I.- CARACTERISTICAS DEL CURSO

El curso, tal y como aparece en el manual, tiene una duracin de 6 horas, mismas que 6 La modalidad del curso requiere que el 90% del tiempo se dedique a la realizacin de ejercicios y dinmicas, en las que los participantes tienen que involucrarse y desempearse exitosamente. El curso est basado en una estrategia didctica de participacin activa, la cual implica un compromiso entre el facilitador y los alumnos para alcanzar los objetivos del curso. La participacin activa, aunada al tipo de ejercicios, permitir crear las condiciones para estimular un trabajo en el que prevalezca la intencin comprometida, de cada uno de los participantes, para analizar y extraer las caractersticas ms relevantes de las situaciones problemticas; discutir y encontrar formas de solucin de los problemas y elegir, entre ellas, las ms II. JUSTIFICACIN Si bien, es cierto, las dificultades habilidades matemticas no se generan en el bachillerato, s se reflejan en el nivel de aprovechamiento en ese nivel y por consecuencia en la educacin superior, por lo que se hace necesario emprender acciones tendentes a subsanar dichas inconsistencias. Estamos convencidos que los jvenes del nivel medio superior, mejorarn con prctica su capacidad de observacin, globalizacin, jerarquizacin, regulacin de propia comprensin, y por consecuencia, sus competencias comunicativas matemticas, cuya utilidad se ver reflejada, no slo en el contexto acadmico, sino cualquier mbito de su vida cotidiana. la su y en

En el curso remedial de matemticas, para los estudiantes que cursan el bachillerato, es importante que reforzar su estudio con una recapitulacin de sus estudios en matemticas porque el conocimiento de los nmeros, la algebra y la aritmtica es bsico, para la reafirmacin de los procesos de abstraccin de las matemticas El material propuesto puede ser complementado a partir de la experiencia de cada docente. El contenido no se aborda de forma rigurosa, tratando de contextualizar cada una de las temticas. Desde luego que el papel del docente es trascendental en la adquisicin de habilidades matemticas a que l ser quien marque la pauta en la solucin de cada ejercicio y quien gue las reflexiones en los resultados obtenidos. I. Aritmtica: En este apartado se abordarn ejercicios que recuperen conocimientos previos de los estudiantes en los temas relativos a nmeros naturales, enteros y racionales as como porcentajes y proporciones, que son el antecedente fundamental para que los estudiantes puedan desarrollar con xito las competencias requeridas en el lgebra y asignaturas subsecuentes en la disciplina de las matemticas.

II.- Algebra: En este apartado se abordarn ejercicios que recuperen conocimientos bsico de la algebra en los temas relativos a operaciones bsicas algebraicas de suma, resta, multiplicacin y divisin as como ecuaciones lineales, productos notables y factorizacin , que son el antecedente fundamental para que los estudiantes puedan desarrollar con xito las competencias requeridas en el dominio de las habilidades algebraicas y asignaturas subsecuentes en la disciplina de las matemticas.

Profesor: Gildardo Retes Angulo

I.- ARITMETICA

1.1 NMEROS REALESLos nmeros naturales: surgen de la necesidad de contar, de enumerar: se representan con N ={1,2,3,4...}. N es un conjunto infinito N es un conjunto perfectamente ordenado Con los nmeros naturales se puede sumar, multiplicar, ( restar, dividir) Por qu (restar, dividir)?. Porque no siempre que se realizan estas operaciones con nmeros naturales obtienes como resultado un nmero natural Pares. Siendo n un nmero natural, 2n representa un nmero par Impares: siendo n un nmero natural. 2n + 1 , representa un nmero impar. Al multiplicar cualquier nmero por cero, el producto ser cero siempre Una divisin es exacta cuando el residuo es cero. Todos los nmeros cuya cifra de las unidades es cinco o cero se dividen exactamente, entre 5 Al multiplicar un nmero o dividirlo entre uno ( 1 ) obtenemos El mismo nmero

1.2 SUMA Y RESTA DE NUMEROS REALES Aqu te proponemos una forma nemotcnica sencilla para aprender a sumar y restar mediante dos reglas muy fciles de recordar: Si se tienen dos nmeros de signos iguales, entonces se suman (entendido como suma en nmeros naturales) y se deja el mismo signo.

Ejemplo 1 : 3+5 = 8 esta es una suma comn y corriente entre naturales, pero y si fuera... Ejemplo 2 : -3-5 = -8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vez es de signo negativo porque ambos nmeros son negativos y en realidad estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta real. Si se tienen dos nmeros de signos diferentes, entonces se restan (entendido como resta entre nmeros naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitud mayor.

Ejemplo 3 : 5 3 = 2 Ejemplo 4:-5 + 3 = -2 En el primer ejemplo es una resta comn y corriente entre nmero naturales. En el segundo caso tenemos dos enteros 5 y 3. la regla dice que se restan como se hara entre nmeros naturales 5-3 da 2, pero como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda negativo 2. Esto no quiere decir que 5 sea mayor que 3. Si tengo 3 dlares en el bolsillo estoy ms contento que si me faltan 5 ( -5 ), slo es una norma nemotcnica para que aprendas a sumar y restar. Mas ejemplos a) -7+10=3 que es lo mismo que 10 - 7=3 b) 7-10 = -3 que es lo mismo que 10+7 = -3 c) -4-2-5-10= -21 d) 4+2+5+10= 21 e) 9 -4+5-10-20+15-7+9 Para estos ejercicios largos es buena idea agrupar por signos, as: -4-10-20-7 = -41 ; 5+15+9=29 Y luego restar: -41+29 = -12

Ntese que se oper entre los resultados anteriormente obtenidos y se volvi a aplicar la regla. Nmero de signos diferentes se restan y el resultado queda con el signo de la magnitud mayor, en este caso 41.

