Hipokrates z Chios dowid, e suma pl tzw. ksiycw Hipokratesa rwna si polu powierzchni trjkta ABC. Jak tego dowid?

Czym s ksiyce Hipokratesa?

Konstrukcja ksiycw na trjkcie, prostokcie, trapezie oraz kwadracie.

Obliczanie pola powierzchni i obwodw.

Co mona zauway ?

Hipokrates z Chios joski matematyk i sofista. Otworzy szko geometrii w Atenach, w latach ok. 450 420 p.n.e. Uczy w tej szkole za opat za co usunito go ze szkoy pitagorejczykw. Prowadzc badania nad kwadratur koa odkry ksiyce Hipokratesa. gr. Hippokrates ho Chios,V w. p. n. e

Ksiyce Hipokratesa to dwie figury o paskim ksztacie, przypominajce sierpy Ksiyca, odcite na paszczynie przez uki pokrgw, ktrych rednicami s przyprostoktne oraz pokrgu, ktrego rednic jest przeciwprostoktna trjkta prostoktnego. Suma pl ksiycw Hipokratesa rwna jest polu tego trjkta. Figury te rozwaa Hipokrates z Chios jako konstrukcj pomocnicz w problemie kwadratury koa.

Kwadratura koa to zadanie geometryczne polegajce na skonstruowaniu kwadratu o polu rwnym powierzchni danego koa. Zagadnienie to sformuowano w staroytnej Grecji.Jedn z prb jego rozwizania byy wanie ksiyce Hipokratesa.

Zacznijmy od trjkta. Naley przygotowa odpowiednie przybory do zada konstrukcyjnych, a nastpnie:

I Skonstruowa trjkt prrostoktny.II Opisa na nim okrg.III Wyznaczy rodki przyprostoktnych.IV Z tych rodkw narysowa pokrgi o promieniach rwnych poowie danej przyprostoktnej.V Zacieniowa powstae sierpy ksiyca.VI Otrzymalimy ksiyce Hipokratesa.

Kolejne konstrukcje ksiycw wykonuje si w sposb analogiczny. Najpierw konstruujc dan figur, a nastpnie opisujc na niej okrgi i wyznaczajc rodki wszystkich bokw. Ostatni czynnoci jest narysowanie pokrgw ze wszystkich rodkw o promieniu rwnym boku.

dla prostokta

dla trapezu

dla kwadratu

Obwd ksiycw Hipokratesa jest sum dugoci pokrgu BAC o rednicy c oraz dugoci pokrgw AC i AB o rednicach odpowiednio a i b.

Czyli dla trjkta prostoktnego, to: [2( c)] + [2 ( a)] + [2 ( b)] = = ( c) + ( a) + ( b) = (c+a+b)Obw. = (a+b+c)

Obw. = (a+b+c)Wyprowadzenie wzoru na obwd ksiycw skonstruowanych na prostokcie jest analogiczny. Prostokt rozpatrujemy jako dwa trjkty, czyli:Obw. =2[ (a+b+c)] w zwizku z czym otrzymujemy nastpujcy wzr:

W przypadku gdy wielokt jest prostoktem lub trjktem prostoktnym suma pl ksiycw Hipokratesa jest rwna polu tego prostokta lub trjkta prostoktnego (odpowiednio).

Dowd:P(AC) - pole pkola o rednicy AC,P(AB) - pole pkola o rednicy AB,P(BC) - pole pkola o rednicy BC,P(t) - pole trjkta.Zatem:P(AC) = [( 1/2 a)2 ]= 1/8a2P(AB) = [( 1/2 b)2 ]= 1/8b2P(BC) = [( 1/2 c)2 ]= 1/8c2P(t) = 1/2 ab

P1+P2 => pole ksiycwP1+P2 = [P(AC) + P(AB)] - (P3 + P4 )P3+P4 = P(BC) - P(t)P1+P2 = (1/8a2 + 1/8 b2) - [1/8 c2 - P(t)]P1+P2 = (1/8 a2+ 1/8 b2) - 1/8 c2 + P(t)Z Twierdzenia Pitagorasa: 1/8 a2+ 1/8 b2= 1/8 c2Po podstawieniu:P1+P2 =1/8 c2 - 1/8 c2 + P(t)P1+P2 = P(t)=1/2 abSuma pl tych ksiycw jest rwna polu trjkta prostoktnego.

