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Data Exchange
Introduzione
Data exchange & data integration: caratteristiche e differenze
Il problema del data exchange
Soluzioni universali
Core di una soluzione universale
Query answering
Composing schema mappings
07/07/2008
1
Seminari di ingegneria del software
Introduzione: Il problema dell’interoperabilità dei dati2
I dati possono essere: In posti differenti In formati differenti (relazionale, XML, …).
Esistono due approcci differenti al problema:
Data Integration
Data Exchange
07/07/20082Seminari di ingegneria del software
Data Exchange: visione d’insieme3
Il Data Exchange è un problema vecchio e ricorrente. Phil Bernstein – 2003 “Il Data exchange è il più vecchio problema sui database”
Prima applicazione: EXPRESS: IBM San Jose Research Lab – 1977
EXtraction, Processing, and REStructuring System per trasformare dati tra database gerarchici.
Applicazioni odierne: Data Warehousing, ETL (Extract-Transform-Load); XML Publishing, XML Storage, …
07/07/20083Seminari di ingegneria del software
07/07/20084Seminari di ingegneria del software
Data exchange & data integration : caratteristiche e …
Data integration :
- tripla (S, G, M)-Due approcci per M. LAV e GAV
Data exchange:
- Quadrupla (S, T, Σst , Σt)
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 5
Data exchange & data integration : … differenze
• Scopo principale
• Vincoli
• Query answering (certain answers)
Il problema del Data Exchange6
Source S Target T
Schema Mapping M = (S, T, Σ) Source schema S, Target schema T Asserzioni Σ specificano le relazioni tra S eT.
Obiettivo: Trasformare una istanza source I in una istanza target J, in modo che
<I, J> soddisfi le specifiche Σ di M.
IJ
Σ
07/07/20086Seminari di ingegneria del software
Soluzioni7
Definizione: Schema Mapping M = (S, T, Σ)Se I è un’istanza source, allora una soluzione per I è un’istanza target J tale che <I, J > soddisfi Σ.
Fatto: In generale, per un’istanza source I, Può non esistere alcuna soluzione oppure Possono esistere più soluzioni; in particolare, possono esistere infinite soluzioni
07/07/20087Seminari di ingegneria del software
Schema Mappings: Problemi8
Problema decisionale: Data una istanza source I, esiste una soluzione J perI? Problema funzionale: Data una istanza source I, costruire una soluzione J per I, assodato che
esista
Schema S Schema T
I J
Σ
07/07/20088Seminari di ingegneria del software
Data Exchange con Tgds e Egds9
Gli schema mappings di un problema di Data Exchange che verranno presi in considerazione sono composti da: Source-to-target tgds Target tgds Target egds
Tuple-generating dependencies (tgds) Equality-generating dependencies (egds)
07/07/20089Seminari di ingegneria del software
Dipendenze source-to-target10
La relazione tra source e target è data da formule della logica del primo ordine chiamate:
Source-to-Target Tuple Generating Dependencies (s-t tgds)
(x) y (x, y), dove (x) è una congiunzione di atomi sul source; (x, y) è una congiunzione di atomi sul target.
Esempio:
(Student(s) Enrolls(s,c)) t g (Teaches(t,c) Grade(s,c,g))
07/07/200810Seminari di ingegneria del software
Dipendenze source-to-target11
s-t tgds generalizzano le specifiche più importanti del data integration:
Generalizzano LAV (local-as-view) :
P(x) y (x, y), dove P è un source schema. Generalizzano GAV(global-as-view) :
(x) R(x), dove R è un target schema.
07/07/200811Seminari di ingegneria del software
Dipendenze target12
Oltre alle dipendenze source-to-target, vanno considerate anche le dipendenze target: Target Tgds : T(x) y T(x, y)
Dept (did, dname, mgr_id, mgr_name) Mgr (mgr_id, did) (dipendenza di inclusione sul target)
Target Equality Generating Dependencies (egds): T(x) (x1=x2)
(Mgr (e, d1) Mgr (e, d2)) (d1 = d2) (condizione di chiave sul target)
07/07/200812Seminari di ingegneria del software
Data Exchange13
Schema Mapping può essere visto come una quadrupla:
M = (S, T, Σst , Σt ), dove
Σst è un insieme di source-to-target tgds Σt è un insieme di target tgds e target egds
Source Schema S
Target Schema T
Σst
I J
Σt
07/07/200813Seminari di ingegneria del software
Data Exchange14
Fatto: Data una istanza source I, possono esistere più soluzioni.
