Datos y Azar Final

rECurSOS PArA LA FOrMACIN INICIAL DE PrOFESOrES DE EDuCACIN BSICA

Datos y AzarPARA FUTUROS PROFESORES DE EDUCACIN BSICA

Texto para el formador

Proyecto FONDEF CONICYT D09 I1023 (2011 2014)

Directora de Proyecto: Salom Martnez

Autores: Eugenio Chanda

Alejandro Lpez

Salom Martnez

Francisco Martnez

Daniela Rojas

Direccin editorial: Arlette Sandoval Espinoza

Correccin de estilo: Mara Paz Contreras Aguirre

Direccin de arte: Carmen Gloria Robles Seplveda

Coordinacin diseo: Katherine Gonzlez Fernndez

Diseo Portada: Jos Luis Jorquera Dlz

Diagramacin: Rossana Allegro Valencia

Produccin: Andrea Carrasco Zavala

Primera edicin: marzo 2014

Ediciones SM Chile S.A.

Coyancura 2283, oficina 2013,

Providencia. Santiago de Chile.

www.ediciones-sm.cl

Atencin al cliente: 600 381 13 12

Impreso en Chile/ Printed in Chile

No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento informtico, ni su transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea digital, electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.


AuTOrES:

Eugenio Chanda,

Universidad de Chile

Alejandro Lpez,

Universidad Andrs Bello

Salom Martnez,


Francisco Martnez,


Daniela rojas,


PARA FUTUROS PROFESORES DE EDUCACIN BSICA

rECurSOS PArA LA FOrMACIN INICIAL DE PrOFESOrES DE EDuCACIN BSICA


Datos y Azar

4 Datos y Azar - REFIP

ReFIP Matemtica

Recursos Pedaggicos para la Implementacin de los Estndares de Formacin Inicial de Profesores de Enseanza Bsica en Matemticas. Proyecto FONDEF - CONICYT D09 I1023 (2011 - 2014).

Institucin ejecutora principal Centro de Modelamiento Matemtico (CMM), Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas, Universidad de Chile

Institucin ejecutora asociadaFacultad de Matemticas, Pontificia Universidad Catlica de Chile

Entidades asociadasEdiciones SM Chile, Ministerio de Educacin, Fundacin Luksic y Academia Chilena de Ciencias

5Texto para el formador

Directora Salom Martnez (Universidad de Chile, Centro de Modelamiento Matemtico)Director alterno Hctor Ramrez (Universidad de Chile, Centro de Modelamiento Matemtico)

Anita Araneda (Pontificia Universidad Catlica de Chile) Eugenio Chanda (Universidad de Chile) Luis Dissett (Pontificia Universidad Catlica de Chile) Macarena Larran (Universidad del Desarrollo) Renato Lewin (Pontificia Universidad Catlica de Chile) Alejandro Lpez (Universidad Andrs Bello) Rubn Lpez (Universidad Catlica de la Santsima Concepcin) Salom Martnez (Universidad de Chile) Andrs Ortiz (Universidad Catlica de la Santsima Concepcin) Cristin Reyes (Universidad de Chile) Daniela Rojas (Universidad de Chile) Horacio Solar (Universidad Catlica de la Santsima Concepcin) Mara Alejandra Sorto (Texas State University) Mara Leonor Varas (Universidad de Chile) Pierina Zanocco (Universidad Santo Toms)

Jos Luis Abreu (Universidad Nacional Autnoma de Mxico) Pablo Dartnell (Universidad de Chile) Joel Espinoza (Universidad Nacional Autnoma de Mxico) Mara Jos Garca (Pontificia Universidad Catlica de Chile) Nancy Lacourly (Universidad de Chile) Francisco Martnez (Universidad de Chile) Mara Victoria Martnez (Universidad de Chile) Josefa Perdomo (Universidad de Chile) Elizabeth Suazo (Universidad de Concepcin) Rodrigo Ulloa (Universidad Catlica de la Santsima Concepcin) Claudia Vsquez (Pontificia Universidad Catlica de Chile, sede Villarrica)

Mara Aravena (Universidad Catlica del Maule) Miguel Daz (Universidad de Via del Mar) Patricio Felmer (Universidad de Chile) Arturo Mena (Pontificia Universidad Catlica de Valparaso) Raimundo Olfos (Pontificia Universidad Catlica de Valparaso)

Patricio Felmer (Universidad de Chile) Carmen Montecinos (Pontificia Universidad Catlica de Valparaso) Jaime Snchez (Universidad de Concepcin)

Guido Del Pino (Pontificia Universidad Catlica de Chile)

Pedro Gmez (Universidad de Los Andes, Colombia)

Dinko Mitrovic (Universidad de Santiago de Chile) Elizabeth Montoya (Pontificia Universidad

Catlica de Valparaso)

Carlos Prez (Universidad de Concepcin) Francisco Rojas (Pontificia Universidad

Catlica de Chile)

Pierre Romagnoli (Universidad Andrs Bello) Marisol Valenzuela (EducaUC)

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Introducin ....................................................................................................................................... 8

I. Presentacin de la coleccin de textos ReFIP .................................................................. 91. El conocimiento matemtico para ensear 102. Elaboracin de los textos 12

II. Investigacin realizada en el proyecto ReFIP .................................................................16Los aspectos socioafectivos de la educacin matemtica: Conociendo la ansiedad matemtica 16

III. Texto ReFIP: Datos y Azar.....................................................................................................291. Estructura del texto 322. Contenidos del texto de Datos y Azar 343. Bibliografa usada 354. Articulacin del texto con los estndares orientadores

para egresados de carreras de pedagoga en educacin bsica 405. Ejemplos de ejercicios o problemas del texto de Datos y Azar

vinculados a los estndares orientadores para egresados de carreras de pedagoga en educacin bsica 44

6. Articulacin del texto con las bases curriculares de matemtica de 1 a 6 bsico 50

7. Vinculacin del texto ReFIP con el conocimiento del currculum escolar 53

8. Recursos multimedia complementarios al texto 64


8 Datos y Azar - REFIP

Introduccin

Este libro es un complemento de la coleccin ReFIP Matemtica Re-cursos para la Formacin Inicial de Profesores de Educacin Bsica en Matemtica, la cual es una serie de cuatro textos: Nmeros, Geometra, lgebra y Datos y Azar, enfocados en la matemtica para ensear que requieren los profesores de educacin bsica. Esta coleccin fue elabo-rada en el proyecto FONDEF-D09I1023, por un equipo de expertos dis-ciplinarios y pedaggicos de distintas universidades, liderados desde el Laboratorio de Educacin del Centro de Modelamiento Matemtico de la Universidad de Chile.

La coleccin de textos ReFIP est diseada teniendo como marco los Estndares Orientadores para Egresados de Carreras de Pedagoga en Educacin Bsica y las Bases Curriculares para Educacin Bsica de 1 a 6 bsico. Es as, que esta coleccin es una herramienta de apoyo para implementar los estndares en las carreras de pedagoga.

El presente texto es un material de apoyo a la coleccin y est dirigido a los formadores de profesores con el propsito de entregar orientaciones que permitan vincular el contenido de la coleccin con los Estndares y herramientas para su implementacin en el aula universitaria.

En el captulo I se presenta el proyecto ReFIP, la motivacin para su realizacin y el contexto en el que se desarrolla. Se hace una breve resea del marco terico que sustenta la forma en que escribieron los textos: el Conocimiento Matemtico para Ensear1. Se describe adems el proceso de elaboracin de los textos, dando cuenta de la magnitud del proceso de pilotaje, tanto en cantidad de alumnos de pedagoga que usaron las versiones iniciales de los textos, como en la diversidad de universidades que participaron en el proyecto.

En el captulo II se presenta una investigacin realizada con datos obtenidos durante el proyecto, sobre la ansiedad matemtica. Se muestra cmo la ansiedad matemtica afecta el desarrollo del proceso de apren-dizaje, y cmo las creencias y expectativas de los profesores afectan a los nios y nias. Se muestra la relacin de la ansiedad matemtica de acuer-do con el gnero. Se presenta un test para medirla, y finalmente se ofrece una actividad para tratar este tema con estudiantes de pedagoga bsica.

En el captulo III se presenta el texto ReFIP, lgebra, explicando el for-mato en que aparece el material, as como los contenidos cubiertos. Se en-trega una lista de la bibliografa consultada, comentando los recursos ms relevantes usados en la elaboracin del texto. Se entregan, adems, tablas que relacionan el texto ReFIP con el eje lgebra de los estndares de forma-cin, y se dan ejemplos de esta cobertura. Se entregan tambin tablas sobre la vinculacin del currculum con el texto, y ejemplos de uso para cubrir la progresin de los contenidos presentes en el currculum.

1BALL, D. L., HILL, H. C., BASS H. (2005), Knowing Mathematics for Teaching. Who Knows Mathe-matics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide? American Educator, 29(1), pp. 14-17, 20-22, 43, 46.

Texto para el formador 9

I. Presentacin de la coleccin de textos ReFIPEn la ltima dcada, el Ministerio de Educacin consciente de la ne-

cesidad de reforzar la calidad de la formacin inicial docente ha venido impulsando un conjunto de acciones estratgicas, entre las cuales destacan la definicin de Estndares Orientadores para egresados de las carreras de Pedagoga, la Evaluacin Diagnstica de los conocimientos de los egresados de carreras de Pedagoga (Prueba Inicia), la creacin de la Beca Vocacin de Profesor, la implementacin de convenios para mejorar el desempeo de las Facultades de Educacin de la universidades nacionales y la promocin de la Carrera Docente, entre otras.

