Instructor: Horacio Catalán

CURSO INTERNACIONAL: CONSTRUCCIÓN DE

ESCENARIOS ECONÓMICOS Y ECONOMETRÍA AVANZADA

TEORÍA DE COINTEGRACIÓN

Efectos de las propiedades estocásticas de las series en un modelo de regresión

Sea el caso de dos variables que se definen como camino aleatorio y se especifican en un modelo de regresión

Ejemplo el nivel de precios en función del agregado monetario

𝑙𝑛𝑃𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑙𝑛𝑀2𝑡 + 𝑢𝑡

-1

0

1

2

3

4

5

6

17

18

19

20

21

22

23

24

86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14

LOG(M2) LOG(P)

Problemas de la regresión espuria

1) Los estimadores son estadísticamentesignificativos, presentando estadísticos t y Felevados, que rechazan la hipótesis nula.

2) El valor de la R2 es muy cercano a 1, indicandoque el modelo tiene un buen ajuste

3) El estadístico DW tiende a cero

Una regla para determinar si la regresión esfalsa

DW < R2

Cuando dos variables presentan camino aleatorio indica

que la varianza de ambas series aumenta con el tiempo:

Yt = Yt-1 + ut Var(Yt )=Ts2Y

Xt = Xt-1 + et Var(Yt )=Ts2X

La serie Yt se aleja de su media por lo tanto se generan

valores de R2 cercanos a uno, señalando que el ajuste del

modelo es muy bueno. Sin embargo se debe a que las

series se mueven juntas

Son series con memoria larga en consecuencia la función

de autocorrelación no es convergente y se presenta un

problema de Autocorrelación en los errores

La estimación en primera diferencia muestra un cambio importante en los estadísticos

Ecuación del consumo

• Un modelo con series en primera diferencia y sus rezagos genera mejores resultados que modelos en niveles

• Las propiedades de estacionaridad de las variables son relevantes en la especificación del modelo econométrico

• Existe el problema de la regresión espuria. Un modelo que parece tener buenos resultados pero en realidad la relación entre las variables es falsa

• Los modelos con las variables en primeras diferencias generan mejores resultados

• El modelo de corrección de errores era superior a otras especificaciones teóricas

• Es importante las propiedades de estacionaridadde las series (pruebas de raíz unitaria)

Prueba Dickey-Fuller

Dickey, D.A. y W.A. Fuller (1979), “Distribution of the Estimators forAutoregressive Time Series With a Unit Root”, Journal of the AmericanStatistical Association, vol. 74, pp. 427-431

Dickey, D.A. y W.A. Fuller (1981), “Likelihood Ratio Statistics forAutoregressive Time Series With a Unit Root”, Econometrica, vol. 49, pp.1057-1022

Wayne Fuller

David Dickey

ttt yy 1

De la ecuación AR(1)

Restando en ambos lados de la ecuación yt-1

ttttt yyyy 111

ttt yy 1)1(

La especificación de la prueba puede definirse como:

ttt yy 1

)1(

ttt yy 1

Definición de la hipótesis nula

10)1(0:0 H

Si el parámetro alfa es igual a cero implica que la serie sigue un camino aleatorio, en consecuencia es no estacionaria

10)1(0:1 H

10)1(0

Si el parámetro alfa es distinto de cero y es negativo, entonces la serie es estacionaria

En el contexto de la prueba Dickey-Fuller hay dos condiciones para que la serie de tiempo sea estacionaria:

•Rechazar la hipótesis nula•Que el estimador alfa sea negativo

Esto se pude probar mediante un estadístico t de Student

ˆSE

ˆˆˆt

0:0 HRechazo H0

Rechazo H0

Distribuación t-Student

0

ˆSE

ˆˆˆ

t

Condiciones de estacionaridad

Prob de rechazo <0.05

Consideraciones en la prueba Dickey-Fuller

1) Distribución del estadístico bajo la hipótesis nula, tiende a valores negativos

2) Los resultados de la estimación del parámetro 𝛼 son afectados por la presencia de autocorrelación en los errores de la prueba