Esempio: Relazione source E(A,B), relazione target H(A,B)
Σ: E(x,y) z (H(x,z) H(z,y))
Istanza source I = {E(a,b)}
Soluzioni: possono esisterne infinite! J1 = {H(a,b), H(b,b)} costanti:
J2 = {H(a,a), H(a,b)} a, b, …
J3 = {H(a,X), H(X,b)} labeled nulls:
J4 = {H(a,X), H(X,b), H(a,Y), H(Y,b)} X, Y, …
07/07/200814Seminari di ingegneria del software
Soluzioni universali15
Le soluzioni universali sono le migliori soluzioni per un problema di Data Exchange. Sono considerate le soluzioni più generali, non contengono nè più nè meno
di quanto richiesto dalle specifiche. Hanno un omomorfismo verso tutte le altre soluzioni Const: insieme dei valori che compaiono nell’istanza source Var (labeled nulls): insieme infinito di valori tali che: Var ∩ Const = {} Omomorfismo h: J1 → J2 tra istanze target:
h(c) = c, per ogni costante in Const Se P(a1,…,am) è in J1,, allora P(h(a1),…,h(am)) è in J2
07/07/200815Seminari di ingegneria del software
Soluzioni universali16
Schema S Schema T
IJ
Σ
J1J2
J3
Soluzione universale
Soluzioni
h1 h2 h3Omomorfismi
07/07/200816Seminari di ingegneria del software
Esempio17
Relazione source S(A,B), relazione target T(A,B)
Σ : E(x,y) z (H(x,z) H(z,y))
Istanza source I = {H(a,b)}
Alcune possibili soluzioni: J1 = {H(a,b), H(b,b)} non è universale
J2 = {H(a,a), H(a,b)} non è universale
J3 = {H(a,X), H(X,b)} è universale
J4 = {H(a,X), H(X,b), H(a,Y), H(Y,b)} è universale
07/07/200817Seminari di ingegneria del software
Soluzioni universali: proprietà18
Unicità sull’equivalenza omomorfica: Se J e J’ sono universali per I, allora sono omomorficamente equivalenti.
Assumiamo che Σst sia un insieme di tgds. Siano I, I’ due istanze del source schema, J una soluzione universale per I, e J’ una soluzione universale per I’. Allora Sol(I) ⊆ Sol(I ) se e solo se c’è un omomorfismo h: J’→ J. ′Di conseguenza, Sol(I) = Sol(I ) se e solo se J e J’ sono omomorficamente ′equivalenti.
07/07/200818Seminari di ingegneria del software
Trovare le soluzioni universali19
Se esiste una soluzione, una soluzione universale canonica può essere trovata utilizzando la procedura chase.
PROCEDURA CHASEsi comincia con un’istanza <I, > ∅si applica il chase a <I, > applicando le dipendenze in Σ∅ st e Σt fintantoché sono applicabili. Questa procedura può:
fallire non terminare,
.. ma se termina è garantito che l’istanza risultante soddisfa tutte le dipendenze e che, per di più, è una soluzione universale.
07/07/200819Seminari di ingegneria del software
Trovare le soluzioni universali20
CHASE STEPSia K un’istanza:(tgd) Sia d una tgd φ(x) → ∃yψ(x, y).
Sia h un omomorfismo da φ(x) a K tale che non esista un’estensione di h a un omomorfismo h’ da φ(x) ψ(∧ x, y) a K. Sia K’ l’unione di K con l’insieme dei fatti ottenuti: (a) estendendo h ad h’ in modo tale che ad ogni variabile in y sia assegnato un nuovo labeled null; (b) prendendo l’immagine degli atomi di ψ sotto h’. Diciamo che K d,h → K’.
(egd) Sia d un egd φ(x) → (x1 = x2). Sia h un omomorfismo da φ(x) a K tale che h(x1) != h(x2). Distinguiamo ora due casi:
- Se sia h(x1) che h(x2) sono in Const, fallimento- Altrimenti, sia K’ come K in cui identifichiamo h(x1) e h(x2) come segue:
- se uno è una costante, allora il labeled null è rimpiazzato dovunque dalla costante;- Se sono entrambi labeled nulls, allora ognuno è rimpiazzato dovunque dall’altro. Diciamo che K d,h → K’.