El proyecto Fondef, ReFIP Matemtica se propuso producir una coleccin de textos para estudiantes de Pedagoga en Educacin Bsica, y material de apoyo para formadores de profesores, en lnea con los Estndares, buscando contribuir en la mejora de la preparacin para ensear matemtica de futuros profesores, a travs de la interpretacin de los Estndares. Asimismo, el proyecto busc aportar a la formacin de capacidades locales, en instituciones de educacin superior de todo el pas, para favorecer la implementacin de los mismos Estn-dares, en los distintos programas de Pedagoga en Educacin Bsica.

En lnea con los Estndares Orientadores para Carreras de Pedagoga en Educacin Bsica, se elaboraron cuatro textos, en correspondencia con los cuatro ejes de matemtica: Nmeros, Geometra, lgebra y Datos y Azar. El contenido matemtico de los textos est centrado en el Conocimiento Ma-temtico para Ensear, concepto en el que profundizaremos ms adelante, abordando aspectos como razonamiento matemtico, lenguaje matemtico, representaciones, resolucin de problemas, uso de material concreto, errores y dificultades, entre otros.

Cada captulo de los textos de la coleccin ReFIP, est organizado de ma-nera que el futuro profesor aprenda y ejercite los conceptos matemticos im-portantes. Se comienza con el desarrollo del conocimiento matemtico para ensear, profundizando en aquellos aspectos que permiten argumentar pro-piedades, algoritmos, etc. En este desarrollo se espera motivar en los futuros profesores la necesidad de contar con nuevas herramientas, presentando lue-go los contenidos asociados, para suplir dicha necesidad. Cada vez que resulta necesario, el texto destaca en recuadros las principales ideas y conceptos que se han desarrollado hasta all. Adems, el desarrollo del contenido se va articulando con propuestas para la reflexin, ejemplos y ejercicios que buscan consolidar los aprendizajes de los futuros profesores. Se presentan adems recursos multimedia para estudiantes de pedagoga, producidos dentro del proyecto, para cada uno de los ejes del currculum.

Datos y Azar - REFIP10

En su esencia, los textos persiguen:

Abordar las dimensiones de los Estndares que cruzan los ejes: saber la matemtica para ensear y saber ensear la matemtica.

Favorecer la integracin del conocimiento disciplinar y pedaggico.

Incorporar los contenidos acordes al currculum escolar vigente en el pas.

Poner el foco en el Conocimiento Matemtico para Ensear, que com-prende el conocimiento matemtico y el conocimiento pedaggico de la matemtica.

Abordar el conocimiento del currculum escolar, dificultades y erro-res, el uso de material concreto y distintos tipos de representaciones.

Incluir actividades de reflexin.

Abordar el razonamiento matemtico, el uso de lenguaje matemtico y la resolucin de problemas.

1. El conocimiento matemtico para ensear

Hoy existe evidencia de que la matemtica que se pone en juego en la sala de clase es un conocimiento disciplinar especializado para la tarea de ensear, distinto del conocimiento que se requiere, por ejemplo, para realizar operaciones matemticas cotidianas o para hacer clculos de ingeniera2 . Este conocimiento forma parte de lo que se ha denominado conocimiento matemtico para ensear o MKT (Mathematical Knowledge for Teaching), que incluye conocimientos disciplinares y conocimientos pedaggicos del contenido (ver recuadro). Se trata de un conocimiento disciplinar que es ex-clusivo del profesor y que en general no desarrolla ni requiere ningn otro profesional que haga uso de las matemticas en su trabajo.

En este sentido, el proyecto trabaj teniendo claro que la matemtica escolar no es una matemtica trivial, sino una matemtica profunda y espe-cializada; y que para lograr el dominio que requiere un profesor, se necesita tiempo y dedicacin.

A partir del concepto de conocimiento pedaggico del contenido3 in-troducido por Lee Shulman en la dcada de los 80, se produjo un gran mo-vimiento tendiente a identificar y describir conocimientos de los profesores que se encontraban en una regin intermedia entre los conocimientos peda-ggicos generales y los conocimientos disciplinares puros.

2 Ver cita anterior.


Ms recientemente, investigadores de la Universidad de Michigan, agrupados en el proyecto Learning Mathematics for Teaching, han aportado sustanti-vamente a precisar tanto estos conocimientos pedaggicos situados en los contenidos como - y principalmente- a caracterizar el conocimiento disci-plinar contextualizado en la enseanza. Hacia fines de la primera dcada de este siglo el modelo propuesto por este grupo considera un conjunto de seis componentes que integran el conocimiento matemtico para ensear4.

(*)El proyecto ReFIP se propuso que este tipo de conocimiento fuera el foco de los textos para formacin de profesores. El esfuerzo se orient a cubrir el conjunto de seis componentes que conforman el conocimiento matemtico para ensear.

Los componentes, como se observa en la figura, se organizan en dos grandes grupos: conocimiento del contenido y conocimiento pedaggico del contenido.

El conocimiento matemtico para ensear

Conocimiento del contenido

Conocimiento matemtico comn

Conocimiento de alumnos y matemtica

Conocimiento especializado del contenido matemtico

Conocimiento del currculo

Conocimiento de un horizonte matemtico

Conocimiento del contenido y la enseanza

Conocimiento peda-ggico del contenido

Para ilustrar las diferencias entre los distintos componentes de este co-nocimiento, el siguiente ejemplo muestra cmo en torno a una misma tarea matemtica (multiplicar) se despliegan distintos conocimientos vinculados a cada una de las componentes del modelo:

Conocimiento matemtico comn: Saber multiplicar nmeros de tres cifras

Conocimiento especializado del contenido matemtico: Reconocer la va-lidez de procedimientos alternativos al algoritmo de multiplicacin usual.

Conocimiento de un horizonte matemtico: reconocer el rol de la propie-dad distributiva en distintos contextos matemticos como la multiplicacin de expresiones algebraicas o la regla de los signos para multiplicar enteros.

3 Shulman, L. S.(1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher Feb. 1986: 4-14.(AERA Presidential Address).4 BALL, D. L., THAMES, M. H., PHELPS, G. (2008), Content Knowledge for Teaching. What Makes it Special? Journal of Teacher Education, 59(5), pp. 389-407.

Figura 1


Conocimiento de alumnos y matemtica Conocer las dificultades y errores frecuentes de los nios en este mbito y saber diagnosticarlos.

Conocimiento del contenido y la enseanza Saber cmo enfrentar las dificultades de los estudiantes con la multiplicacin de modo de superarlas.

Conocimiento del currculum saber cmo secuenciar tareas de mul-tiplicacin de nmeros de diverso tipo de acuerdo a las exigencias del currculo nacional.

Los tres dominios destacados con letra negra en la figura (Conocimiento de un horizonte matemtico, Conocimiento del contenido y la enseanza, y Conocimiento del currculo) han sido evaluados masivamente en profesores de Estados Unidos, Noruega, Corea, Irlanda, Alemania, Indonesia, Ghana y Chile. En estudios longitudinales realizados en Estados Unidos5 y en Alema-nia6, que incluyeron evaluaciones a los estudiantes, se logr probar la relacin entre mayores ganancias de aprendizaje de los alumnos con mayor conoci-miento de su profesor. Es ms, este conocimiento es el que mejor explica el mayor aprendizaje de los nios, en comparacin con el impacto de otros factores, tales como el conocimiento disciplinar puro, la cantidad de asigna-turas de matemtica cursadas por los profesores, el conocimiento pedaggico general. Es decir, se trata de un conocimiento valioso.

2. Elaboracin de los textos

La elaboracin de los textos ReFIP fue una tarea que requiri de miradas di-versas y de la incorporacin de los usuarios finales del material que se elaborara, los estudiantes de carreras de pedagoga en enseanza bsica y sus profesores ( for-madores). Por eso desde un comienzo el equipo comprendi que para emprender una tarea de esta naturaleza era imprescindible llevar adelante un proceso par-ticipativo, que contara adems con mecanismos efectivos de retroalimentacin.

Teniendo presentes estos factores, el diseo del proyecto consider la temprana validacin de los textos en elaboracin, mediante un proceso am-plio de pilotaje (prueba en el aula) en asignaturas dentro de programas de formacin inicial de profesores. En cuanto a la elaboracin de los textos, la opcin fue convocar tambin a un trabajo colaborativo, para la redaccin de las versiones que seran utilizadas en el proceso de pilotaje. En una segunda etapa, la informacin recogida como resultado de los pilotajes y otras formas de evaluacin de los textos, fue usada por el equipo del proyecto para ajustar y editar la versin final de los textos.

5 HILL, H. C., ROWAN, B., BALL, D. L. (2005), Effects of Teachers Mathematical Knowledge for Teaching on Student Achievement. American Educational Research Journal, 42(2), pp. 371-406

6 BAUMERT, J., KUNTER, M., BLUM, W., BRUNNER, M., VOSS, T., JORDAN, A., KLUSMANN, U., KRAUSS, S., NEUBRAND, M., TSAI, Y.M. (2010). Teachers Mathematical Knowledge, Cognitive Activation in the Classroom, and Student Progress. American Education Research


2.1 Versiones iniciales

La elaboracin de las versiones iniciales de los textos, que se usaran en el proceso de pilotaje7, se llev adelante en un trabajo de grupos de autores en torno a cada uno de los textos. El esquema de trabajo conside-r que en esta etapa los textos fueran de autora colectiva, concordando aspectos fundamentales de ellos.

Estaba previsto que los temas se abordaran con un enfoque y un len-guaje comn, mostrando conexiones entre las distintas reas de la mate-mtica y homogeneidad en la redaccin. De este modo, si bien los autores trabajaron en grupos centrados en la elaboracin y redaccin de conteni-dos de cada uno de los textos, fue el equipo en su conjunto el que aport con sugerencias o crticas a los avances presentados en cada reunin. Los grupos de trabajo en torno a cada texto no fueron siempre estables, sino que algunos autores fueron rotando y otros se fueron incorporando en forma gradual, para dar respuesta a requerimientos especficos.

