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ANAL01 IDENTITES REMARQUABLES Cours
© Gérard Hirsch – Maths54 1
CHAPITRE 1 IDENTITES REMARQUABLES
1. Les Quantificateurs
L’expression « quel que soit » ou « pour tout » se note par le symbole ∀ : ce symbole est un
quantificateur (dit universel).
L’expression «il existe au moins un » se note par le symbole ∃ : ce symbole est aussi un
quantificateur (dit existentiel).
2. Factorielle d’un entier naturel
2.1. Définition
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Le nombre appelé facorielle n et noté !n est le produit de tous les entiers naturels de 1 à n.
0;1 ! 1 2 .....0! 1 1! 1
n n x x x navec et∀ ∈ − =
= =
N
2.2. Relation de récurrence
En utilisant l’associativité du produit, on peut écrire
[ ]2 1 2 ........ 1 2 .... ( 1)pour n x x xn x x x n xn≥ = −
soit
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[ ]0; 1 ! ( 1)!n n n x n∀ ∈ − = −N
Cette relation de récurrence permet un calcul rapide d’une valeur de factorielle n, après avoir
calculé les valeurs des (n-1) factorielles précédentes.
2.3. Petite table de factorielle
Il est souhaitable de connaitre les valeurs des premières factorielles
0! 11! 12! 23! 64! 245! 1206! 7207! 5040
========
Exemple
Simplifier l’écriture du nombre suivant (sans utiliser la calculatrice)
21!19!
A =
On peut simplifier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par les facteurs
multiplicatifs communs1 2 3 ...... 19x x x x :
Il reste 21 20 420A x= =
Exemple
Ecrire sous forme d’un quotient de 2 factorielles, le nombre suivant :
50 49 48B x x=
On multiplie et on divise par le même nombre non nul 1 2 ..... 47x x x et l’on trouve 50!47!
B =
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Exemple
Exprimer en fonction de n et sans le symbole factorielle, les nombres suivants :
( 1)! ! ( 1)! !( 2)! ( 1)! ! ( 1)!n n n nX puis Yn n n n+ −
= + = −− − +
Les factorielles ne portent que sur des nombres n∈N , donc des nombres positifs ou nuls.
L’expression X n’a de sens que si 2n ≥
D’après la relation de récurrence : [ ]0; 1 ! ( 1)!n n n x n∀ ∈ − = −N
et !0,1( 1)!
nn nn
∀ ∈ − =−
N
De même [ ]0,1 ( 1)! ( 2)! ( 1) ( 1)n n n x n x n x n∀ ∈ − + = − − +N
et 3( 1)!0,1 ( 1) ( 1)( 2)!nn n x n x n n nn+
∀ ∈ − = − + = −−
N
soit 3 30,1n X n n n n∀ ∈ − = − + =N
L’expression Y n’a de sens que si 1n ≥
1 1 1 101 ( 1) ( 1)
n nn Yn n n n n n
+ −∀ ∈ − = − = =
+ + +N
3. LE TRIANGLE de PASCAL
3.1. Les COMBINAISONS
Soit E un ensemble non vide contenant n éléments et k un entier naturel tel que 0 k n≤ ≤
Une combinaison à k éléments de E est une partie (non ordonnée) de E formée de k éléments.
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Définition
On appelle coefficient binomial ou nombre de combinaisons à k éléments de E, et on note knC ou
encore nk
, le nombre entier égal à :
! ( 1).....( 1) 0!( )! !
kn
n n n n kC avec k nk n k k
− − += = ≤ ≤
−
l’indice n est en ligne (ou encore en abscisse) et k en colonne (ou encore en ordonnée)
Exemple
37
7! 7 6 5 353! 4! 1 2 3
x xCx x/
= = =/ /
Propriété
Quelques propriétés des coefficients binomiaux :
• 0 11 1nn n nn C et n C n C∗∀ ∈ = ∀ ∈ = =N N
• 0k n kn nn C C k entier vérifiant k n∗ −∀ ∈ = ≤ ≤N (symétrie sur une ligne)
• 11 1 1 1k k k
n n nn C C C k entier vérifiant k n∗ −− −∀ ∈ = + ≤ ≤ −N
3.2. Le TRIANGLE de PASCAL
Les coefficients knC sont donnés par le triangle de Pascal généré à partir des formules
0 1
1
11 1
1 1
1 1n
k k kn n n
C et C n
C C C k n−− −
= = ∀ ∈
= + ≤ ≤ −
N
Pour obtenir le terme knC du triangle de Pascal, il suffit d’additionner le terme immédiatement au
dessus de celui-ci (en l’occurrence 1knC − ) et le terme à gauche de ce dernier (en l’occurrence
11
knC −− )
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RAPPEL
l’indice n est l’indice de ligne (ou encore l’ abscisse) et k l’indice de colonne (ou encore l’
ordonnée)
Nous donnons ci-dessous le triangle de Pascal jusqu'à la ligne 8
37
0 1 2 3 4 5 6 7 80 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 21 7 18 1 8 28 56 70 56 28 8 1
col col col col col col col col colligligligligligligliglig Clig
Remarque
• dans le triangle de Pascal, les coefficients sont obtenus en effectuant uniquement des
additions
• on peut obtenir directement les coefficients de la ligne n du triangle de Pascal, sans
calculer les coefficients des (n-1) lignes précédentes en utilisant la formule suivante :
( )1 1 1k kn n
n kC C k entier vérifiant k nk
− − + = ≤ ≤
Les coefficients du triangle de Pascal sont alors obtenus en effectuant uniquement des
multiplications.
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4. FORMULE du BINOME de NEWTON
Soit a et b deux nombres réels (et par la suite, éventuellement complexes)
Partons de l’identité remarquable : 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +
On en déduit en multipliant les deux membres de l’égalité précédente par ( )a b+
3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + +
puis :
4 4 3 2 2 3 4( ) 4 6 4a b a a b a b ab b+ = + + + +
et plus généralement, on peut montrer par récurrence
0 1 1
0( ) ..... .....
nn k n k k n n k n k k n n
n n n n nk
a b C a b C a C a b C a b C b− − −
=
+ = = + + + + +∑
Les coefficients knC étant les coefficients binomiaux du paragraphe précédent
Remarque
Dans la formule du binôme de Newton, les nombres a et b ont un rôle symétrique
( ) ( )n na b b a+ = + , et l’on peut aussi écrire :
0 1 1
0( ) ..... .....
nn k k n k n n k k n k n n
n n n n nk
a b C a b C b C ab C a b C a− − −
=
+ = = + + + + +∑
Exemple
pour 5n = alors 5 5 4 3 2 2 3 4 5( ) 5 10 10 5a b a a b a b a b ab b+ = + + + + +
mais aussi, en changeant b en b−
5 5 4 3 2 2 3 4 5( ) 5 10 10 5a b a a b a b a b ab b− = − + − + −
Ecrire les formules donnant 6 6( ) ( )a b puis a b+ −
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Exemple
Développer suivant la formule du binôme de Newton 5(3 2)x −
On utilise la formule du binôme de Newton et le triangle de Pascal 5 5 4 3 2 2 3 4 5( ) 5 10 10 5a b a a b a b a b ab b− = − + − + −
et pour 3 2a x et b= = 5 5 4 3 2 2 3 4 5(3 2) (3 ) 5(3 ) .(2) 10(3 ) .(2 ) 10(3 ) .(2 ) 5(3 ).2 (2 )x x x x x x− = − + − + −
soit
(3x − 2)5 = 243x5 − 810x4 +1080x3 − 720x2 + 240x − 32
Exemple
Quel est le coefficient du terme en 6x dans le développement de 8( 2)x +
Appliquons la formule du binôme de Newton 0
( )n
n k n k kn
k
a b C a b−
=
+ =∑
en remplaçant n par 8, a par x et b par 2
8
8 88
0( 2) 2k k k
kx C x −
=
+ =∑
Le coefficient du terme en 6x correspond à la valeur 2k =
Ce coefficient est donc 2 28 (2)C
Puisque 28
8! 8 7 282!6! 1 2
xCx
= = =
Le coefficient du terme en 6x dans le développement de 8( 2)x + est 28 4 112x =
Exemple
Reprenons la formule du binôme de Newton 0
( )n
n k n k kn
ka b C a b−
=
+ =∑
Pour 1a b= = , on obtient
0 1 1
02 (1 1) ........
nn n k n n
n n n n nk
n C C C C C∗ −
=
∀ ∈ = + = = + + + +∑N
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De même , pour 1 1a et b= = − , on obtient
0 1 1 1
00 (1 1) ( 1) ........ ( 1) ( 1)
nn k k n n n n
n n n n nk
n C C C C C∗ − −
=
∀ ∈ = − = − = − + + − + −∑N
En effectuant la demi-somme des deux dernières formules, on obtient
2 0 2 2 2 2 1
2........ 2
nk k k n
n n n n nk n
n C C C C C∗ − −
≤
∀ ∈ = + + + + =∑N
et par demi-différence de ces deux mêmes formules
2 1 1 3 2 1 2 1 1
2 1........ 2
nk k k n
n n n n nk n
n C C C C C∗ + − + −
+ ≤
∀ ∈ = + + + + =∑N
On obtient aussi, pour 1 2a et b= =
0 1 1 1
03 (1 2) 2 2 ........ 2 2
nn n k k n n n n
n n n n nk
n C C C C C∗ − −
=
∀ ∈ = + = = + + + +∑N
et bien d’autres formules que l’on utilisera dans la suite du cours
5. AUTRES IDENTITES REMARQUABLES
Partons de la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique
1
1
0
11 ........ \ 1 1
nnk n
k
qq q q si qq
−−
=
−= + + + = ∈
−∑ N
On en déduit : 11 (1 )(1 .... )n nq q q q q −∀ ∈ − = − + + +N
Et en posant bqa
=
1
1 (1 )(1 ........ )n nb b b b
a a a a
− − = − + + +
En multipliant chacun des membres de l’égalité précédente par na
1 2 2 1( )( ....... )n n n n n na b a b a a b ab b− − − −− = − + + + +
On retiendra tout particulièrement les identités remarquables obtenues pour n=2 puis n=3
2 2 ( )( )a b a b a b− = − +
3 3 2 2( )( )a b a b a ab b− = − + +
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Et en changeant b en b− (uniquement pour n impair)
3 3 2 2( )( )a b a b a ab b+ = + − +
Les identités remarquables
2 1 ( 1)( 1)x x x− = − +
3 21 ( 1)( 1)x x x x− = − + +
3 21 ( 1)( 1)x x x x+ = + − +
sont à connaître à tout moment.
Généralités sur les fonctions Cours
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2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS
1. Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles
1.1. Fonction et ensemble de définition
Définition
On appelle fonction d'une variable réelle à valeurs réelles une application qui à tout élément x
d'une partie D de R associe un réel et un seul noté ( )f x
Le réel ( )f x est appelé image de x par f
La partie D est appelée ensemble de définition de la fonction
Notation
:f D → R
( )x f xa
Exemple
La fonction identité x xa est définie sur D = R
La fonction élévation au carré 2x xa est définie sur D = R
La fonction inverse 1xx
a est définie sur 0D ∗= = −R R
La fonction racine carrée x xa est définie sur [ [0;D += = +∞R
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Remarque
Il ne faut pas confondre l'être mathématique appelé fonction (et désigné par f) avec l'être
mathématique (désigné par ( )f x ou par y) qui est le réel associé par f à un élément donné de x.
1.2. Courbe représentative d'une fonction
Définition
Soit f une fonction définie sur D
La courbe représentative de f dans un repère est l'ensemble des points ( , ( ))M x f x avec x D∈
On dit que ( )y f x= est une équation de cette courbe dans le repère considéré
1.3. Restriction de f
Définition
Soit f une fonction définie sur D, et A une partie de R telle que A⊂ R
On appelle restriction de f à A la fonction g telle que
A D⊂ → R
( ) , ( ) ( )x g x telle que x A g x f x∀ ∈ =a
Exemple
Soit f la fonction ] [ ] [; 0 0;
1xx
∗ = −∞ ∪ +∞ →
a
R R
et g la fonction définie sur ] [0;A = +∞ par 1( )g xx
=
Nous dirons que g est la restriction de f à ] [0;A = +∞
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1.4. Image et antécédent
Définition
Soit f une fonction définie sur D, et A une partie contenue dans D, alors ( )f A désigne l'ensemble
des images des éléments de A.
Si ( )y f x= , on dit que y est l'image de x par f, mais aussi que x est un antécédent de y.
2. Opérations sur les fonctions
2.1. Egalité de deux fonctions
Définition
f et g sont deux fonctions définies respectivement sur fD et gD
Les deux fonctions f et g sont égales , ( ) ( )
f g
f
D Dx D f x g x=⇔ ∀ ∈ =
2.2. Somme de deux fonctions
f et g sont deux fonctions définies respectivement sur fD et gD
On définit sur f gD D D= ∩ la somme f g+ par : ( ) ( )x D f g x f x g x∀ ∈ + +a
Remarque
On peut aussi écrire la somme de deux fonctions ( ) ( ) ( ) ( )x D f g x f x g x∀ ∈ + = +
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2.3. Produit d’une fonction par un réel
Définition
f une fonction définie sur D et pour tout réel k, le produit d'un réel k par la fonction f est noté
: k f et se définit par : ( )k k f x kf xx D
∀ ∈∀ ∈
aR
Remarque
On peut aussi écrire le produit k f d'un réel k par une fonction f
( ) ( ) ( )k k f x k f xx D
∀ ∈ =∀ ∈
R
Dans le cours d’algèbre, on dira que :
Muni de ces deux lois, l'ensemble (E) des fonctions numériques d'une variable réelle définies
sur une partie D de R possède une structure d'espace vectoriel sur R .
2.4. Produit de deux fonctions
Définition
On définit sur f gD D D= ∩ le produit f g par : ( ) ( )x D f g x f x g x∀ ∈ a
Remarque
On peut aussi écrire le produit de deux fonctions ( ) ( ) ( ) ( )x D f g x f x g x∀ ∈ =
Toujours dans le cours d’algèbre, on dira :
L'ensemble (E) possède une structure d'anneau commutatif unitaire (l'élément neutre étant la
fonction constante égale à 1 sur D).
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Attention
(E) n'est pas un anneau d'intégrité ( c’est-à-dire que le produit de deux fonctions peut être nul
sans qu’aucune des deux fonctions soit identiquement nulle) comme le montre l'exemple suivant :
[ ]] ]
0 0 ; 1:
1 ; 2
si xf x
x si x
∈
∈a et
[ ]] ]0 ; 1
:0 1 ; 2
x si xg x
si x
∈
∈a
Le produit [ ]0 0 ; 2f g x si x∈a est la fonction nulle sur [ ]0 ; 2 bien que ni f ni g
ne soit la fonction nulle.
2.5. Quotient de deux fonctions
Définition
On définit sur f gD D D= ∩ le quotient fg
tel que pour tout x de D tel que ( ) 0g x ≠ par
( ):( )
f f xxg g x
a
On peut aussi écrire le quotient de deux fonctions tel que pour tout x de D tel que ( ) 0g x ≠ par
( )( )( )
f f xxg g x
=
Exemple
Soit 1:1
f xx +
a et 1:1
g xx −
a deux fonctions définies sur l'intervalle ] [1;1−
La somme 2
1 1 1 1 2:1 1 ( 1)( 1) 1
x x xf g xx x x x x
− + ++ + = =
+ − + − −a est définie sur ] [1;1−
Le produit 2
1 1 1: .1 1 1
f g xx x x
=+ − −
a est défini sur ] [1;1−
Le quotient
111: 1 1
1
f xxxg x
x
−+ =+
−
a est défini sur ] [1;1−
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Remarque
] ]1le quotient : est même défini sur 1;11
f xxg x
−−
+a
3. Composition de deux fonctions
Définition
f et g sont deux fonctions définies respectivement sur fD et gD
On appelle D l'ensemble des éléments x de fD tels que ( ) gf x D∈
La composée g fο ("g rond f") est la fonction d'ensemble de définition D telle que
[ ]( )( ) ( )g f x g f x=o
Dans l’écriture g fo la première application est f et la seconde est g
Exemple
Soit 2 1: 1 :f x x et g xx
−a a
On a fD = R et 0gD ∗= = −R R
Pour tout x∈R tel que 2 1 0x − ≠ c'est-à-dire pour 1 ; 1x D∈ = − −R
la composée des deux applications f et g dans cet ordre est
[ ] 22
1( )( ) ( ) ( 1)1
g f x g f x g xx
= = − = −o
et donc
2
: 1,11
1
g f
xx
− − →
−
o
a
R R
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Exemple
] ]: 1;111
Soit fxxx
− →
−+
a
R
Calculer 2f f f=o
] [ 2
1 1 111 1 11;1 ( ) ( )( ) 1 1 11 11 1
x x xx x xx f x f f x f xx x xx
x x
− + − +−− + +∀ ∈ − = ο = = = = − + + −+ +
+ +
] ]2 : 1;1et donc fx x
− →
a
R
Propriété
La composition des applications est associative ( ) ( )h g f h g f=o o o o
mais attention ! elle n'est pas commutative g f f g≠o o
Exemple
:2 3
Soit fx x
→+a
R R et 2
:gx x→
a
R R
alors [ ] 2 2, ( )( ) 2 3 (2 3) 4 12 9x g f x g x x x x∀ ∈ = + = + = + +oR
et 2 2( )( ) 2 3x f g x f x x ∀ ∈ = = + oR
2
:4 12 9
et donc g fx x x→
+ +
o
a
R R 2
:2 3
et f gx x
ο →
+a
R R
par conséquent g f f g≠o o (même si les deux compositions existent)
Attention
Il ne faut pas confondre le produit de deux fonctions et la composition de ces deux fonctions.
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Exemple
Considérons les deux fonctions : 1f x x −a et 2
1:1
g xx +
a , ces deux fonctions sont définies
sur D = R
La fonction produit f g est la fonction 2
1:1
xf g xx−+
a
La fonction composée g fo est la fonction [ ] [ ] 2
1( ) ( ) ( ) ( 1)( 1) 1
g f x g f x g xx
ο = = − =− +
Soit
2
:12 2
g f
xx x
→
− +
o
a
R R
4. Les formules de changement de repère (par translation)
Le plan est muni d'un repère ( ; ; )O i jr r
et (C) est la courbe représentative de y=f(x) dans ce
repère. Soit Ω le point de coordonnées ( , )a b dans le repère ( ; ; )O i jr r
. alors
O→
Ω a i b j= +r r
Quelle est l'équation de la courbe (C) dans le nouveau repère ( ; ; )i jΩr r
?
Désignons par ( , )x y les (anciennes) coordonnées d'un point M du plan dans le repère ( ; ; )O i jr r
Vectoriellement, on peut écrire OM x i y j→
= +r r
et par ( , )X Y les (nouvelles) coordonnées du
même point M dans le repère ( ; ; )i jΩr r
De même, vectoriellement M X i Y j→
Ω = +r r
La relation de Chasles OM O M→ → →
= Ω + Ω donne par passage aux coordonnées
x X ay Y b= +
= + ou encore
X x aY y b
= − = −
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Gérard Hirsch – Maths54 9
qui sont les formules de changement de repère (par translation)
5. Propriétés particulières de certaines fonctions (réduction de l'intervalle d'étude)
5.1. Imparité (Centre de symétrie)
Définition
Une fonction f est dite impaire si :
( ' )
( ) ( )x D x D le domaine D doit être symétrique par rapport à l originef x f x x D∈ ⇔ − ∈
− = − ∀ ∈
La courbe représentative de f admet l'origine comme centre de symétrie
Remarque
1) Pour étudier une fonction impaire f, il suffit de l'étudier sur [ [0;E D= ∩ +∞
Si ( )Γ est la courbe représentative de la restriction de f à E, la courbe ( )C représentant les
variations de la fonction f, s'obtient en complétant ( )Γ par symétrie par rapport à l’origine O.