07/07/200820Seminari di ingegneria del software
Trovare le soluzioni universali21
SEQUENZA CHASEUna sequenza chase di K con Σ è una sequenza (finita o infinita) di chase stepsKi di,hi → Ki+1, con i=0,1,…., con K=K0 e d i una dipendenza in Σ.
CHASE FINITOUn chase finito di K con Σ è una sequenza chase finita:
Ki di,hi → Ki+1, con 0 ≤ i < m , con il requisito che: (a) Km =⊥ oppure (b) non c’è dipendenza d i in Σ e non c’è omomorfismo h i tale che d i possa essere applicato a Km con h i .
07/07/200821Seminari di ingegneria del software
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 22
Th. Si assuma una configurazione di Data Exchange in cui Σst consiste in tgds e Σt consiste in tgds e egds.1.Sia <I,J> il risultato di un qualche chase finito di <I, > ∅ con Σst ∪ Σt. Allora J è una soluzione universale.2.Se esiste un qualche chase finito di <I, > ∅ che fallisce con Σst ∪ Σt allora non esiste soluzione.
La dimostrazione fa uso del seguente lemma:
Lemma. sia K1 d,h → K2 un chase step dove K2!= ⊥. Sia K un’istanza tale che: (i) K soddisfa d e (ii) esiste un omomorfismo h1 : K1 → K. Allora esiste un omomorfismo h2 : K2 → K.
Teorema: chase e soluzioni universali
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 23
Dimostrazione teorema: La dimostrazione del teorema si basa sul precedente lemma e sull’osservazione che l’ “identity mapping” è un omomorfismo da <I, > a <I, J’> per ogni ∅soluzione J’.
1.Dimostrazione parte 1: <I,J> soddisfa Σst ∪ Σt . Sia J’ una soluzione arbitraria. <I,J’> soddisfa Σst ∪ Σt . L’identity mapping id: <I, >∅ → <I, J’> è un omomorfismo. Dal lemma, si ottiene un omomorfismo h:<I,J>→ <I,J’>. Quindi, J è universale.
2.Dimostrazione parte 2: chase step fallisce d deve essere un egd di Σt, detto φ(x) → (x1 = x2), e
h : φ(x) → J è un omomorfismo tale che h(x1) e h(x2) sono due costanti distinte c1 e c2.
Per assurdo si supponga che esista una soluzione J’. Omomorfismo identità id:<I, >∅ → <I, J’> implica, dal lemma, l’esistenza
dell’omomorfismo g: :<I, J>→ <I, J’>. Quindi, g ◦ h : φ(x) → J’ è un omomorfismo J’ soddisfa d deve essere il caso in cui g(h(x1)) = g(h(x2)) e quindi g(c1) =
g(c2). Gli omomorfismi sono identità su Const, quindi c1=c2, che è una contraddizione.
Teorema: chase e soluzioni universali
Esempio (chase infinito)24
S: DeptEmp(dpt_id, mgr_name, eid)T: Dept(dpt_id, mgr_id, mgr_name), emp(eid, dpt_id). Σst = { DeptEmp(d, n, e) → M.∃ Dept(d,M, n) ∧ Emp(e, d) } Σt = { Dept(d, m, n) → D.∃ Emp(m,D),
Emp(e, d) → M N.∃ ∃ Dept(d,M,N) }I = {DeptEmp(CS,Mary, E003) }
Applicando il chase < I, > ∅ con Σst si ottiene l’istanza target: J1 = {Dept(CS,M,Mary), Emp(E003, CS)}
J ={Dept(CS,M,Mary), Emp(E003, CS), Emp(M,D), Dept(D,M’,N’), . . . }
D’altro canto, una soluzione finita esiste. Due soluzioni (nessuna delle quali universale) sono ad esempio:
J’ ={Dept(CS,E003,Mary), Emp(E003, CS)}J’’ ={Dept(CS,M,Mary), Emp(E003, CS), Emp(M,CS)}
07/07/200824Seminari di ingegneria del software
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 25
Soluzioni universali: Full tgds
I full tgds sono dei tgds senza variabili esistenzialmente quantificate, nella forma:
T(x) T(x), dove T(x) e T(x) sono congiunzioni di atomi target
Esempio (full tgd) H(x,z) H(z,y) H(x,y) C(z)
E’ stato provato che ogni sequenza chase con un insieme Σ di full tgds ha lunghezza finita.Inoltre, ogni insieme di egds può essere aggiunto a Σ senza influenzare questo risultato.
