CZĘŚĆ 1. WIELOKĄTY I OKRĘGI - Helionedukacja.helion.pl/uploads/pdf/2014/PODRG3.pdf10 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi 1.1. Okrąg opisany na wielokącie Moja klasa organizuje

11 Okrąg opisany na wielokącie (s 10)

Zadania utrwalające (s 22)

12 Okrąg wpisany w wielokąt (s 24)


13 Wielokąty foremne (s 37)


Zadania do rozwiązywania w grupie (s 45)

14 Krok do egzaminu (s 46)

1 WIELOKĄTY I OKRĘGIIK

ON

Y kalkulatorzadanie trudniejsze

CZĘŚĆ I

10 Rozdział 1 Wielokąty i okręgi

11 Okrąg opisany na wielokącie

Moja klasa organizuje biwak i mamy problem jak rozstawić

nasze namioty aby z każdego namiotu była taka sama

odległość do wspoacutelnego namiotu ktoacutery nazwaliśmy świetlicą

Jeżeli odległość ma być taka sama należy narysować okrąg ktoacuterego

środkiem będzie namiot świetlica a namioty uczestnikoacutew trzeba

umieścić na tym okręgu Odległość między każdym namiotem

a świetlicą będzie roacutewna długości promienia narysowanego okręgu

Wszyscy będą mieli do pokonania taką samą odległość

świetlica

namiot 1

namiot 3

namiot 2

namiot 5

namiot 4

Przykład 11 Narysuj trzy niewspoacutełliniowe punkty K L M Znajdź punkt T

ktoacuterego odległość od każdego z punktoacutew K L i M jest taka sama

K

L

M

Zaznaczyliśmy punkty K L i M Te punkty nie są wspoacuteł-

liniowe

Musimy znaleźć punkt T ktoacuterego odległość od każdego

z punktoacutew K L i M będzie taka sama

K

L

M

Rysujemy odcinek KM a następnie symetralną tego odcinka

Na symetralnej odcinka KM leżą wszystkie punkty ktoacuterych

odległość od punktu K jest roacutewna odległości od punktu M


K

L

M

K

L

T

M

K

L

T

M

K

L

T

M

Rysujemy odcinek KL oraz symetralną tego odcinka Na sy-

metralnej odcinka KL leżą wszystkie punkty ktoacuterych odle-

głość od punktu K jest roacutewna odległości od punktu L

Wyznaczyliśmy punkt T ktoacuterego odległość od punktoacutew K

M i L jest taka sama

Możemy zauważyć że symetralna odcinka ML też prze-

chodzi przez punkt T

Punkt T ktoacuterego odległość od punktoacutew

K L i M jest taka sama jest środkiem

koła opisanego na troacutejkącie KLM

Punkt T ktoacuterego odległość od punktoacutew K

L i M jest taka sama jest środkiem okręgu

opisanego na troacutejkącie KLM

Jeżeli wszystkie wierzchołki troacutejkąta leżą

na okręgu to moacutewimy że okrąg jest opi-

sany na tym troacutejkącie


na okręgu to możemy powiedzieć że

troacutejkąt jest wpisany w ten okrąg


Przykład 12 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg opisany na tym

troacutejkącie

Konstruujemy symetralne dwoacutech bokoacutew troacutejkąta ABC Punkt przecięcia symetralnych bokoacutew oznaczamy li-terą S Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na tym troacutejkącie

K

L

T

M

Jeżeli punkt T jest środkiem okręgu

opisanego na troacutejkącie KLM to długość

promienia tego okręgu jest roacutewna

odległości każdego z punktoacutew K L i M

od punktu T

Jeżeli punkt T jest środkiem koła

opisanego na troacutejkącie KLM to

długość promienia tego koła

jest roacutewna odległości każdego

z punktoacutew K L i M od punktu T

K

L

T

M

K

L

T

M

Jeżeli odległość wszystkich wierzchołkoacutew

troacutejkąta od środka koła jest roacutewna pro-

mieniowi tego koła to moacutewimy że koło

jest opisane na troacutejkącie



mieniowi tego koła to możemy powie-

dzieć że troacutejkąt jest wpisany w to koło


a) b) c)

Środek okręgu opisa-nego na troacutejkącie ostro-kątnym leży wewnątrz tego troacutejkąta

Środek okręgu opisanego na troacutejkącie prostokąt-nym leży na przeciwpro-stokątnej tego troacutejkąta

Środek okręgu opisanego na troacutejkącie rozwartokąt-nym leży na zewnątrz tego troacutejkąta

Przykład 13 Narysuj troacutejkąt a) ostrokątny b) prostokątny c) rozwartokątnyNarysuj symetralne bokoacutew w każdym z tych troacutejkątoacutew Wyznacz promień okręgu opisanego na danym troacutejkącie i narysuj ten okrąg

Na każdym troacutejkącie można opisać okrąg

Punkt S łączymy z wierzchołkiem B Odcinek BS jest promieniem okręgu opisanego na troacutejkącie ABC

Kreślimy okrąg o środku w punkcie S opisany na troacutej-kącie ABC


a) b) c)

rO

rO

rO

r

r

rr

rr

Przykład 14 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz pole

i obwoacuted koła opisanego na tym troacutejkącie

6 cm

r

6 cm6 cm

Aby obliczyć pole i obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym

o boku długości 6 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła

Narysowałem troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłem

środek koła opisanego na tym troacutejkącie

a następnie narysowałem koło

Poprowadzone symetralne

bokoacutew tego troacutejkąta

zawierają wysokości troacutejkąta

60deg 60deg

30deg 30deg

a

h

a

a

2

a

2

x

3xx

60deg

30deg

2x

x

x 3

Promieniem okręgu opisanego na troacutejkącie jest odcinek łączący

środek tego okręgu z dowolnym wierzchołkiem tego troacutejkąta


60deg

30deg

6 cm

r

6 cm6 cm

Wysokość troacutejkąta roacutewnobocznego

zawiera się w dwusiecznej kąta

wewnętrznego tego troacutejkąta

Korzystając ze wskazanej wyżej zależności między długościami

bokoacutew troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 30o 60o

wyznaczyłam długość przeciwprostokątnej tego troacutejkąta

ktoacutera jest długością promienia koła opisanego na tym troacutejkącie

1

2

60deg

30deg

rr

31

2r3 cm

60deg

30deg

r

Jeżeli w troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg 60deg długość przeciwprostokątnej

jest roacutewna r woacutewczas długości przyprostokątnych są odpowiednio roacutewne 1

32r i

1

2r

13 3 2

2r = sdot

3 6 3r = sdot

3 6 3 3r =

2 3r =

Długość promienia koła opisanego na tym troacutejkącie roacutewnobocznym jest roacutewna 2 3 cm

Korzystając z wzoru oraz pamiętając że obwoacuted

wynosi obliczymy pole i obwoacuted koła


Przykład 15 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-

bocznym o boku długości a

1

2

60deg

30deg

r

a 1

2a

aa

Wykorzystujemy zależność między dłu-

gościami bokoacutew troacutejkąta prostokątnego

o kątach ostrych 30 60deg deg do wyznaczenia

długości promienia okręgu opisanego na

troacutejkącie roacutewnobocznym

1

2

60deg

30deg

rr

31

2r

1 13 2

2 2r a= sdot

3 3r a= sdot

3 3 3r a=

3

3

ar = Długość promienia okręgu

opisanego na troacutejkącie

roacutewnobocznym o boku

długości a jest roacutewna 3

3

a

Pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości

6 cm jest roacutewne 12π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 4π 3 cm

