Dickey-Fuller test jediničnog korena

Profesor Zorica Mladenović

Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 1

1

Test jediničnog korena

• Osnovna ideja

• Različite determinističke komponente

• Izračunavanje test-statistike

• Pravilo odlučivanja

• Određivanje broja jediničnih korena

• Prošireni test

2

Stacionarnost

• Stacionarnost vremenske serije: vremenska serija se

kreće po prepoznatljivoj putanji tokom vremena

• Definicija slabe stacionarnosti:

( )

( ) ,...,,..., k,t ),k(f)X)(X(EX,Xcov.

,...,t ,const)X(EXv.

,...,t ,const)X(E .

t-ktktt

tt

t

21213

212

211

2

===−−=

==−=

===

−



Tri tipa stacionarnosti u

zavisnosti od srednje vrednosti

3

• Oko nulte srednje vrednosti

• Oko nenulte srednje vrednosti

• Oko funkcije linearnog trenda

(trend-stacionarnost)

Tri tipa stacionarnosti u

zavisnosti od srednje vrednosti: primer

4

-4

-2

0

2

4

25 50 75 100 125 150 175 200

Nulta srednja vrednost

-2

0

2

4

6

8

10

25 50 75 100 125 150 175 200

Nenulta srednja vrednost

-2

0

2

4

6

8

25 50 75 100 125 150 175 200

Srednja vrednost je funkcija linearnog trenda



Dva tipa slučajnog hoda

Naziv Forma E(DXt)

Slučajan hod

klasični

Xt = Xt-1 + et0

Slučajan

hodsa konstantnim

prirastom

Xt = Xt-1+ β +et β

5

6

Klasičan slučajan hod:

grafički prikaz generianih podataka

-8

-4

0

4

8

12

50 100 150 200 250 300

Xt=Xt-1+et

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50 100 150 200 250 300

Xt-Xt-1= et



7

Slučajan hod sa konstantnim prirastom:

grafički prikaz generisanih podataka

0

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250 300

Xt=0.7+Xt-1+et

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50 100 150 200 250 300

X-Xt-1=0.7+et

8

Diki-Fulerov - DF (engl. Dickey-Fuller)

test jediničnog korena: uvod

• Polazni model:

Xt = 0+1Xt-1 + et

• Hipoteze:

H0: Serija poseduje jedinični koren, 1 =1, Xt ~I(1)

H1: Serija je stacionarna (oko nenulte vredn.), 1 <1, Xt ~I(0)



9

DF test za različite determinističke komponente

DF test t

Determinističke

komponenteKonstanta Konstanta+

Linearni trend

10

Kako se dolazi do vrednosti DF test statistika

za različite determinističke komponente?

Varijante

DF testa

Odgovarajući model

Xt = 1Xt-1+ 0 +et

t Xt = 1 Xt-1+ 0+tt +et



11

DF test za različite determinističke komponente II

• Dve varijante DF testa: i t

• Nulta (H0) i alternativna (H1) hipoteza:

i) H0: Xt = Xt-1+et , Serija je slučajan hod

H1: Serija je stacionarna oko nenulte srednje vrednosti

ii) t H0: Xt = b+Xt-1+et ,

Serija je slučajan hod sa konstantnim prirastom

H1: Serija je trend-stacionarna

12

Računanje DF statistike

• Primenom metoda ONK ocenjen je model:

• DF test-statistika je količnik ocene parametra uz Xt-1umanjene za 1 i odgovarajuće standardne greške te ocene:

• DF test statistika ima formu standardne t-statistike.

• DF test statistika nema t-raspodelu u uslovima istinitostinulte hipoteze.

• DF test statistika poseduje nestandardnu raspodelu, koju suodredili Dickey i Fuller.

• Kritične vrednosti: Fuller (1976) i MacKinnon (1991).

)ˆ(s

ˆXˆX̂ tt

1

011

+= −

)ˆ(s

ˆDF

1

1 1

−==



13

Funkcija gustine DF

test-statistike za uzorak velikog obima

14

Pravilo odlučivanja

Tkritične vrednosti za 5%

t

∞ -2.86 -3.41

• Nulta hipoteza o postojanju jediničnog korena se

odbacuje za dovoljno malu vrednost statistike (kada

je izračunata vrednost manja od kritične).

• Nulta hipoteza o postojanju jediničnog korena se

prihvata za dovoljno veliku vrednost statistike (kada

je izračunata vrednost veća od kritične).



Određivanje kritičnih vrednosti

uz nivo značajnosti 5% za

konkretnu dužinu (T) vremenske serije

15

2

2

83170394

3687382

41263

86212

T

.T.k

T

.T.k

.

.

t −−−=

−−−=

16

Određivanje broja jediničnih korena I

• Ako je H0 prihvaćeno kao tačno, onda se zaključuje da jeserija integrisana prvog reda, XtI(1).

• Međutim, potrebno je utvrditi da li je broj jediničnihkorena tačno jedan ili eventualno dva.

• Nastavljamo testiranje:

H0: XtI(2) protiv H1: XtI(1)

H0: DXtI(1) protiv H1: DXtI(0).

Sada je polazna serija u analizi DXt.

• Relevantna specifikacija:

DXt = 1DXt-1 + 0 +et

Ocenjujemo DXt u zavisnosti od: DXt-1 i konstante.

Proveravamo da li je DF statistika za ocenu uz DXt-1veća ili manji od odgovarajuće kritične vrednosti DFtesta.



17

Određivanje broja jediničnih korena II

• Ako je H0 odbačeno u korist H1, onda se zaključuje daje serija XtI(1). To znači da je prva diferencastacionarna, odnosno da serija poseduje tačno jedanjedinični koren.

• Ako je H0 prihvaćeno kao tačno, onda se zaključuje daje serija integrisana bar drugog reda, XtI(2).

