Areas Planas 3º Eso Matematicas

7/25/2019 Areas Planas 3 Eso Matematicas

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MATEMTICAS 3 ESO 87

Antes de empezar

1.ngulos en la circunferencia pg. 90ngulo central y ngulo inscrito

2.Semejanza pg. 91Figuras semejantesSemejanza de tringulos, criterios.

3.Tringulos rectngulos pg. 94Teorema de PitgorasAplicaciones del Teorema de Pitgoras

4.Lugares geomtricos pg. 96Definicin y ejemplosMs lugares geomtricos: las cnicas

5.Areas de figuras planas pg. 98

Ejercicios para practicar

Para saber ms

Resumen

Autoevaluacin

Actividades para enviar al tutor

Objetivos

En esta quincena aprenders a:

Reconocer los ngulosimportantes en unacircunferencia y susrelaciones.

Averiguar cundo dostringulos son semejantes.

Utilizar el teorema dePitgoras para resolveralgunos problemas.

Identificar la mediatriz de unsegmento y la bisectriz de unngulo como conjuntos depuntos.

Calcular el rea de recintoslimitados por lneas rectas ypor lneas curvas.

Figuras planas, propiedades mtricas6


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88 MATEMTICAS 3 ESO


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MATEMTICAS 3 ESO 89

Antes de empezar

Recuerda una propiedadimportante de los tringulos:

La suma de los ngulosinteriores de un tringulo esigual a 180.

Se traza una paralela a labase por el vrtice opuesto.

El ngulo a=a, se dicenalternos internos. El nguloc=c por el mismo motivo.

a + b + c =180

por tanto

a + b + c = 180

Figuras planas, propiedades mtricas

a+ b+ c= 180a = a c = c

a+ b+ c= 180


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90 MATEMTICAS 3 ESO

1. ngulos en la circunferencia

ngulo central y ngulo inscr ito

En la circunferencia de la escena de la derecha elngulo , que tiene su vrtice en el centro de lacircunferencia, se llama ngulo centraly representala medida angular del arco PQ.

El ngulo , que tiene el vrtice en la mismacircunferencia, se llama ngulo inscrito y se diceque abarca el arco RS.


El ngulo inscrito que abarca un arco decircunferencia determinado, es igual a la mitaddel ngulo centralque abarca el mismo arco.

El ngulo central abarcauna semicircunferencia,mide 180, el nguloinscrito es recto.

EJERCICIOS resueltos

1. Calcula el valor del ngulo o los ngulos marcados en cada caso.a) La circunferencia seha dividido en 3 partesiguales

Sol: El ngulo abarca120, su valor es la mitad,60.

a) La circunferencia seha dividido en 6 partesiguales

Sol: El ngulo abarca180, su valor es la mitad,90.El ngulo abarca 240,cuatro divisiones de la

circunferencia, su medidaes 120.

a) La circunferencia seha dividido en 8 partesiguales

Sol: En el tringulo azulB=90, C=45

=180-90-45=45En el tringulo rosa

B=22,5 y D=90=90+22,5=112,5

Aunque se cambie la posicin del vrtice P el ngulo novara. Los ngulos inscritos que abarcan el mismo arco decircunferencia son iguales.


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92 MATEMTICAS 3 ESO

EJERCICIOS resueltos2. Las rectas de color naranja son paralelas

a) Calcula x b) Calcula la distancia entre A y C.

3. Calcula x, y, z.

3,56,2

7,5x

= 8,23,5

6,27,5x =

=

y7,52

3,57,5 = y=10,6

Para calcular z hay varias formas, por ejemplo:El segmento s mide 4,2 ya que debe guardar laproporcin con los que miden 5,7.

Se calcula t:3,52,4

6,2t

= t=2,06

Y conocido t: 6,6z06,2

6,206,2 +

= z=3,17

4. Desde el punto A se ven alineados los extremos del poste marrn y del edificioamarillo, cul es la altura de ste?

Como el edificio y el poste son paralelossegn el teorema de Tales:

m3,133

220h

320

2h

=

==

Criterios de semejanza de tringulos

1) Si dos tringulos tienen los ngulos iguales,entonces son semejantes; bastar que tengan dos, eltercero es lo que falta hasta 180.

2) Si dos tringulos tienen un ngulo igual y loslados que lo forman son proporcionales, sonsemejantes.

3) Si dos tringulos tienen sus tres ladosproporcionales, entonces son semejantes.


56

4,8 x

5 5

6A

CB

Puesto que los segmentos homlogos son

iguales 6BCAB == , luego 12AC = 76,5

568,4

x8,4

x56

=

==

23

20

h

A

s

t


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MATEMTICAS 3 ESO 93


10. Calcula la distacia entre los puntos A y B situados

al otro lado del ro.