1.3 MULTIPLICACION Y DIVISION CON NUMEROS REALES Para estas operaciones es obvio que debes conocer las tablas de multiplicacin y adems saber que:

+ + y (

x x x x

+ +

= = = =

+ + -

Signos iguales positivos

Signos diferentes negativo

Los signos de operacin en la multiplicacin pueden utilizarse los siguientes ), * y la X ( en operaciones aritmticas solamente en algebraicas no

Ejemplo: -5*-3 = 15 (-5)(3) = -15 155 = 3 -155 = -3 Ejercicio 1I.- Resuelve en tu cuaderno de matemtica, los siguientes ejercicios: 1) 296 + 5342 + 756 + 9 = 4) 896 - 646 = 7) 2465 : 5 = 10) 25 : 5 + 3 x 7 = 13) (5 - 3) x (3 + 2) = 2) 192 + 55564 + 56 = 5) 456 x 64 = 8) 12800 : 25 = 11) 70 : 2 + 3 x 2 = 14) 5 + 3 x (3 + 2) = 3) 8686 - 64 + 354 = 6) 6469 x 56 = 9) 3 x 5 + 7 - 2 = 12) 3 x (4 + 8) = 15) 8 + {3 + 6 + 4 x (3 + 2)}

5 . 3 = 15 5X-3 = -15 15-5 = -3 -155 = -3

TAREA 1Calcular las siguientes sumas de nmeros enteros: a) 1) -41 + -4= b) 5) 10 + -41= c) 9) -5 + 19 = TAREA 2 Calcular las siguientes restas de nmeros enteros: 1) -12 - -4= 4) -10 - 4= 7) 4 - -12= 2) -14 - 4= 5) 4 - -11= 8) -10 - -10= 3) -8 - -12= 6) -100 - -4= 9) 5 - 9 = 2) - 24 + 4= 6) -18 + -4= 10) -21 + 18 = 3) -2 + -12= 7) 4 + -11= 11) -30 + 4 = 4) -12 + -12= 8) -10 + 40= 12) -15 + 10 =

TAREA 3 Calculas las siguientes multiplicaciones de nmeros enteros: 1) -5 -4= 6) -15 -4= 2) 12 -4= 7) 4 12= 3) -40 -3= 8) -10 -15= 4) -11 -4= 9) -13 9 = 5) 10 -4= 10) -2 18 =

TAREA 4 V.- Calcula las siguientes divisiones de nmeros enteros: 1) 4 : 2 = 6) 21 : 7 = 2) 20 : 4 = 7) 27 : 9 = 3) 45 : 3 = 8) 42 : 21 = 4) 15 : 5 = 9) 8 : 2 = 5) 20 : 2 = 10) 100 : 10 =

TAREA 5 VI.- Calcula los siguientes ejercicios de nmeros enteros: 1) 6 (2 - 3) = 5) 4 (-3 - 5) = 8) (24:-3)(10 - 15) = 2) -7 (3 - 6) = 6) (-5 - 6)(8 - 4) = 9) (-3 + 9)(-32:-8) = 3) 9 (8 - 1) = 7) (-8 + 3)(5 - 9) = 10) (-9 + 6)(-2 - 5) = 4) -8 (8 - 1) =

II.- A L G E B R A2.1.- CONCEPTOS BSICOS: 1. Trmino algebraico: Un trmino algebraico es el producto de una o ms variables y una constante literal o numrica. Ejemplos: 3x2y ; 45 ; m En todo trmino algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numrico, factor literal, exponente Exponente

-4xFactor literal Signo Coeficiente numrico 2. Grado de un trmino: Se denomina grado de un trmino algebraico a la suma de los exponentes de su factor literal. Ejercicio 1 Para cada uno de los siguientes trminos algebraicos, determina su signo, coeficiente numrico, factor literal y grado: Ejercicio 5,92b3c 3 4 5 h k 3 abc xy 2 4 84c2d3 3. Expresiones algebraicas: Expresin algebraica es el resultado de combinar, mediante la operacin de adicin, uno o ms trminos algebraicos. Ejemplo: Signo menos C. numrico 5,9 F. literal a2b3c Grado 2+3+1=6

-

4. Cantidad de trminos: Segn el nmero de trminos que posea una expresin algebraica se denomina: Monomio : Un trmino algebraico : a2bc4 ; 35z Binomio : Dos trminos algebraicos : x + y ; 3 5b Trinomio : Tres trminos algebraicos : a + 5b -19 Polinomio: Ms de dos trminos algebraicos: 2x 4y + 6z 8x2 5. Grado de un polinomio: El grado de un polinomio est determinado por el mayor grado de alguno de sus trminos cuyo coeficiente es distinto de cero.