3) Los componentes de constante y tendencia deben ser incorporados en la especificación de la prueba

t

k

i

ktktt yyTy

1

110

Modelo A

t

k

i

ktktt yyy

1

10

Modelo B

t

k

i

ktktt yyy

1

1

Modelo C

Dickey-Fuller Aumentada (ADF)

Cointegración

El análisis de cointegración es esencial cuando se tiene una combinación de variables que presenten una similitud en el orden de integración. Si se tiene una ecuación con las siguientes condiciones:

Sean las variables Xt ~I(1) Yt ~I(1)

Una combinación lineal de estas variables que seaestacionaria. Entonces, se dice que las variables Y,X están cointegradas

Puede ser I(0)

ttt uXββY 10

ttt uXY 10

El análisis de cointegración es en esencia un análisis multivariado

Un conjunto de variables se dice que son cointegradas si existe una combinación lineal que genere un proceso estocástico estacionario

tktkttt

tktkttt

uxxxy

uxxxy

2211

2211

Vector normalizado

Así el análisis de cointegración se basa en estimar los valores del vector 𝛽 que generan un proceso estocástico estacionario

I(0)

Se dice que las variables del modelo están cointegrados

Si las series cointegran la regresión entre las dos variables es significativa ( no es espuria) y no se pierde información valiosa de largo plazo lo cual sucedería si se estima la regresión en primeras diferencias.

El vector de cointegración es un atractor de la combinación de los puntos formados por el par de series (yt, xt)

Los agentes económicos a través de sus acciones generan que las variables económicas se muevan alrededor de la relación estructural 𝛽′Xt

Prueba de cointegración: Residuales OLS

Yt = b0 + b1Xt + ut

1) Estimar la ecuación de largo plazo por MCO

2) Guardar la serie de los residuales

𝑢𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝑏0 − 𝑏1𝑋𝑡

3) Aplicar una prueba Dickey-Fuller Simple

ut = ut-1 + et

0

ˆSE

ˆˆˆ

t

4) Comprobar que la serie de los errores sea estacionario

0

ˆSE

ˆˆˆ

t y la prob < 0.05

Si se cumple esta condición se dice que las variables cointegran, se mantienen juntas en el tiempo

LGAS = -9.17- 0.18*LPRG +1.22*LY

Observaciones importantes sobre la definición de

cointegración.

1) La cointegración se refiere a una combinación linealde variables no estacionarias.

Pueden ser posibles relaciones no lineales.

El vector de cointegración no es único.

Se realiza una normalización del vector de

cointegración.

2) Todas la variables deben ser del mismo orden deintegración

Aún si todas las variables son del mismo orden de

integración no se asegura que cointegren.

No existe claridad en el uso del término “relación

de equilibrio”.

3) Si Xt tiene n componentes, debe haber n-1 vectoresde cointegración. El número de vectores se denominarango de cointegración

MODELO DE CORRECCIÓN DE ERRORES

ttt uxkky 10

Relación de equilibrio

Modelo de corrección de errores

ttttt vxkkyxy 1101

es el coeficiente del mecanismo de corrección de errores toma valores entre –1 y 0

20.2

20.4

20.6

20.8

21.0

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

G*equilibrio

G

observado

Relación

De

Equilibrio

Cuando u > 0 implica que G > G*

Cuando u < 0 implica que G < G*

20.2

20.4

20.6

20.8

21.0

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

A

B

A) G > G* ECM = (G-G*)>0 Si γ<0

Gt= 2Yt +γ[ECMt-1]+ Ut Efecto negativo

B) G < G* ECM = (G-G*)<0 Si γ<0

Gt= 2Yt +γ[ECMt-1]+ Ut Efecto positivo

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

Kilo

me

tro

s p

or

litro

(Se

co

nsi

de

ra e

l cic

lo d

el p

rogr

ana

CA

FE)

EU

CALIFORNIA

CANADA

UE

AUSTRALIA

JAPON

CHINA

COREA

Tendencia en la evolución de los rendimientos a nivel internacional

Con base en información de International Council on Clean Transportation

Los rendimientos en el consumo de combustible km por litro muestra un crecimiento tendencial

