De Geschiedenis van de Wiskunde

1

© A. Piens & L. Verkimpe

Deel VIII

Version 1.0 – mei 2016

andre.piens@skynet.be

2

‘De belangrijkste opgave voor de geschiedkundige van de wiskunde, en tevens zijn

diepste voorrecht, is de menselijkheid van de wiskunde te verklaren, haar grootheid,

schoonheid en waardigheid aan te tonen en te beschrijven hoe de nooit aflatende inzet en

het verzamelde talent van vele generaties dit groots monument hebben opgebouwd,

onderwerp van onze meest gewettigde trots als mens, en van onze verbazing,

nederigheid en dankbaarheid als individu.

Kennis van de geschiedenis van de wiskunde zal van iemand geen betere, maar wel een

menselijkere wiskundige maken ; het zal zijn geest verrijken, zijn hart verwarmen en zijn

bekwaamheden verruimen.’

‘The main duty of the historian of mathematics, as well as his fondest privilege, isto explain the humanity of mathematics, to illustrate its greatness, beauty, anddignity, and to describe how the incessant efforts and accumulated genius of manygenerations have built up that magnificent monument, the object of our mostlegitimate pride as men, and of our wonder, humility and thankfulness, asindividuals. The study of the history of mathematics will not make bettermathematicians but gentler ones, it will enrich their minds, mellow their hearts,and bring out their finer qualities.’

George Sarton (Gent, 1884 – Cambridge, Ma, 1956)

3

De Geschiedenis van de Wiskunde

Deel I 1. Vroegste sporen van mathematisch denken

2. Wiskunde in de 4 Riviervalleien

Deel II 3. De Wiskunde van het Antieke Griekenland

Deel III 4. De Indische Wiskunde

5. De Arabische Wiskunde

6. De Wiskunde in het Latijnse Westen tijdens onze middeleeuwen

7. Wiskunde in het Europa van de Renaissance (15e en 16e eeuw)

Deel IV 8. Wiskunde in Europa tijdens de Wetenschappelijke Revolutie : 1550 – 1700

Deel V 9. Wiskunde tijdens de Verlichting (18e eeuw)

Deel VI 10. Van generalisten tot specialisten : de wiskunde van de 19e eeuw

Deel VII 11. Wiskundige structuren en nadruk op strengheid : vanaf ca. 1870

Deel VIII 12. Accenten van de wiskunde van de 20e eeuw

4

Accenten van de Wiskunde van de 20e eeuw

5

Wiskunde in de 20e eeuw

• Voortzetting van de trend van de tweede helft van de 19e eeuw :

Sterkere veralgemening en abstractie

Nadruk op consistentie en volledigheid van de axiomastelsels

Ontwikkeling van vele deelgebieden

• Gevoelig toenemend aantal studenten wiskunde aan de universiteiten

• Introductie van de computer om wiskundige problemen te analyseren en op te lossen

• Poging tot hervorming van het wiskundeonderwijs

6

Theoretische (wiskundige) naast experimentele fysica

Van zuiver experimentele naar theoretische fysica …

• experimentele fysica

gaat uit van waarneming en experiment

zoekt verklaring of systematiek van het verschijnsel

stelt een wiskundige wet op tussen de grootheden

• Galilei, Kepler, Pascal, Huyghens, Newton, Boyle, Young, Franklin, Oersted, Faraday, ….

• theoretische fysica

stelt wiskundige verbanden op tussen fysische grootheden, vertrekkend van algemene principes, zoals symmetrieën

interpreteert die wiskundige resultaten om een hypothese op te stellen

later bevestiging door meer geëvolueerde technologische middelen

• Maxwell, Planck, Sommerfeld, Einstein, Born, Bohr, Schrödinger, de Broglie, Heisenberg, Chandrasekhar,

Oppenheimer, Feynman, Hawking, ….

Formule uit de algemene relativiteitstheorie van Einstein.

Ze geeft een relatie tussen ruimte-tijd, materie en energie.

Deze relatie voorspelt o.a. het bestaan van zwarte gaten.

In zijn speciale relativiteitstheorie geeft Einstein

een verband tussen energie, massa

en de snelheid van het licht..

Evenwicht Lichtbreking

7

Godfrey Harold HardyCranleigh, Surrey, 1877 - Cambridge, 1947

‘young men should prove theorems, old men should write books’

• volgde middelbaar onderwijs aan het Winchester College

• studeerde vanaf 1896 wiskunde aan Trinity College, universiteit van Cambridge

• behaalde een mastergraad in 1903 en doceerde de volgende jaren 6 h / week

• van 1919 tot 1931 was hij Savilian professor meetkunde in Oxford

• werd daarna Sadleirian professor Pure Mathematics in Cambridge (tot 1942)

• doceerde in Princeton tijdens het academiejaar 1928/9

Attitude

• schuw en bedeesd, onhandig en zonderling

• vermeed om gefotografeerd te worden en wou zichzelf niet zien in spiegels

Wetenschappelijk werk

• introduceerde in de Brise wiskunde de strengheid en nauwkeurigheid van de Franse en Duitse school

• gedurende een kwarteeuw domineerde hij de de Britse wiskunde door zijn kwaliteit en zijn persoonlijkheid

• A Course in Pure Mathematics (1908) bracht op strenge wijze de toen moderne begrippen van analyse

• vanaf 1911 werkte hij samen met J. Littlewood met bijdragen in calculus en getallentheorie, o.m. over het Waring probleem

• dit leidde tot de vermoedens van Hardy-Liilewood in verband met de distributie van en de constellaties van priemgetallen

‘A Mathematician’s Apology’

• een essay (1940) dat een inzicht geeft in de geest van een actieve wiskundige, geobserveerd door een niet-wiskundige

Ramanujan

• vanaf 1915 was hij de ontdekker en raadgever van Srivinasi Ramanujan,

‘de enige romantische gebeurtenis in mijn leven’

8

Srinivasa RamanujanErode, Madras, 1887 – Chetpud, Madras,1920

• na twee jaar basisschool won hij in 1894 een beurs voor middelbaar onderwijs

• met geleende verouderde boeken leerde hij zichzelf wiskunde

• zakte voor zijn examens aan het Government College en aan de universiteit van Madras

• werkte als klerk in Madras en verzamelde inpakpapier om berekeningen te maken

• zijn bazen erkenden zijn talent en lieten hem Britse wiskundigen contacteren

• zijn brief van 16 januari 1913 overtuigde G.H. Hardy van zijn wiskundige mogelijkheden

• het lukte Hardy om hem te overtuigen naar Engeland te komen

• in april 1914 begon een zeer productieve periode van 5 jaren, vooral over getallentheorie