Ejercicio 2 Determina el grado y clasifica segn el nmero de trminos, las siguientes expresiones algebraicas: Expresin algebraica 2x 5y3 x2 y 3 4 a b + c 2d m2 + mn + n2 x + y2 + z3 xy2z3 Grado de la expresin 1; 3 = 3 Nmero de trminos 2: binomio

2.2 - VALORACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:Valorar una expresin algebraica significa asignar un valor numrico a cada variable de los trminos y resolver las operaciones indicadas en la expresin para determinar su valor final. Veamos un ejemplo: Valoremos la expresin: 5x2y 8xy2 9y3, considerando x = 2; y = 1 No olvidar: 1 2 3 4 Reemplazar cada variable por el valor asignado. Calcular las potencias indicadas Efectuar las multiplicaciones y divisiones Realizar las adiciones y sustracciones

Veamos el ejemplo propuesto: 5x2y 8xy2 9y3

5x 2 y 8xy 2 9 y 3 ! 5 2 2 1 8 2 1 9 12

3

= 5 4 ( 1) 8 2 1 9 ( 1) ! = 20 16 9 ! 27

Es el valor numrico

Ejercicio 3 Calcula el valor numrico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando: Expresin algebraica Reemplazar :a = 2; b =5; c=3; d=1; f = 0 Resultado

5a 2 2bc 3d4 ab 3 bc 15d

6a 3 f 2a 2 b3 c 3 d 53(a b) 2(c d ) c b a 3 5 2 2.3 Uso de parntesis:

? A _a

En lgebra los parntesis se usan para agrupar trminos y separar operaciones. Para eliminar parntesis debes fijarte en el signo que tengan: Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que estn dentro de l. Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que estn dentro de l.

Ejemplos:

b) 3x (6x + 1) + (x 3 )=

3x 6x 1 + x 3 = 2x 4

Observacin: Si en una expresin algebraica existen parntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar desde el ms interior. Ejemplo: a)2

n

2

7 n n2

2

3 n 2n 2 ! 2

2.4 Trminos semejantesSe denominan trminos semejantes de una expresin algebraica todos aquellos trminos que tienen igual factor literal. Ejemplos: En la expresin 5 a2b + 3abx + 6 a2b3 7 a2b , 5 a2b es semejante con 7 a2b En la expresin x2y3 8xy2 +

2 2 3 2 2 3 x y , x2y3 es semejante con xy 5 5

Reducir trminos semejantes consiste en sumar los coeficientes numricos, conservando el factor literal que les es comn. Ejemplos:

a) 3 a2b + 2ab + 6 a2b 7 ab = 3 a2b 5 ab

2

n n2

2

2

2

2

_ _7 _7

7 n

? n ? n 2

2

a) 2a _ x a 1a _ x 3a a

2a x +a -1 a x +3

ojo

3 n

A ! a 3 n 2n Aa = 3 n 2n a !2n 22 2 2

4 n 3n 2

b)

3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 3 2 13 3 2 1 2 3 x y x y x y x y ! x y x y 4 2 3 3 12 6 3 1 9 4 13 ! ! 4 3 12 12 1 2 3 4 1 ! ! 2 3 6 6

c)

d)

TAREA 6 Ejercicios3: Reduce los trminos semejantes, resolviendo previamente los parntesis, cuando corresponda (resuelve en tu cuaderno) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b = 35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y = 24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c = 3m - 7n + 5m - 7n + 5n + 3n - 8p - 5n + 8p = 4p - 7q + 5p - 12p - 11q + 8p - 11q + 12r + p + 5r = 2a2 + 3b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 - 5 b2 = 7a - 1,8 b + 5 c - 7,2a + 5a - 6,1b - 8a + 12b = 8a + 5,2 b - 7,1a + 6,4 b + 9a - 4,3b + 7b - 3a = 3m 2 1 2 n + 5m - 7n + 5 n + 3n - p - 5n + 8p = 5 2 5 1 2 3 2 2 a + 3 b - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 5 b2 = 2 5 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) = 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) = 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) = 9x + 13 y - 9z - ?7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z }A = -( x - 2y ) - ? { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) }A =

16. 17.

6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} = 8x - ( 1 1 3 3 3 y + 6z - 2 x ) - ( -3 x + 20y ) - ( x + y + z ) = 2 4 5 4

18.

9x + 3

1 y - 9z 2

1 1 7x y 2z 5 x 9 y 5z 3z ! 3 2

TAREA 7 1) 8x 6x + 3x 5x + 4 x = 2)

4,5a 7 b 1,4b 0,6 a 5,3b b =3 2 1 1 m 2mn m 2 mn 2mn 2m 2 ! 5 10 3 2 2 3 3 2 1 1 x y 31 xy 2 y 3 x 2 y xy 2 y 3 6 ! 5 8 5 5 5 4

3)

4)

2.5 Operaciones con polinomios. 2.5.1 Suma resta de polinomios. Para llevar a cabo la suma y resta de polinomios es necesario identificar los trminos semejantes, es decir, los trminos que tengan las mismas variables con iguales exponentes, para as poder sumar y restar dichos trminos. Existen varios mtodos para sumar y restar , pero realmente se basan en lo mismo, en identificar los trminos semejantes y reducirlos. Uno de ellos es el mtodo que todos aprenden en la primaria, en donde se acomodan las unidades, decenas, centenas, etc. De la misma forma se acomodan los trminos de un polinomio, acomodando los trminos semejantesEjemplo 2.

Para sumar los polinomios

Otra forma, es hacerlo directo: eliminando parntesis y reduciendo trminos semejantes .( +

Ejemplo 3 Encuentra el permetro de las siguientes figuras.