2) Si D = R , alors la condition x D x D∈ ⇔ − ∈ est automatiquement vérifiée
Exemple
Les fonctions suivantes sont impaires :
x xa (identité) 3x xa (élévation au cube) 1x sur Dx
∗=a R (inverse)
sinx xa (sinus) tan ,2
x x sur D k kπ = − + π ∈
a R Z (tangente)
Plus généralement le point ( ; )I a b est centre de symétrie de la courbe représentative de f si :
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Gérard Hirsch – Maths54 10
( )
( ) ( ) 2a x D a x D le domaine D doit être symétrique par rapport à af a x f a x b x D+ ∈ ⇔ − ∈
+ + − = ∀ ∈
Remarque
Pour étudier une fonction admettant le point ( ; )I a b comme centre de symétrie, il suffit de
l'étudier sur [ [;E D a= ∩ +∞
Si ( )Γ est la courbe représentative de la restriction de f à E, la courbe ( )C représentant les
variations de la fonction f, s'obtient en complétant ( )Γ par symétrie par rapport au point ( ; )I a b
Exemple
La fonction 2 1:3 5
xf xx+−
a est définie sur 53
D = −
R . Sa représentation graphique admet le
point 5 2( ; )3 3
I comme centre de symétrie.
En effet
5 5 13 132( ) 1 2( ) 1 2 25 5 43 3 3 3( ) ( ) 5 53 3 3 3 33( ) 5 3( ) 53 3
x x x xf x f x
x xx x
+ + − + + −+ + − = + = + =
−+ − − −
L’étude de cette fonction s’effectue seulement sur l’intervalle 5 ,3
E = +∞
Généralités sur les fonctions Cours
Gérard Hirsch – Maths54 11
Représentation graphique de la fonction :
5.2. Parité (Axe de symétrie)
Définition
Une fonction f est dite paire si :
( ' )
( ) ( )x D x D le domaine D doit être symétrique par rapport à l originef x f x x D∈ ⇔ − ∈
− = ∀ ∈
En repère orthogonal ,la courbe représentative de f admet l'origine comme centre de symétrie
Remarque
Pour étudier une fonction paire f , il suffit de l'étudier sur [ [0;E D= ∩ +∞
Généralités sur les fonctions Cours
Gérard Hirsch – Maths54 12
Si ( )Γ est la courbe représentative de la restriction de f à E, la courbe ( )C représentant les
variations de la fonction f, s'obtient en complétant ( )Γ par symétrie par rapport à l’axe y’Oy
Exemple
Les fonctions suivantes sont paires :
2x xa (élévation au carré) 4x xa (élévation à la puissace 4)
00
x si xx x
x si x≥
= − <a (valeur absolue) cosx xa (cosinus)
Plus généralement, en repère orthogonal, la droite d'équation x a= est axe de symétrie de la
courbe représentative de f si :
( )
( ) ( )a x D a x D le domaine D doit être symétrique par rapport à af a x f a x x D+ ∈ ⇔ − ∈
+ = − ∀ ∈
Remarque
Pour étudier une fonction admettant la droite d'équation x a= comme axe de symétrie de la
courbe représentative de f , il suffit de l'étudier sur [ [;E D a= ∩ +∞
Si ( )Γ est la courbe représentative de la restriction de f à E, la courbe ( )C représentant les
variations de la fonction f, s'obtient en complétant ( )Γ par symétrie par rapport à l’axe x a= .
Remarque
Pour un axe de symétrie, il est nécessaire que le repère soit orthogonal
Exemple
La fonction 2: 2 5 1f x x x− +a est définie sur D = R . Sa représentation graphique admet la
droite d'équation 54
x = comme axe de symétrie
En effet 2 2 25 5 5 25 25 17( ) 2( ) 5( ) 1 5 2 5 1 24 4 4 8 4 8
f x x x x x x x+ = + − + + = + + − − + = − +
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et 2 2 25 5 5 25 25 17( ) 2( ) 5( ) 1 5 2 5 1 24 4 4 8 4 8
f x x x x x x x− = − − − + = − + − + + = − +
Puisque 5 5( ) ( ) ,4 4
f x f x x+ = − ∀ ∈R , la droite d’équation 54
x = est bien axe de symétrie de la
courbe représentative de f, et l’étude de cette fonction s’effectue seulement sur l’intervalle
5 ,4
E = +∞
Représentation graphique de la fonction :
Attention
La plupart des fonctions ne sont ni paires, ni impaires et donc n’admettent ni axe de symétrie, ni
centre de symétrie.
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Une calculette graphique permet de visualiser la représentation de la fonction
2
2
3 10 8: 1,34 3
x xf x définie surx x
− + −−
− +a R qui n’admet ni axe de symétrie, ni centre de
symétrie.
Remarque
Toute fonction f définie sur une partie E de R admettant le point 0 pour centre de symétrie est la
somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire et cette décomposition est unique.
En effet : si f g h= + où g est paire et h est impaire, on a
( ) ( ) ( )f x g x h x= + et ( ) ( ) ( )f x g x h x− = −
d'où
[ ] [ ]1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
g x f x f x et h x f x f x= + − = − −
Réciproquement, les fonctions g et h ainsi déterminées à partir de f sont respectivement paire
et impaire et vérifient f g h= +
Exemple
La fonction 3 2: 2 5 1f x x x x− + − +a est définie sur D = R
Cette fonction f est la somme
• de la fonction g paire 2: 5 1g x x +a
• et de la fonction h impaire 3: 2h x x x− −a
5.3. Périodicité
Définition
Une fonction f est dite périodique de période T ( ou T-périodique) s'il existe un nombre T positif
tel que :
( ) ( )
x D x T Df x T f x x D∈ ⇔ + ∈
+ = ∀ ∈
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Si T est une période pour f, tout multiple de T non nul (c’est à dire 2T, 3T,4T....) est aussi une
période pour f. Dans les cas usuels, l'une des périodes positives est plus petite que toutes les
autres; c'est ce nombre qui est appelé plus précisément période de la fonction f et sera noté T (et
par conséquent T doit être le plus petit possible)
Il faut connaître la période des fonctions trigonométriques suivantes :
Si 0ω≠
• la fonction cos( )x xω +ϕa admet pour période 2T π=
ω
• la fonction sin( )x xω +ϕa admet pour période 2T π=
ω
• la fonction tan( )x xω +ϕa admet pour période T π=
ω
Exemple
La fonction 1 : sin(3 )5
f x x π+a admet pour période 2
3T π=
Pour déterminer la période de la fonction 22 : cosf x xa , il est nécessaire de linéariser cette
expression trigonométrique, puisque 2 1 cos 2cos2
xx += , la fonction 2f admet pour période
T = π
De même la fonction 3 : cos( )3xf x a admet pour période 6T = π
Pour étudier une fonction f de période T, il suffit de l'envisager sur [ [;E D T= ∩ α α +
avec α réel quelconque. Si ( )Γ est la courbe représentative de la restriction de f à E, la courbe
( )C représentant les variations de la fonction f, s'obtient en complétant ( )Γ par les arcs de courbe
qui s'en déduisent par les translations de vecteur kVr
avec k ∈R et ( ; 0)V Tr
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6. Propriétés globales d'une fonction
Toutes les fonctions f considérées dans ce paragraphe sont définies sur D
Soit I un intervalle contenu dans D
6.1. Fonction croissante
f est croissante si 2( , ') ' ( ) ( ')x x I x x f x f x∀ ∈ ≤ ⇒ ≤
Exemple
0 1
: 1 1 22 3
x si xf x si x
x si x
≤ <
≤ < ≤ ≤
a
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Remarque
Cette fonction est croissante sur [ ]0,3 mais elle est discontinue en 0 2x =
6.2. Fonction décroissante
f est décroissante si 2( , ') ' ( ) ( ')x x I x x f x f x∀ ∈ ≤ ⇒ ≥
6.3. Fonction strictement croissante
f est strictement croissante si 2( , ') ' ( ) ( ')x x I x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
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Exemple 2
0 1: ( 2) 1 1 2
2 3
x si xf x x si x
x si x
≤ < − + ≤ < ≤ ≤
a
Remarque
Cette fonction est strictement croissante et continue sur [ ]0,3
6.4. Fonction strictement décroissante
f est strictement décroissante si 2( , ') ' ( ) ( ')x x I x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >
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6.5. Fonction monotone
f est monotone si f est croissante ou décroissante
6.6. Fonction strictement monotone
f est strictement monotone si f est strictement croissante ou strictement décroissante
Remarque
Sur un intervalle donné, une fonction peut être ni croissante ni décroissante
Exemple
La fonction [ ]2: 1 5 ; 3f x x sur+ −a n’est ni croissante, ni décroissante
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3 : FONCTIONS TRINOMES DU SECOND DEGRE
1. DEFINITIONS
Un trinôme du second degré est une fonction de la forme 2x a x b x c+ +a où a, b et c sont
trois réels donnés avec 0a ≠
Résoudre l'équation 2 0 ( 0)a x b x c avec a+ + = ≠ , c'est trouver tous les nombres u tels que 2 0au bu c+ + = . Un tel nombre u est dit solution ou encore racine de l'équation.
2. Résolution de l'équation du second degré dans R
Posons 2( ) ( 0)f x a x b x c a= + + ≠
2.1. Ecriture sous forme canonique
Puisque 0a ≠ , mettons a en facteur : 2( ) b cf x a x xa a
= + +
Faisons apparaitre les deux premiers termes de la parenthèse comme le début d'un carré 2
2 22( )
2 4b b bx x xa a a
+ = + −
Donc 2
22( ) ( )
2 4b b cf x a xa a a
= + − +
En réduisant au même dénominateur, les deux derniers termes dans le crochet 2
22
4( ) ( )2 4b b acf x a xa a
−= + −
Cette dernière écriture est appelée forme canonique du trinôme du second degré
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2.2. Résolution de l'équation du second degré
On pose 2 4b ac∆ = − (lire "delta"); ∆ est le discriminant du trinôme
f(x) s'écrit 22( ) ( )
2 4bf x a xa a
∆ = + −
• Si 0∆ < , alors 2 04a∆
< , l'expression entre crochets est strictement positive, donc l'équation
( ) 0f x = n'admet pas de solution dans R.(voir le chapitre « nombres complexes »)
Remarque
voir le chapitre "Nombres complexes" pour la résolution dans C
• Si 0∆ = , alors 2( ) ( )2bf x a xa
= + et puisque 0a ≠ , l'équation ( ) 0f x = admet une solution
et une seule 2bxa
= − (on dit aussi que la racine est double)
• Si 0∆ > alors on peut écrire 2( )∆ = ∆
et 2
2 2 22
( )( ) ( ) ( ) ( )2 4 2 2b bf x a x a xa a a a
∆ ∆= + − = + −
soit en utilisant l'identité remarquable 2 2 ( )( )A B A B A B− = + −
( )2 2 2 2b bf x a x xa a a a
∆ ∆= + + + −
( 0)avec a ≠
Le produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul
Si l'on pose 1 22 2b bx et x
a a− + ∆ − − ∆
= =
f(x) s'écrit 1 2( ) ( )( )f x a x x x x= − −
Puisque 0a ≠ , l'équation ( ) 0f x = admet deux solutions distinctes :
1 22 2b bx et x
a a− + ∆ − − ∆
= =
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3. Factorisation du trinôme du second degré
Soit le discriminant du trinôme du second degré 2 4b a c∆ = −
• Si 0∆ > alors on peut écrire, le frinôme du second degré admet deux racines
1 22 2b bx et x
a a− + ∆ − − ∆
= = et alors 21 2( ) ( )a x b x c a x x x x+ + = − −
• Si 0∆ = , alors 2 2( )2ba x b x c a xa
+ + = +
• Si 0∆ < , le trinôme du second degré n'admet pas de racine dans R, et la factorisation
dans R n'est pas possible.
4. Somme et produit des racines
Lorsque le trinôme du second degré 2 0 ( 0)a x b x c avec a+ + = ≠ admet deux racines
distinctes 1 22 2b bx et x
a a− + ∆ − − ∆
= = (ou deux racines confondues 1 2 2bx xa−
= = )
alors
• leur somme 1 2bS x xa
= + = −
• et leur produit 1 2cP x xa
= =
Exemple
Résoudre l’équation du second degré 22 13 7 0x x− − =
Formons le discriminant 2 2 24 ( 13) 4( 7)(2) 225 15b ac∆ = − = − − − = =
1 213 15 13 15 17
2 4 2 4 2b bx et x
a a− + ∆ + − − ∆ −
= = = = = = −
Les racines de l’équation du second degré sont 17 ,2
−
Vérification :
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1 2
1 2
1 1372 2
1 7. (7)( )2 2
bS x xa
cP x xa
= + = − = − =
= = = − = −
Factorisation du trinôme
2 12 13 7 2( 7)( ) ( 7)(2 1)2
x x x x x x− − = − + = − +
Exemple
Résoudre l’équation du second degré 22 1 0x x+ + =
Formons le discriminant 2 24 (1) 4(2)(1) 7 0b ac∆ = − = − = − <
Le trinôme du second degré n’admet pas de racine réelle et ne peut se factoriser dans .
Exemple
Cas où une racine est connue
Résoudre l’équation du second degré 2 1000 999 0x x− + =
On remarque que 1 1x = est une racine de cette équation.
On sait que le produit 1 2x x des racines est 999ca=
Puisque 1 1x = alors 2 999x =
5. Recherche de deux réels connaissant leur somme S et leur produit P
Deux nombres réels u et v ont pour somme S u v= + et pour produit P u v= , s'ils sont
solutions de l'équation du second degré 2 0x Sx P− + = .Les deux réls u et v n'existent que si
de plus 2 4 0S P− ≥
Exemple
Résoudre le système
2 2
49( )
1225x yx y+ =
Σ + =
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On utilise l’identité remarquable 2 2 2( ) 2x y x y x y+ = + +
qui donne 2 2 2( ) ( )
2x y x yx y + − +
= soit 2(49) (1225) 558
2x y −
= =
Le système ( )Σ est équivalent au système
49
( ')558
x yxy+ =
Σ =
On cherche donc deux nombres connaissant leur somme 49S = et leur produit 588P =
Ces deux nombres x et y sont solutions de l’ équation 2 49 588 0X X− + =
Les racines de cette équation du second degré sont 21 et 28
Les solutions du système ( )Σ sont 21 28 28 21x et y ou x et y= = = =
6. Signe du trinôme du second degré
Soit 2( ) 0 ( 0)f x a x b x c avec a= + + = ≠
•Lorsque 0∆ < , f(x) est toujours du signe de a.
•Lorsque 0∆ = , f(x) est du signe de a (sauf lorsque2bxa
= − , auquel cas ( ) 0f x = )
•Lorsque 0∆ > , f(x) est
• du signe de a lorsque x est à l'extérieur des racines
• du signe de a− lorsque x est à l'intérieur des racines
• nul lorsque x ets égal à l'une des deux racines
Exemple
Donner le signe de 2( ) 2 13 7A x x x= − − et résoudre l’inéquation ( ) 0A x ≤
Le discriminant ∆ est égal à 2 213 4(2)( 7) 225 15∆ = − − = =
Les racines sont 1 213 15 13 15 17
4 4 2x et x+ −= = = = −
Le signe de A(x) est donné par le tableau :
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x
A(x)
+∞-∞
0 0
-1/2 7
+ − +
L’inéquation ( ) 0A x ≤1 ,72
x ⇔ ∈ −
Exemple
Donner le signe de 2( ) 2 1B x x x= + + et résoudre l’inéquation ( ) 0B x ≤
Le discriminant ∆ est égal à 21 4(2)(1) 7 0∆ = − = − <
Il n’y a pas de racine réelle
Le signe de B(x) est donné par le tableau :
x
B(x)
+∞-∞
+
L’inéquation ( ) 0B x ≤ n’est jamais vérifiée
7. Fonctions trinômes du second degré et paraboles
Soit ( )C la courbe représentative de la fonction 2: ( 0)f x a x b x c a+ + ≠a dans le
repère ( ; ; )O i jr r
Reprenons la forme canonique de f(x) : 22( ) ( )
2 4by f x a xa a
∆ = = + −
forme canonique que l'on peut aussi écrire 2( ) ( )4 2
by a x Ia a∆ + = +
En introduisant le point I de coordonnées ;2 4bIa a
∆ − −
, et en introduisant le repère
( ; ; )I i jr r
déduit du repère ( ; ; )O i jr r
par translation
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On note ( ; )x y les coordonnées d'un point quelconque M dans le repère ( ; ; )O i jr r
et ( ; )X Y
les coordonnées du même point M dans le repère ( ; ; )I i jr r
, les formules de changement
d'axes sont
2bX xa
= + et 2
Y ya∆
= +
La courbe ( )C est d'après (I) une parabole d'équation 2Y a X= dans le repère ( ; ; )I i jr r
La parabole est tournée
• vers le bas lorsque 0a >
• vers le haut lorsque 0a <
0
0
00
00
a>0∆>0
a>0∆=0
a>0∆<0
a<0∆>0
a<0∆=0
a<0∆<0
La parabole admet la droite d'équation 2bxa
= − pour axe de symétrie
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Lorsque 0a > , la fonction 2:f x a x b x c+ +a admet un minimum pour 2bxa
= −
Lorsque 0a < , la fonction 2:f x a x b x c+ +a admet un maximum pour 2bxa
= −
8. Résolution d’équations se ramenant à la résolution d’une équation du second degré
8.1. Résolution d’une équation du troisième degré (dont on peut trouver une racine réelle)
3 2 0 , ,ax bx cx d où a R b R c R et d R∗+ + + = ∈ ∈ ∈ ∈
Exemple
Résoudre l’équation du troisième degré 3 26 7 2 0x x x− + − =
L’équation proposée admet la racine évidente 1x =
On peut donc mettre ( 1)x − et puisque l’équation proposée est du troisième degré, on cherche
les réels ,a b et c tels que
3 2 26 7 2 ( 1)( )x x x x a x b x c− + − = − + +
Développons 3 2 3 26 7 2 ( ) ( )x x x ax b a x c b x c− + − = + − + − −
Par identification des coefficients des termes de même degré, on obtient le système
16
72
ab ac b
c
= − = − − = − = −
qui admet une solution unique
1
52
abc
= = − =
et donc
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3 2 26 7 2 ( 1)( 5 2)x x x x x x− + − = − − +
Le trinôme du second degré 2 5 2x x− + admet pour discriminant 2( 5) 4(1)(2) 17∆ = − − =
et pour racines 1 15 17 5 17
2 2x et x+ −= =
Les solutions de l’équation proposée sont
5 17 5 171 , ,2 2
+ −
8.2. Résolution d’une équation du quatrième degré
8.2.1. Equations bicarrées (pas de puissances impaires)
Une équation est bicarrée si elle est de la forme
4 2 0 ,a x b x c où a b et c∗+ + = ∈ ∈ ∈
En posant 2X x= (changement d’inconnue), la resolution d’une équation bicarrée en x,
commence par celle d’une équation du second degré d’inconnue X. Connaissant X, on peut
ensuite chercher x tel que 2x X=
Exemple
Résoudre 4 24 11 3 0x x+ − =
On pose 2X x= et donc 2 4X x=
et donc 4 2 24 11 3 4 11 3 0x x X X+ − = + − =
L’équation du second degré en X admet pour racines 1 21 34
X et X= = −
L’équation 2 1 1 14 2 2
x admet pour racines et= −
L’équation 2 3 'x n admet pas de racine dans= −
Les solutions de l’équation proposée sont 1 1,2 2
−
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8.2.2. Equations dont les coefficients sont symétriques
S'ils admettent la racine 0x , ils admettent aussi la racine 0
1x
puisque l'équation P(x)=0 est la
même que 1( ) 0Px
= . On dit qu’une telle équation est symétrique.
