DE SLUSE IN NJEGOVE KRIVULJE

Univerza v Ljubljani

Pedagoška fakulteta

Oddelek za matematiko in računalništvo

Marko Razpet

DE SLUSE IN NJEGOVE KRIVULJE

Študijsko gradivo

Zgodovina matematike

Ljubljana avgust 2021

Vsebina

Seznam slik 3

Predgovor 5

Kdo je bil Reneacute-Franccedilois de Sluse 5

Eratostenov mesolabum 12

Drugo de Slusovo delo 19

De Slusove perle 22

Poseben primer de Slusove perle 24

Geometrijska konstrukcija in analitična obravnava 25

Spremljajoča parabola 29

Ogrinjače 30

Nožiščne krivulje 32

Ekstremne točke nožiščne krivulje 35

Cisoida 36

Neilova parabola 38

Ploščine in prostornine 42

Tangenta 43

Inverzija krivulje K na krožnici 45

Inverzija krivulje Kprime na krožnici 48

Pritisnjeni krožnici na K 49

Toksoida 50

De Slusove pomnoževalke hiperkock 57

Evdoksova kampila 67

Pomembni znanstveniki rojeni v 17 stoletju 74

Viri 77

Seznam slik

1 Reneacute-Franccedilois Walter de Sluse 6

2 Viseacute na zemljevidu iz sredine 19 stoletja 7

3 Mesolabum druga izdaja 1668 10

4 Osnovni elementi Eratostenovega mesolabuma 14

5 Premik pravokotnikov Eratostenovega mesolabuma 15

6 Končna lega pravokotnikov Eratostenovega mesolabuma 16

7 Do srednjih geometrijskih sorazmernic s parabolama 17

8 Do srednjih geometrijskih sorazmernic s parabolo in krožnico 18

9 Slusova konhoida 19

10 Primeri de Slusovih perl 23

11 Zasuk de Slusove perle za m = 2n = 3p = 1k = 001 okoli osi x 24

12 Konstrukcija točke T de Slusove perle K 25

13 De Slusova perla K 26

14 Lokalna ekstrema na de Slusovi perli K 28

15 De Slusova perla K in spremljajoča parabola 29

16 De Slusova perla K in ogrinjače Ks Kq Kr 30

17 Nožiščna krivulja Kprime krivulje K glede na koordinatno izhodišče 34

18 Krivulja C je cisoida krivulj K1 in K2 glede na točko O 37

19 De Slusova perla K kot cisoidna krivulja 38

20 Neilova ali polkubična parabola 39

21 Leibnizeva izohrona 40

22 Ploščini likov omejenih z zankama krivulj K in Kprime 44

23 Dotikalni elementi krivulje 44

24 Tangenta in normala na krivuljo K 46

25 Inverzna slika Klowast krivulje K 47

26 Krivulja Klowast in približka v okolici točk O in D 48

27 Inverzna slika Kprimelowast krivulje Kprime 49

3

28 Pritisnjeni krožnici na krivuljo K v točki O 50

29 Toksoida 51

30 Konstrukcija točk toksoide 52

31 Konstrukcija srednjih geometrijskih sorazmernic s toksoido 53

32 Prevoja toksoide T in pritisnjena krožnica v točki D 54

33 Inverzna slika T lowast toksoide T 55

34 Nekaj krivulj Hm 58

35 Krivulja H4 in pomnožitev roba trirazsežne kocke 59

36 Nekaj krivulj Cm 60

37 Krivulja C4 in pomnožitev roba 5-razsežne hiperkocke 61

38 Telo nastalo z zasukom lika med krivuljo C2 in njeno asimptoto

okoli te asimptote 63


okoli osi y 65

40 Telo nastalo z zasukom lika ki ga omejuje H4 okoli osi y 66

41 Konstrukcija točk Evdoksove kampile 68

42 Podvojitev kocke z Evdoksovo kampilo 69

43 Desna veja Evdoksove kampile prevoja in pritisnjena krožnica 71

44 Približna podvojitev kocke 72

45 Zrcaljenje Evdoksove kampile na krožnici 73

4

Predgovor

V prispevku bomo spoznali življenje in delo valonskega matematika in

kanonika de Slusa ki je po svoje zaznamoval buren razvoj matematike 17

stoletja V njegovem času je velik napredek doživel infinitezimalni račun

in uvedli so ustrezne matematične oznake ki jih uporabljamo še danes

Družbeni in ekonomski razvoj uveljavljanje heliocentričnega svetovne-

ga sistema geografska odkritja in z njimi povezana orientacija na morju

potrebe po točnem merjenju časa velika uporaba orodij in strojev razvoj

gradbeništva in geodezije in drugo so terjali čedalje bolj natančno in hitro

računanje Naraščalo je zanimanje za geometrijo astronomijo reševanje

enačb reševanje fizikalnih problemov in uporabo logaritmov Nastajala

so nova matematična področja na primer teorija verjetnosti infinitezi-

malni račun in variacijski račun Znanstveniki so si med seboj dopisovali

se obiskovali in tako širili nove ideje in teorije Nastajale so znanstvene

akademije kot protiutež univerzam kjer je še vedno prevladovala sholasti-

čna misel Ustanavljale so se znanstvene revije ki so zagotavljale večji

pregled nad avtorstvom novih odkritij in zamisli

Kdo je bil Reneacute-Franccedilois de Sluse

Čeprav je o de Slusu napisanega precej pa ni toliko znan znanstvenik kot

bi moral biti Veliko izvemo o njem na primer v [2 5 6 10] od kjer so

vzeti podatki ki sledijo v nadaljevanju

Reneacute-Franccedilois Walter de Sluse (včasih tudi Reneacute de Sluze latinsko Re-

natus Franciscus Slusius ali preprosteje kar Reneacute Sluse izgovarjamo pa

njegov priimek kot rdquosluumlzrdquo) se je rodil 2 julija 1622 v Viseacuteju ob reki Meuse

5

sedaj v valonskem delu Belgije v provinci Liegravege blizu meje med Belgijo

in Nizozemsko v bogati in omikani družini Njegova domovina je takrat

spadala pod Špansko Nizozemsko V tistih krajih so zemljepisna imena

v tamkajšnjih jezikih različna na primer de Slusov rojstno mesto ki je v

francoščini Viseacute je v nizozemščini Wezet v nemščini Wezen in v latinščini

Villa Viesato Prav tako glavno mesto province Liegravege oziroma do 1949

Lieacutege v francoščini Luik v nizozemščini Luumlttich v nemščini in Leodium

v latinščini Prav tako reka ob kateri ležita ti dve mesti Meuse v fran-

coščini Maas v nizozemščini in nemščini ter Mosa v latinščini

Slika 1 Reneacute-Franccedilois Walter de Sluse

Po študiju prava na Katoliški univerzi v Leuvenu med letoma 1638

in 1642 (francosko Louvain nemško Loumlwen) je odšel v Rim kjer je ostal

nekaj let in si že leta 1643 prislužil naziv doktorja prava na rimski univerzi

6

La Sapienza nato pa je imel priložnost študirati v Italiji teologijo filo-

zofijo zgodovino matematiko fiziko astronomijo in jezike (baje je znal

tudi grško hebrejsko arabsko in sirsko)

Slika 2 Viseacute na zemljevidu iz sredine 19 stoletja

Katoliška univerza v Leuvenu je najstarejša univerza na ozemlju današ-

njega Beneluksa ustanovljena leta 1425 Univerza La Sapienza (rdquosapienzardquo

pomeni v italijanščini znanje) je bila ustanovljena kot papeška univerza

leta 1303 v zadnjem letu vladanja papeža Bonifacija VIII Ime je dobila

po stavbi v katero se je naselila Po doktoratu je de Sluse nekaj časa služil

papežema Inocencu X in Aleksandru VII kot tajnik Zadolžen je bil za to

da je papeške uradne dokumente na primer papeške bule obrazložil lju-

dem na razumljiv način Papežu Inocencu X je z znanjem jezikov pogosto

prevajal pisma ki so bila namenjena škofom na Grškem in v Armeniji

V Rimu se je de Sluse srečal s priznanimi takratnimi znanstveniki med

katerimi sta bila tudi B Cavalieri ki je s svojim delom nekako napovedal

integralski račun in E Torricelli

Leta 1650 je bil imenovan za kanonika kolegijske cerkve v Viseacuteju čeprav

je bilo to imenovanje le nominalno da bi mu zagotovilo dohodke Ni se

mu bilo treba takoj vrniti v Viseacute ampak je ostal še malo v Rimu ki ga je

7

zapustil naslednje leto ko ga je papež Inocenc X imenoval za kanonika v

katedrali sv Lamberta v Liegravegeu Zaradi svojega znanja prava je v Cerkvi

hitro napredoval in kmalu se je povzpel na vplivne položaje Leta 1659

je postal član zasebnega sveta katedrale v Liegravegeu leta 1666 pa kot cis-

tercijanski duhovnik opat opatije La Paix Dieu v Amayu (valonsko Ama)

jugozahodno od Liegravegea Bil je tudi zasebni svetovalec koumllnskega nadškofa

in volilnega kneza Svetega rimskega cesarstva tudi škofa v Liegravegeu Mak-

similijana Henrika Bavarskega (1621ndash1688) Umrl je 19 marca 1685 v

Liegravegeu

Reneacutejev brat Johannes Walter (1628ndash1687) se je v cerkveni hierarhiji

leta 1686 povzpel vse do kardinala Rojen je bil prav tako v Viseacuteju umrl pa

je v Rimu kjer je tudi pokopan in sicer v cerkvi Santa Maria dellrsquoAnima

Beseda rdquohierarhijardquo je grškega izvora Njen prvi del izhaja iz besede

ἱερός kar pomeni rdquosvet posvečen božjirdquo drugi del pa iz besede ἀρχός kar

pomeni rdquoprvak gospodar vladarrdquo

Omenjena kolegijska cerkev je naziv za tiste cerkve v katerih je Sveti

sedež ustanovil kapitelj ali kolegij klerikov (duhovnikov) imenovanih ka-

noniki Namen te ustanove je bil narediti bolj slovesno bogoslužje v cerk-

vah izbranega določenega pomena Ustanovitev posodobitev ali ukinitev

kolegijskih cerkva je bil v pristojnosti Svetega sedeža

Kanonik je v katoliški cerkvi dostojanstvenik član stolnega kapitlja

škofov svetovalec izvedenec za cerkveno pravo Sama beseda kanonik

izhaja iz grške κανών kar pomeni rdquovzorec predpis pravilo vodilordquo

Zaradi zahtevnih cerkvenih dolžnosti de Sluse ni imel več priložnosti

potovati toliko kot bi si želel Da bi zadovoljil svojo veliko intelektu-

alno radovednost si je stalno dopisoval z nekaterimi velikimi evropskimi

učenjaki B Pascalom C Huygensom P Fermatom R Boylom J Gre-

8

goryjem M Riccijem J Wallisom in H Oldenburgom Tako je lahko

izražal svoje ideje je pa zaradi drugega dela malo objavljal H Olden-

burg je bil tista leta tajnik Kraljevega društva v Londonu katerega član

je de Sluse postal leta 1674 Oldenburg je de Slusove zamisli posredoval

neposredno angleškim učenjakom in drugim članom kot je bilo takrat v

navadi Do njih je prišlo skoraj 80 pisem izmenjanih med letoma 1667

in 1676 De Slusovo korespondenco je leta 1884 objavil matematik C Le

Paige iz Liegravegea S tem je de Slusovo znanstveno delo postalo širše znano

De Sluse je umrl 19 marca 1685 v Liegravegu ravno tistega leta ko se je začel

spor med Newtonom in Leibnizem glede tega kdo je avtor infinitezimal-

nega računa Pokopali so ga v kolegijski cerkvi v Viseacuteju v bližini njegovih

staršev Družinski mavzolej je obstajal do 14 avgusta 1914 ko je nemška

vojska požgala kolegijsko cerkev sv Martina in sv Hadelina V kolegijski

cerkvi v Viseacuteju je ob levem stranskem oltarju spominska plošča ki govori

o slavnem prebivalcu Viseacuteja iz 17 stoletja kanoniku Reneacuteju-Franccediloisu

de Slusu Mesti Viseacute in Liegravege sta mu posvetili ulici Rue de Sluse mesto

Bassenge zahodno od Viseacuteja pa pot Chemin de Sluse

Matematične teme ki jih je obravnaval de Sluse so bile povezane z

znanstvenimi interesi tistega časa Po eni strani so bili geometrijski prob-

lemi ki segajo v čas Evklida in Arhimeda oživljeni v drugi polovici 16

in prvi polovici 17 stoletja Zlasti Cavalieri je razvil teorijo nedeljivih

količin ki je imela določen vpliv na razvoj matematične analize Po drugi

strani pa se je približno v istem času ko se je začela razvijati algebra po

zaslugi F Viegraveta ki je uvedel algebrski jezik in predvsem R Descartesa

in njegovega dela rdquoLa Geacuteomeacutetrierdquo zelo povečalo zanimanje za geometrijo

Združitev teh dveh tokov je de Slusa in številne druge matematike njego-

vega časa pripeljal do tega da so se začeli zanimati za geometrijske last-

9

Slika 3 Mesolabum druga izdaja 1668

nosti analitično definiranih krivulj predvsem algebrskih pa tudi spiral in

cikloid ki so bile takrat modne teme Pomembni problemi v tistih časih so

bili kako definirati in konstruirati tangento na krivuljo kako izračunati

ploščino lika ki ga ograjuje taka krivulja kako izračunati njeno dolžino

in kako izračunati prostornino in površino teles ki niso omejena samo z

ravninskimi ali sferičnimi liki G W Leibniz je pri de Slusu in Descartesu

našel marsikatero idejo pri razvoju infinitezimalnega računa in analitične

geometrije Ni čudno da je Huygens v nekem v pismu H Oldenburgu

dal o de Slusu naslednje mnenje rdquoSlusius eotilde geometrarum quos novi

omnium doctissimus candidissimusquerdquo rdquoSluse je od geometrov kar jih

poznam najbolj učen in jasenrdquo

10

Prav tako so bili v de Slusovem času še vedno aktualni problemi reše-

vanja algebrskih enačb tretje in četrte stopnje čeprav so to znali že itali-

janski matematiki S del Ferro N Tartaglia G Cardano in L Ferrari Še

vedno pa so bili živi antični problemi kvadrature kroga trisekcije kota in

podvojitve kocke s katerimi so se ubadali grški geometri Kot je znano gre

pri problemu podvojitve kocke za konstrukcijo kocke s prostornino ki je

dvakrat večja od prostornine dane kocke Problema se ne da rešiti z neoz-

načenim ravnilom in šestilom kot si je zamislil Platon pač pa s pomočjo

nekaterih algebrskih krivulj ali pa s posebnimi mehanskimi napravami

De Sluse je obravnaval geometrijsko reševanje algebrskih enačb tretje in

četrte stopnje z uporabo presečišč stožnic Descartes je pokazal da se

problem lahko rešuje z iskanjem presečišč parabole in krožnice de Sluse

pa je pokazal da lahko parabolo nadomestimo s katerokoli stožnico kar

se je izkazalo za veliko bolj prilagodljivo in elegantno kot Descartesova

metoda Svojo metodo je pod velikim vplivom Viegravetovih in drugih del

razvil v delu rdquoMesolabumrdquo (1659) še posebej v njegovi drugi izdaji (1668)

