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Documentación Académica revisada 1
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA PRIVADA
DE SANTA CRUZ
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES.
GUÍA
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
ENERO - 2015
Documentación Académica revisada 2
GUIA DE ESTUDIO - MAAP
I. IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA
Sigla : MIN-320
Nombre de la Asignatura : Estadística Inferencial.
Horas Académicas : 80 Horas
Prerrequisitos : Estadística Descriptiva
Carreras : Ingeniería Comercial, Ingeniería en Marketing y Publicidad,
Administración General, Administración de Turismo, Auditoría,
Auditoría Financiera, Administración Financiera.
II. OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA
El estudiante calcula, interpreta y toma decisiones utilizando probabilidades en
problemas pertinentes a su carrera.
El estudiante generaliza las características de la muestra la población utilizando la
teoría de los intervalos de confianza.
El estudiante determina el tamaño de la muestra siguiendo los procedimientos de
muestro probabilísticos.
III. PLAN TEMÁTICO
Para lograr los objetivos de la materia, el contenido está estructurado en temas, que son
los siguientes:
TEMA CONTENIDO DE LA MATERIA Horas
Teóricas
Horas
Prácticas
# de
Clases
Introducción a la
Estadística
Inferencial
Definición de Estadística Inferencial
Importancia
Aplicaciones
Introducción a las
Probabilidades.
Concepto de Probabilidad.
Modelos de Probabilidad.
Reglas de Probabilidad.
Aplicaciones de Probabilidad.
Teoría del Teorema
de Bayes.
Concepto del Teorema de Bayes.
Aplicaciones del Teorema de Bayes.
Distribuciones de
Probabilidad.
Distribución Binomial de Probabilidades.
Distribución de Poisson.
Distribución Normal de Probabilidades.
Intervalos de
Confianza.
Concepto de Intervalo de Confianza.
Documentación Académica revisada 3
Intervalo de Confianza para calcular un
promedio poblacional.
Intervalo de Confianza para calcular un
promedio poblacional.
Intervalo de Confianza para calcular una
proporción poblacional.
Teoría del
Muestreo.
Tipos de Muestreo.
Muestreo Aleatorio Simple.
Muestreo Sistemático.
Muestreo Estratificado.
Muestreo por Conglomerados.
IV. ORIENTACIONES PARA LA ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO DE
APRENDIZAJE DURANTE EL DESARROLLO DE LA MATERIA
La Estadística es una herramienta indispensable para todo profesional de ciencias empresariales
que quiera tomar decisiones estratégicas en una organización, la teoría de probabilidades asume
es tipo de riesgo que tienen las mismas, el estudio de esta materia no es de carácter horizontal
dentro de la formación de un profesional, es vertical, las estadísticas el manejo de la información
son la médula espinal de toda empresa que pueda llamarse exitosa.
a) El proceso de aprendizaje durante toda la materia es “integral”.-
La misión de la UTEPSA es “lograr que cada estudiante desarrolle una experiencia académica
de calidad, excelencia, con valores, responsabilidad social, innovación, competitividad, y
habilidades emprendedoras”. Por esto no te sorprendas si además de ser evaluado en
contenidos propios de la materia, el docente evalúa también aspectos como puntualidad, pro
actividad, ortografía, etc. Nunca pierdas de vista que lo se te exige es por tu propio beneficio.
b) Asistencia y puntualidad.-
Asistir a clases y hacerlo de manera puntual, es una manera de demostrar que somos
responsables:
Tu asistencia es importante en TODAS las clases. Por si surgiera un caso de fuerza mayor,
en el reglamento de la Universidad se contemplan tres faltas por módulo (Art. 13 Inc. B y C
del Reglamento Estudiantil UPTESA). Si sobrepasas esta cantidad de faltas PERDERAS EL
DERECHO A TOMAR LA EVALUACIÓN FINAL de la materia. Se considera “asistencia” estar
al inicio, durante y al final de la clase.
Esfuérzate por estar en la clase a la hora de inicio. Se dará un margen de 10 minutos de
tolerancia. después de estos, podrás entrar tan pronto como el docente considere que tu
ingreso no será una distracción para la clase o después de la hora de descanso, de esta
manera no perjudicaremos el avance de la clase distrayendo a los compañeros.
Documentación Académica revisada 4
Si te retiras de la clase antes de que esta termine, tampoco registraras asistencia completa.
Ten especial cuidado con la asistencia y la puntualidad los días de evaluación. Normalmente
la fecha de pruebas, es comunicada con varios días de antelación, esto te permite
programarlos como ocasiones a las que tienes que darles una espacial atención.
Si confirmas la materia el 2do o 3er día de clases, ya tienes acumuladas automáticamente
las faltas de los días que no has asistido. Favor tómalo en cuenta.
c) Comportamiento en clases.-
Los estudiantes y los docentes, evitamos beber y comer en el aula. De ninguna
manera podemos fumar dentro de esta.
A fin de evitar interrupciones, los celulares se apagarán al entrar al aula o se pondrán en
modo silencioso para atender llamadas o mensajes SOLO en caso de emergencia.
Cualquier falta de respeto a los compañeros, al docente, al personal de apoyo o al personal
administrativo, será severamente sancionada de acuerdo al reglamento de la Universidad.
En todo caso confiamos en que todos respetaremos las normas de conducta adecuadas.
V. OBJETIVOS Y ACTIVIDADES DE CADA TEMA
UNIDAD 1:
A.Objetivos
Realizar un diagnostico del conocimiento previo de los conceptos básicos de
Estadística Inferencial.
B. Actividades de Aprendizaje
Prueba diagnóstica de Estadística Descriptiva (Teórica)
Prueba diagnóstica de Estadística Descriptiva (practica)
B.1 Para resolver en clases
Prueba diagnóstica de Estadística Descriptiva (Teórica)
Ejercicio 1.
Calcular el promedio, mediana, moda, Desviación Media, Desviación Estándar
y coeficiente de variación.
En una clase de Marketing se toman los pesos en kilogramos de 8 estudiantes:
78, 67, 81, 70, 69, 60, 85, 73
Documentación Académica revisada 5
B.2 PORTAFOLIO UNIDAD 1
Investigar:
a) Tres definiciones de Estadística Inferencial
b) Orígenes de la Estadística Inferencial
c) Aplicaciones de la estadística Inferencial
d) En un ejemplo real explique la aplicación de la Estadística Inferencial
e) ¿A que se denomina inferencia estadística?
f) ¿A que se denomina inducción estadística?
g) Muestre y explique a través de un ejemplo real la aplicación de la Estadística
Descriptiva
h) Definición de población en termino de estadística
i) Definición de muestra en termino de estadística
UNIDAD 2:
A. Objetivos.
El estudiante analiza información estadística utilizando la teoría de probabilidades.
B. Actividades de aprendizaje
Cuestionarios, casos, orientaciones para investigación, ejercicios propuestos y
resueltos, etc.
B.1 Para resolver en clases
Casos, Probabilidades
Documentación Académica revisada 6
Caso de Estudio # 1
Objetivo: Realizar un diagnóstico del cálculo de porcentajes en los
estudiantes que recién ingresan a la materia.
Nombre del Caso: WWW.FACEBOOK.COM.1
Desde sus inicios el facebook ha sido una herramienta de usos
incalculables, no solo ha unido a personas que no tenían vínculos desde
hace mucho tiempo sino que ha cambiado por completo el sistema de
comunicación mundial, todos tenemos una cuenta en facebook, las
empresas hacen su publicidad mediantes esta vía y cada vez el encontrar
algo ó alguien se hace más fácil en este mundo tan interconectado.
El mes pasado en la Universidad UTEPSA se aplicó una encuesta para
conocer a profundidad. ¿Cuántas personas utilizaban facebook y con qué
objetivo lo hacían?, los resultados fueron escalofriantes. De los 380
encuestados, 370 tenían una cuenta, 300 admitieron que lo usan todos los
días, y 230 admiten estar conectados más de 2 horas diarias, 103 alumnos
ingresan por el mero hecho de solo estar informado de la vida de otros y 68
comentan que lo utilizan con fines académicos. De todos los que ingresan
solo para socializar el 40% es de sexo masculino y de los que están más de 2
horas diarias el 74% son mujeres.
También se realizó una encuesta en la UDABOL. En dicha institución se
entrevistaron a 360 estudiantes y 302 de ellos admitió tener una cuenta en el
facebook, lo curioso es que el 90% de los que tienen cuenta admiten entrar
todos los días y de estos el 80% más de 2 horas.
Teniendo en cuenta esta información conteste las siguientes preguntas.
1. Del total de los encuestados. ¿Qué porcentaje utiliza facebook.com?
2. Del total de usuarios del facebook. ¿Qué porcentaje lo utiliza todos los
días?
3. Del total de usuarios diarios de UTEPSA. ¿Qué porcentaje permanece
conectado más de 2 horas?
4. Del total de usuarios del facebook de UTEPSA. ¿Qué porcentaje
ingresan con fines académicos?
5. ¿Qué cantidad de hombres representan el 40% de los usuarios que
ingresan al facebook solo para socializar en la UTEPSA?
1 Caso del Libro “Aprendiendo Estadística” del Lic. Evelio Hernández.
Documentación Académica revisada 7
6. ¿Qué cantidad de mujeres representa el 74% de las personas que se
conectan más de 2 horas por día en UTEPSA?
7. ¿Qué Universidad tiene más porcentaje de estudiantes que utilizan el
facebook?
8. ¿Qué Universidad tiene más porcentaje de estudiantes que ingresan
al facebook todos los días?
9. De todos los encuestados en ambas universidades. ¿Qué cantidad de
estudiantes representa el porcentaje de estudiantes que están
conectados más de 2 horas por día?
Caso de Estudio # 2
Objetivo: Comprobar la adquisición de habilidades en el cálculo de
probabilidades, porcentajes y cantidades.
Nombre del Caso: Pollos Chuy2
Pollos Chuy es una de las empresas más exitosas del mercado cruceño de
venta de pollos. Sus ventas exceden la tonelada diaria. En la empresa existe
un total de 1400 empleados y a 350 de ellos se les tomó una encuesta con
la intención de conocer el grado de satisfacción que tienen los empleados
con la empresa. De todos los encuestados 108 son hombres. Del total de
mujeres encuestadas 79 están disconformes con el trato que reciben de sus
superiores, mientras que solo están disconformes 60 de los hombres. Dentro
del grupo de disconformes de la empresa el 20% vive fuera del 4to anillo de
circunvalación. De todos los encuestados 240 trabajan en el turno de la
tarde y el restante en el turno de la noche, de todos los trabajadores
nocturnos el 40% son hombres. Otro dato que se obtuvo de la empresa es
que el 38% de los encuestados están disconformes con su pago y solo el 24%
está feliz con la empresa.
2 Caso del Libro “Aprendiendo Estadística” del Lic. Evelio Hernández.
Documentación Académica revisada 8
Preguntas.
1. ¿Qué porcentaje del total de la población representa la muestra
seleccionada?
2. ¿Cuál es la probabilidad que tome una encuesta y haya sido
contestada por una dama?
3. Si ya sé que la encuesta que tengo es de una dama. ¿Cuál es la
probabilidad que está disconforme con el trato de los superiores?
4. Obtengo otra encuesta y resulto ser una persona disconforme con el
trato. ¿Cuál es la probabilidad que esta persona viva dentro del
cuarto anillo?
5. ¿Cuántas personas representan el 40% de los trabajadores nocturnos
que son hombres?
6. ¿Qué cantidad de los encuestados estuvo disconforme con su pago?
Ejercicio 1. PROBABILIDADES
Si se saca una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuáles de las siguientes
parejas de eventos son mutuamente excluyentes o no?
A=Que sea una carta roja
B=Que sea una carta de corazón
C=Que sea un numero par
D=Que sea un 3 de espadas
AyB…………….. ByC……………….
AyC……………. ByD………………..
AyD…………….. CyD……………….
Ejercicio 2.
Si se lanzan dos dados a la vez y se quiere analizar la suma de los dos
resultados. Determinar si los siguientes eventos son ME o NME.
A=La suma de los dos resultados sea un numero par
B=La suma es un numero cinco
C=Un cinco en uno de los dados
D=La suma sea mayor a 7
Documentación Académica revisada 9
AyB…………………………. ByC…………….
AyC………………………… ByD…………….
AyD…………………………. CyD……………..
Ejercicio 3.p
Si se lanza una moneda tres veces y se quiere analizar el numero de caras
que se pueden obtener. Determinar si los siguientes eventos son ME o NME.
A=Que salgan 3 caras
B=Que no salga ninguna cara
C=Que salgan tres sellos
D=Que salgan dos o más caras
AyB………….. ByC………….
AyC…………. ByD…………..
AyD…………. CyD………….
Ejercicio 4.
La Universidad Tecnológica Privada de Santa Cruz (UTEPSA) cuenta con una
población de 10.000 estudiantes, cada uno con sueños y metas diferentes
pero con una misma misión, aprender a formar un negocio propio. Usted
como analista de información de la Universidad necesita conocer las
proporciones por sexo de las Facultades y el departamento de Sistemas le
muestra el siguiente cuadro. Teniendo en cuenta la información que en este
se encuentra y que usted se encontró un estudiante en la calle. Responda
las siguientes preguntas.
Facultades. Hombres Mujeres Total
Facultad. Ciencias
Empresariales. 1500 2500 4000
Facultad. Ciencias
Tecnológicas. 2500 1000 3500
Facultad. Ciencias Jurídicas. 500 1000 1500
Facultad. Relaciones
Internacionales. 500 500 1000
Total. 5000 5000 10000
Preguntas:
Documentación Académica revisada 10
A. ¿Cuál es la probabilidad que este estudiante sea mujer?
B. ¿Cuál es la probabilidad que este estudiante sea de la Facultad de
Ciencias Tecnológicas?
C. ¿Cuál es la probabilidad que sea hombre y de la Facultad de
Relaciones Internacionales?
D. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer y estudie en la Facultad de
Tecnología?
E. Bajo el supuesto que el estudiante fue hombre. ¿Cuál es la
probabilidad que estudie en la facultad de Ciencias Empresariales?
F. Bajo el supuesto que el estudiante pertenece a la Facultad de
Tecnología. ¿Cuál es la probabilidad que sea Mujer?
G. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer ó de la Facultad de
Relaciones Internacionales?
H. ¿Cuál es la probabilidad que sea Hombre ó de la Facultad de
Tecnología?
I. ¿Cuál es la probabilidad que sea de la Facultad de Ciencias
Empresariales ó Tecnológicas?
J. ¿Cuál es la probabilidad que sea de cualquier Facultad menos la de
Ciencias Jurídicas?
Ejercicio 5.
Usted es el gerente comercial de la empresa distribuidora de Bebidas
“Bodegas Hernández”, uno de los tantos productos con que cuenta la
empresa es la Soda Conti que se importa de Brasil. Para penetrar el mercado
usted debe hacer degustación en diversos puntos de la Ciudad y recoger
opiniones. Los siguientes datos muestran las opiniones del sabor de los
encuestados.
Opinión Regular Buena Excelente total
Zona
Norte 20 30 10 60
Zona Sur 15 45 30 90
Zona
Este 20 25 50 95
Zona
Oeste 10 15 30 55
65 115 120 300
Documentación Académica revisada 11
a) Si usted debe comenzar por la zona que más aceptación tuvo el
producto. ¿Por qué zona comenzaría la distribución?
b) ¿Qué porcentaje de los encuestados son de la zona Sur y la soda le
parece Buena?
c) ¿Qué porcentaje de los encuestados son de la zona Este ó la soda le
pareció Excelente?
d) ¿Qué porcentaje de los encuestados el producto le pareció por le
menos buena?
e) ¿Cuál es la probabilidad que un encuestado sea de la zona oeste
dado que tiene una opinión Regular?
Ejercicio 6.