2P rπ=

( )2

P 2 3π=

P 12π=

obwoacuted 2 rπ=

obwoacuted 2 2 3π= sdot

obwoacuted 4 3π=


Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to okrąg ten jest opisany na

tym czworokącie Jeżeli wszystkie wierzchołki czworokąta leżą na okręgu to czwo-

rokąt ten jest wpisany w okrąg

Należy sprawdzić czy symetralne bokoacutew czworokąta przecinają się w jednym punkcie

Czworokąt Czworokąt i symetralne

jego bokoacutew

Wniosek

S Na tym kwadracie

można opisać okrąg

S Na tym prostokącie


Na tym roacutewnoległo-

boku nie można

opisać okręgu

Na tym rombie

nie można opisać

okręgu

Na tym trapezie

nie można opisać

okręgu

Przykład 16 Narysuj kwadrat prostokąt roacutewnoległobok romb i trapez Sprawdź

na ktoacuterym z tych czworokątoacutew można opisać okrąg


Przykład 17 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz długość promienia

okręgu opisanego na tym kwadracie

8 cm

8 cm4 cm

r45deg

45deg

4 cm

S

Jeżeli punkt S jest środkiem koła opisanego na kwadracie

to długość promienia tego koła jest roacutewna odległości

każdego z wierzchołkoacutew tego kwadratu od punktu S

Narysowałam okrąg opisany na kwadracie

mdash odcinek łączący wyznaczony środek okręgu

z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu jest

promieniem tego okręgu

Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek S

okręgu opisanego na nim mdash środek tego okręgu jest

punktem przecięcia symetralnych bokoacutew kwadratu

Punkt S jest środkiem koła

opisanego na tym kwadracie

45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

d

a

2a

45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

a 2


Przykład 18 Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku

długości a

Korzystając z powyższej zależności między długościami bokoacutew

troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45o 45o wyznaczyłam

długość promienia okręgu opisanego na kwadracie

a

45deg

45deg

aa 2

4 cm

r45deg

45deg

4 cm

Długość promienia okręgu opisanego

na tym kwadracie jest roacutewna 4 2 cm

a

a

r45deg

45deg

a1

2

a1

2 Rysujemy okrąg opisany na kwadracie mdash promieniem

tego okręgu jest odcinek łączący wyznaczony środek

okręgu z jednym z wierzchołkoacutew tego kwadratu

r45deg

45deg

a1

2

a1

2

Z przypomnianej w poprzednim przykładzie własno-

ści dotyczącej zależności między długościami bokoacutew

troacutejkąta prostokątnego o kątach ostrych 45deg 45deg wy-

nika że długość promienia okręgu opisanego na kwa-

dracie jest roacutewna

2

2

a

d

r

r

Długość średnicy okręgu opisanego

na kwadracie jest roacutewna długości

przekątnej tego kwadratu

Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości a

jest roacutewna

2

2

a

2

2

r d

dr

=

=


Przykład 19 Uzasadnij że jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy

miar przeciwległych kątoacutew tego czworokąta są roacutewne

Promienie okręgu opisanego na czworokącie poprowadzone

do wierzchołkoacutew tego czworokąta dzielą go na cztery troacutej-

kąty roacutewnoramienne

r

r

r

r

Okrąg jest opisany na czworokącie

jeżeli wszystkie wierzchołki

czworokąta leżą na tym okręgu

Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą

na okręgu to można też powiedzieć że ten

wielokąt jest wpisany w okrąg

Jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta

leżą na okręgu moacutewimy że ten okrąg

jest opisany na tym wielokącie


W troacutejkątach roacutewnoramiennych oznaczamy kąty o roacutewnych

miarach

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r

Suma miar przeciwległych kątoacutew czworokąta oznaczonych

kolorem żoacutełtym i pomarańczowym jest roacutewna α β γ δ+ + +


kolorem zielonym i niebieskim jest roacutewna α β γ δ+ + +

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r

Jeżeli okrąg można opisać na czworokącie to sumy


Można także pokazać że jeżeli sumy miar

przeciwległych kątoacutew czworokąta są roacutewne

to na tym czworokącie można opisać okrąg

Przykład 110 Wykorzystując własność dotyczącą miar kątoacutew czworokąta na

ktoacuterym można opisać okrąg uzasadnij że na roacutewnoległoboku ktoacutery nie jest pro-

stokątem nie można opisać okręgu

W roacutewnoległoboku miary prze-

ciwległych kątoacutew są roacutewne

180α β= deg minus


Zadania utrwalające

1 Wskaż na ktoacuterym z wielokątoacutew opisano okrąg Uzasadnij odpowiedź

a) b) c)

d) e) f)

Zatem prawdziwa byłaby roacutewność α α β β+ = +

( ) ( )180 180β β β βdeg minus + deg minus = +

180 180β β β βdeg minus + deg minus = +

360 2 2β βdeg minus =

4 360β = deg

90β = deg

Suma miar kątoacutew wewnętrznych roacutewnoległoboku leżących przy jednym boku jest

roacutewna deg180

180 180 90 90α β= deg minus = deg minus deg = deg

Z obliczeń wynika że miara każdego kąta

roacutewnoległoboku musi być roacutewna 90ordm zatem okrąg

można opisać tylko na takim roacutewnoległoboku

ktoacutery jest prostokątem

Na roacutewnoległoboku

ktoacutery nie jest prostokątem

nie można opisać okręgu


2 Skonstruuj okrąg opisany na troacutejkącie a) o bokach długości 3 cm 4 cm i 5 cm b) prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 cm i 6 cm c) roacutewnoramiennym o bokach długości 4 cm 4 cm i 6 cm

3 Oceń prawdziwość poniższych zdańa) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie o bokach długości

3 cm 3 cm 3 cm leży na zewnątrz tego troacutejkątaTAK NIE

b) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą

30 i 50deg deg leży na zewnątrz tego troacutejkąta

TAK NIE

c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 60 i 50deg deg leży na boku tego troacutejkąta

TAK NIE

d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie ktoacuterego miary dwoacutech kątoacutew wynoszą 45 i 45deg deg leży wewnątrz tego troacutejkąta

TAK NIE

4 Oceń prawdziwość poniższych zdań

a) Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku

długości 10 cm jest roacutewna 5 2 cm

TAK NIE

b) Długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-

bocznym o boku długości 12 cm jest roacutewna 0 4 3 cm

TAK NIE

c) Długość okręgu opisanego na prostokącie o bokach dłu-

gości 4 cm i 8 cm wynosi

π8 10 cmTAK NIE

d) Długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym

o boku długości 12 cm jest roacutewna π8 2 cm

TAK NIE

5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości

a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm

6 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o polu roacutewnym

a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm

7 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o boku długości

a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm

8 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu roacutewnym

a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm

9 Oblicz długość okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości

a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm


10 Oblicz pole koła opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku długości

a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm

11 Oblicz długość okręgu opisanego na kwadracie o boku długości

a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm

12 Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości

a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm

13 Oblicz pole koła i długość okręgu opisanego na prostokącie w ktoacuterym długość kroacutet-

szego boku jest roacutewna 7 cm Kąt między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 60deg

14 Koło o promieniu długości 10 cm opisano na troacutejkącie prostokątnym Oblicz

pole tego troacutejkąta jeżeli jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej

15 W okręgu o środku w punkcie O i średnicy długości 8 cm poprowadzono śred-

nicę KL oraz cięciwę MN roacutewnoległą do niej Kąt środkowy NOM ma miarę 60deg

Oblicz pole czworokąta KLMN

16 W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano prostokąt w ktoacuterym stosunek dłu-

gości bokoacutew jest roacutewny 1

13

Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta

17 W koło o promieniu długości 5 cm wpisano troacutejkąt ktoacuterego jednym z bokoacutew

jest średnica tego koła Oblicz pole troacutejkąta jeżeli jeden z jego kątoacutew ma miarę 45deg