Celotna naslova izdaj nista popolnoma identična (glej [11 12]) Razvil je

tudi postopek za iskanje subtangente in s tem tangente katerekoli alge-

brske krivulje in to brez uporabe odvoda funkcije kakršnega poznamo

dandanes

Na sliki 3 opazimo v letnici izdaje de Slusovega Mesolabuma tudi malo

drugačen zapis rimskih številk za 500 in 1000 Navajeni smo ju pisati v

obliki D in M Namesto D so svoj čas pisali I in narobe obrnjen C torej

I C kar je skoraj D Za M pa CI C Število I Cje druga polovica od CI C

kar je v soglasju z dejstvom da je 500 polovica od 1000 Razlog za tako

pisavo sega v čas starih Grkov Etruščanov in Rimljanov Baje so nekoč

uporabljali za 1000 črko Φ iz katere se je razvila oznaka CI C iz te pa M

11

Eratostenov mesolabum

Beseda rdquomesolabumrdquo je zelo stara Izvira iz grške besede μεσολάβος (morda

tudi iz μεσολάβον) ki je v antiki pomenila posebno geometrijsko orodje

za določevanje prve in druge srednje geometrijske sorazmernice Beseda

izvira iz grške μέσος kar pomeni rdquosrednjirdquo in λαμβάνω kar pomeni rdquovza-

mem primem zgrabim pograbim popadem ulovimrdquo Glagolska os-

nova je λαβ- je tista iz katere izhajata nedoločnik λαβεῖν in aorist λάβον

Mesolabum je potemtakem tisto s čimer lovimo sredino lovilec sredin

Podobna beseda je rdquoastrolabrdquo starodavna astronomska naprava za določe-

vanje položaja zvezd v grščini ἀστρολάβον ὄργανον

V grških besedilih je glagol λαμβάνω eden od osnovnih in kot tak zelo

pomemben V taki ali drugačni obliki je zato zelo pogost Za primer

navedimo iz Odiseje (XXIV 397ndash399 prevod A Sovregrave )

ὣς ἄρ ἔφη Δολίος δv ἰθὺς κίε χεῖρε πετάσσας

ἀμφοτέρας ᾿Οδυσεῦς δὲ λαβὼν κύσε χεῖρv ἐπὶ καρπῷ

καί μιν φωνήσας ἔπεα πτερόεντα προσηύδα

To je dejal Približa se Dolios rok mu razpetih

prime gospoda v zapestju roko mu ginjen poljubi

z glasom obrne se k njemu pa reče krilate besede

V latinščini imenujejo mesolabum tudi rdquomesolabiumrdquo kar se čudno

sliši ker beseda rdquolabiumrdquo pomeni ustnica Iz besede rdquolabiumrdquo so izvedene

še druge V fonetiki imamo glasove ki jih sooblikujemo z ustnicami in se

zato imenujejo rdquolabialirdquo na primer rdquoprdquo in rdquobrdquo

12

Mesolabum je iznašel Eratosten iz Kirene (276ndash195 pnš) grško ᾿Ερα-

τοσθένης ὁ Κυρηναῖος ki je deloval v Aleksandriji kot vodja tamkajšnje

slavne knjižnice ki je bila del Muzejona hiše učenosti in umetnosti grško

Μουσεῖον τῆς Αλεξανδρείας in je najbolj znan po svojem situ za iskanje

praštevil in po izračunu velikosti Zemlje Pri mesolabumu gre za to kako

mehansko določiti prvo in drugo srednjo geometrijsko sorazmernico x in

y daljic a in b kjer je 0 lt a lt b Srednji geometrijski sorazmernici x in y

morata zadoščati relacijiax=xy=y

b (1)

Če označimo te tri kvociente z λ in jih med seboj zmnožimo dobimo

axsdotxysdoty

b=ab= λ3

To pomeni da je

λ = 3

radicab x =

3radica2b y =

3radicab2

Pri tem velja relacija a lt x lt y lt b ki je posledica relacije

a3 = a2a lt a2b = aab lt abb = ab2 lt bb2 = b3

iz katere sledi po kubičnem korenjenju a lt3radica2b lt

3radicab2 lt b Zato lahko

rečemo da sta x in y sredini daljic a in b saj sta med a in b

Za b = 2a je x = a 3radic

2 in y = a 3radic

4 To pomeni da se s tem posreči pod-

vojiti in početveriti kocko Kocka z robom x ima namreč dvakrat kocka z

robom y štirikrat večjo prostornino kot kocka z robom a in dvakrat večjo

kot kocka z robom x ker je x3 = 2a3 in y3 = 4a3 = 2x3 Prvi ki je prišel na

idejo poiskati srednji geometrijski sorazmernici x in y za a in b = 2a je bil

v 5 stoletju pnš živeči Hipokrat z otoka Hios v grščini ῾Ιπποκράτης ὁ

Χῖος Skušal je rešiti problema podvojitve kocke in kvadrature kroga

13

Eratosten je bil nad svojim izumom mesolabuma tako navdušen da je

en primerek baje daroval v nekemu templju sicer pa ga je posvetil kralju

Ptolemaju III (284ndash222 pnš) imenovanemu tudi Ptolemaj Dobrotnik

grško Πτολεμαῖος Εὐεργρέτης

Slika 4 Osnovni elementi Eratostenovega mesolabuma

Sedaj je čas da opišemo Eratostenov mesolabum Njegov je bil sicer

izdelan iz lesa slonove kosti in kovin mi pa si ga bomo ogledali she-

matično geometrijsko uporabljajoč pravokotnike trikotnike daljice pre-

mice točke razmerja in sorazmerja

V ravnini so postavljeni skladni pravokotniki A1B1C1D1 A2B2C2D2 in

A3B3C3D4 s stranicami A1B1 A2B2 in A3B3 na skupni premici na kateri

ostanejo ves čas v nadaljevanju opisanega postopka Vse stranice pra-

vokotnikov pravokotne na to premico imajo dolžino b Dolžina pre-

ostalih stranic ni pomembna Na stranici B3C3 izberemo točko T tako

da je ∣B3T ∣ = a Prvi pravokotnik je negiben preostala dva pa lahko dr-

sita po premici tako da se tretji lahko skrije pod drugega drugi pa pod

prvega S tem lahko gibljiva dva postavimo tako da dobimo daljice dolžin

14

x in y ki skupaj z a in b zadoščajo relaciji (1) Pravokotniki so razdeljeni z

med seboj vzporednimi diagonalami na pravokotne trikotnike (slika 4)

Slika 5 Premik pravokotnikov Eratostenovega mesolabuma

Ko premikamo drugi pravokotnik pod prvega njegova diagonala B2D2

prej ali slej seka stranico B1C1 negibnega pravokotnika denimo v točki

E Ko pa premikamo tretji pravokotnik pod drugega njegova diagonala

B3D3 prej ali slej seka stranico B2C2 drugega pravokotnika denimo v točki

F Cilj premikanja pravokotnikov sem in tja je doseči kolinearnost točk

D1EF in T Kot bomo kmalu videli takrat x = ∣B2F∣ in y = ∣B1E∣ ustrezata

relaciji (1)

Kolinearnost točk D1EF in T dosežemo s postopkom ki mu učeno

rečemo rdquoiteracijardquo Malo premaknemo drugi pravokotnik nato malo tret-

jega pa zopet drugega itd dokler s svojo spretnostjo ne dosežemo zado-

voljive natančnosti V natančni legi označimo u = ∣B1D1∣ v = ∣B2E∣ in

w = ∣B3F∣ Te daljice so med seboj vzporedne (slika 6) in zaradi podob-

nosti trikotnikov A1B1D1 B1B2E in B2B3F ter trikotnikov B1ED1 B2FE in

15

Slika 6 Končna lega pravokotnikov Eratostenovega mesolabuma

B3T F dobimo sorazmerja

bu=y

v=xwy

u=xv=aw

iz katerih sledijo relacije

xw = av xv = yw yv = ux bv = uy

Iz prve druge tretje in četrte dobimo po vrsti

ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b

Sedaj je nedvomno razvidno da je res

ax=xy=y

b

Tako lahko z Eratostenovo napravo najdemo prvo in drugo srednjo ge-

ometrijsko sorazmernico daljic a in b Podobno bi lahko našli tudi več

srednjih geometrijskih sorazmernic daljic a in b

16

So pa matematiki že davno odkrili da se da srednji geometrijski so-

razmernici najti tudi s parabolama Iz relacije (1) namreč sledita preprosti

zvezi

x2 = ay y2 = bx

V prvi spoznamo enačbo parabole ki ima za simetralo ordinatno os gorišče

v točki F(0a4) in vodnico y = minusa4 v drugi pa enačbo parabole ki ima za

simetralo absciso os gorišče v točki G(b40) in vodnico x = minusb4 (slika 7)

Slika 7 Do srednjih geometrijskih sorazmernic s parabolama

Paraboli se sekata v točkah O(00) in A(3radica2b

3radicab2) Konstrukcijo je

odkril Menajhmos grško Μέναιχμος ki je živel v 4 stoletju pnš Prvi je

vpeljal stožnice kot preseke stožca z ravnino Teorijo stožnic je temeljito

obdelal Apolonij iz Perge (265ndash170 pnš) grško Απολλώνιος ὁ Περγαῖος

Njegove knjige so matematiki uporabljali še vse do Newtonovih časov

Prav tako pridemo do srednjih geometrijskih sorazmernic če poiščemo

presečišči parabole x2 = ay z goriščem F(0a4) in vodnico y = minusa4 ter

krožnice x2 + y2 = bx + ay ki ima središče v točki S(b2a2) in premer

17

Slika 8 Do srednjih geometrijskih sorazmernic s parabolo in krožnico

d =radica2 +b2 Parabola in krožnica se sekata v točkah O in A(

3radica2b

3radicab2)

(slika 8) kar potrdi preprost račun Opisano konstrukcijo je obvladal Reneacute

Descartes Menajhmos in Descartes sta pokazala da se z njunima kon-

strukcijama da rešiti problem podvojitve kocke Za b je treba v opisanih

postopkih vzeti 2a Pripomnimo še da je bila starogrška matematika

pretežno matematika razmerij in sorazmerij in tako je bilo še celo vrsto

stoletij Srednjo geometrijsko sorazmernico x daljic dolžin a in b tako

da velja a ∶ x = x ∶ b iz česar sledi x =radicab se da konstruirati z neoz-

načenim ravnilom in šestilom Spomnimo se na višinski izrek v pravokot-

nem trikotniku ki je pravzaprav posledica podobnosti dveh trikotnikov

na katera višina na hipotenuzo razdeli pravokotni trikotnik

Pri dveh srednjih geometrijskih sorazmernicah x in y pa se kot smo

videli pojavi kubični koren ki pa z omenjenima geometrijskima orodjema

ni konstruktibilen To so matematiki dokazali šele v 19 stoletju Do takrat

so problem skušali rešiti na druge načine in pri tem odkrili nove krivulje

tako da njihov trud le ni bil popolnoma zaman Geometrijski objekt bo za

18

nas rdquokonstruktibilenrdquo če se ga da konstruirati z neoznačenim ravnilom in

šestilom

Drugo de Slusovo delo

De Sluse še vedno velja za izjemno učenega človeka nadarjenega za mate-

matiko izumiteljstvo in posploševanje Njegovo ime je še danes povezano

z njegovimi konhoidami in perlami De Slusova konhoida (slika 9) ki ima

implicitno obliko

(xminus c)(x2 +y2)minus2cx2 = 0

je precej natančno obravnavana v članku [9]

Slika 9 Slusova konhoida

Reneacute de Sluse se ni ukvarjal le z matematiko ampak tudi z astronomijo

fiziko naravoslovjem in seveda teologijo Pogosto se je pritoževal nad

omejitvami ki so mu jih nalagale njegove verske in upravne funkcije

Ni veliko eksperimentiral ker za to ni imel posebnega veselja pa tudi

ne tehničnih možnosti Je pa predlagal drugim zlasti Huygensu da naj

naredijo tak ali drugačen eksperiment Z zanimanjem je bral prepovedane

19

knjige N Kopernika G Galileja in J Keplerja ter kritiziral prizadevanja za

obnovitev starih konceptov Pisal je že o ekscentričnosti v zvezi s Soncem

Zdi se da je za svoje izračune uporabljal oba sistema heliocentričnega

in geocentričnega Rad je opazoval zvezdnato nebo Tako v kemiji kot

drugje se je znašel na razpotju Prebral je modne knjige o alkimiji in

celo ponovil poskus sublimacije antimona v belo barvo vendar je bila nje-

gova razlaga odločno korpuskularna saj je uporabljal Boylove zamisli o

strukturi tekočega in trdnega stanja V podporo temu je izvajal poskuse

zamrzovanja različnih raztopin in študiral sestavo lojevca V medicinski

kemiji se je zanimal za zdravilne vode in jih tudi analiziral

V fiziki sta ga je posebej zanimala merjenje temperature in praktična

termometrija Če ne upoštevamo odkritij E Torricellija in B Pascala o

vplivu atmosferskega tlaka na zračni termometer je de Sluse leta 1664

izumil svoj termometer z voščeno kroglico pomešano s peskom ki se je

gibala v stekleni cevi zaprti na dnu napolnjeni s slano vodo tako da je

bila kroglica bolj ali manj potopljena v sredini cevi kar je opisal v pismih

Huygensu Kroglica je označevala vsako spremembo v zraku iz toplejšega

na hladnejše ko se je spuščala ali dvigala Huygens je odgovoril da je

njegov termometer prepočasen vendar je zanesljivejši od drugih istovrst-

nih termometrov ker je manj podvržen vplivu atmosferskega tlaka Žal

ni poznal florentinskega termometra ko je svojim dopisnikom vključno s

Huygensom in Oldenburgom povedal o svojem izumu Florentinski ter-

mometri so pomenili odločilen korak naprej pri merjenju temperature

Bili so prvi ki so omogočali natančne meritve Pred iznajdbo v Firencah

okoli leta 1650 so bili stari modeli zelo približni določali so ali je pred

nami nekaj hladnega ali vročega ne da bi lahko odčitali ali ocenili tem-

peraturo Razlika je v tem da je steklena cev zaprta tako da je vpliv tlaka

20

odpravljen Uporabljali so se predvsem petdesetstopinjski termometri

Taki termometri so večinoma služili za določanje nihanja temperature zra-

ka v zaprtih prostorih in na prostem Oblikovanje termometra je takrat

pomenilo tudi določitev njegove merilne lestvice vendar še brez Celzijevih

ali Fahrenheitovih stopinj Pri tem so bile stopinje enakomerno razpore-

jene med dvema skrajnostma in sicer med nivojem najhladnejše tekočine

pozimi (nizka točka) in nivojem najbolj vroče tekočine poleti (visoka točka)