La materia de Investigación de Mercados la dictan 4 profesores, Ana, Evelio,
Carlos y Juan, de los 15 grupos que se van a abrir Ana tiene asignado 2,
Evelio 3, Carlos 4 y Juan 6 , los comentarios la han llegado que con Ana el
80% aprueba, con Evelio un 75%, con Carlos un 60% y con Juan un 90%.
Responda las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante haya cursado con Evelio
sabiendo que reprobó?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante halla pasado con Juan
si se sabe que reprobó?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante halla pasado con Juan
si se sabe que aprobó?
Ejercicio 7.
Usted es propietario de la imprenta “Sirena”, por carnavales la producción
de volantes ha aumentado muchísimo, las dos máquinas que tiene son muy
buenas pero cada 1000 impresiones la primera saca 40 con fallas y la
segunda de cada 2000 impresiones la pasa lo mismo. Un cliente vino ayer a
quejarse que sus volantes estaban mal hechos, ¿Cuál es la probabilidad que
lo haya impreso la segunda máquina?
Ejercicio 8.
La empresa de telecomunicaciones TIGO tiene en sus listas de empleados
150 economistas, 150 ingenieros y 300 técnicos, 40 de los economistas son
directivos, 45 ingenieros y 20 técnicos. Se toma un empleado al azar. ¿Cuál
es la probabilidad de que sea técnico si se sabe que no es directivo?
Documentación Académica revisada 12
Ejercicio 9.
La farmacia Telchi, la Santa María y la Gutiérrez respectivamente han
creado una vacuna contra el resfrío. La primera tiene un 25% de efectividad,
la segunda un 35% y la tercera un 40%, usted estaba resfriado y ayer estaba
en el centro de la ciudad, suponiendo que tuvo la misma probabilidad de ir
a cada farmacia y sabiendo que se curó.
a) ¿Cuál es la probabilidad que haya comprado en la farmacia Telchi?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya ido a la farmacia Gutiérrez?
B2. PORTAFOLIO UNIDAD 2
Caso de Estudio # 3
Objetivo: Comprobar la adquisición de habilidades en el cálculo de
probabilidades, mediante el Teorema de Bayes.
Nombre del Caso: Che Gaucho.3
En Che Guacho hay 4 Chefs, el primero es Facundo, es un experto haciendo
Churrasco, tanto que de cada 20 que prepara solo le devuelven 1 para
cocerlo mejor ó alguna queja, Facundo también hace Pollo Deshuesado, es
un genio en esto, de cada 25 pollos recién le devuelven 1, el último plato
que cocina es Surubí al Ajillo, este plato recién lo está aprendiendo y de
cada 10 le devuelven 1. Facundo prepara 10 churrascos por día, 8 pollos y
3 surubíes. El segundo Chef es Bernardino, el es un experto en la cocina, de
cada 40 churrascos que hace le viran 2, de cada 100 Surubíes le viran 1, el
tema es que Bernardino es alérgico al pollo y no cocina pollo, no obstante
es un experto en pastas y de cada 50 platos que saca le devuelven solo 1.
Al día Bernardino cocina 10 churrascos, 30 Surubíes y 20 platos de pastas. El
tercer Chef es Aurelio, desde que llegó de Perú se ha hecho famoso por su
3 Caso del Libro “Aprendiendo Estadística” del Lic. Evelio Hernández.
Documentación Académica revisada 13
excelente calidad en el arte culinario. Este chef cocina las mejores pastas
del restaurant, de cada 100 platos recién le viran 1, en cuanto a los surubíes
de cada 50 le viran uno y en los pollos (como buen peruano) es un genio,
no le viran ninguno. Al día cocina 20 Surubíes, 30 pastas y 25 pollos. El último
Chef es el Maestro Juan, genio entre los genios, de cada 80 churrascos que
cocina le viran 2, de cada 40 pastas 1, de cada 50 pollos 1 y de cada 40
Surubíes 2. Juan cocina un promedio de 20 churrascos, 20 surubíes, 40 pollos
y 30 pastas por día. El mes de marzo fue un éxito en Ché Guacho, se vendió
muchísimo. Facundo vino 25 días, Juan los 30, Bernardino 22 y Aurelio 28.
Preguntas:
A. Un cliente vino a felicitar al Chef que le cocinó el Surubí que comió el
mes pasado pero no se acuerda que día vino. ¿Cuál es la
probabilidad que se lo haya cocinado Juan?
B. Otro cliente vino a felicitar por el excelente servicio que le dio el
restaurante y por el excelente plato de pasta que se comió. ¿Cuál es
la probabilidad que el plato lo haya cocinado Bernardino?
C. El mismísimo Rubén Costas vino al restaurante y se quedó contentísimo
con el churrasco que pidió. ¿Cuál es la probabilidad que lo haya
cocinado Facundo?
D. Pero Raquel (señora especial) se molestó mucho con el pollo que le
sirvieron el mes pasado por que estaba crudo. ¿Cuál es la
probabilidad que lo haya cocinado Aurelio?
Ejercicio 1.
Usted es el Gerente Comercial del Café 24, local de distracción del centro
de la Ciudad, el mismo es frecuentado por cruceños, pero está enfocado
en ser el lugar de pasada por excelencia de los extranjeros y visitantes de
otros departamentos. Usted está preocupado por la atención que reciben
los clientes y decide hacer una encuesta a las diversas personas que asisten
al boliche preguntándole. ¿Qué le ha parecido la atención? Los resultados
se muestran a continuación.
Cruceños Turistas
Nacionales
Turistas
Extranjeros.
Pésima 20 3 23
Documentación Académica revisada 14
Regular 12 13 0
Buena 8 24 14
Muy
buena 15 12 12
Excelente 15 13 16
A. ¿Qué porcentaje de los encuestados son Cruceños?
B. ¿Qué porcentaje del total de encuestados son Extranjeros y la
atención les pareció Buena?
C. ¿Qué porcentaje de los Cruceños la atención le pareció excelente?
D. ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas (Tanto nacionales
como extranjeros)
E. ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas Nacionales ó la
atención le pareció Muy Buena?
F. ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas Nacionales dado
que la atención les pareció Regular?
G. ¿A qué porcentaje de los encuestados el trato le pareció por lo menos
Bueno?
Ejercicio 2.
Usted es el nuevo gerente Comercial del taller mecánico “Páez”, al mismo
asisten muchos clientes con autos de tres clases. Nissan, Toyota y Ford. A
cada uno de los clientes que vino el mes pasado se le hizo una encuesta
preguntándole por la calidad del servicio del taller. Los resultados se
muestran a continuación en una tabla de contingencia.
Toyota Nissan Ford
Pésima 15 35 20
Regular 30 10 20
Buena 35 25 20
Excelente 20 10 60
A. ¿Qué porcentaje de los clientes vino con un auto Ford?
B. ¿Qué porcentaje de los clientes opina que la atención es Regular y
vino en Nissan.
C. ¿Qué porcentaje de los clientes vino en Nissan ó Toyota?
D. ¿Qué porcentaje de los clientes vino en Ford ó el servicio le pareció
excelente?
Documentación Académica revisada 15
E. ¿A qué porcentaje de los clientes que vinieron en Toyota la atención
les pareció excelente?
F. ¿A qué porcentaje de los clientes la atención le pareció por lo menos
Regular?
G. Teniendo el criterio de Excelente. ¿Cuál es la marca de auto que más
satisfecha salió del taller?
H. ¿Qué porcentaje de los clientes vinieron con Ford dado que la
atención les pareció pésima?
I. Si por cada reparación se ganó Bs. 100 y el costo fijo del taller es de
10.000 Bs. ¿Cuál fue la utilidad del taller?
Ejercicio 3.
La fábrica de vasos del oriente boliviano tiene 5 máquinas, la primera
produce 100 unidades por día y una décima parte son defectuosos, la
segunda produce el doble que la primera y 10 de ellos tienen algún tipo de
desperfecto, la tercera máquina produce 400 unidades por día y el 15% de
los mismos salen rotos, la cuarta produce la mitad que la tercera y ninguno
tiene desperfectos, la quinta produce apenas el 25% que la tercera y la
misma proporción de desperfectos que la segunda. Se toma un vaso al azar
y está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido
por la segunda máquina?
Ejercicio 4.
La probabilidad de que llueva en Santa Cruz de la Sierra mañana es de 45%,
si llueve existe un 52% de probabilidad que se alquile un toldo, mientras si no
llueva la probabilidad de alquiler baja a 30%. Usted es el dueño de la fábrica
de toldos y estaba de viaje, cuando llegó se enteró que se alquiló un toldo.
¿Cuál es la probabilidad que no haya llovido?
Ejercicio 5.
A una tienda del centro ingresaron el mes pasado 200 personas de las cuales
50 fueron mujeres, solo 10 de estas compraron algún producto y el 10% de
los hombres. Un cliente viene a reclamar por un producto en mal estado que
le vendieron el mes pasado. ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer?
Ejercicio 6.
Documentación Académica revisada 16
En una taller de fabricación de calzado manual hay 8 obreros, el primero
(Juan) produce 10 pares diarios y una cuarta parte tiene que deshilacharse
por su falta de calidad, el segundo (Pedro) produce un promedio de 15
pares y el 10% están siempre en mal estado, el tercero (Raúl) produce 25
pares pero como es un maestro zapatero solo un par le queda en mal
estado, el cuarto (Emilio) produce el doble que el primero y la misma
proporción de defectuosos que le segundo mientras que el quinto (Don
Miguel) es el dueño del taller y de los 22 que produce ninguno sale mal. El
primero trabajo 5 de los 7 días de la semana, el segundo solo vino 4 días, el
tercero vino la mitad de los días que el cuarto que casualmente vino la
misma cantidad de días que el segundo y obviamente el 5to vino los 7 días.
Si se toma uno de los pares de zapato que se produjeron toda la semana y
está en buen estado, ¿Cuál es la probabilidad que haya sido fabricado por
Don Raúl?
Ejercicio 7.
La fábrica de RELAX está en la Carretera a Cotoca, el producto lo fabrica 4
máquinas, la primera fabrica 100 botellitas por hora pero dos de los mismos
le salen en mal estado, la segundo fabrica 250 por hora y el 1% de los mismos
salen en mal estado, la tercera fabrica 200 por hora pero ninguno le sale en
mal estado, mientras que la cuarta produce 150 por hora y el 2% sale en mal
estado. La producción total de Relax se hizo toda la semana pasada. La
máquina uno trabajó de lunes a viernes 15 horas por día, la máquina dos
trabajó de lunes a sábado 14 horas por día, la máquina 3 trabajó de lunes a
jueves 20 horas diarias mientras que la 4 trabajó de lunes a domingo pero
solo 16 horas por día. Se llevó a la distribuidora la producción total de la
semana y parte de la misma se vendió, un cliente vino a felicitar a la
empresa por la calidad de su trabajo.
a) ¿Cuál es la probabilidad que el producto que probó el señor haya
sido producido por la tercera máquina?
b) Cuál es la probabilidad que haya sido producido por la tercera ó la
cuarta máquina?
c) Otra persona vino pero esta vez a quejarse de un producto que
estaba en mal estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido
producido por la máquina 3?
Ejercicio 8.
Documentación Académica revisada 17
Usted es el gerente del Taller “Páez”, bajo su mando tiene 3 mecánicos, el
primero (Juan) arregla 15 autos Toyota por mes, 10 Nissan y 10 Ford, todos
los Toyota le quedan excelente, 2 de los Nissan tienen algún desperfectos
después del arreglo y 1 de los Ford. El segundo mecánico (Pedro) arregla 40
al mes la mitad son Toyota, un cuarto Ford y el restante NISSAN, de los Toyota
el 5% sale en mal estado, el 2% de los Ford y el 1% de los Nissan. El tercero
(Alfredo), arregla a la quincena 10 Toyota, 15 Nissan; pero no le hace a los
Ford, el 8% de los Toyota que arregla sale en mal estado y el 3% de los Nissan.
El cuarto es Edith, este es el dueño del taller y por ende el que más trabaja,
Edith arregla 20 Toyota al mes, 25 Nissan y 18 Ford, el 2% de los Toyota salen
con defectos, el 3% de los Nissan y solo el 85% de los Ford salen en buen
estado. Juan trabajó 10 meses en el año, Pedro tan solo 7, Alfredo 11 y Edith
por ser el dueño los 12.
a) Un cliente vino a protestar por un arreglo que le hicieron hace unos
meses, sabiendo que su auto era Nissan. ¿Cuál es la Probabilidad que
haya sido arreglado por los dos primeros mecánicos?
b) Otro cliente vino a protestar por cómo le habían arreglado el auto
(Toyota). ¿Cuál es la probabilidad que lo haya reparado Arturo?
c) Un último cliente vino a felicitar a Edith porque su auto y el de la
esposa habían quedado geniales. ¿Cuál es la probabilidad que los
haya arreglado el mismo Edith sabiendo que el auto del señor es
Nissan y el de la esposa Ford?
Ejercicio 9. Usted es analista de Información de la empresa investigadora de
mercados (Mercader ADS), en estos momentos debe responder varias preguntas
que su cliente necesita con rapidez, el estudio que este le pidió fue acerca del uso
del facebook en la universidades, su equipo de investigadores le entregó varia de
la documentación que requiere el cliente y entre ella un cuadro donde aparecen
la cantidad de personas por sexo que utilizan el facebook en cada uno de las
universidades.
Sexo UAGRM UTEPSA UDABOL UPSA Domingo Total
Hombre Utiliza 44.000 3.800 2.500 1.700 2.300 54.300
No Utiliza 1.000 200 500 300 200 2200
Mujer Utiliza 27.000 4.800 4.000 2.800 2400 41.000
No Utiliza 2.000 200 0 200 100 2500
Total 74.000 9.000 7.000 5.000 5.000 100.000
Preguntas
Documentación Académica revisada 18
A. ¿Cuál es la probabilidad de encuestar un estudiante al azar y sea
mujer?
B. ¿Cuál es la probabilidad de encuestar un estudiante y sea de una
Universidad Privada?
C. ¿Cuál es la probabilidad de encuestar a un estudiante que utilice el
facebook y sea de la UAGRM?
D. Si se sabe que el encuestado es hombre. ¿Cuál es la probabilidad que
no utilice le facebook?
E. ¿Cuál es la probabilidad que sea Hombre ó Utilice el facebook?
UNIDAD 3:
A. Objetivos.
El estudiante analiza las distribuciones de probabilidad y utiliza sus propiedades
para el proceso de la toma eficiente de decisiones.
B. Actividades de aprendizaje
Cuestionarios, casos, orientaciones para investigación, ejercicios propuestos y
resueltos, etc.
B1. Para resolver en clases
Ejercicios de aplicación de la Probabilidad de Poisson.
Ejercicio 1.
A la tienda de don Pedro entran 15 personas por hora. ¿Cuál es la
probabilidad que en la próxima hora entren a la tienda 5 personas?
Ejercicio 2.
Un gerente comercial está interesado en la probabilidad de que
exactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora ( ó en cualquier
hora del dia) laboral. La observación simple de las últimas 80 horas ha
demostrado que 800 clientes han entrado a la tienda. Por tanto “u” es 10
por hora.
Ejercicio 3
Una compañía de pavimentación local obtuvo un contrato con la alcaldía
para hacer mantenimiento a las vías de un centro urbano. Las vías
recientemente pavimentadas por esta empresa demostraron un defecto de
Documentación Académica revisada 19
2 defectos por milla, después de haber pavimentado durante un año. Si la
alcaldía contrata a esta compañía. ¿Cuál es la probabilidad de que se
presenten 3 defectos en cualquier milla de vía después de haber tenido
tráfico durante un año?
Ejercicio 4.
Se sabe que por hora ingresan al Banco del Centro de la Ciudad un
promedio de 26 personas, ¿Cuál es la probabilidad que en la próxima media
hora de ingresen exactamente 15 personas?
Ejercicio 5.