Las versiones iniciales de los textos se probaron en aula en un pi-lotaje amplio para as poder incorporar la visin de los usuarios acerca del material producido. Adems, mediante este proceso se recopil in-formacin sobre el uso de los textos, aprovechando esta instancia para promover la transferencia del proyecto a las universidades que imparten carreras de Pedagoga en Educacin Bsica.

5 El pilotaje de un texto corresponde a su uso en una seccin de alguna asignatura relacionada con matemtica dentro de un programa de Pedagoga en Educacin Bsica.


El proceso de pilotaje permiti al Proyecto ReFIP Matemtica:

Retroalimentar a los autores, desde la perspectiva de los forma-dores y de los futuros profesores, en el proceso de elaboracin de los textos.

Recopilar material para la elaboracin del texto del formador.

Medir el impacto del uso de los textos, y a partir de ello iniciar di-versas investigaciones en el mbito de la formacin inicial docente.

El pilotaje se realiz en un conjunto de universidades distribuidas a lo largo del pas y que imparten la carrera de Pedagoga Bsica. Se consider una muestra de universidades que estuvieran interesadas en participar y que representaran la diversidad existente en el pas, en cuanto a localiza-cin geogrfica, tipo de universidad (pblica, privada, perteneciente o no al Consejo de Rectores de las Universidades Chilenas, CRUCH), exigencias de ingreso a los alumnos (Prueba de Seleccin Universitaria y puntajes de ingreso), entre otros factores.

En total, durante los dos semestres de 2012 y el primer semestre de 2013 participaron en el proceso de pilotaje 16 universidades, ubicadas en-tre Iquique y Punta Arenas, que imparten la carrera de Educacin Bsica:

En el primer semestre de 2012 se probaron dos de los textos en 13 uni-versidades (56 secciones), sumando 2.300 alumnos aproximadamente.

En el segundo semestre de 2012 se probaron los textos en 14 univer-sidades (75 secciones), sumando 2.700 alumnos aproximadamente.

En el primer semestre de 2013 se usaron los textos en 3 univer-sidades (7 secciones), sumando 200 alumnos aproximadamente.

Las universidades que participaron en los pilotos fueron las siguientes:

Regin Universidad

Tarapac Universidad Arturo Prat.

Valparaso Universidad de Playa Ancha, Universidad de Via del Mar, Universidad de Las Amricas.

Metropolitana Pontificia Universidad Catlica de Chile, Universidad de las Amricas, Universidad Santo Toms, Universidad Diego Portales, Universidad del Desarrollo, Universidad Alberto Hurtado, Universidad San Sebastin, Universidad de Los Andes.

Bo Bo Universidad de las Amricas, Universidad San Sebastin, Universidad Catlica de la Santsima Concepcin, Universidad del Bo Bo, Univer-sidad de Concepcin.

La Araucana Pontificia Universidad Catlica de Chile, Universidad Catlica de Temuco.

Los Ros Universidad San Sebastin.

Los Lagos Universidad San Sebastin.

Magallanes Universidad de Magallanes.


Para el desarrollo de los pilotajes, se utilizaron versiones prelimi-nares de los cuatro textos, que fueron distribuidas a cada uno de los formadores y a todos los estudiantes de pedagoga bsica participantes en el proceso. Cada formador decidi la forma como utilizar el libro en apoyo a su curso, en una o varias unidades o mdulos, dependiendo de la estructura del programa de cada asignatura.

En la etapa de pilotaje (2012), los libros fueron utilizados como ma-terial de clase o de apoyo por aproximadamente 5000 estudiantes de 131 secciones. Adems se realizaron capacitaciones a los acadmicos que impartieron los cursos.

Texto Nmero de pilotos Nmero de alumnos

Nmeros 44 1.865

lgebra 29 937

Geometra 33 1.295

Datos y azar 25 858

Total 131 4.955

Para evaluar el uso y el impacto de los textos se aplicaron a lo largo del proceso de pilotaje una serie de instrumentos orientados tanto a los docentes como a los estudiantes: encuestas para alumnos (de satisfac-cin, y de creencias y actitudes8), pruebas de Conocimiento Matemtico para Ensear9 y encuestas de Expectativas Docentes y Ansiedad Mate-mtica.

Los textos en su versin inicial fueron tambin sometidos a eva-luacin por parte del Comit Asesor del proyecto y otros evaluadores externos. Adicionalmente, a travs de un taller de trabajo con un grupo de estos evaluadores, se logr obtener y socializar consensos en torno al valor de los textos como herramientas pedaggicas y la pertinencia de sus enfoques y contenidos. Tambin se recogi informacin relevante, complementaria a la obtenida a travs de las evaluaciones individuales de cada texto, sobre los ajustes o mejoras necesarias, del enfoque y los contenidos, para contribuir al proceso de elaboracin final.

8 Desarrollada por el proyecto Teacher Education and Development Study in Mathematics, TEDS-M, de la International Association for the Evaluation of Educational Achievement, IEA.

9 Desarrolladas por el proyecto LMT, Learning Mathematics for Teaching, de la Universidad de Michigan.


2.2 Versiones Finales

En la etapa final, el trabajo se concentr en la redaccin de las ver-siones definitivas de los textos, sobre la base de la acumulacin de apren-dizajes obtenidos en distintos momentos del proyecto: elaboracin de las versiones iniciales, opiniones de usuarios y evaluacin experta.

El trabajo de elaboracin de las versiones definitivas se centr en dar coherencia global a cada texto, introduciendo ajustes de contenido y for-ma. Para ello, cada libro qued a cargo de un grupo de autores responsable de producir el texto final.

Los textos finales, si bien se elaboraron a partir de las versiones ini-ciales, tienen caractersticas distintas a aquellas de los textos usados en los pilotajes, ya que buscan constituirse en un texto gua de un curso.

En esta ltima etapa se presentaron las versiones revisadas de los textos a los miembros del Comit Editorial. Ellos discutieron, en una reu-nin con miembros del equipo del proyecto, las proyecciones del material elaborado y el proyecto en general.

II. Investigacin realizada en el proyecto refipLos aspectos socioafectivos de la educacin matemtica: conociendo la ansiedad matemtica

Cuando los egresados de pedagoga comienzan su ejercicio profesional y toman contacto con el aula escolar, descubren rpidamente que ensear matemticas es ms que transmitir contenidos y desarrollar habilidades. Los nios desarrollan desde muy temprano actitudes hacia la asignatura que se-rn relevantes para su posterior trayectoria acadmica y profesional. Se espera que un profesor de matemticas efectivo sea capaz de formar estudiantes que se relacionan positivamente con las matemticas y que creen en sus propias capacidades para adquirir conocimiento matemtico. Sin embargo, la forma-cin inicial de profesores presenta generalmente pocas instancias para abor-dar estos aspectos socioafectivos de la educacin matemtica. En la presente seccin realizamos una sntesis de informacin relevante desde un fenmeno concreto que muchos acadmicos formadores de profesores observan en sus estudiantes: la ansiedad matemtica.


Qu es la ansiedad matemtica?

La ansiedad matemtica es un estado de tensin que se produce en algu-nas personas cuando realizan operaciones numricas o resuelven problemas matemticos en diferentes situaciones acadmicas y cotidianas (Richardson & Suinn, 1972). Resolver un ejercicio en la pizarra frente a compaeros de curso o calcular cmo dividir la cuenta en un restaurant son situaciones que pueden resultar amenazantes y difciles para las personas con alta ansiedad matemtica, desarrollando en una verdadera matemafobia que los lleva a evitar este tipo de situaciones. De acuerdo a una reciente investigacin, este malestar incluso puede observarse claramente en el cerebro: cuando las per-sonas que padecen este tipo de ansiedad anticipan que debern resolver un ejercicio de matemticas se registra una activacin de la nsula dorsal pos-terior, la zona del cerebro que normalmente se activa con el dolor fsico y el rechazo social (Lyons & Beilock, 2012).

La ansiedad matemtica no se hereda ni es intrnseca a algunas perso-nas, sino que se desarrolla tempranamente en los nios a partir de sus viven-cias relacionadas a las matemticas y la educacin matemtica. Este proceso puede entenderse como un ciclo negativo de evitacin que se repite en el tiempo (Mitchel, 1987; Robertson, 1991): en la primera etapa, un estudiante tiene una experiencia negativa con las matemtica; como respuesta, en la se-gunda etapa, el estudiante evita las situaciones que involucran matemticas, incluyendo aquellas situaciones que conducen a aumentar sus competencias en matemticas (por ejemplo, estudiar en el hogar); el estudiante finalmente tiene una mala preparacin en matemticas (etapa 3), que lo lleva a tener un mal rendimiento en matemticas (etapa 4) y nuevas experiencias negativas.

La sala de clases, un punto de partida para la ansiedad matemtica

El ciclo de evitacin de las matemticas es un modelo conceptual muy til para comprender la ansiedad matemtica y reconstruir analticamente sus orgenes. Se ha preguntado directamente a sujetos con alta ansiedad por las primeras experiencias negativas que los llevaron a desarrollar una aversin hacia las matemticas. En estos estudios (Freiberg, 2005; Perry, 2004) uno de los antecedentes mencionado ms frecuentemente es haber tenido malas experiencias con profesores durante la enseanza bsica. La escuela y la sala de clases juegan un rol clave en el desarrollo inicial de actitudes hacia las matemticas. Muchas veces se tiene poca conciencia de algunas situaciones de aula que pueden tener gran impacto en los nios, por ejemplo, cuando no pueden resolver un ejercicio en la pizarra frente a sus compaeros.

