Upload
hatruc
View
257
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
Daftar Isi
Contents ii
Daftar Tabel iii
Daftar Gambar iv
1 Konsep Dasar 1
1.1 Definisi dan Teorema Dalam Kalkulus . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Representasi bilangan dalam komputer . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Software Komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Solusi Persamaan Fungsi Polinomial 10
2.1 Metoda Biseksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Metoda Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Metoda Posisi Palsu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 18
i
DAFTAR ISI ii
3.1 Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Konsep Masalah dalam Aproksimasi . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Solusi Iteratif Untuk Sistem Linier Ax = b . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Fungsi-Fungsi Aproksimasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.1 Interpolasi dan Polinomial Lagrange . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.2 Difrensi Terpisah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.3 Interpolasi Splin Kubik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Solusi Iteratif Integral Terbatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 52
4.1 Metoda Titik Tetap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Metoda Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal 64
5.1 Teori Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 Beberapa Metoda Numeris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.1 Metoda Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.2 Metoda Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.3 Metoda Multistep Linier (MML) . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Daftar Tabel
3.1 Difrensi terpisah langkah maju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Difrensi terpisah langkah mundur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Data f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1 Data hasil eksekusi program iterasi Newton . . . . . . . . . . . . . 61
5.1 Data hasil eksekusi program metoda Runge-Kutta . . . . . . . . . . 79
iii
Daftar Gambar
1.1 Approksimasi oleh p1(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Approksimasi oleh p2(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.1 Diagram aproksimasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Interpolasi polinomial Lagrange p2(x) terhadap f(x) . . . . . . . . . 26
3.3 Approksimasi NFDD p4(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Approksimasi spline kubik S3(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Aturan Trapesium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Aturan Simpson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.7 Konstruksi automobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1 Diagram kekonvekan untuk D ∈ R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Metoda Euler dalam grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Metoda Runge-Kutta order 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
iv
BAB 1
Konsep Dasar
1.1 Definisi dan Teorema Dalam Kalkulus
Pengembangan metoda numerik tidak terlepas dari pengembangan beberapa
definisi dan teorema dalam mata kuliah kalkulus yang berkenaan dengan fungsi
polinomial f(x). Oleh karena itu dibawah ini akan diingatkan kembali beberapa
definisi dan teorema tersebut.
Teorema 1.1.1 (Nilai Tengah) Jika f(x) adalah fungsi kontinyu pada interval
[a, b], dan didefinisikan m = Infa≤x≤b f(x) dan M = Supa≤x≤b f(x) maka ada
sebarang ξ pada interval [m,M ], sehingga paling sedikit satu titik ζ di dalam interval
[a, b] akan memenuhi f(ξ) = ζ
Teorema 1.1.2 (Nilai Rata-Rata) Jika f(x) adalah fungsi kontinyu pada inter-
val [a, b] dan terdefrensialkan pada interval (a, b), maka paling sedikit ada satu titik
ξ dalam (a, b) yang memenuhi f(b)− f(a) = f ′(ξ)(b− a)
Teorema 1.1.3 (Integral Nilai Rata-Rata) Jika w(x) adalah fungsi tak negatif
1
BAB 1. KONSEP DASAR 2
dan terintegralkan pada interval [a, b], dan misal f(x) kontinyu pada [a, b] maka
∫ b
a
w(x)f(x)dx = f(ξ)
∫ b
a
w(x)dx
untuk semua ξ ∈ [a, b]
Teorema 1.1.4 (Teorema Taylor) Jika f(x) mempunyai n+1 turunan kontinyu
pada interval [a, b] untuk beberapa n ≥ 0 dan bila x, x0 ∈ [a, b] maka
f(x) ≈ pn(x) + Rn+1(x) (1.1)
pn(x) = f(x0) +(x− x0)
1!f ′(x0) + · · ·+ (x− x0)
n
n!f (n)(x0) (1.2)
Rn+1(x) =1
n!
∫ x
x0
(x− t)nf (n+1)(t)dt (1.3)
=(x− x0)
n+1
(n + 1)!f (n+1)(ξ) (1.4)
untuk ξ antara x0 dan x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
f(x)
p1(x)
Gambar 1.1: Approksimasi oleh p1(x)
Deret Taylor ini nantinya akan menjadi konsep dasar pengembangan metoda nu-
meris. Beberapa metoda aproksimasi adalah merupakan hasil ekspansi dan pe-
BAB 1. KONSEP DASAR 3
menggalan dari deret ini. Sehingga deret ini sendiri juga merupakan model aproksi-
masi terhadap suatu fungsi f(x) sebagaimana digambarkan dalam contoh berikut
ini.
Contoh 1.1.1 Diketahui f(x) = ln x, tentukan fungsi aproksimasi linear p1(x) dan
kuadratik p2(x) pada x0 = 1, dan gunakan p1(x), p2(x) untuk menghitung ln 1.5.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
f(x)
p2(x)
Gambar 1.2: Approksimasi oleh p2(x)
Penyelesaian 1.1.1 f(x) = ln x maka f(x0) = ln 1 = 0, f ′(x) = 1x
maka f ′(x0) =
1. Dengan menggunakan teori Taylor kita dapatkan
p1(x) = ln 1 + (x− 1).1 = x− 1
p2(x) = ln 1 + (x− 1).1 +1
2(x− 1)2.− 1 = (x− 1)− 1
2(x− 1)2
Dengan demikian ln 1.5 dapat ditentukan dengan cara
ln 1.5 = p1(1.5) = 1.5− 1 = 0.5
ln 1.5 = p2(1.5) = (1.5− 1)− 1
2(1.5− 1)2 = 0.375
Secara grafis aproksimasi dari p1(x) dan p2(x) terhadap f(x) = ln x dapat ditun-
jukkan dalam Gambar 1.2 dan 1.2.
BAB 1. KONSEP DASAR 4
1.2 Representasi bilangan dalam komputer
Komputer dapat melakukan operasi pada bilangan dengan mudah, misal 2 +
2 = 4, 6 : 2 = 3, dengan pasti komputer dapat menjawab dengan benar. Namun
demikian bila komputer mengoperasikan (√
3)2 maka operasi ini tidak dilakukan
dengan cara(3
12
)2= 3 akan tetapi dengan cara melakukan pengakaran bilangan
tiga dua kali kemudian keduanya dikalikan. Dapat dipahami bahwa untuk√
3 =
1.7320508 . . . mempunyai jumlah desimal (digit) yang tidak terbatas sehingga nilai
tersebut hanya merupakan nilai pendekatan.
Dalam hal melakukan pendekatan ini komputer melakukan pemotongan (Chop-
ping) atau pembulatan (Rounding) dan selanjutnya dimungkinkan muncul bebe-
rapa kesalahan yang secara umum dikenal dengan nama kesalahan pembulatan
(Rounding error) dan kesalahan pemotongan (Chopping error).
Selanjutnya untuk merepresentasikan bilangan real, komputer pada umumnya meng-
gunakan sistem ”floating-point” dengan basis bilangan 2 (biner), 8(octal) dan
16(hexadecimal). Sedangkan format penyimpanannya dalam memori komputer
digambarkan sebagai berikut :
x = σ · (·a1a2 . . . at)β · βe, (1.5)
dimana
• a1 6= 0, dan 0 ≤ ai ≤ β − 1, a1 kemudian disebut titik radik.
• σ adalah tanda dengan nilai σ = +1 atau −1, dan β adalah basis.
• e adalah bilangan bulat dengan L ≤ e ≤ U , dimana L, U masing-masing nilai
terkecil dan terbesar.
• (·a1a2 . . . at)β adalah mantisa.
Bila bilangan real x dinyatakan dalam
x = σ · (·a1a2 . . . atat+1 . . . )β · βe, (1.6)
BAB 1. KONSEP DASAR 5
maka representasi pemotongan desimal dapat dinyatakan dalam bentuk floating
point fl(x) sebagai berikut
fl(x) = σ · (·a1a2 . . . at)β · βe (1.7)
Sedangkan representasi pembulatan dapat ditampilkan sebagai
fl(x) =
{σ · (·a1a2 . . . at)β · βe; 0 ≤ at+1 < β
2
σ · [(·a1a2 . . . at)β + (·0 . . . 01)β] · βe; β2≤ at+1 < β
Dalam hal ini fl(x) 6= x, oleh karena itu kesalahan dapat dimunculkan dalam
bentuk ε = x− fl(x), dan kesalahan relatifnya
x− fl(x)
x= εR
dengan demikian
fl(x) = (1− εR)x (1.8)
Jika simbol-simbol operasi mesin komputer dinyatakan dalam ⊕,ª,⊗ dan ® maka
operasi jumlah, kurang, kali dan bagi untuk x dan y dalam komputer dinyatakan
sebagai berikut:
x⊕ y = fl(fl(x) + fl(y))
xª y = fl(fl(x)− fl(y))
x⊗ y = fl(fl(x)× fl(y))
x® y = fl(fl(x)÷ fl(y)).
Dengan demikian komputer melakukan floating point terhadap masing-masing kom-
ponen bilangan sebelum dan sesudah melakukan operasi. Hal ini bertujuan untuk
meminimalkan kesalahan yang dihasilkannya.
Secara umum formulasi nilai kesalahannya dari perhitungan aproksimasi terhadap
xA (niali eksak) oleh xT (nilai aproksimasi), dapat dinyatakan sebagai
E(xA) = xT − xA (1.9)
BAB 1. KONSEP DASAR 6
dan kesalahan relatifnya adalah
Rel(xA) =xT − xA
xT
(1.10)
1.3 Algoritma
Teorema 1.3.1 (Algoritma) Algoritma adalah suatu prosedur yang menggam-
barkan urut-urutan rapi dan logis dengan tujuan memudahkan pengimplementasian
suatu masalah. Selanjutnya, sebagai prosedur logis algoritma harus dapat dengan
mudah diinterpretasikan dalam fungsi-fungsi khusus pada komputer prog-ramming.
Dua simbol yang digunakan dalam algoritma adalah Period (·) dan menunjukan
akhir prosedur, dan titik koma (;) memisahkan tugas dalam beberapa langkah.
Teknik loop (pengulangan) dalam algoritma dapat dinyatakan dengan ’kontrol
penyanggah’
For i = 1, 2, . . . , n
Set xi = ai + i · hataupun ’kontrol bersyarat’
While i < N do Steps 3− 6
if . . . then, if . . . then . . . else
Misal suatu algoritma untuk menghitung
N∑i=1
xi = x1 + x2 + · · ·+ xN ,
dapat diuraikan adalah sebagai berikut
INPUT N, x1, x2, . . . , xn.
OUTPUT SUM=∑N
i=1 xi.
Step 1 Set SUM=0.
BAB 1. KONSEP DASAR 7
Step 2 For i = 1, 2, 3, . . . , N do
set SUM = SUM + xi.
Step 3 OUTPUT (SUM);
STOP.
1.4 Software Komputer
Banyak software programming, baik compiler ataupun semi compiler, yang
dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah numerik, diantaranya adalah
1. Fortran (LINPACK, EISPACK, LAPACK, BLAS, NAG)
2. Matlab yang library-nya berdasarkan EISPACK dan LINPACK + beberapa
Matlab Toolbox
3. Maple, Pascal, Fortran , Turbo C+ dan Turbo Basic, dll.
BAB 1. KONSEP DASAR 8
Latihan Tutorial 1
1. Fungsi aproksimasi sebagian besar didasari oleh pengembangan deret Tay-
lor sebutkan teorema Taylor ini. Bila diketahui f(x) = sin x terapkan
deret Taylor ini untuk menentukan fungsi aproksimasi kuadratik terhadap
f pada x = 0. Kemudian tentukan nilai aproksimasi dari sin 5. Disadari
bahwa dalam menghitung nilai sin 5 anda akan mendapatkan kesalahan nu-
meris sebutkan penyebab kesalahan itu. Selanjutnya untuk mengantisipasi
kesalahan ini diperlukan format penyimpanan yang baik dalam memori kom-
puter, tentukan format tersebut. Dan bila diberikan nilai eksak xA dan
nilai aproksimasi xT , formulasikan kesalahan E(xA) serta relatif kesalahan
Rel(xA).
2. Tentukan konversi dari masing-masing bilangan dibawah ini kedalam bentuk
desimal biasa.
(a) (1010101.101)2
(b) (2A3.FF )16
(c) (.101010101 . . . )2
3. Tentukan fungsi aproksimasi p1(x), p2(x) dan p3(x) dari fungsi dibawah ini
pada x0 = 1.
(a) f(x) = ln x + x
(b) g(x) = x2 + 4x + 2
dan tentukan nilai dari ln 3, melalui fungsi aproksimasi f(x).
4. Gunakan deret Taylor untuk menemukan rumusan dari ex, sin x, cos x, e−x2
dan 11−x
pada x0 = 0
5. Lakukan pembulatan dan pemotongan terhadap bilangan dibawah ini sampai
empat desimal dibelakang koma.
BAB 1. KONSEP DASAR 9
(a) 0.35745397
(b) 4.8975978
(c) −1.098904045
(d) 0.09874329873
dan tentukan nilai kesalahan dan kesalahan relatifnya.
6. Gunakan metoda biseksi untuk menyelesaikan persmaan dibawah ini pada
interval yang diberikan
(a)√
x− cos x = 0 pada interval [0, 1]
(b) x3 − 7x2 + 14x− 6 = 0 pada interval [1, 1.32]
(c) 2x cos x− (x + 1)2 = 0 pada interval [−3,−2]
dengan toleransi ε = 1e− 2
BAB 2
Solusi Persamaan Fungsi
Polinomial
Definition 2.0.1 (Metoda numeris) Metoda numeris adalah suatu model pen-
dekatan dengan menggunakan teknik-teknik kalkulasi berulang (teknik iterasi) untuk
mecari penyelesaian hampiran suatu masalah tertentu. Selanjutnya teknik-teknik
yang digunakan itu mempunyai potensi membuat suatu nilai kesalahan yang dieval-
uasi secara bertahap untuk mendapatkan nilai kesalahan yang sangat kecil.
Untuk mengawali penjelasan teknik-teknik aproksimasi ini, dalam bab ini akan
dimulai dengan pembahasan aproksimasi terhadap suatu titik melalui penyelesaian
persamaan fungsi polinomial.
f := a1xn + a2x
n−1 + a3xn−2 + · · ·+ an = 0
2.1 Metoda Biseksi
Definition 2.1.1 (Prosedur Biseksi) Misal f adalah fungsi kontinyu terdefi-nisi
pada interval [a, b], dimana f(a) berbeda tanda dengan f(b). Dengan teori ”nilai
10
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 11
tengah” maka ada p ∈ (a, b) dengan f(p) = 0 dengan asumsi akar dalam interval
(a, b) adalah tungal. Selanjutnya untuk melakukan perhitungan yang akurat kita set
a1 = a dan b1 = b dan tentukan p1 lewat
p1 =1
2(a1 + b1)
Jika f(p1) = 0, maka p = p1. Jika tidak, f(p1) akan mempunyai tanda yang sama
dengan f(a1) atau f(b1). Jika f(p1) dan f(a1) mempunyai tanda yang sama maka
p ∈ (p1, b1) jika tidak maka p ∈ (a1, p1). Selanjutnya set a2 dan b2 yang baru dan
tentukan p2 melalui perhitungan yang sama dengan p1, dan lakukan pengulangan
sampai tingkat akurasi tertentu.