La empresa distribuidora de leche PIL ha descubierto que vende 4000 litros
promedio por día, ¿Cuál es la probabilidad que mañana venda 3800 litros?
Ejercicio 6.
Un promedio de 6 personas por hora hacen uso de una caja bancaria
automatica durante el horario pico de compras en una tienda
departamental. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Exactamente 6 personas usen la caja duranta una hora
aleatoriamente seleccionada
b) Menos de 5 personas usen la caja en una hora aleatoriamente
seleccionada
c) Ninguna persona la use durante un intervalo de 10 minutos?
d) Ninguna persona la use durante un intervalo de 5 minutos?
e) Mas de 3 personas la usen en un intervalo de 15 minutos?
Ejercicio 7.
En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico
continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto.
Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3
minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una
imperfección en 15 minutos.
Ejercicios de Aplicación de la Distribución Normal de Probabilidades.
Ejercicio 1.
Usted es el Gerente Comercial en Santa Cruz de la Sierra de Laboratorios Inti,
la empresa cuenta con una tradición de excelencia en cuanto a la
distribución y comercialización de fármacos, sin duda alguna el producto
estrella es el MENTISAN, utilizado para casi todo lo que pueda sucederle a
una persona. Un estudio previo a su gestión mostró que el consumo
Documentación Académica revisada 20
promedio de los habitantes del departamento era de Bs. 120 anual con una
varianza de 121 Bs. Teniendo en cuenta estos datos, responda las siguientes
preguntas.
a) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran de 80
a 120 Bs?
b) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran Más
de 100 Bs?
c) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran
menos de 95 Bs?
d) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran entre
95 y 138 Bs?
e) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran entre
84 y 91 puntos?
Ejercicio 2.
Los siguientes datos muestran las edades de los pacientes del oncológico en
los últimos 4 meses. Los datos están distribuidos normalmente con un
promedio de 56.16 años y una desviación estándar de 16.6 años.
a) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga más de 60 años?
b) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga de 56.16 a 63 años?
c) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 50 y 61 años?
d) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 59 y 70 años?
e) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 44 y 48 años?
f) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 38 y 63 años?
g) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga menos de 50 años?
h) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga más de 52 años?
i) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga más de 45 años?
j) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga menos de 64 años?
k) ¿Cuál es la probabilidad que un paciente tenga entre 61 y 63 años?
B2. PORTAFOLIO UNIDAD 3
Ejercicio 1.
7.- Se sabe que en promedio el ganado de la finca “Armando” pesa en
promedio 850 Kg con una varianza de 62.500 Kg. En este momento hay
15.000 ganados en la finca y hay que trasladar a parte de ellos a la FEXPO,
en el primer grupo de camiones hay que poner a los animales que pesan
Documentación Académica revisada 21
menos de 450 Kg, en el segundo grupo de camiones a las que pesan entre
750 y 930 Kg, mientras que en el tercer grupo va lo mejor de la quinta que
son los animales que pesan más de 1.000 Kg.
A. Cuantos animales debe montar Don Armando en cada grupo de
camiones.
Ejercicio 2.
Cotas presta servicios de comunicación a los negocios del área
metropolitana de Santa Cruz. Los funcionarios de la compañía, han
aprendido que la transmisión satélite promedio es de 150 segundos, con una
desviación estándar de 55 segundos. Los tiempos parecen estar distribuidos
normalmente. Para estimar de manera apropiada la demanda del cliente
por sus servicios y establecer una estructura de tarifas que maximice las
utilidades corporativas. Cotas debe determinar que tan probable es que
algunas llamadas se presenten, El director de servicios desea que usted
proporcione estimados de la probabilidad de que una llamada dure:
a) Entre 125 y 150 segundos.
b) Menos de 125 segundos.
c) Entre 145 y 155 segundos.
d) Entre 160 y 165 segundos.
Ejercicio 3.
La granja Avícola Sofía tiene una producción promedio de 46000 pollos
por mes, teniendo en cuenta que la compañía tiene una distribución
estándar de 19.000 pollos por mes.
a) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan entre 44000 y 55000
pollos por mes?
b) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan más de 60.000 pollos por
mes?
c) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan entre 35000 y 45.000
pollos por mes?
d) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan menos de 40.000 pollos?
e) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan más de 70.000 pollos?
Ejercicio 4. Poisson
Documentación Académica revisada 22
Supongamos que un manuscrito de un libro de texto tiene un total de 50
errores en las 500 paginas del materialy que estos se distribuyen
aleatoriamente a lo largodel texto. ¿Cuál es la probabilidad de:
a) Un capitulo de 30 paginas tenga 2 o mas errores?
b) Un capitulo de 50 paginas tenga 3 o mas errores?
c) Una pagina aleatoriamente seleccionada no tenga ningun error?
Ejercicio 5. Poisson
Tras un ensamble una planta manufacturera se encuentra que solo una
computadora por millar es defectuosa y que las PC defectuosas se
distribuyen aleatoriamente en la corrida de produccion.
a)?Cual es la probabilidad de que un embarque de 500 pc NO INCLUYA
ninguna computadora defectuosa?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un embarque de 100 pc incluya al menos
una computadora defectuosa?
UNIDAD 4:
A. Objetivos.
El estudiante infiere características de una muestra (estadígrafos) a la población
(parámetros poblacionales)
B. Actividades de aprendizaje
Cuestionarios, casos, orientaciones para investigación, ejercicios propuestos y
resueltos, etc.
B1. Para resolver en clases
Práctico de Intervalos de Confianza.
Intervalos de Confianza para hallar (u) cuando σ es conocida.
Ejercicio 1.
Cien latas de de 16 onzas de la salsa de tomates Jakes Mom tienen un
promedio de 15.2 onzas. La desviación estándar poblacional en peso es de
Documentación Académica revisada 23
0.96 onzas. ¿A un nivel de confianza del 95% las latas están llenas con un
promedio de 16 onzas?
Ejercicio 2.
Una muestra de 500 personas muestran un promedio de consumo de 80 Bs
en refrescos (Soda) mensual. Teniendo en cuenta que se conoce por datos
anteriores que la desviación estándar poblacional es de 135 bolivianos.
Determine el intervalo de confianza para el 95% y el 90% que muestre donde
estaría la media poblacional.
Ejercicio 3.
Un investigador que se dedica a la creación de un nuevo producto
alimenticio tiene preocupación acerca de la continuidad de sus
actividades debido a que las reglas para financiamiento de su investigación
predican que si tiene una tasa de 78 errores en promedio por mes dejarían
de enviarle fondos. Una muestra de 235 de sus productos muestra un error
promedio de 70. Se sabe que la desviación Varianza poblacional es de 196
errores. Según un intervalo de confianza que consejo profesional usted le
puede dar al investigador.
Intervalos de Confianza para hallar (u) cuando σ es desconocida.
(Cuando σ es desconocida se utiliza la desviación estándar de la muestra
que se debe tomar de una prueba piloto ó dividiendo el Rango entre seis)
Ejercicio 4.
Un teatro del cine local desea desarrollar un intervalo para estimar las cajas
promedio de pipocas que se venden por sala de cine. Si los registros llevados
por 70 salas revelan un promedio de 54.98 cajas y una desviación estándar
de 12.7. Calcule e interprete el intervalo de confianza para del 92% de la
media poblacional.
Intervalos de Confianza para hallar “u” (Con muestras pequeñas)
En este caso estudiamos la “t” de student.
Ejercicio 6.
Otro de los mercados del consumo de Coca Cola que a usted como
gerente le interesa penetrar es el infantil, para estudiar el mismo hizo un
grupo focal con 23 chicos que consumían el producto y una de sus
preguntas fue cuántas botellitas de AQUARIUS se toman al mes y el
promedio fue 20 con una varianza de 16. Infiera a toda la población infantil
con un 95% de confianza
Documentación Académica revisada 24
Ejercicio 7
Usted es analista de mercado de la empresa TIGO, un grupo focal de 12
personas de Concepción mostró un gasto promedio de Bs. 150 con una
varianza de 350 Bs. Infiera a toda la población de Concepción con un 90%
de confianza.
Intervalos de Confianza para la proporción poblacional.
(¶) Es la proporción Poblacional.
Cuando se va a estimar proporciones poblacionales siempre se trabaja con
(Z).
Ejercicio 8.
Cierto candidato a las próximas elecciones municipales quiere elaborar un
plan de gobierno que beneficie a los integrantes de la tercera edad. Es
obvio que le interesa obtener mucha aprobación de esta parte de la
población. Sus asesores de campaña le aconsejan que si más de menos del
30% de los votantes de esta edad no simpatizan de él no vale la pena
enfocarse en este segmento de la población. Se realizó una encuesta de
opinión a 300 personas que mostró que el 28.75% de los votantes entre 65 y
75 años simpatizan con el candidato. Con un 95% de confianza que le
pudiera decir usted a este equipo de campaña.
B2. PORTAFOLIO UNIDAD 4
Ejercicio 1 El Banco Ganadero otorgará un crédito de 105.000 dólares a la
universidad que presente estudiantes con una nota promedio superior a 83.5
puntos paras mejorar la infraestructura. Por cuestiones ajenas a nuestra
voluntad el señor que traía los datos fue atracado y solo se pudieron tener
algunas calificaciones de cada universidad que se presentan a
continuación.
UPSA UTEPSA UDABOL Franz
Tamayo
Domingo
Sabio
Promedio
(muestral)
82.5 87 85 78 82
Desviación
Estándar (S)
12.36 15.12 16.35 20.23 26.25
Documentación Académica revisada 25
Tamaño de
la Muestra
105 100 125 85 67
Estime con un 95% de confianza ¿Cuales son las universidades que recibirán
el crédito de Banco Ganadero?
Ejercicios del Libro de Allen Webster.
UNIDAD 5:
A. Objetivos.
El estudiante aplica los elementos del Muestreo a casos de la Vida Laboral..
B. Actividades de aprendizaje
Cuestionarios, casos, orientaciones para investigación, ejercicios propuestos y
resueltos, etc.
B1. Ejercicios para resolver en clases
Ejercicio 1.
El Departamento de Investigación de Mercado de la Universidad requiere
conocer el gasto promedio por mes en bebidas alcohólicas de los
estudiantes. Una muestra piloto mostró una desviación estándar de 10 Bs. El
último registro de inscripciones muestra una población de 8.000 alumnos.
Documentación Académica revisada 26
¿Con un error de 2 Bs, cuál sería el tamaño de la muestra necesario para
realizar el muestreo aleatorio simple en esta investigación?
Ejercicio 2
El Banco Santa Cruz tiene 1.000.000 de cuentas abiertas, usted ha sido
contratado como auditor para determinar qué proporción de las cuentas
tienen mora, para esta tarea solo tiene un día por lo que tiene que tomar
una muestra que necesariamente implicaría un muestreo sistemático. Los
datos anteriormente tomados muestran que el 25% de las cuentas están en
mora. Determine el tamaño de la muestra con un error del 5%.
Ejercicio 3.
La empresa de telecomunicaciones VIVA va a tomar la decisión de lanzar
una campaña agresiva de marketing que requiere que el consumo de todos
sus consumidores sea superior a los 60 Bs. El estudio tiene como objetivo tres
nichos grandes de mercado. El Plan 3000, El Barrio Urbari y el centro de la
Ciudad. Los siguientes datos muestran la cantidad de clientes por Barrio, sus
gastos en consumo de llamadas y sus desviaciones estándares.
Barrio Cantidad Gasto Desviación
Estándar
Plan
3.000
1500 60 15
Urbarí 800 75 15
Centro 1000 65 13
a) Utilizando el muestreo estratificado determine el tamaño de la
muestra general que debe tener la investigación para estimar el
parámetro y cuantas personas se deben encuestar en cada barrio.
B2 PORTAFOLIO UNIDAD 5
Ejercicio 1
Un colegio tiene 120 estudiantes de Bachillerato. Se quiere extraer una
muestra de 30 alumnos. Explica cómo se obtiene una muestra mediante
a) Muestreo aleatorio simple
Documentación Académica revisada 27
b) Muestreo sistemático
Ejercicio 2
Una ganadería tiene 3 000 vacas. Se quiere extraer una muestra de 120.
Explica
cómo se obtiene la muestra:
a) Mediante muestreo aleatorio simple.
b) Mediante muestreo aleatorio sistemático
Ejercicio 3
Supongamos que realizamos un estudio sobre la población de estudiantes
de una Universidad, en el que a través de una muestra de 10 de ellos
queremos obtener información sobre el uso de barras de labios.
En primera aproximación lo que procede es hacer un muestreo aleatorio
simple, pero en su lugar podemos reflexionar sobre el hecho de que el
comportamiento de la población con respecto a este carácter no es
homogéneo, y atendiendo a él, podemos dividir a la población en dos
estratos:
- Estudiantes masculinos (60% del total);
- Estudiantes femeninos (40% restante).
Ejercicio 4
En un Ingenio, desea hacer una estimación del promedio de grados Brix
con que llega la caña a la fabrica.
Para el efecto desea realizar un muestreo aleatorio estratificado, puesto
que la caña puede provenir de tres tipos de proveedores.
proveedor tipo A (estrato 1) la caña proviene de lotes de la misma finca.
proveedor tipo B (estrato 2) la caña proviene de fincas de particulares en
donde el ingenio ha prestado servicios.
proveedor tipo C (estrato 3) la caña proviene de fincas de particulares en
donde el ingenio no ha tenido ningún servicio.
Documentación Académica revisada 28
De estudios anteriores, se conoce el tamaño y desviación estándar de
cada estrato y además se desea tener una precisión de un grado brix en el
estudio. De que tamaño debe de ser la muestra total y de cada estrato?.
DATOS:
ESTRATO Ni Si
1 558 3.5
2 190 5.4
3 250 6.2
VI. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA
El sistema de evaluación se describe a continuación:
NUM. TIPO DE
EVALUACIÓN
OBJETIVOS A EVALUAR PUNTOS CLASE
1 Examen Parcial Unidad 1 y 2 25 8
2 Examen Parcial. Unidades 3, y 4 25 14
3 Examen Final. Todas las Unidades. 50 20
VII. BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
BÁSICA
Allen Webter “Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía”.
Rufino Moya Calderón “Probabilidad e Inferencia Estadística”
Murray R. Spiegel. “Estadística”
Luis Alberto Pérez Legoas. “Estadística Básica”
Leonard Kasmier “Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía”
Murray R. Spiegel, John Schiller, R.Alu Srinivasan. “Probabilidad y Estadística”
Ciro Martínez Bencardino. “Estadística y Muestreo”
“Estadística Aplicada a los negocios y la economía” Decimotercera Edición, Lind,
Marchal, Wathen
VIII. MATERIAL /VIRTUAL WEB
El material de apoyo debe estar ordenado por unidad y puede contener:
Documentación Académica revisada 29
Ejercicios propuestos, conceptos y contenidos relacionados con una unidad, casos, material
de lectura, artículos, guías de laboratorio, etc. Cuidado que no sea muy ampuloso y que
esté en condiciones legibles en caso de ser artículos escaneados o tablas de consulta.
Unidad 2.
Video de Explicación del teorema de Bayes.
Video de Aplicación del teorema de Bayes.
Unidad 3.
Video de Explicación de la Distribución Normal de Probabilidades.
Unidad 4.
Video de Explicación del cálculo de intervalos que confianza para encontrar una media
poblacional con muestras grandes.
Video de Explicación del cálculo de intervalos que confianza para encontrar una media
poblacional con muestras pequeñas.
Video de Explicación del cálculo de intervalos de confianza para encontrar una proporción
poblacional.
MATERIAL COMPLEMENTARIO O DE APOYO
- El siguiente material de apoyo es el resultado de una compilación de textos de los principales autores sobre el tema publicados en libros o en fuentes confiables de internet. En muchos casos, algunas porciones del texto, han sido adaptadas al contexto local con el único fin de que resulten más beneficiosas para el proceso de aprendizaje de los estudiantes.
