3

12

18

12

17121 −=−=−===+= xx . Que son las raíces de la

ecuación. En este caso, dos números racionales. La naturaleza o el tipo de raíces que se obtienen al resolver una ecuación de segundo grado, depende directamente de la expresión acb 42 − , la cual recibe el nombre de Discriminante.

En el siguiente cuadro, se sintetizan los casos:

VALOR DEL DISCRIMINANTE

TIPO DE RAICES

Si oacb >− 42 y cuadrado perfecto

Racionales y diferentes

Si 042 >− acb y no es cuadrado perfecto

Irracionales y diferentes

Si 042 =− acb

Racionales e iguales

Si 042 <− acb

Imaginarias y diferentes


65

ACTIVIDAD 27.2 1.- Dadas las siguientes ecuaciones de segundo grado, identifique el tipo de raíces

que se obtendrán al resolverlas:

2.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado, usando la fórmula general:

.? ¿.2

1y 3son ecuación una de raíces las )9

22)( 8) 42)( )7

)6 013102 )5

5129 )4 0763 )3

314x )2 52 x)1

21

222

222

22

22

ecuaciónlaesQuiénxxsí

bxaabxaabxxba

bxaabxxx

xxxx

xx

=−=

+=−++=−

=−−=++

−=+=−+

=+−=

.0865 )4

.0723 )3

.02032 )2

.016249 )1

2

2

2

2

=+−

=−−

=−+

=+−

xx

xx

xx

xx


66

ACTIVIDAD 28 OPERACIONES EN EL CÁLCULO

COMPETENCIA.- Aplica los conocimientos adquiridos en todos los temas del álgebra, situaciones que se presentan en el desarrollo del cálculo. En esta sección realizaremos operaciones donde se necesiten usar los conocimientos del álgebra de manera integrada, esto con el objeto de prepararnos para los cursos de cálculo, donde se requiere un buen manejo del álgebra en un sentido amplio e integrado. Generalmente el problema que más se presenta es la simplificación de expresiones, para realizar este proceso es necesario tener una visión amplia de las operaciones algebraicas que podemos realizar para hacer la simplificación, así como el momento en que debemos detenernos, puesto que en la búsqueda de una mayor simplificación podemos cometer errores. Con los ejemplos que se presentan, no significa que se traten todas las posibilidades, más bien es una introducción a este tipo de procesos, por último estos ejemplos presentan una posibilidad para tener un mejor entendimiento y manejo de los procedimientos algebraicos. Ejemplo: Simplificar 8)2(3)2( 2 −+++ xx en este ejemplo desarrollamos la expresión y simplificamos términos semejantes: 47863448)2(3)2( 222 −+=−++++=−+++ xxxxxxx

Ejemplo: simplificar h

xxhxhx 5)(5)( 22 −−+++ desarrollamos el numerador

h

hhxh

h

xxhxhxhx

h

xxhxhx 5255525)(5)( 222222 ++=

−−++++=

−−+++

Factorizamos h en el numerador:

52)52( ++=++

hxh

hxh

Ejemplo: Simplificar h

xhx 22

1

)(

1 −+ el M.C.D. en el numerador en 22)( xhx +

222222

2

22

2

22

222

22

22

22

)(

2

)(

)2(

)(

2

)(

2

)(

2

)(

)(1

)(

1

xhx

hx

xhxh

hxh

xhxh

hxh

h

xhx

hxh

h

xhx

hxhxx

h

xhx

hxx

h

xhx

+−−

=+

−−=

+−−

=

+−−

=+−−−

=++−

=−

+

Ejemplo: simplificar )2()1(2

1)2()1( 32

12212 xxxx

−+++ Primero pasamos los exponentes negativos

al denominador 2

12

32

12

)1(2

2)2()1(

+++

x

xxx el M.C.D. es 2

12 )1(2 +x

2

12

3

212

3

212

33

212

32

212

32122

12

)1(

23

)1(2

46

)1(2

244

)1(2

2)2)(1(2

)1(2

2)2()1()1(2

+

+=+

+=+

++=+

++=+

+++=x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

xxxx


67

Ejemplo: simplificar 2

313

2323323

13

)52(

)6()52(3

1)3()52(

+

+−+ −

x

xxxxx

quitamos el exponente negativo

del numerador: 3

23

323

523

13

)52(

)52(

2)3()52(

+

+−+

x

x

xxx

el M.C.D. en el numerador es ( )2 53 23x +

=+

+

−++

323

323

523133

23

)52(

)52(

2)3()52()52(

x

x

xxxx

343

25

323

323

25

323

323

525

323

323

523

)52(

154

)52(

)52(

154

)52(

)52(

2156

)52(

)52(

2)3)(52(

+

+=+

+

+

=+

+

−+

=+

+

−+

x

xx

x

x

xx

x

x

xxx

x

x

xxx

Ejemplo: simplificar [ ] [ ])3()2(3)1()2)(1(2)2( 2232233 xxxxxx +−+−−+ realizamos operaciones para quitar los corchetes: 23222233 )2()1(9)1()2(4 +−+−+− xxxxxx factorizamos para simplificar la operación

[ ][ ]

)8913)(1()2(

9984)1()2(

)1(9)2(4)1()2(

3223

23223

23223

−+−−+=

−+−−−+=

−++−−+

xxxxx

xxxxxx

xxxxxx

Este resultado lo podemos dejar hasta aquí puesto que al desarrollarlo no se simplificaría más. ACTIVIDAD 28 Realizar las operaciones

22

12

212

2122

12

23

12

322

313

12

82

32242

6

2323

2231

3442

3223

1

212322

12

22223

432

)1(

)2()1)(()2()1( i)

)4(

)2()4)()(3()3()4( h)

)1(

)2()1)(4()2()4( g)

)16(

)6()16)(3)(29()227()16( f)

)2()9)(4()6()6(3

1)9( e)

)3()23(31

)54()4)(54)(2()23( d)

)2()4)(21

()12()2()12)(3()4( c)

)6()56)(3()4()2)(4)(2()56( b)

)14()23()3()23)(4)(132( a)

−

−−−−

+

+−+

−−−−

+++−++

++++

−+

+

−+−+

−+++−

−+++−

−++++−

−

−

−−

−

−

x

xxxxx

x

xxxx

x

xxxxx

x

xxxxx

xxxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx


68

2.- Realiza las siguientes operaciones

hxhx

h

xhx

h

xxhxhx

h

xxhxhx

32

1

322

1

d)

1

)(

1

c)

)4()(4)( b)

)7()(7)(

a)

33

33

22

+−

++

−+

+−+++

−−+−+


69

MISCELANEA DE EJERCICIOS El propósito de este último ejercicio es valorar los conocimientos adquiridos durante el curso, realiza el ejercicio como una evaluación y a partir de los resultados tomes medidas para corregir los puntos débiles. 1.- En la siguiente tabla coloca una x de acuerdo al tipo de sistema numérico al que pertenece cada número u operación (puede pertenecer a más de uno):

Número Natural Entero racional Irracional Real -3 3

(1-2)3 2/3

12+ 2 4/2 6 2− 3-3 1 5−

2.- Realiza las operaciones siguientes mencionando que tipo de número es el resultado obtenido:

[ ]

642

5463

-11.

6

4

3

2

751

.10 32

2 -9.

24322 -8. 3

64

3

3

52

1

.7

43

54 -6. )153()

31

2( -5.

)4

13(

3

5)34( .4 )43(4256 -3.

)63(5)34(3 .2 312953 .1

2

2

=

−

−−

=−

+−−=+

=+−+=−−

++

−

=−−=−+−−

=++−−=−++

=−+−−=−+−+−

3.- Realiza cada una de las siguientes operaciones indicando en cada paso la propiedad de los números reales usada

( )22 33 d) )25)(22( c) )1(2 b) )5)(32( a) ++−+−− aa 4.- Realiza las siguientes operaciones, sustituye el valor que toma la literal antes y después de efectuar la operación, por ejemplo:


70

5

2 do toman )

24(8 d)

2 ando tom 23

c)

3

1 mado to)1)(32( b)

2 o tomand )5(4 a)

−=−

=+

=−−

=−

aaa

ccc

aaa

bb

5.- Efectúe las operaciones y simplifique el resultado

)1( s) 3

12 r)