• de wiskundig strenge Hardy en de intuitieve Ramanujan waren zeer complementair

• in 1918 werd Ramanujan verkozen tot lid van de Royal Society

• wegens zijn uitermate zwakke gezondheid keerde hijin 1919 terug naar Indië

• in 1920 overleed hij aan tuberculose in een sanatorium

• de resultaten van zijn werk werden genoteerd in vier notitieboeken, eerst uitgegeven 1957

Partities van de natuurlijke getallen

• een partitie van een natuurlijk getal n is de verzameling van alle mogelijke opsplitsingen van n als som van natuurlijke getallen

• het aantal elementen van zo’n partitie wordt genoteerd als p(n)

• voorbeeld : p(5) = 7, want {5, 4-1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1}

• aldus : p(1) = 1, p(2) = 2, p(3) = 3, p(4) = 5, p(5) = 7, p(6) = 11, ….., p(200) = 3 972 999 029 388, …

• in 1918 bewezen Hardy en Ramanujan :

Merkwaardig produkt

2

3

( )4 3

n

ep n

n

1

2

3

2,

3,

5,

-de echt priemgetalk

p

p

p

p k

Hardy-Ramanujan getal

• het getal 1729

• 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

• 1729 = 7 * 13 * 19

• 1+7+2+9=19 19 * 91 = 1729

Berekenen van π

• een snel convergerende reeks voor het berekenen van π

4 40

992 (4 )!(1103 26390 )8

( !) .396 kk

k k

k

9

Hermann WeylElmshorn, 1885 – Zürich,1955

• van 1904 tot 1908 studeerde hij wiskunde en fysica in Göttingen en München

• hij behaalde zijn doctoraat onder Hilbert aan de Universiteit van Göttingen

• tot 1913 doceerde hij in Göttingen

• van 1916 tot 1930 was hij professor Wiskunde aan de ETH Zürich

• in 1930 werd hij de opvolger van Hilbert aan de Universiteit van Göttingen

• omdat zijn echtgenote joodse was, verliet hij Göttingen in 1933, bij de opkomst van de Nazi’s

• aanvaarde een professoraat aan het Institute for Advanced Study in Princeton

• vanaf 1952 verbleef hij afwisselend in Princeton en in Zürich

• zijn oudste zoon Fritz Weyl (1915-1977) was ook een bekend wiskundige

Relativiteitstheorie

• Weyl was van bij het begin sterk onder de indruk van het werk van Einstein

• hij schetste de ontwikkeling van de relativiteitstheorie in Raum, Zeit, Materie (1918, reeds in 1922 volgde de 4e editie)

Ouantummechanica

• één van zijn belangrijkste werken Gruppentheorie und Quantummechanik uit 1928

• hierin wordt de groepentheorie aangepast voor toepassing op de quantummechanica

Grondslagen van de Wiskunde

• in Das Kontinuum (1918) ontwikkelde Weyl de analyse, zonder gebruik te maken van

bewijzen uit het ongerijmde

de oneindige verzamelingen van Cantor

het keuzeaxioma

• kort daarna werd hij een aanhanger van het intuitionisme van Brouwer

• vanaf 1920 ontdekte hij dat de wiskunde hierdoor te veel beperkingen werden opgelegd

• in 1928 volgde zijn zienswijze opnieuw de ideeën van Husserl en Hilbert

10

Amalia Emmy NoetherErlangen, 1882 – Bryn Mawr, Pennsylvania,1935

de grootste vrouwelijke wiskundige

• geboren in een joodse, wiskundig begaafde, familie

• van 1900 tot 1904 studeerde ze wiskunde aan de Universiteiten van Erlangen en Göttingen

• ze behaalde haar doctoraat aan de Universiteit van Erlangen, in 1907

• van 1908 tot 1915 doceerde ze, niet-gesalarieerd, aan de Universiteit van Erlangen

• in 1915 werd ze door Hilbert en Klein naar Göttingen uitgenodigd, waar ze bleef tot 1933

• het duurde tot 1919 alvortens ze een klein salaris kreeg voor haar leeropdrachten

• vanaf 1920 werd ze een pionier van de Moderne Algebra

• in 1921 verscheen haar standaardwerk Idealtheorie in Ringbereichen

• in 1924 studeerde B.L. van der Waerden bij Noether in Göttingen

daar legde hijj de basis van zijn tweedelig standaardwerk Moderne Algebra

het tweede deel ervan bevat hoofdzakelijk wiskundige ideeën van Noether

• in 1933 verboden de Nazi’s haar de auditoria van de universiteit te gebruiken ; ze reageerde door bij haar thuis te doceren

• na haar ontslag werd ze door het Bryn Mawr College uitgenodigd als gastprofessor

• in 1934 werden uitgezaaide tumoren ontdekt en ze overleed in april 1935

• in de New York Times van 5 mei 1935 verscheen een ‘in memoriam’ geschreven door Einstein

Wiskundige bijdragen

• stelling van Noether (1915) : elke symmetrie-eigenschap van een systeem leidt tot een behoudswet

• grondlegster van de abstracte algebra :

ontwikkeling van de commutatieve ringtheorie

conceptuele wiskunde : relaties tussen getallen, functies en bewerkingen worden slechts algemeen toepasbaar als ze

geïsoleerd zijn van hun specifiek objecten en als universeel geldend zijn geformuleerd

11

André WeilParijs, 1906 - Princeton, 1998

‘Rigour is to the mathematician what morality is to men.’

• studeerde aan het Collège Saint-Louis en aan de Ecole Normale Supérieure, Parijs,

• en tijdens de jaren 1926 en 1927 aan de universiteiten van Rome en Göttingen

• doctoreerde in 1928 aan de Universiteit van Parijs met Arithmétique des Courbes Algébriques

• doceerde aan de Aligarh Muslim University, India, van 1930 tot 1932

• was gedurende 6 jaar professor aan de Universiteit van Straatsburg

• problemen bij het begin van WO II leidden tot de emigratie naar de Verenigde Staten in 1941

• werkte aan de Lehigh University in Bethlehem, Pennsylvania

• van 1945 tot 1947 was hij professor aan de Universidade de Sao Paulo

• professor aan de Universiteit van Chicago van 1947 tot 1958

• vervoegde tenslotte tot 1979 het Institute for Advanced Study in Princeton

• zijn jongere zus was de franse filosofe Simone Weil (Parijs, 1909 – Ashford, U.K., 1943)

• talenkennis : frans, engels, duits, portugees, latijn, grieks, sanskriet

Bourbaki

• André Weil was in 1934 een van de stichtende leden van de groep wiskundigen onder het pseudonym Bourbaki

• inspireerde de goep tot de opbouw van de wiskunde met een strenge axiomatische grondslag