El único objetivo de este compilado, es entregar a los estudiantes un documento con
información seleccionada.
Documentación Académica revisada 30
UNIDAD 1
Introducción a la Estadística Inferencial
Objetivos
El estudiante conoce los principales conceptos básicos de la Estadística Inferencial
Evaluar a los estudiantes a través de una prueba diagnóstica con referencia a los
conocimientos de Estadística Descriptiva
ESTADISTIC
A
DIVISION
ESTADISTICA
DESCRIPTIVA
Es un método para
organizar, resumir y presentar datos de manera informativa
Trabaja con hechos del
pasado
Llega a conclusiones y presenta datos a través de cuadros estadísticos, gráficos.
Es parte de la ciencia estadística que ocupa la mayor parte de ella.
Guía su método a través de variables cualitativas y cuantitativas
ESTADISTICA
INFERENCIAL
La estadística
inferencial o inductiva plantea y resuelve el problema de establecer provisiones y conclusiones generales sobre una población a partir de los resultados obtenidos de una muestra.
Trabaja con las conclusiones obtenidas de un estudio de estadística descriptiva y se apoya fuertemente en el cálculo de las probabilidades.
Es el arte de obtener con confianza conclusiones y dar validez a un estudio descriptivo.
Documentación Académica revisada 31
ESTADISTIC
A
INFERENCIA
APLICACIONES
Proyecciones
futuras
Generalizacion de datos
Toma de decisiones
ASPECTOS
IMPORTANTES
Toma de
muestra
Probabilidades
Estimacion de parametros
Diseno experimental
Inferencia bayesiana
Contraste de Hipotesis
Validacion estudio descriptivo
Documentación Académica revisada 32
UNIDAD 2
Introducción a las probabilidades Competencia General del Capítulo
“El estudiante conoce los conceptos más importantes de Probabilidades, realiza
clasificaciones, reconoce reglas y realiza cálculos para solucionar problemas de aplicación
estadística pertinentes a su carrera”
Competencias a desarrollar en el Capítulo.
“El Estudiante conoce la importancia de las probabilidades de manera general y
específicamente en el desarrollo de su profesión”
“El estudiante comprende conceptos de probabilidad dentro de su formación”
“El estudiante soluciona problemas que requieren el uso de probabilidades
pertinentes al ámbito empresarial”
El estudiante resuelve ejercicios complejos utilizando el Teorema de Bayes en
situaciones que así lo requieran”
Contenido.
Importancia de las probabilidades en las Ciencias Empresariales.
Conceptos básicos de Probabilidad
Reglas de Probabilidad.
Cálculo de probabilidades.
Teorema de Bayes.
Bibliografía del tema:
Evelio Hernández “Aprendiendo Estadísticas” Capítulo 9.
Allen Webter “Estadística Aplicada a la Administración y a la
Economía”. Capítulo 4.
Rufino Moya Calderón “Probabilidad e Inferencia Estadística” Capítulo 1.
Murray R. Spiegel. “Estadística”, capítulo 6
Luis Alberto Pérez Legoas. “Estadística Básica”. Unidad 5
Leonard Kasmier “Estadística Aplicada a la Administración y a la
Economía”, capítulo 5
Murray R. Spiegel, John Schiller, R.Alu Srinivasan. “Probabilidad y
Estadística”, capítulo 1
Ciro Martínez Bencardino. “Estadística y Muestreo”, capítulo 5
Documentación Académica revisada 33
2.1 Introducción a la Teoría de Probabilidades.
Una probabilidad es una posibilidad numérica que se desplaza del cero al
cien por ciento, esto quiere decir que a diferencia de los porcentajes que
trabajamos en estadística descriptiva las probabilidades no pueden ser
negativas ó mayores a 100%. Conocer el grado de probabilidad que ocurra
algún fenómeno empresarial es muy importante para poder tomar
decisiones correctas. El grado de probabilidad de poder vender cierta
cantidad de productos, la probabilidad de aumentar la producción en una
fábrica, la probabilidad de invertir en un negocio y fructificar el capital ó
que las acciones de una determinada empresa suban son apenas algunas
aplicaciones de este tema de en si solo es una materia por el altísimo grado
de importancia que tiene.
El uso de probabilidades en las redes sociales es importantísimo, las fans
page y los canales de www.youtube.com tienen incorporadas módulos de
estadísticas y específicamente aplicaciones de probabilidad para la mejor
búsqueda comercial de contacto de los socios.
El siguiente enlace es un video de cómo aplicar la estadística en las fans
page y www.youtube.com.
Enlace:
Existen tres formas de trabajar cuando de probabilidad se trata. (Fracciones,
proporciones y porcentajes) cada una se utiliza para una parte diferente del
análisis, entendamos que una probabilidad siempre se va a calcular
dividiendo una parte sobre un total y por eso el principio de las
probabilidades es la fracción, cuando calculamos esta fracción se convierte
en proporción y una vez queremos responder a una interrogante
multiplicamos por 100% y se vuelve porcentaje.
Veremos un ejemplo.
Documentación Académica revisada 34
Si tenemos 4 personas: María, Juan, Pablo y Pedro. ¿Cuál es la probabilidad
de seleccionar una persona al azar y que sea hombre?
Respuesta: Como vemos solo hay un hombre, por lo tanto la probabilidad
de seleccionar un hombre es uno sobre cuatro, que a su vez es 0,25
(proporción) y multiplicado por el 100% es 25%. Por lo tanto la probabilidad
de seleccionar un hombre es 25%. Veámoslo mejor en una figura que se
muestra a continuación.
En el mundo laboral de Ciencias empresariales el cálculo de probabilidades
casi siempre se hace mediante tablas, EXCEL brinda sistemas de
agrupamiento de datos excelentes mediante los filtros. El cálculo de
probabilidades cuando tenemos tablas ó cuadros se hace mucho más
sencillo, para entenderlo mejor veamos un ejemplo.
Practiquemos juntos:
Ejemplo 1: En una empresa hay 10 empleados hombres y 20 mujeres. ¿Cuál
es la probabilidad de seleccionar un empleado al azar y sea mujer?
Cómo vemos en total la empresa cuanta con 30 empleados de los cuales
20 son mujeres.
Por lo tanto:
P (Mujer) Esto quiere decir (Probabilidad se seleccionar una mujer)
𝑃 (𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟) =2
3= 0,6666 = 66,66%
Respuesta: Tenemos un 66,66% de probabilidades que el empleado
seleccionado sea mujer.
Ejemplo 2: En un almacén hay 200 sacos, 50 de arroz, 100 de sal y 50 de
azúcar. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un saco al azar y que sea
de sal?
Respuesta: Como podemos ver de los 200 sacos 100 son de sal.
Por lo tanto.
Documentación Académica revisada 35
𝑃 (𝑆𝑎𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑟𝑟𝑜𝑧) =100
200= 0,50 = 50%
Respuesta: Tenemos un 50% de probabilidades que el saco seleccionado
sea de sal.
Ejemplo 3. En un aula de la Universidad hay 13 estudiantes de
Administración, 18 de Ingeniería Comercial y 10 de Marketing. ¿Cuál es la
probabilidad de seleccionar un estudiante al azar y sea de la carrera de
Marketing?
Como vemos el aula cuenta con 41 estudiantes.
𝑃 (𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑘𝑒𝑡𝑖𝑛𝑔) =10
41= 0,2439 = 24,39%
Respuesta: Tenemos un 24,39% de probabilidades que el estudiante
seleccionado sea de la Carrera de Marketing.
Después de tres ejemplos creemos que ya lo tiene claro.
2.2Conceptos de Probabilidad.
Cuando se habla de probabilidades existen un conjunto de conceptos que
no se pueden obviar.
Evento (Ei): Un evento es un resultado, en los ejemplos anteriores los eventos
fueron:
En el ejercicio 1: (hombre; mujer)
En el ejercicio 2. (Saco de azúcar, Saco de Sal, Saco de Arroz)
En el ejemplo 3 (Administración, Comercial, Marketing)
Cuando un evento tiene 100% de probabilidades de suceder se llamará
evento cierto y cuando no tiene ningún tipo de probabilidad evento
imposible.
Experimento: Llámese experimento al proceso que da como resultado un
evento. Ejemplos de Experimentos
Lanzar un dado.
Seleccionar una baraja.
Invertir en la Bosa de valores.
Jugar un partido de futbol.
Pescar.
Seleccionar de un grupo de 5 personas un delegado.
Espacio Muestral (S). Es el conjunto de todos los posibles resultados (eventos)
de un experimento.
Veamos cada ejemplo:
Lanzar un dado. S ={1; 2; 3; 4; 5; 6}
Invertir en la Bosa de valores. S = {ganar, perder, recuperar}
Documentación Académica revisada 36
Jugar un partido de futbol. S ={ganar, perder, empatar}
Pescar. S= {pescar, no pescar}
Seleccionar de un grupo de 5 personas un delegado. S = {Juan, Pedro,
Martí, José, Claudio}
Nota Importante:
Los espacios muéstrales siempre se encierran en llaves. {Espacio Muestral}
2.3 Leyes de Probabilidad.
Las probabilidades siguen un conjunto de leyes que como toda ley debe
cumplirse para comprobar si un ejercicio está correcto.
Primera ley de Probabilidades.
𝚺𝑬𝒊 = 𝟏𝟎𝟎%
“La sumatoria de las probabilidades de cada evento en un experimento
siempre va a ser 100%”
Nota: Esta igualdad debe cumplirse SIMPRE.
Veamos un ejemplo que demuestra esta ley.
Si en un aula tenemos 3 estudiantes hombres y 7 mujeres, la probabilidad de
seleccionar un hombre sería 3
10= 0,3 o sea 30%, y de seleccionar una mujer
sería 7
10= 0,7 que sería 70%. Si sumamos 30% más 70% encontramos el 100% y
queda demostrada la ley.
Segunda Ley de Probabilidades.
𝑷(𝑨) + 𝑷(Ā) = 𝟏𝟎𝟎%
“La sumatoria de la probabilidad de un evento cualquiera más su anti
probabilidad es siempre 100%”
Veamos un ejemplo que demuestra esta ley.
En una fábrica de refrescos la producción del día de ayer fue: 20 cajas de
frutilla, 35 cajas de naranja y 45 de limón.
𝑃(𝐹𝑟𝑢𝑡𝑖𝑙𝑙𝑎) =20
100= 0,2 = 20%
𝑃(𝑁𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎) =35
100= 0,35 = 35%
𝑃 (𝐿𝑖𝑚ó𝑛) =45
100= 0,45 = 45%
La probabilidad que una caja seleccionada al azar sea de limón es 35% y
que no sea de limón (Frutilla ó Naranja) es 20% + 35% = 55% y 45%+55% es
Documentación Académica revisada 37
igual al 100% y de esta manera queda demostrada la segunda ley de
probabilidades.
2.4 Modelos de Probabilidad.
Existen tres modelos de probabilidad, llamemos modelos probabilidad a la
forma de cómo se va a calcular la probabilidad.
Modelo de Frecuencia Relativa: Este modelo es utilizado cuando utilizamos
los datos pasados para predecir ó pronosticar eventos presentes ó futuros.
Existe un criterio universal que dice que las cosas tienden a volver a suceder,
por lo tanto el comportamiento histórico de un evento puede darnos pautas
de lo que va a pasar y es por esto que en las empresas se pide aparte del
currículum cartas de recomendación.
Ejercicios Resueltos de aplicación del Modelo de Probabilidad de
Frecuencia Relativa.
Ejercicio 1.El grupo de Estadística Inferencial del mes pasado tuvo 35
estudiantes de los cuales 5 reprobaron, según el modelo de frecuencia
relativa. ¿Cuál es la probabilidad de que este mes usted apruebe?
Como vemos los aprobados serían 30, ya que 5 reprobaron, por lo tanto:
𝑃(𝐴𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟) =30
35= 0,8571 = 85,71%
Teniendo en cuenta los datos anteriores usted tiene un 85,71% de
probabilidades de aprobar la materia.
Ejercicio 2. En las anteriores presentaciones de venta usted vendió 3 veces
de cada 30 visitas. ¿Cuál es la probabilidad de que venda si hace una visita
mañana?
Como se explica en el ejercicio usted vendió una de cada diez veces por lo
tanto:
𝑃(𝑉𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟) =1
10= 0,1 = 10%
Teniendo en cuenta sus presentaciones anteriores usted tiene un 10% de
probabilidades de vender en su próxima presentación de ventas.
Modelo Subjetivo: Este modelo de probabilidad se utiliza cuando un evento
no ha sucedido pero puede ocurrir. Es el modelo de probabilidad más usado
en las investigaciones de Mercado para determinar si un producto va a
Documentación Académica revisada 38
ingresar o no a un mercado, debido a que este producto nunca a estado
pero tiene cierta probabilidad de poder ingresar.
Para calcular un caso del modelo subjetivo requerimos elementos de
probabilidad mucho más avanzado que usted aprenderá en el desarrollo
de la materia y en su carrera en general.
Modelo Clásico: Es el modelo que antes de efectuar el experimento
sabemos la probabilidad exacta de que suceda algún evento, es el modelo
que se utiliza para los juegos de azar, desde antes de lanzar un dado ya
sabemos que tenemos un 16,66% de probabilidades de sacar el número 3.
𝑃(1) =1
6= 0,1666 = 16,66%
𝑃(2) =1
6= 0,1666 = 16,66%
𝑃(3) =1
6= 0,1666 = 16,66%
𝑃(4) =1
6= 0,1666 = 16,66%
𝑃(5) =1
6= 0,1666 = 16,66%
𝑃(6) =1
6= 0,1666 = 16,66%
Como podemos notar cada evento tiene un 16,66% de probabilidad de
suceder y antes de lanzar el dado ya sabemos la probabilidad.
Ejercicios Resueltos de aplicación del Modelo de Probabilidad Clásica.
Ejercicio 1. Según el enfoque de la probabilidad clásica calcular la
probabilidad de obtener una cara cuando se lanza una moneda.
𝑃(𝑐𝑎𝑟𝑎) =1
2= 0,5 = 50% usted tiene un 50% de probabilidades de sacar cara
cuando lance la moneda.
Ejercicio 2. Según el enfoque de probabilidad clásica cuál es la
probabilidad de que usted gane un sorteo que tiene 100 números y compró
3 cupones.
Documentación Académica revisada 39
𝑃(𝑔𝑎𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒𝑜) =3
100= 0,03 = 3% Usted tiene un 3%de probabilidades de
ganar el sorteo.
2.5 Operaciones entre conjuntos.
En la materia de Matemática Básica usted aprendió los principios básicos de
la teoría de Conjuntos y específicamente las operaciones entre los mismos,
en el caso de probabilidades utilizamos generalmente dos (la unión y la
intersección)
Ejemplo.
El círculo oscuro representa los estudiantes que estudian la materia de
Estadística Inferencial y el Claro los de cont
Los estudiantes que pertenecen a los dos grupos se muestran a
continuación.
1.5 Reglas de Probabilidad.
Existen dos Reglas Básicas de Probabilidad (La Regla de la Multiplicación y
la Regla de la Adición)
(Estudiantes de Estadística Inferencial)
(Estudiantes de Contabilidad Intermedia)
Documentación Académica revisada 40
(A U B) = {Carlos, Alberto, Rosa, Raquel, Marcelo, Pedro, Evelio, Juan,
Daniela, Reinier, Elián, Anabel} Ya que son todos los eventos que están en A
y todos los que están en B.
(A ∩ B) = {Pedro; Evelio} Ya que son todos los eventos que están en A y en B.
2.6 Relación entre eventos.
Cuando hablamos de Estadísticas y específicamente de probabilidades
existen un conjunto de relaciones entre eventos que usted debe dominar
para entender la materia. Las mismas se muestran a continuación.
• Eventos Mutuamente Excluyentes.
“Cuando la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia de otro”
• Eventos Colectivamente Exhaustivos.