Zaradi teh zelo relativnih vrednosti je primerjava meritev med dvema ter-

mometroma nezanesljiva Ob upoštevanju pripomb jo je večkrat spreme-

nil in jo ponovno predložil Oldenburgu do leta 1669 ko je R Boyle izrazil

negativno mnenje glede topnosti voska kroglic v slani tekočini Po tem da-

tumu termometer ni bil nikoli več omenjen De Sluse je zboljšal različne

instrumente ure številčnice barometre Ker ga je motilo prerekanje med

raziskovalci glede avtorstva odkritij je po Oldenburgovi smrti leta 1677

končal svojo znanstveno dejavnost

Šele v 18 stoletju so razvijali temperaturne merilne lestvice C Re-

naldini (1694) O C Roslashmer (1702) G Fahrenheit (1717) Reneacute-Antoine

F de Reacuteaumur (1730) in A Celsius (1741) Enota kelvin (K ndash v čast lordu

Kelvinu 1824-1907) osnovna enota mednarodnega sistema enot za tem-

peraturo je bila uvedena šele leta 1954

De Sluse je bil tudi zgodovinar Napisal je knjigo o smrti sv Lam-

berta škofa v Tongresu ki je bil ubit na kraju kamor je sv Hubert njegov

naslednik prenesel sedež svoje škofije Kraj se je kasneje razvil v Liegravege

Druga zgodovinska študija se nanaša na slavnega maastrichtskega škofa

sv Servacija Med de Slusovimi neobjavljenimi rokopisi je tudi zgodovina

Koumllna Pripomnimo še da je sv Hubert zavetnik lovcev matematikov

optikov in kovinarjev

21

O širini de Sluzovih interesov priča raznolikost tem ki so zajete na

več sto straneh njegovega dela neobjavljenih rokopisov ki jih zdaj hrani

Narodna knjižnica Bibliotheque Nationale v Parizu Čeprav se je ukvarjal

predvsem z matematiko njegovi rokopisi obravnavajo tudi astronomijo

fiziko in naravoslovje

De Slusove perle

Po de Slusu so po zaslugi B Pascala (več o tem v [4]) imenovane tudi

krivulje rdquode Slusove perlerdquo to so krivulje ki se v pravokotnem kartezi-

čnem koordinatnem sistemu Oxy izražajo z enačbo

ym = kxn(aminusx)p (2)

Pri tem so eksponenti mn in p naravna števila a in k pa pozitivni kon-

stanti Glede na parnost eksponentovmn in p formalno razlikujemo osem

možnosti od katerih imamo opravka s perlami le v primeru ko je m sodo

število s pravimi perlami pa v primeru ko je m sodo število n in p pa lihi

števili (slika 10) Skupno tem krivuljam so simetričnost glede na os x in

presečišča s to osjo pri x = 0 in x = a De Sluse je po svoje brez uporabe

odvoda izračunal da njegove perle dosegajo lokalne ekstreme največji

odstop od osi x med 0 in a za x = na(n+p)

V teh primerih je ploščina S lika ki ga ograjuje zanka perle enaka

S = 2k1mint

a

0xnm(aminusx)pmdx = 2k1ma(m+n+p)mint

1

0tnm(1minus t)pmdt

Integracijsko spremenljivko x smo zamenjali z novo spremenljivko t prek

relacije x = at da smo dobili obliko ki jo lahko izrazimo z Eulerjevima

22

Slika 10 Primeri de Slusovih perl

funkcijama B in Γ

S = 2k1ma(m+n+p)mB(nm+1pm+1) =

= 2k1ma(m+n+p)mΓ(nm+1)Γ(pm+1)

Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)

Pri rotaciji okoli osi x ta lik v prostoru opiše telo s prostornino

V =πk2mint

a

0x2nm(aminusx)2pmdx =πk2ma(m+2n+2p)m

int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23

Slika 11 Zasuk de Slusove perle za m = 2n = 3p = 1k = 001 okoli osi x

Integracijsko spremenljivko x smo tudi to pot zamenjali z novo spremenljivko

t prek relacije x = at da smo dobili obliko ki jo lahko izrazimo z Eulerje-

vima funkcijama B in Γ

V =πk2ma(m+2n+2p)mB(2nm+12pm+1) =

=πk2ma(m+2n+2p)mΓ(2nm+1)Γ(2pm+1)Γ((2n+2p)m+2)

=

= 2πk2ma(m+2n+2p)m np

(m+2n+2p)(n+p)Γ(2nm)Γ(2pm)

Γ((2n+2p)m)

Poseben primer de Slusove perle

Natančneje bomo obravnavali de Slusovo perlo samo primer za m = n = 2

p = 1 in k = 1a to se pravi krivuljo K ki ima implicitno enačbo ay2 =

x2(a minus x) To pa zato ker se posamezne točke te krivulje da preprosto

konstruirati z osnovnim geometrijskim orodjem

24

Geometrijska konstrukcija in analitična obravnava

Do posameznih točk T krivulje K pridemo s preprosto geometrijsko kon-

strukcijo (slika 12) V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu

Oxy načrtamo premico x = a kjer je a pozitivna konstanta Skozi koordi-

natno izhodišče O potegnemo premico p ki ima enačbo y = tx in preseka

premico x = a v točki A(ata) Parameter t smerni koeficient premice p s

katerim je sorazmerna ordinata točkeA bomo kasneje spreminjali V točki

A na p postavimo pravokotnico q ki seka os x v točki B V B načrtamo na

q pravokotnico r ki seka premico x = a v točki C nazadnje pa skozi C še

pravokotnico s na r Presečišče premic p in s naj bo točka T (xy) Sedaj

bomo izrazili njeni koordinati x in y s parametrom t

Slika 12 Konstrukcija točke T de Slusove perle K

Premica q ima enačbo y = minus(x minus a)t + at in preseka os x v točki B(a +

at20) Premica r ima enačbo y = t(x minus aminus at2) in preseka premico x = a v

točki C(aminusat3) premica s pa enačbo y = minus(xminus a)t minus at3 Koordinati točke

T sta rešitvi sistema enačb

y = tx y = minusxminusat

minusat3

25

Po krajšem računu dobimo

x(t) = a(1minus t2) y(t) = at(1minus t2) (3)

To sta parametrični enačbi krivulje K Ko spreminjamo t po vseh realnih

vrednostih oziroma ko A drsi po premici x = a točka T (xy) opiše krivuljo

K (slika 13) z zanko ki spominja na perlo

Če si mislimo da je parameter t čas enačbi (3) predstavljata sestav-

ljeno gibanje točkaste mase v dveh med seboj pravokotnih smereh v koor-

dinatni ravnini v smeri osi x po pravilu prve enačbe v smeri osi y pa po

pravilu druge enačbe Tirnica takega gibanja je krivulja K Podoben le da

bolj preprost primer imamo tudi pri gibanju točkaste mase pri poševnem

metu

Slika 13 De Slusova perla K

Ko se t spreminja od zelo velikih negativnih vrednosti potuje T po

loku v drugem kvadrantu navzdol in doseže za t = minus1 prvič točko O Za

minus1 le t le 0 opiše lok v četrtem kvadrantu odO do temenaD(a0) za 0 le t le 1

opiše lok v prvem kvadrantu od D do točke O ki jo doseže drugič za t = 1

za t gt 1 pa se spusti po loku v tretjem kvadrantu navzdol

26

Če upoštevamo (3) dobimo

x2(t)(aminusx(t)) = a2(1minus t2)2 sdotat2 = a(at(1minus t2))2 = ay2(t)

To pomeni da je ay2 = x2(aminusx) implicitna enačba krivulje K in da je K al-

gebrska krivulja tretje stopnje Krivulja K je simetrična glede na os x Za

točke ki so zelo blizu koordinatnemu izhodiščuO je člen x3 zanemarljivo

majhen v primerjavi s kvadratnima členoma zato je tam enačba krivulje

K približno ay2 = ax2 oziroma (y minusx)(y +x) = 0 Ta enačba razpade na dve

y = x in y = minusx V točki O ima krivulja tangenti y = x in y = minusx ki se sekata

pravokotno V točki D je tangenta na krivuljo premica x = a Krivulja ima

na zanki dve glede na os x simetrično ležeči lokalno ekstremni točki v ka-

terih je tangenta vzporedna z osjo x To sta točki Mplusmn(2a3plusmn2aradic

39) De

Sluse jih je na svojevrsten način pravilno izračunal čeprav je bilo v nje-

govem času računanje z odvodi še v zametkih Da bi pravilnost ekstrem-

nih točk preverili brez odvoda uporabimo kvadrat ekstremne ordinate ki

je y2M = 4a227 in zapišimo izraz

ay2M minusx2(aminusx) = 4a327minusax2 +x3 = (xminus2a3)2(x+a3)

ki je za 0 lt x lt a nenegativen in enak 0 za x = 2a3 To pomeni da je

tedaj x2(a minus x) le 4a327 in največja ordinata na zanki krivulje je 2aradic

39

najmanjša pa minus2aradic

39 oboje pri x = 2a3 (slika 14)

Z uporabo odvoda gre vse veliko hitreje Ordinata y doseže ekstrem

takrat kot ay2 Zato je vseeno če poiščemo ekstrem enostavnejše funkcije

g(x) = x2(a minus x) = ax2 minus x3 Potreben pogoj za to je g prime(x) = 2ax minus 3x2 = 0

Dobimo stacionarni točki x1 = 0 in x2 = 2a3 Uporabimo še g primeprime(x) = 2aminus6x

Ker je g primeprime(x1) = 2a gt 0 in g primeprime(x2) = minus2a lt 0 ima funkcija g v točki x1 lokalni

minimum ki je enak 0 v točki x2 pa lokalni maksimum ki je enak 4a327

27

Slika 14 Lokalna ekstrema na de Slusovi perli K

Ekstremna točka na zanki kjer je tangenta vzporedna z osjo x je očitno

le v x2 kvadrat ekstremne ordinate je tedaj g(x2)a = 4a227 = 12a281

Ekstremni ordinati sta torej plusmn2aradic

39 pri abscisi 2a3

Abscise 2a3 ni težko geometrijsko konstruirati prav tako tudi ne or-

dinate 2aradic

39 ki je 29 razdalje ∣PminusP+∣ = aradic

3 kjer sta Pminus in P+ presečišči

krožnih lokov s središčema v točkahO inD in polmerom ∣OD ∣ To pomeni

da sta točki Pminus in P+ konstruktibilni

Če bi načrtali celotna krajša krožna loka med Pminus in P+ bi dobili med

njima lečast lik ki so mu nekoč rekli rdquovesica piscisrdquo kar dobesedno pomeni

rdquoribji mehurrdquo Lik je bil zelo znan v srednjeveški sakralni umetnosti

Čeprav v de Slusovem času še niso poznali odvoda funkcije v današn-

jem smislu so že vedeli zahvaljujoč Fermatu da ima funkcija v točki

lokalnega ekstrema vodoravno tangento

28

Spremljajoča parabola

Nastajanje krivulje K spremljajo še nekatere druge bolj ali manj znane

krivulje Najprej si oglejmo kaj dobimo če točko O pravokotno projici-

ramo na premice r in spreminjamo parameter t Dobljena projekcija naj

bo R (slika 15)

V prispevku se pogosto sklicujemo na povezavo med smernima koe-

ficientoma premice in pravokotnice nanjo Koeficienta sta si inverzna in

nasprotna Zato zlahka napišemo enačbo premice r in pravokotnice skozi

O nanjo

y = t(xminusaminusat2) y = minusxt

Njuno presečišče R ima koordinati

x(t) = at2 y(t) = minusat

Z izločitvijo parametra t dobimo y2 = ax kar pomeni da točke R pri spre-

minjanju točkeA po premici x = a opišejo parabolo rdquospremljajočo parabolordquo

ki ima gorišče v točki F(a40) in vodnico v z enačbo x = minusa4

Slika 15 De Slusova perla K in spremljajoča parabola

29

Ogrinjače

Ko drsi točka A po premici x = a premice s ogrinjajo neko krivuljo Ks

Premice s so v točki T krivulje K pravokotne na premice skozi O in T

Njeno enačbo dobimo po standardnem postopku Enačba premic s je

F(xyt) = y +xminusat

+at3 = 0

To je enoparametrična družina premic ki ogrinjajo krivuljo Ks imeno-

vano rdquoogrinjačardquo te družine (slika 16) V vsaki točki ogrinjače se jo dotika

ena premica v različnih točkah različne premice družine Enačbo njihove

ogrinjače v implicitni obliki dobimo tako da iz sistema enačb

Slika 16 De Slusova perla K in ogrinjače Ks Kq Kr

F(xyt) = 0partFpartt

(xyt) = 0

izločimo parameter t Iz enačbe

partFpartt

(xyt) = minus(xminusa)t2 +3at2 = 0

30

dobimo najprej xminusa = 3at4 kar vstavimo v prvo enačbo v sistemu in imamo

y = minus4at3 Dobili smo ogrinjačo v parametrični obliki

x(t) = a(1+3t4) y(t) = minus4at3

Izločimo t in enačba iskane ogrinjače Ks v implicitni obliki je pred nami

27y4 = 256a(xminusa)3

Ker je y dobljene krivulje sorazmeren s potenco (x minus a)34 lahko rečemo

da je ogrinjača premic s četrtkubična parabola

Podobno poiščemo ogrinjačo Kq premic q

F(xyt) = yt +xminusaminusat2 = 0partFpartt

(xyt) = y minus2at = 0

Ogrinjača v parametrični obliki je to pot

x(t) = a(1minus t2) y(t) = 2at

Z izločitvijo parametra t dobimo njeno enačbo v implicitni obliki

y2 = minus4a(xminusa)