Estudios de meta-análisisAutor Variable

Elasticidad ingreso Elasticidad precio

CP LP CP LP

Espey (1996) CG 0.60 (n = 21) –0.53 (n = 70)

Espey (1998) CG 0.47 (n = 345) 0.88 (n = 345) –0.26 (n = 277) –0.58 (n = 363)

Hanly, Dargay y Goodwin

(2002)CG 0.39 (n = 45) 1.08 (n = 50) –0.25 (n = 64) –0.64 (n = 51)

V-KM 0.30 (n = 7) 0.73 (n = 7) –0.10 (n = 3) –0.29 (n = 3)

V-KM/V -0.005 (n = 3) 0.17 (n = 4) –0.10 (n = 3) –0.30 (n = 3)

SV 0.32 (n = 15) 0.81 (n = 15) –0.08 (n = 8) –0.25 (n = 8)

CG/V 0.07 (n = 1) 0.93 (n = 1) –0.08 (n = 1) –1.10 (n = 1)

Graham y Glaister (2002b) CG 0.47 (n = 333) 0.93 (n = 150) –0.25 (n = 377) –0.77 (n = 213)

V-KM –0.15 (n = 31) –0.31 (n = 72)

EG 0.10 (n = 31) 0.46 (n = 72)

SV 0.28 (n = 5) –0.74 (n = 5)

Brons, Nijkamp, Rietveld (2008)CG-0.36 (n = 94) y –0.34 (n =

222)

-0.81 (n = 64) y –0.84 (n

= 90)

EG0.09 (n = 11) y 0.14 (n =

222)

0.20 (n = 4) y 0.31 (n =

90)

V-KM/V-0.55 (n = 3) y –0.12 (n =

222)–0.29 (n = 90)

SV-0.10 (n = 9) y –0.08 (n =

222)

-0.77 (n = 5) y –0.24 (n

= 90)

CG/V-0.25 (n = 97) y –0.26 (n =

222)

-0.78 (n = 15)–0.60 (n =

90)

V-KM0.03 (n = 8) y –0.20 (n =

222)

-0.32 (n = 2) y –0.53 (n

= 90)

Evidencia sobre elasticidad eficiencia

AutorVariable

dependiente Método Países y periodo de estimación

Elasticidad

ingreso

Elasticidad

precio

Elasticidad

eficiencia

Bentzen (1994) Gasolina Cointegración y ECM Dinamarca (1948-1991) 1.04 -0.41 -0.014

Johnston y Dinardo

(1997)Gasolinas Cointegración y ECM Estados Unidos (1959-1990) 0.99 -0.13 -0.51

Dargay (1997) Gasolinas ML Países de la OCDE y Asia (1992)1.06 (0.69 a

1.43)-0.2* y -0.5** -0.2* y -0.5**

Medlock III (2009) Gasolinas OLS Estados Unidos (1980-2005) 0.16 -0.02 -0.45

Broadstock y Hunt

(2010)Gasolinas STSM Reino Unido (1960-2007) 0.53 -0.12 -0.32

Gasolinas STSM Reino Unido (1964-2003) 0.57 -0.12 -0.27

Notas: Gasolinas: Consumo total de gasolina y diesel; ECM: Modelo de Corrección de Error; ML: Máxima Verosimilitud; STSM: Modelos

Estructurales de Series de Tiempo. OLS: Mínimos Cuadrados Ordinarios; *escenario bajo; y ** escenario alto.

𝑔𝑎𝑠𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑝𝑟𝑔𝑡 + 𝛽2𝑌𝑡 + 𝛽3

𝑘𝑚

𝑙𝑡+ 𝑢𝑡

𝑔𝑎𝑠𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑝𝑟𝑔𝑡 + 𝛽2𝑌𝑡 + 𝛽3(𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠

𝑝𝑜𝑏) + 𝑢𝑡

𝑔𝑎𝑠𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑝𝑟𝑔𝑡 + 𝛽2𝑌𝑡 + 𝛽3

𝑘𝑚

𝑙𝑡∗ 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎 + 𝑢𝑡

Diferentes relaciones de largo plazo

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