111

q) )4( p)

24 o) ñ)

8 n) )( m)

)()( l) )(

k)

)2(

)3( j) )( i)

64

h) g)

f) 4

)2( e)

2

6 d) c)

)3(

b) )2()3( a)

2

52

4

4 223

3 253 232

3 4353 614

231

11

423

34521.323

2

32

96

32

23141

61

23

34

2

232

5

236

2

23

32

5

232322

++

−−

+++

−

÷

−

−

−−

−−

−

−−−

−

−

−

−−

xxyx

yx

ttcba

yxyxc

ba

zyxyx

vuvurs

sr

wuv

wvuba

yz

x

z

yx

z

xy

cccq

pqp

yr

yr

ba

ba

yx

yxabba

6.- Racionalice el denominador de las siguientes expresiones

2

1 b)

1

1)

+++−

aax

xa

7.- Efectúa las operaciones indicadas


71

22

23424

2

24

3223

223

2

2324

23422

3

569 i)

2

663 h)

))(( g)

)45)(5)(23( f)

)3)(423( e)

)732)(54( d)

)5)(12()3)(4( c)

)44()134( b)

)532()743( a)

qp

qpqpp

x

xxx

babbaaba

xxx

yyyy

xxx

xxxx

zzzzz

xxxxxx

+−

+−++

+++−

+−+

−++−

−+−

−−−++

−+−+−

++−+−+−

8.- Realiza las siguientes operaciones

))(( h)

)( g)

) 5

1+ 2( f)

)( e)

)3

12( d)

)34( c)

)413)(413( b)

)72)(53( a)

2121

233

221

3

3

22

22

xyxxyx

aa

x

cba

ba

sr

baba

baba

−+

−

++

+

−

−+

+−

−−

−

9.- Factorice cada una de las siguientes expresiones


72

842

2223

2

23433

222

649 j) 25

1

5

2 i)

1644 h) 183122 g)

5 f) 12832 e)

168 d) 648 c)

9428 b) 82 a)

xyxx

yxxccc

xzxwzyxwy

xxxyx

xxxyyx

−++

−++−+−

−−−+

+−+

−++

16.- Simplifique las siguientes expresiones

22

31

32

312

212

23432

32

22

2

2

2

2

2

2

2

)4(

)2()16()6()16)()(4( )

)2()1)(()5()5)(4()1( g)

3

321 f)

1 e)

5

)2(

3

2

7 d)

110

5

54

2 c)

2

32

4

656 b)

144

576 a)

x

xxxxh

xxxxx

xxxxx

xx

xx

x

xxx

x

xx

x

xx

xx

xx

−−+−+−

+++++

+−

+−

++

−+

+++

−−

+−÷

−−−

++−−

−

−

−


73

UNIDAD IV

TRIGONOMETRIA


74

ACTIVIDAD 29 ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS.

COMPETENCIA.- Define el concepto de ángulo y manejar las diferentes formas de expresar

sus medidas.

Entre los egipcios y los chinos, más de un milenio antes de Jesucristo, pueden hallarse los primeros albores de la Trigonometría; sin embargo, esta ciencia propiamente hace su aparición con Hiparco, cerca de 150 años antes de nuestra era. Este sabio justamente considerado como la máxima autoridad entre los astrónomos griegos y el astrónomo más grande de la antigüedad. Conoció la fórmula Sen2x+Cos2x=1. Etimológicamente, la palabra Trigonometría significa medida de los triángulos, es decir el cálculo de alguno o algunos de sus elementos. Puede definirse de la siguiente manera: Es la ciencia que estudia las relaciones que ligan los lados y los ángulos de un triángulo, y aplica dichas relaciones al cálculo de los elementos desconocidos en el triángulo. Un ángulo es la abertura comprendida entre la posición inicial y la posición final de una recta que ha girado alrededor de uno de sus puntos, permaneciendo siempre en el mismo plano. lado terminal

+ lado inicial

Existen básicamente dos formas de expresar la medida de un ángulo: La primera corresponde al sistema sexagesimal y la segunda al sistema cíclico. En el sistema sexagesimal, el ángulo unidad es el ángulo de un grado, es decir, es el ángulo que correspondes a :

