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Mathématiques, Cours de Mathématiques, Terminale S, Trimestre 1 Année scolaire 2016 / 2017

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COURS

(LEÇONS ET EXERCICES)

1 E R T R I M E S T R E

Classe de

T S

Maths

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SOMMAIRE

TERMINALE S

MATHÉMATIQUES

1er Trimestre Série 1

Récurrence - suites

1ère Leçon Raisonnement par récurrence 2ème Leçon Rappels sur les suites numériques 3ème Leçon Suites arithmétiques et géométriques

Série 2

Limites de suites et de fonction

1ère Leçon Limites de suites numériques 2ème Leçon Limites de fonct ions

Série 3

Comparaison et opérations dans les limites

1ère Leçon Comparaison de l imites 2ème Leçon Règles de calcul avec les l imites

Série 4

Continuité

1ère Leçon Fonction continue

2ème Leçon Théorème des valeurs intermédiaires. Tableau de variation.



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Série 5

Dérivation

1ère Leçon Fonctions dérivables

2ème Leçon Variat ions d’une fonction

Série 6

Étude de fonctions

1ère Leçon Éléments d’étude

2ème Leçon Fonctions sinus et cosinus

Série 7

Fonction exponentielle

1ère Leçon Présentation 2ème Leçon Propriétés 3ème Leçon Fonction x ⟶ex – équations et inéquations

Série 8

Fonctions logarithmes

1ère Leçon Présentation et propriétés 2ème Leçon Fonction x ln x - Équations et inéquations

3ème Leçon Dérivée de ln u - Logarithme décimal



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MATHÉMATIQUES

TERMINALE S

1ère SÉRIE

RÉCURRENCE – SUITES

PREMIÈRE LEÇON

Raisonnement par récurrence

DEUXIÈME LEÇON

Rappels sur les suites numériques

TROISIÈME LECON

Suites arithmétiques et géométriques



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1ère SÉRIE - 1ère leçon

RÉCURRENCE - SUITES

PREMIÈRE LEÇON

Raisonnement par récurrence

I - Raisonnement par récurrence : principe

Axiome :

Soit P(n) une proposition qui dépend d'un entier naturel n. Soit n0 un entier naturel.

Pour démontrer que pour tout entier naturel n n0 que P(n) est vraie, il suffit de procéder en deux étapes : 1 - Vérifier que P(n0) est vraie.

2 - Démontrer que, s'il existe un entier naturel n n0 tel que P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie.

L'hypothèse faite en 2, « P(n) est vraie pour un entier naturel n n0 » s'appelle l'hypothèse de récurrence.

L'étape 1 permet d'amorcer le processus, en établissant un rang à partir duquel la proposition P est valide. L'étape 2 consiste à établir qu'à partir de ce rang initial, la propriété se transmet de proche en proche,

d'un rang au rang suivant.

On fait souvent une analogie avec un escalier – dont toutes les marches seraient similaires. Savoir

gravir un escalier, c'est savoir accéder à la première marche (étape 1) puis savoir passer de n’importe quelle marche à la suivante (étape 2).

II - Exemple de démonstration par récurrence

On souhaite démontrer par récurrence la relation donnant la somme des carrés des n premiers

nombres entiers en fonction de n, pour tout n entier naturel non nul :

6

)12)(1(

1

2

nnnp

n

p

La proposition P à démontrer est la relation elle-même. P(n) : « 6

)12)(1(

1

2

nnnp

n

p

»

Le rang initial n0 est 1, puisque l’on cherche à démontrer la relation pour tout entier naturel non nul.

On applique les deux étapes du raisonnement par récurrence.

1. Vérifier que P est vraie au rang n0

Cela se traduit ici par la vérification de P(1).

Pour n = 1 : - le premier membre de l’égalité vaut = 1² = 1

- le second membre vaut : 1×(1+1)×(2+1)

6 = 1

Les deux membres de l’égalité sont égaux, P(1) est vérifiée.

1

1

2

p

p



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2. Montrer que si P(n) est vraie alors P(n + 1) est vraie.