Dobljena krivulja Kq je parabola z vodnico x = 2a in goriščem v točki O

(slika 16)

Nazadnje po enakem postopku kot doslej poiščemo še ogrinjačo Kr

premic r

F(xyt) = y minus tx+at +at3 = 0partFpartt

(xyt) = minusx+a+3at2 = 0

Ogrinjača v parametrični obliki je potem

x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31

Z izločitvijo parametra t dobimo njeno enačbo še v implicitni obliki

27ay2 = 4(xminusa)3

Dobljena krivulja Kr je polkubična ali Neilova parabola z ostjo v točki

D(a0) kjer ima vodoravno tangento (slika 16) Krivuljo Ks smo up-

ravičeno imenovali četrtkubična parabola Slednja ima v točki D(a0)

navpično tangento

Edinole premice p od tistih ki sodelujejo v konstrukciji točk krivulje

K nimajo ogrinjače Vse premice p namreč potekajo skozi koordinatno

izhodišče O in očitno ne ogrinjajo nobene krivulje

Nožiščne krivulje

Novo krivuljoHprime dobimo če na tangente dane krivuljeH pravokotno pro-

jiciramo izbrano točko Φ Vse projekcije P nožišča točke Φ na tangentah

krivuljeH sestavljajo krivuljoHprime ki jo imenujemo rdquonožiščnardquo ali rdquopedalna

krivuljardquo krivulje H glede na točko Φ

Beseda rdquopedalenrdquo izhaja iz latinske rdquopedalisrdquo kar pomeni rdquonoženrdquo Os-

novna beseda je rdquopesrdquo v rodilniku ednine rdquopedisrdquo kar pomeni rdquonogardquo Od

tod izvirajo tudi besede rdquopedalordquo rdquopedalarrdquo in rdquopedalinrdquo

Poiščimo nekaj nožiščnih krivulj glede na koordinatno izhodišče O

Najprej za krivuljo K ki je poseben primer de Slusove perle Za odvod

v točki T isinK ki ustreza parametru t dobimo

dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t

Enačbi tangente v T in pravokotnice skozi O nanjo pa se glasita

y minusat(1minus t2) =3t2 minus1

2t(xminusa(1minus t2)) y =

2t1minus3t2

x

32

Sekata se v točki P s koordinatama

x(t) =a(t2 minus1)2(1minus3t2)

9t4 minus2t2 +1 y(t) =

2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)

S tem smo našli parametrični enačbi krivulje Kprime (slika 17) Do implicitne

enačbe je dolga pot prek rezultante dveh polinomov spremenljivke t od

katerih je prvi druge drugi pa pete stopnje Najprej opazimo da je v (4)

yx = 2t(1minus 3t2) kar lahko zapišemo kot p(t) = 3yt2 + 2xt minus y = 0 drugo

enačbo pa zapišemo v obliki q(t) = 2at5 minus 9yt4 minus 4at3 + 2yt2 + 2at minus y = 0

Zaradi enostavnosti smo pisali x in y brez argumenta t Da izločimo pa-

rameter t je treba zapisati rdquorezultantordquo R(p(t)q(t)) polinomov p(t) in

q(t) in jo izenačiti z 0 (glej [14])

R(p(t)q(t)) =

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

2a minus9y minus4a 2y 2a minusy 0

0 2a minus9y minus4a 2y 2a minusy

3y 2x minusy 0 0 0 0

0 3y 2x minusy 0 0 0

0 0 3y 2x minusy 0 0

0 0 0 3y 2x minusy 0

0 0 0 0 3y 2x minusy


= 0

Zadnji stolpec je deljiv z y Ker y = 0 ni del iskane nožiščne krivulje pre-

ostane ko izračunamo determinanto in jo okrajšamo z y in preuredimo

27y2(x2 +y2)2 +4ax(x2 minus9y2)(x2 +y2)minus4a2(x2 minusy2)2 = 0

Rezultat je torej algebrska krivulja šeste stopnje Krivulja je simetrična

glede na abscisno os točka O pa je njena posebna točka Za zelo majhne

x in y prevlada zadnji člen kar pomeni da sta premici y = x in y = minusx v O

tangenti na krivuljo

33

Slika 17 Nožiščna krivulja Kprime krivulje K glede na koordinatno izhodišče

Zanka krivulje Kprime nekoliko spominja na srčnico ali kardioido ki jo

opisujejo točke krožnice ki se brez drsenja kotali po enako veliki krožnici

Krivulja Kprime ima še neomejeni del ki se razteza po drugem in tretjem kvad-

rantu Poglejmo kako potuje točka po krivulji v parametrizaciji (4) ko

parameter t teče po številski premici Za t lt minus1 poteka krivulja po tretjem

kvadrantu pri čemer x(t)rarr minusinfin in y(t)rarr minusinfin ko t rarr minusinfin Pri t = minus1 točka

doseže O v obliki osti ki ima za tangento premico y = x Za minus1 lt t lt 0

potuje točka po četrtem kvadrantu doseže točko D pri t = 0 za 0 lt t lt 1

potuje naprej po prvem kvadrantu in pri t = 1 spet doseže O kjer ima

ost s tangento y = minusx nato nadaljuje pot po drugem kvadrantu pri čemer

x(t)rarr minusinfin in y(t)rarrinfin ko trarrinfin

Nožiščna krivulja malo prej obravnavane krivulje Ks glede na točko O

ni nič drugega kot krivulja K Premice s so namreč tangente na Ks nožišča

točke O na njej pa so točke krivulje K Lahko pa to preverimo z računom

34

tako kot smo poiskali nožiščno krivuljo Kprime za K glede na točko O

Za odvod v poljubni točki na Ks ki ustreza parametru t dobimo

dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t

Enačbi tangente v tej točki in pravokotnice skozi O nanjo pa se glasita

y +4at3 = minus1t(xminusa(1+3t4)) y = tx

Sekata se v točki s koordinatama

x(t) = a(1minus t2) y(t) = at(1minus t2)

To sta ravno parametrični enačbi krivulje K tako da velja Kprimes =K

Podobno ugotovimo tudi da je premica x = a nožiščna krivulja za para-

bolo Kq Premica x = a je tangenta te parabole v temenu V splošnem je

temenska tangenta parabole kar njena nožiščna krivulja glede na gorišče

Ugotovili smo torej da je nožiščna krivulja krivulje Kr spremljajoča para-

bola krivulje K

Ekstremne točke nožiščne krivulje Kprime

Ekstremne točke na zanki krivulje Kprime dobimo iz odvodov

x(t) =2at(1minus t2)(3t2 +1)(9t4 +2t2 minus3)

(9t4 minus2t2 +1)2

y(t) =2a(t2 minus1)(3t2 +1)(3t4 +6t2 minus1)

(9t4 minus2t2 +1)2

Za t = 0 doseže v točki D(a0) abscisa svojo največjo vrednost Za t = plusmn1

poteka krivulja skozi točko O kjer sama sebe preseka pod pravim kotom

ker je yprime(0) = (yx)(plusmn1) = ∓1

35

Najmanjšo absciso na zanki ima krivulja Kprime v točki ki jo določa para-

meter t za katerega velja pogoj 9t4 +2t2 minus3 = 0 To je bikvadratna enačba

katere realni rešitvi sta tplusmn = plusmnradic

2radic

7minus13 ustrezni točki na krivulji pa

izračunamo z enačbama (4) in dobimo

Xplusmn(a(17minus7radic

7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)

Ekstremni ordinati na zanki ima krivulja takrat za tisto vrednost para-

metra t za katerega velja pogoj 3t4 + 6t2 minus 1 = 0 Realni rešitvi te bi-

kvadratne enačbe sta tplusmn = plusmn(3radic

2minusradic

6) 4radic

36 ustrezni točki na krivulji pa

Yplusmn(a(3minusradic

3)3plusmna 4radic123)

Ker v koordinatah ekstremnih točk nastopajo poleg osnovnih aritmetičnih

operacij le kvadratni in bikvadratni (četrti) koreni so te točke konstruk-

tibilne

Cisoida

Spoznali smo enega od načinov pridobivanja novih ravninskih krivulj iz

danih to je z nožišči izbrane točke na tangentah dane krivulje Krivulji

s tem priredimo nožiščno krivuljo glede na izbrano točko Drug tak pre-

prost način kako iz znanih krivulj dobimo nove je cisoidni način Kako

pa ta poteka

Denimo da sta znani krivulji K1 in K2 ter točka O ki ležijo v isti

ravnini Pri tem sta K1 in K2 taki krivulji da vsaka premica p skozi O

ki seka K1 v neki točki T1 seka tudi K2 recimo v točki T2 (slika 18) Za

vsak T1 označimo na p točko T tako da veljaETHOT =

ETHETHT1T2 Ko T1 potuje po

K1 T opiše krivuljo C ki jo imenujemo cisoida krivulj K1 in K2 glede na

točko O Definicije take cisoide se nekoliko razlikujejo od vira do vira

36

Slika 18 Krivulja C je cisoida krivulj K1 in K2 glede na točko O

Dioklova cisoida s katero rešimo problem podvojitve kocke je cisoida

krožnice x2 + y2 = ax in premice x = a glede na koordinatno izhodišče O

Več o cisoidah in njihovi uporabi je napisanega na primer v [8]

Krivulja K je povezana tudi s polkubično ali semikubno ali Neilovo

parabolo poimenovano po Williamu Neilu (1637ndash1680) Parametrični

enačbi (3) lahko zapišemo v vektorski obliki v standardni bazi kot razliko

kolinearnih vektorjev

r(t) = (x(t)y(t)) =ETHOT = (a(1minus t2)at(1minus t2)) = (aat)minus (at2at3)

Vektor r1(t) = (aat) = (a0)+at(01) je enačba premice x = a v parametrični

obliki vektor r2(t) = (at2at3) pa polkubične parabole ki ima enačbo ay2 =

x3 in ost v točkiO Parameter t geometrijsko pomeni tangens naklonskega

kota premice OA (slika 13)

Premica y = tx poteka skozi koordinatno izhodišče O in seka premico

x = a v točkiA(aat) zato jeETHOA = r1 Ista premica seka polkubično parabolo

P ki ima enačbo ay2 = x3 v točki P (at2at3) tako da jeETHOP = r2 S tem je

ETHPA =

ETHOAminus

ETHOP = r1minus r2 = r To pomeni da je r =

ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem

je krivulja K cisoida polkubične parabole P z enačbo ay2 = x3 in premice

37

Slika 19 De Slusova perla K kot cisoidna krivulja

x = a glede na točko O (slika 19)

Neilova parabola in ločna dolžina

Neilova ali polkubična parabola ay2 = x3 je bila v zgodovini matematike

pomembna kot ena prvih krivulj za katero so znali izračunati ločno dolžino

Prav prvi je to znal John Wallis (1616ndash1703) leta 1657

Denimo da nas zanima ločna dolžina `(b) te krivulje nad intervalom

[0b] (slika 20) Znano je da lahko uporabimo formulo za ločno dolžino

krivulje ki je dana v eksplicitni obliki

`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx

Pri tem je y = f (x) enačba krivulje in yprime = f prime(x) V našem primeru je y =

38

Slika 20 Neilova ali polkubična parabola

f (x) = plusmnradicx3a Kratek račun nam da yprime2 = 9x(4a) in

`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx

Z uvedbo nove integracijske spremenljivke u z relacijo u2 = 1 + 9x(4a)

dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)

pri čemer je c =radic

1+9b(4a)

Leibnizeva izohrona je krivulja po kateri se je leta 1687 vprašal G W

Leibniz Poiskati je treba v navpični ravnini krivuljo po kateri se brez

trenja giblje točkasta masa ki je podvržena konstantnemu težnostnemu

polju tako da je navpična komponenta njene hitrosti ves čas konstantna

Nalogo je prvi rešil C Huygens nizozemski astronom fizik in matema-

tik znan tudi po odkritju Saturnovega satelita Titana in znamenitih Sat-

urnovih obročev ter po izdelavi prve ure na nihalo kar je bilo za tiste čase

velik napredek v merjenju točnega časa

39

Slika 21 Leibnizeva izohrona

Izhodišče O postavimo v najvišjo točko krivulje (slika 21) V tej točki

je horizontalna hitrost premikajoče se mase m enaka 0 Naj bo v0 njegova

navpična hitrost navzdol Os y je vodoravna os x pa usmerjena navz-

dol Potencialno energijo mase računamo nad izbranim nivojem spodaj V

skladu z načelom ohranitve mehanske energije v času t in času 0 potem

velja12mv2(t)+mg(hminusx(t)) =

12mv2

0 +mgh

Pri tem je g težni pospešek Po poenostavitvi dobimo v2(t) = 2gx(t)+ v20

Vektor hitrosti ima v vsakem trenutku med seboj pravokotni komponenti

v(t) = (x(t) y(t)) za t = 0 pa v(0) = (v00) Upoštevamo da je ∣v(t)∣2 =

v2(t) = x2(t) + y2(t) in da je x(t) = v0 pa imamo sistem diferencialnih

enačb

x(t) = v0 y(t) =radic

2gx(t)

ki ga rešimo pri začetnih pogojih x(0) = y(0) = 0 in dobimo

x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40

Koordinati točk na dobljeni krivulji zadoščajo enačbi

ay2 = x3 a =9v2

0

8g

Pri dani konstanti a je v0 = (23)radic

2ag Iskana krivulja je torej Neilova

parabola Ime izohrona je dobila zato ker točkasta masa po vertikali

v enakih časih prepotuje enake razdalje V grščini beseda ἴσος pomeni

rdquoenakrdquo χρόνος pa rdquočasrdquo

Dolžina ` zanke krivulje K nas pripelje do zapletenega eliptičnega in-

tegrala za katerega zapišimo približno vrednost

` = 2aint1

0

radic9t4 minus2t2 +1dt ≐ 271559186a

Pač pa je dolžina loka ` četrtkubične parabole Ks ogrinjače premic s bolj

prijazna Za dolžino loka od točke D ki ustreza parametru t = 0 do točke

ki ustreza parametru t = α dobimo

` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic

1+α2 minus ln(α +radic

1+α2))