De telles équations peuvent être résolues en mettant 2x en facteur (puisque 0x = n’est pas
solution car 0a ≠ ) puis en posant 1X xx
= +
Exemple
Résoudre 4 3 212 11 146 11 12 0x x x x− − − + =
On met 2x en facteur (puisque 0x = n’est pas solution)
4 3 2 2 22
11 1212 11 146 11 12 (12 11 146 ) 0x x x x x x xx x
− − − + = − − − + =
ou encore 22
1 112( ) 11( ) 146 0x xx x
+ − + − =
en posant 2 22
1 12X x soit X xx x
= + = + + :
En introduisant X 212( 2) 11( ) 146 0X X− − − = ou 212 11 170 0X X− − =
L’équation du second degré 212 11 170 0x x− − = admet pour racines 17 104 3
et −
21 17 1' ' 4 17 4 0 44 4
L équation X s écrit x x et admet pour racines etX
+ = − + =
21 10 1' ' 3 10 3 0 33 3
L équation X s écrit x x et admet pour racines etX
+ = − + + = − −
Les solutions sont donc 1 14, ,3,4 3
et l’on obtient la factorisation suivante 4 3 212 11 146 11 12 (3 1)( 3)(4 1)( 4)x x x x x x x x− − − + = + + − −
Remarque
D’autres équations peuvent se ramener à la résolution d’équations du second degré
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CHAPITRE 4 : LIMITES
La lettre grecque ,désigne soit soitα + ∞ − ∞ , soit a un réel fini ( )a ∈ R
1. LIMITES
Le plan est muni d’un repère ( ; ; )O i j→ →
, et on note fC la courbe représentative de la fonction f
dans ce repère
1.1. Limite égale à plus l’infini
On considère une fonction f définie au voisinage de α , ce qui signifie que :
• lorsque α désigne +∞ , la fonction f est définie sur un intervalle ] [; ( )b b+ ∞ ∈ R
• lorsque α désigne −∞ , la fonction f est définie sur un intervalle ] [; ( )b b− ∞ ∈ R
• Lorsque ( )a fini aα = ∈ R , la fonction f est définie sur ] [ ] [; ;a a h ou a h a+ −
] [ ; ( )ou a h a h h ∗+− + ∈ R
Définition
Dire que la limite de f en α est +∞ signifie que tout intervalle de la forme
] [; ( )M M+ ∞ ∈ R contient tous les réels ( )f x dès que x est suffisamment proche de .α .
On écrit lim ( ) lim ( )x
f x ou encore f x→α α
= +∞ = +∞ et on dit aussi que ( )f x tend vers +∞ quand
x tend vers α
lim ( )x
f x→+∞
= +∞ implique : on peut trouver une valeur b suffisamment grande telle que pour toute
valeur M aussi grande que l’on veut on ait si x b> alors ( )f x M>
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Exemple
Les fonctions x x ; 2x x ; ( )nx x n ∗∈ N ; x x vérifient limx
x→+∞
= +∞ ;
2limx
x→+∞
= +∞ ; lim n
xx n ∗
→+∞= +∞ ∈ N ; lim
xx
→+∞= +∞
lim ( )x
f x→−∞
= +∞ implique : on peut trouver une valeur b telle que pour toute valeur M aussi
grande que l’on veut on ait si x b< alors ( )f x M>
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Exemple
Les fonctions 2x x ; ( , )nx x n n pair∗∈ N et 2lim ( )x
x→−∞
= +∞ ainsi que
2lim ( )p
xx avec p ∗
→−∞= +∞ ∈ N
On peut trouver une valeur h suffisamment petite telle que pour toute valeur M aussi grande que
l’on veut si ] [,x a h a h∈ − + alors ( )f x M>
Exemple
Les fonctions 1 1;x xx x
u u sont définies sur ] [0;+ ∞ et vérifient 0
1limx x+→
= +∞ ,
0
1limx x+→
= +∞
1.2. Limite égale à moins l’infini
Définition
Dire que la limite de f en α est − ∞ signifie que tout intervalle de la forme
] [; ( )M où M− ∞ ∈ R contient tous les réels ( )f x dès que x est suffisamment proche de α .
On note lim ( ) limx
f x ou encore f→α α
= −∞ = −∞
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Exemple
Les fonctions x x ; (nx x n ∗∈ N , n impair) et lim ( )x
x→−∞
= −∞ ainsi que
2 1lim ( )p
xx avec p+
→−∞= −∞ ∈ N
1.3. Limite égale à un réel fini L (ou encore limite finie)
Soit L un nombre réel fini ( )L ∈ R
Définition
Dire que la limite de f en α est le réel L signifie que tout intervalle de la forme
] [; ( )L A L A A ∗+− + ∈ R contient tous les réels ( )f x dès que x est suffisamment proche de .α
On écrit lim ( ) limx
f x L ou encore f L→α α
= =
On dit aussi que ( )f x tend vers L quand x tend vers .α
On peut trouver une valeur h suffisamment petite telle que pour ] [,x a h a h∈ − + alors
] [( ) ,f x A L A L∈ − + pour toute valeur A positive
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Exemple
La fonction 1:f xx
est définie sur ] [0;+ ∞ et 1lim 0x x→+∞
=
(Interprétation graphique au chapitre suivant ANAL 05)
Remarque
Certaines limites peuvent ne pas exister; Ainsi la fonction définie sur R par
( ) sin ( ( ) cos )f x x ou g x x= = n’admet pas de limite en +∞ (ni en −∞ )
Théorème
Si une limite existe alors elle est unique. Ce théorème est admis
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2. OPERATIONS sur les LIMITES.
2.1. Limite de la somme de deux fonctions
limlim '
lim '
Si f admet pour ite en L L Let si g admet pour ite en L
alors f g admet pour ite en L L pas de conclusion
α +∞ −∞ +∞α +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
+ α + +∞ −∞ +∞ −∞La
démonstration de ce théorème est admise
2.2. Limite du produit de deux fonctions
lim 0 0lim '
lim '
Si f admet pour ite en L Let si g admet pour ite en L
alors f x g admet pour ite en L x L pas de conclusion
α ≠ ∞α ∞ ∞ ∞
α ∞ ∞
La démonstration de ce théorème est admise.
2.3. Limite du quotient de deux fonctions
lim 0 0lim ' 0 0 ' 0
lim'
Si f admet pour ite en L Let si g admet pour ite en L L
f Lalors admet pour ite en pas de conclusion pas de conclusiong L
α ≠ ∞ ∞α ≠ ∞
α ∞ ∞
La démonstration de ce théorème est admise.
Lorsqu’il n’y a pas de conclusion, on dit alors que c’est un cas de forme indéterminée.
Nous rencontrerons cette année 4 cas de formes indéterminées que nous noterons abusivement
0" " ; "0 " ; " " ; " "0
x ∞∞ − ∞ ∞∞
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En présence d’une forme indéterminée, il faut lever l’indétermination, si c’est possible, en
transformant l’écriture de la fonction de façon à pouvoir conclure.
Parmi ces transformations, on peut citer :
• la technique de mise en facteur du terme dominant
• la technique de modification d’écriture, en particulier en utilisant la quantité conjuguée
• la technique d’encadrement (voir chapitre suivant ANAL05)
• la technique utilisant le taux d’accroissement (voir chapitre dérivée ANAL06)
Exemple
Calculer les limites éventuelles suivantes :
a) 2 3lim ( )x
x x→+∞
+ b) 2 3lim ( )x
x x→+∞
−
c) 2 3lim ( )x
x x→−∞
− + d) 2 3lim ( )x
x x→−∞
− −
a) 2limx
x→+∞
= +∞et 3limx
x→+∞
= +∞
Dans ce cas il n’y a pas de forme indéterminée et on applique le théorème sur la limite d’une
somme, donc 2 3lim ( )x
x x→+∞
+ = +∞
b) 2limx
x→+∞
= +∞et 3limx
x→+∞
= +∞
Les résultats obtenus sur la limite d’une somme algébrique ne permettent pas de conclure.
On est en présence d’une forme indéterminée " "+ ∞ −∞
On peut par exemple, mettre le terme de plus haut degré en facteur.
2 3 3 1( 1)x x xx
− = − et comme 3limx
x→+∞
= +∞ et 1lim ( 1) 1x x→+∞
− = −
Avec cette écriture, il n’y a plus de forme indéterminée, en appliquant le théorème sur la limite
d’un produit, on obtient 2 3lim ( )x
x x→+∞
− = −∞
Dans cet exemple, on obtient (évidemment) le même résultat en écrivant 2 3 2 (1 )x x x x− = −
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c) 2lim ( )x
x→−∞
− = −∞ et 3lim ( )x
x→−∞
= −∞
Dans ce cas il n’y a pas de forme indéterminée et on applique le théorème sur la limite d’une
somme, donc 2 3lim ( )x
x x→−∞
− + = −∞
d) 2lim ( )x
x→−∞
− = −∞et 3lim ( )x
x→−∞
− = + ∞
Les résultats obtenus sur la limite d’une somme algébrique ne permettent pas de conclure.
On est en présence d’une forme indéterminée " "+ ∞ −∞
On écrit 2 3 3 1( 1)x x xx
− − = − + puisque 3lim ( )x
x→−∞
− = + ∞ et 1lim ( 1) 1x x→−∞
+ =
alors 2 3lim ( )x
x x→−∞
− − = +∞
Exemple
Déterminer les limites éventuelles en +∞ et en −∞ des fonctions rationnelles suivantes :
a) 2
2
3 4:2 1x xf x
x x− +
+ +
b) 2 1:
2 1xg xx
++
c) 2
1:2 1
xh xx x
++ +
a) Pour tout x réel non nul 2 22
3 43 4 (1 )x x xx x
− + = − + et 2 22
12 1 2 (1 )2 2xx x x
x+ + = + +
après simplification par 2x , nous obtenons 2
2
3 41( ) 1 12(1 )
2 2
x xf x
x x
− +=
+ +
Puisque 2
3 4lim (1 ) 1x x x→±∞
− + = et 2
1 1lim 2(1 ) 22 2x x x→±∞
+ + =
En utilisant la limite d’un quotient
Nous avons 2 2
2 2
3 4 3 4 1lim lim2 1 2 1 2x x
x x x xx x x x→+∞ →−∞
− + − += =+ + + +
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b) Pour tout x réel non nul 2 22
11 (1 )x xx
+ = + et 12 1 2 (1 )2
x xx
+ = +
après simplification par x, nous obtenons 10,2
x ∀ ∈ − −
R 2
1(1 )( ) 12(1 )
2
xxg x
x
+=
+
En utilisant la limite d’un quotient, le numérateur tend vers ou+∞ − ∞ et le dénominateur tend
vers 2 quand x tend vers ou+∞ − ∞
Nous avons 2 21 1lim lim
2 1 2 1x x
x xetx x→+∞ →−∞
+ += +∞ = −∞+ +
c) Pour tout x réel non nul 11 (1 )x xx
+ = + et 2 22
12 1 2 (1 )2 2xx x x
x+ + = + +
après simplification par x, nous obtenons 2
11( ) 1 12 (1 )
2 2
xx h xx
x x
∗+
∀ ∈ =+ +
R
En utilisant la limite d’un quotient, le numérateur tend vers 1 et le dénominateur vers l’infini, on
obtient 2
1lim 02 1x
xx x
−
→−∞
+ =+ +
et 2
1lim 02 1x
xx x
+
→+∞
+ =+ +
Conclusion : Limites à l’infini d’un polynôme, d’une fraction rationnelle
En +∞ et en −∞ , tout polynôme admet une limite, qui est celle de son monôme de plus haut
degré
En +∞ et en −∞ , toute fonction rationnelle admet une limite, qui est celle du quotient des
monômes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur
Exemple
Déterminer la limite en 2 des fonctions suivantes :
a) 2
2
6( )5 6
x xf xx x
+ −=+ +
b) 2
2
2 6( )6
x xg xx x
− −=+ −
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a) 2
2lim( 6) 0x
x x→
+ − = et 2
2lim( 5 6) 20x
x x→
+ + =
Seul le numérateur s’annule pour la valeur 2.
En appliquant la limite d’un quotient, on trouve le résultat 2
22
6lim 05 6x
x xx x→
+ − =+ +
b) 2
2lim (2 6) 0x
x x→
− − = et 2
2lim ( 6) 0x
x x→
+ − =
En 2x = , g est le quotient de deux fonctions de limite nulle, et l’on aboutit à une forme
indéterminée 0" "0
. Précisément, puisque nous avons une telle forme indéterminée, on peut mettre
( 2)x − en facteur au numérateur et au dénominateur.
2 32 6 2( 2)( )2
x x x x− − = − + et 2 6 ( 2)( 3)x x x x+ − = − +
2, 3x∀ ∈ − −R alors 2
2
32( 2)( )2 6 2 32( )6 ( 2)( 3) 3
x xx x xf xx x x x x
− +− − += = =+ − − + +
et 2
22
2 3 2 7lim6 5x
x xx x→
− − =+ −
Voir aussi l’exemple 10 de ce chapitre ANAL04
Exemple
Déterminer la limite en 1 de la fonction suivante 2
1 2( ) ( )1 1
f xx x
= −− −
On est en présence d’une forme indéterminée" "∞ − ∞ . Il faut utiliser la technique de modification
d’écriture, en réduisant au même dénominateur, on a
2 2
1 2 1 2 1 11 ,1 :1 1 (1 )(1 ) 1 (1 )(1 ) 1
x xxx x x x x x x x
+ −∀ ∈ − − − = − = = −− − − + − − + +
R
et 21
1 2 1lim ( )1 1 2x x x→
− = −− −
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Exemple
Déterminer la limite en 1 de la fonction 2 2 1( )1
x xf xx
+ − +=−
Soit f : 2 2 11
x xxx
+ − +−
Alors le domaine de définition de f est ] [1 ,1 1,2fD = − ∪ + ∞
1lim ( 2 2 1) 3 3 0x
x x→
+ − + = − = et 1
lim( 1) 0x
x→
− =
On est en présence d’une forme indéterminée 0" "0
. Il faut utiliser la technique de modification
d’écriture, en utilisant la quantité conjuguée.
Partons de l’identité remarquable 2 2 ( )( )a b a b a b− = + −
La quantité conjuguée de ( )a b− est ( )a b+ (et celle de ( )a b+ est ( )a b− )
Multiplions le numérateur et le dénominateur de f(x) par l’expression conjuguée de
2 2 1x x+ − + c’est-à-dire par 2 2 1x x+ + +
Pour tout x de fD alors 2 2 1x x+ + + 0≠ et
2 2 1( )1
2 2 1 2 2 1
( 1) 2 2 1
1( 1) 2 2 1
x xf xx
x x x x
x x x
xx x x
+ − +=−
+ − + + + + = − + + +
− += − + + +
12 2 1x x
= − + + +
puisque 1
lim 2 2 1 2 3x
x x→
+ + + = alors 1
2 2 1 1lim1 2 3x
x xx→
+ − + = −−
Exemple
Déterminer les limites en +∞ et en −∞ de la fonction 2: 2f x x x x+ −
Le domaine de définition de la fonction f est ] ] [ [, 1 0,fD = −∞ − ∪ + ∞
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Etude en −∞
2lim lim ( 1)x x
x x x x→−∞ →−∞
+ = + = +∞et donc en −∞ , il n’y a pas de forme indéterminée et
2lim 2x
x x x→−∞
+ − = +∞
2lim lim ( 1)x x
x x x x→+∞ →+∞
+ = + = +∞et donc en +∞ , f se présente sous une forme indéterminée
" "∞ − ∞ .
On a en transformant l’expression
] [ 2 1 10 , : ( ) (1 ) 2 1 2x f x x x x xx x
∀ ∈ + ∞ = + − = + −
] [0 , :x x x∀ ∈ + ∞ =
soit ] [ 10 , : ( ) 1 2x f x xx
∀ ∈ + ∞ = + −
limx
x→+∞
= +∞ et 1lim 1 2 1x x→+∞
+ − = −
en utilisant la limite d’un produit, alors 2lim 2x
x x x→+∞
+ − = −∞
Exemple
Déterminer les limites en +∞ et en −∞ de la fonction 2:f x x x x+ −
Le domaine de définition de la fonction f est ] ] [ [, 1 0,fD = −∞ − ∪ + ∞
• Etude en −∞
Il n’y a pas de forme indéterminée et 2limx
x x x→−∞
+ − = +∞
• Etude en +∞
f se présente sous une forme indéterminée, et la technique de calcul de l’exemple précédent n°6
conserve une forme indéterminée
On utilise alors la technique de la quantité conjuguée
] [ 20, : 0x x x x∀ ∈ + ∞ + + ≠
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En multipliant le numérateur et le dénominateur de f par 2x x x+ + , on obtient
] [2 2
2 20 , : ( )
x x x x x x xx f xx x x x x x
+ − + + ∀ ∈ +∞ = =
+ + + +
] [ 10 , : ( )1 11 1 1
xx f xx x
x x
∀ ∈ +∞ = =+ + + +
et la limite d’un quotient permet de conclure
2 1lim2x
x x x→+∞
+ − =
3. LIMITES des FONCTIONS COMPOSEES
Dans ce paragraphe, f est une fonction définie sur un intervalle I, et g est définie sur un intervalle
contenant ( )f I
α , L et L’ désignent des nombres réels, ou + ∞ , ou −∞
Théorème
Si lim ( )x
f x L→α
= et si lim ( ) 'x L
g x L→
= alors lim ( )( )x L
g f x L→
′=
Exemple
Déterminer la limite en +∞ de la fonction h définie sur [ [1,+ ∞ par 2
1( )1
xh xx
−=+
On peut écrire ( ) ( )( )h x g f x= ο avec 2
1( )1
xf xx
−=+
et ( )g x x=
Puisque 2
1lim ( ) lim 01x x
xf xx→+∞ →+∞
−= =+
et 0
lim 0X
X→
=
alors 2
1lim 01x
xx→+∞
− =+
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Exemple
Déterminer la limite en +∞ de la fonction h définie sur 23
− −
R par 1( ) sin( )3 2
xh xx
π +=+
On peut écrire ( ) ( )( )h x g f x= avec 1( )3 2
xf xx
π +=+
et ( ) sing x x=
Puisque 1lim ( ) lim ( )3 2 3x x
xf xx→+∞ →+∞
π + π= =+
et 3
3lim sin sin3 2X
Xπ→
π= =
alors 1 3lim sin( )3 2 2x
xx→+∞
π + =+
4. Limites à gauche et à droite (limite latérale)
Soit f une fonction et a un réel fini ( )a ∈ R ; L désigne un réel, ou−∞ + ∞
Dire que f admet L comme limite à gauche en a signifie que la restriction de f à ] [,a− ∞ admet L
comme limite en a.