Tuttavia, .. non sono molto utili in pratica
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 26
Soluzioni universali: Weakly Acyclic Set
La nozione di WAS (Weakly Acyclic Set) include:-Insiemi di full tgds - insiemi aciclici di dipendenze di inclusione
Sia Σ un insieme di tgds, costruiamo il grafo delle dipendenze:
1.Esiste un nodo per ogni (R,A) dove R è un simbolo di relazione e A un attributo di R;
2.Si aggiungono gli archi come segue: per ogni per ogni tgd φ(x) → y ψ(x, y) in Σ e per ogni x che occorre in ψ e per ∃ ogni occorrenza di x in φ in (R, Ai):
a. Si aggiunge un arco (R, Ai) (S, Bj) ( se non esista già) per ogni x in ψ in posizione (R,Bj). b. Si aggiunge un arco speciale (R,Ai) (T,Ck) ( se non esiste già) per ogni y in ψ in posizione (T, Ck) •
DEF. Σ è weakly acyclic se il grafo delle dipendenze non contiene cicli attraverso archi speciali.
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 27
Soluzioni universali: Weakly Acyclic Set
Esempio:
S : DeptEmp(dpt_id,mgr_name,eid)T : Dept(dpt_id, mgr_id, mgr_name) ; Emp(eid, dpt_id)
Σst = { DeptEmp(d, n, e) → ∃M.Dept(d,M, n) Emp(e, d) }∧Σt = { Dept(d, m, n) → D.Emp(m,D), ∃ Emp(e, d) → M N.Dept(d,M,N) }∃ ∃ Non è weakly acyclic!!
Esempio:
Σ’t = { Dept(d, m, n) → Emp(m, d),Emp(e, d) → M N.Dept(d,M,N) }∃ ∃
OK
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 28
Soluzioni universali: Weakly Acyclic Set
Th. Sia Σ l’unione di un weakly acyclic set of tgds con un insieme di egds, e sia K
un’istanza. Allora esiste un valore polinomiale nella dimensione di K che limita la
lunghezza di ogni sequenza chase di K con Σ.
DIM. Per ogni nodo (R,A) (posizione) Siano:
-Σ senza egds;- incoming path: ogni percorso che finisce in (R, A);- rank: numero max di archi speciali su ogni incoming path- r: il massimo di rank(R, A)- p: il numero di nodi nello schema- partizioniamo i nodi in N0, N1, …., Nr con Ni insieme dei nodi con rank =i;-n il numero totale di valori distinti che appartengono all’istanza K. - K’ qualsiasi istanza ottenuta da K dopo qualche arbitraria sequenza di chase.
Lemma. per ogni i esiste un polinomio Qi, tale che il numero di valori distinti che occorrono in tutti i nodi (R,A) di Ni, in K’, è al più Qi(n).
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 29
Soluzioni universali: Weakly Acyclic Set
DIM. (per induzione) Lemma
Passo Base: (R, A) è in N0 Q0(n) = n;
Passo induttivo: un valore può occorrere in un nodo di Ni, in K’, per:1. È stato copiato da qualche nodo in Nj con j != i, durante un chase step.2. È stato generato come nuovo valore (labeled null) durante un chase step.
Quanti valori possono essere generati nel Caso (2)?Sia (R,A) un nodo in Ni.
Induttivamente, il numero di valori distinti che possono esistere in tutti i nodi in N0 U …. U Ni-1 è limitato da P(n) = Q0(n) + …. + Qi-1(n). Sia d il numero max di archi speciali che entrano in un nodo. Il numero totale di nuovi nodi: (P(n))d x D, dove D è il numero di dipendenze in Σ. Considerando tutti i nodi in Ni: G(n) = pi x (P(n))d x D con pi è il numero di nodi in Ni. Considerando che lo schema e Σ sono fissi, G è polinomiale.
N0 U …. U Ni-1. * (R,A)
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 30
Soluzioni universali: Weakly Acyclic Set
Quanti valori possono essere copiati da un nodo in Nj a un nodo in Ni con j != i ?
N0 U …. U Ni-1.(R,A)
Quindi il numero massimo è limitato dal numero totale di valori in N0 U …. U Ni-1 che è P(n).