Los acadmicos formadores de profesores suelen conocer muchos estu-diantes que se ajustan a este perfil: jvenes con un largo historial de episodios de frustracin con la matemtica que parecen estar convencidos que las ma-temticas simplemente superan los lmites de sus capacidades.


Cmo afecta la ansiedad matemtica a las personas?

A nivel cognitivo, la ansiedad matemtica afecta la capacidad de resol-ver problemas matemticos reduciendo la memoria de trabajo disponible (Ashcraft & Kirk, 2001). La memoria de trabajo es un recurso limitado para el procesamiento de informacin y las personas ansiosas utilizan una parte importante de ella preocupndose por la tarea que deben realizar. Conside-remos el caso de un estudiante con ansiedad matemtica que resuelve un problema en una prueba. Su memoria y atencin se dividen en 3 focos: retener las instrucciones que contextualizan el problema, aplicar los algoritmos ma-temticos que debe ocupar y, finalmente, la ansiedad que la situacin suscita. Comparado con un estudiante sin ansiedad matemtica, este alumno dispone de menos memoria de trabajo para responder la pregunta. Esto es un hallaz-go fundamental, ya que implica que los resultados en pruebas estandarizadas de los estudiantes que padecen ansiedad matemtica pueden ser un reflejo distorsionado de sus capacidades reales (Ashcraft & Moore, 2009).

A nivel personal, la ansiedad matemtica afecta el gusto por las mate-mticas, la educacin matemtica y las decisiones vocacionales (Hembree, 1990). Existe una alta correlacin negativa entre la ansiedad y el gusto por las matemticas y esto explica por qu los estudiantes con alta ansiedad mate-mtica evitan tomar cursos electivos que involucren esta materia. Cuando llega el momento de tomar decisiones vocacionales y seguir estudios supe-riores, los estudiantes excluyen de sus opciones las carreras que creen que son intensivas en matemticas (Scarpello, 2005). De hecho, muchos estudios han comprobado que los niveles de ansiedad matemtica no se distribuyen uniformemente entre estudiantes de distintas carreras universitarias. De manera paradigmtica, existe una gran prevalencia de ansiedad matemtica en estudiantes de pedagoga, especialmente entre estudiantes de pedagoga bsica (Baloglu & Koak, 2006; Bessant, 1995). La alta incidencia de la ansie-dad matemtica en la profesin docente resulta preocupante, especialmente cuando se considera que los profesores sern unos de los principales referen-tes con que las nuevas generaciones de nios establecern su relacin con las matemticas.


El gnero y la transmisin de la ansiedad matemtica

La relacin entre el gnero y la ansiedad matemtica es un tema de gran inters y ha sido investigado de manera extensa. Una pregunta central de la literatura ha sido las diferencias en niveles segn sexo: tienen mayor ansiedad matemtica los hombres o las mujeres? La evidencia al respecto es contradictoria. Existen estudios que han mostrado niveles ms altos en las mujeres que en los hombres (Wigfield y Meece, 1988; Yksel-ahin, 2008; Baloglu y Kocak, 2006; Woodart, 2004), otros han mostrado niveles ms altos en hombres que en mujeres (Abed & Alkhateeb, 2001; Reavis, 1989; Sandman, 1979) y un ltimo grupo de estudios que no encuentra diferencias significativas segn sexo (Newstead, 1998; Chiu y Henry, 1990; Chinn, 2009; Devine et al. 2012). Tambin existen estudios que evalan si las diferencias de gnero influyen en la relacin entre la ansiedad matemtica y el desempeo matemtico, produciendo nuevamente variados resultados (Betz, 1978; Miller y Bichsel, 2004; Birgin et al. 2010). Considerando toda la evidencia, una explicacin plausible es que es el contexto cultural el factor que determina realmente la magnitud y direccin de la relacin entre gnero y ansiedad matemtica, de la misma forma en que las diferencias de rendimiento en matemticas entre hombres y mujeres se deben principalmente a factores culturales y no biolgicos (Hanna, 1989).

Un aspecto en que el gnero y la ansiedad matemtica parecen tener una relacin ms clara es que las profesoras mujeres con altos niveles de ansiedad aumentan la ansiedad de sus alumnas mujeres. En un reciente estudio se realiz un seguimiento a profesoras mujeres de enseanza bsica y sus alumnos (Beilock et al. 2010). Tras un ao escolar, se observ que las alumnas mujeres de profesoras con alta ansiedad matemtica adhirieron ms a estereotipos de gnero (los hombres son mejores que las mujeres para las matemticas) y tuvieron peor rendimiento en matemticas que las alumnas mujeres de profesoras no ansiosas y los alumnos hombres de todos los grupos. Otras investigaciones han confirmado resultados similares (Antecol, 2012; Gunderson et al. 2012). En este sentido, si bien no es posible afirmar que las mujeres tengan mayores niveles de ansiedad matemtica que los hombres, hay fuerte evidencia de que las alumnas mujeres son especialmente susceptibles a repetir patrones de ansiedad matemtica cuando los observan en sus profesoras mujeres.


Cmo afecta la ansiedad matemtica a los profesores?

Mltiples estudios han explorado como la ansiedad y las actitudes negati-vas hacia las matemticas se traducen en prcticas docentes poco adecuadas. Los profesores con actitudes negativas suelen utilizar estrategias pedaggicas donde los estudiantes tienen poca autonoma individual y desarrollan depen-dencia hacia la figura del profesor (Karp, 1991). Tambin se ha observado que los profesores con altos niveles de ansiedad matemtica dan menos espacio a preguntas durante la clase: los cursos de profesores sin ansiedad matem-tica pueden llegar a hacer el doble de preguntas en clase que el curso de un profesor ansioso (Bush, 1989). En general, la ansiedad matemtica individual acarrea una ansiedad para ensear matemticas en los profesores (Hadley & Dorward, 2011) que puede manifestarse de mltiples formas.

Existen tambin investigaciones y evidencia sobre los efectos de la ansie-dad matemtica en estudiantes de pedagoga, ya que son una poblacin ms accesible para los investigadores de este fenmeno. Para estos estudiantes, la ansiedad a las matemticas est relacionada de manera fuerte y negativa con convicciones de eficacia docente por las matemticas: mientras ms ansiedad sienten, menos seguros estn de poder ensear las matemticas (Bursal & Paznokas, 2006; Swars et al. 2006; Gresham, 2008). En una reciente investi-gacin realizada en Chile se descubri que la ansiedad matemtica puede influir el ejercicio docente de maneras significativas pero sutiles, por ejemplo, a travs de la formacin de expectativas y creencias sobre los estudiantes. Los estudiantes de pedagoga que tienen un nivel de ansiedad sobre la me-diana asignan peores expectativas de futuro acadmico a nios que tienen dificultades con las matemticas en el colegio, y tambin son ms proclives a recomendar que los nios con dificultades en la asignatura sean enviados a cursos de educacin especial (Martnez, Martnez y Mizala, 2014).

Analizando los resultados de una encuesta sobre ansiedad matemtica en 420 estudiantes chilenos de pedagoga general bsica provenientes de dis-tintas universidades, fue posible constatar que la relacin afectiva hacia las matemticas debe ser un eje relevante en la formacin inicial de profesores. Resulta especialmente llamativo que existen estudiantes con nivel alto de ansiedad matemtica incluso entre quienes toman la mencin especfica en matemticas ( figura 1). Adems, se observ una relacin significativa entre el grado de ansiedad y las creencias hacia las matemticas ( figura 2): los es-tudiantes ms ansiosos son ms cercanos a creer en mtodos de aprendizaje dirigido y ms cercanos tambin a la creencia que caractersticas fijas de las personas determinan su capacidad para aprender matemticas (por ejemplo, que los hombres son mejores que las mujeres, o que la habilidad matemtica no cambia a lo largo de la vida). En conjunto, estos resultados dibujan un desafo doble para la formacin inicial de profesores en Chile: los programas de pedagoga logran disminuir la ansiedad matemtica de los futuros profe-sores?, y por otra parte, se entregan herramientas para que ellos afronten la ansiedad matemtica de sus futuros alumnos?


Figura 1. Porcentaje de estudiantes con y sin mencin en matemticas, segn tramo de ansiedad matemtica

80%

60%

40%

20%

0%

10,40%

26,60%

73,20%

54,10%

16,40%19,40%

Sin mencinCon mencin

100%

Figura 2. Niveles de ansiedad matemtica segn creencias hacia las matemticas

80

60

40

20

0

55,16

66,73

87,95 84,7184,71 83,48

26,43 26,78

43,97 40,18

100

Ansiedad mate-mtica baja

Ansiedad mate-mtica alta

Matemtica como conjunto

de reglas y procedimientos

Matemtica como proceso de indagacin

Aprendizaje dirigido

Aprendizaje activo

Factores de aprendizaje

Nota: puntajes de 0 a 100%, donde mayor porcentaje indica mayor grado de acuerdo con el set de creencias.

Cmo enfrentamos la ansiedad matemtica en la formacin de profesores?

Segn la evidencia disponible, la ansiedad matemtica no es tratada sis-temticamente en la formacin inicial. De acuerdo a una revisin de mallas y programas de pedagoga de 11 universidades chilenas, ninguna inclua men-cin a la ansiedad matemtica en ninguno de sus cursos (Varas et al. 2008). Al analizar los resultados de la encuesta de ansiedad matemtica en estudiantes de pedagoga chilenos, es posible notar que los niveles de ansiedad son pa-rejos entre estudiantes que cursan distintos aos de la carrera ( figura 3). Es decir, tomar y aprobar los cursos de matemtica y pedagoga en matemticas de las carreras no mejora sustantivamente la actitud que los futuros profeso-res tienen hacia la disciplina.