18 Uzasadnij że na każdym trapezie roacutewnoramiennym można opisać okrąg

12 Okrąg wpisany w wielokąt

GDYNIA

Y

Model jachtu ma troacutejkątny żagiel typu bermudzkiego

mdash na tym żaglu chciałbym narysować jak największe

logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg

Logo ma kształt koła Aby na

troacutejkątnym żaglu to logo było jak

największe musi być styczne do

wszystkich brzegoacutew tego żagla

Na dwusiecznej kąta CAB leżą wszystkie punkty ktoacuterych

odległość od bokoacutew AB i AC jest taka sama

A

C

B

Jeżeli koło jest styczne do wszystkich

bokoacutew troacutejkąta moacutewimy że koło jest

wpisane w ten troacutejkąt

Odległość środka koła wpisanego w troacutejkąt musi

być jednakowa od wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta

A

C

B

Na dwusiecznej kąta ABC leżą wszystkie punkty ktoacute-

rych odległość od bokoacutew AB i BC jest taka sama

A

C

S

B

Wyznaczyliśmy punkt S ktoacuterego odległość od wszyst-

kich bokoacutew troacutejkąta jest taka sama

Jeżeli koło jest styczne do

wszystkich bokoacutew troacutejkąta

moacutewimy że troacutejkąt jest

opisany na kole


A

C

S

B

Możemy zauważyć że dwusieczna kąta ACB też prze-

chodzi przez punkt S

Zatem poprowadzimy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew

troacutejkąta przechodzącą przez wyznaczony środek okręgu

wpisanego w troacutejkąt i zaznaczymy na niej promień szukanego

okręgu A następnie zakreślimy okrąg o środku w punkcie S

i tym promieniu styczny do wszystkich bokoacutew troacutejkąta

Okrąg wpisany w troacutejkąt jest styczny do wszystkich bokoacutew tego troacutejkąta

Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt jest odcinek

ktoacuterego jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten

troacutejkąt a drugim punkt styczności okręgu z bokiem tego troacutejkąta

Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu

wpisanego w ten troacutejkąt od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta

Promień ten jest także promieniem koła wpisanego w ten troacutejkąt

A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B


Promienie okręgu wpisanego w troacutejkąt poprowadzone do punktoacutew styczności

są prostopadłe do bokoacutew tego troacutejkąta

Odcinki ktoacuterych jednym końcem jest środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a dru-

gim punkt styczności okręgu z bokami troacutejkąta są promieniami okręgu wpisanego

w ten troacutejkąt

Długość tego promienia jest roacutewna odległości środka S okręgu wpisanego w troacutejkąt

od każdego z bokoacutew tego troacutejkąta

Przykład 111 Narysuj dowolny troacutejkąt ABC Skonstruuj okrąg wpisany w ten

troacutejkąt

Konstruujemy dwusieczne dwoacutech kątoacutew troacutejkąta

Punkt przecięcia dwusiecznych kątoacutew oznaczamy literą S

Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten troacutejkąt

S

C

A

B

Aby wyznaczyć promień okręgu wpisanego w troacutejkąt ABC

konstruujemy prostą prostopadłą do jednego z bokoacutew

troacutejkąta przechodzącą przez środek S tego okręgu Ry-

sujemy odcinek łączący środek okręgu z punktem prze-

cięcia boku troacutejkąta i prostej prostopadłej do tego boku

S

C

A

B

Rysujemy okrąg wpisany w troacutejkąt ABC

S

C

A

B


a) b) c)

Przykład 113 Narysuj troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 6 cm Oblicz dłu-

gość promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt

W każdy troacutejkąt można wpisać okrąg

Poprowadzone dwusieczne kątoacutew tego

troacutejkąta zawierają wysokości troacutejkąta

3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =

Narysowałam troacutejkąt roacutewnoboczny i wyznaczyłam

środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt

Promieniem okręgu wpisanego w troacutejkąt

roacutewnoboczny jest część wysokości tego troacutejkąta

Korzystając z zależności między długościami bokoacutew w troacutejkącie

prostokątnym o kątach ostrych 30ordm 60ordm wyznaczyłam długość

drugiej przyprostokątnej tego troacutejkąta prostokątnego

Długość promienia okręgu

wpisanego w ten troacutejkąt

roacutewnoboczny jest roacutewna 3 cm

Przykład 112 Narysuj dowolny troacutejkąt

a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny

Wyznacz środek okręgu wpisanego w ten troacutejkąt Narysuj okrąg wpisany w ten troacutejkąt


Przykład 114 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny do długości promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie

S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a

W troacutejkącie roacutewnobocznym symetralne bokoacutew troacutejkąta zawierają dwusieczne kątoacutew tego troacutej-kąta i jego wysokości Środek okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewno-bocznym i środek okręgu wpisanego w ten troacutej-kąt to ten sam punkt

Zaznaczamy promień okręgu wpisanego w troacutej-kąt roacutewnoboczny i promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym

W troacutejkącie prostokątnym o kątach ostrych 30deg i 60degdługość prze-ciwprostokątnej jest roacutewna dwukrotności długości kroacutetszej przy-prostokątnej

Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=

Punkt S ktoacutery jest środkiem okręgu wpisanego

w troacutejkąt roacutewnoboczny i środkiem okręgu

opisanego na tym troacutejkącie dzieli wysokość

troacutejkąta na dwie części


Przykład 115 Oblicz jaką częścią wysokości troacutejkąta roacutewnobocznego jest pro-

mień okręgu wpisanego w ten troacutejkąt a jaką częścią wysokości jest promień okręgu

opisanego na tym troacutejkącie

Przykład 116 Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-

boczny o boku długości a

Suma długości promienia okręgu opisanego na troacutejkącie

roacutewnobocznym i długości promienia okręgu wpisanego

w ten troacutejkąt jest roacutewna długości wysokości tego troacutejkąta

w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=

Dzięki przeprowadzonym wcześniej obliczeniom

wiemy że w troacutejkącie roacutewnobocznym długość

promienia okręgu wpisanego w ten troacutejkąt i długość

promienia okręgu opisanego na tym troacutejkącie są

zależne od długości boku tego troacutejkąta

rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =

Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt

roacutewnoboczny o boku długości a jest roacutewna3

6

a

32

wr

a=


Jeżeli wszystkie boki czworokąta są styczne do okręgu to okrąg jest wpisany w ten

czworokąt

Należy sprawdzić czy dwusieczne kątoacutew tych czworokątoacutew przecinają się w jednym

punkcie

CzworokątCzworokąt

i dwusieczne jego kątoacutewWniosek

W ten kwadrat można

wpisać okrąg

W ten prostokąt nie

można wpisać okręgu

W ten roacutewnoległobok

nie można wpisać okręgu

W ten romb można

wpisać okrąg

W ten trapez nie można

wpisać okręgu


w ktoacutery z tych czworokątoacutew można wpisać okrąg


Przykład 119 Wyznacz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w kwa-drat do długości promienia okręgu opisanego na tym kwadracie