Por el Teorema de Tales:4

AB5

57=

+

Luego AB=548

=9,6

11. En un tringulo rectngulo ABC (B=90) se traza la altura sobre el lado AC,formndose as los tringulos tambin rectngulos, BDA y BCD, son semejantestambin estos tringulos?, qu criterio aplicas?

En efecto son semejantes ya que tienen los ngulosiguales (primer criterio).

1) Ambos tienen un ngulo D=902) El ngulo es igual en ambos ya que es 90-. En eltringulo naranja se ve a simple vista y en el azulrecuerda que la suma de los tres debe ser 180 por loque + = 90

12. En un tringulo cualquiera ABC, se unen los puntos medios de los lados para formarotro tringulo DEF. Son semejantes estos dos tringulos?, qu criterio aplicas?.

ABC y DEF son semejantes.Observa que los tringulos ABC y DBE estn en posicinde Tales por lo que AC/DE=CB/EB=2 ya que E es elpunto medio de BC.Siguiendo el mismo razonamiento AB/EF=2 y BC/DF=2,por tanto los tres pares de ngulos guardan la mismaproporcin. (Criterio 3)

13. La figura era conocida en la antigedad como pentagrama pitagrico. En ella sepueden ver bastantes parejas de tringulos semejantes. Los de color amarillo ymorado, son semejantes?, qu criterio aplicas?.

Son semejantes ya que los ngulos llamados soniguales pues abarcan el mismo arco de circunferencia(360/5). Adems por el Teorema de Tales a/a = b/b,por tanto los lados que forman el ngulo son

proporcionales. (Criterio 2)

14. Los tringulos de la figura, son semejantes?.

No son semejantes ya que los lados no son proporcionales,

57

610


A B

7

4

5 6,4

B

DA C

aa

b

b

5

6

7

10

A

B

C

D

E

F


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MATEMTICAS 3 ESO 95


10. En el tringulo rectngulo de la figura se traza la altura sobre la hipotenusa dando

lugar a los tringulo naranja y azul. Calcula el valor de my de n.

La hipotenusa del tringulo inicial es 1068 22 =+ En el tringulo naranja: 64=h2+n2En el tringulo azul: 36=h2+m2restando ambas ecuaciones y como m+n=10, queda:28=n2-(10-n)2; 28=n2-100+20n-n2 128=20n

n=6,4 m=3,6

11. Calcula cuanto mide la apotema de un octgono regular de lado1 dm y radio 1,3 dm.

En el tringulo rectngulo que determinan la apotema,

el radio y la mitad del lado:2,144,125,069,15.03,1a 22 ====

12. En una circunferencia se sabe la longitud de una cuerda AB, 6 cm,y la distancia de sta al centro de la circunferencia, 4 cm.Cunto mide el radio?.

El tringulo AOB es issceles (OA=OB=radio) y como la distanciadel centro a la cuerda se toma sobre la perpendicular, la altura de

este tringulo es 4 cm, r ==+= 2534 22 5 cm

13. La recta r es tangente a las dos circunferencias en lospuntos A y B. Halla la distancia que hay entre ambospuntos de tangencia.Observa el tringulo rectngulo:

d === 96)24(10 22 9,8

14. La pirmide de la figura es regular, su caras son tringulos equilteros y su base uncuadrado de lado 2 m. Calcula su altura.

La diagonal de la base mide 22822 22 ==+ La altura es un cateto del tringulo azul:

h 224)2(222

===

El Teorema de Pitgorasen el espacio

Calcular la diagonal de uncubode arista a

D2=a2+d2

d2=a2+a2=2a2

D2=3a2 y D=a 3


La diagonal deun ortoedro dearistas a, b y ces:

222 cbaD ++=

a

b

c

68

mn


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96 MATEMTICAS 3 ESO

Un EJEMPLO interesante

El arco capaz de un ngulo sobre un segmento AB es el lugargeomtrico de los puntos delplano desde los que se ve elsegmento AB desde un ngulo .

4. Lugares geomtricos

Definicin y ejemplos

Unlugar geomtricoen el plano es un conjunto depuntos que cumplen todos ellos una mismapropiedad.

La mediatrizde un segmento

Es la perpendicular por el puntomedio del segmento.

La mediatriz de un segmentoAB es el lugar geomtrico de lospuntos del plano que equidistande A y de B.

La bisectrizde un ngulo

Es la recta que lo divide en dosngulos iguales.

La bisectriz de un ngulo es ellugar geomtrico de los puntosdel plano que equidistande loslados de dicho ngulo.

MA=MBEl ngulo enM es recto.Los tringulosAMP y BMPson iguales.

PA=PB


Observa la curva que describe un punto Pal rodar la circunferencia sobre el eje OX,se llama cicloide.