;<= del perímetro de la circunferencia, de tal manera que un ángulo puede medir ente 0º y 360º, asimismo se tiene que 1º=60’ (minutos) y que 1’=60’’ (segundos) Mientras que en el sistema cíclico, el ángulo unidad, llamado unidad cíclica o unidad de medida circular, es el ángulo central de una circunferencia cualquiera, cuyos lados interceptan un arco de longitud igual a la del radio. De ahí el nombre de radiante o radián. En una circunferencia tenemos que su perímetro es > = 2�#, si se divide el perímetro entre el radio se tiene en número de radianes en la circunferencia

?@A*B.-CD-E = 360F entonces #/1 = GHI

B = 57.29. . K#/1LM Lo cual se puede escribir 180º = π rad, esta equivalencia la podemos usar para hacer conversiones de ángulos, por ejemplo, convertir 60º a radianes

60F �#/1180F = �3 #/1

Si se quiere transformar 7*�#/1 a grados: 32 �#/1

180F�#/1 = 270F

De acuerdo a lo anterior podemos expresar la circunferencia de la siguiente forma


75

ACTIVIDAD 29 1.- Expresar en medida cíclica los siguientes ángulos: a) 75° b) 37.24° c) 58° 25' d) 71° 27' 56'' 2- Expresar en grados los ángulos dados en unidades cíclicas: a).- 78 #/1 b).- 3.5#/1 c).- 1.234 rad 3.- Hallar el número de grados de los siguientes ángulos dados en funciones de π radianes: a).- 3π/7 b).- 15π/8 c).- 51π/19 Ejercicio 4: Expresar en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos: a).- 59.25° b).- 12.2358° c).- 50.798° Ejercicio 5: Expresar en función de π radianes los siguientes ángulos: a).- 72° b).- 330° c).- 18° d).- 22.5°


76

ACTIVIDAD 30 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

COMPETENCIA.-Define las funciones trigonométricas de diferentes ángulos, a partir de un triángulo dado. Las razones o funciones trigonométricas son expresiones matemáticas que contienen razones entre los lados de un triángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos. A c b

C a B En el triángulo dado, A B y C son los ángulos y a, b y c son los lados .Por lo cual las funciones trigonométricas del ángulo B, son: Seno es la razón del cateto opuesto al ángulo, a la hipotenusa:

c

b

hipotenusa

opuestocatetoBsen ==

Coseno es la razón del cateto adyacente al ángulo, a la hipotenusa:

c

a

hipotenusa

adyacentecateto == B cos

Tangente es la razón del cateto opuesto al ángulo, al cateto adyacente.

a

b

adyacentecateto

opuestocateto ==

B tan

Cotangente es la razón del cateto adyacente al ángulo, al cateto opuesto:

b

a

opuestocateto

adyacentecateto ==

B cot

Secante es la razón de la hipotenusa, al cateto adyacente:

a

c

adyacentecateto

hipotenusa ==

B sec

Cosecante es la razón de la hipotenusa, al cateto opuesto:

b

c

opuestocateto

hipotenusa ==

B csc

Otra relación entre los lados de un triangulo rectángulo la establece el teorema de Pitágoras, el cual se escribe N* = /* + �*. Los ángulos interiores de cualquier triángulo cumplen que su suma es igual a 180ª Si se conoce una función trigonométrica es posible obtener las otras, por ejemplo si MO2% = 7

8, obtener las funciones restantes par el ángulo A. Formando el triángulo: c=5 a=3 b A


77

Usando el teorema de Pitágoras calculamos el lado b, � = √N* − /* = √25 � 9 � √16 � 4 entonces:

cos % �6

8 tan% � 7

6 sec % � 8

6 csc% � 8

7 cot % � 6

7

ACTIVIDAD 30 Dada una función trigonométrica de un ángulo, calcular el valor de las otras funciones con los datos siguientes:

.10sec )6 14

5cot )5

9

17tan )4

12

37csc )3

10

3cos )2

29

20 )1

==

==

==

BB

BB

BsenB

Si se tiene el valor de la función trigonométrica es posible obtener el ángulo que le corresponde, esta operación se representa si MO2% � W entonces % � /#NMO2W, generalmente esta operación se realiza en una calculadora, por ejemplo si MO2% � 0.5 se tiene que % �/#NMO20.5 � 30F Ejercicio: 1.- Determine el valor del ángulo que le corresponde a los valores de las funciones trigonométricas del ejercicio anterior. Para ángulos mayores de 90º, debemos considerar un círculo unitario en el cual " � cos X y Y � MO2X

Se observa que los signos de las funciones trigonométricas corresponden a las coordenadas del punto >�", Y�,


78

Algunos valores de ángulos


79

ACTIVIDAD 31 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS.