8 cm

8 cm

4 cmrw

Narysowałam kwadrat i wyznaczyłam środek

okręgu wpisanego w ten kwadrat Ten środek

jest punktem przecięcia dwusiecznych kątoacutew

wewnętrznych tego kwadratu i jednocześnie

punktem przecięcia przekątnych kwadratu

Długość promienia koła wpisanego

w kwadrat jest roacutewna połowie

długości boku tego kwadratu

1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d

Pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 8 cm

jest roacutewne 16π cm2 a obwoacuted tego koła wynosi 8π cm

P = πr2 obwoacuted = 2πr

P = π 42 obwoacuted = 2π 4

P = 16π obwoacuted = 8π

Przykład 118 Narysuj kwadrat o boku długości 8 cm Oblicz pole i obwoacuted koła

wpisanego w ten kwadrat

Aby obliczyć pole i obwoacuted koła wpisanego w kwadrat o boku

długości 8 cm musimy wyznaczyć długość promienia tego koła

Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest roacutewna połowie długości

przekątnej tego kwadratu Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat jest

roacutewna połowie długości boku tego kwadratu


Jeżeli wszystkie boki wielokąta

są styczne do okręgu moacutewimy że

okrąg jest wpisany w ten wielokąt

Można roacutewnież powiedzieć że

jeżeli wszystkie boki wielokąta

są styczne do okręgu to ten

wielokąt jest opisany na okręgu

Jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne do koła moacutewimy

że koło jest wpisane w ten wielokąt Można roacutewnież

powiedzieć że jeżeli wszystkie boki wielokąta są styczne

do koła to ten wielokąt jest opisany na kole

Przykład 120 Uzasadnij że jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy

długości przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne

Okrąg jest wpisany w czworokąt jeżeli jest styczny do

wszystkich bokoacutew tego czworokąta

Promienie poprowadzone do punktoacutew styczności są

prostopadłe do bokoacutew czworokąta


AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r

Jeżeli okrąg można wpisać w czworokąt to sumy długości

przeciwległych bokoacutew tego czworokąta są roacutewne

Można także pokazać że jeżeli sumy długości przeciwległych bokoacutew

czworokąta są roacutewne to w ten czworokąt można wpisać okrąg



1 Wskaż w ktoacutery z wielokątoacutew wpisano okrąg Uzasadnij odpowiedź

a) b) c)

d) e) f)

2 Wpisz okrąg w troacutejkąt

a) o bokach długości 4 cm 5 cm i 6 cm

b) prostokątny o przyprostokątnych długości 4 cm i 6 cm

c) roacutewnoramienny o bokach długości 6 cm 6 cm i 8 cm

3 Wykonaj odpowiednie obliczenia a następnie oceń prawdziwość zdań

a) Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku

długości 3 dm jest roacutewny 3 dm

TAK NIE

b) Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewno-

boczny o boku długości 9 m jest roacutewny 3 3 m

TAK NIE

c) Długość okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej dłu-

gości 13 2 cm wynosi 13π cm

TAK NIE

d) Długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o ob-

wodzie 27 dm jest roacutewna 3π TAK NIE

4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku

długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm


5 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o polu

roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm

6 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości

a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm

7 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat o polu roacutewnym

a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm

8 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości

a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm

9 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości

a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm

10 Oblicz długość okręgu wpisanego w kwadrat o boku długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm

11 Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości

a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm

12 Oblicz pole koła wpisanego w troacutejkąt prostokątny roacutewnoramienny o przeciw-

prostokątnej długości 12 2 cm

13 Oblicz długość okręgu wpisanego w troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych

długości 6 cm i 8 cm

3713 Wielokąty foremne

Zamek Krzyżtopoacuter został zbudowany

na planie pięciokąta foremnego

Wieża widokowa w Do-

bromierzu została zbudo-

wana na planie ośmiokąta

foremnego

Plaster miodu przypomina

ułożone obok siebie gra-

niastosłupy o podstawie

będącej sześciokątem fo-remnym

Obiekt w Ludwikowicach Kłodzkich mdash pozostałość

po niemieckiej zabudo-

wie przemysłowej mdash zo-

stał zbudowany na planie

wielokąta foremnego

Oczka w siatce bramki

mają kształt sześciokąta

foremnego

Wielokątem foremnym

nazywamy taki wielokąt ktoacuterego

wszystkie boki są jednakowej

długości i wszystkie kąty

wewnętrzne mają roacutewne miary

Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny

można wpisać okrąg

W wielokącie foremnym środek okręgu wpisanego w ten wielokąt

jest także środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie



Każdy wielokąt foremny jest zbudowany z przystających

troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych Ramiona tych troacutejkątoacutew zawierają

się w dwusiecznych kątoacutew wewnętrznych (ktoacutere wyznaczają

środek okręgu wpisanego i opisanego)

Przykład 121 Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego

Zatem kąt β jest roacutewny 360 8 45deg = deg

Kąty przy podstawie troacutejkąta są roacutewne

( )180 45 2 6752

α= deg minus deg = deg

Kąt α ma miarę 135deg

360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus

180 18α = deg minus deg

162α = deg

Miara kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego wynosi 162deg

Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest roacutewna

360180

n

degdeg minus gdzie n

oznacza liczbę bokoacutew tego wielokąta

Przykład 122 Oblicz miarę kąta wewnętrznego dwudziestokąta foremnego

Przykład 123 Oblicz ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny

ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n

degdeg minus deg = minus


36030 n

n

degminus deg = minus sdot

( )30 360 30nminus degsdot = minus deg minus deg

12n =

Wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę 150deg ma 12 bokoacutew

Przykład 124 Narysuj pięciokąt foremny o boku długości a

A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

Pięciokąt foremny można podzielić na pięć przystających

troacutejkątoacutew roacutewnoramiennych o kątach 72 54 54deg deg deg

Odmierzamy odcinek AB

o długości a

Rysujemy troacutejkąt roacutewnoramienny

ABC o podstawie AB i kącie

przy podstawie o mierze 54deg

Odmierzamy za pomocą kątomierza kąt o mierze 72deg

o wierzchołku C i ramieniu CB

Rysujemy kolejne trzy kąty

o mierze 72deg

Rysujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu dłu-

gości odcinka AC Wierzchołki pięciokąta to punkty prze-

cięcia się okręgu z ramionami kątoacutew

Łączymy odcinkami kolejne

wierzchołki pięciokąta


Przykład 125 Narysuj okrąg o promieniu r Korzystając z cyrkla i linijki skon-

struuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg

Przykład 126 Narysuj sześciokąt foremny o boku długości 3 cm Oblicz dłu-gości jego przekątnych

Wierzchołki ośmiokąta

foremnego wpisanego

w okrąg leżą na tym okręgu W narysowanym okręgu poprowadziłem

prostopadłe średnice a następnie

dwusieczne otrzymanych kątoacutew prostych

Narysowane odcinki i proste przecinają

okrąg w ośmiu punktach ktoacutere są

wierzchołkami ośmiokąta

r r

Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających troacutejkątoacutew roacutewnobocznych

Ponieważ długość promienia okręgu opisanego na sześcio-

kącie foremnym jest roacutewna długości boku tego sześciokąta

rysujemy okrąg o promieniu długości 3 cm Na okręgu za-

znaczamy dowolny punkt A ktoacutery będzie wierzchołkiem

sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A

Przy użyciu cyrkla począwszy od punktu A rysujemy łuk

okręgu o promieniu długości 3 cm i otrzymujemy drugi

wierzchołek sześciokąta (B)

A

B


W ten sam sposoacuteb znajdujemy pozostałe cztery wierz-

chołki wielokąta rysując łuk okręgu o promieniu dłu-

gości 3 cm z kolejno otrzymywanych wierzchołkoacutew C

D i E

Łączymy odcinkami wierzchołki sześciokąta

Sześciokąt ma dziewięć przekątnych Trzy z nich mają długość roacutewną długości średnicy okręgu opisanego na tym sześciokącie (łączą co trzeci wierzchołek tworząc przekątne AD BE CF) Pozostałe przekątne są kroacutetsze (łączą co drugi wierzchołek tworząc przekątne AE AC BE BD CE DF)