Los tringulos ORPy OQP son iguales.PQ = PR

d(P,s)=d(P,r)

Distancia de Pal lado r

Distancia deP al lado s

1) Elegido el ngulo, , sedibuja la mediatriz delsegmento AB.

2) Desde A se traza laperpendicular a AC.El ngulo azul es igual a .

3) Se traza la circunferenciacon centro en O y radioOA=OB.

4) El ngulo de vrtice P esinscrito y mide la mitad delAOB, es decir , con lo quetenemos dibujado el arcocapaz.

construccin


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MATEMTICAS 3 ESO 97

Observa el tringulo rectngulo:a = semieje mayorb = semieje menor2c = distancia focal

a2= b2+ c2

Observa el tringulo rectngulo:a = semieje real

b = semieje imaginario2c = distancia focal

c2= a2+ b2

Mas lugares geomtricos: las cnicas

Las curvas cnicas, conocidas desde la antigedad,

pueden obtenerse seccionando un cono con un plano.Las curvas cnicas son tres:

Elipse (contiene a la circunferencia como casoparticular)

Hiprbola Parbola

CircunferenciaLugar geomtrico de lospuntos que estn a igual

distancia de uno fijo, elcentro.

distancia(P,C)=radio

Elipse:Lugar geomtrico delos puntos cuya sumade distancias a dosfijos, los focos, es

constanteD(P,F)+d(P,F) = 2a

HiprbolaLugar geomtrico delos puntos del planocuya diferencia dedistancias a dos fijos,los focos, esconstante.

D(P,F) D(P,F) = 2a

ParbolaLugar geomtrico de lospuntos del plano que estn ala misma distancia de unpunto, el foco, y de unarecta llamada directriz.

D(P,F) = D(P,r)


CIRCUNFERENCIA

ELIPSE

PARBOLA

HIPRBOLA

La excentricidad

e=0 : circunferenciae1 : hiprbola

La elipse tieneexcentricidad e1A medida que eaumenta, lahiprbola es msabierta.


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98 MATEMTICAS 3 ESO


15. La figura de la derecha est compuestapor reas de color blanco (cuadrados ytringulos), rojo (pentgonos) y negro.Calcula el rea de cada color. Toda lafigura es un cuadrado de 12 m de lado.

Una de las formas de afrontar el problema:

El rea total es 122=144 m2

El rea de color rojo es la de 8 pentgonos,cada uno de los cuales est formado por unrectngulo y un tringulo.rea roja = 8(31,5+31,5/2)= 54 m2

El rea de la estrella de color negro es lade dos cuadrados de lado 3 (el central y las8 puntas que componen otro).rea negra = 232= 18 m2

El rea de color blanco es la de 8cuadrados de lado 3 m.rea blanca = 832= 72 m2Entre las tres suman 54+18+72 = 144 m2

Polgonos

5. reas de figuras planasRecuerda las reas de figuras conocidas

FigurasCurvas

La proporcin entre el rea del crculoy de la elipse es la misma que entre el

rea de la elipse y del rectngulo:

4a4

aA

A2

2

CUAD

CRC =

= 4ab4

abAA

RECT

ELIPSE =

=


CrculoA=r2

Corona circularA=(R2 r2)

Sector circular

360ar

A2

aRecinto elptico

A=ab

a

b

Tringulo

2hb

A

Tringulo equilatero

43

aA 2

b

h

b a

hPolgono regular

2appermetro

A

ap

a

CuadradoA=lado2

RectnguloA=ba

b

Trapecio

h2

'bbA

b

b

h

Rombo

2'dd

A

dd

RomboideA=bh

b

h

3

3

3+1,5=4,5

1,5

1,5

3

En el embaldosado del suelo frente a la puertaprincipal de la catedral de La Seo de Zaragoza


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100 MATEMTICAS 3 ESO

8.El radio de la circunferencia mayormide 10 cm, cunto mide el radio dela menor?

9.Determina el lugar geomtrico de lospuntos que equidistan las rectas de la

figura:

10.El tringulo de la figura es issceles.Sise desplaza el vrtice C de forma queel tringulo siga siendo issceles,qu lugar geomtrico determina C?

11.Determina el lugar geomtrico de lospuntos que equidistan de doscircunferencias concntricas, de radios

respectivos 8 y 12 cm.12.Se quiere construir un mural de 3 m

de largo por 2,7 m de alto uniendocuadrados de 30 cm de lado como elde la figura. Qu superficie quedarde color azul?

a) b) c)

13.Un estadio tiene la forma ydimensiones del dibujo. Qusuperficie ocupan las pistas?