On note indifféremment
lim ( )x ax a
f x L→<
= ou lim ( )x a
f x L→<
= ou lim ( )x a
f x L−→
=
Dire que f admet L comme limite à droite en a signifie que la restriction de f à ] [,a + ∞ admet L
comme limite en a.
On note indifféremment
lim ( )x ax a
f x L→>
= ou lim ( )x a
f x L→>
= ou lim ( )x a
f x L+→
=
Théorème
Si la fonction f admet une limite en a, alors f admet des limites à gauche et à droite de a (pourvu
que la fonction f soit définie en a), et de plus
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lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x f x f x+ −→ → →
= =
La contraposée de ce théorème est très utile, puisque si les limites à gauche et à droite de a sont
différentes, alors f n’admet pas de limite en a.
Exemple
Montrer que 22
2 3lim6x
xx x→
−+ −
n’existe pas.
2
2 3:6
xSoit f xx x
−+ −
alors 2, 3fD = − −R
Puisque 2 6 ( 2)( 3)x x x x+ − = − +
En utilisant le signe du trinôme du second degré :
22
lim( 2)( 3) 0xx
x x +
→>
− + = et 2
2
lim( 2)( 3) 0xx
x x −
→<
− + =
En appliquant la limite d’un quotient 222
2 3lim6x
x
xx x→
<
− = −∞+ −
et 222
2 3lim6x
x
xx x→
>
− = +∞+ −
Les limites à gauche et à droite de 2 sont infinies (et de signe différent), la fonction n’admet pas
de limite en 2.
Exemple
Montrer que 0
1lim 1x
xx→
+ n’existe pas
C’est une forme indéterminée "0 "x ∞
En utilisant le signe du trinôme du second degré, on a pour
si ] [ 10, 1 1x x xx
∈ + ∞ + = + et donc 0 0
1lim 1 lim ( 1) 1x x
x xx+ +→ →
+ = + =
si [ [ 1 1 11,0 1 1 1 0x x x car alorsx x x
∈ − + = − − + <
et donc
0 0
1lim 1 lim ( 1 ) 1x x
x xx− −→ →
+ = − − = −
Puisque les limites à gauche et à droite de 0 sont différentes, la limite en 0 n’existe pas.
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CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE – ASYMPTOTES
La lettre grecque ,désigne soit soitα +∞ −∞ , soit a un réel fini ( )a∈R
Le plan est muni d’un repère ( ; ; )O i j→ →
, et on note fC la courbe représentative de la fonction f
dans ce repère
1. LIMITE et ORDRE
1.1. Théorème de comparaison
f et g sont deux fonctions définies sur le même intervalle I
( ) ( )lim ( )x
Si x I f x g xg x
→α
∀ ∈ ≥ = +∞
alors lim ( )x
f x→α
= +∞
Exemple
Déterminer la limite en −∞ et en +∞ de la fonction f définie sur R par ( ) sinf x x x= +
On part de 1 sin 1x x∀ ∈ − ≤ ≤R , soit encore en ajoutant x à chaque membre de l’inégalité
1 sin 1x x x x x∀ ∈ − ≤ + ≤ +R
• Etude en −∞
On utilise l’inégalité sin 1x x x x∀ ∈ + ≤ +R et puisque lim ( 1)x
x→−∞
+ = −∞
d’après le théorème de comparaison lim ( sin )x
x x→−∞
+ = −∞
• Etude en +∞
On utilise l’inégalité 1 sinx x x x∀ ∈ − ≤ +R et puisque lim ( 1)x
x→+∞
+ = +∞
Limite et ordre - Asymptotes Cours
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toujours d’après le théorème de comparaison lim ( sin )x
x x→+∞
+ = +∞
1.2. Théorème des gendarmes
L désigne un réel
( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( )x x
Si x I g x f x h xg x L et h x L
→α →α
∀ ∈ ≤ ≤ = =
alors lim ( )x
f x L→α
=
Corollaire
( ) ( )lim ( ) 0x
Si x I f x L g xg x
→α
∀ ∈ − ≤ =
alors lim ( )x
f x L→α
=
Exemple
Déterminer la limite en 0 de la fonction f définie sur ] [0, +∞ par 1( ) sinf x xx
=
puisque 1 sin 1u u∀ ∈ − ≤ ≤R , alors ] [ 10, 1 sin 1xx
∀ ∈ +∞ − ≤ ≤
En multipliant chaque membre de la double inégalité par ] [0 ,x avec x∈ +∞ , on obtient
] [ 10, sinx x x xx
∀ ∈ +∞ − ≤ ≤ et puisque 0
lim ( ) 0x
x+→− = et
0lim ( ) 0x
x+→
=
alors d’après le théorème des gendarmes 0
1lim ( sin ) 0x
xx+→
=
1.3. Conservation des inégalités larges par passage à la limite
( ) ( )lim ( ) lim ( ) 'x x
Si x I g x f xg x L et f x L
→α →α
∀ ∈ ≤ = =
alors 'L L≤
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2. ASYMPTOTES
2.1. Asymptote horizontale ou asymptote parallèle à la droite des abscisses
La droite ∆ d’équation y L= est asymptote à C au voisinage de +∞ si et seulement si
lim f L+∞
=
Deux cas sont possibles
Si lim f L+
+∞= Si lim f L−
+∞=
La droite ∆ d’équation y L= est asymptote à C au voisinage de −∞ si et seulement si
lim f L−∞
=
Si lim f L+
−∞= Si lim f L−
+∞=
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2.2. Asymptote verticale ou asymptote parallèle à la droite des ordonnées.
La droite ∆ d’équation x a= est asymptote à C si et seulement si lima
f = ±∞
Quatre cas sont possibles
Si lima
f−
= +∞ Si lima
f−
= −∞
Si lima
f+
= +∞ Si lima
f+
= −∞
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2.3. Asymptote oblique
La droite ∆ d’équation ( 0)y ax b a= + ≠ est asymptote oblique à C au voisinage de +∞ si et
seulement si [ ]lim ( ) ( ) 0x
f x ax b→+∞
− + =
Deux cas possibles
Si [ ]lim ( ) ( ) 0x
f x ax b +
→+∞− + =
Si [ ]lim ( ) ( ) 0x
f x ax b −
→+∞− + =
La droite ∆ d’équation ( 0)y ax b a= + ≠ est asymptote oblique à C au voisinage de −∞ si et
seulement si [ ]lim ( ) ( ) 0x
f x ax b→−∞
− + =
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Deux cas possibles
Si [ ]lim ( ) ( ) 0x
f x ax b +
→−∞− + =
Si [ ]lim ( ) ( ) 0x
f x ax b −
→−∞− + =
Remarque
Il est facile de voir que [ ]lim ( ) ( ) 0x
f x ax b→+∞
− + = implique deux choses :
1) tout d’abord [ ]( ) ( )lim 0x
f x ax bx→+∞
− += mais,
[ ]( ) ( ) ( )lim lim limx x x
f x ax b f x ax bx x x→+∞ →+∞ →+∞
− + += −
2) et comme limx
ax b ax→+∞
+= , nous avons ( )lim
x
f x ax→+∞
=
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De plus [ ]lim ( ) ( ) 0x
f x ax b→+∞
− + = est équivalent à [ ]lim ( )x
f x ax b→+∞
− =
Ces deux remarques nous permettent d’avoir une méthode de détermination des caractéristiques
d’une asymptote oblique en+∞ , en deux étapes :
1. le coefficient a est donné par ( )limx
f x ax→+∞
=
2. Si a existe et est déterminé, l’ordonnée à l’origine b est donnée par [ ]lim ( )x
f x ax b→+∞
− =
Si une de ces étapes ne débouche pas (limite infinie ou inexistante), il n’y a pas d’asymptote en
+∞ Bien sûr, en remplaçant +∞ par −∞ dans la méthode, nous obtenons un moyen de déterminer
l’asymptote oblique en −∞
Remarque
1. Il se peut qu’une fonction possède une asymptote en un infini mais pas en l’autre
2. Il se peut que ( )limx
f xax→+∞
= existe et soit fini mais que [ ]lim ( )x
f x ax→+∞
− n’existe pas ou soit
infinie; il n’y a alors pas d’asymptote
Exemple
Soit f la fonction numérique définie sur 2− −R par 2 5( )
2x xf x
x− −
=−
1. Déterminer les réels a, b, c tels que, pour tout 2x ≠ − , on ait ( )2
cf x ax bx
= + ++
2. Soit C la courbe représentative de f dans le repère ( , , )O i j→ →
Montrer que C admet une asymptote verticale D et une asymptote oblique ∆
3. Soit I le point d’intersection des asymptotes D et∆ . Montrer que I est centre de symétrie de C.
1. On réduit au même dénominateur f(x)
( )( 2)2 ( )2
ax b x cx f xx
+ + +∀ ∈ − − =
+R
On développe et on ordonne le numérateur
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2 (2 ) 22 ( )
2ax a b x b cx f x
x+ + + +
∀ ∈ − − =+
R
Les dénominateurs de f(x) étant les mêmes, on identifie les coefficients des termes de même
degré des numérateurs
2 22 5 (2 ) 2x x x ax a b x b c∀ ∈ − − − − = + + + +R
1 1
2 1 32 5 1
a aa b bb c c
= = ⇔ + = − ⇔ = − + = − =
et donc 12 ( ) 32
x f x xx
∀ ∈ − − = − ++
R
2. 2
2 2lim ( 5) 1 lim ( 2) 0x x
x x et x→− →−
− − = + =
Pour 2
2 2 0 limx
x alors x et−→−
< − + < = −∞
et pour 2
2 2 0 limx
x alors x et+→−
> − + > = +∞
La droite D d’équation 2x = − est asymptote verticale à C
La nouvelle écriture de ( )f x obtenue à la question 1, a pour intérêt de fournir immédiatement
l’équation de l’asymptote oblique
[ ] 1lim ( ) ( 3) lim 02x x
f x xx
−
→−∞ →−∞− − = =
+
[ ] 1lim ( ) ( 3) lim 02x x
f x xx
+
→+∞ →+∞− − = =
+
La droite ∆ d’équation 3y x= − est asymptote oblique à C
] [, 2x∀ ∈ −∞ − , la courbe C est en dessous de ∆
] [2,x∀ ∈ − +∞ , la courbe C est au dessus de ∆
3. Les coordonnées du point I vérifient :
2 2
3 5I I
I I I
x xy x y= − = −
⇔ = − = −
Formons l’équation de C dans le repère ( , , )I i j→ →
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Etant donné un point M, soit ( , )x y ses coordonnées dans le repère ( , , )O i j→ →
et ( , )X Y ses
coordonnées dans le repère ( , , )I i j→ →
De OM OI IM→ → →
= + on déduit 25
x Xy Y= − +
= − +
et 1 1 13 5 3 22 2 2
M C y x Y X Y Xx X X
∈ ⇔ = − + ⇔ − = − − + ⇔ = +− − +
Une équation de C dans le repère ( , , )I i j→ →
est 1Y XX
= +
La fonction 1:F X XX
+a est impaire, et la courbe C est symétrique par rapport à la nouvelle
origine I
Exemple
Soit f la fonction définie sur 1−R par 2 2 2( )
1x xf x
x+ +
=−
1. Déterminer les limites à gauche et à droite de 1.
Interpréter graphiquement le résultat
2. Calculer pour tout x de 1−R : ( ) ( 3)f x x− +
En déduire que la courbe C admet en −∞ et en +∞ une droite asymptote ∆ dont on précisera
une équation
Etudier la position de C par rapport à ∆
1. 2 2 21 : ( )
1x xx f x
x+ +
∀ ∈ − =−
R
2
1lim ( 2 2) 5x
x x→
+ + = et 1
lim( 1) 0x
x→
− = avec 1 0 11 0 1
x si xx si x− < <
− > >
donc 1
lim ( )x
f x−→
= −∞ et 1
lim ( )x
f x+→
= +∞
La droite d’équation 1x = est asymptote verticale à la courbe représentative C de f.
2. 1x∀ ∈ −R formons l’expression ( ) ( 3)f x x− +
Limite et ordre - Asymptotes Cours
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1x∀ ∈ −R ( ) ( 3)f x x− +2 22 2 ( 3)( 1) 5( 3)
1 1 1x x x x x xx
x x x+ + + + − + −
= − + = =− − −
puisque 5 5lim 0 lim 01 1x x
etx x→−∞ →+∞
= =− −
la droite ∆ d’équation 3y x= + est asymptote oblique à la courbe C lorsque x tend vers −∞ et
lorsque x tend vers +∞
1x∀ ∈ −R , le signe de ( ) ( 3)f x x− + est celui de 51x −
la courbe C est
au-dessous de ∆ si 1x <
au-dessus de ∆ si 1x >
Exemple
Déterminer les asymptotes de 2: 1 2f x x x− +a
Le domaine de définition de la fonction est ] [ ] [, 1 1 ,D = −∞ − ∪ +∞
• Etude en +∞
Puisque 2lim ( 1)x
x→+∞
− = +∞ et lim (2 )x
x→+∞
= +∞ alors d’après le théorème donnant la somme des
limites : 2lim ( ) lim 1 2x x
f x x x→+∞ →+∞
= + + = +∞
Déterminons ( )limx
f xx→+∞
22
1(1 ) 2( )lim limx x
x xf x xx x→+∞ →+∞
+ += et puisque si 0x > alors 2x x x= =
alors 2
( ) 1lim lim 1 2 3x x
f xx x→+∞ →+∞
= + + =
et donc 3a =
puis déterminons [ ]lim ( ) 3x
f x x→+∞
−
[ ]2 2
2
2 2
( 1) 1lim ( ) 3 lim 1 lim lim 01 1x x x x
x xf x x x xx x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
− − − − = − − = = = − + − +
et donc 0b =
Limite et ordre - Asymptotes Cours
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la droite ∆ d’équation 3y x= est asymptote oblique à la courbe C lorsque x tend vers +∞
La différence ( ) 3f x x− est négative pour 1x > , la courbe C est au-dessous de l’asymptote ∆
pour ] [1,x∈ +∞
• Etude en −∞
si 0x < alors 2x x x= = −
2
1lim ( ) lim 1 2x x
f x xx→−∞ →−∞
= − − + = −∞
Déterminons ( )limx
f xx→−∞
2
( ) 1lim lim 1 2 1x x
f xx x→−∞ →−∞
= − − + =
et donc 1a =
Déterminons [ ]lim ( )x
f x x→−∞
−
[ ] 2
2
1lim ( ) lim 1 lim 01x x x
f x x x xx x→−∞ →−∞ →−∞
− − = + + = = − − et donc 0b =
la droite '∆ d’équation y x= est asymptote oblique à la courbe C lorsque x tend vers −∞
La différence ( )f x x− est négative pour 1x < , la courbe C est en-dessous de l’asymptote '∆
pour ] [, 1x∈ −∞ −
Dérivation des fonctions composées Cours
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CHAPITRE 7 : DERIVATION DES FONCTIONS COMPOSEES - DERIVEE N-IEMES
1. DERIVATION d’une FONCTION COMPOSEE
1.1. Dérivée d’une fonction composée
Théorème
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable sur ( )f I .
La fonction composée g fo est dérivable sur I et
0 0, ( ) '( )x I g f x∀ ∈ o [ ]0 0' ( ) '( )g f x f x=
La démonstration de ce théorème est admise
Formulation différentielle de ce résultat :
Posons ( )y f x= et ( ) ( )( )z g y g f x= = o
On a alors :
0 0'( ) ( )dyf x xdx
= 0 0'( ) ( )dzg y ydy
= puis 0 0( ) '( ) ( )dzg f x xdx
ο =
La propriété précédente s’écrit donc : 0( )dz xdx 0( )dz y
dy= 0( )dy x
dx
ce qui donne par abus de notation dzdx
dzdy
=dydx
Exemple
Donner le domaine de dérivabilité de la fonction 4 3: cos cos 2cos 3h x x x x+ − +a ainsi que
sa fonction dérivée
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La fonction h est définie sur D = R
La fonction h peut s’écrire g fo avec : cosf x xa et 4 3: 2 3g y y y y+ − +a
Ces deux dernières fonctions sont dérivables sur R , par conséquent h aussi.
Puisque '( ) sinf x x= − et 3 2'( ) 4 3 2g y y y= + −
Alors 3 2' '( ) (4cos 3cos 2)( sin )x D h x x x x∀ ∈ = = + − −R
Exemple
Donner le domaine de dérivabilité de la fonction 2: 2 3h x x x+ −a ainsi que sa fonction
dérivée
La fonction h est définie sur [ [1,D = +∞ (ou sur ] ], 3D = −∞ − )
La fonction h peut s’écrire g fο avec 2: 2 3f x x x+ −a et :g y ya
La fonction f étant un polynôme est dérivable sur R tout entier et '( ) 2 2f x x= +
la fonction g n’est dérivable que sur ] [0,+∞ et 1'( )2
g yy
=
La fonction h n’est dérivable que sur ] [' 1,D = +∞ (ou sur ] [' , 3D = −∞ − )
et ] [ ] [2
1' 1, ( , 3 ) '( )2 3
xx D ou h xx x
+∀ ∈ = +∞ −∞ − =
+ −
Vérifions que h n’est pas dérivable en 1 puisque
2 2
0 0 0
(1 ) 2(1 ) 3(1 ) (1) 4lim lim limx x x
x xh x h x xx x x→ → →
+ + + −+ − += =
0
4limx
xx→
+= = +∞
Exemple
Donner le domaine de dérivabilité de la fonction 1: cosh xx
a ainsi que sa fonction dérivée
La fonction h est définie sur D ∗= R
La fonction h peut s’écrire g fο avec 1:f xx
a et : cosg y ya
La fonction f est dérivable sur ∗R et 2
1'( )f xx
= −
la fonction g est dérivable sur R et '( ) sing y y= −
Dérivation des fonctions composées Cours
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La fonction h est dérivable sur ∗R et 2
1 1' '( ) sinx D h xx x
∗∀ ∈ = =R
2. Résultats classiques pour une autre utilisation du théorème de dérivation des fonctions composées
On montre facilement que
• la fonction sin( )x ax b+a est dérivable sur R , de fonction dérivée :
cos( )x a ax b+a
• la fonction cos( )x ax b+a est dérivable sur R , de fonction dérivée :
sin( )x a ax b− +a
• Soit n un entier strictement supérieur à 1, et f une application d’un intervalle I dans
R , dérivable sur I, la fonction nf est dérivable sur I, de fonction dérivée : 1( ( )) '( )nx n f x f x−a
• Soit n un entier strictement supérieur à 1, et f une application d’un intervalle I dans
R , dérivable sur I et telle que f ne s’annule pas sur I, la fonction 1nf
est dérivable sur
I, de fonction dérivée : '
1
( )( )n
f xx nf x+−a
Exemple
Donner le domaine de dérivabilité de la fonction 2 2
1:(2 3 5)
h xx x+ +
a ainsi que sa fonction
dérivée
D’après le signe du trinôme du second degré 22 3 5 0x x x∀ ∈ + + >R et la fonction h est
définie sur D = R
et 2 3
2(4 3)' '( )(2 3 5)
xx D D h xx x
+∀ ∈ = = = −
+ +R
Dérivation des fonctions composées Cours
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• Soit f une application d’un intervalle I dans +R , dérivable sur I, la fonction f est
dérivable en tout point x de I tel que ( ) 0f x > , de fonction dérivée '( ):2 ( )
f xxf x
a
3. Nouvelle utilisation du théorème de dérivation des fonctions composées :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et prenant ses valeurs dans un intervalle J, et g
une fonction définie sur l’intervalle J
Si f et g ont le même sens de variation, l’une sur I et l’autre sur J, alors la fonction composée
g fo est croissante sur I
Si f et g ont des sens de variation contraires, l’une sur I et l’autre sur J, alors la fonction
composée g fo est décroissante sur I
4. DERIVEES SUCCESSIVES.
Soit I un intervalle de R .