AD BE CF 6 cm= = =

Długość dłuższej przekątnej tego sześciokąta foremnego

jest roacutewna 6 cm

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

Odcinek AE jest sumą długości dwoacutech wysokości troacutej-

kątoacutew roacutewnobocznych z ktoacuterych zbudowany jest sześ-

ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =

Długość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta foremnego

jest roacutewna 3 3 cm


Przykład 127 Oblicz obwoacuted i pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm

Sześciokąt foremny jest zbudowany z sześciu przystających

troacutejkątoacutew roacutewnobocznych

Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 4

36

2a

sdot

Obwoacuted sześciokąta foremnego jest roacutewny 6a

Obliczyłem pole sześciokąta foremnego o boku długości 12 cm

Obliczyłem obwoacuted tego sześciokąta foremnego

2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4

= sdot = sdot = sdot =

obwoacuted 6 12 72= sdot =

Pole tego sześciokąta foremnego jest roacutewne 216 3 cm2

a jego obwoacuted wynosi 72 cm

Przykład 128 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny

o boku długości 6 cm

r

Długość promienia okręgu wpisanego

w sześciokąt foremny o boku długości a

jest roacutewna długości wysokości troacutejkąta

roacutewnobocznego o boku długości a


Troacutejkąt roacutewnoboczny Kwadrat Sześciokąt foremny

3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=


1 Oblicz miary kątoacutew wewnętrznych

a) pięciokąta foremnego

b) dwunastokąta foremnego

c) piętnastokąta foremnego

2 Podaj ile bokoacutew ma wielokąt foremny ktoacuterego kąt wewnętrzny ma miarę

a) 120deg b) 144deg c) 168deg d) 174deg

3 Oblicz długość kroacutetszej przekątnej sześciokąta foremnego o boku długości

a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =

Długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt

foremny jest roacutewna 3 3 cm

Dla troacutejkąta roacutewnobocznego kwadratu i sześciokąta foremnego

wyznaczyłam zależności pomiędzy długością promienia okręgu

opisanego na tych wielokątach oraz długością promienia okręgu

wpisanego w te wielokąty a długością ich bokoacutew


4 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku

długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm

5 Oblicz długość okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości

a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm

6 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg ktoacuterego długość jest

roacutewna

a) π4 cm b) π6 cm c) π14 cm d) π24 cm

7 Oblicz pole koła opisanego na sześciokącie foremnym o boku długości

a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm

8 Oblicz długość boku sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu roacutewnym

a) 29 cmπ b) 236 cmπ c) 284 cmπ d) 2150 cmπ

9 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o polu

roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm

10 Oblicz pole koła wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości

a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm

11 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o promieniu długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm

12 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na kole o polu


13 Oblicz pole sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest

roacutewna


14 Oblicz długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku długości

a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm


15 Oblicz pole sześciokąta foremnego gdy kroacutetsza przekątna tego sześciokąta jest

roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm

16 Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na sześciokącie foremnym gdy dłu-

gość kroacutetszej przekątnej tego sześciokąta jest roacutewna

a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm

17 Oblicz obwoacuted sześciokąta foremnego opisanego na okręgu ktoacuterego długość jest

roacutewna


18 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o polu


19 Oblicz pole sześciokąta foremnego wpisanego w koło o promieniu długości

a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm

20 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o polu roacutew-

nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm

21 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny o boku dłu-

gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm

22 Oblicz stosunek pola koła wpisanego w wielokąt do pola koła opisanego na tym

wielokącie gdy wielokąt jest

a) kwadratem o boku długości b

b) troacutejkątem roacutewnobocznym o boku długości b

c) sześciokątem foremnym o boku długości b

Zadania do rozwiązywania w grupie

Na okręgu o promieniu długości a opisano troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześcio-

kąt foremny

a) Wykonajcie odpowiedni rysunek

b) Wyznaczcie stosunek długości obwodoacutew tych wielokątoacutew

c) Wyznaczcie stosunek poacutel tych wielokątoacutew

46 Rozdział CZĘŚĆ I

14 Krok do egzaminu

Zadania powtoacuterzeniowe

1 Oblicz miarę kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego

2 Oblicz sumę miar kątoacutew wewnętrznych pięciokąta foremnego

3 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym o boku dłu-gości 15 dm

4 Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o obwodzie 36 cm

5 Oblicz długość promienia okręgu opisanego na kwadracie o polu 196 cm2

6 Oblicz długość średnicy okręgu wpisanego w kwadrat o przekątnej długości 18 cm

7 Oblicz obwoacuted koła opisanego na troacutejkącie prostokątnym roacutewnoramiennym ktoacuterego ramiona mają długość 8 cm

8 W prostokącie stosunek długości bokoacutew jest roacutewny 3 4 Oblicz pole i obwoacuted tego prostokąta jeżeli długość średnicy okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 20 cm

9 Pole koła opisanego na sześciokącie foremnym jest o 9π cm2 większe od pola koła

wpisanego w ten sześciokąt Oblicz długość boku tego sześciokąta foremnego

10 W okrąg o promieniu długości 13 cm wpisano troacutejkąt Środek okręgu leży na jednym

z bokoacutew troacutejkąta Stosunek długości pozostałych bokoacutew tego troacutejkąta jest roacutewny

5

12

Oblicz pole i obwoacuted troacutejkąta

11 Oblicz pole zamalowanej części koła jeżeli jego średnica ma

długość 10 cm a troacutejkąt wpisany w to koło jest roacutewnoboczny

12 Na okręgu opisano kwadrat o boku długości 6 dm Następnie na tym kwadracie opisano okrąg Oblicz

a) pole powstałego pierścienia kołowego

b) stosunek długości okręgu opisanego na kwadracie do długości okręgu wpisanego w ten kwadrat

13 W troacutejkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm wpisano koło Oblicz długość promienia tego koła

14 W trapez roacutewnoramienny w ktoacuterym kąty przy podstawie mają miarę 60deg wpisano koło o promieniu długości 3 cm Oblicz obwoacuted i pole tego trapezu

Rozdział 1 Wielokąty i okręgi46

47

60deg

14 Krok do egzaminu

15 Oblicz pole zacieniowanej amp gury

a) kwadrat b) troacutejkąt roacutewnoboczny c) troacutejkąt roacutewnoboczny

6 cm

15 cm

16 Narysowano troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 9 cm Następnie narysowano okrąg ktoacutery podzielił każdy bok tego troacutejkąta na trzy roacutewne części Oblicz długość promienia tego okręgu

17 Obwoacuted sześciokąta foremnego jest o 21 cm mniejszy od długości okręgu opisanego na tym sześciokącie Oblicz długość tego okręgu Przyjmij π asymp 314

18 Oblicz pole troacutejkąta roacutewnobocznego opisanego na kole w ktoacutere wpisano kwadrat o boku długości 6 cm

19 W troacutejkąt roacutewnoramienny wpisano koło Oblicz pole tego koła jeżeli ramiona troacutejkąta mają długość 8 cm a kąty przy podstawie mają miarę 30deg

Test

1 Oceń prawdziwość zdań

a) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia wysokości tego troacutejkąta

TAK NIE

b) Środek okręgu wpisanego w troacutejkąt znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych kątoacutew tego troacutejkąta

TAK NIE

c) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia środkowych tego troacutejkąta

TAK NIE

d) Środek okręgu opisanego na troacutejkącie znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych bokoacutew tego troacutejkąta

TAK NIE

e) Środek okręgu opisanego na kwadracie znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych tego kwadratu