COMPETENCIA.- Aplica las funciones trigonométricas para obtener elementos que se desconocen en un triángulo rectángulo. Resolver un triangulo rectángulo es obtener los elementos faltantes partiendo de que se conocen algunos de ellos, dependiendo de los datos se pueden usar las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras. Consideremos que se tiene un triángulo donde a=10 y c=15, se debe calcular el valor de b y los ángulos A y B, dibujando el triángulo B c=15 a=10 b A El lado b se calcula usando el teorema de Pitágoras � = √N* − /* = √15* − 10* = √125 , el valor de un ángulo se obtiene con una función trigonométrica, usando MO2% = -

Z =GIG8 = 0.666 por lo

tanto % = /#NMO20.666 = 41.76F el valor del otro ángulo se calcula [ = 90F − % = 48.24F ACTIVIDAD 31 1.- Resolver los siguientes triángulos rectángulos si se conoce la siguiente información: a) a=12, b=10 b) a=25 B=35º c) b=20 c=40 d) c=50 B=45º 2.- Resuelva los siguientes problemas: a).- Una escalera de 9 m está apoyada contra una pared. ¿Qué altura alcanza si forma con el suelo, un ángulo de 72 o ? b).- Un árbol de 17 m de altura proyecta una sombra de 25 m. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte del lugar? c).- El pie de una escalera de 10 m, apoyada contra una pared queda a 3 m de ésta. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?


80

ACTIVIDAD 32 LEY DE SENOS

COMPETENCIA.- Conoce el enunciado de la Ley de Senos y lo aplica en el cálculo de elementos desconocidos de un triángulo. Ahora analicemos expresiones trigonométricas más generales que el Teorema de Pitágoras, que nos permiten conocer las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángulos. La ley de senos establece que. "En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, o sea"

senC

c

senB

b

senA

a ==

B

c a A C b Pueden presentarse diferentes casos: 1) Se conoce un lado y dos ángulos. 2) Se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados. Ejemplo 1.- Si conocemos que a=23 , A=37° y B=104°. Encontrar el valor del lado b.

De la expresión general senC

c

senB

b

senA

a == , tomaremos senB

b

senA

a =

Despejando 81.415490.0

954.22

5490.0

)9980.0)(23( ====senA

asenBb

Ejemplo 2.- Dados c=14 , b=17 y C =35° .Calcular el ángulo B

Tomando de la expresión general solamente senC

c

senB

b = , y despejando primero sen B

obtenemos 6964.014

7507.9

14

)5735.0(17

14

)35(17 ===°== sen

c

bsenCsenB

Por lo tanto B=arc Sen (0.6964)=44.13°=44°7´ ACTIVIDAD 32 1.- Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, en que se da: a) a=12.30, B=38°20´, C=77°10´ b) c=95, A=27°33´, C=59°58´ c) b=81, A=80° , B=2° 15´


81

ACTIVIDAD 33 LEY DE COSENOS.

COMPETENCIA.- Conoce el enunciado de la ley de Cosenos y lo aplica a situaciones de carácter práctico. La ley de cosenos establece que En todo triángulo, el coseno de un ángulo es igual: a la suma de los cuadrados de los lados que lo forman, menos el cuadrado del lado opuesto, dividido entre el doble producto de los lados que forman dicho ángulo. Consideremos el siguiente triángulo: B c a

A C b

ab

cba

ac

bcaCosB

bc

acbCosA

2CosC

2

2

222222222 −+=−+=−+= ..........(1)

Simplificando las fórmulas anteriores podemos obtener nuevas expresiones:

abCosCbacacCosBcabbcCosAcba 2 2 2 222222222 +=−+=−+= ....(2) Las expresiones anteriores se pueden generalizar de la siguiente manera: En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, menos el doble producto de esos lados por el coseno del ángulo que forman. Ejemplo 1.- Resolver el triángulo ABC, dados : a=31 m, b=42 m y c=53 m. Incógnitas A,B y C.