Prav tako dolžina loka ` navadne parabole Kq ogrinjače premic q ne

dela težav Za dolžino loka od točke D ki ustreza parametru t = 0 do

točke ki ustreza parametru t = α dobimo

` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α

radic1+α2 + ln(α +

radic1+α2))

Za spremljajočo parabolo dobimo prav tako enostaven rezultat za ločno

dolžino od točke O do točke ki ustreza parametru t = α

` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α

radic1+4α2 + ln(2α +

radic1+4α2))

Nazadnje zapišimo še ločno dolžino polkubične parabole Kr

` = 6aintα

0tradic

1+ t2dt = 2a((1+α2)radic

1+α2 minus1)

41

Pri vseh zgornjih primerih je parameter t strmina premice p v prvotni

konstrukciji krivulje K

Ploščine in prostornine

Ploščina S lika ki ga omejuje zanka krivulje K je

S =2radica int

a

0xradicaminusxdx

Z uvedbo nove integracijske spremenljivke t z relacijo aminusx = t2 je

S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15

Lahko pa jo izrazimo tudi s splošno formulo ki smo jo izpeljali na začetku

razdelka S to formulo lahko izrazimo še prostornino V telesa ki ga pri

rotaciji okoli osi x opiše lik

V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12

To je ravno polovica prostornine krogle s premerom a

Pač pa je izraz za ploščino S prime lika ki ga omejuje zanka krivulje Kprime bolj

zapleten izraz Uporabimo parametrični enačbi (4) in dobimo

S prime = int1

0(x(t)y(t)minus x(t)y(t))dt = 2a2

int

1

0

(1minus t2)3(1+2t2 minus3t4)(9t4 minus2t2 +1)2 dt

Če se zanesemo na računalniško računanje določenih integralov potem je

S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))

kar je približno S prime ≐ 1059206796a2 Do enakega rezultata pridemo z

navidez enostavnejšo formulo

S prime = 2inta

0y(x)dx

42

toda drugim težjim integralom

S prime = 2int0

1y(t)x(t)dt = minus8a2

int

1

0

t2(1minus t2)3(3t2 +1)(9t4 +2t2 minus3)(9t4 minus2t2 +1)3 dt

Zakaj smo integrirali po parametru t od 1 do 0 Zato ker abscisa x narašča

od 0 do a ko t pada od 1 do 0 Ordinata y pa je pri tem nenegativna (glej

izraza (4))

Tudi izraz za prostornino V prime telesa ki ga pri rotaciji okoli osi x opiše

lik omejen s Kprime je navidez enostaven

V prime =πinta

0y2(x)dx

toda s parametrom t je zapleten a eksaktno izračunljiv

V prime =πint0

1y2(t)x(t)dt = 8πint

1

0

t3(t2 minus1)5(3t2 +1))(9t4 +2t2 minus3)(9t4 minus2t2 +1)4 dt

Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)

kar je približno V prime ≐ 08936800975a3

Naj bo s tem računanja integralov dovolj V nadaljevanju se bomo

posvetili nekaterim lažjim problemom

Tangenta

Pri krivuljah v koordinatnem sistemu Oxy so pomembni štirje dotikalni

elementi za posamezne točke T odsek na tangenti ∣TA∣ odsek na normali

∣T B∣ subtangenta ∣AT prime∣ in subnormala ∣BT prime∣ (slika 23) Izražajo se takole

∣TA∣ = ∣y

yprime

radic

1+yprime2∣ ∣T B∣ = ∣yradic

1+yprime2∣ ∣T primeA∣ = ∣y

yprime∣ ∣T primeB∣ = ∣yyprime∣

43

Slika 22 Ploščini likov omejenih z zankama krivulj K in Kprime

Pri tem pomeni yprime = f prime(x) če je enačba krivulje y = f (x) Točka T prime je pra-

vokotna projekcija točke T na abscisno os A je presečišče tangente na

krivuljo v točki T z osjo x B pa presečišče normale z osjo x Dotikalni

elementi so posebej definirani tudi za krivulje v polarnih koordinatah

Slika 23 Dotikalni elementi krivulje

De Sluse je za algebrsko krivuljo f (xy) = 0 po svoje našel izraz za sub-

tangento ts to je pravokotno projekcijo odseka na tangenti

44

na os x V današnji pisavi se subtangenta izraža v obliki

ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)

Za krivuljo K je f (xy) = ay2 minusx2(aminusx) = 0 in

ts =2x(xminusa)3xminus2a

Lotimo se še konstrukcije tangente t in normale n naK v točki T0(x0y0) ne

O ki enolično določa točko A(aay0x0) kot presečišče premice p skozi O

in T0 s premico x = a Skozi A povlecimo vzporednico nprime z normalo n na K

v točki T0 Normala ima smerni koeficient kn = tsy0 oziroma

kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)

Premica nprime ima enačbo

y minusay0

x0=

2ay0

x0(3x0 minus2a)(xminusx0)

in preseka abscisno os v točki T1(x10) za katero po krajšem računu do-

bimo x1 = 2a minus 3x02 Točko T1 in premico nprime zlahka geometrijsko kon-

struiramo Iskana tangenta t v točki T0 je pravokotna na nprime normala n pa

vzporedna z nprime (slika 24)

Inverzija krivulje K na krožnici

Po navadi za ravninske krivulje pogledamo še njihove inverzne slike na

krožnici Inverzija ali zrcaljenje na krožnici x2 + y2 = r2 je ravninska pres-

likava ι definirana s predpisom

ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45

Slika 24 Tangenta in normala na krivuljo K

S spreminjanjem polmera r krožnice dobimo med seboj podobne krivulje

Če zrcalimo na krožnici x2 + y2 = a2 krivuljo K ki ima implicitno enačbo

(2) dobimo krivuljo Klowast ki ima enačbo

y4 = minusx3(aminusx)

ki je formalno oblike (2) zam = 4n = 3p = 1 in k = minus1 Dobljena krivuljaKlowast

je simetrična glede na os x ima dve veji abscisa na njej doseže ekstremni

vrednosti v točkah O(00) in D(a0) Ima pa kot bomo videli tudi dve

asimptoti y = xminusa4 in y = minusx+a4 (slika 25)

Krivuljo Klowast se da lepo parametrizirati s parametrom τ če v njeno

enačbo y4 = minusx3(aminusx) vstavimo y = τx Dobimo

x(τ) =a

1minusτ4 y(τ) =aτ

1minusτ4

To sta parametrični enačbi krivulje Klowast

Ko τ uarr minus1 x(τ)rarr minusinfin in y(τ)rarr +infin ko τ darr minus1 x(τ)rarr +infin in y(τ)rarr minusinfin

ko τ uarr +1 x(τ)rarr +infin in y(τ)rarr +infin ko τ darr +1 x(τ)rarr minusinfin in y(τ)rarr minusinfin

46

Slika 25 Inverzna slika Klowast krivulje K

Konstanti k in n poševne asimptote y = kx + n krivulje Klowast dobimo s

formulama

k = limxrarrplusmninfin

y

x n = lim

xrarrplusmninfin(y minus kx)

V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1

τ = plusmn1 n = a limτrarrplusmn1

τ ∓11minusτ4 = ∓

a4

Poševni asimptoti sta torej premici y = plusmn(xminusa4)

Obnašanje krivulje v okolici točke D utemeljimo če zapišemo impli-

citno obliko krivulje nekoliko drugače

y4 = (xminusa)x3 = (xminusa)(a+(xminusa))3 = a3(xminusa)+3a2(xminusa)2+3a(xminusa)3+(xminusa)4

47

Slika 26 Krivulja Klowast in približka v okolici točk O in D

Za x ki je zelo blizu a prevlada na desni prvi člen tako da je y4 asymp a3(xminusa)

Razlika xminusa se torej obnaša približno tako kot bikvadrat ordinate y

V okolici točke O kjer so abscise negativne iz istega razloga velja y4 asymp

minusax3 zato se tam krivulja obnaša približno tako kot četrtkubična parabola

(slika 26)

Inverzija krivulje Kprime na krožnici

Na krožnici x2 + y2 = a2 zrcalimo še krivuljo Kprime nožiščno krivuljo krivulje

K glede na točko O Dobimo dvodelno krivuljo Kprimelowast kakršno vidimo na

sliki 27

Enačba nove krivulje v implicitni obliki je

4(x2 minusy2)2 minus4ax(x2 minus9y2)minus27a2y2 = 0

48

Slika 27 Inverzna slika Kprimelowast krivulje Kprime

Krivulja je algebrska četrte stopnje je simetrična glede na os x ima ost

z vodoravno tangento v točki O skozi točko D pa poteka v blagem loku

Natančneje ugotovimo približni potek krivulje v okolici teh dveh točk če

v zgornji enačbi obdržimo prevladujoče člene V okolici točke O kjer so

abscise negativne je ay2 asymp minus4x327 torej približno tako kot polkubična

parabola V okolici točke D(a0) je y2 asymp minus4a(x minus a) kar pomeni da se

krivulja obnaša približno tako kot parabola

Pritisnjeni krožnici na K

Pritisnjeni krožnici v točki O na krivuljo K sta inverzni sliki asimptot

krivulje Klowast na krožnici x2 + y2 = a2 Preprost račun pokaže da se asimp-

toti krivulje Klowast z inverzijo ι preslikata v krožnici x2 + y2 plusmn4ay minus4ax = 0 ki

imata središči v točkah Splusmn(2aplusmn2a) in polmer 2aradic

2 Sekata se pavokotno

v točkah O in M(4a0) Inverzija ι namreč ohranja kote (slika 28)

49

Slika 28 Pritisnjeni krožnici na krivuljo K v točki O

Ukrivljenost κ(t) krivulje K v točki ki ustreza parametru t brez težav

izračunamo iz njenih parametričnih enačb (3)

κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32

V posebnem primeru je v točki O to se pravi za t = plusmn1 ukrivljenost enaka

κ(plusmn1) = 1(2aradic

2) zato sta v O polmera pritisnjenih krožnic 1κ(plusmn1) =

2aradic

2 kar se seveda ujema z rezultatom dobljenim z inverzijo na krožnici

Toksoida

Videli smo da je inverzna slika krivulje K krivulja Klowast ki ima enačbo y4 =

minusx3(aminusx) ki je formalno oblike (2) zam = 4n = 3p = 1 in k = minus1 Prav tako

je krivulja ay2 = minusx2(aminus x) ki jo dobimo iz enačbe ay2 = x2(aminus x) krivulje

K če zamenjamo aminus x z x minus a formalno oblike (2) za m = 2n = 2p = 1 in

50

k = minus1a Krivuljo označimo jo s T ki ima enačbo

ay2 = x2(xminusa)

je nemški amaterski matematik samouk in izumitelj Diedrich (tudi Diede-

rich) Uhlhorn (1764ndash1837) imenoval rdquotoksoidardquo V svojem delu [13] obrav-

nava več krivulj in za nekatere tudi opiše mehanske naprave s katerimi

se jih da risati pa tudi njihovo uporabo pri reševanje enačb Beseda rdquotok-

soidardquo izvira iz dveh grških τόξον kar pomeni rdquolokrdquo (kot orožje) pa tudi

rdquopuščicardquo in εἶδος kar med drugim pomeni rdquooblika podobardquo D Uhlhorn

je imenoval krivuljo v nemščini rdquoBogenlinierdquo ker nemški samostalnik rdquoBo-

genrdquo pomeni prav tako rdquolokrdquo Iz besede τόξον smo dobili tudi besede ki

so povezane s strupi kajti bojne puščice so bile često zastrupljene

Slika 29 Toksoida

Toksoida ima tudi izolirano točkoO(00) saj njeni koordinati zadoščata

implicitni enačbi

Iz implicitne enačbe toksoide dobimo z zamenjavo y = tx njeni parametri-

čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)

ki pa ne vključujeta izolirane točke O

51

Toksoida je algebrska krivulja tretje stopnje simetrična glede na os x

ki jo preseka za t = 0 v točki D(a0) kjer ima navpično tangento Krivulja

na prvi pogled ni nič posebnega a že D Uhlhorn je pokazal kako se kon-

struira njene posamezne točke in kako se z njo podvoji kocko

Slika 30 Konstrukcija točk toksoide

Do točke T na toksoidi pridemo takole V koordinatnem sistemu Oxy

za pozitiven a določimo točko D(a0) in skoznjo konstruiramo pravokot-

nico na os x torej premico x = a (slika 30) Na tej premici izberemo točko

A ki jo bomo spreminjali da bomo dobili krivuljo Skozi O in A nato

načrtamo premico p v A pa nanjo pravokotnico q ki seka abscisno os v

točki B V B postavimo na abscisno os pravokotnico r ki preseka premico

p v točki T Ko A potuje po premici x = a točka T opiše toksoido T brez

izolirane točke O

Da res dobimo toksoido T je treba samo zapisati enačbi y = tx premice

p in y = minus(x minus a)t + at premice q ter točki A(aat) in B(a(1 + t2)0) ter

T (a(1+t2)at(1+t2)) Koordinati točke T pa res dasta paramatrični enačbi

52

toksoide

Slika 31 Konstrukcija srednjih geometrijskih sorazmernic s toksoido

Iz podobnih trikotnikov ODA OAB in OBT na sliki 30 sledi relacija

∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣

kar pomeni da sta ∣OA∣ in ∣OB∣ srednji geometrijski sorazmernici daljic

∣OD ∣ = a in ∣OT ∣ = b Zato lahko izrazimo ∣OA∣ =3radica2b in ∣OB∣ =

3radicab2 na isti

način kot pri (3)