P(n + 1) s’écrit

«

6

3)1(2)11)(1(1

1

2

nnnp

n

p

» autrement dit « 6

)32)(2)(1(1

1

2

nnnp

n

p

»

On cherche à démontrer cette relation en s’appuyant sur P(n), proposition supposée vraie par hypothèse de récurrence :

6

)12)(1(

1

2

nnnp

n

p

On ajoute (n + 1)2 aux deux membres de la relation, ce qui revient à ajouter le carré suivant à la

somme des n premiers carrés

22

1

2 )1(6

)12)(1()1(

nnnn

np

n

p

soit 2

1

1

2 )1(6

)12)(1(

nnnn

p

n

p

Or 2)1(6

)12)(1(

n

nnn

6

)1)(1(6)12)(1(

nnnnn

6

)1(6)12()1(

nnnn

6

)672)(1( 2

nnn

6

)32)(2)(1(

nnn.

(en développant (n + 2) (2n + 3), on trouve 2n² + 7n + 6)

On obtient ainsi la relation : 6

)32)(2)(1(1

1

2

nnnp

n

p

, qui est la proposition P(n + 1)

On vient d’établir que si P(n) est vraie alors P(n + 1) est vraie.

Conclusion :

La proposition P(n) est vraie pour n = 1, et pour tout n 1, si P(n) est vraie alors P(n + 1)

est vraie : la propriété P(n) est donc vraie pour tout n 1.

Exercice 1

Démontrez par récurrence les propositions suivantes :

1.

n

p

nnn

12

)1(, pour tout n entier naturel non nul.

2. n3 – n est un multiple de 3 pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 2.

3. Pour tout a réel strictement positif et pour tout entier naturel n, (1+a)n 1+na



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Exercice 2

Soit (un) définie pour tout n appartenant à ℕ par :

43

5

1

0

nn uu

u

Montrez par récurrence que pour tout n entier naturel, un 2

Exercice 3

Léa affirme que la proposition suivante P(n) est vraie pour tout entier naturel n : « 4n + 1 est un multiple de 3 »

1. Montrez que si P(n) est vraie, alors P(n + 1) est vraie.

2. Cette propriété P(n) est-elle vraie ? Concluez.



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1ère SÉRIE - 2ème leçon

DEUXIÈME LEÇON

Rappels sur les suites

I - Définition

Soit 𝑛0 un entier naturel donné.

On appelle suite numérique toute fonction u définie sur l’ensemble des entiers naturels ℕ, qui à tout

entier n ≥ n0, associe un réel u(n), noté un :

u : ℕ → ℝ 𝑛 ↦ u(𝑛) ou u𝑛

L’image un d’un entier naturel n par la suite u est appelée terme général de la suite u.

Le réel un est le terme d’indice (ou de rang) n de la suite u.

Le terme initial de la suite est 𝑢𝑛0.

Notation : une suite u définie sur ℕ est notée (un)

Exemples : . un = 5 + 3n est une suite numérique dont les premiers termes sont :

u0 = 5 + 3o = 6 ; u1 = 5 + 3

1 = 8 ; u2 = 5 + 32 = 14 ; u3 = 5 +3

3 = 32 ; ….

. Soit (un) la suite des carrés : u0 = 0 ; u1 = 1 ; u2 = 4 ; u3 = 9 ; …..

Le terme général de cette suite vérifie : un = 𝑛2

. Soit (un) la suite définie par un = √𝑛 − 1

Dans ce cas, le premier terme est u1 = 0 car u0 n’est pas défini.

II - Modes de génération d'une suite

- Lorsqu’une suite (un) est donnée par son terme général un exprimé en fonction de n

indépendamment des termes précédents, on dit que la suite (un) est définie sous forme explicite.