On suppose que les fonctions f et f’ sont dérivables sur I. Si la fonction f’ admet une fonction
dérivée, celle ci est appelée dérivée seconde de f et est notée " ( ') 'f f=
La fonction 'f est appelée dérivée première pour éviter toute confusion.
On définit par récurrence la fonction dérivée ièmen ou d’ordre n de f, et est notée ( )nf
et ( ) ( 1)( ) 'n nn f f −∀ ∈ =N avec les conventions (0)f f= et (1) 'f f=
Remarque
On écrira symboliquement
dfdx
au lieu de 'f , 2
2
d fdx
au lieu de "f et n
n
d fdx
au lieu de ( )nf
Si pour tout entier naturel non nul, la fonction f est n fois dérivable, on dit que la fonction f est
indéfiniment dérivable
Dérivation des fonctions composées Cours
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Les fonctions sinus et cosinus sont indéfiniment dérivables sur R
Par récurrence, on montre que
( )(sin ) sin( )2
n nx x π= +
( )(cos ) cos( )2
n nx x π= +
! ( )( )!
, ( ) !0
k n
nk
n
k x a si k nk n
dSoit a x x a k si k ndx
si k n
−− >−
∈ ∀ ∈ − = =<
R R
1
1 ( 1) !,( )
n n
n n
d nSoit a x adx x a x a +
− ∈ ∀ ∈ − = − − R R
Exemple
Dérivée d’un polynôme
Soit un polynôme de degré n défini par 11 1 0( ) ...... 0n n
n n nP x a x a x a x a avec a−−= + + + + ≠
alors 1 21 1'( ) ( 1) ......n n
n nP x na x n a x a− −−= + − + + et ( )( ) ( !)n
nP x n a= puis ( 1)( ) 0nP x+ =
Toute fonction polynomiale de degré n est indéfiniment dérivable sur R et la dérivée
( 1)èmen + est la fonction identiquement nulle.
Exemple
Soit f la fonction définie par 2( ) 1f x x x= + +
1° Déterminer sa fonction dérivée première et vérifier la relation : 21 '( ) ( )x f x f x+ =
2° En déduire que la fonction dérivée seconde vérifie la relation : 2(1 ) "( ) '( ) ( ) 0x f x x f x f x+ + − =
1° ( )f x est définie x∀ ∈R , et en dérivant on obtient 2
2 2
1'( ) 11 1
x x xf xx x
+ += + =
+ + (ou
encore produit des extrêmes égal au produit des moyens)
21 '( ) ( )x x f x f x∀ ∈ + =R
Dérivation des fonctions composées Cours
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2° on dérive cette dernière relation, en appliquant en particulier la dérivation d’un produit
2
2'( ) 1 "( ) '( )
1x f x x f x f x
x+ + =
+
on réduit au même dénominateur
2 2'( ) (1 ) "( ) 1 '( )x f x x f x x f x+ + = +
En utilisant le résultat de la première question, on obtient (l’équation différentielle) 2(1 ) "( ) '( ) ( ) 0x x f x x f x f x∀ ∈ + + − =R
5. DERIVATION et BIJECTION. DERIVEE d’une FONCTION RECIPROQUE.
5.1. Bijection
La fonction f définie sur I ⊂ R est une bijection de ( )I sur f I si ( )y f I∀ ∈ l’équation
( )f x y= admet une solution unique sur I
Théorème
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f est une bijection de I sur
( )f I et les intervalles I et ( )f I sont de même nature.
Si f est strictement croissante, [ ] [ ]( , ) ( ) , ( )f a b f a f b=
Si f est strictement décroissante, [ ] [ ]( , ) ( ) , ( )f a b f b f a=
5.2. Définition et propriétés de la fonction réciproque
Si f est une bijection de I sur ( )f I , alors il existe une fonction réciproque de f, notée 1f − .
L’ensemble de définition de 1f − est ( )f I et l’image par 1f − de ( )f I est I
La fonction 1f − est telle que
Dérivation des fonctions composées Cours
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1( )
( )
y f x
x f I
−=
∈ ⇔
( )x f y
y I
=
∈
La fonction 1f − est une bijection de ( )f I sur I
La composée 1( )f f− o est l’application identique de I sur I
La composée 1( )f f −o est l’application identique de ( )f I sur ( )f I
Si f est continue sur I, 1f − est continue sur ( )f I
Si f est strictement monotone sur I, 1f − est strictement monotone sur ( )f I et de même sens
de variation que f.
Dans un repère orthonormé, les courbes 1f fC et C − sont symétriques par rapport à la droite
d’équation y x= (la première bissectrice des axes de coordonnées)
5.3. Dérivée d’une fonction réciproque
Soit f dérivable sur I et admettant sur I une fonction réciproque 1f − 1f − est dérivable en tout point 0 0 0( , ( ))x y f x= tel que 0'( ) 0f x ≠ et
1 '0 1
0
1( )'( ( ))
f yf f y
−−
=
que l’on écrit symboliquement
1dydxdxdy
=
La pente de la tangente à 1fC − au point de coordonnées 0 0( , )x y est l’inverse de la pente de la
tangente au point de coordonnées 0 0( , )y x .
Exemple
Soit f la fonction définie par : , , ( ) 2cos cos 23
x f x x xπ ∈ π = −
Dérivation des fonctions composées Cours
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1) Montrer que f admet une fonction réciproque, 1f − dont on précisera l’ensemble de
définition et les propriétés.
2) Calculer les valeurs de 1f − et de sa fonction dérivée, pour les valeurs 2− , 12
− et 1 de la
variable
La fonction est définie pour , ( ) 2cos cos 23
x par f x x xπ ∈ π = − , cette fonction est
continue et dérivable sur ,3π π
, '( ) 2sin 2sin 2 2sin 4sin cos 2sin (2cos 1)3
x f x x x x x x x xπ ∀ ∈ π = − + = − + = −
f définit une bijection de ,3π π
sur 33 ,2
−
L’application réciproque 1f − est définie, continue et strictement décroissante de 33 ,2
−
sur ,3π π
La représentation graphique de 1f − se déduit de celle de f dans la symétrie par
rapport à la première bissectrice.
Puisque 3 3( ) 2 '( ) 2( 2 1)4 4
f et fπ π= − = −
Alors 1 13 1 2 1 2 2( 2) '( 2)4 22( 2 1) 2
f et f− −π + +− = − = = =
−
Dérivation des fonctions composées Cours
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De même 2 1 2( ) '( ) 2 33 2 3
f et fπ π= − = −
alors 1 11 2 1 1 3( ) '( )2 3 2 62 3
f et f− −π− = − = − = −
Enfin ( ) 1 '( ) 22 2
f et fπ π= = −
alors 1 1 1(1) '(1)2 2
f et f− −π= = −
Fonctions trigonométriques Cours
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CHAPITRE 8 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
1. PLAN D’ÉTUDE D’UNE FONCTION TRIGONOMÉTRIQUE PERIODIQUE
On considère un repère orthogonal ( , , )O i j
1. Déterminer le domaine de définition D de la fonction.
2. Recherche d’une éventuelle période T (T>0 le plus petit possible). On étudie la fonction
pour [ ]1 , ,x E T D avec∈ = α α + ∩ α à déterminer en tenant compte des autres propriétés de
la fonction.
3. Parité ou imparité
Si la fonction est paire ou impaire, on prend en général 2Tα = − et donc l’intervalle
1 ,2 2T TE D = − ∩
et l’on réduit l’étude à l’intervalle 2 0,2TE D = ∩
Remarque
On peut aussi prendre 0α = et dans certains cas d’autres valeurs de α sont
préférables.
4. Centre de symétrie. Axe de symétrie
On peut aussi réduire l’intervalle d’étude dans le cas où la fonction admet un centre de
symétrie ( , )I a b (autre que l’origine) ou un axe de symétrie x a= (autre que 0x = )
5. Etude de la fonction dérivée. Limites aux bornes du domaine de définition.
Tableau de variation.
6. Représentation graphique de la fonction.
Fonctions trigonométriques Cours
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Remarque
Certaines étapes comme le 2 (ou le 3 ou le 4) peuvent ne pas se produire
2. Etude de la fonction sinus
Soit la fonction : sinf x x
• La fonction sinus est définie sur D =
• La fonction sinus est périodique de période 2T = π
En effet , 2 sin( 2 ) sinx D x D et x x∀ ∈ + π∈ + π =
Il suffit donc d’étudier la fonction sur [ ]1 ,E = − π π
• La fonction sinus est impaire
En effet , sin( ) sinx D x D et x x∀ ∈ − ∈ − = −
• On réduit l’étude de la fonction à [ ]2 0 ,E = π
• La courbe représentative de la fonction sinus admet la droite d’équation 2
x π= pour axe de
symétrie
En effet 2 2
x D x Dπ π+ ∈ ⇔ − ∈ et sin( ) sin( )2 2
x x x Dπ π+ = − ∀ ∈
On réduit (encore) l’étude de la fonction à 3 0 ,2
E π =
• La fonction sinus est dérivable sur D = et (sin ) ' cosx x= avec cos 0x ≥ pour
3 0 ,2
x E π ∈ =
Tableau de variation :
x 0
1
0
+f
f
2
01
Fonctions trigonométriques Cours
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• Courbe représentative :
Pour 3 0 ,2
x E π ∈ = , on obtient l’arc générateur de la courbe représentant les variations de
la fonction.
1
1
0
Pour [ ]2 0 ,x E∈ = π :
on passe de l’arc générateur obtenu pour 3 0 ,2
x E π ∈ = à l’arc obtenu pour
[ ]2 0 ,x E∈ = π en effectuant la symétrie par rapport à la droite d’équation 2
x π=
1
0 1 2 3
Pour [ ]1 ,x E∈ = − π π :
on passe de l’arc obtenu pour [ ]2 0 ,x E∈ = π à l’arc obtenu pour [ ]1 ,x E∈ = − π π en
effectuant la symétrie par rapport à l’origine O du repère
Fonctions trigonométriques Cours
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0-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
Pour x ∈ D R= :
on passe de l’arc obtenu pour [ ]1 ,x E∈ = − π π à l’arc obtenu pour x ∈ D R= en effectuant
les translations 2 ,k i k Zπ ∈
-5 5 10
-1
1
0
3. Etude de la fonction cosinus
Soit la fonction : cosf x x
• La fonction cosinus est définie sur D =
• La fonction cosinus est périodique de période 2T = π
En effet , 2 cos( 2 ) cosx D x D et x x∀ ∈ + π∈ + π =
Il suffit donc d’étudier la fonction sur [ ]1 ,E = − π π
• La fonction cosinus est paire
Fonctions trigonométriques Cours
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En effet , cos( ) cosx D x D et x x∀ ∈ − ∈ − =
On réduit l’étude de la fonction à [ ]2 0 ,E = π
• La courbe représentative de la fonction cosinus admet le point ( , 0 )2
I π= pour centre de
symétrie
En effet 2 2
x D x Dπ π+ ∈ ⇔ − ∈ et cos( ) cos( ) sin sin 02 2
x x x x x Dπ π+ + − = − + = ∀ ∈
On réduit (encore) l’étude de la fonction à 3 0 ,2
E π =
• La fonction cossinus est dérivable sur D = et (cos ) ' sinx x= −
avec sin 0x− ≤ pour 3 0 ,2
x E π ∈ =
• Tableau de variation :
x 0
0
1
−f
f
2
-10
• Courbe représentative :
Pour 3 0 ,2
x E π ∈ = , on obtient l’arc générateur de la courbe représentant les variations de
la fonction.
0 1
1
Pour [ ]2 0 ,x E∈ = π :
Fonctions trigonométriques Cours
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on passe de l’arc générateur obtenu pour 3 0 ,2
x E π ∈ = à l’arc obtenu pour
[ ]2 0 ,x E∈ = π en effectuant la symétrie par rapport au point ( , 0 )2
I π=
-1
1
0 1 2 3
Pour [ ]1 ,x E∈ = − π π :
on passe de l’arc obtenu pour [ ]2 0 ,x E∈ = π à l’arc obtenu pour [ ]1 ,x E∈ = − π π en
effectuant la symétrie par rapport à l’axe Oy
0-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
Pour x ∈ D R= :
on passe de l’arc obtenu pour [ ]1 ,x E∈ = − π π à l’arc obtenu pour x ∈ D R= en effectuant
les translations 2 ,k i k Zπ ∈
Fonctions trigonométriques Cours
Gérard Hirsch – Maths54 7
-5 5 10
-1
1
0
4. Etude de la fonction tangente
Soit la fonction : tanf x x
• La fonction tangente est définie par sintancos
xxx
= sur 2k Z
D k k Z∈
π = ∪ + π ∈
• La fonction tangente est périodique de période T = π
En effet sin( ) sin, tan( ) tancos( ) cos
x xx D x D et x xx x+ π −∀ ∈ + π∈ + π = = =+ π −
Il suffit donc d’étudier la fonction sur 1 ,2 2
E π π = −
• La fonction tangente est impaire
En effet sin( ) sin, tan( ) tancos( ) cos
x xx D x D et x xx x
− −∀ ∈ − ∈ − = = = −−
On réduit l’étude de la fonction à 2 0 ,2
E π =
• La fonction tangente est dérivable sur 2k Z
D k k Z∈
π = ∪ + π ∈
et 2 2
' 22 2
sin (sin ) 'cos sin (cos ) ' cos sin(tan ) ' 1 tancos cos cos
x x x x x x xx xx x x
− + = = = = +
avec 22
1(tan ) ' 1 tan 0cos
x xx
= = + > pour 2 0 ,2
x E π ∈ =
• Limite aux bornes du domaine de définition :
Fonctions trigonométriques Cours
Gérard Hirsch – Maths54 8
Puisque 2 2 2
2 2 2
limsin sin( ) 1 lim cos lim cos( ) 02 2x x x
x x x
x et x +
π π π→ → →π π π< < <
π π= = = =
alors 2
2
lim tanx
x
xπ→
π<
= +∞
La droite d’équation 2
x π= est asymptote à la courbe
• Tableau de variation :
x 0
0
+f
f
2
1
+
• Courbe représentative :
Pour 2 0 ,2
x E π ∈ = , on obtient l’arc générateur de la courbe représentant les variations de
la fonction.
1
1
2
3
0
Pour 1 ,2 2
x E π π ∈ = − :
Fonctions trigonométriques Cours
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on passe de l’arc générateur obtenu pour 2 0 ,2
x E π ∈ = à l’arc obtenu pour
1 ,2 2
x E π π ∈ = − en effectuant la symétrie par rapport au l’origine O du repère.
-1 1
-3
-2
-1
1
2
3
0
Pour x ∈2k Z
D k k Z∈
π = ∪ + π ∈
:
on passe de l’arc obtenu pour 1 ,2 2
x E π π ∈ = − à l’arc obtenu pour
2k ZD k k Z
∈
π = ∪ + π ∈
en effectuant les translations
-5 5 10
-3
-2
-1
1
2
3
0
Primitives et intégrales Cours
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CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES
1. Primitives d’une fonction
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Une fonction F est une primitive de f sur I, si et seulement si, elle est dérivable sur I et pour tout x
de I, '( ) ( )F x f x=
Exemple
La fonction : 10 3f x x +a admet pour primitive sur R la fonction 2: 5 3F x x x+a
f admet aussi la fonction 21 : 5 3 2F x x x+ +a pour primitive sur R ; en effet
1'( ) '( ) ( ) 10 3F x F x f x x= = = +
Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I
Toute primitive de f sur I est de la forme : ( )G x F x C+a où C est une constante réelle
Démonstration
G est dérivable sur I et ' 'G F f= =
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Donc, , '( ) '( ) ( ) '( ) 0x I G x F x G F x∀ ∈ − = − =
Puisque ( ) ' 0G F− = sur I, alors d’après un théorème du chapitre dérivation G F C− =
où C est une constante réelle
Par conséquent : , ( ) ( )x I G x F x C∀ ∈ = +
Interprétation graphique : les courbes représentatives des fonctions primitives de f se déduisent
les unes des autres par les translations de vecteur C jr
avec C∈R
Exemple
Soit f la fonction définie sur R par : 4 3 2( ) 2 5 3 5f x x x x x= − + + −
Déterminer les primitives F de f sur R .
f est une fonction polynôme, donc f est continue sur R et elle admet des primitives
sur R .
D’après le tableau des primitives usuelles, les fonctions :
4 3 2, , , , 1x x x x x x x x xa a a a a
admettent respectivement pour primitives les fonctions :
5 4 3 2
, , , ,5 4 3 2x x x xx x x x x xa a a a a
La fonction f admet pour primitives sur R les fonctions F :
5 4
3 25 3( ) 5 ,5 2 3 2x xF x x x x C où C= − + + − + ∈R
Exemple
Soit f la fonction définie sur R par : ( ) cos 4 3sin 2 cosf x x x x= − +
Déterminer les primitives F de f sur R .
La fonction f est continue sur R et elle admet des primitives sur R .
D’après le tableau des primitives usuelles, les fonctions :
cos 4 , sin 2 , cosx x x x x xa a a
admettent respectivement pour primitives les fonctions :
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1 1sin 4 , cos 2 , sin4 2
x x x x x x−a a a
La fonction f admet pour primitives sur R les fonctions F :
1 3( ) sin 4 cos 2 sin ,4 2
F x x x x C où C= + + + ∈R
2. Primitive prenant une valeur donnée en un point donné
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit 0x un réel appartenant à I et 0y un réel
quelconque.
Alors, il existe une primitive F de f, et une seule, telle que ( )0 0F x y=
Démonstration
Soit F une primitive de f sur I, alors d’après le théorème précédent, toute primitive de f sur I est
une fonction G de la forme
: ( )G x F x C avec C+ ∈a R
La condition 0 0( )G x y= donne 0 0 0 0( ) ( )F x C y ou encore C y F x+ = = −
Puisque nous avons trouvé une valeur et une seule de C, il existe donc une primitive et une seule
de f sur I telle que ( )0 0F x y= , soit la fonction 0 0: ( ) ( )F x F x y F x+ −a
Interprétation graphique
Parmi toutes les courbes représentant les primitives de f sur I, il en existe une et une seule passant
par le point de coordonnées 0 0( , )x y
Exemple
Soit f la fonction définie sur R par : 2: 3 2f x x x− +a
Déterminer la primitive F de f sur R qui s’annule en 1
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L’ensemble des primitives de f sur R sont les fonctions
3
23( ) 23 2xF x x x C avec C= − + + ∈R
La condition (1) 0F = impose
1 3(1) 2 03 2
F C= − + + =
soit
1 3 523 2 6
C = − + − = −
La primitive de f qui s’annule pour 1x = est la fonction 3
23 5( ) 23 2 6xF x x x= − + −
Exemple
Soit f la fonction définie sur R par : : sin 2f x xa
Déterminer la primitive F de f sur R qui prend la valeur 1 pour 2
x π=
L’ensemble des primitives de f sur R sont les fonctions 1( ) cos 22
F x x C avec C= − + ∈R
La condition ( ) 12
F π= impose
1( ) cos 12 2
F Cπ= − π+ =
soit
1 cos 12
C puisque= π = −
La primitive de f qui prend la valeur 1 pour 2
x π= est la fonction 1 1( ) cos 2
2 2F x x= − +
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3. Primitives des fonctions usuelles
La lecture à l’envers du tableau donnant les fonctions dérivées des fonctions usuelles permet de
dresser un premier tableau de primitives usuelles.