“Posibles resultados de un experimento y constituyen su espacio Muestral”
• Eventos Independientes.
“La ocurrencia de un no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro”
• Eventos Complementarios.
“Son los eventos en los que si un evento no ocurre el otro debe ocurrir”
2.7 Probabilidad Condicional
Documentación Académica revisada 41
Esta es una de las probabilidades más utilizada, la probabilidad condicional
se refiere a la probabilidad de un evento sabiendo que otro ya ocurrió antes.
Se la denomina P (A/B) que quiere decir Probabilidad de A dado que ya
conocemos B.
P (A/B) =𝑷 (𝑨∩𝑩)
𝑷 (𝑩)
Para entenderlo mejor veamos un ejemplo:
Ejemplo del Cálculo de una probabilidad Condicional.
Se tiene un grupo de 10 estudiantes, 4 son hombres y 6 damas, de los 4
hombres 1 estudia economía y de las mujeres 3. Si se toma una persona al
azar y es economista.
a) ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer?
P (A/B) =𝑷 (𝑨∩𝑩)
𝑷 (𝑩) En nuestro caso sería
P (mujer/economista) =𝑷 (𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓∩𝒆𝒄𝒐𝒏𝒐𝒎𝒊𝒔𝒕𝒂)
𝑷 (𝒆𝒄𝒐𝒏𝒐𝒎𝒊𝒔𝒕𝒂) =
𝟑
𝟒 = 0,75 ---- 75%
2.8 Reglas de Probabilidad.
Existen dos reglas básicas de probabilidad, la regla de la multiplicación y la
regla de la adición. En este apartado vamos a explicar cada una y cuáles
son las aplicaciones de las mismas.
Regla de la Multiplicación
El propósito de la regla de la multiplicación es determinar la probabilidad
del evento conjunto P (A∩B). Es decir, que para encontrar la probabilidad
de “A y B”, simplemente se multiplican sus respectivas probabilidades.
Para EVENTOS INDEPENDIENTES la probabilidad de los dos eventos se vuelve.
Documentación Académica revisada 42
Veamos un Ejemplo de aplicación.
Ejemplo 1: La cafetería de la Universidad tiene un 20% de probabilidad de
vender pizza y un 30% de probabilidad de vender refresco de piña. ¿Cuál es
la probabilidad que un cliente venga y pida un pollo y un refresco de piña?
Como notamos no tienen relación el pollo y la piña, bien la persona puede
pedir una hamburguesa y una soda. Este ejercicio se resuelve muy fácil.
(A ∩ B) = (0,2 x 0,3) = 0,06 ------ 6%
Se tiene un 6% de probabilidad que la persona compre una pizza y un
refresco de piña.
El Evento A es la compra de la Pizza.
El Evento B es la compra del Refresco de Piña.
Como uno no tiene nada que ver con el otro pero pueden suceder juntos
simplemente multiplicamos las probabilidades y misión cumplida.
Para EVENTOS DEPENDIENTES la probabilidad de los dos eventos se vuelve.
Veamos un ejemplo de Aplicación.
El gerente de crédito de Dollar – Wise recolecta datos de 100 de sus clientes.
De los 60 hombres, 40 tienen tarjetas. De las 40 mujeres, 30 tienen tarjetas.
Diez de los hombres tiene saldos vencidos, mi entras que 15 de las mujeres
tienen saldos vencidos. El gerente quiere determinar la probabilidad que un
cliente seleccionado al azar sea4:
a) Una mujer con tarjeta.
4 Ejercicio tomado del libro “Estadística Aplicada a la Administración y a la Economía” del Dr. Allem Webster.
La probabilidad de dos eventos independientes: P(A ∩ B) = P(A)
* P(B)
Probabilidad de eventos dependientes P(A ∩ B) = P(A) * P(B/A)
Documentación Académica revisada 43
Respuesta: P (A ∩ B) = P(A) x P (B/A) en nuestro caso.
P (Mujer ∩ Tarjeta) = P (Mujer) x P (Tarjeta dado que es
mujer)
P (Tarjeta dado que es mujer) = (𝑇𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡𝑎 ∩ 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)
𝑃(𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)=
30
40= 0,75
P (Mujer ∩ Tarjeta) = 0,4 x 0,75 = 0,3------30%
Tenemos un 30% de probabilidades de seleccionar una persona al
azar y sea una mujer con tarjeta.
b) Una mujer con saldo.
Respuesta: P (A ∩ B) = P(A) x P (B/A) en nuestro caso.
P (Mujer ∩ Saldo) = P (Mujer) x P (Saldo dado que es mujer)
P (Saldo dado que es mujer) = (𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 ∩ 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)
𝑃(𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟)=
15
40= 0,375
P (Mujer ∩ Saldo) = 0,4 x 0,375 = 0,15------15%
Tenemos un 15% de probabilidades de seleccionar un encuestado al
azar y sea una Mujer con saldo.
c) Un hombre sin saldo.
Respuesta: P (A ∩ B) = P(A) x P (B/A) en nuestro caso.
P (Hombre ∩ Sin Saldo) = P (Hombre) x P (No tenga Saldo dado que es hombre)
P (No tenga Saldo dado que es hombre) = (𝑁𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 ∩ 𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒)
𝑃(𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒)=
10
60= 0,1666
P (Hombre ∩ Sin Saldo) = 0,6 x 0,1666 = 0,1------10%
Tenemos un 10% de probabilidades de seleccionar un encuestado al
azar y sea un hombre sin saldo.
d) Un hombre con saldo.
P (Hombre ∩ Saldo) = P (Hombre) x P (Saldo dado que es hombre)
P (Saldo dado que es hombre) = ( 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 ∩ 𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒)
𝑃(𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒)=
50
60= 0,8333
P (Hombre ∩ Saldo) = 0,6 x 0,8333 = 0,5------50%
Tenemos un 50% de probabilidades de seleccionar un encuestado al
azar y sea un hombre con saldo.
Regla de la Adición.
Se utiliza para determinar la probabilidad de A ó B, P(A U B)
La probabilidad del evento A ó B (Cuando dos eventos no son mutuamente
excluyentes) se calcula de la siguiente manera:
Veamos un ejemplo:
P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A∩B)
Documentación Académica revisada 44
Los siguientes datos muestran la cantidad de estudiantes por sexo y Facultad
de la Universidad X.
Facultad Hombre Mujer Total
Facultad de Tecnología 2000 500 2500
Facultad Empresarial 1500 1000 2500
Facultad de
Humanidades 500 2500 3000
Total 4000 4000 8000
a) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar sea
hombre ó estudie en la Facultad de Humanidades?
P (A U B) = P(A) + P(B)- P(A ∩ B)
P (Homb U Huma) = P (Homb) + P (Huma) – P (Homb ∩ Huma)
P (Homb U Huma) = 4000
8000+
3000
8000−
500
8000=
6500
8000= 0,8125----81,25%
Tenemos un 81,25% de probabilidades que el estudiante sea hombre ó
estudie en la Facultad de Humanidades.
b) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante seleccionado al azar sea
mujer ó estudie en la Facultad Empresarial?
P (Mujer U Emp) = P (Mujer) + P (Emp) – P (Mujer ∩ Emp)
P (Mujer U Emp) = 4000
8000+
2500
8000−
1000
8000=
5500
8000= 0,6875----68,75%
Tenemos un 68,75% de Probabilidades que el estudiante sea mujer ó estudie
en la Facultad Empresarial.
Regla de la Adición para Eventos Mutuamente Excluyentes.
La probabilidad del evento A ó B (Cuando dos eventos son mutuamente
excluyentes) se calcula de la siguiente manera:
Siguiendo el ejemplo anterior:
c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un estudiante al azar y sea de
la Facultad Empresarial ó Tecnológica?
P (AUB) = P(A) + P(B) = 2500
8000+
2500
8000=
5000
8000= 0,625--------62,5%.
P (AUB) = P(A) + P(B)
Documentación Académica revisada 45
Tenemos un 62,5% de probabilidad de seleccionar un estudiante y que
sea de la facultad Empresarial ó de la Tecnológica.
Ejercicios resueltos de Probabilidad.
Como la mejor manera de aprender es haciendo le vamos a regalar una
seria de ejercicios resueltos de probabilidades que le ayudarán a practicar
lo antes estudiado.
Los ejercicios están en cuadros estadísticos que él la manera más común de
manejar el uso de probabilidades en el mercado laboral.
Ejercicio 1. VIVA.
Usted es el gerente Comercial de la empresa de Investigación de Mercados
“Mercadeando”, su último cliente “VIVA” tiene algunas preguntas acerca
del estudio que se hizo de su marca.
Insatisfecho Indiferente Satisfecho
Norte 50 120 200
Sur 150 85 60
este 60 115 70
Oeste 40 30 20
Preguntas)
Insatisfecho
Indiferente
Satisfecho
Total
Norte 50 120 200 370
Sur 150 85 60 295
Este 60 115 70 245
Oeste 40 30 20 90
300 350 350 1000
A. ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Sur de la Ciudad?
P(sur)= 295
1000= 0.295 29,5%
El 29.5% de los encuestados son de la zona sur de la ciudad
B. ¿Qué porcentaje de los encuestados son del este ó el oeste?
P(este ∪ oeste) = P(este) + (oeste) =245
1000+
90
1000=
335
1000= 0.335 33,5%
Documentación Académica revisada 46
El 33,5% de los encuestados son de la zona este u oeste.
C. ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Norte y están
insatisfechos?
P(norte ∩) =50
1000= 0.05 5%
El 5% de los encuestados son de la zona norte y están insatisfechos.
D. ¿Qué porcentaje de los encuestados están insatisfechos ó son del
sur?
P( ∪ sur) = P() + P(sur) − P( ∩ sur) =300
1000+
295
1000−
150
1000=
445
1000=
0.445 44,5%
E. ¿Qué porcentaje de los encuestados creen tiene una opinión por lo
menos indiferente?
𝑃( ∪) = P() + P() =350
1000+
350
1000=
700
1000= 0,7 70%
El 70% de los encuestados tiene una opinión por lo menos indiferente
F. ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Norte dado que están
satisfechos?
P (norte
) =
P(norte∩)
P()=
200
50= 0,5714 57,14%
El 57,14% de los clientes satisfechos son del norte
G. ¿Qué porcentaje de los encuestados están insatisfechos y son del
este?
P( ∩ este) =60
1000= 0,06 6%
El 6% de los encuestados son del este y están insatisfechos
Ejercicio 2. Guaraná Conti.
Usted es gerente comercial de la nueva soda “Guaraná Conti” teniendo en
cuenta que el producto no ha entrado al mercado local usted realizó una
degustación masiva en ciertos sectores estratégicos de la Ciudad
preguntando ¿Qué le parecía el sabor de esta nueva soda? Los resultados
se muestran en la siguiente tabla de contingencia.
Sector Regular Buena Excelente Total
Centro 20 40 100 160
Urubó 30 60 120 210
Urbarí 25 80 80 185
Equipetrol 0 20 50 70
Plan 3000 15 20 40 75
Polanco 15 30 100 145
Documentación Académica revisada 47
Banzer 30 45 80 155
Total 135 295 570 1000
Si se selecciona un encuestado al azar ¿Cuál es la probabilidad?
A. ¿Qué opine que el sabor es Excelente?
P(J) =570
1000= 0,57→ 57%
El 57% opinan que el sabor es excelente
B. ¿Qué sea de Equipetrol?
P(D) =70
1000= 0,07→ 7%
El 7% de los degustadores son de equipetrol
C. ¿Qué sea de Urbarí y crea que el sabor de la soda es bueno?
𝑃(𝐶 ∩ 𝐼) =80
1000= 0,08→8%
El 8% de los degustadores son de Urbari y creen que el sabor de la soda es
bueno.
D. ¿Qué sea de la Banzer y piense que el sabor es Regular?
𝑃(𝐺 ∩ 𝐻) =30
1000= 0,03→ 3%
El 3% de los degustadores son de la Banzer y piensan que el sabor es
regular.
E. ¿Qué sea del centro ó del Plan 3000?
P(A ∪ E) = P(A) + P(E) =160
1000+
75
1000=
235
1000= 0,235→23,5%
El 23,5% de los degustadores son del centro o del plan 3000.
F. ¿Qué sea de Polanco ó del Urubó?
P(F ∪ B) = P(F) + P(B) =145
1000+
210
1000=
355
1000= 0,355→35,5%
El 35,5% de los degustadores son de polanco o del urubo.
G. ¿Qué sea de la Banzer ó tenga una opinión Buena del Sabor?
P(G ∪ I) = P(G) + P(F) − P(G ∩ I)
P(G ∪ I) =155
1000+
295
1000−
45
1000=
405
1000= 0,4050→40,5%
El 40,5% de los degustadores son de la Banzer y piensan que el sabor es
bueno.
H. ¿Qué tenga una opinión excelente ó sea de Equipetrol?
𝑃(𝐽 ∪ 𝐷) = 𝑃(𝐽) + 𝑃(𝐷) − 𝑃(𝐽 ∩ 𝐷)
𝑃(𝐽 ∪ 𝐷) =570
1000+
70
1000−
50
1000=
590
1000= 0,59→ 59%
El 59% de los degustadores tienen una opinión excelente o son de Equipetrol.
I. ¿Qué sea del centro dado que dice que el sabor es Regular?
Documentación Académica revisada 48
𝑃 (𝐴
𝐻) =
𝑃(𝐴∩𝐻)
𝑃(𝐻)=
20
135= 0,1481→14,84%
El 14,81% son del centro dado que dicen que el sabor es regular.
J. ¿Qué diga que el sabor es regular dado que es del Centro de la
Ciudad?
P (H
A) =
P(H∩A)
P(A)=
20
160= 0,125→12,5%
El 12,5% de los degustadores dicen que el sabor es regular dado que son del
centro de la ciudad.
2.9 Teorema de Bayes.
Uno de los temas de Estadísticas que más utilidad tiene en el campo laboral
es el teorema de Bayes. El mismo ayuda a calcular la probabilidad anti
condicional, para entenderlo mejor veamos una pequeña explicación y
luego ejemplos.
Teorema de Bayes. Es la probabilidad que se utiliza cuando tenemos dos
eventos dependientes, o sea la ocurrencia de uno depende de la
ocurrencia de otro. Y queremos saber la probabilidad de ocurra el primer
evento dado que se sabe el segundo.
Ejemplo:
Se sabe que la probabilidad de que llueva en Santa Cruz un dia de marzo
es 25%. cuando llueve la probabilidad de que la empresa “Toldito” alquile
un Toldo es 80%, mientras si no llueve la probabilidad de alquiler es 25% ¿Cuál
es la probabilidad de que haya llovido si se sabe que se alquiló un toldo?
Este evento se conoce y se quiere
determinar “A”.
Documentación Académica revisada 49
Como se nota en el dibujo anterior llamado de hecho árbol de
probabilidades se conoce el evento B pero no el A. En estos casos aplicamos
la fórmula del teorema de Bayes.
Existen muchas maneras de resolver el teorema de bayes pero con nuestra
experiencia creemos que la más sencilla es esta.
Paso #1 Deje en el árbol de probabilidades solo el evento de B que le dicen
que ocurrió.
Documentación Académica revisada 50
Como sabemos que se alquiló un toldo sacamos de la figura los toldos que
no se alquilaron ó la probabilidad de no alquiler.
Paso # 2 Pongo en el numerado de la fórmula la multiplicación de el valor
que me dan por el que me piden. Y en el denominador todos los demás
valores.
(0,8) (0,25)(0,8)(0,25) + (0,25)(0,75)
Al aplicar el cálculo obtenemos 51,67% de probabilidad que haya llovido.
Documentación Académica revisada 51
Como sabemos que el tema es un poquito difícil de entender a la primera
te ayudamos un link donde se explica el tema en www.youtube.com
Link (Explicación del teorema de Bayes) https://www.youtube.com/watch?v=MrX1pS0wiU0
Ejemplos de Aplicación del Teorema de Bayes.