Figura 3. Niveles de ansiedad matemtica segn ao en la carrera de pedagoga

80

60

40

20

0

43,09

Ao de la carrera

40,03 42,71 42,3747,31

100

1 2 3 54

Nota: puntajes de 0 a 100%, donde mayor porcentaje indica mayor ansiedad matemtica

En parte, estos dficits para abordar el fenmeno pueden vincularse a la carencia de instrumentos diseados para medir y diagnosticar los niveles de ansiedad matemtica. Si bien la ansiedad matemtica ha sido estudiada por acadmicos norteamericanos desde la dcada de 1970, recin el ao 2013 se valid en espaol un cuestionario para medir ansiedad matemtica y se realizaron las primeras investigaciones sistemticas al respecto en muestras chilenas. La disponibilidad actual de estos instrumentos puede ser un factor clave para generar mayores evidencias y sensibilizar la comunidad educativa nacional sobre la relevancia de la ansiedad matemtica en la educacin esco-lar y la formacin de profesores.


Midiendo la ansiedad matemtica

La preocupacin acadmica por la ansiedad a las matemticas data de la dcada de 1950 en Estados Unidos. Sin embargo el tema comenz a discutirse ms profusamente con la aparicin del primer cuestionario que permiti medir la ansiedad matemtica de manera confiable y objetiva: la escala MARS (Mathematics Anxiety Rating Scale). La escala MARS se compone de 98 tems, cada tem presenta una breve descripcin de comportamientos en situaciones que involucran matemticas y los encuestados deben responder cunto se parece la situacin descrita a su propia realidad. Este instrumento psicomtrico tiene la desventaja de ser muy extenso y requerir considerable tiempo para su aplicacin.

Otros investigadores han desarrollado nuevos instrumentos que buscan mantener la confiabilidad de la medicin utilizando menos preguntas. Ejemplos de estos instrumentos abreviados son la encuesta MARS-R (Alexander & Martray, 1989) y AMAS ( Hopko et al. 2003). Un segundo aspecto a considerar en la medicin de este constructo es que investigaciones recientes postulan que la ansiedad matemtica es un concepto multidimensional: por ejemplo, Alexander & Martray (1989) proponen que la ansiedad matemtica se compone de tres ansiedades relacionadas: ansiedad las pruebas matemticas, a los ejercicios numricos y a las clases de matemticas (Alexander & Martray, 1989).

Por ltimo, los cuestionarios para medir la ansiedad matemtica tambin se diferencian segn la poblacin objetivo que contesta el instrumento. Existen grandes diferencias en las situaciones matemticas que vive un nio de enseanza bsica y las situaciones que enfrenta un estudiante universitario o un adulto. En este sentido, es recomendable escoger un instrumento cuyos tems presentan situaciones que sern verosmiles para los encuestados.

Para acceder a cuestionarios gratuitos en espaol para medir la ansiedad matemtica, se recomienda ingresar al sitio web: http://refip.cmm.uchile.cl/, administrado por el Laboratorio de Educacin del Centro de Modelamiento Matemtico de la Universidad de Chile.

No existe una receta nica para aliviar la ansiedad matemtica, ni una metodologa estndar para abordar la ansiedad matemtica dentro del cu-rrculo de formacin de profesores, pero un necesario primer paso es tomar conciencia del fenmeno y abrir la discusin. A continuacin proponemos una actividad que el acadmico formador de profesores puede utilizar para introducir el concepto de ansiedad matemtica en su curso y estimular una reflexin colectiva.


Una actividad modelo para introducir el concepto de ansiedad matemtica en un curso de pedagoga

Objetivos de la actividad: Que los estudiantes conozcan el concepto de ansiedad matemtica y sus causas.

Facilitar en los estudiantes el desarrollo de un autoconcepto positivo en relacin a las matemticas.

Facilitar el intercambio de experiencias entre estudiantes en torno a la ansiedad matemtica

Contexto ideal: Una sesin de clase o taller de un curso de matemticas o didcticas de las matemticas.

Duracin: Entre 70 y 90 minutos de actividades presenciales.


Planificacin de la actividad

Tiempo Contenido ActividadMateriales utilizados

Resultado espe-rado

15 min. Explicacin concepto de ansiedad matemtica y modelo de ci-clo evitativo.

El profesor / relator presenta la historia de un nio que desarrolla ansiedad matemticas. La historia puede ser real o un caso ficticio, pero se debe procurar que incluya detalles y especifique qu experiencias negativas inician el ciclo de evitacin y cmo el ciclo se desarrolla.

Apoyo visual tipo proyec-tor (opcio-nal).

Los estudiantes conocen el con-cepto de ansiedad matemtica y el modelo de ciclo evitativo.

15 - 20 min. Visualizacin de experien-cias previas de partici-pantes.

El profesor entrega las instrucciones de un trabajo personal: los estudian-tes / participantes deben registrar experiencias previas negativas con las matemticas; qu sintieron al tener esa experiencia; qu sienten ahora al recordar la experiencia.

Papeles y lpiz (cada estudiantes / participante).

Los estudiantes historizan el desarrollo de su autoconcepto en relacin a las matemticas.

20 - 25 min. Discusin co-lectiva de las experiencias registradas.

El profesor dirige una discusin grupal e invita a los participantes a contar las experiencias que registraron. Se estimu-la la participacin de los estudiantes y es esperable que se presenten experien-cias similares entre estudiantes, pero que tuvieron reacciones emocionales diferentes. De manera opcional, el pro-fesor puede sugerir que los estudiantes se organicen en grupos que tuvieron experiencias similares.

(no requiere materiales)

Los estudiantes intercambian experiencias en torno a la ansie-dad matemtica.Los estudiantes pueden reconocer que otras personas han tenido expe-riencias similares y se contribuye al desarrollo de un autoconcepto ma-temtico positivo.

5 - 10 min. Visualizacin de situacin actual y metas de desarrollo personal en relacin a las matemticas.

El profesor entrega las instrucciones de un trabajo personal: los estudiantes deben reflexionar individualmente y escribir cul es su sentimiento actual hacia las matemticas y cmo les gustara desarrollarse en el futuro en relacin a las matemticas.

Papeles y lpiz (cada estudiantes / participante).

Los estudiantes plantean su autoconcepto y relacin con las matemticas como algo que se puede desarrollar y mejorar con el tiempo. Se facilita un autoconcepto matemtico positivo.

15 - 20 min. Discusin grupal de las situaciones individuales y propsitos.

El profesor entrega las instrucciones para un trabajo grupal: en cada grupo, los estudiantes comentan los resultados de la actividad previa y discuten distin-tas estrategias para lograr sus propsi-tos en relacin a las matemticas.

(no requiere materiales)

Los estudiantes intercambian expe-riencias y discuten estrategias para superar la ansiedad matemtica.


Referencias

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Datos y Azar

Este texto es parte de la coleccin Re-FIP: Recursos para la Formacin Inicial de Profesores que se basa en los Estndares Orientadores para egresados de carreras de Pedagoga en Educacin Bsica. En este sentido los textos de esta coleccin recono-cen los contenidos disciplinares presentes en los estndares y se desarrollan con el objeto de formar un profesor de Educacin Bsica competente en el rea de Matem-tica. Dado que los Estndares proponen cuatro ejes de conocimiento en el rea de matemtica, la coleccin de Textos ReFIP considera estos cuatro ejes y los desarrolla en cuatro Textos: Nmeros, Geometra, l-gebra y Datos y Azar.

Dado que los Estndares proponen cuatro ejes de conocimiento en el rea de matemtica, la coleccin de Textos ReFIP considera estos cuatro ejes y los desarrolla en cuatro Textos, a saber: Nmeros, Geo-metra, lgebra y Datos y Azar.


1. Estructura del texto

Contenido organizado en Captulos y seccionesLos textos ReFIP estn divididos en captulos y estos en secciones. Algu-

nas secciones tienen subsecciones para analizar con mayor detalle los conte-nidos que se desprenden de ella.

Introduccin y presentacin del contenidoCada captulo aborda de manera sistemtica y profunda los contenidos

disciplinarios de cada eje. Para esto se introduce al lector en el tema mediante ejemplos o una discusin general de los contenidos que abordar el captulo.


reflexin sobre las dificultades y errores que surgen al abordar el contenido.

Una de las tareas profesionales que cada profesor tiene al ensear un conteni-do es reflexionar sobre los posibles errores y dificultades que un estudiante podra presentar al abordarlo. Por esta razn los textos ReFIP presentan al lector, en cada uno de los captulos, algunos errores aso-ciados al contenido que se trata en ste.

En resumen

Los textos ReFIP presentan un cuadro que resume los contenidos abordados en cada una de las secciones o subsecciones.

Ejercicios y problemas en cada seccin

Para practicar y consolidar el conoci-miento, al finalizar cada seccin, los textos ReFIP presentan un listado de ejercicios y problemas.

Ejemplos

Para una mayor comprensin de los contenidos, los textos muestran ejemplos de actividades o tareas que se desprenden de los ya tratados.

Para pensar

Para generar discusiones o reflexionar sobre los contenidos ya tratados, o los que vienen, los textos ReFIP proponen activi-dades Para pensar.