] [ ] [
] [
1
2
FonctionPrimitive Sur
définie par( ) où a est une constante ( ) ,
( ),
1( )1 1( ) , 0, ,0
1( ) ( ) 2 , 0,
( ) sin ( ) cos ,( ) cos (
n n
fF de f I
f x a F x ax C C If x x x C C I
nn
f x C C I ou Ix x
f x F x x C C Ix
f x x F x x C C If x x F
+
∗
= = + ∈ =
=+ ∈ =
+∈
= + ∈ = +∞ = −∞
= = + ∈ = +∞
= = − + ∈ ==
R R
R RN
R
R
R R
22
) sin ,1( ) 1 tan ( ) tan , , ,
cos 2 2
x x C C I
f x x F x x C C I n n nx
= + ∈ =
π π = + = = + ∈ = − + π + π ∈
R R
R N
4. Opérations sur les primitives
Propriété
Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I alors:
• F G+ est une primitive de f g+ sur I
• k∀ ∈R , kF est une primitive de kf sur I
Le tableau suivant découle des règles de dérivation des fonctions.
u désigne une fonction dérivable sur un intervalle I
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( )
( )
( )
1
2
1
Pr1' ( ) ,
1' 1 , 0
' 2 , 0
1 1( , 2) , 01
n n
n n
Fonction f imitives F sur I I
u u n u C Cn
u C C x I avec u xu uu u C C x I avec u x
uu n n C C x I avec u xu n u
∗ +
−
∈ + ∈+
− + ∈ ∀ ∈ ≠
+ ∈ ∀ ∈ >
′∈ ≥ − + ∈ ∀ ∈ ≠
−
N R R
R
R
N R
Exemple
Déterminer les primitives de la fonction 2 3: (1 )f x x x+a sur R
La fonction f est continue sur R , l’intégrale existe
Posons 2( ) 1u x x= + alors '( ) 2u x x= et 31( ) '( ) ( )2
f x u x u x=
Les fonctions F définies sur R par 4 2 41 1 1( ) . ( ) (1 )2 4 8
F x u x C x C avec C= + = + + ∈R sont les
primitives de f sur R .
Exemple
Déterminer les primitives de la fonction 2
sin:cos
xf xx
a sur ,2 2
I π π = −
Sur ,2 2
I π π = − , le cosinus ne s’annule pas et la fonction f est continue sur cet intervalle
Posons ( ) cosu x x= alors '( ) sinu x x= − et 2
'( )( )( )
u xf xu x
= −
Les fonctions F définies sur ,2 2
I π π = − par 1 1( )
( ) cosF x C C avec C
u x x= + = + ∈R sont les
primitives de f sur I.
Exemple
Déterminer les primitives de la fonction 1:3 5
f xx +
a sur 5 ,3
I = − +∞
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Sur 5 ,3
I = − +∞ , (3 5) 0x + > et la fonction f est continue sur cet intervalle
Posons ( ) 3 5u x x= + alors '( ) 3u x = et 1 '( )( )3 ( )
u xf xu x
=
Les fonctions F définies sur 5 ,3
I = − +∞ par
1 2( ) .2 ( ) 3 53 3
F x u x C x C avec C= + = + + ∈R sont les primitives de f sur 5 ,3
I = − +∞ .
5. Définition d’une intégrale
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et F une de ces primitives, soient a et b deux
points de I.
La quantité ( ) ( )F b F a− (encore notée [ ]( )b
aF x ) est appelée intégrale de f entre a et b et est notée
( )b
af x dx∫
( )b
af x dx∫ se lit « somme de a à b de f » (ou de f(x)dx)
Attention
l’ordre de a et de b est important
Le nombre a est appelé borne inférieure et b la borne supérieure de l’intégrale.
[ ]( ) ( ) ( ) ( )b
a
b
af x dx F x F b F a= = −∫
Remarque
1) la variable x apparaissant dans l’intégrale est une variable muette, on peut aussi écrire :
( ) ( )b b
a a
f t dt ou f dθ θ∫ ∫
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2) En faisant ( ) 0a
aa b alors f x dx= =∫
3) Le résultat du calcul d’une intégrale ne dépend pas de la primitive choisie
En effet si 1F et F sont deux primitives de f, alors elles différent d’une constante
1F F C avec C= + ∈R
et
[ ] [ ] ( ) ( ) [ ]1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a aF x F x C F b C F a C F b F a F x= + = + − + = − =
En pratique, pour la plupart des exemples, on ne tient pas compte de la constante d’intégration.
Exemple Calculer l’intégrale 2
1
2(2 3)x dx−
+∫
L’intégrale existe puisque la fonction 2( ) 2 3f x x= + est continue sur [ ]1,2−
La fonction f admet pour primitive la fonction 32F(x)= 33
x x+ sur [ ]1, 2−
(On prend la plupart du temps la primitive ne faisant pas apparaître la constante réelle C)
et donc 2
1
22 3
1
2 16 2(2 3) (2) ( 1) 3 6 3 153 3 3
x dx F F x x− −
+ = − − = + = + − − − = ∫
Exemple Calculer l’intégrale 1
0
2( 1)x dx−∫
La fonction 2: ( 1)f x x −a est continue sur [ ]0,1 , l’intégrale existe
Développons le carré : 2 1/ 2( 1) 2 1 2 1x x x x x− = − + = − +
Une primitive de f est la fonction 2 3/ 2 2
34( ) 2 32 2 32
x x xF x x x x= − + = − +
(On prend la plupart du temps la primitive ne faisant pas apparaître la constante réelle C)
Alors 1
0
12 2 3
0
4 1 4 1( 1) (1) (0) 13 2 3 6
x dx F F x x x − = − = − + = − + = ∫
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6. Intégrale et aire.
Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
D est la région du plan délimité par (C), l’axe des abscisses et les droites d’équation
.x a et x b= =
L’unité d’aire est l’aire du rectangle engendré par le repère choisi.
Théorème
Cas d’une fonction positive
Si f est une fonction continue et positive sur l’intervalla [ ],a b , l’aire de D , mesurée en unités
d’aire, est égale à ( )b
af x dx∫
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( )b
af x dx∫ =Aire (D)
Corollaire
• Cas d’une fonction négative
Si f est une fonction continue et négative sur l’intervalle [ ],a b , l’aire de D , mesurée en unités
d’aire, est égale à ( )b
af x dx− ∫
( )b
af x dx = −∫ Aire (D)
• Cas d’une fonction de signe quelconque
Si f est une fonction continue et de signe quelconque sur l’intervalle [ ],a b , l’aire de D, mesurée
en unités d’aire, est égale à la somme des aires des domaines situés au-dessus de l’axe des
abscisses, diminué de la somme des aires des domaines situés au-dessous de l’axe des abscisses
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( )c
a
f x dx∫ =Aire ( 1D ), ( )d
c
f x dx∫ =−Aire ( 2D ) et ( )b
d
f x dx∫ =Aire( 3D )
on a donc
( )b
af x dx∫ = Aire ( 1D ) 2 3( ) ( )Aire D Aire D− +
Exemple
Dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm, on considère la partie D du plan délimitée
par l’axe des abscisses, l’arc de courbe d’équation ( 1)( 4)y x x x= − − avec 1 4x≤ ≤
Calculer l’aire du domaine D
Une unité d’aire est égale à 24cm
Sur l’intervalle [ ]1, 4 , la fonction ( ) ( 1)( 4)f x x x x= − − est continue et négative.
L’aire du domaine D est égale à
Aire(D)=4 4
1 1
3 2( 1)( 4) ( 5 4 )x x x dx x x x dx− − − = − + −∫ ∫
Soit ( )44 3
2
1
5 2 11,25 '4 3x xAire D x unités d aire
= − + − =
= 2 211,25 4 45x cm cm=
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La fonction logarithme népérien Cours
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CHAPITRE 10 : LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
1. Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, notée ln , est définie sur ] [0,+ ∞ , prend la valeur 0 en 1x = , est
continue sur ] [0,+ ∞ et admet pour dérivée la fonction 1xx
2. Propriétés algébriques
2.1. Relation fonctionnelle
Théorème
] [ ] [0, , 0, ln ln lna b ab a b∀ ∈ + ∞ ∀ ∈ + ∞ = +
Démonstration
Soit a un réel strictement positif.
Soit la fonction aϕ définie sur ] [0 , + ∞ par ( ) ln( )a x axϕ = .
La fonction aϕ est dérivable sur ] [0 , + ∞ comme composée de deux fonctions .
Donc, x∀ ∈ ] [0 , + ∞ : 1 1'( ) .a x aax x
ϕ = =
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aϕ est donc une primitive de 1x
; elle diffère donc de ln d’une constante. Il existe donc un réel C
tel que, x∀ ∈ ] [0 , + ∞ : ( ) lna x x Cϕ = + . Or, ln1 0= , donc (1) lnaC a= ϕ = .
En revenant à la définition de aϕ :
a∀ ∈ ] [0 , + ∞ et x∀ ∈ ] [0 , + ∞ , ln( ) ln lnax x a= +
D’où le résultat en remplaçant x par b.
2.2. Logarithme d’un quotient
Propriété
] [ 10, ln lna aa
∀ ∈ + ∞ = −
Démonstration
Elle se déduit de la relation précédente : calculons
] [ 1 10, ln ln ln( . ) ln1 0a a aa a
∀ ∈ + ∞ + = = =
Propriété
] [ ] [0, , 0, ln ln lnaa b a bb
∀ ∈ + ∞ ∀ ∈ + ∞ = −
Démonstration
Elle se déduit des deux relations précédentes : calculons
] [ ] [ 1 10, , 0, ln ln( . ) ln ln ln lnaa b a a a bb b b
∀ ∈ + ∞ ∀ ∈ + ∞ = = + = −
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2.3. Logarithme d’un produit de nombres réels strictement positifs
Propriété
] [0, , ln lnna n a n a∀ ∈ + ∞ ∀ ∈ =
2.4. Logarithme d’une racine carrée
Propriété
] [ 10, ln ln2
a a a∀ ∈ + ∞ =
3. Résolution d’équations et d’inéquations
Théorème
] [ ] [0, , 0, ln lna b a b a b∀ ∈ + ∞ ∀ ∈ + ∞ = ⇔ =
] [ ] [0, , 0, ln lna b a b a b∀ ∈ + ∞ ∀ ∈ + ∞ < ⇔ <
Exemple
Résoudre dans R l’équation : ln(3 1) ln( 4)x x+ = −
Les valeurs cherchées doivent vérifier
3 1 0
4 0x
x+ >
− >
Les solutions doivent appartenir à ] [4 ,D = + ∞
Les logarithmes de deux réels positifs sont égaux, si et seulement si ces réels sont égaux.
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Ainsi : si ] [4 ,x ∈ + ∞ , 5ln(3 1) ln( 4) 3 1 42
x x x x x+ = − ⇔ + = − ⇔ = −
L’équation n’admet pas de solution dans R puisque ] [5 4 ,2
− ∉ + ∞
Exemple
Résoudre dans R
a. l’équation 2ln( 5) ln 2 ln 2x x− = +
b. l’inéquation : 2ln( 5) ln 2ln 2x x− ≤ +
a. Les valeurs cherchées doivent vérifier
2 5 0
0xx
− >
>
Les solutions doivent appartenir à 5 ,D = + ∞
Les logarithmes de deux réels positifs sont égaux, si et seulement si ces réels sont égaux.
Si 5 ,x ∈ + ∞ , 2 2 2ln( 5) ln 2ln 2 ln( 5) ln(4 ) 4 5 0x x x x x x− = + ⇔ − = ⇔ − − =
L’équation du second degré admet 1 5et− pour racines. Seule la racine 5 est solution
puisque 1 5 , − ∉ + ∞
L’ensemble des solutions de l’équation 2ln( 5) ln 2 ln 2x x− = + est 5S =
b. On résout l’inéquation dans 5 ,D = + ∞
L’inéquation 2ln( 5) ln 2ln 2x x− ≤ + est équivalente à 2 25 4 4 5 0x x ou x x− < − − <
L’ensemble des solutions est donc formé des réels ] [1 , 5∈ − qui sont dans D.
L’ensemble des solutions de l’inéquation 2ln( 5) ln 2ln 2x x− < + est 5 , 5S =
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4. Etude de la fonction logarithme
4.1. Sens de variation de la fonction logarithme népérien
sur ] [0,+ ∞
lnLa fonction x x est définie sur ] [0,+ ∞
lnLa fonction x x est continue sur ] [0,+ ∞
lnLa fonction x x est dérivable sur ] [0,+ ∞
Pour tout ] [0,x ∈ + ∞ , 1(ln ) 'xx
=
Théorème
lnLa fonction x x est strictement croissante sur ] [0,+ ∞
4.2. Limite de la fonction logarithme népérien en 0 et en + ∞
lim lnx
x→+∞
= + ∞
, ln(2 ) ln 2nn R n∀ ∈ = , et puisque ln 2 0> , alors lim ( ln 2)n
n→+∞
= +∞.
La fonction ln n’est donc pas majorée. Etant croissante, elle admet +∞ pour limite en +∞ .
Conséquence
0
0
lim lnxx
x→>
= − ∞
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Démonstration
En utilisant le théorème sur la limite d’une fonction composée, on a :
0 00 0
1 1lim lim ln lim lnx x xx x
et xx x→ →+∞ →
> >
= +∞ = +∞ ⇒ = +∞
Puisque 0
0
1ln ln lim lnxx
x alors xx →
>
= − = −∞
L’axe des ordonnées est donc asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ln.
4.3. Tableau de variation :
x 0
0
+
-
+
+
1
Conséquence
Il existe un nombre et un seul noté e tel que ln 1e =
Une valeur approchée de e est ~ 2.71828e
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4.4. Représentation graphique
1 2 3 4
-2
-1
1
2y=x-1
xey=
e0
Remarque
Soit (C) la courbe représentative de la fonction ln dans un repère ( , , )O i j
La tangente à la courbe au point d’abscisse 1x = est la droite d’équation 1y x= −
La tangente à la courbe au point d’abscisse x e= est la droite d’équation xye
= (cette droite
passe par le point O)
5. Autres limites
0
ln(1 )lim 1x
xx→
+ = que l’on peut aussi écrire 1
lnlim 11x
xx→
=−
Démonstration
Le nombre dérivé de ln en 1 est 1. Mais ce nombre dérivé est aussi : 0
ln(1 ) ln1lim 1x
xx→
+ − =
D’où la limite cherchée.
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lnlim 0x
xx→+∞
=
Démonstration
Par exemple en étudiant la fonction auxiliaire : lnx x xϕ −
on montre que [ [1 , , lnx x x∀ ∈ + ∞ <
et donc [ [ ln 11 , , x xxx x x
∀ ∈ + ∞ < =
soit [ [ ln 11 , , 0 lim limx x
xxx x→+∞ →+∞
∀ ∈ + ∞ < <
Puisque 1lim 0x x→+∞
= alors lnlim 0x
xx→+∞
=
00
lim ln 0xx
x x→>
=
Démonstration
] [1ln
0, , ln 1xx x x
x
∀ ∈ + ∞ = −
On applique le théorème sur la limite d’une fonction composée :
0 00 0
1lnlim ln lim 01x xx x
xx x
x
−
→ →> >
= − =
car 0
0
1 lnlim lim 0x xx
xetx x→ →+∞
>
= +∞ =
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CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.
1. Fonction népérien (logarithme d’une fonction composée).
Théorème
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la
fonction f définie sur I par [ ]( ) ln ( )f x u x= est dérivable sur I et
[ ]( ) '( ), '( ) ln ( ) '( )
u xx I f x u xu x
∀ ∈ = =
Exemple
Montrer que la fonction 1: ln1
xf xx−
+ a est dérivable sur ] [ ] [, 1 1,I = −∞ − ∪ +∞ et
calculer sa dérivée
Même question avec la fonction 1: ln1
xg xx−+
a
D’après le signe du trinôme du second degré 1( )1
xu xx−
=+
est strictement positif sur
] [ ] [, 1 1,I = −∞ − ∪ +∞ et donc f est définie sur I, continue sur I et dérivable sur I
La dérivée d’un quotient fournit '2
1 2'( )1 ( 1)
xu xx x− = = + +
et donc 2
2 2
22 1 2 2( 1), '( ) .1 ( 1) 1 ( 1)( 1) 1
1
xxx I f x x x x x x xx
++∀ ∈ = = = =− + − + − −+
Fonction logarithme népérien. Fonction logarithme décimal Cours
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La fonction 1: ln1
xg xx−+
a est définie sur ] [ ] [ ] [1,1 , 1 1,1 1,J = − − = −∞ − ∪ − ∪ +∞R
Sa dérivée est 2
2
22( 1), '( ) 1 1
1
xx J g x x xx
+∀ ∈ = =− −+
La formule explicite de la dérivée de g est la même que celle de f. La seule différence réside
dans le fait que l’ensemble de définition de f n’est qu’une partie de celui de g.
Théorème
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la
fonction f définie sur I par [ ]( ) ln ( )f x u x= est une primitive sur I de 'uu
Corollaire
Si u est une fonction strictement négative et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la
fonction f définie sur I par [ ]( ) ln ( )f x u x= − est une primitive sur I de 'uu
Conséquence
Sur ] [ 10, ( )I si f xx
= +∞ = alors les primitives de ( )f x sur I sont les fonctions
( ) lnF x x C= + où C est une constante réelle
Sur ] [ 1,0 ( )J si f xx
= −∞ = alors les primitives de ( )f x sur J sont les fonctions
( ) ln( )F x x C= − + où C est une constante réelle
Remarque
On se trouve sur un intervalle contenu dans ] [0,I = +∞ ou dans ] [,0J = −∞ et les
constantes réelles C sont différentes suivant que l’on se trouve sur l’intervalle I ou sur
l’intervalle J.
Exemple
Fonction logarithme népérien. Fonction logarithme décimal Cours
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Soit f la fonction définie sur ] [1,I = +∞ par : 1( )1
f xx
=−
Déterminer les primitives F de f sur ] [1,I = +∞ .