3x2 + 2x 1

3x2 + 2x 3x2 + 2x 3x2 + 2x 3x2 + 2x

1+ 1 1 1

12x2 + 8x 4Ejercicios

1.- Dados los polinomiosA: 2b2c 3b + 6c B: 4b - c2b + 12 b2c C: 4 2c Ejecute las siguientes operaciones: a) A + B=

b) A - C=

c) B - A=

2.- Calcular el permetro de la siguiente figura:x2 +x 2x2 +x 3x2 +x 3 x

3.- realiza las siguientes adiciones y restas de los siguientes polinomios

a) (3x+3) + (2x2+x) = 2X2 + 4X +3

2.6 Multiplicacin en lgebraPara multiplicar expresiones algebraicas , debes observar los siguientes pasos:

1 2 3 4

Multiplicar los signos ( ley de los signos para la multiplicacin ) Multiplicar los coeficientes numricos. ESCRIBER las letras SIN REPETIR( multiplicacin de potencias de igual base ) Aplicar ley de exponentes .( los exponentes se suman

3 ab

4 exponentes de a 5 + 1 = 6, exponetes de b 4 +2 = 6

Ejemplo ( -4a5b4)( 12ab2)= 48 a6b6 2 (4 ) ( 12 ) = 48 1 (- ) (+) = ---

Estos pasos son vlidos para todos los casos de multiplicacin en lgebra; esto es, monomios por monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios. Ejemplos: monomios por monomios ( -4a5b4)( 12ab2)= 48 a6b6 1 (- ) (+) = 2 (4 ) ( 12 ) = 48 3 ab 4 exponentes de a 5 + 1 = 6 exponentes de b 4 + 2 = 6 monomios por polinomios polinomios por polinomios

2 a 3b 3a 7b !7 a b ( 2 a a b + 5 b )= 14 a7b 7 a5b2 + 35 a4b44 3 3

6a214ab 9ab +21b2 = 6a2 23ab +21b2

( a x + b y c z ) (- x y )= ( 6 m n p ) ( 5 mn p )= 30 m6n4p25 -3 -4 -1 2

ax2y bxy2 + cxyz

x3+2x2 +4x2x2 4x 8= x3 8

x 2 2 2 x 4! x

1 3a 4 m m 7 a 3 2

TAREA 8 Resuelve los siguientes ejercicios, reduce trminos semejantes cuando sea posible: 1) 5x 4x -2x = 2) 15x3y2z 4xy2z 3x2yz2 = 3) -4x2y2 -2x4y2 3x5y3 = 4) 18pq3 -3p2q = 5) z3n+2 3zn-2 = 6) y2p-1 y6 = 7) 6 2 y2 12y = 3 8) 19m3n -6m2n3 = 9) 3x3a+2 -4x4a-2 = 10) 7(a + b) = 11) 8(2x + 3y 4z) = 12) 2a(4a + 2a2b + 3a2c) = 13) -3x(5x 7x3y 4x2y) = 14) 3ab(a2 - 2ab + b2) = 15) 6xy2(3x2 5xy2 4x2y)= 16) 5(2x 3y + 2z) + 3(5y 3x 2z) = 17) 8a(3a - 5y 2z) 6y(4a - 6y + 3z) = 18) 2(5a + 8b) 3(3a2 - 5b) + 4a(a 7b) = 19) 10 6(x 5y) + 2(3x 5 + 14y) =

3 4 2 3 1 5 4 a b ab ! a b 2 3 4

2 5

2a 3

5 4

a 1

5 2

5a

!

m

2

2 mn 8 n 2 m 3 3m 2 2 !

hazlo t !

20) (a + b)(a b) = 21) (a + b)(a 2b) + (a + b)(a + b) = 22) (x - 1)(x3 + x2 + x + 1) = 23) 23) 2(x + 2)(x + 1) = 24) 4(a + 4)(a 2) =

25) 26xy (9x 8y)(5x + 2y) (4y 3x)(15x + 4y) = 26) (2x + 3y + 4z)(5x + 2y + z) = 27) (2x y + 3z)(4x + 2y z) = 28) (x + 4)(x + 3)(x + 2) = 29) 8 a2(10a + 3b) [9 2(14a - 7b) - 4(3a - 9b)] = 30) (7a 2b) [2(3a - c) 3(2b - 3c)] = 31) 2 x[7x {9x 3(3 + 6x)}] = 32) (2a b)[5b 4(a + 2b) + (a - 4b)] = 33) 44x + 2y{48y 4x2(6z + 3y 4x) + 4z} 2x2y{4x 8y + 2z(4x + y)} = 34)2 2 9 2 4 3 a b ab a b ! 3 3 8 3 8 2 5 1 4

35) ab 2 3ab 2 a 2 b 3b 2 a 3 !

PRODUCTOS NOTABLESProductos Notables: Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspeccin. Su denominados tambin "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clsico y por esto se le reconoce fcilmente. Las ms importantes son:Producto notable Binomio al Cuadrado

Formula ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

Regla El Cuadrado del primer Termino, ms el Doble Producto del Primer por el segundo Termino, ms el Cuadrado del Segundo Trmino. El Cuadrado del Primer Trmino menos El Cuadrado del Segundo Trmino

Ejemplo (2x + 3y ) = (2x) + 2(2x)(3y) + (3y) = 4x + 12xy + 9y TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (3x + 2y ) = (3x) + (2y) = 9x - 3y DIFERENCIA DE CUADRADOS (x + 3 ) (x + 2 ) = (x) + x ( 3 +2) + (+3)(+2) = x + 5x + 6 TRINOMIO DE LA FORMA x +bx + c (2x + 3 ) (2x 2 ) = (2x) + (2x)(+3-2) + (+3)(-2) = 4x + 2x 6 TRINOMIO DE LA FORMA ax + bx + c (2x + 3y ) = (2x) + 3 (2x)(3y) + 3 (2x)(3y) + (3y) = 8x + 36xy + 54xy + 27y