2. Contenidos del texto de datos y azarEn el primer captulo de este libro se estudia el ciclo de investigacin, por

una parte, como un proceso cientfico para responder preguntas de inters y, por otra, como un mtodo de enseanza y aprendizaje de la estadstica escolar. Este proceso, que comienza con la observacin de fenmenos y la formulacin de hiptesis o preguntas relacionadas a estos, promueve la argu-mentacin en base al anlisis de informacin extrada de datos que provienen de experimentos o simulaciones, creando as nuevo conocimiento respecto al fenmeno de inters. Por lo tanto, se ha escogido este mtodo en la enseanza de la estadstica, ya que permite integrar tanto los conocimientos propios de esta disciplina, como los relacionados con la ciencia.

En el segundo captulo se estudian los conceptos de poblacin, mues-tra y variables estadsticas. Se motiva la necesidad de establecer estos con-ceptos, para luego discutirlos en detalle. Primero se establece el concepto de poblacin de estudio y luego el concepto de muestra. Se discuten las di-versas formas de recolectar la informacin requerida para responder a la o las preguntas de investigacin. Finalmente, se trata el concepto de variable estadstica, y se hace una diferenciacin entre tipos, lo que ser de utilidad para comprender el material desarrollado en los Captulos III y IV.

En el captulo tres se presentan formas de organizar los datos obtenidos, de manera de extraer la mayor cantidad de informacin relevante a partir de estos. Se introduce la representacin de datos a travs de tablas de fre-cuencias, donde se estudia la representacin para una variable de manera individual, extendindolo luego a representaciones para estudiar el compor-tamiento de dos variables de manera conjunta. Por otra parte, se presentan representaciones grficas de los datos, donde distinguimos desde grficos concretos, hasta representaciones ms abstractas, como grficos de barras, histogramas y grficos circulares, entre otras. Finalmente, se discute sobre estos dos tipos de representaciones con una visin general, destacando su carcter complementario.

Las medidas de resumen de distribuciones de datos son estudiadas en el captulo cuatro. Se tratan las medidas de tendencia central, estableciendo los conceptos de media, mediana y moda. Se estudian las medidas de posicin re-lativa, en particular, cuartiles, quintiles, deciles y percentiles, y finalizando con el diagrama de cajn con bigotes, o boxplot, que integra estos estadsticos. Finalmente, se estudian medidas de dispersin o variabilidad de los datos.

En el captulo final, se estudia una forma de cuantificar la incerteza, a travs de la probabilidad, presentando una definicin formal y resultados que nos ayudan a trabajar con ella. En particular, se muestra la importancia de entender la incerteza como una caracterstica inherente a toda actividad del ser humano, y la necesidad de modelarla. Se introduce la probabilidad como una medida de la incerteza frente a la ocurrencia de ciertos acontecimien-tos, y se entrega su definicin frecuentista, para luego generalizarla a partir


de sus propiedades. Finalmente, se discuten las reglas que permiten obtener probabilidades de acontecimientos complejos, en base a las probabilidades de ocurrencia de fenmenos simples.

3. Bibliografa usadaPara elaborar el texto consultamos distintos libros y documentos. Las referencias uti-

lizadas son las siguientes:

Batanero, C. y Daz, C. (Eds.). Estadstica con proyectos. Departamento de Didctica de la Matemtica. Granada. Espaa. 2011.

Batanero, C Burrill, G., y Reading, C. Teaching statistics in school mathematics. Cha-llenges for teaching and teacher education. A Joint ICMI/IASE Study. ICMI Study volume 14. Springer. New York. 2011.

Beckmann, S. Mathematics for elementary teachers (2a Edicin). Editorial Pearson Education. USA. 2008.

Batanero, C. Estadstica y didctica de la matemtica: relaciones, problemas y apor-taciones mutuas en Penalva, C., Torregrosa, G. y Valls, J. (Eds.), Aportaciones de la didctica de la matemtica a diferentes perfiles profesionales (pp. 95-120). Univer-sidad de Alicante. Granada. Espaa. 2002.

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Ministerio de Educacin. Estndares Orientadores Para Egresados De Carreras De Pedagoga En Educacin Bsica. Recuperado el 1 de marzo del 2013. Disponible en: http://www.mineduc.cl/usuarios/cpeip/File/2012/librobasicaokdos.pdf

Reys, R. Helping Children Learn Mathematics. 9a edicin. Wiley. USA. 2004. Sowder, J., Sowder, L. y Nickerson S. Reconceptualizing Mathematics for Elementary School

Teachers: Instructors Edition. W. H. Freeman and Company, New York. USA. 2009. Utts, J. y Heckard, R. Mind on Statistics. 3a edicin. Thomson. Belmont. USA. 2007.


A continuacin describimos el aporte de algunos de ellos.

Los Captulos 15 y 16 del texto de Beckmann, cubren los contenidos de los 5 captulos del texto ReFIP, Datos y Azar. El captulo 15 trata los conteni-dos referidos a estadstica descriptiva usando el ciclo de investigacin como eje central para el desarrollo de los contenidos. Este captulo se us para los captulos I, II, III y IV del texto ReFIP. El captulo 16 aborda las probabilida-des desde una perspectiva axiomtica, se discute el lenguaje asociado a las probabilidades y se discuten los elementos base, como suceso o experimento aleatorio y se trata la asignacin de probabilidades. El captulo finaliza con la definicin de probabilidad como lmite de una frecuencia relativa. Si bien se revis este libro para conocer su enfoque, el texto ReFIP de Datos y Azar toma otra postura, comenzando con esta definicin de probabilidad, discutiendo luego el lenguaje asociado, llegando a los axiomas y la definicin de probabi-lidad de Laplace. Este texto desarrolla los contenidos en base a ejemplos, e incluye buenos ejercicios y actividades, algunos de los cuales tratan razona-mientos que pueden observarse en el aula escolar. El texto tambin discute errores y dificultades en la adquisicin de conceptos estadsticos.

El Captulo 15 de la Parte II del libro de Lee Peng Yee contiene reco-mendaciones concretas relacionadas a distintos elementos presentes en la enseanza de la estadstica y la probabilidad como: dificultades, uso de re-presentaciones, razonamiento, mapas conceptuales, resolucin de problemas y evaluacin, entre otros. Este texto presenta el marco terico, modelo peda-ggico y aspectos centrales del currculo escolar de Singapur.

El Captulo 17 del libro de Reys fue consultado para la elaboracin de los cinco captulos del texto ReFIP. Este captulo se enfoca en el conocimiento disciplinar de la estadstica y la probabilidad, sin embargo, incluye propuestas de actividades escolares para abordar este conocimiento. Se concentra en los conceptos y conocimientos clave en estadstica y probabilidades. Al igual como se hace en el texto ReFIP, este libro aborda los contenidos en estadstica siguiendo las etapas del ciclo de investigacin.

La Parte IV del texto de Sowder et al. cubre los contenidos de los cinco captulos del texto ReFIP, Datos y Azar, y fue considerado en su elaboracin tanto en temas disciplinares como de enseanza. Aunque este libro se enfoca principalmente en el conocimiento disciplinar, tambin aborda aspectos pro-pios de la enseanza como, por ejemplo, formas en que los alumnos enfrentan ciertas tareas estadsticas o probabilsticas, y algunos aspectos relacionados a aprendizaje. De este modo, el texto trata de manera integral la estadstica y probabilidad escolar, y su enseanza. Este libro desarrolla el contenido apo-yndose fuertemente en ejemplos y actividades, y tambin incluye una gran cantidad de ejercicios y actividades propuestas. El libro incluye instancias que promueven la reflexin acerca de la estadstica y la probabilidad y su


enseanza. Algunos temas son tratados con bastante mayor profundidad que los textos anteriormente descritos, donde destacan los tpicos relacionados a muestreo.

El texto de Utts, se enfoca en el conocimiento disciplinar de la estadstica. A diferencia de los textos a los que ya nos hemos referido, este es un texto de estadstica orientado a alumnos de pregrado de cualquier carrera universitaria. El libro entrega los conceptos clave que debiese dominar cualquier ciudadano estadsticamente alfabetizado. El libro evita el abuso de herramientas mate-mticas, enfatizando el razonamiento estadstico, a travs de ejemplos reales y estudio de casos. Este texto cubre, en particular, los contenidos de los Captulos II, III y IV del texto ReFIP Datos y Azar.

Adicionalmente a estos textos, revisamos recursos y materiales que se pueden encontrar en sitios de internet. Recomendamos los siguientes sitios a modo de complemento al texto ReFIP.

1. http://www.learner.org/ Este sitio pertenece al proyecto Annenberg Learner, Teacher Resources

and Professional Development across the Curriculum, y contiene actividades propuestas para desarrollar tanto en el aula escolar como universitaria, rela-cionadas a todas las reas de la matemtica escolar. En particular, el enlace

http://www.learner.org/courses/learningmath/data/index.html

se enfoca en estadstica y probabilidad. Esta pgina incluye sesiones de clase de formacin continua de profesores, donde se observan argumentos y discusiones generadas al abordar determinadas actividades con tareas esco-lares de estadstica y probabilidad. Todas las propuestas consideran el ciclo de investigacin, o resolucin de problemas, como eje central.

2. http://www.amstat.org/education/index.cfmEste sitio pertenece a la American Statistical Association, y contiene

gran cantidad de material sobre educacin en estadstica y probabilidad. En particular, el enlace

http://www.amstat.org/education/onlineresources.cfm

contiene material para ser utilizado a nivel escolar.

El material en este sitio tiene como base las recomendaciones del docu-mento GAISE sobre la enseanza de estadstica y probabilidad. Este docu-mento puede ser descargado desde http://www.amstat.org/education/gaise/.


Por otra parte,

http://www.amstat.org/education/stew/index.cfm

contiene ms de 30 actividades que cubren cada uno de los niveles de Enseanza Bsica. Estas actividades se focalizan en el desarrollo del pensa-miento y razonamiento estadstico en los estudiantes. Se describen las gran-des ideas de la estadstica y de las tareas estadsticas escolares.