Ejemplo 1) Guaraná Conti.
Los datos de producción de la Guaraná Conti la empresa se los mandó de
Brasil, en sí son cinco las máquinas que producen dicha soda. La primera
produce 1000 cajas por día y 50 salen en mal estado, la segunda produce
el doble que la primera y la misma proporción de desperfectos que la
cuarta. La tercera produce la mitad que la quinta y el 2% sale en mal estado,
la cuarta produce el triple que la primera y la misma proporción de
desperfectos que la tercera, mientras que la quinta produce el cuádruple
que la primera y ninguna en mal estado. El lote que la fábrica envió a Bolivia
fue la producción total del mes pasado. La máquina uno trabajó los 30 días,
la dos y la tres 25 días, la cuatro 20 días y la cinco 22 días.
Preguntas:
A. De cuantas cajas contó el lote de sodas.
Prod. √ x hrs/dia
Producción
Total Propor.
Maquina
1 1000 0,95 0,05 30 30000 0,1079
Maquina
2 2000 0,98 0,02 25 50000 0,1799
Maquina
3 2000 0,98 0,02 25 50000 0,1799
Maquina
4 3000 0,98 0,02 20 60000 0,2158
Maquina
5 4000 1 0 22 88000 0,3165
Ʃ278000 Ʃ1
Tuvo una producción de todo el mes de 278000 cajas.
Documentación Académica revisada 52
B. Si un cliente se quejó porque una caja estaba en mal estado ¿Cuál es
la probabilidad que haya sido producida por la cuarta máquina?
0,95 √
0,1079
maq
1
0,05 x
0,98 √
0,1799
maq
2
0,02 x
0,98 √
0,1799
maq
3
0,02 x
0,98 √
0,2158 maq
4
0,02 x
1 √
0,3165
maq
5
0 x (0,02)(0,2158)
(0,02)(0,2158)+(0,05)(0,1079)+(0,02)(0,1799)+(0,02)(0,1799)=
0,0043
0,0169= 0,2543→24,53%
La caja tuvo un 25,43% de que haya sido producida por la cuarta maquina.
C. Si una caja está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya
sido producida por la tercera máquina?
(0,98)(0,1799)
(0,98)(0,1799)+(0,95)(0,1079)+(0,98)(0,1799)+(0,98)(,02158)+(0,3165)=
0,1763
0,9831= 0,1793→17,93%
Un 17,93% de que haya sido producida por la tercera maquina.
Documentación Académica revisada 53
Este video muestra el ejercicio resuelto en www.youtube.com
Link: https://www.youtube.com/watch?v=ds9y3UtPcbA
Ejemplo 2. Cerveza Real.
La planta de cerveza Real está en Warnes, cuenta con 5 máquinas para
producirla, la primera produce 1000 latas por hora y solo 50 salen con
desperfectos, la segunda produce 1500 latas solo el 2% salen en muy mal
estado, la tercera produce el doble que la primera y 200 salen en
condiciones no muy buenas, mientras que la cuarta produce lo mismo que
la segunda y el mismo porcentaje defectuoso que la primera. La quinta es
una maquina nueva y de tecnología de punta, esta produce 1000 latas por
hora y todas salen en buen estado. La primera trabaja 5 horas al día, la
segunda 3, la tercera 10, y la cuarta y la quinta 8. Ayer llego un cliente
protestando porque tomo una lata con desperfectos.
Producció
n √ x
Hrs.*dí
a
Producció
n Total
Proporció
n
Maquina 1 1000 0,95 0,05 5 5000 0,1010
Maquina 2 1500 0,98 0,02 3 4500 0,0909
Maquina 3 2000 0,90 0,10 10 20000 0,4040
Maquina 4 1500 0,95 0,05 8 12000 0,2424
Maquina 5 1000 1 0 8 8000 0,1616
Ʃ49500 Ʃ1
0,1010 maq 1
0,9
5 √
0,0
5 x
0,0909 maq 2
0,9
8 √
Documentación Académica revisada 54
0,0
2 x
0,4040 maq 3
0,9
0 √
0,1
0 x
0,2424 maq 4
0,9
5 √
0,0
5 x
0,1616 maq 5 1 √
0 x
a) ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la segunda
maquina? (0,02)(0,9090)
(0,02)(0,0909)+(0,05)(0,1010)+(0,10)(0,4040)+(0,05)(0,2424) =
0,001818
0,059388 = 0,0306 →3,06%
Existe un 3,06% de probabilidad que la lata defectuosa la haya producido
la maquina 2.
b) Pedro tiene en la mano una lata en buen estado ¿Cuál es la
probabilidad que haya sido producida por la tercera o la quinta
maquina?
(0,90)(0,4040)
(0,90)(0,4040)+(0,95)(0,1010)+(0,98)(0,0909)+(0,95)(0,2424)+(1)(0,1616)=
0,3636
0,940512 → 38,65%
(1)(0,1616)
(1)(0,1616)+(0,95)(0,1010)+(0,98)(0,0909)+(0,90)(0,4040)+(0,95)(0,2424)+(1)(0,1616)=
0,1616
0,940512
→17,18%
Se tiene un 55,83% de probabilidad que la lata en buen estado haya sido
producida por la tercera o la quinta máquina
Documentación Académica revisada 55
UNIDAD 3
“Distribuciones de Probabilidad” Competencia General del Capítulo
“El estudiante reconoce las distribuciones de probabilidad en problemas de
su profesión”
Competencias a desarrollar en el Capítulo.
“El Estudiante explica y diferencia distribuciones de probabilidades
de manera general y específicamente en el desarrollo de su
profesión”
“El estudiante identifica variables aleatoria discretas y continuas”
“El estudiante soluciona problemas de aplicación de distribuciones de
probabilidad”
Contenido.
Importancia de las probabilidades en las Ciencias Empresariales.
Conceptos básicos de Probabilidad
Reglas de Probabilidad.
Cálculo de probabilidades.
Teorema de Bayes.
Bibliografía del tema:
Documentación Académica revisada 56
Allen Webter “Estadística Aplicada a la Administración y a la
Economía”. Capítulo 5.
Murray R. Spiegel. “Estadística”, capítulo 7
Leonard Kasmier “Estadística Aplicada a la Administración y a la
Economía”, capítulo 6
Murray R. Spiegel, John Schiller, R.Alu Srinivasan. “Probabilidad y
Estadística”, capítulo 4
Distribuciones de Probabilidad.
3.1 Introducción al Capítulo:
Antes de adentrarnos en el tema de las distribuciones de probabilidad
existen un conjunto de conceptos que debemos tener muy claro.
Variable Aleatoria: Con frecuencia es útil resumir con un número el resultado
de un experimento aleatorio. La variable que asocia un número con el
resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatoria.
Otra forma de definir variable aleatoria es decir que:
“Es aquella que toma diferentes valores como resultado de un
experimento aleatorio”
“Matemáticamente, una variable aleatoria es una función que asigna
un número real a cada resultado en el espacio muestral de un
experimento aleatorio”
Las variables aleatorias se denotan con una letra mayúscula, tal como X, y
con una letra minúscula, como x, el valor posible de X.
Ejemplos de Variables Aleatorias.
Documentación Académica revisada 57
En cada uno de los ejemplos, determine la variable aleatoria y cuáles son
posibles valores que toma.
Se analiza una muestra de 5 celulares, se quiere observar cuántos poseen
una avería interna en las pilas.
Una empresa posee un sistema de comunicación por voz de 30 líneas, se
estudia el número de líneas ocupadas en cualquier momento.
Hay que contar la cantidad de minutos esperados para ser atendido en
un Banco por todos los clientes que ingresaron el mes de mayo.
3.2.- Variables Aleatorias Discretas y Continuas.
Si la variable aleatoria sólo puede tomar un valor de un conjunto limitado
de valores, entonces es una variable aleatoria discreta. En el otro extremo,
sí se puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado, entonces se
trata de una variable aleatoria continua.
3.3.- Distribución de Probabilidad.
Una distribución de probabilidad, de una variable aleatoria X, es una
descripción del conjunto de valores posibles de X, junto con la probabilidad
asociada a c/u de estos valores.
Existen dos tipos de estas distribuciones o funciones de probabilidad:
Función de probabilidad, cuando se habla de variables discretas
Función de densidad de probabilidad, cuando se trata de variables
continúas.
Documentación Académica revisada 58
El estudio de las Distribuciones de probabilidad por si solo es una materia. En
esta guía vamos a trabajar con las más importantes. Dentro de las discretas
analizaremos la distribución Poisson y en las Continuas la Distribución Normal
y la “t” de Student.
3.4- Distribución de Poisson.
Pueden tomar solo ciertos valores dentro de un rango de datos.
Pueden tomar infinitos valores dentro de un rango de datos.
Documentación Académica revisada 59
Dado un intervalo de números reales, suponga que el conteo de
ocurrencias es aleatorio en dicho intervalo. Si este puede dividirse en
subintervalos suficientemente pequeños tales que:
1. la probabilidad de ocurrencia más de una ocurrencia en dicho
subintervalo es cero.
2. la probabilidad de ocurrencia en un subintervalo es la misma para
todos los subintervalos, y es proporcional a la longitud de éstos.
3. el conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del
de los demás subintervalos.
Ejemplo del Uso de la Distribución de Poisson.
Un gerente comercial está interesado en la probabilidad de que
exactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora (ó en cualquier
hora del día) laboral. La observación simple de las últimas 80 horas ha
demostrado que 800 clientes han entrado a la tienda. Por tanto “u” es 10
por hora.
El mismo ejercicio se lo puede resolver utilizando la Tabla que está al final de
la Guía.
!x
xλ
λ-e
x)P(X
u= 10
x= 5
e= 2.71828
P(x) = P(5) =
P(5) = 0.0378 --------3.78%
Respuesta: Existe un 3.78% de probabilidad de que
exactamente 5 clientes ingresen en la tienda durante la siguiente hora
Documentación Académica revisada 60
Como vemos el resultado es el mismo. 3,78%
Ejercicios Resueltos utilizando la probabilidad de Poisson.
1.- Se sabe que pasan 18 autos por minuto en el segundo anillo de la
Avenida Cristo Redentor. ¿Cuál es la probabilidad que en el próximo minuto
pasen 26 autos?
Documentación Académica revisada 61
2.- En Equipetrol hay un promedio de 3 peleas / noche cada fin de
semana. El asistente de seguridad de la nueva discoteca “Tentation”,
desea estimar la probabilidad que el sábado hallan 4 peleas en la zona y
busca a un estadista. ¿Qué usted le respondería?
Documentación Académica revisada 62
3.5 Distribución Normal de Probabilidades.
La distribución Normal de Probabilidades es la más importante de todas las
distribuciones de Probabilidad La misma tiene un conjunto de propiedades
que se muestran a continuación.
Propiedad 1. La distribución Normal de Probabilidades es Simétrica
(Coeficiente de Asimetría igual a cero)
Propiedad 2. La distribución Normal de Probabilidades es Mesocúrtica.
(Curtosis igual a cero)
Propiedad 3. La media de la población cae dentro del grafico y coincide
con el centro de la grafica. En la distribución Normal de Probabilidades la
media aritmética es igual a la mediana e igual a la moda.
Propiedad 4. Los dos extremos de la distribución normal se extienden
indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal (desde luego, esto es
imposible de mostrar de manera grafica)
Propiedad 5. Para definir una distribución normal se necesitan solamente
dos parámetros la media y la desviación estándar.
Documentación Académica revisada 63
Distribución Normal de Probabilidades.
Fórmula de Aplicación de la Distribución Normal de Probabilidades.
Para entender mejor este tema veamos un ejercicio de Aplicación.
A. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 20 a 35 minutos?
Z =20−35
14= −1,07→%
B. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 15 a 53 minutos?
Z =15−35
14= −1,42→42,22%
Z =53−35
14= −1,28→39,97%
Z = 82,19%
σ
μ-xz
15 35 53
20 35
Documentación Académica revisada 64
C. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega en más de 41 minutos?
Z =41−35
14= −0,42→16,28%
Z = 50 – 16,28% = 33,72%
D. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega en más de 19 minutos?
Z =19−35
14= −1,14→37,29% + 50% = 87,29%
E. ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 21 a 33 minutos?
Z =21−35
14= −1→34,13%
Z =33−35
14= −0,14→5,57%
Z = 34,13% - 5,57% = 28,56 %
35 41
19 35
21 33 35
Documentación Académica revisada 65
UNIDAD 4
Estimación Estadística. 4.1 Estimación por Intervalos de Confianza.
Usted se habrá preguntado. ¿Por qué se llama Estadística Inferencial?, ¿Qué
es inferir?, ¿De qué se tratará la Unidad?, bueno, esta es una de las partes
más lindas y apasionantes de la Estadística Inferencial, los intervalos de
confianza como su nombre lo dice son aproximaciones reales que
otorgamos a la población según los valores seleccionados en la muestra. Es
importante dividir este estudio en dos, primero en el caso de las muestras
grandes. (Mayores de 30) y por segundo las muestras pequeñas (menores
que 30) todo esto vamos a explicarlo muy fácilmente en este capítulo de
nuestra guía.
Como tal Inferencial viene de inferir, generalizar, ejemplo, si se realizó una
encuesta a 300 estudiantes de la Universidad con la intención de conocer
la aceptación del nuevo método de inscripciones por internet, en el estudio
se mostró que el 40% estaba satisfecho con el método y un 60% no, por lo
tanto inferimos que toda la universidad piensa lo mismo. Este proceso que
hemos hecho tan fácilmente tiene su grado de complejidad que vamos a
desmenuzar en esta parte de la guía.
Pautas para que un intervalo de confianza funcione.
1.- Para que tenga validez el intervalo de confianza la encuesta debe estar
hecha por muestreo.
2.- Los intervalos como su nombre lo dice son infinitos valores entre un rango
no un valor específico.
4.2 Intervalo de confianza para calcular una media poblacional (u), cuando
conocemos la varianza poblacional y tenemos una muestra mayor a 30
datos.
La única forma de hallar “u” media poblacional, es trabajando un censo,
como no podemos trabajar con censos en la mayoría de las ocasiones por
su elevado costo tomamos una muestra, los resultados de la muestra
debemos inferirlos a la población mediante un intervalo de confianza.
Ejemplo:
Documentación Académica revisada 66
Se tomo una encuesta de 100 personas en Santa Cruz para estimar la
demanda de pantalones jeans, los datos mostraron un promedio de gasto
anual en estas prendas de 150 dólares. Estudios anteriores mostraron una
varianza poblacional de 81 dólares. Estime con los datos de esta muestra los
valores de la población con un 95% de confiabilidad.
Fórmula:
𝒖 = 𝒙 ± 𝒁𝝈
√𝒏 La Desviación estándar del promedio puede calcularse de
esta forma.
Solución:
Como podemos ver en los datos del problema nos dan la Varianza, que
hallándole la raíz podemos tener la desviación estándar, también tenemos
el tamaño de la muestra, solo nos faltaría el valor del estadígrafo “Z”, que ya
aprendimos a buscarlos en el capítulo de Distribuciones de probabilidad.
Como podemos ver nos piden un 95% de confiabilidad, por lo tanto
buscamos en la tabla el valor de “Z” con un 95% de confiabilidad y tenemos
que es 1.96, luego sustituimos y lo demás es una simple operación
matemática.
𝑢 = 150 ± 1.96√81
√100= 150 ± 1.96
9
10 = 150 ± 1.96 (0.9) = 𝟏. 𝟕𝟔𝟒
Ahora podemos hacer el intervalo de confianza.
[150 − 1.764 ≤ 𝑢 ≤ 150 + 1.764]
[148.23 ≤ 𝑢 ≤ 151.764]
Interpretación: Estamos seguros que en el 95% de todas las posibles muestras
que se pudieron haber obtenido en la población, los valores de la media
oscilan entre 148.23 y 151.76 dólares.