Algebraïsche meetkunde

• deelgebied van de wiskunde die abstracte algebra (algebraïsche structuren) combineert met problemen van de meetkunde

• heeft zich in de 20e eeuw ontwikkeld uit de analytische meetkunde

• in 1946 publiceerde hij Foundations of Algebraic Geometry

De ledige verzameling

• in zijn autobiografie The Apprenticeship of a Mathematician (1992)

beweert hij het symbool Ø te hebben geintroduceerd

12

Topologie

• Topologie behandelt de eigenschappen van topologische ruimten,

topologische ruimten zijn objecten, die bewaard blijven bij continue vervorming,

zoals uitrekking, zonder scheuren of plakken (homeomorfismen)

bestudeert niet de metrische eigenschappen, zoals afstand, …, maar wel eigenschappen, zoals samenhang , oriëntatie,

Wiskundige definitie van topologische ruimte

Een topologische ruimte (X, Τ) is een verzameling X samen met een verzameling Τ van deelverzamelingen van X, die voldoen aan

• Ø en X zijn elementen van Τ

• de unie van om het even welke elementen van Τ is tevens een element van Τ

• de doorsnede van elke eindig aantal elementen van Τ is tevens een element van Τ

Geschiedenis : meetkunde onafhankelijk van afstand

• topologie begon met het vraagstuk van de bruggen van Königsberg in 1736, voorgelegd door Euler

• de volgende stap was de formule van Euler voor veelvlakken : V – E + F = 2

• de term ‘topologie’ werd voor het eerst vermeld in Vorstudien zur Topologie (1847) van Listing

• in 1865 beschreef Möbius de ‘eenzijdige’ Möbius-band

• een grote stap in de ontwikkeling van de topology werd gezet door Poincaré in 1895

Möbius-band

Klein-fles

13

Topologie

homeomorfie tussen kop en torusMöbius-band is een éénzijdig oppervlak

14

Julia Robinson (- Bowman)St. Louis, Missouri, 1919 - Oakland, California, 1985

• jongere zuster van Constance Reid, auteur van populaire biografieën van wiskundigen

• in 1921 stierf haar moeder

• zelf kreeg ze in 1929 roodvonk en kort daarna acuut reuma, dat haar ganse leven bepaalde

• ze kreeg privé-les en studeerde vanaf 1933 wiskunde en fysica aan de San Diego High School

• wiskunde aan de San Diego State University vanaf 1936

• vanaf 1939, aan de University of California, Berkeley, waar ze in 1948 tot doctor promoveerde

• ze moest wachten tot 1976 alvorens tot professor benoemd te worden in Berkeley :

door haar zwakke gezondheid vroeg ze slechts een quarter-time leeropdracht

• in 1984 kreeg ze leukemie, ze stierf in 1985

• in 1986 werd door haar echtgenoot het Julia B. Robinson Fellowship Fund opgericht

American Mathematical Society (AMS)

• opgericht in 1888 om wiskundige research te stimuleren en, door het toekennen van studiebeurzen, te activeren

• Julia Robinson werd de 47e president van de AMS ; ze werd verkozen voor de periode 1983-1984

Hilbert’s tiende probleem

• Robinson formuleerde in 1950 het vermoeden dat dit probleem niet oplosbaar is

• gedurende meer dan 20 jaar werkten J. Robinson, M. Davis, H. Putnam en Y. Matyasevich

• in 1970 bewees Matyasevich dat dergelijke algoritme niet bestaat

Gegeven een diofantische vergelijking met een willekeurig aantal variabelen en met gehele coëfficiënten.

Stel een methode op waarmee in een eindig aantal stappen kan worden bepaald of er gehele getallen zijn die

aan de vergelijking voldoen.

15

Elbert F. CoxEvansville, Indiana, 1895 – Washington D.C., 1969

de eerste afro-amerikaanse doctor in de wiskunde

• zijn ouders waren beiden afro-amerikanen, vader was schoolhoofd van een middelbare school

• had de keuze tussen wiskunde of een studiebeurs voor het Muziekconservatorium van Praag

• werd in 1917 bachelor wiskunde aan de Indiana University (zijn diploma was gemerkt ‘Colored’)

• was in1918 soldaat met het Amerikaans leger in Frankrijk

• behaalde in 1925 zijn doctoraat in de Wiskunde aan de Cornell University, New-York

• zijn proefschrift, onder leiding van W.L.G. Williams : Polynomial Solutions of Difference Equations

• engelse en duitse universiteiten weigerden zijn doctoraatsthesis te erkennen

• uiteindelijk volgde een erkenning door de japanse Keizerlijke Universiteit van Sandai

• in 1927 werd hij benoemd tot hoogleraar aan de Howard University in Washington

• deze universiteit was in 1867 opgericht door Generaal O. Howard van de Union Army, om zwarte studenten op te leiden

• werd er in 1957 hoofd van het departement wiskunde en fysica

• emeritaat in 1961, maar gaf verder cursus tot 1966

16

Martha Euphemia Lofton HaynesWashington D.C., 1890 – Washington D.C., 1980

de eerste vrouwelijke afro-amerikaanse doctor in de wiskunde

• ze was de dochter van een tandarts in Washington

• werd bachelor in de wiskunde in 1914 aan het Smith College

• ze was actief als ‘super intendent’ voor de ‘colored schools’ in Washington

• aan de universiteit van Chicago promoveerde ze tot Master in de Opvoedkunde in 1930

• ze studeerde ook aan de Catholic University of America in Washington

• daar behaalde ze in 1943 haar doctoraat in de Wiskunde

• na haar oppensioenstelling bleef ze Voorzitter van de Comissie van Onderwijs van Washington DC

17

stichtende leden andere leden

Henri Cartan

André Weil

Jean Dieudonné

Jean Coulomb

Szolem Mandelbrot

Jean Delsarte

René de Possel

Charles Ehresmann

Claude Chevalley

Nancy, 1904 – Parijs,2008

Parijs, 1906 – Princeton, NJ, 1998

Lille, 1906 – Parijs,1992

Blida, 1904 – Parijs, 1999

Warschau, 1899 – Paris, 1980

Fourmies, 1903 – Nancy, 1968

Marseille, 1905 – Parijs, 1974

Strasbourg, 1905 – Amiens, 1979

Johannesburg, 1909 – Parijs, 1984

Laurent Schwartz

Jean-Pierre Serre

Alexandre Grothendieck

Serge Lang

Roger Godement

Armand Borel

Pierre Samuel

Adrien Douady

Parijs, 1915 – Parijs, 2002

Bages, 1926 –

Berlijn, 1926 – Saint-Girons, 2014

St-Germain-en-Laye, 1927 – Berkeley, Ca, 2005

Le Havre, 1921 –

La Chaud-de-Fonds, 1923 – Princeton,NJ, 2003

Parijs, 1921 – Paris, 2008

La Tronche, 1935 – Saint-Raphaël, 2006

• collectief pseudoniem voor een groep franse wiskundigen, meestal studenten van de Ecole Normale Supérieure van Parijs