TAK NIE

2 W kwadrat o boku długości 5 cm wpisano koło Promień tego koła ma długość

A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm

3 Długość promienia okręgu wpisanego w troacutejkąt roacutewnoboczny o boku długości 16 cm jest roacutewna

A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm


4 Pole koła jest roacutewne

A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2

5 Przyprostokątne troacutejkąta prostokątnego mają długość 4 cm i 6 cm Długość promienia

okręgu opisanego na tym troacutejkącie jest roacutewna

A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm

6 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ma długość 15 cm Długość promienia

okręgu opisanego na tym sześciokącie jest roacutewna

A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2

7 W koło o promieniu długości 10 cm wpisano troacutejkąt tak

że jego najdłuższy bok jest średnicą tego okręgu Pole troacutejkąta

jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2

8 Na kwadracie o polu 196 cm2

opisano koło Długość okręgu jest roacutewna

A 14π cm B 28π cm C π cm D π cm

9 Promień okręgu opisanego na troacutejkącie roacutewnobocznym ma długość 8 3 cm Bok tego

troacutejkąta ma długość

A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm

10 Pole sześciokąta foremnego jest roacutewne 236 3 cm Długość promienia okręgu wpisa-

nego w ten sześciokąt jest roacutewna

A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm

11 Z troacutejkąta roacutewnobocznego wycięto wpisane w ten troacutejkąt koło o promieniu długości

2 3 cm Oblicz pole części troacutejkąta pozostałej po wycięciu koła

12 Na kwadracie o boku długości 14 cm opisano okrąg W ten kwadrat wpisano też okrąg

Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na kwadracie do długości promienia

okręgu wpisanego w ten kwadrat

13 Troacutejkąt roacutewnoboczny kwadrat i sześciokąt foremny mają boki o tej samej długości

mdash ta długość wynosi 6 cm

a) Oblicz pole koła wpisanego w każdą z tych gur

b) Oblicz stosunek pola koła wpisanego w troacutejkąt do pola koła wpisanego w kwadrat

do pola koła wpisanego w sześciokąt

12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm



Moja klasa organizuje biwak i mamy problem jak rozstawić

nasze namioty aby z każdego namiotu była taka sama

odległość do wspoacutelnego namiotu ktoacutery nazwaliśmy świetlicą

Jeżeli odległość ma być taka sama należy narysować okrąg ktoacuterego

środkiem będzie namiot świetlica a namioty uczestnikoacutew trzeba

umieścić na tym okręgu Odległość między każdym namiotem

a świetlicą będzie roacutewna długości promienia narysowanego okręgu

Wszyscy będą mieli do pokonania taką samą odległość

świetlica

namiot 1

namiot 3

namiot 2

namiot 5

namiot 4

Przykład 11 Narysuj trzy niewspoacutełliniowe punkty K L M Znajdź punkt T

ktoacuterego odległość od każdego z punktoacutew K L i M jest taka sama

K

L

M

Zaznaczyliśmy punkty K L i M Te punkty nie są wspoacuteł-

liniowe

Musimy znaleźć punkt T ktoacuterego odległość od każdego

z punktoacutew K L i M będzie taka sama

K

L

M

Rysujemy odcinek KM a następnie symetralną tego odcinka

Na symetralnej odcinka KM leżą wszystkie punkty ktoacuterych

odległość od punktu K jest roacutewna odległości od punktu M


K

L

M

K

L

T

M

K

L

T

M

K

L

T

M






















troacutejkącie


K

L

T

M





od punktu T






K

L

T

M

K

L

T

M










a) b) c)









a) b) c)

rO

rO

rO

r

r

rr

rr



6 cm

r

6 cm6 cm









60deg 60deg

30deg 30deg

a

h

a

a

2

a

2

x

3xx

60deg

30deg

2x

x

x 3




60deg

30deg

6 cm

r

6 cm6 cm








1

2

60deg

30deg

rr

31

2r3 cm

60deg

30deg

r



32r i

1

2r

13 3 2

2r = sdot

3 6 3r = sdot

3 6 3 3r =

2 3r =







1

2

60deg

30deg

r

a 1

2a

aa






1

2

60deg

30deg

rr

31

2r

1 13 2

2 2r a= sdot

3 3r a= sdot

3 3 3r a=

3

3





3

a



2P rπ=

( )2

P 2 3π=

P 12π=

obwoacuted 2 rπ=


obwoacuted 4 3π=







jego bokoacutew

Wniosek

S Na tym kwadracie





boku nie można

opisać okręgu

Na tym rombie

nie można opisać

okręgu

Na tym trapezie

nie można opisać

okręgu






8 cm

8 cm4 cm

r45deg

45deg

4 cm

S













45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

d

a

2a

45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

a 2



długości a




a

45deg

45deg

aa 2

4 cm

r45deg

45deg

4 cm



a

a

r45deg

45deg

a1

2

a1




r45deg

45deg

a1

2

a1

2






2

2

a

d

r

r





jest roacutewna

2

2

a

2

2

r d

dr

=

=







r

r

r

r












miarach

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r





r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r











180α β= deg minus




a) b) c)

d) e) f)





4 360β = deg

90β = deg


roacutewna deg180















TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm


K

L

M

K

L

T

M

K

L

T

M

K

L

T

M






















troacutejkącie


K

L

T

M





od punktu T






K

L

T

M

K

L

T

M










a) b) c)









a) b) c)

rO

rO

rO

r

r

rr

rr



6 cm

r

6 cm6 cm









60deg 60deg

30deg 30deg

a

h

a

a

2

a

2

x

3xx

60deg

30deg

2x

x

x 3




60deg

30deg

6 cm

r

6 cm6 cm








1

2

60deg

30deg

rr

31

2r3 cm

60deg

30deg

r



32r i

1

2r

13 3 2

2r = sdot

3 6 3r = sdot

3 6 3 3r =

2 3r =







1

2

60deg

30deg

r

a 1

2a

aa






1

2

60deg

30deg

rr

31

2r

1 13 2

2 2r a= sdot

3 3r a= sdot

3 3 3r a=

3

3





3

a



2P rπ=

( )2

P 2 3π=

P 12π=

obwoacuted 2 rπ=


obwoacuted 4 3π=







jego bokoacutew

Wniosek

S Na tym kwadracie





boku nie można

opisać okręgu

Na tym rombie

nie można opisać

okręgu

Na tym trapezie

nie można opisać

okręgu






8 cm

8 cm4 cm

r45deg

45deg

4 cm

S













45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

d

a

2a

45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

a 2



długości a




a

45deg

45deg

aa 2

4 cm

r45deg

45deg

4 cm



a

a

r45deg

45deg

a1

2

a1




r45deg

45deg

a1

2

a1

2






2

2

a

d

r

r





jest roacutewna

2

2

a

2

2

r d

dr

=

=







r

r

r

r












miarach

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r





r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r











180α β= deg minus




a) b) c)

d) e) f)





4 360β = deg

90β = deg


roacutewna deg180















TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm



troacutejkącie


K

L

T

M





od punktu T






K

L

T

M

K

L

T

M










a) b) c)









a) b) c)

rO

rO

rO

r

r

rr

rr



6 cm

r

6 cm6 cm









60deg 60deg

30deg 30deg

a

h

a

a

2

a

2

x

3xx

60deg

30deg

2x

x

x 3




60deg

30deg

6 cm

r

6 cm6 cm








1

2

60deg

30deg

rr

31

2r3 cm

60deg

30deg

r



32r i

1

2r

13 3 2

2r = sdot

3 6 3r = sdot

3 6 3 3r =

2 3r =







1

2

60deg

30deg

r

a 1

2a

aa






1

2

60deg

30deg

rr

31

2r

1 13 2

2 2r a= sdot

3 3r a= sdot

3 3 3r a=

3

3





3

a



2P rπ=

( )2

P 2 3π=

P 12π=

obwoacuted 2 rπ=


obwoacuted 4 3π=







jego bokoacutew

Wniosek

S Na tym kwadracie





boku nie można

opisać okręgu

Na tym rombie

nie można opisać

okręgu

Na tym trapezie

nie można opisać

okręgu






8 cm

8 cm4 cm

r45deg

45deg

4 cm

S













45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

d

a

2a

45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

a 2



długości a




a

45deg

45deg

aa 2

4 cm

r45deg

45deg

4 cm



a

a

r45deg

45deg

a1

2

a1




r45deg

45deg

a1

2

a1

2






2

2

a

d

r

r





jest roacutewna

2

2

a

2

2

r d

dr

=

=







r

r

r

r












miarach

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r





r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r











180α β= deg minus




a) b) c)

d) e) f)