Untuk menghentikan pengulangan penghitungan dalam mencari solusi yang akurat
harus dikonfirmasikan dengan nilai kesalahan ε (selanjuntya kita sebut toleransi)
dimana toleransi dalam hal ini dapat dipilih
|pn − pn−1| < e
|pn − pn−1||pn| < e, pn 6= 0
|f(pn)| < e
Algoritma Metoda Biseksi
INPUT batas interval a, b, ε (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N)
OUTPUT nilai aproksimasi p
Step 1 Set i=1;
FA = f(a)
Step 2 While i ≤ N do Steps 3-6
Step 3 Set p = a + (b− a)/2;
FP = f(p)
Step 4 IF FP = 0, atau (b− a)/2 < ε
OUTPUT(p)
STOP
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 12
Step 5 Set i = i + 1.
Step 6 If FA · FP > 0 then a = p, FA = FP ;
else Set b = p.
Step 7 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi)
STOP.
2.2 Metoda Newton-Raphson
Jika f ∈ C2[a, b], dan x ∈ [a, b] adalah nilai aproksimasi terhadap p sehingga
f ′(x) 6= 0 dan |x − p| sangat kecil, maka polynomial Taylor dapat dikembangkan
untuk x sebagai:
f(x) = f(x) + (x− x)f ′(x) +(x− x)2
2!f ′′(ξ(x)) + . . .
f(x) = f(x) + (x− x)f ′(x) +(x− x)2
2f ′′(ξ(x)); ξ(x) ∈ (x, x). (2.1)
Jika f(p) = 0 maka untuk x = p persamaan (5.1) menjadi
0 = f(x) + (p− x)f ′(x) +(p− x)2
2f ′′(ξ(p))
Telah diasumsikan |x − p| sangat kecil, maka suku ketiga dapatlah diabaikan se-
hingga
0 = f(x) + (p− x)f ′(x).
Formulasikan untuk p didapat
p ≈ x− f(x)
f ′(x).
Dengan menggati x = pn−1 maka formulasi Newton-Raphson dapat diturunkan
untuk menggeneralisasi suatu deret {pn} melalui
pn = pn−1 − f(pn−1)f ′(pn−1)
, for n ≥ 1. (2.2)
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 13
Sama halnya dengan metoda biseksi, untuk menghentikan pengulangan penghitun-
gan dalam mencari solusi yang akurat harus dikonfirmasikan dengan nilai kesalahan
ε yang telah ditentukan sehingga
|pn − pn−1| < e
|pn − pn−1||pn| < e pn 6= 0
|f(pn)| < e
Algoritma Metoda Newton-Raphson
INPUT nilai awal p0, ε (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N)
OUTPUT nilai aproksimasi p
Step 1 Set i=1;
Step 2 While i ≤ N do Steps 3-6
Step 3 Set p = p0 − f(p0)/f′(p0);
Step 4 IF |p− p0| < ε
OUTPUT(p)
STOP.
Step 5 Set i = i + 1.
Step 6 Set p0 = p (Perbaharui p0)
Step 7 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi)
STOP.
Metoda Newton ini lebih baik dibandingkan metoda Biseksi, namun demikian
proses menentukan f ′(x) kadangkala merupakan proses yang lebih susah diban-
dingkan dengan operasi artmatikanya. Untuk menghindari hal tersebut dikem-
bangkan metoda berikut. Ingat definisi turunan
f ′(pn−1) = limx→pn−1
f(x)− f(pn−1)
x− pn−1
.
Misal x = pn−2 maka
f ′(pn−1) ≈ f(pn−2)− f(pn−1)
pn−2 − pn−1
=f(pn−1)− f(pn−2)
pn−1 − pn−2
.
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 14
Substitusikan rumusan ini kedalam rumusan Newton diperoleh rumus:
pn = pn−1 − f(pn−1)(pn−1−pn−2)f(pn−1)−f(pn−2)
. (2.3)
Rumus ini kemudian disebut Metoda Secant
Algoritma Metoda Secant
INPUT nilai awal p0, p1, ε (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N)
OUTPUT nilai aproksimasi p
Step 1 Set i=2;
q0 = f(p0).
q1 = f(p1).
Step 2 While i ≤ N do Steps 3-6
Step 3 Set p = p1 − q1(p1 − p0)/(q1 − q0). (hitung pi)
Step 4 IF |p− p1| < ε
OUTPUT(p)
STOP.
Step 5 Set i = i + 1.
Step 6 Set p0 = p1; (Perbaharui p0, q0, p1, q1)
q0 = q1;
p1 = p;
q1 = f(p).
Step 8 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi)
STOP.
2.3 Metoda Posisi Palsu
Metoda ini menggabungkan ide metoda biseksi dan metoda secant. Dalam
penyelesaian f(x) = 0, ditentukan suatu interval [p0, p1] dimana f kontinyu pada
interval ini, dan f(p0).f(p1) < 0 (berlawanan tanda). Prosedur selanjutnya dapat
dilihat dalam algoritma berikut ini.
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 15
Algoritma Metoda Posisi Palsu
INPUT nilai awal p0, p1, ε (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N)
OUTPUT nilai aproksimasi p
Step 1 Set i=2;
q0 = f(p0).
q1 = f(p1).
Step 2 While i ≤ N do Steps 3-7
Step 3 Set p = p1 − q1(p1 − p0)/(q1 − q0). (hitung pi)
Step 4 IF |p− p1| < ε
OUTPUT(p)
STOP.
Step 5 Set i = i + 1.
q = f(p)
Step 6 IF q · q1 < 0 maka p0 = p1, q0 = q1
Step 7 p1 = p1, q1 = q
Step 8 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi)
STOP.
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 16
Latihan Tutorial 2
1. Gunakan algoritma biseksi untuk menentukan anilai aproksimasi pada√
3
dan 3√
25
2. Suatu model yang dipakai untuk mengadakan aproksimasi terhadap suatu
masalah adalah metoda numeris, sebutkan definisi formal metoda ini. Selan-
jutnya implikasi dari penggunaan metoda ini, komputer programming meru-
pakan hal yang sangat penting. Untuk mempermudah menginterpretasikan
suatu metoda menjadi suatu programming dibutuhkan algoritma, jelaskan
apa yang disebut dengan algoritma.
Salah satu algoritma yang digunakan untuk menginterpretasikan proses kalku-
lasi metoda numeris adalah metoda Newton-Raphson dengan rumusan
pn = pn−1 − f(pn−1)
f ′(pn−1), untuk n ≥ 1
Metoda ini adalah metoda yang cukup terkenal, namun proses menentukan
f ′(x) kadangkala merupakan proses yang lebih sulit dibandingkan dengan
operasi artmatiknya. Untuk menghindari hal tersebut ditawarkan metoda
lain yaitu Metode Secant dengan rumus
pn = pn−1 − f(pn−1)(pn−1 − pn−2)
f(pn−1)− f(pn−2)untuk n ≥ 1.
Uraikan bagaimana metoda Newton dikembangkan sehingga menjadi meto-
da Secant ini. Kemudian bila kalkulasi iteratif diterapkan terhadap metoda
ini, maka kalkulasi berulang (looping) akan terus dilakukan, jelaskan apa
yang harus dilakukan untuk menghentikan kalkulasi tersebut.
3. f(x) = −x3 − cos x dan p0 = −1, gunakan metoda Newton Raphson untuk
menentukan p2
4. Gunakan algoritma Newton untuk menentukan masing-masing soal dibawah
ini dengan tingkat ketelitian (toleransi) e = 1e− 5
BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 17
(a) ex + 2−x + 2 cos x− 6 = 0 untuk [1,2]
(b) ln(x− 1) + cos(x− 1) = 0 untuk [1.3,2]
(c) 2x cos 2x− (x− 2)2 = 0 untuk [2,3]
5. Ulangi soal nomor 8 diatas dan gunakan metoda secant
6. Ulangi soal nomor 8 diatas dan gunakan metoda posisi palsu
BAB 3
Interpolasi dan Aproksimasi
Polinomial
3.1 Norm
Definisi 3.1.1 (Norm vektor) Norm vektor adalah pemetaan dari suatu fungsi
terhadap setiap x ∈ IRN yang disimbolkan dengan ||x|| sedemikian hingga memenuhi
sifat-sifat dibawah ini
1. ||x|| > 0 untuk x 6= 0, atau ||x|| = 0, untuk x = 0
2. ||αx|| = α||x||
3. ||x + y|| ≤ ||x||+ ||y||
Contoh
||x||1 =n∑
i=1
|xi|
||x||2 =
( n∑i=1
|xi|2) 1
2
, (Norm Euclid)
18
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 19
||x||p =
( n∑i=1
|xi|p) 1
p
||x||∞ = max1≤i≤n
|xi|
Definisi 3.1.2 (Norm matrik) Norm matrik adalah pemetaan dari suatu fungsi
terhadap setiap x ∈ IRN×N yang disimbolkan dengan ||A|| sedemikian hingga memenuhi
sifat-sifat dibawah ini
1. ||A|| > 0 untuk A 6= 0, atau ||A|| = 0, untuk A = 0
2. ||αA|| = α||A||
3. ||A + B|| ≤ ||A||+ ||B||
4. ||AB|| ≤ ||A||||B||
Contoh
||A||F =
( n∑i=1
n∑j=1
|aij|2) 1
2
(Norm Frobenius)
||A||v = maxx 6=0
||Ax|v||x||v
Definisi 3.1.3 (Ruang Linier (RL)) Himpunan F dikatakan suatu ruang lini-er
bila operasi penjumlahan dan perkalian terdefinisi didalamnya sehingga f · g ∈ F
dan αf + βg ∈ F untuk ∀f, g ∈ F .
Definisi 3.1.4 (Ruang Linier Norm (RLN)) F dikatakan ruang linier norm
bila F adalah merupakan RL dan terdapat fungsi norm sehingga
1. ||f || > 0 untuk f 6= 0, atau ||f || = 0, untuk f = 0
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 20
2. ||αf || = α||f ||
3. ||f + g|| ≤ ||f ||+ ||g||
untuk semua f, g ∈ F
3.2 Konsep Masalah dalam Aproksimasi
Misal f ∈ F dan f /∈ P maka masalah dalam aproksimasi sebenarnya adalah
menentukan p∗ ∈ P sedemikian hingga
||f − p∗|| ≤ ||f − p||, ∀p ∈ P
kemudian p∗ dikatakan suatu aproksimasi terbaik terhadap f . Hal ini dapat digam-
barkan dalam diagram Venn berikut ini
pp*
P
Ff
Gambar 3.1: Diagram aproksimasi
Beberapa fungsi aproksimasi p(x) untuk menghampiri fungsi f(x) dalam F =
C[a, b] adalah sebagai berikut
• P = {p : p(x) = a1 + a2x + · · ·+ anxn−1}
• P = {p : p(x) =∑n
r=1 arφr, ar ∈ <, φr ∈ C[a, b]}
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 21
• P = {p : p(x) =Pn
0 arxrPn0 brxr }
• P = {p : p(x) =∑n
r=1 αreλrx}.
Sedangkan dalam F = IRN adalah P = {p : p(x) =∑n
r=1 arφr, ar ∈ IRN , φrIRN}
Teorema 3.2.1 (Teorema Weirstrass) Misal f terdefinisi dan terdifrensialkan
pada interval [a, b] maka terdapat polinomial p(x) yang juga terdefinisi dan ter-
difrensialkan pada interval tersebut sedemikian hingga untuk nilai ε > 0 berlaku
||f(x)− p(x)|| < ε,
dan ∀x ∈ [a, b]
Contoh
F = C[a, b] dan f ∈ F , tunjukkan bahwa berikut dibawah ini merupakan RLN
||f ||p =
( ∫ b
a
|f(x)|pdx
) 1p
; 1 ≤ p ≤ ∞||f ||∞ = max
a≤x≤b|f(x)|
3.3 Solusi Iteratif Untuk Sistem Linier Ax = b
Suatu sistem linier dapat digambarkan sebagai
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1;
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2;
a31x1 + a32x2 + · · ·+ a3nxn = b3; (3.1)...
annx1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn.
Bila A merupakan matrik yang memuat koefisien variabel x1, x2, . . . , xn maka sis-
tem linier itu dapat direduksi sistem Ax = b. Ada banyak metoda yang dapat
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 22
digunakan dalam menyelesaikan sistem ini. Diantaranya metoda langsung dan
metoda iteratif. Namun demikian sesuai dengan perkembangan hardware dan soft-
ware komputer solusi dengan metoda iteratif ini menjadi sangat populer dan terus
dikembangkan.
Metoda langsung memanfaakan konsep invers dalam matrik sehingga sistem Ax =
b dapat diselesaikan melalui
A−1Ax = A−1b
x = A−1b
Teknik ini dipandang tidak efisien dan efektif, bahkan dimungkinkan suatu sistem
tidak dapat diselesaikan karena proses kalkulasi panjang yang harus dikerjakan,
yaitu berkenaan dengan penghitungan invers matrik A.
Metoda iteratif menguraikan matrik A ini kedalam unsur matrik yang lebih seder-
hana dan mudah dihitung oleh komputer. Misal A=D-L-U, dimana D adalah
matrik diagonal, L adalah negatif matrik segitiga bawah satu tahap dibawah diag-
onal utama dan U adalah negatif matrik segiatiga atas satu tahap diatas diagonal
utama maka sistem diatas dapat dinyatakan sebagai berikut
(D− L−U)x = b (3.2)
Dx− (L + U)x = b
Dx = (L + U)x + b
x = D−1(L + U)x + D−1b
x = D−1(L + U)x + D−1b.
Misal J = D−1(L + U) maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai
xj+1 = Jxj + D−1b. (3.3)
Metoda ini disebut metoda Jacobi.
Untuk meningkatkan kecepatan tingkat konvergensi dari metoda Jacobi, ditetap-
kanlah suatu koefisien redaman ω ∈ < sebagai faktor akselerasi terhadap metoda
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 23
ini sedemikian hingga dapat disajikan dengan bentuk dibawah ini
xj+1 =[(1− ω)I + ωJ
]xj + ωD−1b. (3.4)
Metoda ini disebut metoda Jacobi teredam (damped Jacobi).
Bentuk lain dari penyederhanaan (3.2) adalah sebagai berikut
(D− L)x−Ux = b
(D− L)x = Ux + b
x = (D− L)−1Ux + (D− L)−1b
Misal G = (D− L)−1U maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai
xj+1 = Gxj + (D− L)−1b (3.5)
Metoda ini disebut metoda Gauss-Seidel.