Če imamo že načrtano toksoido T potem srednji geometrijski sorazmer-

nici za a in b gt a dobimo tako da poiščemo presečišče T krožnice s sredi-

ščem v O skozi točko C(b0) in na zgoraj opisan način poiščemo premice

pq in r ter točki A in B (slika 31) Za b = 2a na ta način rešimo problem

podvojitve kocke ∣OA∣ = a 3radic

2

Ukrivljenost κ(t) toksoide T v točki ki ustreza parametru t brez težav

53


κ(t) =2(3t2 minus1)

a(1+10t2 +9t4)32

Opazimo da ukrivljenost menja predznak pri t = plusmn1radic

3 kar nam da točki

Pplusmn(4a3plusmn4aradic

39) v katerih ima T prevoja s tangentama s smernima koe-

ficientoma plusmnradic

3 Tangenti oklepata z osjo x kota plusmnπ3 Pritisnjena krožnica

v točki D ki ustreza t = 0 ima za polmer 1∣κ(0)∣ = a2 in središče v točki

S(3a20) (slika 32)

Slika 32 Prevoja toksoide T in pritisnjena krožnica v točki D

Prevoja sta konstruktibilna pri čemer si lahko pomagamo z vesico pis-

cis nad daljico OD Njeni točki Vplusmn sta narazen za aradic

3 premici skozi O

in Vplusmn pa določata smeri tangent v prevojih Prav tako je konstruktibilna

točka S V okolici točk D in Pplusmn je ujemanje toksoide s pritisnjeno krožnico

v D in tangentama v prevojih Pplusmn zelo dobro

54

Enačba toksoide T v polarnih koordinatah in ϕ je

(ϕ) =a

cos3ϕ

kar sledi iz njene implicitne oblike

a(x2 +y2) = x3

Pri tem je treba le upoštevati zvezi x2 +y2 = 2 in x = cosϕ

Polarna oblika je zelo primerna za študij inverzije na krožnici s središčem

v točki O in polmerom R Če je namreč lowast polarni polmer invertirane

krivulje mora veljati relacija

(ϕ)lowast(ϕ) =R2

Če izberemo R = a dobimo za inverzno sliko toksoide T krivuljo (slika 33)

T lowast ki ima nasledno enačbo v polarnih koordinatah

lowast(ϕ) = acos3ϕ

Slika 33 Inverzna slika T lowast toksoide T

55

Iz polarne oblike krivulje T lowast hitro izpeljemo še njeno implicitno enačbo

(x2 +y2)2 = ax3

Torej je T lowast algebrska krivulja četrte stopnje

Ploščino S lika ki ga ograjuje krivulja T lowast izračunamo po znani for-

muli

S = 2 sdot12 int

π2

0lowast2(ϕ)dϕ = a2

int

π2

0cos6ϕdϕ = a2 sdot

56

sdotπ2=

5πa2

32

Krivulja T lowast je simetrična glede na os x v točkah O in D ima navpični

tangenti največji odklon od osi x pa doseže v točkah Yplusmn(9a16plusmn3aradic

316)

kjer ima vodoravni tangenti in sicer pri polarnih kotih plusmnπ6

De Slusove pomnoževalke hiperkock

Podvojitev kocke je kot vemo klasični grški geometrijski problem ki se ga

ne da rešiti evklidsko to je samo z neoznačenim ravnilom in šestilom kar

so dokazali šele v 19 stoletju Problem zahteva določiti rob kocke ki ima

prostornino enako dvakratniku prostornine dane kocke To pomeni da

je treba za dano daljico a konstruirati tako daljico b za katero je b = a 3radic

2

Problem podvojitve kocke so Grki znali rešiti na več načinov Eden od njih

je možen s posebno ravninsko krivuljo z Dioklovo cisoido (več na primer

v [7])

Povsem smiselno se je vprašati kako bi pomnožili s faktorjem s gt 0

poljubno r-razsežno hiperkocko z robom a Njena prostornina je ar zato

je b = a rradics rob hiperkocke katere prostornina je s-kratnik prostornine

hiperkocke z robom a Dva primera sta trivialna Za r = 1 imamo daljico

56

njena rdquoprostorninardquo je kar njena dolžina a za r = 2 pa kvadrat čigar rdquopros-

torninardquo je kar njegova ploščina a2 Za r = 3 imamo opraviti z običajno

kocko z običajno prostornino a3 V prvih dveh primerih množenje s fak-

torjem s ni problematično saj s problemom lahko geometrijsko rešimo s

podobnimi trikotniki in z višinskim izrekom v pravokotnem trikotniku

Za r ge 4 si r-razsežno hiperkocko teže predstavljamo ker je ne moremo

realizirati z običajno geometrijo To pa ni ovira pri pomnožitvi take hiper-

kocke s številom s ker moramo znati samo njen rob a geometrijsko pom-

nožiti s številom rradics kar pa lahko naredimo v običajni ravnini V mate-

matični analizi je r-razsežna hiperkocka z robom a na primer kar r-kratni

kartezični produkt intervala [minusa2a2] s samim seboj to je množica

[minusa2a2]r = (x1x2 xr) isinRr ∶ ∣x1∣ le a2 ∣x2∣ le a2 ∣xr ∣ le a2

Oglejmo si de Slusove perle (2) z eksponenti mn =mminus 1 in p = 1 fak-

torjem k = 1 ter a gt 0 pri čemer je m sodo število to se pravi krivulje z

implicitno enačbo

ym = xmminus1(aminusx) (6)

oziroma xm + ym = axmminus1 Pri danem m označimo ustrezno krivuljo s Hm

Med njimi je tudi stara znanka x2 + y2 = ax krožnica s polmerom a2

in središčem v točki S(a20) Skupne vsem krivuljam so točke O(00)

Cplusmn(a2plusmna2) D(a0) ter navpični tangenti v O in D Krivulje Hm so za-

ključene in simetrične glede na os x in se dajo lepo parametrizirati z y = tx

Za vsako dobimo parametrično enačbo

x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)

Najbolj se taka krivulja oddalji od abscisne osi za t = 1 mradicmminus1 v točkah

Yplusmn(a(mminus1)mplusmnam mradic

(mminus1)mminus1) Za t = 0 dobimo točko D za ∣t∣rarrinfin pa

57

se krivulja bliža točki O Slika 34 kaže nekaj primerov

Slika 34 Nekaj krivulj Hm

Naj bo s poljubno pozitivno število in A(0as) točka na osi y Premica

skozi A in D preseka krivuljo Hm v točkah D(a0) in B(x0y0) za katero

potrebujemo samo razmerje y0x0 Na sliki 35 je izbran eksponent m = 4

Premica skozi A in D ima enačbo xa+sya = 1 iz katere izrazimo aminusx = sy

in vstavimo v enačbo (6) Dobimo ym = ysxmminus1 Ker iščemo točko B s

pozitivno ordinato lahko z y krajšamo in dobimo y0x0 =mminus1radics

Premica skozi O in B ima enačbo y = y0xx0 in preseka premico x = a

v točki C(aay0x0) oziroma C(aa mminus1radics) Zato je ∣DC∣ = ∣OD ∣ mminus1

radics) V

primeru m = 4 in s = 2 je ∣DC∣ = ∣OD ∣3radic

2) kar pomeni da se nam je pos-

rečilo podvojiti trirazsežno kocko Za s = 3 kocko potrojimo za s = 4

početverimo itd Še več zam = 6 in s = 2 podvojimo 5-razsežno hiperkocko

58

za s = 3 jo potrojimo za s = 4 početverimo itd

Slika 35 Krivulja H4 in pomnožitev roba trirazsežne kocke

Lihih m nam ni treba posebej obravnavati ker krivulje Hm ne bi bile

prave de Slusove perle Poleg tega bi tedaj bil mminus 1 sodo število denimo

m minus 1 = 2αq z naravnim α in lihim q Korenjenje se potem da izvesti z

α-kratnim kvadratnim korenjenjem in enim q-tim korenjenjem s krivuljo

Hq+1 kakor smo zgoraj opisali

Drug način za pomnožitev hiperkock poteka s cisoidami Cm krivuljHm

in premice x = a Pri parametru t premica y = tx preseka premico x = a

v točki C(aat) točka B pa ima tedaj koordinati dani z parametričnima

enačbama (7) S koordinatami točk B in C imamo takoj

ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59

Slika 36 Nekaj krivulj Cm

Da bo točka T na cisoidi Cm mora veljati zvezaETHOT =

ETHBC Potemtakem ima

Cm parametrični enačbi

x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)

Ker je t = yx dobimo še implicitno enačbo krivulje Cm

xm+1 = ym(aminusx) (9)

oziroma x(xm+ym) = aym Krivulje so za sodem definirane nad intervalom

60

[0a) so simetrične glede na os x imajo za asimptoto premico x = a in

potekajo skozi koordinatno izhodišče O in točki Cplusmn(a2plusmna2) Asimptoti

se krivulja bliža ko ∣t∣ rarr infin V točki O pri t = 0 imajo ost z vodoravno

tangento Za m = 2 dobimo staro znanko Dioklovo cisoido

Slika 37 Krivulja C4 in pomnožitev roba 5-razsežne hiperkocke

Izberimo sedaj na ordinatni osi točko A(0as) pri čemer je s pozi-

tivno število in vzemimo premico skozi točki A in D (slika 37) Ta ima

enačbo xa + y(as) = 1 iz katere izrazimo a minus x = ys Premica preseka

cisoido Cm v točki M(x0y0) s pozitivno ordinato Iz enačb premice skozi

A in D in (9) dobimo y0x0 = m+1radics Premica skozi točki O in M ima

enačbo y = y0xx0 in preseka premico x = a v točki E(aa m+1radics) Torej velja

61

zveza ∣DE∣ = ∣OD ∣ m+1radics kar pomeni da smo našli rob (m + 1)-razsežne

hiperkocke ki ima za prostornino s-kratnik prostornine dane (m + 1)-

razsežne hiperkocke

Naj bo Sm ploščina lika ki ga omejuje krivulja Hm in Qm ploščina

neomejenega lika ki ga omejuje krivulja Cm z asimptoto Ni ju težko

izraziti

Pm =a2(mminus1)πm2 sin π

m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m

Nadalje naj bo Vm prostornina telesa ki nastane z rotacijo krivulje Hm

okoli osi x Wm pa prostornina neomejenega telesa ki nastane z rotacijo

krivulje Cm okoli osi x Prav tako ju ni težko izraziti

Vm =2a3(mminus1)(mminus2)π2

3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm

Ploščine in prostornine so poleg drugega zanimale že matematike v

17 stoletju zlasti C Huygensa Izračunajmo prostornino telesa Um ki

nastane z rotacijo lika med cisoido in njeno asimptoto okoli te asimptote

(slika 38) Uporabili bomo sodobne zapise in Eulerjevi funkciji B in Γ ki

ju C Huygens še ni mogel poznati Presek nastalega telesa na višini y je

krog s polmerom aminusx in ploščino π(aminusx)2 Upoštevamo še simetrijo lika

glede na os x uporabimo parametrično obliko (8) in nastavimo integral

Um = 2πintinfin

0(aminusx(t))2y(t)dt = 2πa3

int

infin

0

tm(tm +m+1)(1+ tm)4 dt

ki ga lahko izrazimo v obliki

Um = 2πa3(I2 + (mminus1)I3 minusmI4)

pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62

ki ima za m ge 2 in k ge 1 končno vrednost S substitucijo u = 1(1 + tm)

dobimo

Ik =1m int

1

0ukminus1minus1m(1minusu)1mminus1du =

1m

B(kminus1m1m) =Γ(k minus1m)Γ(1m)

mΓ(k)

Na koncu je rezultat zelo preprost

Um =2π2a3(m2 minus1)

3m3 sin πm

Prve tri prostornine so

U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162

Slika 38 Telo nastalo z zasukom lika med krivuljo C2 in njeno asimptoto

okoli te asimptote

Izračunajmo prostornino telesa Um ki nastane z rotacijo lika med cisoido

in njeno asimptoto okoli osi y (slika 39) Presek nastalega telesa na višini y

63

je krožni kolobar z notranjim polmerom x in zunanjim polmerom a ki ima

ploščino π(a2minusx2) Upoštevamo še simetrijo lika glede na os x uporabimo

parametrično obliko (8) in nastavimo integral

Um = 2πintinfin

0(a2 minusx2(t))y(t)dt = 2πa3

int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt

ki ga lahko izrazimo z zgoraj vpeljanimi integrali Ik v obliki

Um = 2πa3(2I1 + (2mminus3)I2 minus (3mminus1)I3 +mI4)

Na koncu dobimo za rezultat

Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162

V 17 stoletju so se zanimali tudi za težišča homogenih likov in teles

Lik ki ga omejuje krivulja Hm ima težišče na abscisni osi oddaljen za xT

od osi y Da bi lahko poiskali xT moramo najprej izračunati za ta lik

moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0

infinx(t)y(t)xdt = 2a3mint

infin

0

tm

(1+ tm)4 dt

Izrazimo z integrali Ik in dobimo

Mm = 2a3m(I3 minus I4) =πa3(mminus1)(2mminus1)