La fonction 1( )1
f xx
=−
est continue sur ] [1,I = +∞ et admet des primitives sur
] [1,I = +∞
Si ( ) 1u x x= − alors '( ) 1u x =
La fonction f admet pour primitives sur ] [1,I = +∞ les fonctions F :
( ) ln( 1) ,F x x C où C= − + ∈R
Remarque
La fonction f définie sur ] [, 1J = −∞ par : 1( )1
f xx
=−
admet pour primitives sur
] [, 1J = −∞ les fonctions F : ( ) ln(1 ) ,F x x C où C= − + ∈R
Exemple
Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur I = R
a. 2 3( ) ( 1)( 2 5)f x x x x= + + + , b. 2
1( )2 5
xg xx x
+=
+ +, c. 2 2
1( )( 2 5)
xh xx x
+=
+ +
a. La fonction f est continue sur R , f possède des primitives sur R
Posons 2( ) 2 5u x x x= + + alors '( ) 2 2 2( 1)u x x x= + = + et 31( ) '( ) ( )2
f x u x u x=
Les fonctions F définies sur R par 4 2 41 1 1( ) . ( ) ( 2 5)2 4 8
F x u x C x x C avec C= + = + + + ∈R
sont les primitives de f sur R .
b. La fonction g est continue sur R , g possède des primitives sur R
Posons 2( ) 2 5u x x x= + + alors '( ) 2 2 2( 1)u x x x= + = + et 1 '( )( )2 ( )
u xg xu x
=
Les fonctions G définies sur R par
[ ] 21 1( ) . ln ( ) ln( 2 5)2 2
G x u x C x x C avec C= + = + + + ∈R sont les primitives de g sur R .
c. La fonction h est continue sur R , h possède des primitives sur R
Fonction logarithme népérien. Fonction logarithme décimal Cours
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Posons 2( ) 2 5u x x x= + + alors '( ) 2 2 2( 1)u x x x= + = + et 2
1 '( )( )2 ( )
u xh xu x
=
Les fonctions H définies sur R par 2
1 1 1 1( ) .2 ( ) 2 2 5
H x C C avec Cu x x x
= − + = − + ∈+ +
R
sont les primitives de h sur R .
Exemple
Déterminer les primitives de la fonction 2( )1
xf xx
=−
sur ] [1 ,I = +∞ , puis sur ] [1 , 1J = −
et enfin sur ] [, 1K = −∞ −
La fonction f est continue sur ] [1 ,I = +∞ , f possède des primitives sur ] [1 ,I = +∞
Posons 2( ) 1 0u x x= − < sur ] [1 ,I = +∞ alors '( ) 2u x x= et 1 '( )( )2 ( )
u xf xu x
=
Les fonctions F définies sur ] [1 ,I = +∞ par
[ ] 21 1( ) . ln ( ) ln(1 )2 2
F x u x C x C avec C= − + = − + ∈R
sont les primitives de f sur ] [1 ,I = +∞ .
La fonction f est continue sur ] [1 , 1J = − , f possède des primitives sur ] [1 , 1J = −
Posons 2( ) 1 0u x x= − > sur ] [1 , 1J = − alors '( ) 2u x x= et 1 '( )( )2 ( )
u xf xu x
=
Les fonctions F définies sur ] [1 , 1J = − par
[ ] 21 1( ) . ln ( ) ln( 1)2 2
F x u x C x C avec C= + = − + ∈R
sont les primitives de f sur ] [1 , 1J = − .
La fonction f est continue sur ] [, 1K = −∞ − , f possède des primitives sur ] [, 1K = −∞ −
Posons 2( ) 1 0u x x= − < sur ] [, 1K = −∞ − alors '( ) 2u x x= et 1 '( )( )2 ( )
u xf xu x
=
Les fonctions F définies sur ] [, 1K = −∞ − par
[ ] 21 1( ) . ln ( ) ln(1 )2 2
F x u x C x C avec C= − + = − + ∈R
sont les primitives de f sur ] [, 1K = −∞ − .
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Remarque
La constante C n’est pas la même suivant que l’on se trouve sur l’intervalle I, ou J ou encore
K.
2. Autres fonctions logarithmes
Définition
Soit a un réel strictement positif, 1a ≠
On appelle fonction logarithme de base a, la fonction notée loga définie sur ] [0,+∞ par :
lnloglna
xxa
=
Conséquence
log 1 0a = et log 1a a =
Les fonctions logarithmes de base a sont toutes proportionnelles à la fonction logarithme
népérien, en effet ] [ 10, log lnlnax x k a avec k
a∀ ∈ +∞ = =
Remarque
] [0, log lnex x x∀ ∈ +∞ =
La fonction logarithme de base 10 ( 10a = ) est notée log et est appelée logarithme décimal.
On a donc ] [ 10ln0, logln10
xx x∀ ∈ +∞ =
et ] [ 1010, log ln ~ 0,43429
ln10x x k x avec k∀ ∈ +∞ = =
Cette fonction est très utile dans les calculs numériques mais aussi en chimie et dans bien
d’autres domaines
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Ce sont les mêmes propriétés algébriques que celles de la fonction logarithme népérien
En particulier
] [ ] [0, , 0, log ( ) log loga a ax y xy x y∀ ∈ +∞ ∀ ∈ +∞ = +
3. Etude de la fonction logarithme de base a
3.1. Sens de variation
logaLa fonction x xa est définie sur ] [0,+∞
logaLa fonction x xa est continue sur ] [0,+∞
logaLa fonction x xa est dérivable sur ] [0,+∞
Pour tout ] [0,x∈ +∞ , ln 1(log ) 'ln lna
xxa x a
= =
Théorème
Si 1a > , la fonction logax xa est strictement croissante sur ] [0,+∞
Si 0 1a< < , la fonction logax xa est strictement décroissante sur ] [0,+∞
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3.2. Tableau de variation et représentation graphique :
x 0
+∞
+∞
-∞
+f
f
a>1x 0
-∞
+∞
+∞
−f
f
a<1
1 2 3 4
-2
-1
1
2
a=10
12a=
e0
Exemple
Exemple d’utilisation de la fonction logarithme décimal
On note N le nombre entier 100002
1. Déterminer à l’aide de la calculatrice la partie entière de log N
2. En déduire l’encadrement 3010 301110 10N≤ <
3. Indiquer le nombre de chiffres de l’écriture décimale de N.
1. 10000log 2 10000. log 2~ 3010,29995= et donc 10000(log 2 ) 3010E =
2. A partir de la partie entière de log N , on obtient l’encadrement 3010 log 3011N≤ <
que l’on peut aussi écrire 3010 3011log10 log log10N≤ <
La fonction logarithme décimal étant strictement croissante sur ] [0,+∞ , on a :
3010 301110 10N≤ <
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3. L’encadrement obtenu prouve que l’écriture décimale de N comprend 3011 chiffres
Remarque
La capacité de la mémoire des calculatrices ne permet pas de considérer des nombres aussi
grands.
4. Changement de base
Soit a un réel strictement positif, 1a ≠ et b un réel strictement positif, 1b ≠
On cherche la relation qui lie ] [0, , log loga bx x et x∀ ∈ +∞
] [ ln ln ln0, , log .ln ln lnb
x x ax xb a b
∀ ∈ +∞ = =
Par définition : ln lnln b
a ab=
D’où la formule dite de changement de base
] [0, , log log . logb b ax x a x∀ ∈ +∞ =
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CHAPITRE 12 : LA FONCTION EXPONENTIELLE
1. Définition de la fonction exponentielle
La fonction logarithme étant une bijection de ] [0,+∞ sur ] [,−∞ +∞ , elle admet une fonction
réciproque appelée exponentielle et notée exp ( )xou x ea
] [,
xy e
x
=
∈ −∞ +∞ ⇔
] [ln
0,
x y
y
=
∈ +∞
Propriété
En remplaçant dans le cadre de droite y par sa valeur tirée du cadre de gauche, on a :
] [, ln( )xx e x∀ ∈ −∞ +∞ =
De même, en remplaçant dans le cadre de gauche x par sa valeur tirée du cadre de droite, on a (en
remplaçant y par x) :
] [ ln0 , xx e x∀ ∈ +∞ =
Comme indiqué ] [0,y∈ +∞ , donc ] [, 0xx e∀ ∈ −∞ +∞ >
De plus 0 1e = (puisque ln1 0= )
2. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
a b a ba b e e e+∀ ∈ ∀ ∈ =R R
1, aaa e
e−∀ ∈ =R
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a
a bb
ea b ee
−∀ ∈ ∀ ∈ =R R
( )a n naa n e e∀ ∈ ∀ ∈ =R N
Exemple
Montrer que la fonction définie sur R par 1( )1
x
x
ef xe−
=+
est impaire.
Puisque , 0 1 0x xx e donc e∀ ∈ > + >R , donc la fonction est bien définie sur R
et x x∈ ⇒ − ∈R R de plus
1 11 1 1( ) ( )11 1 11
x x xx
x x x
x
e e eef x f xe e e
e
−
−
−− − −− = = = = − = −
+ + ++
La fonction f est impaire.
3. Etude de la fonction exponentielle
3.1. Sens de variation
Propriété
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R
Conséquence
Résolution d’équations et d’inéquations :
, a ba b e e a b∀ ∈ ∀ ∈ < ⇔ <R R
, a ba b e e a b∀ ∈ ∀ ∈ = ⇔ =R R
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3.2. Limites usuelles
lim x
xe
→+∞= +∞
Démonstration
Au chapitre 10 « fonction logarithme népérien » , on a trouvé
[ [1, lnx x x∀ ∈ +∞ >
puisque [ [1,x x x∀ ∈ +∞ ≥
alors [ [1, lnx x x∀ ∈ +∞ ≥
en utilisant la croissance de la fonction exponentielle
[ [ ,1, x l xx e e x∀ ∈ +∞ ≥ =
et lim lim x
x xx alors e
→+∞ →+∞=+∞ =+∞
lim 0x
xe
→−∞=
Démonstration
Posons X x= − , alors 1x XXe e
e−= = et quand x alors X→−∞ → +∞
puisque 1lim 0XX e→+∞= alors lim 0x
xe
→−∞=
0
1lim 1x
x
ex→
−=
Démonstration
Le nombre dérivé de exp en 0 est 0 1e = . Mais ce nombre dérivé est aussi :
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0
0 0
1lim lim 10
x x
x x
e e ex x→ →
− −= =
−
D’où la limite cherchée.
3.3. Dérivée de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dérivée
, ( ) 'x xx e e∀ ∈ =R
3.4. Tableau de variation
x
0
+∞
+∞-∞
+f
f
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3.5. Courbe représentative
e
-3 -2 -1 1 2
2
4
6
Remarque
Soit (C) la courbe représentative de la fonction exp dans un repère ( , , )O i jr r
La tangente à la courbe au point d’abscisse (1, )e est la droite d’équation y x e= , elle passe par
le point O
La tangente à la courbe au point d’abscisse (0,1) est la droite d’équation 1y x= + .
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CHAPITRE 13 : FONCTION EXPONENTIELLE U(X)
1. Dérivées des fonctions de la forme ( )u xx ea
Théorème
Si u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la fonction f définie sur I par ( )( ) u xf x e= est dérivable sur I et ( ) ' ( ), '( ) '( )u x u xx I f x e u x e ∀ ∈ = =
Exemple
Calculer les dérivées de chacune des fonctions sur l’intervalle I donné : 2. : 2 x xa f x x e e sur I− −+ =a R
] [1
. : 0 ,xb f x e sur I = +∞a
a. On obtient x∀ ∈R , 2 2'( ) 2( ) 2 2 (1 ) 2x x x x xf x e x e e e x e− − − − −= − − = − −
b. On considère 1:u xx
a , u est définie et dérivable sur ] [0 ,+∞ puisque
] [ 2
10 , , '( )x u xx
∀ ∈ +∞ = − alors ] [1
2
10 , , '( ) xx f x ex
∀ ∈ +∞ = −
Exponentielle u(x) Cours
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2. Application à la recherche des primitives
Théorème
Si u une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I, la fonction définie sur I par ( )( ) u xf x e= est une primitive sur I de ( )'( ) u xu x e
Exemple
Donner une primitive des fonctions suivantes sur I = R
a. 2( ) ( 2)x xf x e e= +
b. ( )2
x
x
ef xe
=+
c. 2( )( 2)
x
x
ef xe
=+
d. 2
( ) xf x x e=
a. 2( ) ( 2)x xf x e e= +
La fonction 2( ) ( 2)x xf x e e= + est continue sur R
Il faut distribuer le produit 2 3 2( ) ( 2) 2x x x xf x e e e e= + = +
Les fonctions F définies sur R par 3 21( )3
x xF x e e C avec C= + + ∈R sont les primitives de f
surR .
b. La fonction :2
x
xef x
e +a est continue sur R
Posons ( ) 2 0xu x e= + > alors '( ) xu x e= et '( )( )( )
u xf xu x
=
Les fonctions F définies sur R par ( ) ln ( ) ln( 2)xF x u x C e C avec C= + = + + ∈R sont les
primitives de f surR .
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c. La fonction 2:( 2)
x
xef x
e +a est continue sur R
Posons ( ) 2 0xu x e= + > alors '( ) xu x e= et 2
'( )( )( )
u xf xu x
=
Les fonctions F définies sur R par 1 1( )( ) 2xF x C C avec C
u x e= − + = − + ∈
+R sont les
primitives de f surR .
d. La fonction 2
: xf x x ea est continue sur R
Posons 2( )u x x= alors '( ) 2u x x= et ( )1( ) '( )2
u xf x u x e=
Les fonctions F définies sur R par 2( )1 1( )
2 2u x xF x e C e C avec C= + = + ∈R sont les primitives
de f surR .
Exemple
Calculer l’intégrale suivante 1
2
1
2
teI dtt
= ∫
On écrit la fonction à intégrer sous la forme suivante : 1
2
1
2
1 tI e dtt
= − − ∫
On connaît maintenant la primitive de la fonction à intégrer 1
2
1 11/ 1 2 2tI e e e e e
= − = − − = −
Finalement 1
2
1
2
teI dt e et
= = −∫
Remarque
Après avoir introduit la fonction logarithme pour déterminer les primitives de la fonction 1x
sur
] [0,+∞ et la fonction exponentielle pour trouver les solutions de l’équation différentielle
Exponentielle u(x) Cours
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'y y= , nous serons amené à créer d’autres fonctions (par exemple) pour déterminer les
primitives de 2
11 x+
sur R
D’autres primitives (par exemple) comme celles de xe
x ne s’expriment pas avec les fonctions
usuelles et nécessiteront l’introduction de fonctions spéciales.
Nous retiendrons que l’on ne peut pas déterminer les primitives de toutes les fonctions
mathématiques.
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CHAPITRE 15 : PUISSANCES D’EXPOSANTS REELS - FONCTIONS PUISSANCES - CROISSANCES
COMPAREES
1. Puissances d’exposants réels
1.1. La notation ba
Définition
ln, , on note le réelb b ab a a e∗+∀ ∈ ∀ ∈R R
Propriété
, ' , 'b b a a∗ ∗+ +∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈R R R R
1 1b =
' '. ( ') ( ) ( ')b b b b b b ba a a a a a a+= =
' ' ''( )
' '
bb bb b bb b b
b ba a aa a aa a a
− = = =
1.2. Les fonctions exponentielles de base a
Définition
1a ∗+∀ ∈ −R , on appelle exponentielle de base a, la fonction définie sur R par
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ln: exp ( ) x x aaf x x a e= =a
Théorème
1 , ( ) ' (ln )x xa x a a a∗+∀ ∈ − ∀ ∈ =R R
Sens de variation :
1 : xSi a f x a est strictement croissante sur> a R
0 1 : xSi a f x a est strictement décroissante sur< < a R
Limites usuelles :
1 ,a x∗+∀ ∈ − ∀ ∈R R
1, lim 0 limx x
x xSi a alors a et a
→−∞ →+∞> = = +∞
0 1, lim lim 0x x
x xSi a alors a et a
→−∞ →+∞< < = +∞ =
Démonstration
Appliquons le théorème de limite d’une fonction composée
1, ln 0, lim ( ln ) lim 0 lim 0x x
x x xa soit a x a et e a
→−∞ →−∞ →−∞> > = −∞ = ⇒ =
même raisonnement pour les trois autres assertions
Tableau de variation :
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Courbes représentatives :
Toutes les courbes passent par le point (0,1)
Si 1a > , l’axe des abscisses est asymptote horizontale lorsque x →−∞
Si 0 1a< < , l’axe des abscisses est asymptote horizontale lorsque x →+∞
La fonction expa est la fonction réciproque de la fonction loga
] [,
xy a
x
=
∈ −∞ +∞ ⇔
] [log
0,
ax y
y
=
∈ +∞
et donc ] [, , log ( )xax a x∀ ∈ −∞ +∞ =
et ] [0, , ( )al o g xx a x∀ ∈ +∞ =
Exemple
Résoudre dans R l’équation : 13 9.2x x+=
L’équation est définie sur R , elle s’écrit aussi : 3 9.2.2x x= soit 3 182
x =
Dont la solution est : 2
32
ln(2 . 3 ) ln 2 2ln 3log (18) 3 ln 3 ln 2ln2
x += = =
−
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Exemple
Déterminer les limites suivantes : 2 2lim 2x x
x
−
→+∞•
2lim ( 2 ) lim 2x
x xx x et
→+∞ →+∞− = +∞ = +∞
La fonction 2xx a est continue sur R , alors
2 2lim 2x x
x
−
→+∞= +∞
2lim 2 x
x
−
→+∞•
lim (2 ) lim 2 0x
x xx et
→+∞ →−∞− = −∞ =
2lim 2 0x
x
−
→+∞=
3 21lim2
x
x
−
→−∞
•
1lim (3 2 ) lim ( ) 02
x
x xx et
→−∞ →+∞− = +∞ =
La fonction 1( )2
xx a est continue sur R , alors 3 21lim 0
2
x
x
−
→−∞
=
2. Fonctions puissances
2.1. Fonction nx xa où n est un entier strictement positif
Définition
Soit n ∗∈N et nf la fonction définie sur R par : nnf x xa
Théorème
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Si n est pair, la fonction nf est paire, décroissante sur ] ],0−∞ et croissante sur [ [0,+∞
Si n est impair, la fonction nf est impaire et croissante sur R
Tableau de variation :
Courbes représentatives :
Remarque
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Toutes les courbes passent par le point 0 et le point de coordonnées (1,1)
2.2. Fonction 1nx
xa où n est un entier strictement positif
Définition
Soit n ∗∈N et nf la fonction définie sur ∗R par 1:n nf xx
a
Théorème
Si n est pair, la fonction nf est paire, croissante sur ] [, 0−∞ et décroissante sur ] [0,+∞
Si n est impair, la fonction nf est impaire et décroissante sur chacun des intervalles ] [, 0−∞ et
] [0,+∞
Tableau de variation
Croissances comparées Cours
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Courbes représentatives
2.3. Fonction racine n-ième ( , 2)n n∈ ≥N
Soit : nnf x xa la fonction définie sur [ [0,+∞
La fonction nf est continue et strictement croissante, puisque (0) 0 lim ( )n nxf et f x
→+∞= = +∞
alors nf est une bijection de [ [0 ,+∞ sur [ [0 ,+∞
La fonction réciproque de la fonction nf est la fonction 1( )nf− , elle est appelée racine n-ième et
notée n
[ [0,
ny x
x
=
∈ +∞ ⇔
[ [0,
nx y
y
=
∈ +∞
et donc
[ [0 , , ( )nnx x x∀ ∈ +∞ =
et [ [0 , , ( )nnx x x∀ ∈ +∞ =
Remarque
Croissances comparées Cours
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on écrit aussi 1nn x x=
Théorème
] [1 1 110, ( ) 'n nx x x
n−
∀ ∈ +∞ =
La fonction 1( )nf−
1
: nx xa est continue et strictement croissante sur [ [0 ,+∞
Courbes représentatives :
3. Croissances comparées
Théorème
Soit α un réel. Alors : lim lim 0x
x
x x
e et x ex
α −α→+∞ →+∞=+∞ =
Soit α un réel strictement positif . Alors : lnlim 0x
xxα→+∞
=
Exemple
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Déterminer les limites de la fonction ln 1( ) xf xx e
−=
− aux bornes de son ensemble de définition
La fonction est définie sur ] [ ] [0 , ,D e e= ∪ +∞
• Limite en 0
0 00 0
lim (ln 1) lim( )x xx x
x et x e e→ →> >
− = −∞ − = − alors 0 0
0 0
ln 1lim ( ) limx xx x
xf x etx e→ →
> >
−= −∞ = +∞
−
• Limite en e
Il s’agit du taux d’accroissement de la fonction ln pour la valeur x e=
( )ln ln 1lim ( ) lim lnx ex e x e
x ef x xx e e=→ →
−= = =
−
• Limite en +∞
11ln 1 ln lnlim ( ) lim lim . 01
x x x
x x xf x ex e xx
→+∞ →+∞ →+∞
−−= = =
− −
puisque ln 1lim 0 lim 1 1 lim 1 1lnx x x
x eet ainsi quex x x→+∞ →+∞ →+∞
= − = − =
Exemple
Soit 100( ) xf x e x= −
Déterminer les limites en et en−∞ +∞
La fonction est définie sur R
Lorsque x →−∞ , alors 100lim 0 limx
x xe et x
→−∞ →−∞= = +∞ et donc
100lim ( ) lim ( )x
x xf x e x
→−∞ →−∞= − = −∞
Pour lever l’indétermination en +∞ , il faut factoriser
100 1001000 , ( ) ( 1)
xx ex f x e x x
x∀ ≠ = − = −
D’après la croissance comparée de l’exponentielle devant la puissance
Croissances comparées Cours
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100 100lim lim ( 1)x x
x x
e eetx x→+∞ →+∞
= +∞ − = +∞ et donc
100lim ( ) lim ( )x
x xf x e x
→+∞ →+∞= − = +∞
Exemple
Etudier la limite en +∞ de la fonction : lnf x x x−a
La fonction est définie sur ] [0 ,+∞
Pour lever l’indétermination en +∞ , il faut factoriser
ln0 , ( ) (1 )xx f x xx
∀ > = −
D’après la croissance comparée de la puissance devant la le logarithme
12
ln ln lnlim lim 0 lim (1 ) 1x x x
x x xalorsx xx
→+∞ →+∞ →+∞= = − =
Puisque limx
x→+∞
= +∞ alors lnlim (1 ) lim ( ln )x x
xx x xx→+∞ →+∞
− = − = +∞
Exemple
Soit ( ) xf x x e−=
Déterminer la limite en +∞
La fonction est définie sur [ [0,+∞
Pour lever l’indétermination, effectuons le changement de variable X x=
Ainsi lorsque x alors X→+∞ →+∞
Puisque 2
2x XX
Xx e X ee
− −= = et comme 2
lim 0XX
Xe→+∞
=
alors lim 0x
xx e−
→+∞=
Calcul intégral Cours
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CHAPITRE 16 : CALCUL INTEGRAL
La notion d’intégrale a été définie au chapitre 9.