Nicolas Bourbaki

18

Nicolas Bourbaki

• foto tijdens de eerste bijeenkomst van Bourbaki in juli 1936 in Besse-en-Chandesse (Puy-de-Dôme)

van links naar rechts, staande : Henri Cartan, René de Possel,Jean Dieudonné, André Weil, Luc Olivier (bioloog)

zittend : Mirles (hulpje) Claude Chevalley, Szolem Mandelbrot

19

Nicolas Bourbaki

Werken van Bourbaki

Oorspronkelijk gepland :

1 Théorie des Ensembles

2. Algèbre

3. Topologie générale

4. Fonctions d’une varable réelle

5. Espaces vectoriels topologiques

6. Intégration

Later bijgevoegd :

7. Algèbre commutative

8. Groupes et algèbres de Lie

9. Théorie spectrales

10.Topologie algébrique

Aanvullingen en uitbreidingen zijn nog verschenen

in 1998, 2012 en 2016

• in de twintiger jaren was er een gebrek aan jonge wiskundigen, als gevolg van de vele doden tijdens WO I

• die jonge wiskundigen waren ontevreden met de toenmalige gebruikelijke wiskundeboeken,

• o.a. Traité d’Analyse van Goursat

• eerste meeting op 10 december 1934 in Café A Capoulade, Boulevard Saint-Michel, Paris

• in juli 1935 komt de groep voor het eerst samen in Besse-en-Chandesse (Puy-de-Dôme)

• om frisse ideeën te genereren,werd beslist dat op 50-jarige leeftijd een lid de groep moet verlaten

• de namen van de huidige leden van Bourbaki worden geheim gehouden

• het project van de groep wordt het uitgeven van een reeks handboeken Eléments de mathématique

• met als doel de ganse wiskunde te baseren op de verzamelingsleer

• het eerste boek Théorie des Ensembles verschijnt in 1939

20

Functies (afbeeldingen) :

Injecties, Surjecties, Bijecties

Functie (afbeelding) Injectie Surjectie Bijectie

• de terminologie ‘injectie’, ‘surjectie’, ‘bijectie’ werd ingevoerd door Bourbaki in 1954 in Théorie des Ensembles

21

Vernieuwing van het WiskundeonderwijsVerenigde Staten : New Math Movement

• als reactie op het Russisch ruimtevaartsucces ontstond in de Verenigde Staten een crisissfeer in het onderwijs

• onder impuls van de National Science Foundation (NSF) werden wijzigingen in het secundair onderwijs sterk gepromoot

• New Math was een een drastische wijziging in de onderwijsmethodiek van de vakken wiskunde en wetenschappen

• New Math benadrukte inzicht in wiskundige structuren door de studie van abstracte concepten

• niet enkel verzamelingen en relaties, maar ook symbolische logica, algebra van Boole, matrices, …. werden geïntroduceerd

• tevens werd de traditionele synthetische euclidische meetkunde vervangen door een algebraïsche benadering

• deze al te drasttische wijzigingen botsten op heftige tegenstand van leraars en ouders

• deze tegenstand werd sterk gesteund door o.a. natuurkundige R. Feynman en wetenschapsfilosoof Morris Kline

• bekende werken van Morris Kline (Brooklyn, NYC, 1908 – Brooklyn, NYC, 1992), New York University :

Why Johhny can’t add : the Failure of the New Math (1973) :‘with near perfect regulatity teachers and parents applaud the return to tradition content and instructional methods’

Why the Professor can’t teach : Mathematics and the Dilemna of University Education (1977)As the author's wife and sometime secretary, I can testify that Morris Kline was keenly unhappy with the publisher's choice.

This book is not an attack on professors but is rather a wide-ranging critique of undergraduate education. Indeed an appropriate,

less jazzy title would have been A CRITIQUE OF UNDERGRADUATE EDUCATION.

Morris Kline R. Feynman

22

Vernieuwing van het WiskundeonderwijsVerenigde Staten : New Math Movement

23

Vernieuwing van het WiskundeonderwijsEuropa (OEES) : Colloquium van Royaumont & programma van Dubrovnik

Colloquium van Royaumont

• in november 1959 organiseert het OECD een tiendaags colloquium in de abdij van Royaumont (Asnières-sur-Oise)

• onderwerp : de vernieuwing van het wiskundeonderwijs voor intellectueel begaafde leerlingen van 12 tot 19 jaar

• voorzitter is de president van het ICMI (International Commission on Mathematical Instruction) M. Stone, Chicago University,

• Jean Dieudonné manifesteert tegen de dominantie van de Euclidische meetkunde in ons wiskundeonderwijs ‘Si je voulais résumer en une phrase tout le programme que j'ai dans l'esprit, ce serait par le ·slogan « A bas Euclide »:

• Willy Servais stelde er het Belgische experimentele leerplan ‘moderne wiskunde’ voor

Programma van Dubrovnik

• in Royaumont werd besloten de hervorming in handen te geven van een commissie van 16 experten

• deze commissie van 16 experten (w.o. Servais en Libois) vergaderden gedurende 4 weken in Dubrovnik

• daar ontwikkelden ze een syllabus wiskunde voor secundaire scholen

• hierbij speelde de ondervinding van Servais een fundamentele rol

• in 1961 in Parijs voorgesteld en aanvaard als ‘grondwet voor de moderne wiskunde’

M. Stone J. Dieudonné P. Libois W. Servais

24

‘Moderne Wiskunde’ in België (I)Hoe het begon

• na WO II startten experimenten om het wiskundig onderwijs te hervormen

• promotoren waren Paul Libois, professor wiskunde ULB, en de leraren van de Decroly-school

Leerplan Moderne Wiskunde

• 1958 ; een experimenteel leerplan moderne wiskunde

voor de normaalscholen voor kleuterleiders en –leidsters, door

Frédérique Lenger, prefect van het Lyceum van Aarlen en

directrice van de Rijksnormaalschool van Aarlen

Willy Servais, prefect van het Atheneum van Morlanwelz

hierbij consulteren ze Georges Papy, professor Wiskunde aan de ULB

• voorgesteld door Servais op het Colloquium van Royaumont in novembe r1959

Dagen van Arlon

• vanaf 1959 de ‘dagen van Arlon’

• om leraren te recycleren en voor te bereiden op de komst van de ‘moderne wiskunde’