3. https://www.causeweb.org/ Este sitio pertenece al Consortium for the Advancemente of Under-

graduate Statistics Education, y tiene como propsito apoyar e incentivar la educacin estadstica en los programas de pregrado. En particular, el enlace

http://www.causeweb.org/cwis/SPT--BrowseResources.php?ParentId=4

contiene mtodos y estrategias para la enseanza y aprendizaje de la estadstica y la probabilidad.

Por otra parte, el enlace

http://www.causeweb.org/cwis/index.php?P=BrowseResources&ParentId=9&StartingResourceIndex=0

contiene, a su vez, otros enlaces a centros de recursos multimedia para la enseanza y aprendizaje de la estadstica y la probabilidad, clasificados segn el tipo de conocimiento estadstico y probabilstico que abordan estos recursos.

Este sitio contiene, adems, informacin relacionada a congresos y se-minarios referidos a la formacin de pregrado en estadstica y probabilidad.

4. http://www.rsscse.org.uk/Este sitio pertenece al Centre for Statistical Education, de la Royal Sta-

tistical Society, y contiene recursos para la enseanza de la estadstica y la probabilidad, tanto a nivel escolar como de pregrado. En particular, el enlace

http://www.rsscse-edu.org.uk/psa/

ofrece recursos asociados al ciclo de investigacin, o resolucin de pro-blemas, como medio para la enseanza de la estadstica.

5. http://illuminations.nctm.orgEste sitio pertenece al National Council of Teachers of Mathematics, y

contiene planificaciones de clases y recursos digitales para la enseanza y aprendizaje de la estadstica. En particular, el enlace

http://illuminations.nctm.org/Search.aspx?view=search&type=ac&st=d&gr=9-12

contiene recursos interactivos para la enseanza de algunos conceptos estadsticos.


6. http://arquimedes.matem.unam.mx/chile/Este sitio pertenece al Proyecto Arqumedes de la Universidad Nacional

de Mxico, y contiene los recursos interactivos desarrollados en el proyecto ReFIP, para el apoyo en la enseanza de ideas relacionadas a muestreo, par-metros y estadsticos, y al concepto frecuentista de probabilidad.

7. http://www.keycurriculum.com Desde este sitio se pueden descargar los programas Tinker Plots y

Fathom, de gran utilidad en la enseanza dinmica de la estadstica y la pro-babilidad.

8. Los siguientes enlaces contienen una gran variedad de investigaciones respecto a la enseanza y aprendizaje de la estadstica y la probabilidad. En estos sitios es posible encontrar publicaciones de Anne Watson, Paul Cobb, George Cobb, David Moore, Dani BenZvi, Joan Garfield, Joan Wat-son, Jane Watson, Carmen Batanero, Efraim Fischbein, Anne Hawkins, Iddo Gal, Frances Curcio, Susan Friel, entre otros. http://www.teachingstatistics.co.uk

http://lecturer.haifa.ac.il/showen/801~danib/dani.htm

https://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/publications/dissertations/disserta-tions.php

http://www.educ.utas.edu.au/users/watsonjm/researchpubcd.html

http://iase-web.org

http://www.ugr.es/~batanero/publicaciones%20index.htm


4. Articulacin del texto con los estndares orientadores para egresados de carreras de pedagoga en educacin bsica

Durante la escritura de las versiones preliminares de los textos de esta coleccin, y en las sucesivas correcciones, se tuvieron en consideracin los Es-tndares Orientadores para Egresados de Carreras de Pedagoga en Educacin Bsica de Matemtica. Los indicadores del tipo disciplinar (de la dimensin Conocimiento especializado del contenido matemtico) estn cubiertos casi en su totalidad, salvo algunas omisiones correspondientes a temas que exce-den el currculum escolar.

Por otra parte, solo fueron abordados de manera tangencial en los textos ReFIP los indicadores de carcter pedaggico, por ejemplo, aquellos relacio-nados con anlisis y diseo de evaluaciones, conocimiento del currculum, psicologa del aprendizaje, anlisis y elaboracin de actividades, historia de la matemtica, uso de software, uso de textos escolares, entre otros.

A continuacin se presentan dos tipos de tabla: en la primera se presenta la lista de estndares e indicadores, y se indica si est cubierto en los textos ReFIP y donde. En la segunda, para cada captulo y seccin del texto se indica el o los estndares que se abordan.

Estndar e Indicador ReFIP (A= texto Datos y Azar)

Estndar 15: Es capaz de conducir el aprendizaje de la recoleccin yanlisis de datos.

1. Es capaz de relacionar diversas representaciones y metforas con el concepto de media aritmtica de un conjunto de datos.

DAIV.2

2. Resuelve problemas relativos a medidas de tendencia central (media, mediana y moda).

DAIV.2

3. Calcula medidas de tendencia central (media, mediana y moda) en situaciones variadas.

DAIV.2

4. Encuentra y justifica resultados acerca de la media. DAIV.2

5. Reconoce e interpreta los aspectos centrales del currculo escolar de primer a sexto ao bsico en el eje de Datos y Azar y su relacin con otros ejes

DAI.2

6. Planifica clases destinadas a desarrollar habilidad para la construc-cin de tablas y lectura e interpretacin de grficos en los distintos niveles.

DAIII.2, DAIII.3

7. Desarrolla el pensamiento crtico de sus estudiantes frente a afirmaciones hechas a partir de un conjunto de datos y, adems, su capacidad de detectar el uso inadecuado de la informacin.

8. Planifica actividades de acuerdo al nivel escolar, para desarrollar en los alumnos la necesidad de considerar el tipo de variable involucra-da tanto al recoger informacin como al presentarla.

9. Conoce dificultades en el aprendizaje y errores frecuentes de los alumnos al describir, analizar y comprender un conjunto de datos y se anticipa a ellos en su planificacin de actividades.

DAIII.4, DAIV.2


10. Propone actividades para desarrollar en sus alumnos y alumnas la capacidad de comunicar resultados obtenidos a partir de un conjun-to de datos, tomando en cuenta el nivel escolar de los alumnos.

11. Propone diferentes estrategias que permitan a los alumnos com-prender las medidas de tendencia central: media, mediana y moda

12. Propone actividades en las cuales los alumnos deban recolectar datos, organizarlos apropiadamente y analizarlos. Incentiva a que los alumnos generen preguntas cuya respuesta requiera el anlisis de datos.

13. Utiliza medios de apoyo incluyendo TICs para ilustrar conceptos de manejo de datos.

14. Disea diversas formas de evaluacin del aprendizaje, consideran-do: la presencia del Eje de Datos y Azar desde primer ao bsico; la importancia de verificar el logro de cada uno de los CMO relativos a estadstica en la enseanza bsica y la necesidad de calificar adecua-damente los distintos niveles de logro.

Estndar 16: Est preparado para conducir el aprendizaje de las probabilidades.

1. Interpreta proporciones y probabilidades en porcentajes, en fraccio-nes, en partes por mil y por diez mil.

DAV.3

2. Modela el azar con distintas representaciones. DAV.2, DAV.3

3. Resuelve problemas de comparacin de probabilidades. DAV.3

4. Asigna probabilidades a secuencias de dos o tres eventos simples. Utiliza representaciones grficas, tales como tablas y diagramas de rbol, para calcular la probabilidad de dos o tres eventos sucesivos y calcula probabilidades condicionales.

DAV.3

5. Puede describir y contar todos los resultados posibles de un experi-mento compuesto

DAV.3

6. Asigna nmeros entre 0 y 1 como medida de la probabilidad de suce-sos, de manera consistente en cuanto a que: sucesos ms probables tienen nmeros cercanos a uno, sucesos imposibles tienen probabi-lidad nula, sucesos seguros tienen probabilidad 1, sucesos comple-mentarios tienen probabilidades complementarias respecto a 1.

DAV.2, DAV.3

7. Justifica y estima resultados, as como disea estrategias para enfren-tar problemas que involucren el azar.

8. Reconoce el valor del sentido comn en el estudio de las probabi-lidades as como el aporte de los resultados contra-intuitivos y la necesidad de develar su lgica.

DAV.2

9. Conoce los problemas que dieron origen al estudio de las probabili-dades as como aquellos que generaron grandes debates y conflictos

10. Conoce el Currculo Escolar en el tema de probabilidades, sus obje-tivos centrales y sus contenidos.

11. Planifica la introduccin de los conceptos bsicos de probabilida-des en quinto y sexto ao de Educacin Bsica, considerando los conocimientos e ideas previas de los alumnos y alumnas.

12. Conoce concepciones equivocadas frecuentes que tienen los adul-tos y los nios y nias en, y sobre, la estadstica y las probabilidades y las considera en la planificacin de sus actividades.


13. Comprende la importancia de los juegos, experimentos y simula-ciones en la enseanza de los conceptos bsicos de probabilidades y disea actividades en concordancia con ello.

14. Usa discos para estudiar el azar y los compara con otras representa-ciones tales como diagramas de rbol y tablas.

DAV.3

15. Utiliza TICs para simular eventos, como una herramienta para el aprendizaje de las probabilidades.

16. Disea instrumentos de evaluacin del aprendizaje de los conteni-dos de probabilidades tomando en cuenta los Contenidos Mnimos Obligatorios, las destrezas a desarrollar y la variedad de dificultades a considerar.

Estndar 17: Demuestra competencia disciplinaria en el eje de Datos y Azar

1. Obtiene informacin y saca conclusiones a partir de tablas de datos y grficos; es capaz de interpolar resultados. Construye y utiliza representaciones grficas de datos apropiadas para comunicar resultados.