4 360β = deg

90β = deg


roacutewna deg180















TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm


a) b) c)









a) b) c)

rO

rO

rO

r

r

rr

rr



6 cm

r

6 cm6 cm









60deg 60deg

30deg 30deg

a

h

a

a

2

a

2

x

3xx

60deg

30deg

2x

x

x 3




60deg

30deg

6 cm

r

6 cm6 cm








1

2

60deg

30deg

rr

31

2r3 cm

60deg

30deg

r



32r i

1

2r

13 3 2

2r = sdot

3 6 3r = sdot

3 6 3 3r =

2 3r =







1

2

60deg

30deg

r

a 1

2a

aa






1

2

60deg

30deg

rr

31

2r

1 13 2

2 2r a= sdot

3 3r a= sdot

3 3 3r a=

3

3





3

a



2P rπ=

( )2

P 2 3π=

P 12π=

obwoacuted 2 rπ=


obwoacuted 4 3π=







jego bokoacutew

Wniosek

S Na tym kwadracie





boku nie można

opisać okręgu

Na tym rombie

nie można opisać

okręgu

Na tym trapezie

nie można opisać

okręgu






8 cm

8 cm4 cm

r45deg

45deg

4 cm

S













45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

d

a

2a

45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

a 2



długości a




a

45deg

45deg

aa 2

4 cm

r45deg

45deg

4 cm



a

a

r45deg

45deg

a1

2

a1




r45deg

45deg

a1

2

a1

2






2

2

a

d

r

r





jest roacutewna

2

2

a

2

2

r d

dr

=

=







r

r

r

r












miarach

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r





r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r











180α β= deg minus




a) b) c)

d) e) f)





4 360β = deg

90β = deg


roacutewna deg180















TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm


a) b) c)

rO

rO

rO

r

r

rr

rr



6 cm

r

6 cm6 cm









60deg 60deg

30deg 30deg

a

h

a

a

2

a

2

x

3xx

60deg

30deg

2x

x

x 3




60deg

30deg

6 cm

r

6 cm6 cm








1

2

60deg

30deg

rr

31

2r3 cm

60deg

30deg

r



32r i

1

2r

13 3 2

2r = sdot

3 6 3r = sdot

3 6 3 3r =

2 3r =







1

2

60deg

30deg

r

a 1

2a

aa






1

2

60deg

30deg

rr

31

2r

1 13 2

2 2r a= sdot

3 3r a= sdot

3 3 3r a=

3

3





3

a



2P rπ=

( )2

P 2 3π=

P 12π=

obwoacuted 2 rπ=


obwoacuted 4 3π=







jego bokoacutew

Wniosek

S Na tym kwadracie





boku nie można

opisać okręgu

Na tym rombie

nie można opisać

okręgu

Na tym trapezie

nie można opisać

okręgu






8 cm

8 cm4 cm

r45deg

45deg

4 cm

S













45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

d

a

2a

45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

a 2



długości a




a

45deg

45deg

aa 2

4 cm

r45deg

45deg

4 cm



a

a

r45deg

45deg

a1

2

a1




r45deg

45deg

a1

2

a1

2






2

2

a

d

r

r





jest roacutewna

2

2

a

2

2

r d

dr

=

=







r

r

r

r












miarach

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r





r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r











180α β= deg minus




a) b) c)

d) e) f)





4 360β = deg

90β = deg


roacutewna deg180















TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm


60deg

30deg

6 cm

r

6 cm6 cm








1

2

60deg

30deg

rr

31

2r3 cm

60deg

30deg

r



32r i

1

2r

13 3 2

2r = sdot

3 6 3r = sdot

3 6 3 3r =

2 3r =







1

2

60deg

30deg

r

a 1

2a

aa






1

2

60deg

30deg

rr

31

2r

1 13 2

2 2r a= sdot

3 3r a= sdot

3 3 3r a=

3

3





3

a



2P rπ=

( )2

P 2 3π=

P 12π=

obwoacuted 2 rπ=


obwoacuted 4 3π=







jego bokoacutew

Wniosek

S Na tym kwadracie





boku nie można

opisać okręgu

Na tym rombie

nie można opisać

okręgu

Na tym trapezie

nie można opisać

okręgu






8 cm

8 cm4 cm

r45deg

45deg

4 cm

S













45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

d

a

2a

45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

a 2



długości a




a

45deg

45deg

aa 2

4 cm

r45deg

45deg

4 cm



a

a

r45deg

45deg

a1

2

a1




r45deg

45deg

a1

2

a1

2






2

2

a

d

r

r





jest roacutewna

2

2

a

2

2

r d

dr

=

=







r

r

r

r












miarach

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r





r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r











180α β= deg minus




a) b) c)

d) e) f)





4 360β = deg

90β = deg


roacutewna deg180















TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm




1

2

60deg

30deg

r

a 1

2a

aa






1

2

60deg

30deg

rr

31

2r

1 13 2

2 2r a= sdot

3 3r a= sdot

3 3 3r a=

3

3





3

a



2P rπ=

( )2

P 2 3π=

P 12π=

obwoacuted 2 rπ=


obwoacuted 4 3π=







jego bokoacutew

Wniosek

S Na tym kwadracie





boku nie można

opisać okręgu

Na tym rombie

nie można opisać

okręgu

Na tym trapezie

nie można opisać

okręgu






8 cm

8 cm4 cm

r45deg

45deg

4 cm

S













45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

d

a

2a

45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

a 2



długości a




a

45deg

45deg

aa 2

4 cm

r45deg

45deg

4 cm



a

a

r45deg

45deg

a1

2

a1




r45deg

45deg

a1

2

a1

2






2

2

a

d

r

r





jest roacutewna

2

2

a

2

2

r d

dr

=

=







r

r

r

r












miarach

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r





r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r











180α β= deg minus




a) b) c)

d) e) f)





4 360β = deg

90β = deg


roacutewna deg180















TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm







jego bokoacutew

Wniosek

S Na tym kwadracie





boku nie można

opisać okręgu

Na tym rombie

nie można opisać

okręgu

Na tym trapezie

nie można opisać

okręgu






8 cm

8 cm4 cm

r45deg

45deg

4 cm

S













45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

d

a

2a

45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

a 2



długości a




a

45deg

45deg

aa 2

4 cm

r45deg

45deg

4 cm



a

a

r45deg

45deg

a1

2

a1




r45deg

45deg

a1

2

a1

2






2

2

a

d

r

r





jest roacutewna

2

2

a

2

2

r d

dr

=

=







r

r

r

r












miarach

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r





r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r











180α β= deg minus




a) b) c)

d) e) f)





4 360β = deg

90β = deg


roacutewna deg180















TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm




8 cm

8 cm4 cm

r45deg

45deg

4 cm

S













45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

d

a

2a

45deg

45deg

45deg

45deg

a

a a

a

a 2



długości a




a

45deg

45deg

aa 2

4 cm

r45deg

45deg

4 cm



a

a

r45deg

45deg

a1

2

a1




r45deg

45deg

a1

2

a1

2






2

2

a

d

r

r





jest roacutewna

2

2

a

2

2

r d

dr

=

=







r

r

r

r












miarach

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r





r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r











180α β= deg minus




a) b) c)

d) e) f)