Ricapitolando Qi(n) = n + G(n) + P(n)Notare che i <= r(costante)
Ne consegue che il numero totale di tuple che possono esistere in K’ è al più (Q(n)) •
Corollario: Si assuma una configurazione di Data Exchange in cui Σst sia un insieme di tgds e Σt l’unione di un weakly acyclic set of tgds con un insieme di egds. L’esistenza di una soluzione può essere controllata in tempo polinomiale. Se la soluzione esiste, allora una soluzione universale può essere trovata in tempo polinomiale.
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 31
La più piccola soluzione universale: il CORESoluzioni universali multiple: qual è la migliore? Quale utilizzare? CORE
Def. Sia G = (N, A) un grafo. Un sottografo G’ = (N’, A’) è il core di G se:1. ∃ un omomorfismo da G a G’.2.! ∃ un omomorfismo da G’ a qualche altro
sottografo proprio di G’.
G è un core se è un core di se stesso.
Esempio. S: E(x,y) T: H(x,y)Σst : E(x,y) ∃ z (H(x,z) H(z,y)) Σt = Ø. I = { E(a,b) }.
Soluzioni universali:J1 = {H(a,X), H(X,b)} è il core.J2 = {H(a,X), H(X,b), H(a,Y), H(Y,b)} è una sol univ •
Universal solution J
core(J)
homomorphism
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 32 08/07/2008Seminari di ingegneria del software 32
La più piccola soluzione universale: il CORE
Complessità.Il problema nella sua generalità è intrattabile.
ma…
- CORE IDENTIFICATION (DP-complete)- CORE RECOGNITION (coNP-complete)
…
Prop. Sia (S, T, Σst, Σt) uno schema mapping:
1.Tutte le soluzioni universali hanno lo stesso core.2.Il core di una soluzione universale è la più piccola soluzione universale.
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 33
La più piccola soluzione universale: il CORE
..in certi setting il core di una soluzione universale può essere calcolato in tempo polinomiale:
-∑st un insieme di s-t tgds e ∑t un insieme di egds.
- Algoritmo Greedy ( semplice ma utilizza l’istanza sorgente )
- Algoritmo Blocks ( più complessa ma utilizza solo l’istanza target)
- ∑st un insieme di s-t tgds e ∑t un insieme di weakly acyclic tgds con arbitrarie egds.
Query Answering34
Schema S Schema T
IJ
Σ q
Definizione: Le risposte certe di una query q su T su I
certain(q,I) = ∩ { q(J): J è una soluzione per I }.
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 34
Risposte certe35
certain(q,I)
q(J1)
q(J2)q(J3)
certain(q,I) = ∩ { q(J): J è una soluzione per I }.
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 35
Trovare le risposte certe36
Th: Si assuma che M = (S,T,Σst ∪ Σt) sia uno schema mapping tale che Σst sia un insieme di tgds source-to-target e Σt sia un insieme di target egds e target tgds. Sia q un unione di query congiuntive sullo scherma target T (Si ricorda che una query congiuntiva è una formula del primo ordine nella forma wχ(x,w), dove χ(x,w) è una congiunzione di atomi).
1. Se I è un’istanza source e J è una soluzione universale per I, allora certainM(q, I)= q(J)↓, dove q(J)↓ è l’insieme di tutte le tuple di q(J) senza null, ovvero tutte le tuple t in q(J) tali che ogni valore in t sia una costante di Const.
2. Sia I un’istanza source e J una soluzione tale che per ogni query congiuntiva q su T, si ha che certain(q, I) = q(J)↓. Allora J è universale.
Quindi, certain(q,I) è computabile in tempo polinomiale in |I|:1. Computare una soluzione universale canonica J in tempo polinomiale;2. Valutare q(J) e rimuovere le tuple con i null.
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 36
Trovare le risposte certe37
Dimostrazione
1. Sia q una query di arità k che è l’unione di query congiuntive e sia t una k-tupla di costanti dall’istanza source I. t appartiene a certain(q,I), t appartiene a q(J), con J soluzionet appartiene a q(J)↓ t consiste solamente di costanti. Inoltre esistono un termine φ(x) in q e un omomorfismo g : φ(x) → J tale che g(x) = t. Sia J’ una soluzione arbitraria. J è una soluzione universale c’è un omomorfismo h : J → J’. Allora h ◦ g è un omomorfismo da φ(x) a J’. Gli omomorfismi sono identità sulle costanti, per cui h(g(x)) = h(t) = t. Quindi t appartiene a q(J’).