Metoda-metoda iteratif ini dihitung berdasarkan suatu nilai awal yang dalam hal
ini x0, kemudian dengan rumusan itu dilanjutkan perhitungan untuk x1, x2, . . .
sehingga diperoleh deret {xi}ni=0. Deret ini akan konvergen terhadap nilai eksak
x. Dapat dilihat disini bahwa proses penghitungan secara berulang terjadi se-
hingga dinamakan model solusi iteratif. Untuk menghentikan proses pengulangan
ini, hasilnya harus dikonfirmasikan dengan toleransi ε yang dalam hal ini dapat
ditentukan dari nilai dibawah ini
ε = ||b− Ax||1ε = ||b− Ax||2ε = ||b− Ax||∞
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 24
3.4 Fungsi-Fungsi Aproksimasi
3.4.1 Interpolasi dan Polinomial Lagrange
Polinomial Taylor yang sementara ini sudah cukup baik melakukan interpo-
lasi terhadap suatu fungsi masih memiliki kelemahan diantaranya kekurangaku-
ratan melakukan suatu aproksimasi. Hal ini disebabkan polinomial ini melakukan
aproksimasi hanya berdasarkan satu titik tertentu. Dengan demikian interpolasi
yang paling akurat hanya terjadi disekitar titik itu. Oleh karena itu diperlukan
eksplorasi terhadap polinomial lainnya, polinomial Lagrange misalnya.
Polinomial ini mengembangkan interpolasi terhadap suatu fungsi dibeberapa titik
terhubung, sehingga interpolasinya berdasarkan titik-titik yang telah ditentukan
terlebih dahulu pada fungsi itu. Semakin dekat jarak penentuan titik yang satu
dengan titik yang lainnya semakin akurat aproksimasinya. Dengan kata lain tingkat
akurasinya ditentukan oleh kedekatan antara titik-titik (grid) pada fungsi tadi.
Teorema 3.4.1 (Polinomial Langrange ke-n) Jika x0, x1, x2, . . . adalah bilan-
gan berbeda dan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada titik-titik ini, maka ada
dengan tungggal suatu polinomial p(x) berderajad paling besar n yang memenuhi
sifat-sifat berikut
f(x) = p(x)
dimana
pk(x) = f(x0)Ln,0(x) + · · ·+ f(xn)Ln,n(x) =n∑
k=0
f(xk)Ln,k(x)
dan
Ln,k(x) =n∏
i=0i6=k
(x− xi)
(xk − xi)
untuk k=0,1,2,. . . , n
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 25
Dalam hal ini Ln,k(x) dapat ditulis dngan Lk(x) bila dianggap rancu dengan
pengertian derajad n. Polinomial Lagrange ini memenuhi sifat sebagai berikut:
Ln,k(xi) =
{0 jika i 6= k
1 jika i = k
Contoh 1 Gunakan titik-titik x0 = 2, x1 = 2.5 dan x2 = 4 untuk menentukan
interpolasi polinomial kedua terhadap f(x) = 1/x.
Solusi 1
L0(x) =(x− 2.5)(x− 4)
(2− 2.5)(2− 4)= (x− 6.5)x + 10
L1(x) =(x− 2)(x− 4)
(2.5− 2)(2.5− 4)=
(−4x + 24)x− 32
3
L2(x) =(x− 2)(x− 2.5)
(4− 2)(4− 2.5)=
(x− 4.5)x + 5
3
jika f(x0) = f(2) = 0.5, f(x1) = f(2.5) = 0.4, f(x2) = f(4) = 0.25, maka didapat
p2(x) =2∑
k=0
f(xk)Lk(x)
= 0.5((x− 6.5)x + 10) + 0.4(−4x + 24)x− 32
3+ 0.25
(x− 4.5)x + 5
3= (0.05x− 0.425)x + 1.15
Interpolasi oleh p2(x) terhadap f(x) dapat digambarkan dibawah ini
3.4.2 Difrensi Terpisah
Difrensi terpisah menyempurnakan interpolasi polinomial Lagrange dengan mengek-
spresikan bentuk pn(x) dalam
pn(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)(x− x1) + . . .
+an(x− x0)(x− x1) . . . (x− xn−1) (3.6)
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 26
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
f(x)
p2(x)
Gambar 3.2: Interpolasi polinomial Lagrange p2(x) terhadap f(x)
dimana a0, a1, . . . , an adalah konstanta.
Selanjutnya bila kita tentukan x = x0 maka persamaan (3.6) menjadi
pn(x0) = a0 = f(x0) ≈ f [x0], (3.7)
dan x = x1 maka
pn(x1) = a0 + a1(x1 − x0) = f(x1),
pn(x1) = f(x0) + a1(x1 − x0) = f(x1),
sehingga
a1 =f(x1)− f(x0)
x1 − x0
≈ f [x0, x1], (3.8)
dengan demikian dapat dikatakan
f [xi, xi+1] =f [xi+1]− f [xi]
xi+1 − xi
(3.9)
dan
f [xi, xi+1, xi+2] =f [xi+1, xi+2]− f [xi, xi+1]
xi+2 − xi
(3.10)
sehingga difrensi terpisah ke k
f [xi, xi+1, . . . , xi+k] =f [xi+1, xi+2, . . . , xi+k]− f [xi, xi+1, . . . , xi+(k−1)]
xi+k − xi
. (3.11)
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 27
Dan terakhir persamaan (3.6) menjadi
pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x− x0) + f [x0, x1, x2](x− x0)(x− x1) + . . .
+f [x0, x1, . . . , xn](x− x0)(x− x1) . . . (x− xn−1) (3.12)
Selanjuntya untuk
x = x0 + sh
x = xi + (s− i)h atau h =x− xi
s− i, i = 0, 1, 2, . . . , n
maka
pn(x) = pn(x0 + sh)
= f [x0] + shf [x0, x1] + s(s− 1)h2f [x0, x1, x2] + · · ·+ s(s− 1) . . .
(s− (n− 1))hnf [x0, x1, . . . , xn] (3.13)
=n∑
k=0
s(s− 1) . . . (s− k + 1)hkf [x0, x1, . . . , xk] (3.14)
Bukti
Pada suku kedua dari persamaan (3.13) h dapat diganti dengan h = x−x0
s, pada
suku ketiga h2 dapat diganti dengan h · h =
(x−x0
s
)(x−x1
s−1
)begitu juga suku
keempat, kelima dan seterusnya.
Sekarang kita nyatakan (3.14) dalam ekspresi
pn(x) = pn(x0 + sh) =n∑
k=0
(s
k
)k!hkf [x0, x1, . . . , xk]
dimana (s
k
)=
s(s− 1) . . . (s− k + 1)
k!
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 28
Dan diperkenalkan difrensi langkah maju sebagai berikut
4f(xn) = f(xn+1)− f(xn)
f [x0, x1] =f(x1)− f(xn)
x1 − x0
=1
h4 f(x0)
f [x0, x1, x2] =f [x1, x2]− f [x0, x1]
x2 − x0
=1
2h[1
h4 f(x2)− 1
h4 f(x0)]
=1
2h24 f(x0)
sehingga
f [x0, . . . , xk] =1
k!hk4k f(x0) (3.15)
x f(x) D. T. I D. T. II D. T. III
x0 f [x0]
f [x0, x1]
x1 f [x1] f [x0, x1, x2] = f [x1,x2]−f [x0,x1]x2−x0
f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3] =f [x1,x2,x3]−f [x0,x1,x2]
x3−x0
x2 f [x2] f [x1, x2, x3] = f [x2,x3]−f [x1,x2]x3−x1
f [x2, x3] f [x1, x2, x3, x4] =f [x2,x3,x4]−f [x1,x2,x3]
x4−x1
x3 f [x3] f [x2, x3, x4] = f [x3,x4]−f [x2,x3]x4−x2
f [x3, x4] f [x2, x3, x4, x5] =f [x3,x4,x5]−f [x2,x3,x4]
x5−x2
x4 f [x4] f [x3, x4, x5] = f [x4,x5]−f [x3,x4]x5−x3
f [x4, x5]
x5 f [x5]
Tabel 3.1: Difrensi terpisah langkah maju.
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 29
Substitusikan ini kedalam persamaan
pn(x) = pn(x0 + sh) =n∑
k=0
(s
k
)k!hkf [x0, x1, . . . , xk]
maka diperoleh bentuk
pn(x) = pn(x0 + sh) =∑n
k=0
(s
k
)4k f(x0).
Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Maju Newton (NFDD). Untuk
mempermudah dapat disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah maju seba-
gaimana tabel 3.1.
Selanjutnya bila urutan itu dibalik yaitu xn, xn−1, xn−2, . . . , x0, maka pn(x) dapat
dinyatakan dalam
pn(x) = a0 + a1(x− xn) + a2(x− xn)(x− xn−1) + . . .
+an(x− xn)(x− xn−1) . . . (x− x1) (3.16)
dimana a0, a1, . . . , an adalah konstanta.
Misal kita tentukan x = xn maka persamaan (3.16) menjadi
pn(xn) = a0 = f(xn) ≈ f [xn], (3.17)
dan untuk x = xn−1 maka
pn(xn−1) = a0 + a1(xn−1 − xn) = f(xn−1),
pn(xn−1) = f(xn) + a1(xn−1 − xn) = f(xn−1),
sehingga
a1 =f(xn−1)− f(xn)
xn−1 − xn
=f(xn)− f(xn−1)
xn − xn−1
≈ f [xn, xn−1]. (3.18)
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 30
Dengan demikian persamaan (3.16) menjadi
pn(x) = f [xn] + f [xn, xn−1](x− xn) + f [xn, xn−1, xn−2](x− xn)(x− xn−1) + . . .
+f [xn, xn−1, . . . , x0](x− xn)(x− xn−1) . . . (x− x1) (3.19)
Selanjutnya untuk
x = xn + sh
x = xn−i + (s + i)h atau h =x− xn−i
s + i, i = 0, 1, 2, . . . , n− 1
maka
pn(x) = pn(xn + sh)
= f [xn] + shf [xn, xn−1] + s(s + 1)h2f [xn, xn−1, xn−2] + · · ·+ s(s + 1) . . .
(s + (n− 1))hnf [xn, xn−1, . . . , x0] (3.20)
=n∑
k=0
s(s + 1) . . . (s + k − 1)hkf [xn, xn−1, . . . , x0]
Bukti
Pada suku kedua dari persamaan (3.16) h dapat diganti dengan h = xn−xn−1
s, pada
suku ketiga h2 dapat diganti dengan h ·h =
(xn−xn−1
s
)(x−xn−2
s+1
)begitu juga suku
keempat, kelima dan seterusnya.
Sehingga kita memiliki ekspresi
pn(x) = pn(x0 + sh) =n∑
k=0
(−1)k
(−s
k
)k!hkf [xn, xn−1, . . . , x0]
dimana (s
k
)= (−1)k s(s− 1) . . . (s− k + 1)
k!
Diperkenalkan juga bentuk difrensi langkah mundur
5f(xn) = f(xn)− f(xn−1); n ≥ 1
5kf(xn) = 5(5k−1f(xn)); k ≥ 2
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 31
maka
x f(x) D. T. I D. T. II D. T. III
x0 f [x0]
f [x1, x0]
x1 f [x1] f [x2, x1, x0] = f [x1,x0]−f [x2,x1]x0−x2
f [x2, x1] f [x3, x2, x1, x0] =f [x2,x1,x0]−f [x3,x2,x1]
x0−x3
x2 f [x2] f [x3, x2, x1] = f [x2,x1]−f [x3,x2]x1−x3
f [x3, x2] f [x4, x3, x2, x1] =f [x3,x2,x1]−f [x4,x3,x2]
x1−x4
x3 f [x3] f [x4, x3, x2] = f [x3,x2]−f [x4,x3]x2−x4
f [x4, x3] f [x5, x4, x3, x2] =f [x4,x3,x2]−f [x5,x4,x3]
x2−x5
x4 f [x4] f [x5, x4, x3] = f [x4,x3]−f [x5,x4]x3−x5
f [x5, x4]
x5 f [x5]
Tabel 3.2: Difrensi terpisah langkah mundur.
f [xn, xn−1] =f(xn)− f(xn−1)
xn − xn−1
=1
h5 f(xn)
f [xn, xn−1, xn−2] =f [xn, xn−1]− f [xn−1, xn−2]
xn − xn−2
=1
2h252 f(xn)
dan akhirnya
f [xn, xn−1, . . . , x0] =1
k!hk5k f(xn) (3.21)
Substitusikan ini kedalam persamaan
pn(x) = pn(x0 + sh) =n∑
k=0
(−1)k
(−s
k
)k!hkf [xn, xn−1, . . . , x0]
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 32
maka diperoleh bentuk
pn(x) = pn(x0 + sh) =∑n
k=0(−1)k
(−s
k
)5k f(xn).
Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Mundur Newton (NBDD).
Dalam hal ini dapat pula disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah mudur yang
disajikan dalam Tabel 3.2.
Contoh 2 Suatu data diberikan dalam tabel berikut ini Tentukan interpolasi difrensi
x f(x)
1.0 0.7651977
1.3 0.6200860
1.6 0.4554022
1.9 0.2818186
2.2 0.1103623
Tabel 3.3: Data f(x)
terpisal langkah maju p4 terhadap data tersebut dan tentukan nilai aproksimasi dari
f(1.5).
Solusi 2 Dengan menggunakan difrensi terpisah langkah maju didapatkan tabel
berikut ini
Sehingga formulasi dari NFDD adalah sebagai berikut
p4(x) = 0.7651977− 0.4837057(x− 1.0)− 0.1087339(x− 1.0)(x− 1.3) + 0.0658784
.(x− 1.0)(x− 1.3)(x− 1.6) + 0.0018251(x− 1.0)(x− 1.3)(x− 1.6)(x− 1.9)
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 33
i xi f [xi] FDD I FDD II FDD III FDD IV
0 1.0 0.7651977
-0.4837057
1 1.3 0.6200860 -0.1087339
-0.5489460 0.0658784
2 1.6 0.4554022 -0.0494433 0.0018251
-0.5786120 0.0680685
3 1.9 0.2818186 0.0118183
-0.5715210
4 2.2 0.1103623
Selanjutnya dapat ditentukan
f(1.5) ≈ p4(1.5) = 0.5118200
Gambar dibawah ini menunjukkan bagaimana p4(x) menginterpolasi data f(x)
0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
p4(x)
Gambar 3.3: Approksimasi NFDD p4(x)
3.4.3 Interpolasi Splin Kubik
Definisi 3.4.1 Fungsi f terdefinisi pada interval [a, b] dan diberikan himpunan
titik x0, x1, . . . , xn dimana a = x0 < x1 < · · · < xn = b, maka interpolasi splin
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 34
kubik S untuk f adalah suatu fungsi yang memenuhi beberapa sarat berikut ini
1. S(x) adalah fungsi polinomial kubik, dinotasikan dengan Sj(x), yang terdefin-
isi pada subinterval [xj, xj+1] untuk masing-masing j = 0, 1, . . . , n− 1;
2. S(xj) = f(xj) untuk setiap j = 0, 1, . . . , n;
3. Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) untuk setiap j = 0, 1, . . . , n− 2;
4. S ′j+1(xj+1) = S ′j(xj+1) untuk setiap j = 0, 1, . . . , n− 2;
5. S ′′j+1(xj+1) = S ′′j (xj+1) untuk setiap j = 0, 1, . . . , n− 2;
6. dan satu diantara sarat batas berikut terpenuhi
(a) S ′′(x0) = S ′′(xn) = 0 (sarat batas bebas atau alami);
(b) S ′(x0) = f ′(x0) dan S ′(xn) = f ′(xn) (sarat batas terikat);
Selanjutnya jika sarat batas bebas yang terjadi maka splin ini dinamakan Splin
Alami, dan sebaliknya bila sarat batas terikat yang terjadi maka disebut Splin
Terikat.