4 360β = deg

90β = deg


roacutewna deg180















TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm



długości a




a

45deg

45deg

aa 2

4 cm

r45deg

45deg

4 cm



a

a

r45deg

45deg

a1

2

a1




r45deg

45deg

a1

2

a1

2






2

2

a

d

r

r





jest roacutewna

2

2

a

2

2

r d

dr

=

=







r

r

r

r












miarach

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r





r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r











180α β= deg minus




a) b) c)

d) e) f)





4 360β = deg

90β = deg


roacutewna deg180















TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm







r

r

r

r












miarach

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r





r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r











180α β= deg minus




a) b) c)

d) e) f)





4 360β = deg

90β = deg


roacutewna deg180















TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm



miarach

r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r





r

r

α

αβ

βγ

γ

δ

δ

r

r











180α β= deg minus




a) b) c)

d) e) f)





4 360β = deg

90β = deg


roacutewna deg180















TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm




a) b) c)

d) e) f)





4 360β = deg

90β = deg


roacutewna deg180















TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm







TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE




TAK NIE



TAK NIE



π8 10 cmTAK NIE



TAK NIE


a) 4 cm b) 15 cm c) 6 3 cm d) 3 6 cm


a) 216 3 cm b) 29 3 cm c) 23 3 cm d) 26 3 cm


a) 5 cm b) 15 cm c) 3 2 cm d) 5 6 cm


a) 236 cm b) 249 cm c) 248 cm d) 2108 cm


a) 6 cm b) 21 cm c) 8 3 cm d) 4 6 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm



a) 9 cm b) 4 cm c) 5 3 cm d) 5 6 cm


a) 3 cm b) 10 cm c) 6 2 cm d) 2 6 cm


a) 5 cm b) 8 cm c) 8 2 cm d) 3 3 cm










13






GDYNIA

Y



logo mojego klubu


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm


9 cm 4 cm

3 cm 10 cm

5 cm 8 cm

60deg

60deg

45deg







A

C

B






A

C

B



A

C

S

B






opisany na kole


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm


A

C

S

B















A

C

S

r

B A

C

S

r

B A

C

S

r

B






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm






w ten troacutejkąt




troacutejkąt




S

C

A

B






S

C

A

B


S

C

A

B


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm


a) b) c)






3 3 3r = sdot

3 3 3 3r =

3r =












a) ostrokątny

b) prostokątny

c) rozwartokątny




S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm



S

a a

a

rw

S

ro

a a

a

rw

S

ro

a a

a




Zatem 2o wr r=

1

2w

o

r

r=














w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm










w or r h+ =

2o wr r=

2w wr r h+ =

3 3wr h=

1

3wr h=

2

3or h=






rw

S

a a

1

2a 1

2a

2sdot

2 3 3wr a= sdot

3

6w

ar =



6

a

32

wr

a=



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm



czworokąt


punkcie




wpisać okrąg





W ten romb można

wpisać okrąg


wpisać okręgu





8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm



8 cm

8 cm

4 cmrw









1

2or d=

1

2wr a=

2

22

2

1

2

1 aadr

o=sdot==

11 2 2 1222 2 2 2 2

2

w

o

ar aa

r a a a= = sdot = =

1

2

w

o

r

r=

a

a

a a S

rw

ro

d
































AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm




















AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm


AB a d= +

BC c d= +

CD c b= +

AD a b= +

AB CD a d c b+ = + + +

AD BC a b c d+ = + + +

AB CD AD BC + = +

b a

r








a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm




a) b) c)

d) e) f)








TAK NIE



TAK NIE



TAK NIE




długości

a) 6 cm b) 15 cm c) 8 2 cm d) 4 3 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm



roacutewnym

a) 26 3 cm b) 225 3 cm c) 24 3 cm d) 224 3 cm


a) 4 cm b) 18 cm c) 6 2 cm d) 7 6 cm


a) 264 cm b) 2144 cm c) 224 cm d) 250 cm


a) 3 cm b) 7 cm c) 9 3 cm d) 5 6 cm


a) 4 cm b) 12 cm c) 12 3 cm d) 10 6 cm


a) 4 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm


a) 5 cm b) 16 cm c) 14 3 cm d) 6 6 cm











foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm







foremnego












foremnego



















( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm









( )180 45 2 6752



360180

nα

deg= deg minus

360180

20α

deg= deg minus


162α = deg



360180

n





ma miarę 150deg

360180

nα

deg= deg minus

n

degminusdeg=deg

360180150

360150 180

n



36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm


36030 n

n



12n =



A B

C

72deg

72deg

A B

72deg

72deg72deg

72deg

72deg

C

A B

C

72deg

72deg72deg

72deg

72deg




o długości a







o mierze 72deg











foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm






foremnego wpisanego







r r






sześciokąta

a

a

a

a a

a a a

a a

a a A




A

B





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm





D i E



AD BE CF 6 cm= = =



A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F



ciokąt foremny

3 3

2h =

3 3 AE 2 2 3 3

2h= = sdot =








36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm






36

2a

sdot




2 3P 6

4

a= sdot

212 3 144 3

P 6 6 6 36 3 216 34 4







r







3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm



3

6w

ar =

3

3o

ar =

1

2wr a=

2

2o

ar =

3

2w

ar =

or a=









a) 12 cm

b) 15 cm

c) 27 cm

r h=

3

2

ah =

6 3 3 3

2r = =









długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm



długości

a) 4 cm b) 10 cm c) 2 3 cm d) 3 6 cm


a) 4 cm b) 3 3 cm c) 2 5 cm d) 5 6 cm


roacutewna



a) 7 cm b) 13 cm c) 4 2 cm d) 5 3 cm




roacutewnym

a) 224 3 cm b) 227 3 cm

2 c) 212 3 cm d) 236 3 cm


a) 6 cm b) 8 cm c) 3 3 cm d) 6 cm


a) 6 cm b) 15 cm c) 3 6 cm d) 4 3 cm




roacutewna



a) 2 cm b) 8 cm c) 2 3 cm d) 4 7 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm



roacutewna

a) 6 cm b) 15 cm c) 3 3 cm d) 3 6 cm



a) 4 3 cm b) 9 cm c) 2 6 cm d) 21 cm


roacutewna





a) 6 cm b) 9 cm c) 3 3 cm d) 4 5 cm


nym

a) 26 3 cm b) 296 3 cm c) 275 3 cm

2 d) 2144 3 cm


gości

a) 6 cm b) 11 cm c) 6 3 cm d) 2 15 cm








kąt foremny





14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm


14 Krok do egzaminu














5

12










47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm

47

60deg

14 Krok do egzaminu



6 cm

15 cm





Test



TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


TAK NIE


A 5 2 cm B 25 2 cm C 5 cm D 25 cm


A 16 3

cm3

B 4 3 cm C

8 3 cm

3D 64 3 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm



A 27π cm2

B 36π cm2

C 144π cm2

D 48π cm2



A 25 cm B 5 cm C 13 cm D 2 13 cm



A 10 3 cm B 15 cm C

15 3 cm

2D

13 cm

2



jest roacutewne

A 60 cm2

B 80 cm2

C 96 cm2

D 192 cm2






A 16 cm B 24 cm C 48 cm D 96 cm



A 3 2 cm B 2 6 cm C 6 3 cm D 3 6 cm











12 cm

12 cm12 cm

10 cm

16 cm

Documents

CZĘŚĆ 1. WIELOKĄTY I OKRĘGI - Helionedukacja.helion.pl/uploads/pdf/2014/PODRG3.pdf10 Rozdział 1. Wielokąty i okręgi 1.1. Okrąg opisany na wielokącie Moja klasa organizuje