• en vanaf 1960 officiel erkend door het Ministerie van Natonale Opvoeding

• enorme impact ; jaarlijks ca. 600 deelnemers, waarbij een enorm samenhorigheidsgevoel ontstaat

BCMW (Belgisch Centrum voor Methodiek van de Wiskunde)

• opgericht in 1961,

• tijdschrift NICO en logo doorstreepte π (pas pi = Papy),

• met als leden

E.H. A. Gille, professor aan de UCL

E.H. P; Bockstaele, leraar wiskunde

R. Holvoet, assistent aan de ULB

Pater J. Nachtergaele, inspecteur Wiskundige van de franstalige Jezuietencolleges

G. Papy, professor Wiskunde aan de ULB

mevr. F. Papy-Lenger, lerares aan de Normaalschool Berkendael

L. Sart, inspecteur Wiskunde

W Servais, prefect van het Atheneum van Morlanwelz en president van de SBPM

F. Wuytack, repetitor aan de RUG

Frédérique Lenger

Georges Papy

25

‘Moderne Wiskunde’ in België (II)

En de politiek …

• in 1963 wordt H. Janne, oud-rector van de ULB en vriend van Papy minister van Nationale Opvoeding

• ook in 1963 wordt Papy senator na de dood van Jeanne Beeckman, weduwe van Emile Vandervelde

• toelating en financiële middelen om Frédérique Lenger te laten experimenteren in het Berkendaellyceum, Elsene

• op 14 mei 1965 verschijnt de omzendbrief :

• verplichte invoering van de moderne wiskunde in de eerste drie jaren van het secundair onderwijs op 1 september 1968

• de nieuwe minister van onderwijs F. Grootjans legt op 19 maart 1966 de beslissing in de handen van twee commissies

• in beide commissies waren de voorstanders van de moderne wiskunde in de meerderheid

• op 11 april 1968 verplichtte de minister de invoering op 1 september 1968 van het nieuwe leerplan in het middelbaar onderwijs

• in 1976 ook (sterk afgezwakt) ingevoerd in het vrij lager onderwijs en in 1978 in de rijkslagere scholen door minister H. De Croo

Mathématique Moderne – Georges Papy

• in 1964 verschijnt het eerste deel van Mathématique Moderne :

handboekenreeks voor het secundair onderwijs, bijzonder aantrekkelijk voorgesteld met vele kleurrijke afbeeldingen

vertaald in het Nederlands , Duits, Engels en Spaans

26

‘Moderne Wiskunde’ in België (III)

En de praktijk

• vanaf 1 september 1968 talloze kinderziekten :

niet of slechte voorbereide leraren :

de meesten waren nog gevormd op de ‘klassieke’ manier

met de kunstmatige opdeling ; algebra, meetkunde, driehoeksmeting, analytische meetkunde, …

dure handboeken

ouders waren niet meer in staat hun kinderen bij hun wiskunde-werk thuis te helpen

• reeds heel snel vertoont het nieuwe wiskundeonderwijs wetenschappelijke en didactische pijnpunten

axiomatisch gericht zonder te vertrekken van probleemstellende betekenisvolle context

abstracte structuren (zoals groepen) zijn voor de wiskundige noviet nietszeggend

drang tot vroegtijdig precieze definiering doen leerlingen (en leerkrachten) vervreemden van vertrouwde begrippen

• vanaf 1983 komt er een geleidelijke verwatering van de methoden

• en in 1985 worden meer elementen geintegreerd van ‘realistisch’ wiskundeonderwijs,

uitgaande van betekenisvolle probleemsituaties

27

Het vermoeden van Goldbach

• Christian Goldbach (Königsberg, 1690 – Moskou, 1764) is vooral bekend

als leraar van de jonge tsaar Peter II

als professor wiskunde aan de Academie van Sint-Petersburg

door zijn correspondentie met Euler, vooral over getallentheorie

het vermoeden van Goldbach

• voorbeelden

8 = 5+3

20 = 17+3

48 = 37+11

110 = 97+13

148 = 101+47

• door Goldbach geformuleerd in de marge van een brief aan Euler van 1742 :

elk even natuurlijk getal, groter dan 2, kan worden uitgedrukt als een som van twee priemgetallen

• dit vermoeden werd reeds via computerberekeningen (26/05/2013) dubbelgetest voor alle even natuurlijke getallen tot 4.1018

• het is het oudste nog niet bewezen vermoeden van de wiskunde

het zwakkere vermoeden van Goldbach

• elk oneven natuurlijk getal, groter dan 5, kan worden uitgedrukt als de som van drie priemgetallen

• dit zwakkere vermoeden werd in 2013 bewezen door Harald Helfgott (Lima, 1977 - )

28

Het vierkleurenprobleem

• het probleem werd in 1852 gesteld door de broers Guthrie

• ze legden de vraag voor aan hun professor wiskunde De Morgan

• De Morgan trachtte vruchteloos Hamilton en Cayley bij de oplossing te betrekken

• in 1879 publiceerde Cayley On the Colouring of Maps

• en legde het probleem ook voor aan de London Mathematical Society

Vermoeden van Cayley

• elke landkaart kan met vier kleuren worden gekleurd,

zodat geen twee aan elkaar grenzende landen dezelfde kleur hebben

Poging tot bewijs

• in 1879 werd door een Britse advocaat A. Kempe een bewijs gepubliceerd in de American Journal of Mathematics

• in 1890 toonde de Brit P. Heawood aan dat het bewijs van Kempe echter een fout bevat

• onafhankelijk van Heawood werd deze fout ook ontdekt in 1896 door de la Vallée Poussin

• in 1922 werd een bewijs geleverd voor landkaarten met maximaal 25 landen

Bewijs met de hulp van de computer

• in 1977 suggereerden twee wiskundigen uit Illinois, L. Appel en W. Haken, een bewijs met de hulp van de computer

• in 1994 brachten vier wiskundigen, N. Robertson, D. Sanders, P. Seymour en R. Thomas, een meer gestructureerd bewijs

Nog niet bewezen … ?