4.3 Intervalo de confianza para calcular una media poblacional (u), cuando
“NO” conocemos la varianza poblacional y tenemos una muestra mayor a
30 datos.
En caso de que no conociéramos el valor de la varianza poblacional,
tomamos la de la muestra.
Documentación Académica revisada 67
Ejemplo:
Usted es el jefe de personal de la fábrica de caramelos “Dulcete” que tiene
sus instalaciones a las afueras de la Ciudad de Santa Cruz, en este momento
la empresa tiene un buen posicionamiento en el mercado cruceño, datos
de nuestros socios de negocio indican que dos empresas del mismo rubro
de la Argentina van a incursionar en el mercado local, hace falta investigar
el mercado de los caramelos en Santa Cruz completa, teniendo en cuenta
que los niños de 3 a 11 años son el 95% de nuestros clientes se los va a tomar
como población objetivo. Se visitan 100 colegios y se hace una encuesta a
15.000 estudiantes mostrando un promedio de gasto de 40 bolivianos por
mes. Con un valor máximo de compra de 85 bolivianos y un mínimo de 5
bolivianos. Calcular el intervalo de confianza que muestra los datos de toda
la población de niños de Santa Cruz con un 90% de confianza.
Solución:
Como podemos ver tenemos el valor del Rango, que sería (85 – 5), en este
caso 80 bolivianos, la teoría estadística muestra que el Rango dividido entre
4 es la Desviación Estándar. En este caso 80/4= 20.
El valor de “Z” para un 90% de confianza es 1.64
𝑢 = 40 ± 1.6420
√15.000 = 40 ± 0.2694
[40 − 0.2694 ≤ 𝑢 ≤ 40 + 0.2694]
[39.7306 ≤ 𝑢 ≤ 40.2694]
Interpretación: Estamos seguros que en el 90% de todas las posibles muestras
que se pudieron haber obtenido en la población, los valores de la media
oscilan entre 39.7306 y 40.2694 dólares.
4.4 Intervalo de confianza en muestras pequeñas. (Distribución “t”)
Anteriormente trabajamos con muestras grande (≥30); pero hay casos en
que no se puede trabajar con este tipo de muestras, ejemplo. Si usted es el
encargado de probar la seguridad de los autos Toyota y para realizar su
prueba tiene que chocar un auto contra un muro, le garantizo que no va a
Documentación Académica revisada 68
chocar 30 autos o más. En estos casos que tenemos muestras pequeñas
trabajamos con la distribución “t” de student.
Fórmula:
Ejemplo:
El promedio de ventas que debe tener la sucursal de “Ford” en Argentina es
de 100.000 al mes para dólares por mes para cubrir sus costos de producción
y mantenimiento de la empresa. Usted ha sido contratado como asesor e
investigador de mercado y tiene que sugerirle al gerente general ¿Qué
hacer con la situación de la empresa?, ya que con menos de 100.000
dólares al mes no puede seguir operando. Los datos de los últimos 7 meses
muestran un ingreso promedio de 90.675 dólares y una desviación estándar
de 5.000 dólares. Con un 99% de confiabilidad ¿Qué consejo profesional le
diría al gerente general?
El valor de “t” para un 99% de confianza es 3.7007, y los grados de libertad
son 7-1=6
𝑢 = 90.675 ± 3.70075.000
√7 = 90.675 ± 6.993,66
[90.675 − 6.993.66 ≥ 𝑢 ≥ 90.675 + 6.993.66]
[83.681.34 ≥ 𝑢 ≥ 97.668,66]
R) En este caso, podemos aconsejarle al gerente que cierre la empresa por
que los resultados muestran que con un 99% de confiabilidad las ventas
están entre 83.681 y 97.668 dólares que no cubren el costo de producción.
4.5 Intervalo de Confianza para hallar una proporción poblacional.
En el caso de las proporciones a diferencia de las medias siempre vamos a
utilizar “Z”, no importa que sean muestras grandes ó pequeñas.
Fórmula:
Documentación Académica revisada 69
Que es lo mismo que decir. √𝑝𝑞
𝑛
Ejemplo:
Usted es el jefe de campaña del candidato “Augusto Hernández” para las
elecciones municipales, en la encuesta que usted tomó a 1.000 ciudadanos
con su grupo de trabajo, el candidato tenía el 40% de los votos, teniendo en
cuenta un 95% de confiabilidad y teniendo en cuenta que para ganar la
elección se requiere el 36.85% de los votos, ¿Qué le diría al candidato?
Como vemos p= 0.4, q= 0.6, n= 1000 y “Z” para un 95% de confianza es 1.96.
𝜋 = 𝑝 + Z√𝑝𝑞
𝑛= 0.4 ± 1.96√
0.4∗0.6
1.000= 0.4 ± 1.96 (0.01549)
[0.4 − 0.03 ≤ 𝜋 ≤ 0.4 + 0.03]
[0.37 ≤ 𝜋 ≤ 0.43]
Respuesta) Puede decirle al candidato que está tranquilo que estamos
seguros que en un 95% de todas las posibles muestras que se pudieron haber
tomado, el candidato aparece como ganador. ¡¡Felicidades!!.
UNIDAD 5
Muestreo
Documentación Académica revisada 70
Teoría del muestreo.
OBJETIVOS
Reconocer los diferentes tipos de muestreos probabilísticas.
Reconocer los diferentes tipos de muestreos no probabilísticas.
Calcular el tamaño de la muestra para población finita e infinita.
Resolver problemas de aplicación a la economía.
5.1 Muestreo.
Uno de los temas más importantes de la Estadística Inferencial es sin duda
alguna el Muestreo. Es la parte de la ciencia que divide a la investigación
científica de la búsqueda empírica de resultados, la correcta selección del
tamaño de la muestra es sumamente importante en el mundo empresarial,
ya que frecuentemente requerimos realizar encuestas e investigaciones de
mercado para tomar decisiones que es la base de un profesional exitoso.
Si bien hay muchísima bibliografía acerca del tema en esta guía hemos
intentado sintetizar solo los argumentos más importantes y que les resultarán
más útiles a los profesionales de las Ciencias Económicas, Administrativas y
Financieras.
Existen como tal dos tipos de muestreo, el probabilístico y el No
probabilístico, el muestreo probabilístico es cuando todos los elementos de
la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados en la
Muestra y obviamente el no probabilístico es el que muestra lo contrario. En
este Manual solo trabajaremos con el muestreo probabilístico y
necesariamente con poblaciones finitas (que se conocen todos los
elementos de la población) ya que estos son los más utilizados en las
investigaciones de mercado de nuestro rubro de trabajo.
Aparte de las fórmulas de muestreo existen criterios que necesariamente
deben cumplirse a la hora de realizar una investigación.
Criterios de Muestreo.
1. Se debe tomar información en todas las áreas y horarios. (Si queremos
realizar una encuesta en la Universidad UTEPSA, es importante que
tomemos la opinión de estudiantes de todos los horarios, ya que la
opinión de los estudiantes de la mañana puede diferir mucho a los de
la noche)
Documentación Académica revisada 71
2. Si usted no va a realizar la encuesta debe adiestrar muy bien a los
encuestadores y si es posible realizar una auditoría de trabajo de
campo5.
3. Tomar la información en diversos días no el mismo. ¿Por qué?, En
muchas ocasiones hay lugares que las personas visitan solo rara vez y
otros todos los días.
Para seleccionar los datos tenemos que tomar en cuenta que existen varios
métodos de selección.
1. La Entrevista Personal.
2. Entrevistas por teléfono.
3. Cuestionarios Auto aplicados (Encuestas)
4. Observación Directa.
Nota: Intente que la mayor cantidad de sus preguntas sean cerradas. Las
preguntas más importantes no pueden tener la opción No se no respondo.
Planeación de una encuesta por muestreo.
1. Establecimiento de objetivos: Usted debe saber de ante mano lo que
quiere investigar, los objetivos deben ser muy claros y concisos.
2. Población Objetivo: Usted debe delimitar su población. No siempre
nos interesa trabajar con la población en su conjunto sino una parte
de ella. Ejemplo. Si usted es vendedor de acciones de bolsa con un
valor superior a los 1.5 millones de dólares no creo que le interese
mucho encuestar a estudiantes ó personas de recursos medios.
3. El Marco Muestral: El Marco muestral es una lista donde están todos los
elementos de la población, ejemplo si usted va a estudiar el nivel de
satisfacción de los obreros del ingenio Guabirá, el marco muestral
sería la nomina de todos los trabajadores.
4. Diseño de Muestreo: Seleccione que tipo de muestreo va a utilizar,
aleatorio simple, sistemático, por conglomerados ó polietápico6
(Varios muestreos a la vez)
5. Método de Medición: Entrevistas, encuestas, observaciones,
entrevistas por teléfono, etc.
6. Instrumento de Medición. Como tal este paso se refiere a elaborar el
cuestionario en sí.
5 Este tema se trabajará en profundidad en la materia de investigación de mercado. 6 El muestreo polietápico está diseñado para investigaciones de mercado muy grandes con poblaciones superiores a 500.000 personas, elementos u observaciones.
Documentación Académica revisada 72
7. Selección y adiestramiento de investigadores de Campo: Este es una
de las partes más importantes, tome el tiempo que sea necesario para
esto y dele la importancia que se merece, de instrucciones claras.
8. Prueba Piloto. Se realiza con dos objetivos, uno es calcular la varianza
poblacional y otro es saber más ó menos como está elaborado el
cuestionario.
9. Organización y Trabajo de Campo: Como tal es el trabajo de campo
en sí. Ir y tomar la información a la calle, a la empresa ó por correo.
10. Organización del Manejo de Datos. Ya está toda la información
seleccionada y requerimos organizar el trabajo, ¿Quién va a tabular?,
¿Quién va a dictar?, etc.
11. Análisis de los datos: Es el tratamiento ó procesamiento de la
información y las propuestas de solución a problemas, hipótesis ó
toma de decisiones.
5.2 Muestreo Aleatorio Simple:
Este es sin duda alguna el más utilizado de todos los muestreos, sus usos son
infinitos, y es tan sencillo de entender como tener una bolsa con 40 bolillas y
seleccionar 10 a azar, evidentemente todos los elementos de la población
tienen la misma probabilidad de ser seleccionados en la muestra.
Para seleccionar el tamaño de la muestra utilizando el muestreo
aleatorio simple debemos tener en cuenta ¿Que nos interesa de la
población?
La media poblacional. Ejemplo (Cuál es el gasto promedio en CD´s de
los estudiantes Universitarios de Santa Cruz de la Sierra, Bolivia)
Una proporción poblacional. Ejemplo (Cuál es la proporción de
estudiantes de Santa Cruz que compran CD´s.
Un total poblacional. Ejemplo (Cuál es el total de dinero que gastan
estudiantes de Santa Cruz comprando CD´s.
En esta guía no vamos a trabajar con los totales, pero si es importante que
conozcas que existe este tipo de estadígrafo llamado (tao) ó total7.
Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar la Media Poblacional.
Recordemos que la media poblacional es (miu) ó (mu) y se denota con la
letra (u)
7 Para más información acerca de este tema. Scheaffer Richar Editorial Iberoamérica, “Elementos de Muestreo”
Documentación Académica revisada 73
Fórmula:
𝒏 = 𝑵𝝈𝟐
(𝑵−𝟏)𝑫+ 𝝈𝟐 𝑫 =
𝐁𝟐
𝟒
Donde:
n: Es el tamaño de la Muestra.
N: Es la Población.
E: Límite para el error de estimación.
𝜎2 : Varianza Poblacional
Nota: Una vez seleccionado el tamaño de la Muestra se seleccionan de la
población utilizando la tabla de Números Aleatorios.
Ejemplo 1:
5000 son las cuentas en moras de la Cooperativa “LUNA”, se sabe por
estudios anteriores que la desviación estándar de las mismas es de 35
dólares, Hay que llamar a los clientes para saber ¿Cuál ha sido el motivo del
retraso en sus obligaciones? Evidentemente no se puede llamar a los 5.000
porque incurriría un elevado costo para la cooperativa, por lo que hay que
seleccionar una muestra. Es evidente que se puede utilizar el muestreo
aleatorio simple debido a que cumple con los requisitos del mismo.
A) Determine el número de clientes que hay que llamar con un límite
para el error de estimación de 5 dólares.
B) Determine el número de clientes que hay que llamar con un límite
para el error de estimación de 10 dólares.
Respuesta inciso “a”
No nos dan la Varianza poblacional pero si la desviación Estándar, y
la varianza es la desviación estándar al cuadrado.
𝜎2 = 352= 1225
𝜎2 = 1.225 N= 5.000 B= 5
𝐷 =B2
4 =
52
4=
25
4= 6.25
𝑛 = 𝑁𝜎2
(𝑁−1)𝐷+ 𝜎2 =
(5.000)(1.225)
(5.000−1)6.25+ 1.225 =
6.125.000
(4999)6.25+ 1.225 = 188.64 ≈ 189
Respuesta: De las 5.000 cuantas de la cooperativa “LUNA” tenemos que
seleccionar 189 si es que queremos un límite para el error de estimación de
5 dólares.
Respuesta inciso “b”
𝜎2 = 352= 1225
𝜎2 = 1.225 N= 5.000 B= 5
𝐷 =B2
4 =
102
4=
100
4= 25
Documentación Académica revisada 74
𝑛 = 𝑁𝜎2
(𝑁−1)𝐷+ 𝜎2 =
(5.000)(1.225)
(5.000−1)25+ 1.225 =
6.125.000
(4999)25+ 1.225 = 48.53 ≈ 49
Respuesta: De las 5.000 cuantas de la cooperativa “LUNA” tenemos que
seleccionar 49 si es que queremos un límite para el error de estimación de 10
dólares.
Nota: Notemos que mientras más grande es el error que aceptamos más
pequeña es la muestra.
Ejemplo 2.
Usted es el gerente de Marketing de la empresa comercializadora de
calzados “Zapatitos de Cristal”, en los últimos meses se ha detectado un
descenso de las ventas netas, su asesor sugiere que se realice una
investigación de mercado para detectar si ha sido debida a un ciclo
comercial ó a la llegada de nuevos competidores. Se tomó una prueba
piloto donde se pudo detectar en los encuestados un valor máximo de
compras de 80 dólares y un mínimo de 20. Con un error de estimación de 4
dólares cuantas encuestas se deben tomar para saber por qué ha sido el
descenso en las ventas teniendo en cuenta que los clientes con dirección y
número de celular están en la base de datos de la empresa y suman 3.000.
𝜎2 = Tenemos que tomar en cuenta que no nos dan la desviación estantar, ni la
varianza de la población, pero nos dan el rango, que en este caso sería 80-
20= 60. Por regla estadística el rango dividido entre 4 es la desviación
estándar.
Por lo tanto 60/4= 15, y la varianza es la desviación estándar al cuadrado.
152= 225
𝜎2 = 225 N= 3.000 B= 5
𝐷 =B2
4 =
42
4=
16
4= 4
𝑛 = 𝑁𝜎2
(𝑁−1)𝐷+ 𝜎2 =
(3.000)(225)
(3.000−1)25+ 225 =
675.000
(2999)4+ 225 = 55.23 ≈ 56
Respuesta: Se debe tomar una encuesta a 56 de los clientes.
Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar una proporción
poblacional. (𝝅)
Recordemos que la proporción poblacional es (𝝅)
Fórmula:
𝒏 = 𝑵𝐩𝐪
(𝑵−𝟏)𝑫+ 𝐩𝐪 𝑫 =
𝐁𝟐
𝟒
Donde:
n: Es el tamaño de la Muestra.
N: Es la Población.
B: Límite para el error de estimación.
Documentación Académica revisada 75
p: proporción poblacional de éxitos en casos anteriores ó la prueba piloto.
q: proporción poblacional de fracasos en casos anteriores ó la prueba
piloto.