2. Sia q^j la query congiuntiva canonica associata a J (ad esempio, la query congiuntiva booleana ottenuta prendendo la congiunzione di tutti i fatti di J nei quali i labeled null sono sostituiti da variabili esistenzialmente quantificate).
Si sa che certain(q^j, I) = q^j(J) ↓ = q^j(J), dove la prima uguaglianza deriva dall’assunzione su J, e la seconda deriva dal fatto che q^j è una query booleana. Quindi finchè q^j(J) = true, si ha che certain(q^j,I) = true. Inoltre, se J’ è una soluzione arbitraria, si ha che q^j(J’) = true. Questo implica l’esistenza di un omomorfismo h : J → J’. Quindi J è universale.
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 37
Risposte certe e soluzione universale38
q(J1)
q(J2)q(J3)
certain(q,I) insieme di tuple senza null di q(J).
q(J)certain(q,I)
q(J)
Soluzione universale J per I
q: unione di query congiuntive
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 38
Esempio39
Sia M uno schema mapping tale che:
Σst = {E(x, y) → ( z∃ )(H(x, z) H∧ (z, y))}Σt = .∅
Sia I l’istanza source che consiste semplicemente nel fatto E(1,2).Sia q(x) la query congiuntiva wH∃ (x,w). E’ facile verificare che
certain(q,I) = {1}. Prendiamo in considerazione la seguente soluzione universale per I:
J = {H(1, u),H(u, 2)}
Si può notare che q(J) = {1,u}, quindi eliminando i valori nulli si ottiene q(J)↓ = {1} = certain(q,I), come ipotizzato dal teorema.
07/07/200839Seminari di ingegneria del software
Esempio (Query congiuntive con disuguaglianze)40
Sia M lo stesso schema mapping dell’esempio precedente:
Σst = {E(x, y) → ( z)(H(x, z) H(z, y))}∃ ∧Σt = .∅
Sia I l’istanza source che consiste semplicemente nel fatto E(1,1).Sia q(x) la query congiuntiva w (H(x,w) w!=x) . E’ facile verificare che ∃ ∧
certain(q,I) = {}. Prendiamo in considerazione la seguente soluzione universale per I:
J = {H(1, u),H(u, 1)}Si può notare che q(J) = {1,u}, quindi eliminando i valori nulli si ottiene q(J)↓ = {1} != certain(q,I), per cui il teorema non è soddisfatto.
07/07/200840Seminari di ingegneria del software
Risposte certe e disuguaglianze41
Th: Si assuma che M = (S,T,Σst ∪ Σt) sia uno schema mapping tale che Σst sia un insieme di tgds source-to-target e Σt sia un insieme di target egds e un weakly acyclic set di target tgds.
1. Sia q un’unione di query congiuntive con al più una disuguaglianza per query congiuntiva. Allora le risposte certe di q sono computabili in tempo polinomiale.
2. Sia q un’unione di query congiuntive con disuguaglianze. Il problema delle risposte certe per q è un problema in coNP.
3. Computare le risposte certe di unioni di query congiuntive con disuguaglianze può essere un problema coNP-completo anche se l’unione consiste di due query congiuntive ognuna della quali abbia al massimo due disuguaglianze e il cui schema mapping non abbia condizioni target.
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 41
Risposte certe e core42
Si assuma che M = (S,T,Σst ∪ Σt) sia uno schema mapping tale che Σst sia un insieme di tgds source-to-target e Σt sia un insieme di target egds e target tgds. Si assuma anche che I sia un’istanza source per la quale esistano soluzioni universali. Sia J0 il core delle soluzioni universali per I. Sia q un unione di query congiuntive con disuguaglianze.
q(J0) q⊆ (J), per ogni soluzione universale J per I; q(J0)↓ = ∩ {q(J) : J è universale per I} certain⊆ (q, I).
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 42
Risposte certe universali43
Risposte certe: “Possibili mondi” = Soluzioni Risposte certe universali: “Possibili mondi” = Soluzioni universali
Definizione: Risposte certe universali di una query q su T su I
u-certain(q,I) = ∩ { q(J): J è una soluzione universale per I }.
Dalle definizioni segue che certain(q, I) u-certain⊆ (q, I) . Inoltre, se q è un’unione di query congiuntive e I è un’istanza source per la quale esiste soluzione universale, si ha che certain(q, I) = u-certain(q, I).