Remarque : En particulier, si 𝑓 est une fonction définie sur l’ensemble ℝ contenant l’intervalle [0 ; +∞[, on définit une suite de manière explicite en posant pour tout 𝑛 de ℕ, un = f (𝑛)

Exemples :

- Soit la suite définie par : u𝑛 = 2𝑛 + 1 On a, par exemple, u100 = 2 100 + 1 = 201

Dans cet exemple, on a u𝑛 = f (𝑛) où 𝑓 est la fonction définie sur ℝ par 𝑓(x) = 2x + 1

- Soit la suite définie par : u𝑛 = 4 3n

La suite n’est définie que si 𝑛 – 3 ≥ 0 soit 𝑛 ≥ 3.



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Donc la suite (u𝑛) n’est définie qu’à partir du rang 3 ; u3 est le premier terme de la suite : u3 = 0

- Lorsqu’une suite (u𝑛) est donnée par son premier terme et une relation exprimant chaque terme en

fonction du (ou des) terme(s) précédent(s), on dit que la suite (u𝑛) est définie par une relation de récurrence.

Exemple :

Considérons la suite (u𝑛) telle que :

2

1 1

o

nn

u

uu pour tout entier 𝑛 ≥ 1

un = g (un -1) où g est la fonction : x ↦ 1 + x

On obtient successivement :

- pour 𝑛 = 1 : u1 = 1 + u0 = 1 + 2 = 3 - pour 𝑛 = 2 : u2 = 1 + u1 = 1 + 3 = 4 - pour 𝑛 = 3 : u3 = 1 + u2 = 1 + 4 = 5 etc.

Exemple :

Soit la suite (un) telle que :

1;2

3

1

21

uu

uuu

o

nnn

La relation de récurrence définie ci-dessus permet de calculer chaque terme :

- pour 𝑛 = 2 : u2 = u1 + 3uo = 1 + 6 = 7

- pour 𝑛 = 3 : u3 = u2 + 3u1 = 7 + 3 1 = 10

- pour 𝑛 = 4: u4 = u3 + 3u2 = 10 + 3 7 = 31….

III - Variations des suites

1. Définitions

Soit (un) une suite.

(un) est croissante si, pour tout entier n, un ≤ un+1

(un) est décroissante si, pour tout entier n, un ≥ un +1

(un) est monotone si elle est croissante ou décroissante.

pour 𝑛 ≥ 2



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2. Visualisation à partir des représentations graphiques.

La suite (un) définie sur ℕ par un = n est croissante.

La suite (un) définie sur ℕ par un = n est décroissante.

La suite (un) définie sur ℕ\ {0} par un = n

1 est décroissante.

La suite (un) définie sur ℕ par un = (-1)n n’est pas monotone.

3. Techniques d’étude

Différents moyens sont à notre disposition pour étudier la monotonie d’une suite.

On peut : raisonner par récurrence, comme cela a été présenté précédemment. comparer directement un et un+1

- ou en faisant l’étude du signe de la différence un+1- un

- ou en comparant le quotient n

n

u

u 1 à 1, si tous les termes sont strictement positifs

- ou faire appel à l’étude d’une fonction f(n) sur [0,+∞[, pour les suites de la forme un = f(n).

Exemples

a. (un) est la suite définie par un = -6n + 1 pour tout entier naturel n.

Montrez que (un) est strictement décroissante. Effectuons la comparaison directe Pour tout entier naturel n, on a :

n < n + 1

Donc -6n > -6(n + 1) (en multipliant chaque membre par -6)

-6n + 1 > -6(n + 1) + 1 (en ajoutant 1 à chaque membre)

Soit un > un +1

(un) est donc strictement décroissante.

b. (un) est la suite définie par son terme général

un = n² + 4n – 11

Montrez que (un) est strictement croissante.

Effectuons la différence un+1 – un pour tout entier naturel n, on a :

un+1 – un = [(n + 1)² + 4(n + 1) – 11] – [n² + 4n – 11]

= (n² + 2n + 1 + 4n + 4 – 11) – (n² + 4n – 11)

= n² + 2n + 1 + 4 n + 4 – 11 – n² - 4n + 11

= 2n + 5

Or 2n + 5 > 0 donc un+1 – un > 0, ce qui revient à dire que un+1 > un, pour tout entier naturel donc

(un) est strictement croissante.