• veel wiskundigen en filosofen kunnen echter geen bewijs met de hulp van de computer accepteren

• de geldigheid van het bewijs bracht een voortdurende discussie teweeg over de ‘legitimiteit’ van een wiskundig bewijs

29

• een fractaal is een meetkundige figuur die zelfgelijkend is, d.w.z. opgebouwd uit min of meer gelijkvormige delen

• de fractaalmeetkunde is de tak van de wiskunde, die de eigenschappen van de fractalen bestudeert

• is ontstaan einde 19e, begin 20e eeuw onder impuls van von Koch, Poincaré en Julia

• de term werd in 1975 door Mandelbrot geïntroduceerd

• in 1982 publiceerde hij The Fractal Geometry of Nature, waarin hij o.a. de Mandelbrot-verzameling behandelde

• kende in de jaren 1980/90 een (te) grote populariteit onder de wiskundigen

• toch zijn diverse toepassingen van fractalen niet meer weg te denken, o.a. in verband met de chaostheorie

Fractalen

Driehoek van Sierpinski Boom van Pythagoras

30

Sneeuwvlokcurve van von Koch

Elke zijde s van de gelijkzijdige driehoek wordt in drie gelijke delen verdeeld ;

op elk middenstuk wordt een nieuwe gelijkzijdige driehoek getekend ; enz. …

Na n herhalingen is de omtrek4

3. .( )3

n

nP s

• Niels Helge von Koch (Stockhom, 1870 – Danderyd, 1924), zweeds wiskundige

• studeerde in 1887 aan de universiteit van Stockholm onder Mittag-Leffler

• behaalde zijn doctoraat in de wiskunde in 1892 aan de universiteit van Uppsala

• was professor wiskunde aan de universiteit van Stockholm van 1911 tot 1924

• beschreef de fameuze curve in 1904 in Sur une courbe continue sans tangente

31

Benoit MandelbrotWarschau, 1924 – Cambridge, Massachusetts, 2010

• zijn oom was Szolem Mandelbrot, professor wiskunde aan het Collège de France en medestichter van Bourbaki

• Benoit studeerde aan de Ecole Polytechnique, Parijs (1947-1949) en aan het California Institute of Technology (1949-1952)

• in Pasadena promoveerde hij tot Master in de Aeronautica

• na zijn terugkeer in Frankrijk behaalde hij in 1952 zijn doctoraat in de wiskunde aan de Sorbonne (Université de Paris)

• studeerde een jaar aan het IAS, Princeton, en was professor wiskunde aan de Université Lille Nord de France

• van 1958 tot 1993 werkte hij aan het Watson Research Center van IBM, New York

• ondertussen was hij tevens professor van de Praktijk van de Wiskunde in Harvard

• van 1999 tot 2004 was hij Sterling Professor Wiskundige Wetenschappen aan de Yale University, New Haven, Connecticut

Fractaalmeetkunde

• de term werd in 1975 door Mandelbrot geïntroduceerd

• in 1982 publiceerde hij The Fractal Geometry of Nature, waarin hij o.a. de Mandelbrotverzameling behandelde

Szolem Mandelbrot Benoit Mandelbrot

2 2 2 2

0 1 0 2 1 3 2 10, , , , ..., , ...n nz z z c z z c z z c z z c

32

Mandelbrotverzameling

• de Mandelbrotverzameling is de verzameling van complexe getallen c, waarvoor de rij

met c een complex getal, niet divergeert

• door kleuren aan te brengen overeenkomstig de snelheid, waarmee de rij divergeert, ontstaat een kleurrijke figuur

2 2

0 1 2 10, , , ......, , ...n nz z c z c c z z c

33

Het vermoeden van Shimura-Taniyama• Yutaka Taniyama (Kisai, 1927 – Tokyo, 1958)

specialiseerde in getallentheorie aan de universiteit van Tokyo

pleegde zelfmoord op jonge leeftijd ; hierin gevolgd door zijn verloofde een maand later

• Goro Shimura (Hamamatsu, 1930 - )

in 1957 benoemd tot professor lineaire algebra aan de universiteit van Tokyo

samen met Taniyama ontmoette hij André Weil op het Symposium voor algebraïsche getallentheorie van Tokyo in 1955

het vermoeden van Shimura-Taniyama-Weil

voor elke elliptische kromme over het rationale veld is er een modulaire vorm met dezelfde Dirichlet L-reeks

bewijs van het vermoeden

• een bijzonder geval van het vermoeden werd in 1994 bewezen en in 1995 gepubliceerd door Wiles en Taylor

• het bewijs van het volledige vermoeden werd in 1999 aangekondigd door K. Ribet

• het volledige en definitieve bewijs werd in 2001 toegeschreven aan Breuil, Diamond, Taylor en Conrad

Shimura Taniyama

34

Elliptische kromme y = x³ + ax + b

2 3

3 2

, ,

discriminant

16(4 27 )

y x ax b

a b c

a b

Δ<0 1 component

Δ>0 2 componenten

Δ=0 breekpunten

symmetrisch t.o.v. de x-as

35

De laatste stelling van Fermat

xn+ y

n = z

n en n > 2 heeft geen oplossingen x, y, z ϵ No

waarvoor ik waarlijk een spectaculair bewijs heb gevonden. Deze marge is te smal om het te bevatten.

• door Fermat in 1637 genoteerd in de marge van de uitgave van Arithmetica van Diophantus (franse vertaling van Bachet)

• Fermat bewees dat de oppervlakte van een rationale rechthoekige driehoek geen kwadraat kon zijn

er bestaan geen 3 natuurlijke getallen x, y, z waarvoor x² + y² = z² en x.y/2 een kwadraat is

hieruit kan kan worden afgeleid dat de stelling geldt voor n = 4

zodat enkel nog moet worden bewezen dat de stelling geldt voor oneven priemgetallen

• Euler gaf in 1770 de aanzet voor het bewijs voor n = 3

• Legendre en Dirichlet bewezen in 1825, onafhankelijk van elkaar, de stelling voor n = 5

• Sophie Germain bewees dat er voor oneven priemgetallen p twee mogelijkheden zijn :

p is geen deler van x, y, en z Sophie Germain gaf het bewijs voor alle p < 100, Legendre voor alle p < 197

p deelt minstens één van x, y en z

tegen het midden van de 20e eeuw was men overtuigd dat op deze wijze geen bewijs zou kunnen worden gevonden

Fermat Euler Legendre Lejeune Dirichlet Sophie Germain

36

Andrew WilesCambridge, 1953 -

• zijn vader was Regius Professor Godgeleerdheid aan de Universiteit van Oxford

• hij las voor het eerst over het probleem van Fermat in een boek van de plaatselijke bibliotheek

• hij was toen 10 jaar en bleef geobsedeerd door het probleem

• studeerde aan Merton College, Oxford en doctoreerde aan Clare, College, Cambridge

• zijn promotor John Coates leidde hem tot de studie van elliptische functies

• doceerde aan Harvard en was een jaar professor aan het IAS, Princeton (1985-86)

• van 1988 tot 1990 wa hij Royal Society Research Professor in Oxford

• hij keerde terug naar Princeton waar hij doceerde tot 2011

• daarna werd hij opnieuw Royal Society Research Professor in Oxford

het bewijs van de laatste stelling van Fermat

• Andrew Wiles ging uit van

elliptische functies

Shimura-Taniyama-Weil vermoeden (1955)

verband tussen elliptische functies en Shimura-Taniyama-Weil vermoeden (1986)