Binomio conjugado

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

Producto de dos binomios con trmino comn

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

El cuadrado del termino comn, mas el producto de termino comn por la suma de los trminos no comunes, mas el producto de los trminos no comunes.*

(cx + a ) ( cx + b) (cx) + (cx)(a + b) + abBinomio al Cubo

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b)

Diferencia de cubos

a3 b3 = (a b) (a2 + b2 + ab)

Suma de cubos

a3 b3 = (a b) (a2 + b2 + ab)

El Cubo del Primer Trmino, ms el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Trmino, ms el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Trmino, ms el cubo del segundo Trmino. La suma de las races de los dos trminos cbicos por el producto de la suma del cuadrado del primero mas el cuadrado del segundo mas el producto del primero por el segundo La diferencia de las races de los dos trminos cbicos por el producto de la suma del cuadrado del primero mas el cuadrado del segundo mas el producto del primero por el segundo

Es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin, sin verificar la multiplicacin que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicacin simplifica y sistematiza la resolucin de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una frmula de factorizacin. Por ejemplo, la factorizacin de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recprocamente. Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por s mismo), se suman los cuadrados de cada trmino con el doble del producto de ellos. Es decir:

un trinomio de la forma:

, se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo trmino es negativo, la ecuacin que se obtiene es:

En ambos casos el tercer trmino tiene siempre signo positivo. Ejemplo

simplificando:

1. Completa la siguiente tabla:

a x 2x

b Y 3y

a

2ab

b

a + 2ab + b

4w

5. Resuelve los siguientes cuadrados de binomios: 1. (x + 5) 2. (x - 7) 3. (a + 1) 4. (m + 21) 5. (x - 2) 6.(x - 18) 7. (p + 5q) 8. (x - 3y) 9. (2x + 6) 10. (3x - 5) 11. (6x - 8y) 12. (0,2x - 3) 13. (5a - 0,3) 14. ( x - 5) 15. a b 2 3 3 4 2

3 4

Productos Notables. Producto notable Resolver 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

3x ! 14 2

7a b a a3

2 3

5x 4 =

2

b2 a3 b2 !

1 8xy 1 8xy !x 1

2b x 1 2b x 1 a x 1 =

x y z x y z !

3 2 2b ! a x ! x 8. 3 6 3 8 9. 3 y 3 6 3 y 3 6 x x ! 10. a x 1 7 a x 1 4 5 5 !

2 11. a 6 b 4 c 3 11ab 2 ! 3 12. 5x 2 3

3 !

13. x 1 x 2 x 1 !

14. 2 y 2 y y 2 4 ! 15. 2 n b m 2 x 3 y a 2 n b m 2 x 3 y a a a ! 16. a 1 8 a 1 9 x x !

1 1 17. 3 7 a x 1b m b 7 c 2 3 7 a x 1b m b 7 c 2 ! 5 5 18. a 2b 2 1 a 2 b 2 7 ! 19. 5 ab 25 5ab a 2 b 2 !2 ! 3 3 ! 21. a x y 2 a x y 5

20. 2mn 2 3m 1n 3

1 2 22. a 2 b x 3 y 4 ! 5 3 23. m 2 m n n m m 2 ! 24. 2a 3b c 2 ! 25. x 2 y 3 z 6 5a 3b 7 c x 2 y 3 z 6 5a 3b 7 c ! 26. 1 3 x 4

2

!2

27. 7 a 2b3 5 x 4 = 28. a 3 b 2 a 3 b 2 !

2

1 1 29. 8xy 8xy !30. a x 1 2b x 1 2b x 1 a x 1 = 31. x y z x y z !3 ! 33. 3 6 3 8 x ! x

32. a 2 2b

34. x 3 y 3 6 x 3 y 3 6 !

35. a x 1 7 a x 1 4 5 5 !2 36. a 6 b 4 c 3 11ab 2 ! 3 37. 5x 2 3

3 !

38. x 1 x 2 x 1 !

39. 2 y 2 y y 2 4 ! a a ! 40. 2 n b m 2 x 3 y a 2 n b m 2 x 3 y a 41. a 1 8 a 1 9 x x !1 1 42. 3 7 a x 1b m b 7 c 2 3 7 a x 1b m b 7 c 2 ! 5 5 43. a 2b 2 1 a 2 b 2 7 ! 44. 5 ab 25 5ab a 2 b 2 !2 ! 46. a x y 2 a x y 5 3 3 !

45. 2mn 2 3m 1n 3

2 2 1 3 4 47. a b x y ! 5 3 48. m 2 m n n m m 2 ! 49. 2a 3b c 2 !

2

50. x 2 y 3 z 6 5a 3b 7 c x 2 y 3 z 6 5a 3b 7 c ! 51. 1 3 x 4

!2

52. 7 a 2b3 5 x 4 = 53. a 3 b 2 a 3 b 2 !

2

1 1 54. 8xy 8xy !55. a x 1 2b x 1 2b x 1 a x 1 = 56. x y z x y z !3 ! 58. 3 6 3 8 x ! x 59. 3 y 3 6 3 y 3 6 x x ! 60. a x 1 7 a x 1 4 5 5 !

57. a 2 2b

2 61. a 6 b 4 c 3 11ab 2 ! 3 62. 5x 2 3

3 !

63. x 1 x 2 x 1 !

64. 2 y 2 y y 2 4 ! 65. 2 n b m 2 x 3 y a 2 n b m 2 x 3 y a a a ! 66. a 1 8 a 1 9 x x !