DAIII.2, DAIII,3

2. Es capaz de utilizar una planilla electrnica de clculo para manejar datos, representarlos grficamente y responder preguntas relevantes sobre estos

3. Resuelve problemas de comparacin de probabilidades y elabora juegos dada la probabilidad de ganar.

DAV.3

4. Formula preguntas adecuadas, disea un plan de investigacin, recolecta los datos, los analiza y los interpreta.

DAI.1

5. Comprende el alcance de la informacin extrada a partir de una muestra y por lo tanto reconoce cundo es posible extrapolar una caracterstica de ella a la poblacin completa y cundo no lo es.

DAII.2, DAII.3, DAII.4

6. Calcula percentiles y es capaz de interpretarlos en situaciones concretas.

DAIV.3

7. Construye e interpreta box-plots. DAIV.3

8. Comprende el concepto de independencia en una secuencia de eventos iterados.

DAV.3

9. Reconoce el tipo de variable y determina la pertinencia de los distin-tos tipos de medicin y representacin para su anlisis.

DAII.6

10. Comprende el concepto de correlacin entre dos variables, recono-ce el fenmeno y lo distingue de otras relaciones entre variables.

11. Comprende y relaciona conceptos de medida de tendencia central con caractersticas acerca de la distribucin de los datos y conceptos bsicos relacionados con estas.

DAIV.2

12. Utiliza estrategias de investigacin, anlisis y discusin que le permiten identificar y analizar problemas referidos a la enseanza y al aprendizaje de la Matemtica.


Estndar e Indicador

Captulo I: Ciclo de investigacin

1. Etapas del ciclo de investigacin E17-I4

2. El ciclo de investigacin en el currculo escolar chileno E15-I5

Captulo II: Poblacin, muestra y variables estadsticas

1. Motivacin

2. Poblacin E17-I5

3. Muestra E17-I5

4. Recoleccin de datos e informacin E17-I5

5. Parmetro y estadstico

6. Variables estadsticas E17-I6

Captulo III: Organizacin de datos y representacin de la informacin

1. Motivacin

2. Tablas de frecuencias E15-I6, E17-I1

3. Representaciones grficas E15-I6, E17-I1

4. Eleccin del tipo de representacin

Captulo IV: Medidas o estadsticos de resumen

1. Motivacin

2. Medidas de tendencia central E15-I1-2-3-4-9, E17-I11

3. Medidas de posicin relativa E17-I6-7

4. Medidas de dispersin

Captulo IV: Medidas o estadsticos de resumen

1. Motivacin

2. Cuantificacin de la incerteza a travs de probabilidades E16-I2-6-8

3. Asignacin de probabilidades E16-I1-2-3-4-5-6-14, E17-I3


5. Ejemplos de ejercicios o problemas del texto de datos y azar vinculados a los estndares orientadores para egresados de carreras de pedagoga en educacin bsica

Los Estndares Orientadores para Egresados de Carreras de Pedagoga en Educacin Bsica son un instrumento eficaz en la planificacin y evalua-cin de los cursos de matemtica en la formacin de los futuros profesores de Educacin Bsica. En particular, la evaluacin de aprendizajes se puede realizar en trminos formativos, durante el proceso de estudio de un conte-nido matemtico; y en trminos sumativos, al final del proceso, para medir el logro alcanzado por los estudiantes. Para ambos propsitos, los indicadores que especifican lo que se pretende lograr en cada estndar orientan la cons-truccin de instrumentos o actividades de evaluacin.

Los textos ReFIP proporcionan oportunidades para vincular los Estndares a la formacin inicial docente, a travs de ejercicios, ejemplos e incluso a travs de los Para pensar. Estas instancias permiten monitorear los logros de aprendizaje de los estudiantes de pedagoga, respondiendo a las exigencias de los Estndares.

A continuacin veremos algunos ejemplos extrados del texto para cada Estndar del eje Datos y Azar, sealando adems el indicador asociado.

Estndar 15: Es capaz de conducir el aprendizaje de la recoleccin y anlisis de datos.

Indicador 1: Es capaz de relacionar diversas representaciones y met-foras con el concepto de media aritmtica de un conjunto de datos.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejercicio extrado del Captulo IV, seccin 2.2.

Pgina: 161


Pgina: 163


Indicador 2: Resuelve problemas relativos a medidas de tendencia central (media, mediana y moda).

Ejemplo 1

Ejemplo 2


Pgina: 162


Pgina: 162


Estndar 16: Est preparado para conducir el aprendizaje de las pro-babilidades.

Indicador 5: Puede describir y contar todos los resultados posibles de un experimento compuesto

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejercicio extrado del Captulo V, seccin 3.7.

Pgina: 258


Pgina: 259


Indicador 6: Asigna nmeros entre 0 y 1 como medida de la probabili-dad de sucesos, de manera consistente en cuanto a que: sucesos ms probables tienen nmeros cercanos a uno, sucesos imposibles tienen probabilidad nula, sucesos seguros tienen probabilidad 1, sucesos com-plementarios tienen probabilidades complementarias respecto a 1.

Ejemplo 1

Ejemplo 2


Pgina: 223


Pgina: 229


Estndar 17: Demuestra competencia disciplinaria en el eje de Datos y Azar

Indicador 1: Obtiene informacin y saca conclusiones a partir de ta-blas de datos y grficos; es capaz de interpolar resultados. Construye y utiliza representaciones grficas de datos apropiadas para comunicar resultados

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Extrado del Captulo III, seccin 3.6.2.

Pgina: 127

Extrado del Captulo III, seccin 3.7.

Pgina: 130


Indicador 7: Construye e interpreta boxplots

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Extrado del Captulo IV, seccin 3.5.3.

Pgina: 200

Extrado del Captulo IV, seccin 3.5.3.

Pgina: 200


6. Articulacin del texto con las bases curriculares de matemtica de 1 a 6 bsico

Desde la elaboracin de las primeras versiones de los textos se tuvo en consideracin el Currculum escolar. Los Objetivos de Aprendizaje estn cu-biertos casi en su totalidad, llegando ms all de los contenidos que segn estos objetivos se deben abordar en la Educacin Bsica. Asimismo, a travs de los diferentes ejercicios, problemas y actividades propuestas en el texto se potencia el desarrollo de las cuatro habilidades establecidas en el Currculum: Resolver problemas, Argumentar y Razonar, Representar y Modelar.

Por otra parte, en el texto se potencia el uso de diferentes tipos de re-presentacin, pictricas y simblicas; y en los temas en que es pertinente, se describe el uso de material concreto al estudiar el contenido matemtico. Un aspecto importante en cada captulo es el anlisis de posibles errores y difi-cultades que pueden enfrentar los nios al abordar el contenido matemtico, lo que constituye otra herramienta que permite articular la formacin de un profesor con la matemtica escolar.

A continuacin se presentan dos tipos de tabla: en la primera se presenta la lista de objetivos de aprendizaje, y se indica si est cubierto en los textos ReFIP y donde. En la segunda, para cada captulo y seccin del texto se indica que objetivos de aprendizaje corresponde.

Curso Objetivo de AprendizajeReFIP (A= texto Datos y

Azar)

OA19: Recolectar y registrar datos para responder preguntas estads-ticas sobre s mismo y el entorno, usando bloques, tablas de conteo y pictogramas.

I.1, II.4, III.2, III.3

OA20: Construir, leer e interpretar pictogramas. III.3

OA20: Recolectar y registrar datos para responder preguntas estads-ticas sobre juegos con monedas y dados, usando bloques y tablas de conteo y pictogramas.

I.1, II.4, III.2, III.3

OA21: Registrar en tablas y grficos de barra simple, resultados de juegos aleatorios con dados y monedas.

III.2, III.3, V.

OA22: Construir, leer e interpretar pictogramas con escala y grficos de barra simple.

III.3

OA23: Realizar encuestas, clasificar y organizar los datos obtenidos en tablas y visualizarlos en grficos de barra.

I.1, II. 4, III.3

OA24: Registrar y ordenar datos obtenidos de juegos aleatorios con dados y monedas, encontrando el menor, el mayor y estimando el punto medio entre ambos.

II.4, IV.2

OA25: Construir, leer e interpretar pictogramas y grficos de barra sim-ple con escala, de acuerdo a informacin recolectada o dada.

III.3

OA26: Representar datos usando diagramas de puntos. III.3

1 B

sic

o2

Bs

ico

3 B

sic

o


OA25: Realizar encuestas, analizar los datos y comparar con los resul-tados de muestras aleatorias, usando tablas y grficos.

I.1, II.3, II.4, III.2, III.3

O26: Realizar experimentos aleatorios ldicos y cotidianos, y tabular y representar mediante grficos de manera manual y/o con software educativo.

III.2, III.3, V.2

OA27: Leer e interpretar pictogramas y grficos de barra simple con escala y comunicar sus conclusiones.

III.3

OA23: Calcular el promedio de datos e interpretarlo en su contexto. IV.2

OA24: Describir la posibilidad de ocurrencia de un evento por sobre la base de un experimento aleatorio, empleando los trminos seguro - posible - poco posible - imposible.

V.2

OA25: Comparar probabilidades de distintos eventos sin calcularlas. V.2

OA26: Leer, interpretar y completar tablas, grficos de barra simple y grficos de lnea y comunicar sus conclusiones.

III.2, III.3

OA27: Utilizar diagramas de tallo y hojas para representar datos prove-nientes de muestras aleatorias.

II.3, III.3, V.2

OA22: Comparar distribuciones de dos grupos, provenientes de mues-tras aleatorias, usando diagramas de puntos y de tallo y hojas.

II.3, III.3, V.2

Documents

Datos y Azar Final