Ejemplo:
El señor Juan propietario de la Finca Ganadera “Juanito” ha
detectado que están muriendo animales. Juan es propietario de 10.000
cabezas de ganado y el costo del estudio (análisis de sangre) por animal es
de 5 Bs. Juan solo puede tener un error de estimación del 5% y no tiene el
dinero suficiente para realizarle el estudio a todos los animales. Cuál es la
Muestra probabilística que debe seleccionar Juan para realizar el estudio
que verifique la proporción de animales que están enfermos y cuál es el
presupuesto que necesita para llevar adelante análisis de sangre.
Nota: En el anterior estudio se calculo que el 20% de los animales estaban
contaminados con un virus.
N= 10.000 p= 0.2 q= 0.8 B= 0.05
𝐷 =B2
4 =
0.052
4=
0.0025
4= 0.000625
𝑛 = 𝑁pq
(𝑁−1)𝐷+ pq =
(10.000)(0.2)(0.8)
(9.999)(0.000625)+(0.2)(0.8) = 250
Respuesta: Con un límite para el error de estimación de 5% el tamaño de la
muestra debe ser de 250 animales para el estudio y el presupuesto sería de
250*5= 1.250 bolivianos.
Ejemplo 2.
El gerente de Recursos Humanos de la fábrica de Juguetes
“Juguetón” leyó la semana pasada el buzón de quejas y sugerencias
internas y detectó que un 30% de las quejas eran acerca del mal trato del
Supervisor “Fernández”, preocupado por esta situación decide realizar una
encuesta para determinar si realmente existe tal molestia entre los
trabajadores ó es solo problema de una camarilla, El problema es que hay
50.000 obreros y encuestarlos a todos sería en un período muy largo de
tiempo. ¿Qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra que necesita
tomar el gerente para realizar dicha encuesta teniendo en cuenta un límite
para el error de estimación de 0.04?
N= 50.000 p= 0.3 q= 0.7 E= 0.04
𝐷 =B2
4 =
0.042
4=
0.0016
4= 0.0004
𝑛 = 𝑁pq
(𝑁−1)𝐷+ pq =
(50.000)(0.3)(0.7)
(49.999)(0.0004)+(0.3)(0.7) =
10.500
20.209 = 519.55 ≈ 520
R) El gerente requiere tomar una muestra de 520 empleados para
determinar la situación del señor Fernández.
Documentación Académica revisada 76
4.3 Muestreo Sistemático:
El muestreo sistemático es muy parecido aleatorio simple, de hecho
mantiene hasta las mismas fórmulas, la única diferencia es que en este se
divide la población entre la muestra y hallamos un valor que vamos a llamar
“K”, tomamos un primer valor y sistemáticamente sumamos “K” y
seleccionamos la observación.
Ventajas del Muestreo Sistemático:
1.- Es el más fácil de llevar a cabo en el campo.
2.- Está menos expuestos a errores de selección que cometen los
investigadores de campo.
3.- El muestreo Sistemático puede proporcionar mayor información que la
que puede proporcionar el muestreo aleatorio por unidad de costo.
Selección del tamaño de la muestra para hallar el promedio poblacional.
Fórmula.
𝒏 = 𝑵𝝈𝟐
(𝑵−𝟏)𝑫+ 𝝈𝟐 𝑫 =
𝐁𝟐
𝟒
Como podemos ver es la misma muestra que el muestreo aleatorio simple.
Ejemplo:
La siguiente tabla muestra los valores de las edades de los integrantes del
Club Social. (Guajurú). Con un error de estimación de 4 años. ¿Cuál debe
ser la muestra que se debe seleccionar? y realice mediante el muestreo
sistemático, seleccione los valores y halle el promedio de la muestra e infiera
a la población.
56 36 80 54 21 45 48 49 52 59
64 48 75 20 25 29 32 36 37 33
33 39 45 42 48 65 32 6 90 75
21 20 54 58 68 69 70 65 60 70
50 52 45 25 35 65 95 85 75 75
45 75 45 25 52 45 53 56 59 58
57 65 68 67 64 21 70 80 90 54
24 25 65 35 36 38 69 71 80 28
Evidentemente que una población de este tamaño (80) se puede estudiar
en su totalidad pero con fines pedagógicos hemos tomado la decisión de
seleccionar una muestra y luego sistematizar.
Edad Máxima: 90 años, Edad Mínima: 20 años, Rango = 70 años.
No nos olvidemos que el Rango dividido entre 4 es la desviación estándar.
70/4= 17.5. La varianza es la desviación estándar al cuadrado. 17.52= 306.25
Documentación Académica revisada 77
𝜎2 = 306.25 N= 80 B= 4
𝐷 =B2
4 =
112
4=
121
4= 30.25
𝑛 = 𝑁𝜎2
(𝑁−1)𝐷+ 𝜎2 =
(80)(306.25)
(80−1)30.25+ 306.25 =
24.500
(79)30.25+ 306.25 = 9.08 ≈ 10
K= 80/10= 8
Evidentemente tenemos que seleccionar 10 de los 80 socios. El primer valor
lo tomamos aleatoriamente entre los primeros 10 valores, en nuestro caso
fue el tercero, entonces seleccionamos el tercer valor y sistematizamos
sumando “K” que en este caso es 8.
56 36 80 54 21 45 48 49 52 59
64 48 75 20 25 29 32 36 37 33
33 39 45 42 48 65 32 6 90 75
21 20 54 58 68 69 70 65 60 70
50 52 45 25 35 65 95 85 75 75
45 75 45 25 52 45 53 56 59 58
57 65 68 67 64 21 70 80 90 54
24 25 65 35 36 38 69 71 80 28
Ahora realizamos el estudio entre los 10 valores seleccionados en la muestra.
𝑥 =∑xi
𝑛=
80 + 64 + 37 + 32 + 68 + 45 + 45 + 59 + 70 + 36
10=
536
10= 53.6 ≈ 54
El promedio de las edades de la muestra es 54 años. Ahora realizamos el
intervalo de confianza para inferir a la población. Como es una muestra
pequeña (10) tenemos que utilizar la “t” de student.
S= 17.5, √𝑛 = √10 = 3.16. Grados de libertad sería n-1, 10-1= 9, y el nivel de
significación al no dárnoslo es el 95%. Siguiendo los pasos que están en la
tabla es 2.262 el valor de “t”
Documentación Académica revisada 78
𝑢 = 𝑥 ± 2.262 (17.5)
√10= 2.262
(17.5)
3.16= 12.52
[54 − 12.52 ≥ 𝑢 ≥ 54 + 12.52]
[41.47 ≥ 𝑢 ≥ 66.52]
Respuesta: Estamos seguros que en un 95% de las posibles muestras que se
pudieran haber seleccionado la media estará entre 41.47 y 66.52 años.
Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar una proporción
poblacional. (𝝅)
Fórmula:
𝒏 = 𝑵𝐩𝐪
(𝑵−𝟏)𝑫+ 𝐩𝐪 𝑫 =
𝐁𝟐
𝟒
Ejemplo:
Los siguientes datos muestran la opinión que tuvieron las 130 personas
que asistieron al cine “Peliculón” el día de su reapertura. Encuestas
anteriores muestran que el 65% de los visitantes ven las mejoras como
positivas. Debido a que tabular 130 encuestas es mucho según el gerente,
se decide tomar una muestra con un error de 0.15 y un 95% de confiabilidad,
aparte realice un estudio estadístico completo. Positivo Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo
Igual Negativo Positivo Igual Positivo Igual Negativo Positivo Igual Positivo
Negativo Igual Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Igual Positivo
Igual Positivo Negativo Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo
Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo Igual Positivo Positivo
Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo
Igual Igual Positivo Negativo Positivo Negativo Igual Positivo Positivo Igual
Negativo Positivo Positivo Igual Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo
Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Igual Igual Negativo Igual
Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Positivo Igual Positivo Igual Negativo
Igual Positivo Negativo Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo
Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo Igual Positivo Positivo
Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo
Solución.
N= 130 p= 0.65 q= 0.35 E= 0.15
𝐷 =B2
4 =
0.152
4=
0.0225
4= 0.005625
Documentación Académica revisada 79
𝑛 = 𝑁pq
(𝑁−1)𝐷+ pq =
(130)(0.65)(0.35)
(129)(0.005625)+(0.65)(0.35) =
29.57
0.9531 = 31.02 ≈ 32
𝐾 =130
32= 4.06 ≈ 4 Si bien en estadística siempre redondeamos al mayor
valor, en el caso del cálculo de la “K” se utiliza el enfoque matemático.
Ahora tomamos un número aleatorio entre los primeros 4 número en nuestro
caso fue el 2. O sea, la segundo observación que nos va a servir como punto
de partida y primer valor. Positivo Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo
Igual Negativo Positivo Igual Positivo Igual Negativo Positivo Igual Positivo
Negativo Igual Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Igual Positivo
Igual Positivo Negativo Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo
Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo Igual Positivo Positivo
Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo
Igual Igual Positivo Negativo Positivo Negativo Igual Positivo Positivo Igual
Negativo Positivo Positivo Igual Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo
Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Igual Igual Negativo Igual
Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Positivo Igual Positivo Igual Negativo
Igual Positivo Negativo Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo
Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo Igual Positivo Positivo
Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo
Hacemos el estudio de las variables cualitativas de los treinta datos y
tenemos que la proporción de clientes que estuvo satisfecha (positivo) fue
el 0.4687, o sea 15 de 32 encuestados.
Ahora vamos a hallar el intervalo de confianza.
Como estamos trabajando con muestras grande trabajamos con “Z” no con
“t”
Documentación Académica revisada 80
¶ = 𝑝 ± 1.96 √0.65∗0.35
32= 0.4687 ± 1.96(0.0843) = 0.4687 ± 0.1652
[0.3035 ≥ ¶ ≥ 0.6339] Estamos seguros que en un 95% de las posibles
muestras que se pudieron haber seleccionado la proporción de clientes que
creen que el cambio fue positivo está entre 0.3035 y 0.6339.
Muestreo Estratificado.
Es sin duda alguna uno de los tipos de muestreo más importante, se
utiliza mucho en las investigaciones de mercado en la parte de
Documentación Académica revisada 81
segmentación. Este tipo de muestreo se utiliza cuando nos interesa el peso
de una determinada parte del mercado. En palabras más sencillas cuando
tenemos que segmentar la muestra en varias submuestras.
Muestreo Estratificado cuando nos interesa calcular la media poblacional.
Fórmulas:
𝑛 = (∑𝑁𝑖 𝜎𝑖)2
𝑁2𝐷+ ∑𝑁𝑖𝜎𝑖2 𝑛𝑖 = 𝑛 (𝑁𝑖 𝜎𝑖
∑𝑁𝑖𝜎𝑖)
Evidentemente lo vas a comprender mejor con un ejemplo. Disfrútalo.
Ejemplo de selección del tamaño de la muestra para estimar la media
poblacional.
5.1 La cadena de tiendas de ropas deportivas GLENN, necesita saber
el promedio de gasto que tienen los hombres y las mujeres de la UTEPSA para
decidir qué tipo de publicidad se va a lanzar. Es sabido que la Universidad
tiene 8.000 estudiantes y de estos 6000 son mujeres. Se hizo una prueba
piloto que demostró que el gasto en ropa deportiva máximo en el caso de
los hombres es de 50 $us en promedio por mes y el mínimo de cero, que son
las personas que no gastan nada en ropa deportiva. En el caso de las
mujeres la que más gasta en ropa deportiva es 150 dólares y evidentemente
hay chicas que no usan ropa deportiva.
¿Qué tan grande debe tomarse la muestra para estimar el promedio
de gasto en ropa deportiva por mes conociendo que el límite para el error
de estimación es de 10 dólares?
Respuesta:
Es evidente que en este caso debe de utilizarse el muestreo
estratificado debido a que los hombres y las mujeres forman dos grupos de
consumidores completamente diferentes.
En este caso no nos dan la desviación estándar ni la varianza de la
población pero nos dan el Rango, por propiedad estadística podemos decir
que la desviación estándar es el rango Dividido entre 4.
Rango de Gasto de hombres (50 dólares)
Rango de Gasto de Mujeres (150 dólares)
σ (hombres) = 50/4 = 12.5 dólares
σ (mujeres) = 150/4 = 37.5 dólares.
∑𝑁𝑖 𝜎𝑖 = (2.000)(12.5) + (6.000)(37.5) = 25.000 + 225.000 = 250.000
Documentación Académica revisada 82
𝑛𝑖 = 𝑛 (𝑁𝑖 𝜎𝑖
∑𝑁𝑖𝜎𝑖) 𝑛(𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠) =
25.000
250.000 = 0.10
𝑛𝑖 = 𝑛 (𝑁𝑖 𝜎𝑖
∑𝑁𝑖𝜎𝑖) 𝑛(𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠) =
225.000
250.000 = 0.90
Por lo tanto w1 = 0.1 y w2= 0.9
Ahora para encontrar n debemos calcular las siguientes cantidades.
∑𝑁𝑖𝜎𝑖2 = 2.000 (12.5)2 + 6.000 (37.5)2 = 312.500 + 8.437.500 = 8.750.000
𝐷 =102
4= 25
𝑛 = (∑𝑁𝑖 𝜎𝑖)2
𝑁2𝐷+ ∑𝑁𝑖𝜎𝑖2
𝑛= (250.000)2
8.0002(25)+ 8.750.000
38.85 ≈ 39 Este es el tamaño de la muestra total que debemos tomar de la
población.
n (hombres) = nw1 = 39*0.1 = 3.9 ≈ 4
n (mujeres) = n w2 = 39 *0.9 = 35.1≈ 35
La empresa debe encuestar a 4 hombres y 35 mujeres.
Ejemplo de selección del tamaño de la muestra para estimar una proporción
poblacional.
En una encuesta de televisión una empresa publicitaria planea utilizar
entrevistas por teléfono. Los tamaños de los estratos son N1= 155, N2= 62 y N3
= 93. Que representan la cantidad de viviendas que hay en cada una de los
tres barrios de la Ciudad. Los resultados de encuestas anteriores muestran
que en el barrio uno ven el programa el 35% de los habitantes, en el 2 un
40% y en el tres un 60%, con un límite para el error de estimación de 0.10
.Calcular el tamaño de la muestra.
P1= 0.35, P2= 0.40, P3= 0.60, por lo tanto.
Documentación Académica revisada 83
q1= 0.65, q2= 0.60, q3= 0.40
∑Ni= 310
𝑛1 = 𝑛 (𝑁1
∑𝑁𝑖) 𝑛 =
𝑁1
𝑁 =
155
310 = n(0.5)
𝑛2 = 𝑛 (𝑁2
∑𝑁𝑖) 𝑛 =
𝑁2
𝑁 =
62
310 = n(0.2)
𝑛3 = 𝑛 (𝑁3
∑𝑁𝑖) 𝑛 =
𝑁3
𝑁 =
93
310 = n(0.3)
∑𝑁𝑖𝑝𝑖𝑞𝑖 = (155)(0.35)(0.65) + (62)(0.4)(0.6) + (93)(0.6)(0.4)
∑𝑁𝑖𝑝𝑖𝑞𝑖 = 72, 46
B= 0.10 D= B2/4 𝐷 =0.102
4 𝐷 = 0.0025 𝑁𝐷 = (310)(0.0025) = 0.775
𝑛 =∑𝑁𝑖𝑝𝑖𝑞𝑖
𝑁𝐷+1
𝑁∑𝑁𝑖𝑝𝑖𝑞𝑖
= 𝑛 =72.46
(0.775)+ 1
310 (72.46)
= 71, 83 ≈ 72
n1= 72(0.5) = 36
n1= 72(0.2) = 14.4≈ 14
n1= 72(0.3) = 21.6≈ 22
Respuesta: En total hay que seleccionar 72 familias, 36 del barrio 1, 14 del 2
y 22 del 3
Documentación Académica revisada 84
Tablas