Cvičení 2Funkce a jejich vlastnosti

Nutná je znalost všech grafů elementárních funkcí

a inverzních vztahů pro logaritmus a cyklometrické funkce.

Grafy elementárních funkcíJe třeba je znát zpaměti a také vědět, jak operují

aditivní a násobná konstanta

Rkxfk ),(.

Rcxf c ,)(

aditivníkonstanta

násobnákonstanta

c kladné… posun grafu po ose y o c nahoru

c záporné… posun grafu po ose y o c dolů

k>1… zvětšení amplitudy,roztažení grafu směrem osy y

k<1… zmenšení amplitudy,stlačení grafu směrem osy y

k<0… otočení grafu kolem osy x

viz papír, který jsem vám dal

)( cxf

c kladné… posun grafu po ose x o c doleva

c záporné… posun grafu po ose x o c doprava

)(xf

|)(|xf

Kladná část grafu je stejná, to co je od osou x se překlopí kolem osy x nahoru

Sudá funkce… část grafu pro kladná x se symetricky překlopí kolem osy y nahoru

Nakresleme obrázky:

5)( xxf

0 x

y

7)( xxf

0 x

y

xxf4

log)(

0 x

y

1

xxf 8)(

0 x

y

6)( xxf

0 x

y

xexf

)(

0 x

y

1

1 1

xxf tg)(

0 x

y

2

2

xxf

31

log)(

0 x

y

xxf cos)(

0 x

y1

-1 2

xxf arcsin)(

0 x

y

-1 1

2

2

4)( xxf

0 x

y

31)(x

xf

0 x

y

xxf arctg)( xxf sin)(

0 x

y2

2

0 x

y1

-1 2

41)(x

xf

0 x

y

xxf arccotg)(

0 x

y

2

xxf ln)(

0 x

y

1

xxf arccos)(

0 x

y

2

-1 1

xxf cotg)(

0 x

y

2

xxf

5)(

0 x

y

1

xxf )

21()(

0 x

y

1

Posunuté grafy1sin2)( xxf

0 x

y1

-12

-3

)2

cos(2)( xxf

0 x

21

2

3

11)( xxf

0 x

y

-1

-1

4)2(1)( xxf

0 x

y

-2

1

-1

omezená

periodická

omezená

periodická

omezená shoranení prostáomezená zdola

prostá

rostoucí

-3

xxf arccotg2)(

0 x

y

xxf sinarc2)(

0 x

y

-1

2

)1arccos(21)( xxf

4

2

0 x

y

1 2

22)( xxf

0 x

y2

1

omezená

rostoucí

lichá

prostá

prostá

omezená

rostoucí

omezenáklesající

prostáomezená zdola

není prostá

sudá

xxf 2)(

0 x

y

xexf

)(

0 x

y1

)1arctg()( xxf

0 x

y2

1

xxf sin21)(

0 x

y21

21

omezená zdola

není prostá

sudáomezená

není prostá

sudá

omezená

není prostá

omezená

sudá

1

Periodické funkceNakreslete funkci, definovanou v celém R, která je

2x a) periodická s periodou p=3

b) pro x v intervalu (1,4> má tvar f(x)=

0 1 4 7-2-5-1

2

p

Inverzní funkce

Když je f(x) prostá, existuje k ní vždycky inverzní funkce .1fVypočítá se tak že z rovnice y=f(x) vypočteme to x, tedy

)(xfy

xyf )(1

)()1( ),()1( fDfHfHfD

Prosté funkce poznáme podle obrázku

H(f) prosté funkce určíme snadno: je to interval, jehož krajní body jsou obrazy krajních bodů D(f).

nebo podle věty, že složená funkce z prostých je prostá.

Platí:

)21log(21)( xxf 021 x

A21 Blog x21 je prostá.

21 ,)( fD

)21log(21 xy osamotíme logaritmus na jedné straně rovnice:

)21log(2

1 xy

Použijeme definici logaritmu: A a B mohou být libovolné výrazy, a=10.

AaBBaA log

xy

2121

10

)21

101(21

yx )2

1101(

21)(1

yyf

) ,()1( fD

12)( xxf 012 x

xB 21A

1)( xf

) ,0)( fD

prostá je 1

x2

BaBAa logA Použijeme obráceně definici logaritmu: A a B mohou být libovolné výrazy, a=4.

osamotíme exponencielu na jedné straně rovnice:

212 yx

)2(2

log 1 yx

)2(2

log)(1 1 yyf

12 x

12 xy

122

xy

) ,0)1

( fD

2)1arccos(2)( xxf 111 x

1 arccos 22 xBA

)1arccos(2

2 xy

xy 12

2cos

12

2cos)(1 yyf

ABBA cosarccos

0 ,2)( fD

2)1arccos(2 xy

2- ,22)1( fD

012 x

prostá je

12

2cos yx

Spojité funkce

Funkce může nebýt spojitá jedině má-li nějaký speciální předpis.

Dále nakresleme grafy funkcí, daných následujícími předpisy a rozhodněme, ve kterých bodech jsou spojité.

f(x)=

1,( pro 3 xx

)1,1( pro 3 xx

),1 prox -2 x

Je spojitá všude.