1 1 67. 3 7 a x 1b m b 7 c 2 3 7 a x 1b m b 7 c 2 ! 5 5 68. a 2b 2 1 a 2 b 2 7 ! 69. 5 ab 25 5ab a 2 b 2 !2 ! 3 3 ! 71. a x y 2 a x y 5

70. 2mn 2 3m 1n 3

1 2 72. a 2 b x 3 y 4 ! 5 3 73. m 2 m n n m m 2 ! 74. 2a 3b c 2 ! 75. x 2 y 3 z 6 5a 3b 7 c x 2 y 3 z 6 5a 3b 7 c !

2

FACTORIZACIN Factorizar una expresin algebraica consiste en escribirla como un producto. Cuando realizamos las multiplicaciones : 1. 2. 2x(x2 3x + 2) = 2x3 6x2 + 4x (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35

Entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorizacin es el proceso inverso de la multiplicacin.La factorizacin es de extrema importancia en la Matemtica, as es que debes tratar de entender lo ms que puedas sobre lo que vamos a trabajar. Existen varios casos de factorizacin : 1. FACTOR COMUN MONOMIO: Factor comn monomio: es el factor que est presente en cada trmino del polinomio : Ejemplo Nr 1: cul es el factor comn monomio en 12x + 18y - 24z ? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6 2x + 6 3y - 6 4z = 6(2x + 3y - 4z ) Ejemplo Nr 2 : Cul es el factor comn monomio en : 5a2 - 15ab - 10 ac El factor comn entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto 5a2 - 15ab - 10 ac = 5a a - 5a 3b - 5a 2c = 5a(a - 3b - 2c ) Ejemplo Nr 3 : Cul es el factor comn en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 El factor comn es 6xy porque 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy ) Realiza t los siguientes ejercicios : EJERCICIOS. a) 6x - 12 = b) 24a - 12ab = c) 14m2n + 7mn = d) 8a3 - 6a2 = Halla el factor comn de los siguientes ejercicios :

e) 14a - 21b + 35 = f) 20x - 12xy + 4xz = g) m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 = h) 4x - 8y = i) 3ab + 6ac - 9ad = j) 6x4 - 30x3 + 2x2 = k) 12m2 n + 24m3n2 - 36m4n 2 = TAREA 9 a) xy2 - y2w b) 5xy2 - 15y c) 24a3b2 - 12a3b3 d) 4xy - 8xy2 - 12xy3

= = = =

2. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO Se trata de extraer un doble factor comn. EJEMPLO Nr1. Factoriza ap + bp + aq + bq Se extrae factor comn p de los dos primeros trminos y q de los dos ltimos p(a + b ) + q( a + b ) Se saca factor comn polinomio (a+b)(p+q)

EJERCICIOS : a) a2 + ab + ax + bx = b) ab - 2a - 5b + 10 = c) am - bm + an - bn = d) 3x2 - 3bx + xy - by = e) 3a - b2 + 2b2x - 6ax = f) ab + 3a + 2b + 6 = g) 2ab + 2a - b - 1 = h) 3x3 - 9ax2 - x + 3a = i) 6ab + 4a - 15b - 10 = j) a3 + a2 + a + 1 =

TAREA 10 a) ac - a - bc + b + c2 - c = b) 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd = c) ax - ay - bx + by - cx + cy = d) 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

e) 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

TECNICAS DE FACTORIZACION BASADAS EN PRODUCTOS NOTABLES 1. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c El trinomio de la forma x2 + bx + c binomiales mediante el siguiente proceso : EJEMPLO Nr 1. Descomponer se puede descomponer en dos factores

x2 + 6x + 5 x x

1r Hallar dos factores que den el primer trmino

2r Hallar los factores del tercer trmino, seleccionando aquellos cuya suma sea 6 1 5 -1 -5 Pero la suma debe ser +6 luego sern EJEMPLO N 2: Factorizar x2 + 4xy - 12y2 (x + 1 )( x + 5 )

1 Hallar dos factores del primer trmino, o sea x2 : 2 Hallar los factores de 12y2 , stos pueden ser :

x x 6y -2y -6y 2y -4y 3y -12y y

4y -3y 12y -y

pero la suma debe ser +4 , luego servirn 6y y -2y, es decir x2 + 4xy - 12y2 = ( x + 6y )( x - 2y ) EJERCICIOS: Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :

a) x2 + 4x + 3 = b) b2 + 8b + 15 = c) r2 - 12r + 27 = d) h2 - 27h + 50 =

e) x2 + 14xy + 24y2 = f) x2 + 5x + 4 = g) a2 + 7a + 10 = h) x2 - x - 2 = i) s2 - 14s + 33 = j) y2 - 3y - 4 = k) m2 + 19m + 48TAREA 11 a) x2 + 8x + 15 b) n2 + n 20 c) m2 - 12m + 27 d) x2 - 2x 24 e) x2 + 20x + 75 f) y2 + 16y 80 g) x2 - 25x + 100 h) y2 - 6y - 72

2 . FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2+ bx + c EJEMPLO Factoriza 2x2 - 11x + 5 1 El primer trmino se descompone en dos factores

2x

x 5 1 -5 -1

2 Se buscan los divisores del tercer trmino 3 Parcialmente la factorizacin sera pero no sirve pues da : se reemplaza por y en este caso nos da :EJERCICIOS :