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IV - Suite majorée, minorée, bornée

1. Définitions

Soit (un) une suite.

(un) est majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout entier n, un ≤ M.

(un) est minorée s’il existe un réel m tel que, pour tout entier n, un ≥ m.

(un) est bornée si elle est majorée et minorée.

Remarque

Si une suite est majorée par un réel A, elle l’est également par tout réel supérieur à A. De façon

similaire, si une suite est minorée par un réel B, elle l’est également par tout réel inférieur à B.

2. Exemples

a) (un) définie sur ℕ\{0} par un =n

1est majorée par 1, et minorée par 0, elle est donc bornée.

b) La suite (un) définie sur ℕ par un = n est minorée par 0, mais n’est pas majorée.

3. Techniques d’études

Pour démontrer qu’une suite (un) est majorée par M, (minorée par m), on peut :

raisonner par récurrence étudier le signe de un – M (étudier le signe de un – m)

Exemple :

(un) est la suite définie par son terme général un = 4𝑛−3

2𝑛+1

Montrez que un est majorée par 2

Effectuons la différence un – 2 pour tout entier naturel n :

un – 2 = 4𝑛−3

2𝑛+1 - 2 =

4𝑛−3

2𝑛+1 -

2(2𝑛+1)

2𝑛+1 =

4𝑛−3−4𝑛−2

2𝑛+1 =

−5

2𝑛+1

un – 2 est donc négatif car le numérateur -5 est négatif et le dénominateur est un entier naturel.

un < 2 donc un est majorée par 2.



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Exercice 4

Étudiez la monotonie des suites suivantes :

1. un = 3 8n , pour n ℕ

2. un= 2

n, pour n ℕ *

3. un= 3 -2

n, pour n ℕ *

4. un = n² - 3n, pour tout entier supérieur ou égal à 2.

Exercice 5

Soit la suite (un) définie par 0

1

0

1n n

u

u u

pour n ℕ.

1. Montrez que un est majorée par 1 5

2

2. Montrez que un

est bornée.

Exercice 6

Soit la suite (un) définie par un = 2

𝑛+1 - sin n pour tout n ℕ.

Montrez que la suite un est bornée.



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TROISIÈME LECON

Suites arithmétiques et géométriques

I - Suites arithmétiques

1. Définition

Une suite u est une suite arithmétique s’il existe un réel r tel que l’on puisse écrire, pour tout entier

naturel n : un+1 = un + r

Exemples :

- La suite u, définie par un+1 = un + 5 est une suite arithmétique de raison 5. - Soit la suite u, une suite arithmétique de raison 3 et telle que u1 = 7. On peut alors calculer u2, u2 = u1 + r = 7 + 3 = 10.

De même on peut calculer u3 = u2 + r = 10 + 3 = 13, et n’importe quel un, avec n entier.

Pour montrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de calculer la différence entre un+1 et un. Si cette

différence est un réel indépendant de n, alors la suite u est arithmétique et on appelle ce nombre la

raison r de la suite arithmétique.

un +1 – un = nombre indépendant de n = r

2. Formule en fonction de n Propriété

Si une suite u est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors on peut écrire que

pour tout entier naturel n : un = u0 + nr

Ainsi, plutôt que d’utiliser la formule de « proche en proche » donnée par la définition, on va pouvoir

utiliser une expression générale de un en fonction de n.

On peut aussi écrire cette propriété avec d’autres termes initiaux, comme u1 ou encore u2, u3, …

un = u1 + (n – 1) r

un = u2 + (n – 2) r

un = u3 + (n – 3) r

…

D’où la propriété sous une forme générale pour une suite u arithmétique de raison r :

Pour tous les entiers naturels n et p, on a : un = up + (n – p) r



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3. Somme des termes d’une suite arithmétique

Propriété

Si la suite u est une suite arithmétique, alors u 1 + u 2 + u 3 + … + un = n u1 + un

2

Remarque

Cette formule ne s’applique que dans le cas où le premier terme de la somme est u1. Sinon, on peut écrire la propriété sous une forme générale :

Si une suite u est une suite arithmétique, on a, pour tous les entiers n et p :

u p + u p+1 + u p+2 + … + un = (n – p +1) up + un

2

Remarque : n – p + 1 représente le nombre de termes de cette somme.