14.Una plaza tiene forma elptica y lasdimensiones de la figura. En el centrohay una fuente circular de 13 m de

radio, rodeada de un paseo de tierra yen el resto hay csped. Qusuperficie ocupa el csped?, y elpaseo?.

15.Para construiruna cometa seha empleadotela de colorverde y naranjacomo en lafigura. Qucantidad decada color?

16.Una cabra est atada en la esquina deun corral cuadrado de 20 m de lado,con una cuerda de 30 m de largo,cul es la superficie sobre la quepuede pastar?


a) b)


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reas de recintos planos, se descomponen en reas de figuras conocidas.

Recuerdalo ms importante

Teorema de PitgorasTeorema de Tales

Semejanza

Dos figuras planas son semejantessi existela misma proporcin, llamada razn desemejanza, entre sus lados homlogos yadems sus ngulos homlogos son iguales.

En el caso de los tringulos basta que secumpla uno de los siguientes criterios:


Tringulo

2hb

A

b

h

Polgono regular

2appermetro

A

ap

CuadradoA=lado2

RectnguloA=ba

b

Trapecio

h2

'bbA

b

b

h

Rombo

2'dd

A

d

d

RomboideA=bh

b

h

ab

Recinto elpticoA=ab

CrculoA=r2

'C'A

AC

'C'B

BC

'B'A

AB==

Lugares geomtricos

Un lugar geomtrico en el plano es unconjunto de puntosque cumplen todos ellosuna misma propiedad.

La mediatriz de unsegmento AB es el lugargeomtrico de los puntos delplano que equidistan de A yde B.

La bisectrizde un nguloes el lugar geomtrico de lospuntos del plano queequidistan de los lados dedicho ngulo.

La circunferencia, es ellugar geomtrico de los puntosque estn a igual distancia deuno fijo, el centro.

B'

a b

B

c

a b

c

1. ngulos iguales(con dos basta)

= y B B'

2. Un ngulo igual y los ladosque lo forman proporcionales

= ybb'

cc'

3. Lados proporcionalesbb' c

aa'

c'


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MATEMTICAS 3 ESO103

Autoevaluacin

1. Son paralelas las rectas de color azul de la figura?. Utiliza elTeorema de Tales para averiguarlo.

2. Cunto mide el ngulo ?

3. Cunto mide el ngulo B del tringulo de la figura? .

4. Los lados de un rectngulo miden 6 y 3 cm; los de otromiden 9 y 4,5 cm. Son semejantes?.

5. Los lados del tringulo verde miden 8 cm, 6,7 cm y 7,8 cm;cunto mide el lado mayor del tringulo naranja?

6. Los lados iguales de un tringulo issceles y rectngulomiden 14 cm, cunto mide el lado desigual?

7. Calcula el radio de la circunferencia de la figura.

8. La suma de las distancias de un punto de una elipse a losfocos es 10 cm, y el semieje menor mide 3 cm; cul es ladistancia entre los focos?

9. Calcula el rea de la figura de color azul, inscrita en unacircunferencia de radio 5 cm.

10. Las diagonales del rombo de la figura miden 8 cm y 4 cm,calcula el rea del recinto de color azul.


1)

2)

3)

5)

7)

10)


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Soluciones de los ejercicios para practicar

1. a) 7,5 b) 13,13c) 15,05 d) 25,83

2. x=7,5 ng B=142

3. ngulos: A=90, B=32, C=58a=9,43 b=8, a=15,09

4. hipotenusa=9,43; altura h=4,24

5. a) si, hipotenusa=157b) noc) si, hipotenusa=117

6. La diagonal del rectngulo es eldimetro de la circunferencia,

r=10,82

7. h= 31,11128 = cm

8. r= 07,750 = cm

9. a) Otra recta paralela situada entrelas dos , a una distancia de 1,5 cmde ambas.

b) Dos soluciones, las bisectrices delos dos ngulos que forman lasrectas.

10. La mediatriz del lado AB11. Otra circunferencia concntrica

de radio 10 cm.

12. Se necesitan 90 cuadradosEn cada caso el rea azul es:90193,5=17415 cm2= 1,7415 m2

13. Dos rectngulos y una corona circular:2198 + 263,76 = 659,76 m2

14. Csped, recinto elptico menos crculo:1142,96 m2Paseo, corona circular: 1591,98 m2

15. Se puede descomponer en tringulosequilteros.4 de tela verde: 3117,68 cm23 de tela naranja: 2338,26 cm2

16. rea: partes de un crculo de radio 30m ms crculo de radio 10 m2276,5 m2

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SolucionesAUTOEVALUACIN1. Si

2. 40

3. 90-39 = 51

4. S

5. 16 cm

6. 14 2 =19,8 cm

7. 3,49 cm

8. 8 cm

9. 32,48 cm2

10. 9 18 cm2

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