Splin Kubik Alami
Untuk membangun splin kubik ini pertama kali kita tulis interpolasi plonomial
kubik
Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)
3; j = 0, 1, . . . , n− 1 (3.22)
Untuk x = xj, maka
Sj(xj) = aj = f(xj) (3.23)
dan untuk x = xj+1 maka
aj+1 = Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) = aj + bj(xj+1− xj) + cj(xj+1− xj)2 + dj(xj+1− xj)
3
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 35
j = 0, 1, . . . , n− 2. Bila hj = xj+1 − xj
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh
3j ; j = 0, 1, . . . , n− 1 (3.24)
Sekarang didefinisikan bn = S ′n(x) dan turunan pertama (3.22) adalah
S ′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2
sehingga
bj+1 = S ′j+1(xj+1) = S ′j(xj+1), (lihat poin5 . pada definisi)
= bj + 2cjhj + 3djh2j ; j = 0, 1, . . . , n− 1. (3.25)
Sekarang permisalkan c = S′′n(x)2
, dan turunan kedua dari (3.22) adalah
S ′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)
sehingga
cj+1 = cj + 3djhj
dj =(cj+1 − cj)
3hj
(3.26)
Substitusikan persamaan ini ke (3.24)dan (3.25) didapat
aj+1 = aj + bjhj + cjh2j +
(cj+1 − cj)h3j
3hj
;
= aj + bjhj +h2
j
3(2cj + cj+1) (3.27)
dan
bj+1 = bj + 2cjhj + 3(cj+1 − cj)h
2j
3hj
;
= bj + hj(cj + cj+1) (3.28)
Ekspresikan persamaan (3.27) dalam bj dan kemudian reduksi indeknya satu kali
bj =1
hj
(aj+1 − aj)− hj
3(2cj + cj+1). (3.29)
bj−1 =1
hj−1
(aj − aj−1)− hj−1
3(2cj−1 + cj). (3.30)
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 36
Reduksi juga indek dari persamaan (3.28) satu kali
bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (3.31)
Substitusikan (3.29) dan (3.30) ke (3.31)
1
hj
(aj+1 − aj)− hj
3(2cj + cj+1) =
1
hj−1
(aj − aj−1)− hj−1
3(2cj−1 + cj)
+hj−1
3(2cj−1 + cj).
Kelompokkan seluruh variabel c keruas kiri
hj−1
3(2cj−1 + cj)− hj−1(cj−1 + cj)− hj
3(2cj + cj+1) = − 1
hj
(aj+1 − aj)
+1
hj−1
(aj − aj−1)
−hj−1(2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj) + hj(2cj + cj+1) =3
hj
(aj+1 − aj)
− 3
hj−1
(aj − aj−1)
Dengan demikian diperoleh bentuk indek berurut dari koefisien c
hj−1cj−1 + 2(hj−1 + hj)cj + hjcj+1 =3
hj
(aj+1 − aj)− 3
hj−1
(aj − aj−1), (3.32)
dimana j = 1, 2, . . . , n− 1.
Splin kubik alami memenuhi kondisi S ′′(x0) = S ′′(xn) = 0, dengan demikian
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 37
masing-masing j dapat diformulasikan sebagai berikut
j = 0 → c0 = 0;
j = 1 → h0c0 + 2(h0 + h1)c1 + h1c2 =3
h1
(a2 − a1)− 3
h0
(a1 − a0);
j = 2 → h1c1 + 2(h1 + h2)c2 + h2c3 =3
h2
(a3 − a2)− 3
h1
(a2 − a1); ;
...
j = n− 1 → hn−2cn−2 + 2(hn−2 + hn−1)cn−1 + hn−1cn =3
hn−1
(an − an−1)
− 3
hn−2
(an−1 − an−2);
j = n → cn = 0.
Persamaan ini terdiri dari n persamaan dan n variable cj yang akan dicari, dengan
kata lain menyelesaikan persamaan ini adalah sama dengan menyelesaikan suatu
sistem linier Ax = b, dimana
A =
1 0 0 0
h0 2(h0 + h1) h1
0 h1 2(h1 + h2) h2
0
hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−1
0 0 0 1
dan
b =
03h1
(a2 − a1)− 3h0
(a1 − a0)3h2
(a3 − a2)− 3h1
(a2 − a1)...
3hn−1
(an − an−1)− 3hn−2
(an−1 − an−2)
0
, x =
c0
c1
c2
...
cn−1
cn
Matrik A adalah matrik yang elemennya mendominasi diagonal sejajar dengan
diagonak utama (strictly diagonally dominant), diluar itu nilainya nol. Hal ini
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 38
membantu dalam melakukan kalkulasi untuk x. Dengan menggunakan metoda it-
eratif, sistem linier itu dapat diselesaikan dengan mudah.
Algoritma splin kubik alami
INPUT n; x0, x1, . . . , xn; a0 = f(x0), . . . , an = f(xn).
OUTPUT aj, bj, cj, dj, untuk j = 1, 2, . . . , n− 1(Catatan : Sj(xj) =
aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)
3 untuk xj ≤ x ≤ xj+1.)
Step 1 for i = 0, 1, . . . , n− 1 dan Set hi = xi+1 − xi.
Step 2 for i = 1, . . . , n− 1 dan Set
αi =3
hi
(ai+1 − ai)− 3
hi−1
(ai − ai−1)
Step 3 Set l0 = 1(Langkah 3,4,5 dan sebagian dari 6 adalah algoritma
untuk menyelesaikan sistem linier tridiagonal Ax = b)
µ0 = 0;
z0 = 0.
Step 4 for i = 1, 2, . . . , n− 1
set li = 2(xi+1 − xi−1)− hi−1µi−1;
µi = hi/li;
zi = (αi − hi−1zi−1)/li.
Step 5 Set ln = 1;
zn = 0;
cn = 0.
Step 6 for j = n− 1, n− 2, . . . , 0
set cj = zj − µjcj+1;
bj = (aj+1 − aj)/hj − hj(cj+1 + 2cj)/3;
dj = (cj+1 − cj)/(3hj).
Step 7 OUTPUT(aj, bj, cj, dj, untuk j = 1, 2, . . . , n− 1);
STOP.
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 39
Contoh 3 Tentukan interpolasi splin kubik pada data berikut ini
xj aj = f(xj)
0 0
1 1
2 3
3 2
Solusi 3 Polinomial kubik dalam hal ini adalah
Sj(xj) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)
3,
dimana j = 1, . . . , n − 1. Karena n = 3 maka j = 1, 2, dengan asumsi j = 0 →c0 = 0 dan j = 3 → c3 = 0 sehingga
A =
1 0 0 0
h0 2(h0 + h1) h1 0
0 h1 2(h1 + h2) h2
0 0 0 1
dan
b =
03h1
(a2 − a1)− 3h0
(a1 − a0)3h2
(a3 − a2)− 3h1
(a2 − a1)
0
, x =
c0
c1
c2
c3
Dengan memasukkan nilai hj dan aj dapatlah diperoleh matrik dan vektor sebagai
berikut
A =
1 0 0 0
1 4 1 0
0 1 4 1
0 0 0 1
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 40
dan
b =
0
3
−9
0
Dengan menyelesaikan sistem itu diperoleh vektor x sebagai berikut
x =
c0
c1
c2
c3
=
0
1.40
−2.60
0
Sedang bj dan dj dapat dihitung dengan menggunakan rumus (3.29) dan (3.26).
Hasil selengkapnya dapat dilihat dalam tabel berikut
xj aj bj cj dj
0 0 0.53333 0 0.46667
1 1 1.93333 1.40 -13.33333
2 3 0.73333 -2.60 0.86667
3 2 − 0 −
Grafik dibawah ini menunjukkan interpolasi splin kubik terhadap suatu data ’*’.
3.5 Solusi Iteratif Integral Terbatas
Teknik numeris untuk menghitung integral tertentu yang dikenal sebagai In-
tegrasi Numeris dibutuhkan untuk menyelesaikan atau menghitung nilai integral
dimana fungsi yang diintegralkan tidak mempunyai antiturunan yang eksplisit atau
fungsi yang antiturunannya tidak mudah ditentukan. Suatu metoda yang cukup
dasar sekali adalah metoda numeris kuadratur. Metoda ini menggunakan rumus
jumlah∑n
i=0 aif(xi) untuk menghitung nilai approksimasi terhadap∫ b
af(x)dx.
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 41
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1
0
1
2
3
4
5
S3(x)
Gambar 3.4: Approksimasi spline kubik S3(x)
Interpolasi fungsi approksimasi metoda ini didasarkan atas pemilihan dan pengem-
bangan interpolasi polinomial Lagrange karena polinomial ini dianggap merupakan
fungsi approksimasi yang terbaik p∗. Prosedur penurunannya diawali dengan
menentukan himpunan titik-titik berbeda x0, . . . , xn dari interval [a, b], selanjutnya
mengintegralkan polinomial Lagrange dan suku kesalahan pemenggalannya dalam
interval [a, b].
Pn(x) =n∑
i=0
f(xi)Li(x)
∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
n∑i=0
f(xi)Li(x)dx +
∫ b
a
n∏i=0
(x− xi)fn+1(ξ(x))
(n + 1)!dx
=n∑
i=0
aif(xi) +1
(n + 1)!
∫ b
a
n∏i=0
(x− xi)fn+1(ξ(x))dx,
dimana ξ(x) ∈ [a, b] untuk setiap x dan
ai =
∫ b
a
Li(x)dx untuk setiap i = 0, 1, 2, . . . , n.
Dengan demikian secara umum formula kuadratur numeris itu adalah
∫ b
a
f(x)dx ≈n∑
i=0
aif(xi),
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 42
dengan kesalahan
E(f) =1
(n + 1)!
∫ b
a
n∏i=0
(x− xi)f(n+1)(ξ(x))dx.
Metoda ini dipandang terlampau sederhana dan tidak cukup akurat untuk men-
gatasi permasalahan yang lebih komplek. Bila kita cermati formulasi kesalahan-
nya maka rumusan ini digeneralisasi dari pengembangan aproksimasi deret Taylor
yang belum diekpansi, sedangkan disadari bahwa akurasi deret Taylor yang belum
terekspansi level akurasinya rendah dan penetapan fungsi aproksimasinya hanya
berdasarkan pada pengambilan satu titik sampel. Metoda lain yang dipandang
lebih akurat adalah aturan Trapesium dan Simpson. Aturan ini dikembangkan
dari perluasan interpolasi polinomial Lagrange kesatu dan kedua pada himpunan
titik-titik sampel. Misal kita notasikan x0 = a, x1 = b, h = b − a dan polinomial
Lagrange linier
P1(x) =(x− x1)
(x0 − x1)f(x0) +
(x− x0)
(x1 − x0)f(x1).
maka
∫ b
a
f(x)dx =
∫ x1
x0
[(x− x1)
(x0 − x1)f(x0) +
(x− x0)
(x1 − x0)f(x1)
]dx
+1
2
∫ x1
x0
f ′′(ξ(x))(x− x0)(x− x1)dx. (3.33)
Jika (x − x0)(x − x1) tidak berubah tanda dalam interval [x0, x1] maka teorema
nilai ”weighted mean” untuk integral dapat diterapkan dalam suku kesalahannya
sehingga diperoleh
∫ x1
x0
f ′′(ξ(x))(x− x0)(x− x1)dx = f ′′(ξ)∫ x1
x0
(x− x0)(x− x1)dx
= f ′′(ξ)[x3
3− (x1 + x0)
2x2 + x0x1x
]x1
x0
= −h3
6f ′′(ξ).
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 43
Sebagai konsukwensinya (3.33) akan menjadi
∫ b
a
f(x)dx =
[(x− x1)
2
2(x0 − x1)f(x0) +
(x− x0)2
2(x1 − x0)f(x1)
]x1
x0
− h3
12f ′′(ξ)
=x1 − x0
2[f(x0) + f(x1)]− h3
12f ′′(ξ).
Dengan demikian untuk h = x1 − x0 kita mendapatkan rumus berikut ini
Aturan Trapesium
∫ b
af(x)dx = h
2[f(x0) + f(x1)]− h3
12f ′′(ξ) (3.34)
Rumus ini disebut aturan Trapesium karena jika f adalah susatu fungsi positif,
maka∫ b
af(x)dx dapat diapproksimasikan dengan luas dari trapesium sebagaimana
digambarkan dalam Gambar 3.5.
f
P_1
a=x_0 b=x_1
y
x
Gambar 3.5: Aturan Trapesium.
Bila kita perhatikan rumus diatas, dapatlah disimpulkan bahwa aturan Trapesium
itu akan memberikan solusi eksak terhadap sebarang fungsi yang turunan kedu-
anya adalah sama dengan nol (sebarang polinomial berorder satu atau kurang),
karena suku kesalahan trapesium ini meliputi f ′′. Dengan kata lain aturan Trape-
sium dikatakan berorder satu, dan suku kesalahan pemenggalannya adalah suatu
fungsi O(h2). Dari sisi ini kita dapat mengatakan bahwa aturan Trapesium juga
tidak cukup akurat untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang sangat komplek
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 44
memandang rendahnya order dari aturan ini sehingga tetap dibutuhkan aturan
lainnya. Salah satu metoda yang cukup terkenal adalah aturan Simpson.
Aturan Simpson didapat dari mengintegralkan polinomial Lagrange kedua dalam
batas [a, b] dengan beberapa titik x0 = a, x2 = b dan x1 = a + h, untuk h = (b−a)2
,
lihat Gambar 3.6. Polinomial Lagrange kedua disajikan dalam
P2(x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)
+(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)
Sehingga
∫ b
a
f(x)dx =
[(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)
+(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)
]dx
+
∫ x1
x0
(x− x0)(x− x1)(x− x2)
6f (3)(ξ(x))dx.
f
P_1
a=x_0 b=x_2
y
xx_1
Gambar 3.6: Aturan Simpson.
Sebagaimana aturan Trapesium, penentuan orde aturan Simpson juga dapat dil-
ihat dari suku kesalahannya. Suku kesalahan rumus ini hanya sampai pada suku
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 45
kesalahan O(h4) yaitu hanya meliputi f (3) sehingga aturan Simpson yang ditu-
runkan dari interpolasi Lagrange hanya berorder dua. Versi yang lebih baik dari
aturan Simpson order dua ini adalah aturan yang diturunkan dari ekspansi polino-
mial Taylor ketiga f terhadap x1. Misalkan masing-masing x ∈ [a, b] ada bilangan
ξ(x) ∈ (x0, x1) maka ekspansi Taylor
f(x) = f(x1) + f ′(x1)(x− x1) +f ′′(x1)
2(x− x1)
2 +f ′′′(x1)
6(x− x1)
3
+f (4)(ξ(x))
24(x− x1)
4
dan∫ x2
x0
f(x)dx =
[f(x1)(x− x1) +
f ′(x1)
2(x− x1)
2
+f ′′(x1)
6(x− x1)
3 +f ′′′(x1)
24(x− x1)
4
]x2
x0
+1
24
∫ x1
x0
f (4)(ξ(x))(x− x1)4dx (3.35)
Karena (x − x1)4 tidak pernah bernilai negatif pada interval [x0, x1], maka teori
nilai ”Weighted Mean” untuk integral akan menjadi
1
24
∫ x1
x0
f (4)(ξ(x))(x− x1)4dx =
f (4)(ξ1)
24
∫ x2
x0
(x− x1)4dx
=f (4)(ξ1)
120(x− x1)
5
∣∣∣∣x2
x0
untuk sebarang ξ1 ∈ (x0, x2).