Primero podemos obtener el valor del ángulo A, usando la expresión 2

222

bcacb

CosA−+= .

Sustituyendo valores se obtiene 0.81134452

3612

)53)(42(2

315342 222

==−+=CosA .

Por lo tanto: ´483577.35)8113.0(cos 1 °=°== −A

El ángulo B se puede conocer de: 6104.03286

2006

)53)(31(2

425331

2

222222

==−+=−+=ac

bcaCosB

´225238.52)6104.0(cos 1 °=°== −B Para obtener el ángulo C, usemos el Teorema A+B+C=180° y despejemos C=180°-(A+B)=180°-88.15°=91.85° Para casos similares, se pueden utilizar las expresiones en (1). Ejemplo 2.- Encontrar el valor del lado a, sabiendo que b=23, c=14 y A=46°.


82

Para este caso usaremos la expresión 2222 bcCosAcba −+=

241.92483.07-725)644(0.7501-196529 )46()14)(23(21423 222 ==+=°−+= Cosa

Extrayendo la raíz cuadrada obtenemos 5537.1592.241 ==a De manera similar se pueden usar las otras expresiones para los cuadrados de los lados. ACTIVIDAD 33 1.- Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, en que se da: a) a=4, b=5, c=6. b) a=26.64, b=37.40 , c=50.22. c) a=310, b=276, c=187 d) b=30.72, c=22.25, A=56° 28´ e) a=89, c=67, B=37° f) a=76, b=90, C=23° 56´ 2.- En la siguiente figura calcular la altura de la torre:

30ª 35ª 40m 3.- Calcular los ángulos A y B, así como la longitud de los cables c y d

c d 20m A B 15 m 25 m


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ACTIVIDAD 34 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.

COMPETENCIA.-Definine que es una identidad trigonométrica y poner en práctica su demostración. En trigonometría, además de las funciones trigonométricas se usan con mucha frecuencia las identidades trigonométricas, las cuáles se pueden definir como una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas de un mismo ángulo, que se verifica o se cumple para cualquier valor que se atribuya a dicho ángulo. Algunas de las identidades básicas más importantes son:

Tomando como base las identidades anteriores se pueden demostrar otras, para esto hay que efectuar en el primer miembro todas las operaciones que sean necesarias, sin efectuar cambio ninguno en el segundo, hasta que los dos miembros sean idénticos. Por ejemplo: Comprobar la siguiente identidad .1cos)cot(tan =+ αααα sen


84

11

1coscos

1

1coscos

cos

1cos)cos

cos(

22

=

=

=+

=+

αααα

αααα

αα

αααα

αα

sensen

sensen

sen

sensen

sen

ACTIVIDAD 34 1.- Comprobar las siguientes identidades trigonométricas:

ααααα

ααα

αα

ααα

ααα

622

22

222

2

222

tancoscot

tan )5

.cotcos)cot1( )4

.1)90( sec )3

).cos1)(cos1( )2

1cos2cos )1

=−−

=+

=−

−+=

−=−

sen

sen

sen

sen

o


85

V.- BIBLIOGRAFIA. 1.- ALGEBRA. Rees y Sparks Editorial Reverté. 2.- PRECALCULO James Stewart Mc Gra-Hill 3.- ALGEBRA CON TRIGONOMETRIA Swokowski Grupo Editorial Iberoamérica. 4.- ALGEBRA UNIVERSITARIA Gordon Fuller CECSA. 5.- FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS BASICAS Aponte Adisson Wesley. 6.- TRIGONOMETRIA RECTILINEA Agustín Anfossi Editorial Progreso. 7.- TRIGONOMETRIA PLANA Ayres Serie Schaum. 8.- FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS Silva y Lazo 9.- SOFTWARE Derive 10.- CONSULTA DE PAGINAS DE INTERNE Applets de Algebra y Trigonometría

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