3m3 sin πm

Abscisa težišča lika je potem kvocient momenta Mm in ploščine Sm

xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y

Lik omejen s krivuljo Cm ima težišče na abscisni osi oddaljen za xC

od osi y Da bi poiskali xC uporabimo kar PaposndashGuldinovo pravilo za

prostornino vrtenine

2πxC sdotQm = Um

kjer je Qm ploščina lika ki ga rotiramo okoli osi y Rezultat je proti vsem

pričakovanjem zelo preprost

xC =(2m+1)a

3m

Poznoantični matematik Papos iz Aleksandrije (290ndash350) v grščini Πάπ-

πος ὁ Αλεξανδρεύς v latinščini Pappus je pomemben ker je zbral prak-

tično vse dotakratno matematično znanje Grkov in dodal še marsikaj svo-

65

jega Njegovo najpomembnejše delo je rdquoZbirkardquo v grščini Συναγωγή Uk-

varjal se je tudi s klasičnimi grškimi geometrijskimi problemi

Jezuit Paul Guldin (1577ndash1643) je bil švicarski matematik in astronom

profesor matematike na Dunaju in v Gradcu Pred tem je študiral v Rimu

Skupaj s Paposom je znan

po pravilih za izračun prostornine rotacijskega telesa in površine rotacij-

ske ploskve

Slika 40 Telo nastalo z zasukom lika ki ga omejuje H4 okoli osi y

ProstorninaXm vrtenine ki nastane z rotacijo lika omejenega s krivuljo

Hm okoli osi y je po PaposndashGuldinovem pravilu za prostornino enaka

Xm = 2πxT sdot Pm = 2π(2mminus1)a

3msdota2(mminus1)πm2 sin π

m=

2π2a3(2mminus1)(mminus1)3m3 sin π

m

Slika 40 kaže vrtenino za primer krivulje H4 Podobne slike bi dobili tudi

za druge Hm

Če isti lik rotiramo okoli premice x = a tangente na krivuljo Hm v

točki D dobimo vrtenino s prostornino Ym ki jo izračunamo prav tako

66

po PaposndashGuldinovem pravilu za prostornino in dobimo

Ym = 2π(aminusxT ) sdot Pm = 2π(m+1)a


m=

2π2a3(m2 minus1)3m3 sin π

m

Opazimo da je prostornina Ym enaka prostornini Um telesa ki nastane

z rotacijo lika med krivuljo Cm in njeno asimptoto okoli te asimptote

Dokler ni bil razvit infinitezimalni račun kakršnega poznamo danes

so računali ploščine težišča prostornine in površine za vsak primer pose-

bej Veliko so se v 17 stoletju pa tudi že prej znani matematiki ukvarjali

s cikloido na primer N Kuzanski M Mersenne G Galilei G P de Rober-

val C Wren G Cardano B Pascal I Newton G W Leibniz C Huygens

je neko njeno lastnost uporabil pri izdelavi ure na nihalo

Evdoksova kampila

Oglejmo si naslednjo konstrukcijo točk krivulje V točki D(a0) pri čemer

je a gt 0 postavimo pravokotnico p na abscisno os Na p izberemo točko

A ki jo bomo kasneje premikali po tej premici Skozi O in A načrtamo

premico q in skozi A krožnico s središčem v koordinatnem izhodišču O

Krožnica preseka abscisno os v točkah B in Bprime ki sta simetrični glede na

točko O V B in Bprime konstruiramo pravokotnici r in rprime na os x ki presekata

p v točkah T in T prime ki sta tudi simetrični glede na točko O Ko teče točka

A po premici p opišeta T in T prime dvodelno krivuljo ki so jo poimenovali

rdquoEvdoksova kampilardquo Točka T opiše njeno desno vejo T prime pa levo Krivulja

je očitno simetrična glede na obe koordinatni osi (slika 41)

Enačbo desne veje dobljene Evdoksove kampile je najlaže najprej izraz-

iti v polarnih koordinatah nato pa še v implicitni obliki v pravokotnih

67

Slika 41 Konstrukcija točk Evdoksove kampile

kartezičnih koordinatah Za polarni kot ϕ vzamemo naklonski kot pre-

mice q za polarni radij pa razdaljo ∣OT ∣ (slika 41) Najprej očitno veljata

zvezi ∣OA∣ = ∣OD ∣cosϕ = acosϕ in = ∣OT ∣ = ∣OB∣cosϕ = ∣OA∣cosϕ iz

katerih dobimo = acos2ϕ tako da je nazadnje pri pogoju minusπ2 ltϕ ltπ2

polarna enačba desne veje Evdoksove kampile

(ϕ) =a

cos2ϕ (10)

Obe veji krivulje imata implicitno obliko

a2(x2 +y2) = x4 (11)

ki jo dobimo iz polarne oblike z upoštevanjem zvez 2 = x2 + y2 in cosϕ =

x Krivulja v obliki (11) ima izolirano točko O(00) ki je posledica del-

jenja z ki je lahko tudi enak 0 Evdoksova kampila je algebrska krivulja

četrte stopnje

Z Evdoksovo kampilo se da podvojiti kocko Načrtamo krožnico s

središčem v točkiD in polmerom a Njena enačba je x2+y2 = 2ax Vstavimo

68

Slika 42 Podvojitev kocke z Evdoksovo kampilo

2ax namesto x2 + y2 v (11) in dobimo enačbo x4 minus2a3x = x(x3 minus2a3) = 0 ki

ima realni rešitvi x0 = 0 in x1 = a 3radic

2 V prvem kvadrantu se krožnica in

Evdoksova kampila sekata v točki T (a 3radic

2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da

ima točka T absciso

∣T0T ∣ = b = a 3radic2

Kocka z robom b ima prostornino b3 = 2a3 torej dvakratnik prostornine

kocke z robom a

Grška beseda καμπύλος pomeni rdquokriv zavit upognjenrdquo v ženski ob-

liki καμπύλη beseda γραμμή pa rdquočrta potezardquo Polno ime krivulje je v

grščini καμπύλη γραμμή torej rdquokriva črtardquo na kratko so jo poimenovali kar

rdquokampilardquo kateri so dodali še Evdoksovo ime Evdoks iz Knida (408ndash355

pnš) Εὔδοξος ὁ Κνίδιος je bil starogrški matematik in astronom Bil je

Arhitov učenec v Tarentu grško Τάρας in Platonov na Akademiji v Ate-

nah Obiskal je tudi Sicilijo in Egipt Kasneje je ustanovil svojo šolo v

Kiziku grško Κύζικος ob Mramornem morju ali Propontidi grško Προ-

ποντίς Pomemben je njegov doprinos v teoriji razmerij in nesoizmerljivih

količin kar je uporabil Evklid Εὐκλείδης v svojih Elementih Στοιχεῖα

69

Grška beseda εὔδοξος pomeni med drugim rdquosloveč slaven ugledenrdquo

V astronomiji je Evdoks zagovarjal geocentrični svetovni sistem in za

pojasnitev gibanja planetov in Lune uvedel sistem koncentričnih sfer ki

se vrtijo ena v drugi S tem v zvezi je uvedel še eno krivuljo ki jo poznamo

pod imenom rdquoEvdoksova hipopedardquo

Problem podvojitve kocke je na svojevrsten način s torusom valjem

in stožcem rešil pitagorejec in vojaški poveljnik Arhitas iz Tarenta v južni

Italiji grško Αρχύτας ὁ Ταραντίνος rojen med letoma 435 in 410 umrl

pa med letoma 360 in 350 pnš Morda je Evdoks Arhitovo prostorsko

rešitev problema podvojitve kocke poenostavil na reševanje v ravnini in

tako prišel do svoje kampile Dokazano to ni nikjer ve se le da mu je

rešitev uspelo najti z neko krivuljo Način reševanja pa je podoben reše-

vanju z Uhlhornovo toksoido ki ima tudi podobno enačbo v polarni obliki

(ϕ) = acos3ϕ

Tako Uhlhornova toksoida kot Evdoksova kampila spadata v skupino

Clairautovih krivulj = acosnϕ ali = asinnϕ Če je n racionalno število

je Clairautova krivulja algebrska Alexis Claude Clairaut (1713ndash1765) je

bil francoski matematik in astronom

Evdoksovo kampilo brez izolirane toke O parametriziramo kar s po-

larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ

Njena ukrivljenost κ(ϕ) se izraža v obliki

κ(ϕ) =cos3ϕ(3sin2ϕ minus1)

a(3sin2ϕ +1)32

Ukrivljenost spremeni predznak pri kotu ϕ za katerega je 3sin2ϕ minus1 = 0

V takih točkah ima krivulja prevoje Evdoksova kampila ima štiri in sicer

70

Slika 43 Desna veja Evdoksove kampile prevoja in pritisnjena krožnica

v točkah (plusmnaradic

62plusmnaradic

32) Strmini tangent v teh točkah sta plusmn2radic

2 Os x

presekata za desno vejo v točki G(3aradic

680) Krivinski polmer v točkah

D inDprime je enak a Središče pritisnjene krožnice v točkiD je v točki S(2a0)

Približno ujemanje krivulje tangent v prevojih Pplusmn in pritisnjene krožnice v

temenu D kaže slika 43 Ujemanje bi lahko izkoristili za približno podvo-

jitev kocke Če namesto Evdoksove kampile vzamemo kar njeno tangento

y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32

v prevoju v prvem kvadrantu in poiščemo absciso ξ presečišča s krožnico

x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951

namesto točnejše vrednosti

3radic

2a

≐ 1259921049

71

Če bi podoben račun naredili za Uhlhornovo toksoido ki se v prevojih

tudi približno ujema s tangentama bi dobili slabši rezultat

Zgoraj opisani približek lahko izkoristimo za precej natančno evklid-

sko konstrukcijo roba b podvojene kocke z robom a V koordinatnem sis-

temu Oxy narišemo krožnico s polmerom a s središčem v točki D(a0)

skozi O pa konstruiramo premico p z naklonskim koeficientom k = 2radic

2

Na abscisni osi konstruiramo točkoG(3aradic

680) in skoznjo premico q vz-

poredno s p Presečišče te premice s krožnico je točka T njena pravokotna

projekcija na os y pa točka T0 Razdalja b = ∣T0T ∣ je dober približek za

a 3radic

2 (slika 44) Pri tem izkoristimo izraza za diagonalo kvadrata in višino

enakostraničnega trikotnika v katerih nastopataradic

2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic

6 Podrobnosti so izpuščene z malo truda lahko konstrukcije

izvede vsak sam

Slika 44 Približna podvojitev kocke

Zrcalno sliko Evdoksove kampile (11) na krožnici x2 + y2 = a2 takoj

dobimo iz polarne oblike njene desne veje lowast(ϕ) = acos2ϕ Z zapisom v

pravokotnih kartezičnih koordinatah dobimo implicitno obliko za celotno

prezrcaljeno krivuljo

(x2 +y2)3 = a2x4

72

Krivulja je algebrska šeste stopnje Simetrična je glede na obe koordinatni

osi Njeni največji odkloni od osi x so pri polarnih kotih ϕ za katere je

3sin2ϕ = 1 to je v točkah (plusmn2aradic

69plusmn2aradic

39) kjer ima krivulja vodo-

ravni dvojni tangenti

Slika 45 Zrcaljenje Evdoksove kampile na krožnici

Nova krivulja spada med Clairautove Ploščina P obeh delov jajčastih

oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2

0cos4ϕdϕ = 2a2 sdot

34

sdotπ2=

3πa2

8

Problem podvojitve kocke grško διπλασιασμός τοῦ κύβου ali deloški

problem poimenovan po grškem otoku Delosu v Egejskem morju je reše-

valo več grških geometrov ki so celo skušali izdelati v ta namen posebno

orodje Platon je pograjal Evdoksove Arhitove in Menajhmove učence

češ da njihovi napori kvarijo kar je dobrega v geometriji Nastal je celo

epigram (puščica zbadljivka) v zvezi s podvojitvijo kocke ki je zapisan v

Evtokijevih komentarjih k Arhimedovi razpravi rdquoO krogli in valjurdquo grško

Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Matematik in neoplatonist Evtokij iz Aškalona

v Palestini Εὐτόκιος ὁ Ασκαλονίτης je bil poznoantični matematik rojen

73

okoli leta 480 umrl pa je okoli leta 520 O njem se ve bore malo Nekaj

časa je deloval v Atenah nazadnje pa v Aleksandriji Napisal je tudi ko-

mentarje k Apolonijevi razpravi rdquoStožnicerdquo v grščini Κωνικά Na stožnice

se je v srednjem kar nekoliko pozabilo zanimanje zanje je spet oživelo

šele v času Keplerja in Newtona ko je bil potreben opis gibanja planetov

v heliocentričnem svetovnem sistemu

Navedimo omenjeni epigram v grščini in v prevodu S Weiss (vzeto iz

obsežnega knjižnega dela v treh delih [3])

Μηδὲ σύ γrsquo Αρχύτεω δυσμήχανα ἔργα κυλίνδρων

μηδὲ Μεναιχμείους κωνοτομεῖν τριάδας

διζήσηι μηδrsquo εἴ τι θεουδέος Εὐδόξοιο

καμπύλον ἐν γραμμαῖς εἶδος ἀναγράφεται

Težkih Arhitovih del s cilindri nikar ne posnemaj

stožnic Menajhmovih treh nikdar izsekal ne boš

niti ne boš spoznal če božanskega črte Evdoksa

res zarišejo lik tak iz zavitih kampil

Videli smo kaj vse se da povedati o neki krivulji če obvladamo in-

finitezimalni račun Seveda nam je to sedaj ko imamo na voljo najnovejše

pripomočke in obsežno ter dostopno matematično literaturo veliko laže

kot je bilo matematikom v 17 stoletju ko so v marsičem še orali ledino

Pomembni znanstveniki rojeni v 17 stoletju

Navedimo nekaj pomembnih znanstvenikov predvsem matematikov fizi-

kov in astronomov ki so se rodili v 17 stoletju Razvrščeni so po letnicah

74

rojstva Veliko podatkov dobimo v [1 5] in na svetovnem spletu

Gilles Personne de Roberval (1602ndash1675)

Pierre de Fermat (1607ndash1665)

Giovanni Alfonso Borelli (1608ndash1679)

Evangelista Torricelli (1608ndash1647)

John Pell (1610ndash1685)

Johann Hevel (1611ndash1687)

Frans van Schooten (1615ndash1660)

Carlo Renaldini (1615ndash1698)

John Wallis (1616ndash1703)

Henry Oldenburg (1618ndash1677)

Michelangelo Ricci (1619ndash1682)

William Brouncker (1620ndash1684)

Edmeacute Mariotte (1620ndash1684)

Jean Picard (1620ndash1682)

Vincenzo Viviani (1622ndash1703)

Reneacute-Franccedilois de Sluse (1622-1685)

Blaise Pascal (1623ndash1662)

Giovanni Domenico Cassini (1625ndash1712)

Robert Boyle (1627ndash1691)

Christiaan Huygens (1629ndash1695)

Isaac Barrow (1630ndash1677)

Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1631ndash1708)

Christopher Wren (1632ndash1723)

Johann Hudde (1633ndash1704)

Robert Hooke (1635ndash1703)

75

William Neile (1637ndash1670)

James Gregory (1638ndash1675)

Philippe de la Hire (1640ndash1719)

Isaac Newton (1643ndash1727)

Olaus Roslashmer (1644ndash1710)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646ndash1716)

Denis Papin (1647ndash1712)

Michel Rolle (1652ndash1719)

Pierre Varignon (1654ndash1722)

Jacob Bernoulli (1655ndash1705)

Edmund Halley (1656ndash1742)