Sementara kita tahu bahwa h = x2 − x1 = x1 − x0, sehingga
(x2 − x1)2 − (x0 − x1)
2 = (x2 − x1)4 − (x0 − x1)
4 = 0
(x2 − x1)3 − (x0 − x1)
3 = 2h3 dan (x2 − x1)5 − (x0 − x1)
5 = 2h5
Sebagai konsukwensinya persamaan (3.35) dapat ditulis sebagai∫ x2
x0
f(x)dx = 2hf(x1) +h3
3f ′′(x1) +
h5
60f (4)(ξ1) (3.36)
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 46
Disisi lain kita memiliki ekspresi
f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h +1
2f ′′(x0)h
2 +1
6f ′′′(x0)h
3 +1
24f (4)(ξ1)h
4
f(x0 − h) = f(x0) + f ′(x0)h− 1
2f ′′(x0)h
2 +1
6f ′′′(x0)h
3 − 1
24f (4)(ξ−1)h
4
dimana x0 − h < ξ−1 < x0 < ξ1 < x0 + h. Dan bila kita jumlahkan kedua ekspansi
Taylor ini
f(x0 + h) + f(x0 − h) = 2f(x0) + f ′′(x0)h2 +
1
24[f (4)(ξ1+) + f (4)(ξ−1+)]h4
Sederhanakan untuk f ′′(x0) didapat
f ′′(x0) =1
h2[f(x0 − h)− 2f(x0) + f(x0 + h)]− h2
24[f (4)(ξ1)
+f (4)(ξ−1+)]. (3.37)
Teorema nilai tengah mengatakan bahwa untuk f (4) ∈ C[x0 − h, x0 + h] maka
f (4)(ξ) =1
2[f (4)(ξ1+) + f (4)(ξ−1+)].
Dengan demikian kita dapat menulis (3.37) sebagai
f ′′(x0) =1
h2[f(x0 − h)− 2f(x0) + f(x0 + h)]− h2
12f (4)(ξ), (3.38)
untuk sebarang ξ ∈ (x0 − h, x0 + h). Pada akhirnya (3.36) dapat ditulis dengan
mengganti f ′′(x0) dengan persamaan (3.38) adalah
∫ x2
x0
f(x)dx = 2hf(x1) +h3
3
{1
h2[f(x0)− 2f(x1) + f(x2)]
−h2
12[f (4)(ξ2)
}+
h5
60f (4)(ξ1)
=h3
3[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]− h5
12
[1
3f (4)(ξ2)− 1
5f (4)(ξ1)
]
Dan ingat sekali lagi bahwa kita dapat mengganti ekspresi ξ1 dan ξ2 dengan ξ ∈(x0, x2) sehingga aturan Simpson secara umum adalah
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 47
Aturan Simpson
∫ x2
x0f(x)dx = h
3[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]− h5
90f (4)(ξ) (3.39)
Secara definitif perbincangan order itu dapat ditafsirkan sebagai barometer keaku-
ratan suatu teknik approksimasi. Semakin tinggi order itu berarti semakin luas
ekspansi suku kesalahannya, akibatnya kesalahan pemenggalan semakin kecil. Se-
bagaimana dijelaskan dalam Burden dan Faires definisi derajad keakuratan dapat
dijelaskan sebagai berikut:
Definisi 3.5.1 (Derajad keakuratan atau presesi) Derajad keakuratan atau
presesi dari formulasi kuadratur adalah bilangan bulat positif terbesar n sedemikian
hingga formula itu eksak untuk xk, dimana k = 1, 2, . . . , n (1997 : 89).
Dengan definisi (5.1.1) ini ditambah kenyataan besarnya order pada masing-masing
aturan, maka aturan Trapesium dan Simpson masing-masing mempunyai derajad
presesi satu dan tiga. Maka dapatlah disimpulkan bahwa aturan Simpson akan
lebih cepat konvergen dibandingkan aturan Trapesium. Artinya aturan Simpson
dimungkinkan lebih akurat pendekatannya dalam menghitung nilai integral untuk
jumlah iterasi yang sama dari kedua aturan tersebut.
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 48
Latihan Tutorial 3
1. Buktikan bahwa ||f || = maxa≤x≤b|f(x)| merupakan norm pada C[a, b].
2. Jika A ∈ IRN×N ,A = AT dan A definit positif matrik, yakni xTAx > 0
untuk seberang vektor x, maka buktikan bahwa ||x||A = (xTAx)12 merupakan
norm pada IRN
3. Mana diantara berikut ini merupakan norm.
(a) dalam IR2, ||x|| = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.(b) dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |
∑nk=1 akx
k−1|.
4. Nyatakan teorema aproksimasi Weirstrass untuk f ∈ C[a, b]. Selanjutnya
tunjukkan bahwa untuk ||g||p =
{∫ b
aw(x)|g(x)|pdx
} 1p
dimana 1 ≤ p ≤ ∞,
dan diberikan ε > 0, maka ∃N = N(ε) dan polinomial pN(x) sedemikian
hingga
||f − pN || ≤ K1p ε,
untuk sebarang konstanta K > 0
5. Gunakan interpolasi polinomial Lagrange derajad satu, dua dan tiga untuk
menentukan nilai aproksimasi dari masing-masing dibawah ini
(a) tentukan nilai dari f(8.4) bila diketahui f(8.1) = 16.94410, f(8.3) =
17.56492, f(8.6) = 18.50515 dan f(8.7) = 18.82091.
(b) tentukan nilai dari f(0.25) bila diketahui f(0.1) = −0.62049958, f(0.2) =
−0.28398668, f(0.3) = 0.00660095 dan f(0.4) = 0.24842440.
(c) tentukan nilai daricos 0.750 bila diketahui cos 0.698 = 0.7661, cos 0.733 =
0.7432, cos 0.768 = 0.7193 dan cos 0.803 = 0.6946.
6. Tentukan fungsi aproksimasi Lagrange untuk menginterpolasi fungsi berikut
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 49
(a) f(x) = e2x cos 3x, x0 = 0, x1 = 0.3, x2 = 0.6
(b) f(x) = sin ln x, x0 = 2.0, x1 = 2.4, x2 = 2.6
(c) f(x) = cos x + sin x, x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 1.0
(d) f(x) = e2x cos 3x, x0 = 0, x1 = 0.3, x2 = 0.6
7. Suatu data disajikan dalam tabel dibawah ini maka tentukan
x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
f(x) 1.00000 1.22140 1.49182 1.82212 2.22554
(a) nilai dari f(0.05) dengan menggunakan NFDD
(b) nilai dari f(0.65) dengan menggunakan NBDD
8. Polinomial berderajad empat p(x) memenuhi sifat 44p(0) = 24,43p(0) = 6,
dan 42p(0) = 0 dimana 4p(x) = p(x + 1)− p(x). Hitung 42p(10).
9. Perbincangan aproksimasi lebih luas banyak dikaitkan dengan interpolasi ter-
hadap suatu fungsi f dengan fungsi aproksimasi p. Selanjutnya akurasi in-
terpolasi itu diukur dari kedekatan antara f dan p, secara matematis ditulis
dengan ||f−p|| (dibaca : norm(f-p)). Sebutkan definisi norm ini, baik vek-
tor ataupun matrik. Kemudian dengan pemahaman akan norm ini sebutkan
apa sebenarnya inti permasalahan (konsep masalah) dalam aproksimasi
itu. Jika kita memilih fungsi aproksimasi p tentunya kita pilih fungsi yang
terbaik. Dalam hal ini ada beberapa fungsi aproksimasi yang dapat digu-
nakan untuk menginterpolasi fungsi f itu, sebutkan nama-nama fungsi
aproksimasi tersebut. Salah satu fungsi aproksimasi yang fleksibel adalah
splin kubik. Dengan data dibawah ini tentukan fungsi aproksimasi splin
kubik untuk menginterpolasi data f(xj) dimana xj = 0, 1, 2.
10. Gunakan splin kubik untuk menginterpolasi fungsi-fungsi berikut ini
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 50
xj aj = f(xj)
0 1
1 9
2 2
(a) f(x) = x ln x; dan tentukan f(8.4) dan f ′(8.4)
(b) f(x) = sin(ex − 2); dan tentukan f(0.9) dan f ′(0.9)
(c) f(x) = x cos x− 2x2 + 3x− 1; dan tentukan f(0.25) dan f ′(0.25)
11. Splin kubik alami S pada interval [0, 2] didefinisikan sebagai
S(x) =
{S0(x) = 1 + 2x− x3 jika 0 ≤ x < 1,
S1(x) = a + b(x− 1) + c(x− 1)2 + d(x− 1)3 jika 1 ≤ x < 2,
tentukan nilai dari a, b, c, dan d.
12. Berikut ini disajikan konstruksi automobile, gunakan splin kubik untuk meng-
interplosi permukaan atas automobile tersebut.
x_0 x_1x_2
x_3 x_4
x_5
...
x_n
Gambar 3.7: Konstruksi automobile
BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 51
13. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan dan jarak tertentu pada saat ter-
tentu t, sebagaimana digambarkan dalam tabel berikut. Selanjutnya
Waktu (jam) 0 3 5 8 13
Jarak (km) 0 225 383 623 993
Kecepatan 75 77 80 74 72
(a) gunakan splin kubik untuk mempridiksikan jarak yang ditempuh mobil
dan kecepatan pada saat mobile melaju selama 10 jam.
(b) Tentukan kecepatan maksimum dari laju mobil tersebut.
BAB 4
Metoda Numeris untuk Sistem
Nonlinier
Suatu tekanan p dibutuhkan untuk menancapkan suatu plat sirkuler dengan radius
r kedalam permukaan keras yang mempunyai panjang D. Plat itu akan ditancap-
kan sejauh d (dengan D > d) dibawah permukaan. Tekanan itu bervariasi tergan-
tung besarnya radius dari plat sirkuler tadi, semakin besar radius plat semakin
besar pula tekanan yang dibutuhkan, sehingga hubungan antara tekanan p dengan
radius plat r dapat disajikan sebagai
p = k1ek2r + k3r,
dimana k1, k2 dan k3 adalah konstanta yang tergantung pada kedalaman plat itu
ditancapkan d dan konsistensi dari permukaan.
Selanjutnya untuk menentukan radius minimal plat yang masih memungkinkan plat
dapat menahan beban besar akibat dari tekanan dan permukaan keras tadi, pada
gambar tiga plat sirkuler dengan radius, dan tekanan yang berbeda ditancapkan
bersama dengan kedalaman yang sama. Peristiwa ini menghasilkan persamaan tiga
52
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 53
m 3
r r r1 23
mm1
2
sistem non linier
m1 = k1ek2r1 + k3r1
m2 = k1ek2r1 + k3r1
m3 = k1ek2r1 + k3r1.
Untuk menentukan k1, k2 dan k3, metoda numeris merupakan alternatif yang baik.
Sistem persamaan non linier dapat disajikan dalam bentuk
f1(x1, x2, . . . , xn) = 0
f2(x1, x2, . . . , xn) = 0
f3(x1, x2, . . . , xn) = 0 (4.1)...
fn(x1, x2, . . . , xn) = 0
Alternatif lain kita dapat menulis sistem itu dalam fungsi F, yang memetakan Rn
terhadap Rn.
F(x1, x2, dots, xn) =(f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fn(x1, x2, . . . , xn)
)T
F(x) = 0 (4.2)
Definisi 4.0.1 Suatu fungsi f yang memetakan D ⊂ Rn kedalam R dikatakan
kontinyu pada x0 bila
limx→x0
f(x) = f(x0).
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 54
Selanjutnya untuk f yang kontinyu pada himpunan domain D dan kontinyu pula
disetiap elemen D maka dapat ditulis f ∈ C(D).
Definisi 4.0.2 Suatu fungsi F yang memetakan D ⊂ Rn kedalam Rn dengan ben-
tuk
F = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x))T
maka
limx→x0
F(x) = L = (L1, L2, . . . , Ln)T
jika dan hanya jika limx→x0 fi(x) = Li untuk masing-masing i. Selanjutnya fungsi
F akan kontinyu pada x0 ∈ D bila limx→x0 F(x) ada, dan limx→x0 F(x) = F(x0)
dan bila F kontinyu dalam domain D maka F akan kontinyu pada setiap x ∈ D.
dengan simbol yang sama dengan teorema (4.0.2) dalam hal ini ditulis sebagai
F ∈ C(D)
Teorema 4.0.1 Jika f adalah fungsi yang memetakan D ⊂ Rn kedalam R dan
x0 ∈ D, maka jika ditemukan suatu konstanta δ > 0 dan K > 0 dengan ketentuan
∣∣∣∣∂f(x)
∂xj
∣∣∣∣ ≤ K, untuk j = 1, 2, . . . , n
dan
||x− x0|| < δ, x ∈ D
maka f adalah kontinyu pada x0.
4.1 Metoda Titik Tetap
Definisi 4.1.1 Suatu fungsi G yang memetakan D ⊂ Rn kedalam Rn mempunyai
titik tetap pada p ∈ D jika G(p)=p.
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 55
Teorema 4.1.1 Jika D =
{(x1, x2, . . . , xn)T |ai ≤ xi ≤ bi, i = 1, 2, . . . , n
}, dan
G adalah fungsi kontinyu yang memetakan D ⊂ Rn kedalam R dengan sifat G(x) ∈D untuk sebarang x ∈ D, maka G mempunyai titik tetap pada D. Selanjutnya bila
G kontinyu pada turunan partialnya dan ditemukan konstanta K < 1 dengan
∣∣∣∣∂gi(x)
∂xj
∣∣∣∣ ≤K
n, untuk sebarangx ∈ D,
untuk masing-masing j = 1, 2, . . . , n dan masing-masing komponen gi. Maka
sederetan bilangan {x[k]}∞k=0 yang didefinisikan sebagai
x[k] = G(x[k−1]), untuk masing −masing k ≥ 1
akan konvergen terhadap titik tetap tunggal p ∈ D dan
||x[k] − p||∞ ≤ Kk
1−K||x(1) − x(0)||∞. (4.3)
Contoh 4.1.1 Buktikan bahwa sistem non linier berikut ini mempunyai titik tetap
tunggal pada D ={(x1, x2, x3)
T | − 1 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, 3}.
3x1 − cos(x2x3)− 1
2= 0
x21 − 81(x2 + 0.1)2 + sin x3 + 1.06 = 0
e−x1x2 + 20x3 +10π − 3
3= 0.
Penyelesaian 4.1.1 Selesaikan persamaan diatas untuk xi maka
x1 =1
3cos(x2x3) +
1
6,
x2 =1
9
√x2
1 + sin x3 + 1.06− 0.1,
x3 = − 1
20e−x1x2 − 10π − 3
60.
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 56
dengan demikian untuk G : Rn → Rn didefinisikan G(x) = (g1x), g2x), g3x))T
dimana
g1(x1, x2, x3) =1
3cos(x2x3) +
1
6,
g2(x1, x2, x3) =1
9
√x2
1 + sin x3 + 1.06− 0.1,
g3(x1, x2, x3) = − 1
20e−x1x2 − 10π − 3
60.