( 2x + 5 )( x + 1 ) 2x2 + 7x + 5 ( 2x - 1 )( x - 5 ) 2x2 - 11x + 5

a) 5x2 + 11x + 2 = b) 4x2 + 7x + 3 = c) 5 + 7b + 2b2 = d) 5c2 + 11cd + 2d2 = e) 6x2 + 7x - 5 = f) 3m2 - 7m - 20 = g) 5x2 + 3xy - 2y2 = h) 6a2 - 5a - 21 = i) 2a2 - 13a + 15 = j) 3a2 + 10ab + 7b2 = k) 4h2 + 5h + 1 = l) 7x2 - 15x + 2 = m) 2x2 + 5x - 12 =

n) 6a2 + 23ab - 4b2 = o) 8x2 - 14x + 3 = p) 7p2 + 13p - 2 = q) 2x2 - 17xy + 15y2 = TAREA12 a) 2x2 + 7x + 3 b) 2y2 + 9y + 4 c) 3z2 - 14z - 5 d) 4x2 - 29x + 7 e) 5x2 + 12x - 9 f) 6y2 + 21y + 12 g) 7x2 - 46x - 21 h) 8y2 + 24y - 32 i) 9x2 - 66x + 40 j) 10x2 - 32x - 90

3. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS: EJEMPLO: Factorizar 9x2 - 16y2 =

Para el primer trmino 9x2 se factoriza en 3x 3x y el segundo trmino - 16y2 se factoriza en +4y -4y luego la factorizacin de 9x2 - 16y2 = ( 3x + 4y )( 3x - 4y ) EJERCICIOS: a) 9a2 - 25b2 = b) 4x2 - 1 = c) 36m2n2 - 25 = d) 169m2 - 196 n2 = e)9 2 49 2 b ! a 36 25

f) 3x2 - 12 = g) 8y2 - 18 = h) 45m3n - 20mn = i) 16x2 - 100 = j) 9p2 - 40q2 = k) 49x2 - 64t2 = l) 121 x2 - 144 k2 = m)1 4 9 4 x y ! 16 25

n) 5 - 180f2 =

o) 3x2 - 75y2 = p) 2a5 - 162 a3 =

TAREA 13 a) m2 - n2 b) x2 - 100 c) 25a2 - 144b2 d) 9x2y4 - 121z8 TAREA 14 a) 1/4 - 16x2 b) 1/16 - x4/25 c) a6/36 - 49b4/100 d) x2nb8n - 1/169 e) 0.81a6 - 1.21b8

4 . FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Ejemplo: Factorizar 9x2 - 30x + 25 =

1r Halla la raz principal del primer trmino 9x2 : 3x 3x 2r Halla la raz principal del tercer trmino 25 con el signo del segundo trmino -5 -5 2 luego la factorizacin de 9x - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )2 EJERCICIOS: a) b2 - 12b + 36 = b) m2 - 2m + 1 = c) 16m2 - 40mn + 25n2 = d) 36x2 - 84xy + 49y2 = e) 1 + 6 + 9a2 = f) 25a2c2 + 20acd + 4d2 = g) 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 = h) 25x2 + 70xy + 49y2 = i) x2 + 10x + 25 = j) 49x2 - 14x + 1 = k) 4a2 + 4a + 1 = l) 25m2 - 70 mn + 49n2 = m) 289a2 + 68abc + 4b2c2 =

TAREA 15 a) x2 + 6x + 9 b) 16x2 + 8x +1 c) y2 + 10y + 25 d) 4y2 - 24y + 36 e) 49x2 + 112x + 64 f) 81y2 - 180y + 100 g) 25x2 + 30xy + 9y2 h) 81z2+ 108zw + 36w2 i) 64x4y2 + 176x2y +121w6 j) 400y4 - 12y2 + 0.09

EJRCICIOS DIVERSOS a) 2ab + 4a2b - 6ab2 = b) b2 - 3b - 28 = c) 5a + 25ab = d) 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = e) 8x2 - 128 =

f) x4 - y2 = g) (a + b )2 - ( c + d)2 = h) 36m2 - 12mn + n2 = i) 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 = j) a2 + 6a + 8 = k) bx - ab + x2 - ax = l) ax + ay + x + y = m) 4 - 12y + 9y2 = n) x2 + 2x + 1 - y2 = o) a2 + 12ab + 36b2 = p) x16 - y16 =

GUIA DE EJERCICIOS PARA DERECHO A EXAMEN1) (m+3)2 2) (5+x)2 3) (6a + b)2 4) (7x + 11)2 5) (1+ 3x2)2 6) (2x + 3y)2 7) (4m5 + 5n6)2 8) (am + an)2 9) (a 3)2 10) (2a 3b)2 11) (x2 1)2 12) (x + y)(x y) 13) (a x)(x + a) 14) (2a 1)(1 + 2a) 15) (2m + 9)(2m 9) 16) (a3 + b2)(a3 b2) 17) (1 8xy)(1 + 8xy) PARTE I 21) (x +5)(x 2) 22) (a 11)(a + 10) 23) (a6 + 7)(a6 9) 24) (ab + 5)(ab 6) 25) (x + 2)(x + 3) 26) (3ab 5x2)2 27) (a2 + 8)(a2 7) 28) (m2m + n)(n+m+m2) 29) (x+5)(x-5)(x2+1) 30) (a+2)(a-3)(a-2)(a+3) 31) (x2-11)(x2-2) 32) (m2-m+n)(n+m+m2)

18) (x + y +z)(x + y z) 19) (2a b c)(2a b + c) 20) (a + 1)(a + 2)