Guillaume Franccedilois Antoine LrsquoHocircpital (1661ndash1704)

David Gregory (1661ndash1708)

Abraham de Moivre (1667ndash1754)

Johann Bernoulli (1667ndash1748)

Jacopo Francesco Riccati (1676ndash1754)

Giulio Carlo Fagnano (1682ndash1766)

Roger Cotes (1682ndash1716)

Reneacute Antoine Reacuteaumur (1683ndash1757)

Greacutegoire de Saint-Vincent (1584ndash1667)

Brook Taylor (1685ndash1731)

Gabriel Daniel Fahrenheit (1686ndash1736)

Colin Maclaurin (1698ndash1746)

Pierre Louis Moreau de Mapertuis (1698ndash1759)

76

Viri

[1] I Asimov Biografska enciklopedija znanosti in tehnike Tehniška za-

ložba Slovenije Ljubljana 1978

[2] J Bair V Henry Sluse ses perles et son algorithme Losanges 14

(2011) str 14ndash18 httphdlhandlenet2268100155 (videno 10

7 2021)

[3] G Kocijančič (urednik) Fragmenti predsokratikov Študentska za-

ložba Ljubljana 2012

[4] G Loria Spezielle algebraische und transscendente ebene Kurven

Teubner Leipzig 1902

[5] U C Merzbach C B Boyer A History of Mathematics John Wiley amp

Sons Hoboken New Jersey 2011

[6] J J OrsquoConnor E F Robertson Reneacute Franccedilois Walter de Sluze MacTu-

tor

httpsmathshistoryst-andrewsacukBiographiesSluze

(videno 10 7 2021)

[7] B von Pape Von Eudoxus zu Uhlhorn Books on Demand Norderstedt

2019

[8] M Razpet Pomnožitev hiperkocke Obzornik mat fiz 68 (2021) št 1

str 1-9

[9] M Razpet in N Razpet Prepogibanje papirja podvojitev kocke in

Slusova konhoida Obzornik mat fiz 67 (2020) št 2 str 41-51

77

[10] Y Renotte Reneacute de Sluze dialogues avec Christiaan Huygens

Bulletin de lrsquouniversiteacute du 3e acircge - Liegravege 23 (2021) 4 strani

httphdlhandlenet22682596400 (videno 10 7 2021)

[11] R F Slusius Mesolabum seu duaelig mediaelig proportionales inter ex-

tremas datas per circulum et ellipsim vel hyperbolam infinitis modis

exhibitaelig Leodii Eburonum Liegravege 1659


tremas datas per circulum et per infinitas hyperbolas vel ellipses et

per quamlibet exhibitaelig ac problematum omnium solidorum effectio

per easdem curvas Leodii Eburonum Liegravege 1668

[13] D Uhlhorn Entdeckungen in der houmlhern Geometrie theoretisch und

practisch abgehandelt Schulzersquosche Buchhandlung Oldenburg 1809

[14] I Vidav Algebra Mladinska knjiga Ljubljana 1972

Avtor se zahvaljuje prof dr Milanu Hladniku za strokovni pregled

copy(2021) Marko Razpet

78

Vsebina

Seznam slik 3

Predgovor 5

Kdo je bil Reneacute-Franccedilois de Sluse 5

Eratostenov mesolabum 12

Drugo de Slusovo delo 19

De Slusove perle 22

Poseben primer de Slusove perle 24

Geometrijska konstrukcija in analitična obravnava 25

Spremljajoča parabola 29

Ogrinjače 30

Nožiščne krivulje 32

Ekstremne točke nožiščne krivulje 35

Cisoida 36

Neilova parabola 38

Ploščine in prostornine 42

Tangenta 43

Inverzija krivulje K na krožnici 45

Inverzija krivulje Kprime na krožnici 48

Pritisnjeni krožnici na K 49

Toksoida 50

De Slusove pomnoževalke hiperkock 57

Evdoksova kampila 67

Pomembni znanstveniki rojeni v 17 stoletju 74

Viri 77

Seznam slik




























3


29 Toksoida 51












okoli osi y 65







4

Predgovor
























5














6




















7









Liegravegeu



















8




























9













10




















dandanes








11
























12









b (1)


axsdotxysdoty

b=ab= λ3

To pomeni da je

λ = 3

radicab x =

3radica2b y =

3radicab2







2 in y = a 3radic








13


















14










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78

Seznam slik




























3


29 Toksoida 51












okoli osi y 65







4

Predgovor
























5














6




















7









Liegravegeu



















8




























9













10




















dandanes








11
























12









b (1)


axsdotxysdoty

b=ab= λ3

To pomeni da je

λ = 3

radicab x =

3radica2b y =

3radicab2







2 in y = a 3radic








13


















14










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78


29 Toksoida 51












okoli osi y 65







4

Predgovor
























5














6




















7









Liegravegeu



















8




























9













10




















dandanes








11
























12









b (1)


axsdotxysdoty

b=ab= λ3

To pomeni da je

λ = 3

radicab x =

3radica2b y =

3radicab2







2 in y = a 3radic








13


















14










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78

Predgovor
























5














6




















7









Liegravegeu



















8




























9













10




















dandanes








11
























12









b (1)


axsdotxysdoty

b=ab= λ3

To pomeni da je

λ = 3

radicab x =

3radica2b y =

3radicab2







2 in y = a 3radic








13


















14










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78














6




















7









Liegravegeu



















8




























9













10




















dandanes








11
























12









b (1)


axsdotxysdoty

b=ab= λ3

To pomeni da je

λ = 3

radicab x =

3radica2b y =

3radicab2







2 in y = a 3radic








13


















14










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78




















7









Liegravegeu



















8




























9













10




















dandanes








11
























12









b (1)


axsdotxysdoty

b=ab= λ3

To pomeni da je

λ = 3

radicab x =

3radica2b y =

3radicab2







2 in y = a 3radic








13


















14










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78









Liegravegeu



















8




























9













10




















dandanes








11
























12









b (1)


axsdotxysdoty

b=ab= λ3

To pomeni da je

λ = 3

radicab x =

3radica2b y =

3radicab2







2 in y = a 3radic








13


















14










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78




























9













10




















dandanes








11
























12









b (1)


axsdotxysdoty

b=ab= λ3

To pomeni da je

λ = 3

radicab x =

3radica2b y =

3radicab2







2 in y = a 3radic








13


















14










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78













10




















dandanes








11
























12









b (1)


axsdotxysdoty

b=ab= λ3

To pomeni da je

λ = 3

radicab x =

3radica2b y =

3radicab2







2 in y = a 3radic








13


















14










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78




















dandanes








11
























12









b (1)


axsdotxysdoty

b=ab= λ3

To pomeni da je

λ = 3

radicab x =

3radica2b y =

3radicab2







2 in y = a 3radic








13


















14










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78
























12









b (1)


axsdotxysdoty

b=ab= λ3

To pomeni da je

λ = 3

radicab x =

3radica2b y =

3radicab2







2 in y = a 3radic








13


















14










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78









b (1)


axsdotxysdoty

b=ab= λ3

To pomeni da je

λ = 3

radicab x =

3radica2b y =

3radicab2







2 in y = a 3radic








13


















14










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78


















14










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78










relaciji (1)







15



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78



bu=y

v=xwy

u=xv=aw




ax=wvwv=xyxy=vuvu=y

b


ax=xy=y

b




16



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78



zvezi

x2 = ay y2 = bx














17



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78



3radica2b

3radicab2)
















18


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78


šestilom





implicitno obliko










19




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78




























20




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78




























21






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78






De Slusove perle














S = 2k1mint

a


1

0tnm(1minus t)pmdt



22


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78


funkcijama B in Γ



Γ((n+p)m+2)=

= 2k1ma(m+n+p)mnp

(m+n+p)(n+p)

Γ(nm)Γ(pm)

Γ((n+p)m)


V =πk2mint

a


int

1

0t2nm(1minust)2pmdt

23







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78







=



Γ((2n+2p)m)






24


















minusat3

25











metu







26












39) De








39









27





39 pri abscisi 2a3


dinate 2aradic











28





bo R (slika 15)




O nanjo








29

Ogrinjače





+at3 = 0







(xyt) = 0


partFpartt


30
















(slika 16)


premic r




x(t) = a(1+3t2) y(t) = 2at3

31


27ay2 = 4(xminusa)3




navpično tangento















dy

dx(x) =

y

x(t) =

3t2 minus12t




2t1minus3t2

x

32




2at(t2 minus1)2

9t4 minus2t2 +1 (4)









R(p(t)q(t)) =










= 0








33
















34



dy

dx(x) =

y

x(t) = minus

1t










bola krivulje K




(9t4 minus2t2 +1)2


(9t4 minus2t2 +1)2




35




2radic




7)27plusmnaradic

74radic

7minus17227)




2minusradic

6) 4radic






tibilne

Cisoida





pa ta poteka








36

















ETHPA =

ETHOAminus


ETHOT =

ETHOAminus

ETHOP Potemtakem


37










`(b) = intb

0

radic

1+yprime2dx


38



`(b) = intb

0

radic

1+9x4adx


dobimo

`(b) =8a9 int

c

1u2du =

8a27

(c3 minus1)


1+9b(4a)









39








12mv2

0 +mgh





enačb


2gx(t)


x(t) = v0t y(t) =23

radic2gv0t3

40


ay2 = x3 a =9v2

0

8g








` = 2aint1

0





` = 12aintα

0t2

radic1+ t2dt =

3a2

(α(1+2α2)radic


1+α2))




` = 2aintα

0

radic1+ t2dt = a(α


radic1+α2))



` = intα

0

radic1+4t2dt =

a4(2α


radic1+4α2))


` = 6aintα

0tradic


1+α2 minus1)

41





S =2radica int

a

0xradicaminusxdx


S =4radica int

radica

0t2(aminus t2)dt =

4radica int

radica

0(at2 minus t4)dt =

8a2

15




V =πa int

a

0x2(aminusx)dx =

πa3

12




S prime = int1


int

1

0



S prime =2a2

729(3(43πminus28)+52

radic2ln(1+

radic2))



S prime = 2inta

0y(x)dx

42


S prime = 2int0


int

1

0




izraza (4))



V prime =πinta

0y2(x)dx


V prime =πint0


1

0


Za rezultat dobimo

V prime =2πa3

19683(431π

radic2+369+744ln2)




Tangenta




∣TA∣ = ∣y

yprime

radic




43









44


ts = minusy

partfparty (xy)

partfpartx (xy)







kn =

partfparty (x0y0)

partfpartx (x0y0)

=2ay0

x0(3x0 minus2a)


y minusay0

x0=

2ay0










ι ∶ (xy)↦ (r2x

x2 +y2 r2y

x2 +y2)

45












x(τ) =a


1minusτ4




46



formulama


y

x n = lim


V našem primeru je


y

x= limτrarrplusmn1



a4





47






(slika 26)




sliki 27



48
















49




κ(t) =2(3t2 +1)

a(1minus2t2 +9t4)32




2aradic


Toksoida





50


ay2 = x2(xminusa)










Slika 29 Toksoida


implicitni enačbi


čni enačbi

x(t) = a(1+ t2) y(t) = at(1+ t2) (5)


51













izolirane točke O




52

toksoide



∣OD ∣

∣OA∣=∣OA∣

∣OB∣=

∣OB∣∣OT ∣



3radicab2 na isti

način kot pri (3)






2


53



a(1+10t2 +9t4)32


3 kar nam da točki






S(3a20) (slika 32)




3 premici skozi O




54


(ϕ) =a

cos3ϕ


a(x2 +y2) = x3





(ϕ)lowast(ϕ) =R2





55


(x2 +y2)2 = ax3



muli

S = 2 sdot12 int

π2


int

π2


56

sdotπ2=

5πa2

32



316)








2



v [7])





56















implicitno enačbo








x(t) =a

1+ tm y(t) =

at1+ tm

(7)




57











radics) V





58












ETHBC = (aminus

a1+ tm

at minusat

1+ tm) = (

atm

1+ tmatm+1

1+ tm)

59





x(t) =atm

1+ tm y(t) =

atm+1

1+ tm (8)




60












61






izraziti


m Qm =

a2(m+1)πm2 sin π

m





3m3 sin 2πm

Wm =2a3(m+1)(m+2)π2

3m3 sin 2πm








Um = 2πintinfin


int

infin

0




pri čemer je

Ik = intinfin

0

dt

(1+ tm)k

62


dobimo

Ik =1m int

1


1m


mΓ(k)



3m3 sin πm


U2 =π2a3

4 U4 =

5radic

2π2a3

32 U6 =

35π2a3

162


okoli te asimptote



63




Um = 2πintinfin


int

infin

0

tm(tm +m+1)(2tm +1)(1+ tm)4 dt




Um =2π2a3(m+1)(2m+1)

3m3 sin πm


U2 =5π2a3

4 U4 =

15radic

2π2a3

32 U6 =

91π2a3

162




moment

Mm = 2inta

0xy dx = 2int

0


infin

0

tm

(1+ tm)4 dt



3m3 sin πm


xT =(2mminus1)a

3m

64


okoli osi y




2πxC sdotQm = Um



xC =(2m+1)a

3m




65







ske ploskve






m=


m


za druge Hm



66




m=


m









Evdoksova kampila













67







(ϕ) =a

cos2ϕ (10)


a2(x2 +y2) = x4 (11)




četrte stopnje



68






2aradic

2 3radic

2minus 3radic

4) kar pomeni da




kocke z robom a











69














(ϕ) = acos3ϕ






larnim kotom

x(ϕ) =a

cosϕ y(ϕ) =

asinϕcos2ϕ



a(3sin2ϕ +1)32



70



62plusmnaradic


2 Os x







y = 2radic

2(xminusaradic

62)+aradic

32


x2 +y2 = 2ax dobimo

ξa=

118

radic

24radic

6minus23+

radic6

3+

19≐ 1259956951


3radic

2a

≐ 1259921049

71







2





a 3radic



2 inradic

3 s kombinacijo

obeh pa šeradic


izvede vsak sam






(x2 +y2)3 = a2x4

72




69plusmn2aradic





oblik je

P = 4 sdota2

2 intπ2


34

sdotπ2=

3πa2

8










73
























74



























75

























76

Viri





7 2021)








tor


(videno 10 7 2021)


2019


str 1-9



77
















78

Documents

DE SLUSE IN NJEGOVE KRIVULJE