Untuk x = (x1, x2, x3)T ∈ D maka
|g1(x1, x2, x3)| ≤ 1
3|cos(x2x3)|+ 1
6≤ 0.50,
|g2(x1, x2, x3)| =1
9
√x2
1 + sin x3 + 1.06− 0.1,
=1
9
√1 + sin 1 + 1.06− 0.1 < 0.09,
|g3(x1, x2, x3)| ≤ | − 1
20e−x1x2|+ 10π − 3
60.
=1
20e +
10π − 3
60< 0.61,
sehingga −1 ≤ gi(x1, x2, x3) ≤ 1, untuk i = 1, 2, 3, dengan demikian G(x) ∈ D
untuk sebarang x ∈ D.
Slanjutnya kita tentukan∣∣∣∣∂gi
∂xj
∣∣∣∣ ≤K
n, untuk sebarangx ∈ D,
Dalam hal ini ∣∣∣∣∂g1
∂x1
∣∣∣∣ = 0
∣∣∣∣∂g1
∂x2
∣∣∣∣ ≤ 1
3|x3|| sin x2x3| ≤ 1
3sin 1 < 0.281
∣∣∣∣∂g1
∂x3
∣∣∣∣ ≤ 1
3|x2|| sin x2x3| ≤ 1
3sin 1 < 0.281
∣∣∣∣∂g2
∂x1
∣∣∣∣ = 0
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 57
∣∣∣∣∂g2
∂x2
∣∣∣∣ =|x1|
9√
x21 + sin x3 + 1.06
<1
9√
0.218< 0.119
∣∣∣∣∂g2
∂x3
∣∣∣∣ =| cos x3|
18√
x21 + sin x3 + 1.06
<1
18√
0.218< 0.119
∣∣∣∣∂g3
∂x1
∣∣∣∣ = 0
∣∣∣∣∂g3
∂x2
∣∣∣∣ =|x2|20
e−x1x2 ≤ 1
20e < 0.14
∣∣∣∣∂g3
∂x3
∣∣∣∣ =|x1|20
e−x1x2 ≤ 1
20e < 0.14.
Karena g1, g2, g3 terbatas dalam D maka dengan teorema (4.0.1) gi kontinyu pada
D, dengan demikian G kontinyu pada D. Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa∣∣∣∣∂gi(x)
∂xj
∣∣∣∣ ≤ 0.281, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3.
Dan akhirnya G mempunyai titik tetap tunggal.
k x[k]1 x
[k]2 x
[k]3 en = ||x[k]
1 − x[k−1]1 ||∞
0 0.10000000 0.10000000 -0.10000000
1 0.49998333 0.00944115 -0.52310127 0.423
2 0.49999593 0.00002557 -0.52336331 9.4× 10−3
3 0.50000000 0.00001234 -0.52359814 2.3× 10−4
4 0.50000000 0.00000003 -0.52359847 1.2× 10−5
5 0.50000000 0.00000002 -0.52359877 3.1× 10−7
Kemudian untuk menentukan aproksimasi dari titik tetap p itu, kita pilih x[0] =
(0.1, 0.1,−0.1)T , dan kalkulasi berikutnya mengikuti proses iterasi berikut
x[k]1 =
1
3cos(x
[k−1]2 x
[k−1]3 ) +
1
6,
x[k]2 =
1
9
√(x
[k−1]1 )2 + sin x
[k−1]3 + 1.06− 0.1,
x[k]3 = − 1
20e−x
[k−1]1 x
[k−1]2 − 10π − 3
60.
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 58
Hasil selengkapnya dapat dilihat dalam tabel di atas. Kemudian, untuk memper-
cepat konvergensi proses iterasi dapat dilakukan dengan cara
x[k]1 =
1
3cos(x
[k−1]2 x
[k−1]3 ) +
1
6,
x[k]2 =
1
9
√(x
[k]1 )2 + sin x
[k−1]3 + 1.06− 0.1,
x[k]3 = − 1
20e−x
[k]1 x
[k]2 − 10π − 3
60.
dengan hasil sebagai berikut
k x[k]1 x
[k]2 x
[k]3 en = ||x[k]
1 − x[k−1]1 ||∞
0 0.10000000 0.10000000 -0.10000000
1 0.49998333 0.02222979 -0.52304613 0.423
2 0.49997747 0.00002815 -0.52359807 9.4× 10−2
3 0.50000000 0.00000004 -0.52359877 2.3× 10−5
4 0.50000000 0.00000000 -0.52359877 1.2× 10−8
4.2 Metoda Newton
Metoda Newton untuk menentukan akar persamaan polinomial dapat ditulis
sebagai
pn = pn−1 − f(pn−1)
f ′(pn−1), untuk n ≥ 1.
Bila pn = g(pn−1) maka metoda ini dapat disajikan dalam
g(pn−1) = pn−1 − f(pn−1)
f ′(pn−1), untuk n ≥ 1.
atau
g(x) = x− f(x)
f ′(x).
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 59
g(x) = x− φ(x)f(x) untuk φ = 1/f ′(x).
Dan dapat juga ditulis dalam
G(x) = x−A(x)−1F(x),
dimana A(x) adalah matrix nonsingular (n× n). Salah satu pilihan terbaik untuk
matrik ini adalah matrik Jacobian, yaitu
J(x) =
∂f1(x)∂x1
∂f1(x)∂x2
. . . ∂f1(x)∂xn
∂f2(x)∂x1
∂f2(x)∂x2
. . . ∂f2(x)∂xn
......
...∂fn(x)
∂x1
∂fn(x)∂x2
. . . ∂fn(x)∂xn
sehingga
G(x) = x− J(x)−1F(x).
Selanjutnya iterasi functional yang diawali dengan pemilihan x[0] sebagai nilai awal,
dapat disajikan dalam bentuk
x[k] = G(x[k−1])
= x[k−1] − J(x[k−1])−1F(x[k−1]) (4.4)
adalah merupakan formulasi Newton untuk solusi sistem nonlinier.
Teorema 4.2.1 Misal p adalah solusi dari G(x) = x dimana G = (g1, g2, . . . , gn)T
memetakan memetakan Rn kedalam Rn. Jika ditemukan δ > 0 dengan sifat
1. ∂gi
∂xjkontinyu pada Nδ = {x| ||x− p|| < δ},
2. ∂2gi(x)∂xj∂xk
juga kontinyu,∣∣∂2gi(x)∂xj∂xk
∣∣ ≤ M , untuk sebarang konstanta M dan se-
barang x ∈ Nδ,
3. ∂gi(p)∂xk
= 0, dimana i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , n dan k = 1, 2, . . . , n
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 60
maka terdapat bilangan δ ≤ δ sedemikian hingga
x[k] = G(x[k−1])
konvergen terhadap titik tetap tunggal p untuk sebarang nilai awal x[0] sepanjang
||x− p|| < δ. Selanjutnya ||x[k] − p||∞ ≤ n2M2||x[k−1] − p||2∞, untuk setiap k ≥ 1
Contoh 4.2.1 Ulangi persoalan (4.1.1), gunakan metoda Newton untuk menen-
tukan aproksimasi terhadap p.
Penyelesaian 4.2.1 Sistem persamaan nonlinier itu adalah
3x1 − cos(x2x3)− 1
2= 0
x21 − 81(x2 + 0.1)2 + sin x3 + 1.06 = 0
e−x1x2 + 20x3 +10π − 3
3= 0.
sehingga
J(x) =
3 x3 sin x2x3 x2 sin x2x3
2x1 −162(x2 + 0.1) cos x3
−x2e−x1x2 −x1e
−x1x2 20
dan
J(x[k−1]) =
3 x[k−1]3 sin x
[k−1]2 x
[k−1]3 x
[k−1]2 sin x
[k−1]2 x
[k−1]3
2x[k−1]1 −162(x
[k−1]2 + 0.1) cos x
[k−1]3
−x[k−1]2 e−x
[k−1]1 x
[k−1]2 −x1e
−x[k−1]1 x
[k−1]2 20
.
Demikian juga
F(x[k−1]) =
3x[k−1]1 − cos(x
[k−1]2 x
[k−1]3 )− 1
2
(x[k−1]1 )2 − 81(x
[k−1]2 + 0.1)2 + sin x
[k−1]3 + 1.06
e−x[k−1]1 x
[k−1]2 + 20x
[k−1]3 + 10π−3
3.
.
Selanjutnya lakukan kalkulasi dengan prosedur iterasi newton dengan memilih nilai
awal x = (0.1, 0.1,−0.1)T akan diperoleh hasil dalam tabel dibawah ini.
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 61
k x[k]1 x
[k]2 x
[k]3 en = ||x[k]
1 − x[k−1]1 ||∞
0 0.10000000 0.10000000 -0.10000000
1 0.49998333 0.00944115 -0.52310127 0.423
2 0.49999593 0.00002557 -0.52336331 9.4× 10−3
3 0.50000000 0.00001234 -0.52359814 2.3× 10−4
4 0.50000000 0.00000003 -0.52359847 1.2× 10−5
5 0.50000000 0.00000002 -0.52359877 3.1× 10−7
Tabel 4.1: Data hasil eksekusi program iterasi Newton
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 62
Latihan Tutorial 4
1. Persamaan nonlinier berikut ini mempunyai dua solusi.
−x1(x1 + 1) + 2x2 = 18
(x1 − 1)2 + (x2 − 6)2 = 25
• Berikan pendekatan grafik terhadap sistem itu.
• Tentukan solusi dengan toleransi 1e− 5 dalam l∞ norm
2. Metoda Newton untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier disajikan
dalam rumus berikut
x[k] = x[k−1] − J(x[k−1])−1F(x[k−1])
Terapkan teknik ini kedalam sistem persamaan berikut untuk menghitung
x[1] {gunakan x[0] = (0.1, 0.1, −0.1)T}.
3x1 − cos(x2x3)− 1
2= 0
x21 − 81(x2 + 0.1)2 + sin x3 + 1.06 = 0
e−x1x2 + 20x3 +10π − 3
3= 0
3. Sistem nonlinier berikut:
x21 − 10x1 + x2
2 + 8 = 0
x1x22 + x1 − 10x2 + 8 = 0
dapat ditransformasikan dalam titik tetap
x1 = g1(x1, x2) =x2
1 + x22 + 8
10
x2 = g2(x1, x2) =x1x
22 + x1 + 8
10
BAB 4. METODA NUMERIS UNTUK SISTEM NONLINIER 63
• Gunakan teorema yang tertera dalam buku ini untuk menunjukkan bahwa
G = (g1, g2)t : D ∈ R2 → R2 mempunyai titik tetap unik dalam
D = (x1, x2)t|0 ≤ x1, x2 ≤ 1.5
• Terapkan iterasi fungsional untuk menentukan solusi hampiran dari sis-
tem tersebut.
• Apakah metoda Seidel dapat mempercepat tingkat konvergensinya.
4. Gunakan metoda Newton untuk menentukan solusi hampiran dari persamaan
nonlinier berikut ini.
x21 + x2 − 37 = 0
x1 − x22 − 5 = 0
x1 + x2 + x3 − 3 = 0
x21 + 2x2
2 − x2 − 2x3 = 0
x21 − 8x2
2 + 10x3 = 0
x21
7x2x3
− 1 = 0
{gunakan x[0] = (0.1, 0.1, 0)T}
BAB 5
Metoda Numeris Untuk Masalah
Nilai Awal
Gerak harmonis pendulum (bandul), sebagaimana digambarkan dibawah ini, me-
nunjukkan masalah nilai awal dengan PD order 2.
d2θ
dt2+
g
Lsin θ = 0
θ(t0) = θ0, θ′(t0) = θ′0
Dapat juga ditulis sebagai d2θdt2
+ gLθ = 0, bila θ sangat kecil sekali.
θ
L
Dalam hal ini L adalah panjang tali pendulum, g gravitasi bumi dan θ sudut
antara pendulum dengan posisi setimbang. Selanjutnya solusi analitik terhadap
64
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 65
persamaan difrensial ini tidak efektif dilakukan, mengingat persamaan itu tidak
linier. Dengan demikian metoda numeris sangat dibutuhkan.
Persamaan difrensial biasa order pertama dapat disajikan dalam bentuk berikut
dy
dx= f(x, y) atau y′ = f(x, y). (5.1)
Solusi dari persamaan ini adalah y(x) yang memenuhi persamaan y′(x) = f(, y(x))
di semua titik pada interval domain [a, b]. Selanjutnya persamaan (5.1) dikatakan
merupakan masalah nilai awal bila solusi itu memenuhi nilai awal y(a) = y0, se-
hingga persamaan itu dapat digambarkan sebagai
y′ = f(x, y), a ≤ x ≤ b
y(a) = y0.
Kemudian bila persamaan ini terdiri dari lebih dari satu persamaan yang sa-ling
terkait maka dikatagorikan sebagai sistem persamaan difrensial. Sistem persamaan
difrensial order pertama disajikan sebagai berikut.
y′1 = f1(t, y1, y2, . . . , yn)
y′2 = f2(t, y1, y2, . . . , yn)...
y′n = fn(t, y1, y2, . . . , yn).
Atau dalam bentuk umum dapat disajikan sebagai
y′i = fi(t, y1, y2, . . . , yn) i = 1, 2, . . . , n dan a ≤ t ≤ b. (5.2)
dengan nilai awal y1(a) = α1, y1(a) = α2, . . . , y1(a) = αn.
Metoda numeris pada umumnya diterapkan dalam menyelesaikan sistem persamaan
difrensial order satu ini. Sehingga bila fenomena yang dihadapi adalah sistem
persamaan difrensial order n maka haruslah ditransformasikan terlebih dahulu
kedalam sistem persamaan difrensial order satu.
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 66
Contoh 5.0.2 Transformasikan sistem persamaan difrensial dibawah ini dalam
sistem persamaan difrensial order satu.
u′′′ + u′′v′ = xv
v′ + v +u
1 + x= cos x
dimana u(0) = −1, u′(0) = 1, u′′(0) = 1, v(0) = 1
Penyelesaian 5.0.2 Misal y1 = u, y2 = u′, y3 = u′′ dan y4 = v, maka
y′1 = u′ = y2,
y′2 = u′′ = y3,
y′3 = u′′′ = xy4 − y3(cos x− y4 − y1
1 + x),
y′4 = v′ = cos x− y4 − y1
1 + x.
Nilai awal seakarang adalah y1(0) = −1, y2(0) = 1, y3(0) = 1, y4(0) = 1.
5.1 Teori Dasar
Sebelum menyelesaikan suatu model persamaan difrensial terlebih dahulu harus
diselidiki apakah persamaan itu mempunyai solusi (existence) atau tidak dan bila
solusi itu ada apakah solusi itu tunggal (uniqueness) atau trivial. Pertanyaan ini
merupakan hal yang sangat penting untuk didahulukan mengingat betapa kom-
pleknya suatu model fenomena riel yang banyak dimungkinkan tidak dapat disele-
saikan dengan metoda analitik ataupun kualitatif.
Definisi 5.1.1 (Sarat Lipschitz) Suatu fungsi f(t, y) dikatakan memenuhi sarat
Lipschitz dalam variabel y di suatu domain D ∈ R2 jika ada konstanta L > 0
sedemikian hingga
||f(t, y1)− f(t, y2)|| ≤ L||y1 − y2||
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 67
untuk sebarang (t, y1), (t, y2) ∈ D. Selanjutnya konstanta L disebut sebagai kons-
tanta Lipschitz.