Dowd na pole ksiycw skonstruowanych na prostokcie jest analogiczny.

czyli dla trjkta:P(ksiycw)= ab

a dla prostokta:P(ksiycw)= ab

Zagadnienie kwadratury koa sprowadza si do konstrukcji za pomoc linijki i cyrkla takiego kwadratu, ktrego pole rwnaoby si polu danego koa.

Podane przez Hipokratesa wyjtkowo proste rozwizanie kwadratury jego ksiycw zachcao wielkie umysy matematyczne do szukania rozwizania kwadratury koa, figury stanowczo prostszej pod wzgldem ksztatu geometrycznego.

Przez przeszo 2000 lat najpotniejsze umysy matematyczne trudz si nad rozwizaniem tego zagadnienia. Niezliczone prby przedstawienia takiej konstrukcji bez wyjtku koczyy si fiaskiem. Przez tysice lat matematycy zajmowali si tym zagadnieniem, nie mogc problemu rozwiza, ani te nie mogc dowie, e jest to niewykonalne. Zainteresowanie tym problemem zamiewa nawet do pewnego stopnia pozostae dwa klasyczne problemy matematyczne staroytnoci - problem trysekcji kta i podwojenia kostki.

W 1883 niemiecki matematyk F. Lindemann udowodni (poprzez udowodnienie przestpnoci liczby tzn. posiadania nieskoczonej liczby cyfr rozwinicia dziesitnego ) niemono dokonania tego za pomoc cyrkla i linijki. W ten sposb udowodniono, e jeden z najstarszych problemw matematycznych kwadratura koa jest niemoliwa.

Kwadratura koa staa si synonimem nierozwizywalnego zadania. Wyraenie to weszo do jzyka potocznego dla okrelenia skazanych na niepowodzenie prb podejmowanych przez kogo, kto upiera si, by zrealizowa co niemoliwego.

Mona zauway, e ksiyce Hipokratesa mona skonstruowa na kadym wielokcie, na ktrym mona opisa okrg (tzn. gdy wszystkie jego wierzchoki le na tym okrgu), czyli:wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne wszystkich jego bokw przecinaj si w jednym punkcie.

Mona rwnie zauway, e ksiyce Hipokratesa skonstruowane na trjkcie prostoktnym rwnoramiennym maj jednakowe pola, co wykorzystuje si przy rozwizywaniu zagadnienia kwadratury ksiycw Hipokratesa.

Rysunek pokazuje, jak za pomoc linijki i cyrkla dochodzimy do kwadratu, ktrego pole rwna si polu ksiyca Hipokratesa jest to tzw. kwadratura ksiyca Hipokratesa. Pole ksiyca I = 1/2 pola trjkta ABC. Trjkt ABC mona podzieli na 4 trjkty prostoktne rwnoramienne AED, CED, CFD, BFD o rwnym polu. Z dwch takich trjktw uoylimy kwadrat - CEDF. Wniosek: pole ksiyca I = polu kwadratu CEDF.

rys.22

rys.24

Encyklopedia powrzechna PWN, Warszawa 1984, wydanie trzecie.Sownik encyklopedyczny MATEMATYKA, wyd. Europa, Wrocaw 1998.Tablice matematyczne, wyd. Podkowa, Gdask 2003.500 zagadek matematyczny (wydanie czwarte), Wiedza Powrzechna, Warszawa 1974. http://pl.wikipedia.org/wiki/Hipokrates_z_Chios http://www.spmargonin.republika.pl/abacus/ksiezyce.htmlhttp://portalwiedzy.onet.pl/50855,,,,ksiezyce_hipokratesa,haslo.htmlhttp://kkk2002ar.w.interia.pl/kshipo.htmlhttp://www.zsee.bytom.pl/~iwona/strona/stronka/pliki/444.html

Dzikuj za uwag