• in juni 1993 gaf Wiles 3 lezingen tijdens een wiskundig congres in Cambridge

• en op 23 juni 1993 (10.30 h) verklaarde hjj het bewijs geleverd

• op 4 december 1993 gaf hij toe dat zijn bewijs toch nog onvolledig was

• in 1994 werkte Wiles vruchteloos samen met Taylor om het bewjis te vervolledigen

• tijdens de maand september probeerde hij een andere methode

• in deze methode gebruikte hij theorie van elliptische krommen

• op 6 october 1994 stuurde Wiles zijn nieuw bewijs naar drie collega’s

• veropenbaarde zijn bewijs in april 1995 op het British Mathematical Colloquium

• sindsdien kwamen geen tegenargumenten meer en wordt het bewijs als correct aanvaard

37

De laatste stelling van Fermat

xn+ y

n = z

n en n > 2 heeft geen oplossingen x, y, z ϵ No

waarvoor ik waarlijk een spectaculair bewijs heb gevonden. Deze marge is te smal om het te bevatten.

38

Alexander GrothendieckBerlijn, 1928 – Saint-Girons, 2014

• zijn ouders waren ongehuwde joden, aanhangers van het sociaal anarchisme

• in 1933 weken ze uit naar Frankrijk en participeerden aan de Spaanse burgeroorlog

• hijzelf droeg de naam van zijn moeder en verbleef in Hamburg bij een Lutherse pastor

• in 1939 werd hij in Nimes terug verenigd met zijn ouders

• studeert wiskunde aan de universiteit van Montpellier en aan de Ecole Normale Supérieure

• van 1948 tot 1951 studeert hij in Nancy o.a. bij Dieudonné en Schwartz

• behaalt in 1963 zijn doctoraat met Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires

• weigering van militaire dienstplicht doet hem uitwijken naar Brazilië en naar de USA

• van 1960 tot 1967 doceerr hij aan het Institut des Hautes Etudes Scientifiques (IHES) in Parijs

• na een reis naar Vietnam in 1967 propageert hij zijn antimilitaristische en ecologische ideeën

• van 1973 tot 1988 is hij professor Wiskunde aan de Universiteit van Montpellier

• hij trekt zich terug in Lasserre (Ariège), Pyreneeën, en leeft er als kluizenaar tot aan zijn dood

Wiskundig werk

• vanaf 1960 ontwikkelt hij samen met Dieudonné, de moderne vorm van de algebraïsche meetkunde :

Elements de Géométrie algébrique

• medewerker aan Bourbaki vanaf 1950

• laureaat van de Fields medaille in 1966, die hij weigert te ontvangen in Moskou

• hij was doctoraal adviseur van Pierre Deligne (Etterbeek, 1944 - …)

• laureaat, samen met Deligne, van de Crafoord-prijs, die hij weigert

39

Meest bekende Belgische wiskundigen van de laatste vijftig jaar

Jacques Tits (Ukkel, 1930 - …)

• Doctor in de Wiskunde van de ULB, met Généralisation des groupes projectifs basés sur la notion de transitivite

• Professor aan der ULB, aan de universiteit van Bonn en sinds 1974 aan het Collège de France, Parijs

• laureaat van de Wolf prijs in 1993

Pierre Deligne (Etterbeek, 1944 - …)

• Doctor in de Wiskunde van de ULB, met doctoraal adviseur Grothendieck

• van 1970 tot 1984 lid van het IHES, Parijs, en van 1984 professor aan het AIS, Princeton

• laureaat van de Fields medaille in 1974, de Wolf prijs in 2008 en de Abel prijs in 2013

Ingrid Daubechies (Houthalen-Helchteren, 1954 - …)

• na studies aan het Lyceum van Turnhou, behaalde ze aan de VUB het doctoraat in de Theoretische Fysica

• ze is een van de zeldzame wetenschappers, die vanuit de fysica evolueerden tot wiskundige

• in 1994 was ze de eerste vrouwelijke professor aan het AIS, Princeton en vervoegde Duke University, Durham in 2011

• ze ontwierp de theorie van waveletdecompositie, van groot belang in de beeldcompressie en basis van de JPEG-standaard

Jacques Tits Pierre Deligne Ingrid Daubechies

40

Clay Mathematics Institute

Het Clay Mathematcs Institute

• is een privé, non-profit stichting

• gevestigd in Peterborough, New Hampshire

• met als doel ‘wiskundige kennis te doen toenemen en te verspreiden’

• opgericht in 1998

• gesponsord door Landon B.Clay, zakenman in Boston, Pennsylvania

• de eerste president is Arthur Jaffe, wiskundige van Harvard

• de huidige president is Nicholas Woodhouse, emeritus universiteit van Oxford

Milleniumprijs

• om het nieuwe millenium in te luiden werden 7 onopgeloste wiskundige problemen uitgekozen

• door de Wetenschappelijk Adviserende Raad van het Clay Mathematics Institute

• bekend gemaakt tijdens een meeting op 24 mei 2000 in het Collège de France in Parijs

• de oplossingen van elk van de problemen wordt gehonoreerd met een prijs van 1 000 000 USD

De 7 problemen

• de Riemann hypothese

• het vermoeden van Poincaré

• het P-versus-NP probleem

• de Navier-Stokes-vergelijkingen

• de Yang-Mills-theorie en het massaverschil

• het vermoeden van Hodge

• het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer

41

Milleniumprijs - 2000

De Riemann hypothese (1859), tevens het achtste probleem van Hilbert uit 1900

• de priemgetalstelling beschrijft de gemiddelde verdeling van de priemgetallen

• de Riemann-zeta-functie geeft aanduidingen in verband met de afwijkingen ten opzichte van dit gemiddelde

• de Riemann hypothese vermoedt dat alle niet-triviale nulpunten van de zeta-functie cmplexe getallen zijn met reëel deel 1/2

Het vermoeden van Poincaré (1904)

• elke enkelvoudig samenhangende, gesloten 3-variëteit is homeomorf met de 3-sfeer

• d.w.z. er bestaat een eenvoudige manier om na te gaan of een n-dimensionaaloppervlak een boloppervlak is

• de analoge vermoedens voor alle hogere dimensies zijn reeds opgelost : voor n>4 in 1960 en voor n=4 in 1983

Het P-versus-NP probleem (1971)

• indien een oplossing voor een probleem eenvoudig te verifiëren is, is het probleem dan ook eenvoudig op te lossen ?