– Potrebno je utvrditi da li je broj jediničnih korenatačno dva ili eventualno tri.

– Nastavljamo testiranje:

H0: XtI(3) protiv H1: XtI(2)

H0: D2XtI(1) protiv H1: D2XtI(0).

Itd.

18

Algoritam testiranja

• I korak: Primenjuje se statistika na polaznu seriju

• > k Postoji bar jedan jedinični koren

• < k Serija je stacionarna. Kraj testiranja.

• Ako je > k prelazimo na II korak

• II korak: Primenjuje se statistika na prvu diferencu polazne serije

• > k Postoje bar dva jedinična korena

• < k Serija poseduje tačno jedan jedinični koren. Kraj testiranja.



19

Primer I:

Odnos cena zlata prema ceni srebra

• Period: 1920 – 2010. godina (91 podataka na godišnjem

nivou, log vrednosti)

2.8

3.2

3.6

4.0

4.4

4.8

1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

R e l a t i v n e c e n e z l a t a p r e m a s r e b r u

20

Primer I:

Rezultati iz EVIEWS-a

Dependent Variable: X

Method: Least Squares

Sample (adjusted): 1921 2010

Included observations: 90 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.348970 0.148424 2.351177 0.0209

X(-1) 0.912898 0.038328 23.81802 0.0000

R-squared 0.865710 Mean dependent var 3.863865

Adjusted R-squared 0.864184 S.D. dependent var 0.408490

S.E. of regression 0.150542 Akaike info criterion -0.927183

Sum squared resid 1.994325 Schwarz criterion -0.871631

Log likelihood 43.72322 Hannan-Quinn criter. -0.904781

F-statistic 567.2983 Durbin-Watson stat 1.765586

Prob(F-statistic) 0.000000

Dependent Variable: D(X)

Method: Least Squares

Sample (adjusted): 1922 2010

Included observations: 89 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.007931 0.015677 0.505903 0.6142

D(X(-1)) 0.033540 0.101483 0.330494 0.7418

R-squared 0.001254 Mean dependent var 0.008368

Adjusted R-squared -0.010226 S.D. dependent var 0.146621

S.E. of regression 0.147369 Akaike info criterion -0.969542

Sum squared resid 1.889427 Schwarz criterion -0.913617

Log likelihood 45.14461 Hannan-Quinn criter. -0.947000

F-statistic 0.109226 Durbin-Watson stat 1.942514

Prob(F-statistic) 0.741821



21

Primer I:

Primena DF testa

−−

=−=

−=−

=

−−

=−=

−=−

=

+=

+=

−

−

jed.koren. jedan precizno poseduje Serija

odbacuje. se Hipoteza

faza II

jed.koren. jedanbar poseduje Serija

odbacuje. ne se Hipoteza

faza I

(0.101)

(0.038)

1

1

0

0

1

0

1

1

892569

050892

5691010

10340

01

12

892292

050892

2920380

19130

0

1

03400080

91303490

H

..

).(.

..

.DF

)X~I()~I(: XH

)X~I() ~I(: XH

H

..

).(.

..

.DF

)~I(: XH

) ~I(: XH

X..X̂

X..X̂

:rezultatisuDati

k

t

t

k

t

t

tt

tt

D

D

DD

22

Prošireni DF test, PDF(K)

engl. augmented DF test, ADF(K)

• DF test je nepouzdan ukoliko u modelu postoji autokorelacija.

• Modifikuje se polazni model prema:

Xt = 0 + 1 Xt-1+ 1DXt-1 + 2DXt-2 +… +KDXt-K + et

• PDF test je količnik

• PDF i DF imaju istu graničnu raspodelu: koristimo

iste kritične vrednosti

• K se određuje u praktičnom radu.

)ˆ(s

ˆ)(PDF

1

1 1

−==K



Primer II:

Prosečne bruto plate u Srbiji, 2002:1-2008:8

(desezonirani podaci, log vrednosti)

23

9.2

9.6

10.0

10.4

10.8

11.2

02 03 04 05 06 07 08

Prosecne bruto plate u Srbiji

-.04

.00

.04

.08

.12

02 03 04 05 06 07 08

Prva diferenca prosecnih bruto plata

Primer II: rezultati ADF testa

24

I faza:

Provera prisustva jednog

jediničnog korena

II faza:

Provera prisustva drugog

jediničnog korena

H0: Xt ~I(1)

H1: Xt ~I(0)

PDF(2)=-1.79,

tk=-3.47

-1.79>-3.47

H0 se ne odbacuje.

Serija ima bar jedan jedinični

koren.

H0: DXt ~I(1)

H1: DXt ~I(0)

PDF(1)=-12.23

-12.23<-3.47

H0 se odbacuje.

Prva diferenca serije je

stacionarna.

Polazna serija ima tačno jedan

jedinični koren.



25

Primer III:

Godišnja proizvodnja pšenice u SAD-u

• Period: 1866 – 2011. godina (146 godišnjih

opservacija, log vrednosti)

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

70 80 90 00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 10

G o d i š n j a p r o i z v o d n j a p š e n i c e u S A D

26

Primer III:

Primena ADF testa

-1.88

i.znacajnost 10% za

a.stacionarn-trend je Serija

odbacuje. se Hipoteza

(0.081) (0.067)

=−=

−−

=−=

−=−

=

−++=

−

−−

0810

1520

443614

050443

6140670

169101

0

1

1520691000408351

1

0

1

0

11

.

.t

znacajanickije statistXfaktorKorektivni

H

..

).(.

..

.)PDF(

)~I(: XH

) ~I(: XH

,X.X.t..X̂

t

kt

t

t

ttt

D

D

Documents

Dickey-Fuller test jediničnog korena