Rappelons que l’on a toujours a b≤
1. Propriétés de l’intégrale
1.1. Relation de Chasles
Soit f continue sur I, trois réels a, b et c quelconques de l’intervalle I,
( ) ( ) ( )b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
Démonstration admise (dans le cas général, on peut facilement la démontrer lorsque f est positive
sur I )
Exemple
Calculer 2
0
sin x dxπ
∫
On utilise la relation de Chasles
[ ] [ ]2 2 2
0 0 0sin sin ( sin ) cos cos 4x dx x dx x dx x x
π π π π
ππ
π
= + − = − + =∫ ∫ ∫
Calcul intégral Cours
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1.2. Linéarité
1.2.1. Intégrale et addition des fonctions
Propriété
( ( ) ( )) ( ) ( )b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
Démonstration
En effet, si F et G désignent une primitive sur I de f et g respectivement, alors
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
aa
b b
a a
f x g x dx F x G x F b G b F a G a
F b F a G b G a f x dx g x dx
+ = + = + − + =
− + − = +
∫
∫ ∫
1.2.2. Intégrale et constante multiplicative
Propriété
, ( ) ( )b b
a a
k k f x dx k f x dx∀ ∈ =∫ ∫R
Démonstration
Si F désigne une primitive de f, alors
[ ] [ ] [ ] [ ], ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b bb
aa a
k k f x dx kF x k F b k F a k F b F a k f x dx∀ ∈ = = − = − =∫ ∫R
Remarque
En appliquant les deux propriétés précédentes, on obtient ;
Si 1 2f et f sont des fonctions continues sur [ ],a b , alors
[ ]1 2 1 1 2 2 1 1 2 2, , ( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a a
k k k f x k f x dx k f x dx k f x dx∀ ∈ ∀ ∈ + = +∫ ∫ ∫R R
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1.2.3. Interversion des bornes
Propriété
( ) ( )a b
b a
f x dx f x dx= −∫ ∫
Démonstration
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b
b a
f x dx F a F b et f x dx F b F a= − = −∫ ∫
1.3. Ordre et intégration
Propriété
i). [ ], , ( ) 0 ( ) 0b
a
si x a b f x alors f x dx∀ ∈ ≥ ≥∫
ii). [ ], , ( ) 0 ( ) 0b
a
si x a b f x alors f x dx∀ ∈ ≤ ≤∫
iii). [ ], , ( ) ( ) ( ) ( )b b
a a
si x a b f x g x alors f x dx g x dx∀ ∈ ≤ ≤∫ ∫
Démonstration
i) ( )b
a
f x dx∫ représente une aire, qui par définition est un réel positif
ii) ( )b
a
f x dx∫ est égale à l’opposé de l’aire
iii) [ ], , ( ) ( ) ( ) ( ) 0si x a b f x g x alors f x g x∀ ∈ ≤ − ≤
et d’après ii) [ ]( ) ( ) 0b
a
f x g x dx− ≤∫ , soit en appliquant la linéarité de l’intégrale 1.2
alors ( ) ( )b b
a a
f x dx g x dx≤∫ ∫
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1.4. Valeur moyenne d'une fonction et inégalité de la moyenne.
1.4.1. Valeur moyenne d’une fonction
Définition
f une fonction continue sur un intervalle I, on appelle valeur moyenne de f sur [ ],a b
le nombre réel égal à 1 ( )b
a
f x dxb a− ∫
Exemple
Calculer la valeur moyenne de la fonction : cos 0,2
f x x sur π
a
Nous avons [ ]/ 2
0
/ 2
0cos sin 1x dx x
π π
= =∫
La valeur moyenne de la fonction : cos 0,2
f x x sur π
a est égale à 1 2
2
=π π
1.4.2. Inégalité de la moyenne
Théorème
Soit f est une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels I∈
i) Si ,x I∀ ∈ il existe deux réels m et M avec ( )m f x M≤ ≤ alors
( ) ( ) ( )b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫
ii) Si ,x I∀ ∈ il existe un réel 0M > avec ( )f x M≤
( ) ( )b
a
f x dx M b a≤ −∫
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Démonstration
Si ,x I∀ ∈ il existe deux réels m et M avec ( )m f x M≤ ≤ , en intégrant entre a et b, puisqu’il y a
conservation de l’ordre, on obtient :
( )b b b
a a a
m dx f x dx M dx≤ ≤∫ ∫ ∫
Puisque ( ) ( )b b
a a
m dx b a m et M dx M b a= − = −∫ ∫
On a bien ( ) ( ) ( )b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫
Exemple
Comparer les deux intégrales 1 1
0 0
2 41I x dx et J x dx= = +∫ ∫
On a 4 4, 1x x x∀ ∈ < +R
la fonction : X Xϕ a est strictement croissante sur [ [0 ,+∞
et donc, en particulier [ ] 2 40 , 1 , 1x x x∀ ∈ < +
et 1 1
0 0
2 41I x dx J x dx= < = +∫ ∫
1.5. Intégrales de fonctions paires, impaires, périodiques
Propriété
i) Si f est une fonction paire et si f est continue sur [ ],a a− alors 0
( ) 2 ( )a a
a
f x dx f x dx−
=∫ ∫
ii) Si f est une fonction impaire et si f est continue sur [ ],a a− alors ( ) 0a
a
f x dx−
=∫
iii) Si f est continue sur R et de période T alors quel que soit le nombre réel α
0
( ) ( )T T
f x dx f x dxα+
α
=∫ ∫
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Exemple
Calculer 2sin sin3x x dx
π
−π∫
La fonction 2: sin sin3xf x xa est continue sur [ ],−π π et impaire
Donc 2sin sin 03x x dx
π
−π
=∫
De même / 4
/ 4
tan 0 ( )x dx continuité et imparitéπ
−π
=∫
La fonction : tanf x xa est continue sur ,4 4π π −
et impaire
Exemple
Calculer 1
1
3x dx−∫
La fonction 3:f x xa est continue sur [ ]1, 1− et paire
1 1
1 0
143 3
0
12 24 2xx dx x dx
−
= = =
∫ ∫
Exemple
Calculer l’intégrale 2
02
sin2 cos sin
xI dxx x
π
=+∫
La fonction 2
sin: est continue sur2 cos sin
xf xx x+
a R , donc I existe
Puisque , ( 2 ) ( )x f x f x∀ ∈ + π =R , la fonction f est de période 2T = π
En appliquant la propriété iii) avec α = −π
on a 2
02 2
sin sin2 cos sin 2 cos sin
x xdx dxx x x x
π π
−π
=+ +∫ ∫
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La fonction f est aussi impaire et son intégrale sur [ ],− π π est nulle
donc 2
02
sin 02 cos sin
xI dxx x
π
= =+∫
2. Lien entre intégrale et primitive
Théorème
f une fonction continue sur un intervalle I et a I∈
La fonction F définie sur I par : ( ) ( )x
a
F x f t dt= ∫ est l’unique primitive sur I de la fonction f qui
s’annule sur I.
Application
1) Montrer que, pour tout 0t ≥ , 211 11
t t tt
− ≤ ≤ − ++
2) En déduire que pour 0,x ≥ 2 2 3
ln(1 )2 2 3x x xx x x− ≤ + ≤ − +
On étudie le signe des différences 2 21 1 (1 )(1 )
1 1 1t tt
t t t− −
− + = =+ + +
qui est un nombre positif lorsque 0t ≥
Donc 10, 11
t tt
∀ > − ≤+
De même 2 3
2 1 (1 )(1 ) 111 1 1
t t t tt tt t t
− + + −− + − = =
+ + + qui est un nombre positif lorsque 0t ≥
Donc 210, 11
t t tt
∀ > ≤ − ++
Utilisons le théorème : la fonction F définie sur I [ ]0, x= par : 0
( ) ( )x
F x f t dt= ∫ est l’unique
primitive sur [ ]0, x de la fonction f qui s’annule en 0.
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0Si x ≥ , les inégalités précédentes sont valables sur [ ]0, x , et donc
0 0 0
2(1 ) (1 )1
x x xdtt dt t t dtt
− ≤ ≤ − ++∫ ∫ ∫
soit
0,x∀ ≥ 2 2 3
ln(1 )2 2 3x x xx x x− ≤ + ≤ − +
Application
F est la fonction définie sur R par 0
2( )1
x dtF xt
=+∫
Déterminer le sens de variation de F sur R
La fonction 2
1:1
f tt+
a est continue sur R , donc F existe et F est l’unique primitive de f qui
s’annule pour 0x = .
F est dérivable sur R et 0
2 2
1, '( )1 1
x dtx F xt x
′ ∀ ∈ = = + + ∫R
donc , '( ) 0x F x∀ ∈ >R
Fest strictement croissante sur R
3. Calcul de volume
L’espace est muni d’un repère orthonormé ( ; , , )O i j krr r
L’unité de volume est le volume du cube ayant pour arête l’unité de longueur définie par le
repère
Théorème
On considère un solide délimité par les plans d’équations respectives z a et z b= = .
On désigne par ( )B z la section plane de ce solide avec le plan perpendiculaire à Oz de cote z
( )a z b≤ ≤
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On note ( )S z l’aire de la section ( )B z
Le volume V, en unités de volume, de ce solide est égal à :
( )b
a
V S z dz= ∫
Exemple
Volume d’une sphère
Considérons la sphère de centre O et de rayon R.
Elle est située entre les plans de cotes -R et R
Soit z un réel de [ ],R R− . L’intersection de la sphère et du plan de cote z est le disque ( )B z de
rayon 2 2r R z= − dont l’aire est égale à 2 2 2( ) ( )S z r R z= π = π −
La fonction : ( )f z S za est une fonction continue sur [ ],R R−
Le volume de la sphère est donc égal à :
3 3 3
2 2 2 32 2 4( ) ( ) ( )3 3 3 3
R R
R R
R
R
z R RV S z dz R z dz R z R− −
−
= = π − = π − = π − = π
∫ ∫
Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours
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CHAPITRE 17 : CALCUL D’INTEGRALES - INTEGRATION PAR PARTIES
Dans ce cours, nous disposons de trois techniques de calcul d’intégrales :
1) primitivation par lecture directe dans une table
2) par transformations d’écriture
3) par intégration par parties
1. Primitivation par lecture directe dans une table
Exemple
calculer l’intégrale / 4
02
sincos
xI dxx
π
= ∫
On note f la fonction définie sur 0,4π
par 2
sin:cos
xf xx
a
La fonction f est continue sur 0,4π
et l’intégrale I existe.
Pour tout x∈ 0,4π
, 2
'( )( ) ( ) cos '( ) sin( )
u xf x avec u x x et donc u x xu x
= − = = −
La fonction F définie sur 0,4π
par 1 1( )
( ) cosF x
u x x= = est une primitive de f sur 0,
4π
et donc / 4
0
1 2 1cos
Ix
π = = −
Finalement : / 4
02
sin 2 1cos
xI dxx
π
= = −∫
Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours
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2. Transformations d’écriture
Dans ce cours , la transformation est toujours indiquée
Exemple
calculer l’intégrale 1
02
32
xI dxx x
+=
− −∫
Après avoir justifié l’existence de l’intégrale, on cherchera deux réels a et b vérifiant,
pour tout x dans[ ]0,1 , 2
32 2 1
x a bx x x x
+= +
− − − +
• Existence de l’intégrale :
Les racines du dénominateur 2 1et − n’appartenant pas à l’intervalle[ ]0,1 , la fonction
2
3:2
xf xx x
+− −
a est continue sur [ ]0,1 et l’intégrale I existe.
• Transformation d’écriture
[ ] 2
( ) 20,12 1 2
a b a b x a bpour tout xx x x x
+ + −∈ + =
− + − −
En identifiant les coefficients du numérateur, on obtient le système
1
2 3a ba b+ =
− =
qui admet l’unique solution 5 23 3
a et b= = −
On a donc [ ] 2
3 5 1 2 10,12 3 2 3 1
xpour tout xx x x x
+∈ = −
− − − +
• Calcul de l’intégrale : 1 1
0 0
5 23 2 3 1
dx dxIx x
= −− +∫ ∫
et donc puisque [ ]0,1 ( 2) 0 ( 1) 0x alors x et x∈ − < + >
[ ] [ ]1 1
0 0
5 2ln(2 ) ln( 1)3 3
I x x= − − +
Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours
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Finalement : 1
02
3 7 ln 22 3
xI dxx x
+= = −
− −∫
3. Intégration par parties
Théorème
Soient u et v deux fonctions dérivables sur [ ],a b et admettant des dérivées ' 'u et v continues.
Alors [ ]( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )b b
a a
b
au x v x dx u x v x u x v x dx= −∫ ∫
Démonstration
Soient u et v deux fonctions dérivables sur l’intervalle [ ],a b telles que u ‘ et v ‘ soient
continues sur[ ],a b , alors puisque la dérivée du produit u v est donnée par
( ) ' ' 'u v u v u v= + alors u v est une primitive de ' 'u v u v+ sur [ ],a b .
Donc [ ] ( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )b b b
a a a
b
au x v x u x v x u x v x dx u x v x dx u x v x dx= + = +∫ ∫ ∫
d’où la formule d’intégration par parties
[ ]( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )b b
a a
b
au x v x dx u x v x u x v x dx= −∫ ∫
Cette formule s’applique lorsqu’on cherche à calculer l’intégrale d’un produit de deux fonctions
et à condition que '( ) ( )b
au x v x dx∫ soit plus facile à calculer que ( ) '( )
b
au x v x dx∫
C’est le cas en particulier pour le produit :
• d’une fonction polynôme et d’une fonction sinus ou cosinus (avec u égale à la fonction
polynôme)
Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours
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• d’une fonction polynôme et d’une fonction logarithme (avec u égale à la fonction
logarithme)
• d’une fonction exponentielle et d’une fonction sinus ou cosinus (avec u égale
indifféremment à la fonction exponentielle ou à la fonction sinus ou cosinus)
Remarque
il faut parfois répéter plusieurs fois la méthode.
Exemple
Calculer / 2
0cosI x x dx
π
= ∫
on pose
( ) '( ) 1( ) sin '( ) cos
u x x u xv x x v x x
= ⇒ == ⇐ =
et en appliquant la formule d’intégration par parties :
[ ]/ 2/ 2
0 0
sin sinI x x x dxππ
= − ∫
soit
[ ]/ 2
0sin cosI x x x
π
= +
et finalement / 2
0
cos 12
I x x dxπ π
= = −∫
Remarque
le calcul de l’intégrale I permet de trouver les primitives de la fonction
: cosf x x xa
Les primitives de f sur R sont : sin cosF x x x x C avec C+ + ∈a R
Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours
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Exemple
Calculer / 2
0
2 cosxJ e x dxπ
−= ∫
On pose, par exemple, en choisissant u égale à la fonction exponentielle (on peut aussi procéder
par intégration par parties en posant u égale à la fonction cosinus)
2 2( ) '( ) 2
( ) sin '( ) cos
x xu x e u x ev x x v x x
− −= ⇒ = −= ⇐ =
et en appliquant la formule d’intégration par parties : / 2/ 2
0 0
2 2sin 2 sinx xJ e x e x dxππ
− − = + ∫
On applique la formule d’intégration par parties uine deuxième fois (dans le même sens, c’est-à-
dire en posant toujours u égale à la fonction exponentielle)
2 2( ) '( ) 2
( ) cos '( ) sin
x xu x e u x ev x x v x x
− −= ⇒ = −= − ⇐ =
et
/ 2/ 2
0 0
2 2 2sin 2 cos 2 cosx x xJ e x e x e x dxππ
− − − = + − − ∫
L’intégrale apparaissant dans le second membre étant l’intégrale J cherchée, on en déduit
/ 2 / 2
0 0
2 2sin 2 cos 4x xJ e x e x Jπ π
− − = − −
soit / 2 / 2
0 0
2 25 sin 2 cosx xJ e x e xπ π
− − = −
d’où / 2
0
21 ( sin 2cos )5
xJ e x xπ
− = −
et finalement / 2
0
2 1cos ( 2)5
xJ e x dx eπ
− −π= = +∫
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Remarque
le calcul de l’intégrale I permet de trouver les primitives de la fonction 2: cosxf x e x−a
Les primitives de f sur R sont 21: (sin 2cos )5
xF x e x x C avec C R− − + ∈ a .