• voorbeeld : een groot getal ontbinden in priemfactoren

• vermeld in 1956 in een brief van Gödel aan von Neumann, precies geformuleerd door Cook in 1971

Navier-Stokes-vergelijkingen

• over het vinden van oplossingen voor de differentaalvergelijkingen, die de stromingen van vloeistoffen of lucht beschrijven

• deze differentiaalvergelijkingen werden voor het eerst vermeld in de 19e eeuw

Yang-Mills-theorie en het massaverschil

• over het vinden van een degelijke wiskundige opbouw van de Yang-Mills-theorie in de kwantumfysica

• deze theorie wil de elementaire deeltjes beschrijven zo dat alle fenomenen uit de fysica er kunnen door verklaard worden

• o.a. het bestaan van het Higgs-boson (Higgs & Englert) wordt er door verklaard

Het vermoeden van Hodge

• een probleem in de algebraïsche meetkunde in verband met complexe algebraïsche variëteiten

• het formele statement van het probleem werd opgesteld door P. Deligne

Het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer

• legt een verband tussen eigenschappen van een elliptische kromme met de orde van het nulpunt van een gerelateerde junctie

42

Grigori PerelmanSint Petersburg, 1966 -

• zijn ouders waren Joden, beiden waren leraren Wiskunde in Sint Petersburg

• zijn vader emigreerde later naar Israël en zijn opvoeding werd verder verzorgd door zijn moeder

• n 1976 werd hij lid van een club voor wiskundig begaafde kinderen

• won de gouden medaille (met perfecte score) op de Wiskunde Olympiade 1982 in Budapest

• studeerde vanaf 1982 aan de Staatsuniversiteit Leningrad en promoveerde er in 1987

• slechts na bijzondere voorspraak toegelaten op het Stekhlov Mathematisch Instituut

• daar presenteerde hij in 1990 zijn thesis over Zadeloppevlakken in de Euclidische Ruimte

• participeerde aan seminaries aan IHES, Parijs, New York University en IAS, Princeton

• in 1993 aanvaardde hij een twee jaar Fellowship aan de Universiteit van California, Berkeley

• weigerde alle aanbiedingen voor leerstoelen aan Amerikaanse en Israëlische universteiten

• eind 2005 nam hij ontslag als Senior Researcher aan het Stekhlov Mathematisch Instituut

• hij motiveerde zijn beslissing door zijn ‘ontgoocheling in de wiskunde’

• leeft sindsdien, samen met zijn moeder, teruggetrokken op het 5e verdiep van een klein appartemen tin Sint Petersburg

Het vermoeden van Poincaré

• in 1982 ontwikkelde de Amerikaanse wiskundige R. Hamilton de studie van een vergelijking, door hem de Ricci-flow genoemdi

• in 1995 ontdekte Perelman in verdere publicaties van Hamilton een mogelijkheid om het vermoeden van Poincaré op te lossen

• hij suggereerde Hamilton om samen te werken : op dit voorstel werd echter nooit gereageerd

• op 11 november 2002 plaatst hij The Entropy Formula for he Ricci Flow and its Geometry op het Web

• wiskundige experten realiseerden vrij vlug dat hierdoor het vermoeden van Poincaré werd opgelost

• in maart 2010 bevestigt Clay Mathematics Institute dat Perelman aan de voorwaarden voor de miljoen-dollarpriis heeft voldaan

Zonderlinge persoonlijkheid

• weigerde in 1996 een prijs van de European Mathematical Society

• in augustus 2006 ontving hij de Fields medaille, maar weigerde de prijs

• in 2010 weigerde hij ook de prijs van één miljoen dollar van het Clay Mathematics Institute

onder voorwendsel dat de verdienste van Hamilton minstens even groot was

Mikhael Gromow (Frans-Russisch wiskundige, IHES)

‘Perelman has moral principles to which he holds. And that surprises people.They often say he acts strangely, because

he acts honestly, in a nonconformist way,which is unpopular n this community. Even though it should be the norm.’

43

Volgen priemgetallen toch een patroon ?

K. Soundararajan R. Lemke Oliver

• Kannaan Soundararajan (Chennzi, 1973 - ) en Robert Lemke Oliver : universiteit van Stanford

• priemgetallen eindigen noodzakelijk op 1, 3, 7 of 9

• indien ze willekeurig voorkomen, zou elk van de 4 cijfers 25 % kans maken om het priemgetal af te sluiten

• computerprogramma onderzocht de eerste 400 miljard priemgetallen :

18 % eindigt op 1

30 % eindigt op 3

30 % eindigt op 7

22 % eindigt op 9

• heeft dit een bijzondere betekenis ;;;; ?

44

En nu …… ?

Informatiebronnen

Algemeen

• Wikipedia, the free encyclopedia – www.wikipedia.org

• A History of Mathematics, An Introduction – V.J. Katz – 2nd edition, 1998

• A History of Mathematics – U.C. Merzbach & C.B. Boyer – 3th edition, 2011

• The History of Mathematics, An Introduction – D.M. Burton – 7th edition, 2011

• An Episodic Histoty of Mathematics – S.G. Krantz - 2006

• History of Mathematics (2 volumes) – D.E. Smith – 1958

• Mathematics in Historical Context – J. Suzuki – MAA, 2009

• The Britannica Guide to the History of Mathematics – edited by E. Gregersen – Britannica Educational Publishing, 2011

• The Oxford Handbook of The History of Mathematics – E. Robson, J. Stedall – Oxford University Preess, 2008

• Mac Tutor History of Mathematics – created by J.J. O’Connor & E.F. Robertson – School of Mathematics and Statistics –University of St-Andrews

• Geschiedenis van de Wiskunde – D.J. Struik – 1965

• Episodes from the early history of mathematics – A. Aaboe – MAA, 1964

• The Story of Mathematics – L.Masltn - www.storyofmathematics.com – 2010

Specifiek

• A History of Chinese Mathematics – J.Cl. Marzloff – 1987

• A History of Greek Mathematics (2 volumes) – Sir. Th. Heath – Oxford Clarendon Press, 1921

• Applied Geometry of the Sulbasutras – J.F. Price

• Pascal’s Triangle – Tehnicclass – HighSchool Lajkovac

• Geometry Step by Step- A Gutierrez - http://agutie.homestead.com

• The Newton-Leibniz controversy over the invention of the calculus – S. Subramanya Sastry

• A Short History of Complex Numbers – O. Merino, University of Rhode Island – 2006

• Cavalieri’s Method of Indivisibles – K. Andersen, History of Science Department, University of Aarhus - 1984,

• Leonhard Euler : His Life, the Man and His Works – W. Gautschi – AMS 01A50 – 2008

• De tijd van Hilbert – B. Seghers – Universiteit Gent 2010

• Splash Talk : The Foundational Crisis of Mathematics – E. Warner - Stanford University - 2013

• The Mathematical Century – The 30 greatest Problems of the Last 100 Years – P. Odifreddi – Princeton University Press - 2004

45