01-1

-1

2

1

f(x)= 0,( pro 2 xx

),0( pro cos xx

), pro sin xx

Je nespojitá v bodě pí,je tam pouze spojitá zprava.

0

1

-1

f(x)=

)3,( pro 1 xx

)0,3 pro 22x x

),0 pro arctg xx

Je nespojitá v –3 i v 0;v obou je pouze spojitá zprava.

0

31

-3

-4

2

2

)1,0( pro 5 xx

),1 pro2x -3 x

0,( pro arccotg xx

Je nespojitá v 0;je v ní pouze spojitá zleva.

f(x)=

0

2

1

1

23

f(x)=

1,( pro arctg xx

)0,1( pro arcsin21 xx

1,0 pro 1- xx

),1( pro log xx

Je nespojitá v 0;je v ní pouze spojitá zprava.

0-1 1

4

-12

Limity-poznávání z grafu

)(lim xfx

)(lim xfx

Napišme, jak se funkce na obrázku chová v 1 a v nekonečnech.

)(lim1xf

x1

0

1

-1

)(lim xfx

)(lim xfx

)(lim0

xfx

)(lim0

xfx

0

0

Napišme, jak se funkce na obrázku chová v 0 a v nekonečnech.

)(lim xfx

)(lim0xf

x

)(lim xf

x

0

2

0

2

)(lim xfx

)(lim2

xfx

)(lim2

xfx

)(lim xfx

0 2

Limity – kreslení grafů z limitNakreslete spojitou funkci f(x), která má tyto vlastnosti:

f(-2)=-2

f(4)=2

6)(lim

xfx

)(lim0xf

x

)(lim xf

x

0

6

-2

-2

2

4

5)(lim

xfx

f(0)=8

f(-5)=-2

Nakreslete spojitou funkci, která má tyto vlastnosti:

f(3)=4

)(lim2xf

x

)(lim xf

x

0

8

-2

-2

4

3-5

-5

8)(lim

xfxf(0)=4

f(1)=-2

Nakreslete spojitou funkci, která má tyto vlastnosti:

f(-3)=4

)(lim1

xfx

4)(lim

xfx

0

8

-1

-2

4

1-3

-4

)(lim1

xfx

Počítání limitPři počítání vždy dosadíme bod a do funkce za limitou

)(lim xfax

Když vyjde číslo, jsme hotovi.Když vyjde neurčitý výraz, tj. odložíme to na derivace.

Když nevyjde ani to první ani to druhé, musíme dělat úvahy.

),(0 , ,

00

(není-li v bodě a funkce definována, nahradímehodnotu limitou, kterou odečteme z grafu elementární funkce) a koukáme, co vyjde.

Úvahy děláme na základě věty o práci s nekonečny.

1)Velký plus velký je ještě větší,

2)Znaménka fungují jako obyčejně, tedy minus krát minus je plus,minus krát plus je minus, minus mínus minus je plus.

3)Zlomek se blíží k nule ať je K jakákoliv konstanta.K

4)Zlomek se blíží k nekonečnu,0K

Když jmenovatel mění kolem bodu a znaménko,limita neexistuje.

Jsou to tyto úvahy, řečeno velice zjednodušeně:

velký krát velký je taky mockrát větší,konstanta krát velký nebo plus nebo minus velký je taky velký.

tentokrát je ale třeba dát pozor na znaménko čísla K a na znaménko jmenovatele viz 2)..

Příklady:

)( lim1

xxx

2

)cos.(arctglim

0xx

x 0

)1 (arccotglimxx

0

xx

x arcsin2 lim

1 2

)1 (arccotg limx

xx

2

0

xx

arctglim2

x

xx arccotg

3lim

xx

xln).1(lim

0

00

x

xx log

arctg lim 0

2)1( lim

1 x

x

x

xx

x 1 lim

1 neexistuje

2)1( lim

x

xex 0

)2log( limx

x

31lim

0x

x1

xxx

log.6 lim

xexx

.3 lim

2

kladná.... 0

kladnáx .... 0 1 á....záporn 0 1 x

0

0

x

x

x log2sin lim

00

))log(arctg(lim xe

x

x

x

x arctg1sin

lim0

x

x

cosln2lim

0

0

x

xe

x arccos1 lim

00

3 1

arcsin lim0 x

x

x

1

x

xe

x arcsin2 lim

0neexistuje

x

x

xarctg.3lim

x

xx 2

arctg lim 0

xx

x arcsin1

lim1

0

0

0

0

arcsinx mění kolem nulyznaménko

2

2

0 xe

xex 21

lim

x

x

x 1arccos

lim1

0

x

xx arccotg

3lim

)ln(arccotglim xx

)ctgcos(arlim xx 0

xex

x

6lim

x

xx arccotg

arctglim 2

1

xx

x ln13

lim0

4

arctglim

x

xx

0

0

xx

x arctg1

2 lim

x

x

x cos1

2cos lim0

x

x

x arcsin

3ln lim0

x

xex 2

lim 0

12 lim1

xx

x0

)ln(sin lim2

xx 0

xxx

ln)22

( lim0

)1ln( limxe

x0