Definisi 5.1.2 (Konvek) Suatu himpunan D ∈ R2 dikatakn konvek bila untuk se-
barang (t, y1), (t, y2) ∈ D maka titik ((1−λ)t1+λt2, (1−λ)y1+λy2) juga merupakan
elemen dari D untuk λ ∈ [0, 1].
Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut
Konvek Tidak Konvek
(t , y )1 1
(t , y )
2 2
1 1
2 2(t , y )
(t , y )
Gambar 5.1: Diagram kekonvekan untuk D ∈ R2
Teorema 5.1.1 Andaikata f(t, y) terdefinisi dalam himpunan konvek D ∈ R2 dan
ada konstanta L > 0 dimana∣∣∣∣∣∣∣∣df
dy(t, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ L, untuk semua (t, y) ∈ D, (5.3)
maka f memenuhi suatu sarat Lipschitz.
Teorema 5.1.2 Misal D = {(t, y)|a ≤ t ≤ b,−∞ ≤ y ≤ ∞} dan f(t, y) adalah
fungsi kontinyu dalam D, kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam variabel
y maka masalah nilai awal
y′(t) = f(t, y), a ≤ t ≤ b y(a) = α
mempunyai solusi tunggal y(t) untuk a ≤ t ≤ b.
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 68
Contoh 5.1.1 y′ = 1 + t sin(ty), 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0. Tentukan apakah
persamaan ini mempunyai solusi tunggal.
Penyelesaian 5.1.1 f(t, y) = 1+ t sin(ty), kemudian terapkan teorema nilai rata-
rata pada buku ”Analisa Numerik I” yaitu untuk sebarang y1 < y2, maka ada
bilangan ξ ∈ (y1, y2) sedmikian hingga
f(t, y2)− f(t, y1)
y2 − y1
=∂
∂yf(t, ξ) = t2 cos(tξ).
Kemudian
f(t, y2)− f(t, y1) = (y2 − y1)t2 cos(tξ)
||f(t, y2)− f(t, y1)|| = ||(y2 − y1)t2 cos(tξ)||
≤ ||y2 − y1|| ||t2 cos(tξ)||≤ ||y2 − y1|| || max
0≤t≤2t2 cos(tξ)||
= 4||y2 − y1||.
Degan demikian sarat Lipschitz terpenuhi yaitu ||f(t, y1)− f(t, y2)|| ≤ L||y1− y2||,dimana konstanta Lipschitznya adalah L = 4, berarti persamaan itu mempunyai
solusi tunggal.
5.2 Beberapa Metoda Numeris
Ada beberapa metoda numeris yang dapat digunakan dalam menyelesaikan
masalah nilai awal. Metoda-metoda ini dikembangkan dan dikaji berdasarkan
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 69
ekspansi deret Taylor.
f(x) ≈ pn(x) + Rn+1(x) (5.4)
pn(x) = f(x0) +(x− x0)
1!f ′(x0) + · · ·+ (x− x0)
n
n!f (n)(x0) (5.5)
Rn+1(x) =1
n!
∫ x
x0
(x− t)nf (n+1)(t)dt (5.6)
=(x− x0)
n+1
(n + 1)!f (n+1)(ξ) (5.7)
untuk ξ antara x0 dan x.
Selanjutnya kita mulai dengan masalah
y′ = f(x, y), a ≤ x ≤ b, y(a) = y0 (5.8)
Solusi numeris terhadap masalah ini diperoleh dengan membagi doain itu [a, b]
kedalam grid yakni
xi = a + ih; i = 0, 1, . . . , n; h = (b− a)/n.
Dengan demikian x0 = a, dan xn = b, sedangkan h disebut besarnya grid (stepsize).
Solusi numerisnya adalah himpunan dari nilai grid
y0 = y(x0 = a), y1, y2, . . . , yn (5.9)
Nilai-nilai ini dihitung secara berurutan kemudian hasilnya dipakai sebagai aproksi-
masi terhadap solusi eksak y(x) sedemikian hingga
yn ≈ y(xn), n = 0, 1, 2, . . . , n.
5.2.1 Metoda Euler
Deret Taylor secara umum adalah
f(x) ≈ f(x0) +(x− x0)
1!f ′(x0) +
(x− x0)2
2!f (2)(x0) + . . . .
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 70
Bila x = x1 maka
y(x1) = y(x0) +(x1 − x0)
1!y′(x0) +
(x1 − x0)2
2!y′′(x0) + . . . ,
sedangkan x1 − x0 = h sehingga secara berurutan disetiap grid dirumuskan
y(xn+1) = y(xn) +(xn+1 − xn)
1!y′(xn) +
(xn+1 − xn)2
2!y′′(xn) + . . .
y(xn+1) = y(xn) +h
1!y′(xn) +
h2
2!y′′(xn) +
h3
3!y′′′(xn) + . . .
Formulasi Euler memandang bahwa suku-suku setelah suku kedua dapat dipenggal
(truncation) mengingat h2
2!, h3
3!, . . . , hn
n!akan mendekati nol, sebagai gantinya kita
hitung
y(xn+1) = y(xn) +h
1!y′(xn)
yn+1 = yn + hf(xn, yn) (5.10)
secara berulang. Rumus ini kemudian disebut dengan Metoda Euler.
Definisi 5.2.1 (Kesalahan global) Kesalahan global didefinisikan sebagai en :=
y(xn)− yn
Definisi 5.2.2 (Konvergen) Suatu metoda dikatakan konvergen bila
max0≤i≤n
||y(xi)− yi|| → 0 untuk h → 0
Definisi 5.2.3 (Kesalahan Pemenggalan Lokal) Kesalahan pemenggalan lokal
adalah kesalahan yang ditimbulkan oleh perumusan suatu metoda dalam bentuk
ln := y(xn+k)− yn+k.
Definisi 5.2.4 (Order) Suatu metoda dikatakan berorder p bila ln := O(hp+1).
Definisi 5.2.5 (Konsisten) Suatu metoda dikatakan konsisten bila ordernya min-
imal satu.
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 71
Dapat dibuktikan bahwa metoda Euler adalah berorder satu, hal ini dapat ditelusuri
dengan menentukan kesalahan pemenggalan lokal dari metoda tersebut, dengan
memperluas rumusan Taylor
xn = x0 + nh
xn+1 = x0 + (n + 1)h
yn+1 ≈ y(xn+1) (5.11)
y(xn+1) = y(xn) +h
1!y′(xn) +
h2
2!y′′(xn) +
h3
3!y′′′(xn) + . . . (5.12)
y(xn−1) = y(xn)− h
1!y′(xn) +
h2
2!y′′(xn)− h3
3!y′′′(xn) + . . . (5.13)
(5.14)
Sehingga kesalahan pemenggalan lokal adalah
ln := y(xn+1)− yn+1 = (y(xn) +h
1!y′(xn) +
h2
2!y′′(xn) + . . . )− y(xn)− hy′(xn)
ln :=h2
2!y′(xn) + . . .
ln := O(h1+1).
Kemudian suatu metoda harus teruji keakurasiannya dengan meneliti apakah ke-
salahan yang ditimbulkan dalam perhitungan semakin mengecil pada setiap it-
erasi (konvergen) artinya untuk h → 0 maka kesalahan global en dari Euler harus
mendekati 0. Selanjutnya bila suatu metoda memiliki sifat ini dikatakan bahwa
metoda itu memenuhi prinsip dasar (principal property) yang harus dipenuhi.
Teorema 5.2.1 Disebarang titik grid xn dalam [a, b] kesalahan global dari metoda
Euler memenuhi sifat
||en|| ≤ hM2
2L(e(b−a)L − 1), (5.15)
dimana L adalah konstanta Lipschitz dan
||y′′(x)|| ≤ M2, a ≤ x ≤ b.
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 72
Proof. Solusi numeris metoda Euler
yn+1 = yn + hf(xn, yn),
dan ekpansi Taylor
y(xn+1) = y(xn) +h
1!y′(xn) +
h2
2!y′′(ηn), xn ≤ ηn ≤ xn+1.
Suku terakhir dari deret ini merupakan ekspresi dari kesalahan pemenggalan lokal.
Kurangkan kedua rumus itu dan gunakan terorema sarat Lipschitz diperoleh
||en+1|| ≤ ||en||(1 + hL) +h2
2M2
Selanjutnya gunakan fakta bahwa ||e0|| = 0, ||e1|| ≤ h2
2M2 dan ||e2|| ≤ (1 +
hL)h2
2M2, sehingga
||en|| ≤ h2
2M2(1 + (1 + hL) + · · ·+ (1 + hL)n−1).
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri, didapat
||en|| ≤ h2
2M2
(1 + hL)n − 1
(1 + hL)− 1
=h2
2M2
(1 + hL)n − 1
hL
=h
2LM2((1 + hL)n − 1)
Kita memahami bahwa untuk h, L > 0 berlaku
(1 + hL)n ≤ enhL
sedang xn = x0 + (n)h atau h = xn−x0
nsehingga
enhL = e(xn−x0)L ≤ e(b−a)L
sehingga
||en|| ≤ h
2LM2(e
(b−a)L − 1)
Jelas disini
limh→0
||en|| = 0.
Dengan demikian dikatakan bahwa metoda Euler adalah konvergen. 2
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 73
Contoh 5.2.1 Gunakan metoda Euler untuk menyelesaikan persamaan difrensial
berikut {dydt
= f(t, y) = y − t 0 ≤ t ≤ 1
y(0) = 0.5
Penyelesaian 5.2.1 Solusi analitik dari persamaan ini adalah y(t) = t+1−0.5et.
Selanjutnya dengan menetapkan h = 0.1 dapat dihitung solusi numeris sebagai
berikut.
n = 0 → t0 = 0 dan y0 = 0.5;
y1 = y0 + hf(x0, y0) = 0.5 + 0.1f(0, 0.5) = 0.5500
n = 1 → t1 = 0 + 1 ∗ 0.1 dan y1 = 0.5500;
y2 = y1 + hf(x1, y1) = 0.5500 + 0.1f(0.1, 0.5500) = 0.5950,
dan seterusnya. Lakukan dengan cara yang sama sehingga diperoleh tabel berikut
ini
tn yn y(tn) en
0.0 0.5000 0.5000 0.0000
0.1 0.5500 0.5474 0.0026
0.2 0.5950 0.5893 0.0057
0.3 0.6345 0.6251 0.0094
0.4 0.6679 0.6541 0.0138
0.5 0.6947 0.6756 0.0191
0.6 0.7142 0.6889 0.0253
0.7 0.7256 0.6931 0.0325
0.8 0.7282 0.6872 0.0410
0.9 0.7210 0.6702 0.0508
1.0 0.7031 0.6409 0.0622
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 74
Dalam visualisasi grafis kedua solusi itu dapat dibandingkan sebagai berikut
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
__ : Solusi numeris y_n
oo : Solusi analitik y(x)
Gambar 5.2: Metoda Euler dalam grafik
5.2.2 Metoda Runge-Kutta
Metoda Euler adalah metoda yang cukup lama dikenal, namun demikian keakura-
sian metoda ini masih perlu dipertimbangkan untuk kategori persoalan yang sedekit
lebih komplek. Metoda ini hanya bekerja dengan baik pada awal-awal interval
domain selanjutnya diujung akhir interval domain biasanya me-ngalami osilasi
yang cukup besar (perhatikan gambar 5.2). Untuk meningkatkan keakurasian
metoda ini diperlukan proses bertahap dengan mengasumsikan suatu estimasi awal
yn+1, kemudian tentukan nilai dari turunan di ujung grid xn de-ngan menghitung
f(xn+1, yn+1). Selanjutnya selesaikan langkah berikutnya dengan menggunakan ru-
mus rata-rata dua gradien, yang diberikan berikut ini
yn+1 = yn + hf(xn, yn)
yn+1 = yn +h
2(f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1))
Teknik seperti ini lebih akurat daripada metoda Euler.
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 75
Metoda Runge Kutta mengadobsi teknik diatas dengan representasi sebagai berikut
k1 = f(xn, yn)
k2 = f(xn + c2h, yn + ha21k1)
yn+1 = yn + h(k1 + k2).
Selanjutnya secara umum dapat disajikan dalam bentuk
k1 = f(xn, yn)
ki = f(xn + cih, yn + h
i−1∑j
aijkj), i = 1, 2, . . . , m
yn+1 = yn + h
m∑i=1
biki. (5.16)
Dengan istilah lain metoda ini terkenal dengan nama metoda Ekpslisit Runge
Kutta, dan dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel berikut
0
c2 a21
c3 a31 a32
......
.... . .
cm am1 am2 . . . amm−1
b1 b2 . . . bm−1 bm
dimana ci =∑m
j=1 aij dan∑m
i=1 bi = 1. Dengan kata lain dapatlah disajikan dalam
bentuk
c A
bT
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 76
0
1 112
12
Sebagai contoh metoda Runge-Kutta dua tahap adalah
Dengan demikian dapatlah diuraikan
k1 = f(x0, y0)
k2 = f(x0 + h, y0 + hk1)
yn+1 = yn +1
2h(k1 + k2). (5.17)
Kondisi dari Order Runge-Kutta
Order dari metoda Runge-Kutta ditunjukkan dengan jumlah tahap dari metoda
tersebut. Contoh diatas adalah metoda Runge-Kutta dua tahap, berarti order dari
metoda itu adalah 2. Selanjutnya setiap order metode ini menunjukkan kondisi
yang berbeda dari hubungan antara elemen matrik A, vektor c dan b.
Teorema 5.2.2 Metoda Runge-Kutta dua tahap yang sekaligus berorder 2 mem-
punyai sifat sebagai berikut:
a21 = c2
b1 + b2 = 1
b2c2 =1
2
Proof. Persamaan difrensial adalah
y′ = f(x, y), y(x0) = y0.
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 77
Gunakan aturan Chain yakni untuk turunan partial
y′′ = fx + fyy′ = fx + fyf (5.18)
y′′′ = fxx + 2fxyf + fyyf2 + fy(fx + fyf) (5.19)
f(x + m, y + n) = f(x, y) + (m∂
∂x+ n
∂
∂y)f
+1
2(m
∂
∂x+ n
∂
∂y)2f + . . . (5.20)
Sekarang ingat ekspansi Taylor
y(xn+1) = y(xn) +h
1!y′(xn) +
h2
2!y′′(xn) +
h3
3!y′′′(xn) + . . .
y(x1) = y(x0) + hy′(x0) +h2
2y′′(x0) +
h3
6y′′′(x0) + . . . (5.21)
Perluas k1 dan k2
k2 = f(x0 + c2h, y0 + ha21f)
= f(x0, y0) + h(c2fx + a21ffy)(x0, y0)
h2
2(c2
2fxx + 2c2a21ffxy + a221f
2fyy)(x0, y0) + . . .