II – Suites géométriques

1. Définition

Une suite u est une suite géométrique s’il existe un réel q tel que l’on puisse écrire pour tout entier

naturel n : un +1 = q un

Exemples :

- La suite u, définie par un +1 = un 2 est une suite géométrique de raison 2. - Soit la suite u une suite géométrique de raison 5 et telle que u1 = 10. On peut alors calculer u2 : u2 = u1 5 = 10 5 = 50

De même, on peut calculer u3 = u2 q = 50 5 = 250, et n’importe quel un avec n entier.

Pour montrer qu’une suite est géométrique, il suffit de calculer le quotient de un+1 par un après avoir

vérifié que les termes sont non nuls. Si ce quotient est un réel indépendant de n, alors la suite u est

géométrique et on appelle ce nombre la raison q de la suite géométrique.

un+1

un = nombre indépendant de n = q

2. Formule en fonction de n

Propriété

Si une suite u est une suite géométrique de raison q et que l’on appelle son premier terme u0, alors

on peut écrire que pour tout entier naturel n : un = u0 qn

Ainsi, plutôt que d’utiliser la formule de « proche en proche » donnée par la définition, on va pouvoir

utiliser une expression générale de un en fonction de n.



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On peut aussi écrire cette propriété avec d’autres termes initiaux, comme u1 ou encore u2, u3 …

un = u1 qn-1

un = u2 qn-2

un = u3 qn-3

…

D’où la propriété sous une forme générale pour une suite u géométrique de raison q :

Pour tous les entiers naturels n et p, on a : un = up qn-p

3. Somme des termes d’une suite géométrique

Dans cette partie, on suppose que q 1.

Si la suite u est une suite géométrique de raison q, alors u1 + u2 + u3 + … + un = u1 1 – q

n

1 - q

Remarque

Cette formule ne s’applique que dans le cas où le premier terme de la somme est u1. Sinon, on peut écrire la propriété sous une forme générale :

Si une suite u est une suite géométrique de raison q, on a, pour tous les entiers n et p :

up + up+1 + up+2 + … + un = up 1 – q

n-p+1

1 - q

Remarque : n – p + 1 représente le nombre de termes de cette somme.

Exercice 7

Indiquez si les suites ci-dessous sont arithmétiques, géométriques, ou ni l’une ni l’autre.

un = 4 + n vn = 5n bn = 27 3

5

n

wn = 3 – 3(n – 4) an = n3 + 6 en = 0,512 1 358

n

Exercice 8

Exprimez le terme général des suites ci-dessous en fonction de n.

wn+1 = 2 + wn , avec wn arithmétique telle que w1 = 7

yn+1 = yn + 7, avec yn suite arithmétique y12 = 17

xn, avec xn géométrique telle que q = 3 et x3 = 16

yn +1 = yn (-9), avec xn géométrique telle que y12 = 13



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Exercice 9

Calculez les sommes suivantes, sachant que les suites en question sont toutes arithmétiques.

v4 + v5 + … + v18, sachant que v4 = 5 et v18 = -9

x0 + x1 + x2 + … + x182, sachant que x0 = 25 et que x182 = -66

w1 + w2 + … + w20, sachant que w1 = -12 et que r = 11

Exercice 10

Calculez les sommes suivantes, sachant que les suites en question sont toutes géométriques et à

termes positifs.

u1 + u2 + … + u13, sachant que u1 = 4 et u13 =16 384

v5 + v6 + … + v17, sachant que v5 = 6 et v17 = 24 576

x0 + x1 + x2 + … + x8, sachant que x0 = 1 et que x8 = 390 625



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