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 43
Trovare le risposte certe universali44
Schema mapping M = (S, T, st, t) tale che: st è un insieme di tgds source-to-target t è un insieme di target egds e target tgds. Sia q una query esistenziale su T. Se I è un’istanza source e J è una soluzione universale per I, allora u- certain(q,I) = l’insieme di tutte le tuple “senza null” in q(core(J)).
Si noti che l’unione di query congiuntive con disuaglianze è un caso speciale di query esistenziali.
07/07/2008Seminari di ingegneria del software 44
Risposte certe universali e core45
q(J1)
q(J2)q(J3)
u-certain(q,I) = insieme di tutte le tuple senza null di q(core(J)).
q(J)u-certain(q,I)
q(core(J))
Soluzione universale J per I
q: esistenziale
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Composing Schema Mapping
DEF. Scriviamo Inst(M) l’insieme di tutte le istanze <I, J> di M. Siano M12 = (S1, S2, Σ12 ) e M23 = (S2 , S3 , Σ23 ) due schema mappings tali che S1 , S2 , S3 non abbiano simboli relazionali in comune. Uno schema mapping M13 = (S1 , S3 , Σ13 ) è una composizione di M12 e M23 se Inst(M13) = Inst(M12) ° Inst(M23), ossia:
Inst(M13) = { <I1 , I3> | Exist I2 tale che <I1 ,I2> Inst(M12) e <I2 ,I3> Inst(M23) }
Proprietà:
- Equivalenza logica - Inst(12 ) Inst(23 ) è chiusa sotto l’isomorfismo
Composition Query: date due istanze I1 e I3 è <I1 ,I3> Inst(M12) ° Inst(M23)?
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Composing Schema Mapping
Composing s-t tgdsPunto chiave: chiusura dei linguaggi sotto la composizione
12
Σ12
23
Σ23
12 23
Σ13
Composition
Query
Insieme finito di full tgds
Insieme finito di full tgds
Insieme finito di full tgds
P-timeInsieme finito di full tgds
Insieme finito di s-t tgds
Insieme finito di s-t tgds
Insieme finito di s-t tgds
Insieme finito di full tgds
Insieme infinito di s-t tgds
P-time (att)
Singola s-t tgds Insieme finito di full s-t tgds
Non definibile --
Insieme finito di s-t tgds
Insieme finito di s-t tgds
Formula esist. 2 ordine
NP
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Composing Schema Mapping
Second-order tgds
Def: Sia S uno schema sorgente e T uno schema target. Una second-order tuple-
generating dependency (SO tgd) è una formula:
f1 … fm( (x1(1 1)) … (xn(n n)) ), dove:
-Ogni fi è un simbolo di funzione.
- Ogni i è un’intersezione di atomi da S ed uguaglianze di termini
- Ogni i è un’intersezione di atomi da T.
Esempio: f (e( Emp(e) Mgr(e,f(e) ) e( Emp(e) (e=f(e)) SelfMgr(e) ) )
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Composing Schema Mapping
SO-tgds - Proprietà:
- La composizione di SO tgds è definibile in un SO tgds
- Esiste un algoritmo per comporre SO-tgds
- Chasable
- Per gli schema mapping specificati da SO tgds, le certain answers di query congiuntive target sono calcolabili in tempo polinomiale
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Composing Schema Mapping
Computing – Algoritmo Compose
∑12 = Exists f ( e ( Emp(e) Mgr1(e, f(e) ) ) )∑23 = Exist e,m ( Mgr1(e, m) Mgr(e, m ) ) AND p.o. e ( Mgr1(e, e) SelfMgr(e) )
Input: due schema mappings M12=(S1, S2, ∑12) e M23=(S2 , S3 ,∑23) con ∑12 e ∑23 SO tgds.Output: una composizione M13 = (S1 , S3 , ∑13) dove ∑13 è un insieme di SO tgds.
- Dividere le SO tgds in ∑12 e ∑23.Es: C12 = Emp(e) (Mgr1(e, f(e)) C23 = Mgr1(e,m) Mgr(e,m) Mgr1(e,e) SelfMgr(e)- Componi C12 con C23
Es: P1 : Emp(e0) (e=e0) (m = f(e0)) Mgr1(e,m) P2 : Emp(e0) (e=e0) (e = f(e0)) SelfMgr(e)- Costruisce M13
Es: ∑13 = f ( e0 e m P1 e0 e P2)
-Return M13 = (S1, S3, ∑13)
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Grazie per l’attenzione !!!