Kemudian substitusikan k1 dan k2 kedalam (5.17) dengan mempertimbangkan nilai
awal y(x0) = y0.
y1 = y0 + h(b1 + b2)f(x0, y0) + h2b2(c2fx + a21ffy)(x0, y0)
+h3
2b2(c
22fxx + 2c2a21ffxy + a2
21f2fyy)(x0, y0) + . . .
y1 ≈ y(x0) + h(b1 + b2)y′(x0) + h2b2(c2fx + a21ffy)(x0, y0)
+h3
2b2(c
22fxx + 2c2a21ffxy + a2
21f2fyy)(x0, y0) + . . . (5.22)
Suatu metoda dikatakan berorder p bila ln := O(hp+1). Dengan demikian untuk
order 2 dalam metoda ini, selisih persamaan (5.21) dan (5.22) atau kesalahan
pemenggalan lokal l0 = y(x1)− y1 = O(h2+1), lihat definisi (5.2.3). Artinya suku-
suku dari l0 sebelum O(h2+1) harus dinolkan. Untuk memenuhi ini maka tidak ada
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 78
jalan lain pada persamaan (5.22) harus mempunyai sifat
a21 = c2
b1 + b2 = 1
b2c2 =1
22
Sifat kekonvergenan dari metoda ini dapat dianalisa dengan membuktikan teorema
berikut ini.
Teorema 5.2.3 Disebarang titik grid xn dalam [a, b] kesalahan global dari metoda
Runge-Kutta berorder p memenuhi sifat
||en|| ≤ hpMp+1
CL(e(b−a)L − 1), (5.23)
dimana L adalah konstanta Lipschitz.
Buktikan dengan cara yang tidak jauh berbeda dengan pembuktian kekonvergenan
pada metoda Euler, dan bila benar maka
limh→0
||en|| = 0,
sehingga metoda Runge-Kutta adalah metoda yang konvergen.
Contoh 5.2.2 Gunakan metoda Runge-Kutta order 2 untuk menyelesaikan per-
samaan yang tertera dalam contoh (5.1.1)
Penyelesaian 5.2.2 Dengan memanfaatkan rumus yang diberikan pada (5.17) di-
dapat tabel solusi numeris sebagai berikut.
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 79
tn yn y(tn) en
0.0 0.5000 0.5000 0.0000
0.1 0.5475 0.5474 0.0001
0.2 0.5895 0.5893 0.0002
0.3 0.6254 0.6251 0.0003
0.4 0.6546 0.6541 0.0005
0.5 0.6763 0.6756 0.0007
0.6 0.6898 0.6889 0.0009
0.7 0.6942 0.6931 0.0011
0.8 0.6886 0.6872 0.0014
0.9 0.6719 0.6702 0.0017
1.0 0.6429 0.6409 0.0020
Tabel 5.1: Data hasil eksekusi program metoda Runge-Kutta
Dalam grafik dapat digambarkan sebagai berikut
Bila kita bandingkan dengan gambar 5.2 maka metoda Runge-Kutta jelas mem-
berikan perbedaan yang segnifikan. Solusi dari metoda ini, yn, menginterpolasi
y(xn) dengan akurat diseluruh interval domain. Berbeda dengan metoda Euler
yang akurasinya hanya ditunjukkan pada awal interval domain. Dengan demikian
interpolasi oleh hasil metoda ini tidak mengalami osilasi.
5.2.3 Metoda Multistep Linier (MML)
Metoda ini berada dalam satu kelas dengan metoda Runge-Kutta. Dalam arti
tingkat keakurasiannya sama-sama berada diatas level metoda Euler. Sedangkan
perbandingan dengan metoda Runge-Kutta sendiri tidak dapat dibandingkan, hal
ini tergantung kepada kompleknya persoalan.
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 80
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.52
0.54
0.56
0.58
0.6
0.62
0.64
0.66
0.68
0.7
__ : Solusi numeris
oo : Solusi analitik
Gambar 5.3: Metoda Runge-Kutta order 2
Secara umum metoda multistep didefinisikan sebagai berikut
k∑i=0
αiyn+i = hk∑
i=0
βifn+i. (5.24)
Bila βk = 0 maka metoda ini dikatakan multistep eksplisit dan jika tidak dise-
but implisit. Selanjutnya metoda ini dapat dispesifikasikan kedalam dua bentuk
polinomial, yang dinotasikan dengan ρ dan σ.
ρ(s) = αksk + αk−1s
k−1 + · · ·+ α0 (ruas kiri)
dan
σ(s) = βksk + βk−1s
k−1 + · · ·+ β0 (ruas kanan)
Dengan demikian untuk metoda Euler, dapatlah disajikan dalam bentuk (ρ, σ) ≡(s− 1, 1), yang kemudian disebut metoda satu step.
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 81
Kondisi dari Order MML
Definisi 5.2.6 (Kesalahan pemenggalan lokal) Kesalahan pemenggalan lokal
untuk MML didefinisikan sebagai berikut
ln =k∑
i=0
αiy(xn+i)− h
k∑i=0
βif(xn+i, y(xn+i))
=k∑
i=0
αiy(xn+i)− h
k∑i=0
βiy′(xn+i). (5.25)
Rumus ini tidak berbeda dengan denifisi (5.2.3), dengan demikian sesuai dengan
konsep ekspansi Taylor dapatlah ditulis
y(xn+i) = y(xn) + ih
1!y′(xn) +
(ih)2
2!y′′(xn) +
(ih)3
3!y′′′(xn) + . . .
y′(xn+i) = y′(xn) + ih
1!y′′(xn) +
(ih)2
2!y′′′(xn) +
(ih)3
3!y′′′′(xn) + . . .
maka
ln =k∑
i=0
αi
(y(xn) + i
h
1!y′(xn) +
(ih)2
2!y′′(xn) +
(ih)3
3!y′′′(xn) + . . .
)
−h
k∑i=0
βi
(y′(xn) + i
h
1!y′′(xn) +
(ih)2
2!y′′′(xn) +
(ih)3
3!y′′′′(xn) + . . .
)
Kelompokkan semua suku yang mempunyai order h yang sama sehingga diperoleh
ln = C0y(xn) + C1hy′(xn) + C2h2
2!y′′(xn) + . . .
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 82
dimana
C0 = αk + αk−1 + · · ·+ α0,
C1 =k∑
i=0
iαi −k∑
i=0
βi,
C2 =k∑
i=0
i2αi − 2k∑
i=0
iβi,
...
Cq =k∑
i=0
iqαi − q
k∑i=0
iq−1βi, q = 2, 3, . . . , p, p + 1, . . . , s.
Kemudian suatu metoda dikatakan berorder p bila
C0 = C1 = · · · = Cp = 0, sedang Cp+1 6= 0
Contoh 5.2.3 Buktikan bahwa MML berikut ini konsisten dalam order 3.
yn+2 + 4yn+1 − 5yn = h(4fn+1 + 2fn)
Penyelesaian 5.2.3 Gunakan sifat-sifat (5.11),(5.12) dan (5.13) sehingga didapat
ln = yn+2 + 4yn+1 − 5yn − 4hfn+1 + 2hfn
≈ y(xn+2) + 4y(xn+1)− 5y(xn)− 4hy′(xn+1)− 2hy′(xn)
Sederhanakan kedalam y(xn+1)
ln =
(y(xn+1) +
h
1!y′(xn+1) +
h2
2!y′′(xn+1) +
h3
3!y′′′(xn+1) +
h4
4!y′′′′(xn+1) + . . .
)
+4y(xn+1)− 5
(y(xn+1)− h
1!y′(xn+1) +
h2
2!y′′(xn+1)− h3
3!y′′′(xn+1)
+h4
4!y′′′′(xn+1) + . . .
)− 4hy′(xn+1)− 2h
(y′(xn+1)− h
1!y′′(xn+1) +
h2
2!y′′′(xn+1)
−h3
3!y′′′′(xn+1) + . . .
)
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 83
Dengan mengelompokkan suku-suku yang sama diperoleh
ln = 4h
4!y′′′′(xn+1) + . . .
=h
6y′′′′(xn+1) + · · · = O(h3+1)
Sehingga terbukti bahwa MML diatas adalah order 3.
Tidak dapat dipastikan bahwa bila suatu metoda konsisten akan secara otomatis
metoda itu konvergen. Oleh karena itu kita membutuhkan sarat lain yaitu nol-stabil
Definisi 5.2.7 (Nol-stabil) Suatu metoda dikatakan memiliki sifat nol-stabil atau
memenuhi kondisi akar bila akar dari ρ(s) = 0 memenuhi sifat |sn| ≤ 1. Bila semua
sn = 1 maka metoda itu dikatakan sangat stabil.
Teorema 5.2.4 Bila MML memenuhi sifat konsisten dan sekaligus nol-stabil maka
metoda itu dikatakan konvergen.
konsisten + nol-stabil ⇔ konvergen
Teorema 5.2.5 Order maksimum dari MML k-step adalah 2k untuk implisit dan
2k− 1 untuk eksplisit. Kemudian MML implisit k-step dengan order p yang mem-
punyai sifat nol-stabil akan memenuhi sifat p ≤ k +2 untuk k genap dan p ≤ k +1
untuk k ganjil, sedangkan MML eksplisit k-step memenuhi sifat p ≤ k.
Berikut ini beberapa contoh MML yang banyak dipakai
1. MML eksplisit
(a) yn+1 = yn + hfn, order 1, dan MML 1-step
(b) yn+2 = yn+1 + h2(3fn+1 − fn), order 2, dan MML 2-step
(c) yn+3 = yn+2 + h12
(23fn+2 − 16fn+1 + 5fn), order 3, dan MML 3-step
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 84
2. MML implisit
(a) yn+1 = yn + h2(fn+1 + fn), order 2, dan MML 1-step
(b) yn+2 = yn+1 + h12
(5fn+2 + 8fn+1 − fn), order 3, dan MML 2-step
(c) yn+3 = yn+2 + h24
(9fn+3 + 19fn+2 − 5fn+1 + fn), order 4, dan MML
3-step
Contoh 5.2.4 Buktikan bahwa beberapa contoh MML eksplisit maupun implisit
diatas memenuhi sifat konsistensi dan nol stabil.
5.3 Kesimpulan
Ada beberapa kesimpulan yang dapat dirangkum dalam modul ini, diantaranya
adalah:
• Bentuk umum sistem PDB order pertama adalah
y′i = fi(t, y1, y2, . . . , yn) i = 1, 2, . . . , n dan a ≤ t ≤ b. (5.26)
dengan nilai awal y1(a) = α1, y1(a) = α2, . . . , y1(a) = αn.
• Misal D = {(t, y)|a ≤ t ≤ b,−∞ ≤ y ≤ ∞} dan f(t, y) adalah fungsi
kontinyu dalam D, kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam variabel
y, yaitu
||f(t, y1)− f(t, y2)|| ≤ L||y1 − y2||untuk sebarang (t, y1), (t, y2) ∈ D dan konstanta L > 0, maka
y′(t) = f(t, y), a ≤ t ≤ b y(a) = α
mempunyai solusi tunggal y(t) untuk a ≤ t ≤ b.
• Beberapa metoda numeris yang dapat dipakai untuk menyelesaikan PDB
dengan masalah nilai awal adalah
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 85
1. Metoda Euler
y(xn+1) = y(xn) +h
1!y′(xn)
yn+1 = yn + hf(xn, yn) (5.27)
2. Metoda Runge-Kutta
k1 = f(xn, yn)
ki = f(xn + cih, yn + h
i−1∑j
aijkj), i = 1, 2, . . . ,m
yn+1 = yn + h
m∑i=1
biki. (5.28)
3. Metoda Multistep
k∑i=0
αiyn+i = h
k∑i=0
βifn+i. (5.29)
Bila βk = 0 maka metoda ini dikatakan multistep eksplisit dan jika
tidak disebut implisit.
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 86
Latihan Tutorial 5
1. Suatu sistem PD yang disajikan dalam persamaan berikut
z′′ + 2w′ = y + ew,
z′ + sin y′ + w = 1 + t2,
w′ + y cos t− z′′ = 0,
dengan nilai awal z(0) = 1, z′(0) = 1, y(0) = 1, w(0) = −20, dapat disele-
saikan dengan mudah dalam numerik bila ditransformasikan terlebih dahulu
kedalam sistem PD order satu, laku-kan transformasi itu. Kemudian un-
tuk meyakinkan sistem itu dapat mempunyai solusi tunggal terlebih dahulu
harus dicek dengan teorema Lipschitz. Sebagai gambaran periksa mana
diantara soal berikut ini yang memenuhi teorema Lipschitz:
(a) f(t, y) = y cos t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1
(b) f(t, y) = 1 + t sin y, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0
(c) f(t, y) = 2ty + t2e2, 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 0
(d) f(t, y) = 4t3y1+t4
, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1
dan tentukan besar konstanta Lipschitz dari masing-masing soal ini.
2. Perhatikan PDB y′ = −y2 dan y′ =√|y|. Buktikan bahwa kedua PDB itu
tidak memenuhi syarat Lipschitz pada selang interval 0 ≤ x ≤ 1,−∞ ≤ y ≤∞, dan pada sebarang nilai awal y(0) = y0 tunjukkan bahwa persamaan
pertama tidak mempunyai solusi pada 0 ≤ x ≤ 1. Kemudian Buktikan
bahwa persamaan kedua tidak mempunyai solusi tunggal untuk y(0) = 0.
3. Ada beberapa metoda yang dapat dipakai untuk menyelesaikan sistem PD
diatas diantaranya dengan metoda yang sederhana dari Euler yn+1 = yn +
hf(t, y). Sebagai metoda teknik Euler ini harus memenuhi sifat prinsip kekon-
vergenan, sekarang tunjukkan apakah metoda ini merupakan metoda yang
konvergen (gunakan teorema Lipschitz). Kemudian terapkan metoda ini
dalam sistem persamaan order pertama soal no. 1 untuk menghitung y1.
BAB 5. METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL 87
4. Berikan penjelasan lengkap bagaimana metoda Runge-Kutta diformulasikan.
Dan Buktikan bahwa metoda Runge-Kutta dua tahap (Runge-Kutta order
2) mempunyai sifat sebagai berikut:
a21 = c2
b1 + b2 = 1
b2c2 =1
2
5. Perbincangan kekonvergenan dapat ditempuh dengan memahami teorema
konsistensi dan nol-stabil. Sebutkan bunyi kedua teorema tadi dan telusuri
apakah metoda MML dibawah ini konsisten atau nol-stabil.
yn+3 +3
2yn+2 − 3yn+1 +
1
2yn = 3hf(tn+2, yn+2)
Sebenarnya dengan rumus∑k
i=0 αiyn+i = h∑k
i=0 βifn+i kita dapat menen-
tukan sendiri koefisien dari metoda ini terlepas dari metoda yang diperoleh
itu konvergen atau tidak. Coba gunakan α2 = 1 dan β2 = 0, dan tentukan
MML eksplisit step 3 ini, kemudian beri komentar tentang kekonverge-
nanya.
Daftar Pustaka
[1] R. L. Burden and J. D. Faires. Numerical Analysis. Brooks/Cole Publishing
Company, 1997.
[2] N. J. Higham. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. SIAM Books,
Philadelphia, 1996.
[3] J. Penny and G. Lindfield. Numerical Methods Using Matlab. Ellis Horwood
Limited, 1995.
[4] M.J.D. Powell. Approximation Theory and Methods. Cambridge University
Press, 1981.
[5] G. Strang. Linear Algebra and its Applications. Academic Press, 1988.
[6] R. S. Varga. Matrix Iterative Analysis. Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs,
New Jersey, 1962.
88