PARTE 2

Productos Notables. Producto notable Resolver 1. 3 x 4 ! 12

7 2. a 2b3 5 x 4 =2

3. 3 b 2 3 b 2 ! a a1 1 4. 8xy 8xy !a 2 5. x 1 2b x 1 b x 1 a x 1 =

6. x y z x y z ! 7. a 2 2b ! 8. x 3 6 x 3 8 ! 9. x 3 y 3 6 x 3 y 3 6 ! 10. 5a x 1 7 5a x 1 4 ! 11. a 6 b 4 c 3 11ab 2 ! 2 3

3

12. 5x 2 3 ! 13. x 1 x 2 x 1 ! 14. 2 y 4 2 y y 2 ! 15. a 2 n b m 2 x 3 y a a 2n b m 2 x 3 y a ! 16. x a 1 8 x a 1 9 ! 17. 3 7 a x 1b m b 7 c 2 3 7 a x 1b m b 7 c 2 ! 18. a 2b 2 1 a 2 b 2 7 ! 19. 5 ab 25 5ab a 2 b 2 ! 20. 2mn 2 3m 1n 3 1 5 1 5

3

2 !

21. 3a x y 2 3a x y 5 ! 22. a 2 b x 3 y 4 ! 2 3 1 5 2

23. m 2 m n n m m 2 ! 24. 2a 3b c 2 ! 25. x 2 y 3 z 6 5a 3b 7 c x 2 y 3 z 6 5a 3b 7 c !1 26. 3 x 4 !2

27. a 2b3 5 x 4 = 72

28. 3 b 2 3 b 2 ! a a1 1 29. 8xy 8xy !

30. x 1 2b x 1 b x 1 a x 1 = a 2 31. x y z x y z ! 32. a 2 2b ! 33. x 3 6 x 3 8 ! 34. x 3 y 3 6 x 3 y 3 6 ! 35. 5a x 1 7 5a x 1 4 ! 36. a 6 b 4 c 3 11ab 2 ! 37. 5x 2 3 ! 38. x 1 x 2 x 1 ! 39. 2 y 4 2 y y 2 ! 40. a 2 n b m 2 x 3 y a a 2n b m 2 x 3 y a ! 41. x a 1 8 x a 1 9 ! 42. 3 7 a x 1b m b 7 c 2 3 7 a x 1b m b 7 c 2 ! 1 5 1 5 2 3

3

3

43. a 2b 2 1 a 2 b 2 7 !

44. 5 ab 25 5ab a 2 b 2 ! 45. 2mn 2 3m 1n 3

2 !

46. 3a x y 2 3a x y 5 !1 2 47. a 2 b x 3 y 4 ! 5 3 2

48. m 2 m n n m m 2 ! 49. 2a 3b c 2 ! 50. x 2 y 3 z 6 5a 3b 7 c x 2 y 3 z 6 5a 3b 7 c ! 51. 3 x 4 ! 12

52. a 2b3 5 x 4 = 72

a a 53. 3 b 2 3 b 2 !

1 1 54. 8xy 8xy !a 2 55. x 1 2b x 1 b x 1 a x 1 =

56. x y z x y z ! 57. a 2 2b ! 58. x 3 6 x 3 8 ! 59. x 3 y 3 6 x 3 y 3 6 !

3

60. 5a x 1 7 5a x 1 4 ! 61. a 6 b 4 c 3 11ab 2 ! 2 3

62. 5x 2 3 ! 63. x 1 x 2 x 1 ! 64. 2 y 4 2 y y 2 ! 65. a 2 n b m 2 x 3 y a a 2n b m 2 x 3 y a ! 66. x a 1 8 x a 1 9 ! 67. 3 7 a x 1b m b 7 c 2 3 7 a x 1b m b 7 c 2 ! 68. a 2b 2 1 a 2 b 2 7 ! 69. 5 ab 25 5ab a 2 b 2 ! 70. 2mn 2 3m 1n 3 1 5 1 5

3

2 !

71. 3a x y 2 3a x y 5 !1 2 72. a 2 b x 3 y 4 ! 5 3 2

73. m 2 m n n m m 2 ! 74. 2a 3b c 2 !

75. x 2 y 3 z 6 5a 3b 7 c x 2 y 3 z 6 5a 3b 7 c !

6.1 Ecuaciones linealesConceptos generales.

Igualdad: Dos cantidades son iguales o equivalentes cuando tienen el mismo valor Ejemplo ( 2 +3 )2 = 25CONCEPTO DE ECUACION LINEAL Una ecuacin lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o ms variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuacin que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . Son llamadas lineales porque representan rectas en el sistema cartesiano. Una forma comn de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde: m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones que donde aparece el trmino x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

3x + 2y = 10

3a + 472b = 10b + 37

3x + y 5 = 7x + 4y +3

x-y+z=15

3x-2y+z=20

x+4y-3z=10

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

Una ecuacin de primer grado es aquella en la que las incgnitas tienen exponente 1.

6.2 Tcnicas para resolver ecuaciones linealesMETODO TRANSPONIENDO TERMINOSa) Ecuaciones sencillasEjemplo 1 X + 6 = 4 ( Transponiendo ) X = 4 6 ( Reduciendo ) X=-2 Ejemplo 3 ( Transponiendo ) ( Reduciendo ) Ejemplo 2 X - 5 = 2 ( Transponiendo ) X = 2 + 5 ( Reduciendo ) X=7 Ejemplo 4

(Transponiendo )(cambiando la igualdad ) ( Transponiendo ) ( Reduciendo )

Ejemplo 5 ( Transponiendo ) ( Reduciendo )

Ejemplo 6 ( Transponiendo ) ( Reduciendo )

EJERCICIOS