Embed Size (px)
Citation preview
Akışkanlar Mekaniği Akışkanların Dinamiği AKM 204 / Ders Notu H08-S1
İdeal Akışkanların Bir Boyutlu Akımları
Özet : Bir boyutlu akımların temel denklemleri
1) Kütlenin Korunumu Prensibi : “Süreklilik Denklemi”
2) Enerjinin Korunumu Prensibi :
“Enerji Denklemi”
3) Momuntum Korunumu Prensibi : “impuls-momuntum denklemi”
İrdeleme
Sonsuz küçük kesitler için elde edilen denklemler sonlu büyüklükteki akım borusu için entegrasyon yapılarak elde edilmelidir.
Süreklilik denklemi için enkesit dahilinde hız dağılışı bilinmelidir.
Enerji denkleminde, enkesit dahilinde basınç dağılışı ve enerji kaybı terimi hesaplanabilmelidir.
İmpuls-momentum denkleminde, sürtünme kuvvetleri bilinmelidir.
Entegrasyonda hız dağılışı, enerji kaybı terimi ve sürtünme kuvvetlerinin hesabı zorluk oluşturmaktadır.
Bu nedenle fiziksel inceleme önce akışkanın ideal sonra gerçek akışkan olması halleri için yapılacaktır.
İdeal akışkanın bir boyutlu akımı için yapılan kabuller:
Yerçekimi alanında inceleme yapılacaktır (kütlesel kuvvetler sadece g ’den kaynaklanmaktadır).
Permanan akım ortamında çalışılacaktır ; ı ğ
.
Kontrol hacmi, akım borusunun sonlu büyüklükteki A1 ile A2 kesitleri arasındadır.
Akışkan sürtünmesizdir ( ).
Akışkan hareket esnasında sıkışmamaktadır (
)
İdeal akışkan (sürtünmesiz akışkan) halinde;
Denklemlerde enine kesit dahilinde (içinde) hız dağılımı üniform olur.
Enerji denkleminde, sürtünmeye harcanan (ısıya dönüşen) enerji kaybı olmaz.
Momuntum denkleminde sürtünme kuvveti olmaz.
Akışkanlar Mekaniği Akışkanların Dinamiği AKM 204 / Ders Notu H08-S2
Üniform hız dağılımı ideal akışkan yani sürtünmesiz akışkan kabulünün ( μ=0 )
fiziksel sonucu olarak düşey hız gradyanının da sıfır (
) olmasını gerektirir.
Enkesit üzerindeki akışkan zerrelerinin hızları aynı olması durumunda sürtünme olmayacaktır.
( i ) enine kestinde, ui(r) noktasal hızları, Vi = sabit olan bir kesitsel hız
değeriyle temsil edilmektedir.
İdeal (sürtünmesiz) akışkanın enkesitteki üniform hız dağılımı
ui(r)
Vi = sabit ( i )
Akışkanlar Mekaniği Akışkanların Dinamiği AKM 204 / Ders Notu H08-S3
dAi enkesitli akım ipçiğinin (sonsuz küçük kesitli akım borusu) 1 ve 2 enkesitleri arasında bulunan kontrol hacmindeki akışkan kütlesine, fiziğin üç temel prensibi uygulanarak elde edilen üç temel denklemin, Ai sonlu enine kesitli bir akım borusu için integrasyonları yapılacaktır.
(1). Kütlenin korunumu ilkesi : Bir boyutlu akımlar için elde edilen süreklilik denklemi
Süreklilik denklemi : Noktasal hızlar yerine her enkesiti temsil eden sabit bir hız değeri (üniform hız) yazılırsa ve enine kesitte integrasyon yapılırsa;
:
İrdeleme : Sonlu büyüklükteki akım borusunun muhtelif (farklı) kesitlerinde, birim zamanda geçen
akışkan hacmi sabittir. Dar enine kesitlerden akım hızı artarak, geniş enine kesitlerde ise hız azalarak birim zamanda geçen akışkan hacmi sabit kalmaktadır.
Akışkanlar Mekaniği Akışkanların Dinamiği AKM 204 / Ders Notu H08-S4
(2). Enerjinin korunumu ilkesi : Akıma dik doğrultuda Newton denklemi yazılırsa;
Bir enkesitte piyezometrik basınç dağılımı
Prizmatik akışkan elemanı
Q
Akım borusu
n : Akıma dik doğrultu
c
Q
α
Yatay karşılaştırma düzlemi
A noktası
B noktası
a
pB
pA
( i )
b
zB
zA
Akım yönü
Akışkanlar Mekaniği Akışkanların Dinamiği AKM 204 / Ders Notu H08-S5
Sonuç : Doğrusal akım halinde bir enkesitin farklı noktalarında piyezometrik kot veya piyezometrik basınç aynıdır.
Bir boyutlu akımların temel denklemleri
Enerji denklemi :
; Bernoulli denklemi
İrdelenme :
Bernoulli denkleminin bir boyutlu ve permanan akım ortamında, sıkışmayan ve ideal akışkanın enerji denklemidir .
Bernoulli denklemi aynı akım çizgisi üzerinde yazılabilir.
Akışkanlar Mekaniği Akışkanların Dinamiği AKM 204 / Ders Notu H08-S6
(3). Momentumun korunumu ilkesi :
İdeal akışkan için impuls momentum denklemini göstermektedir.
Potansiyel enerji ile Konum enerjisinin farkı ;
İ İ İ
Karşılaştırma düzlemine göre aynı seviyede bulunan iki noktada (A ve B noktaları) birim ağırlıktaki akışkanın toplam enerjileri HA ve HB ile gösterilmek üzere;
Akışkanlar mekaniğinde konum enerjisi ile potansiyel enerji aynı değildir. Kaynaklar
1 “Ders notları” , ÜNSAL, İstemi, 2 “Engineering Fluid Mechanics 9e ISV”, Clayton T. Crowe, John Wiley High Education, Isbn: 9780470409435, 616 pages,2009. 3 "Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications" , Yunus Çengel & John Cimbala, 864 pages , McGraw Hill Higher Education
(December 1, 2006) 4 “Introduction to Fluid Mechanics” , Edward J. Shaughnessy,Ira M. Katz, James P. Schaffer, 1056 pages, Oxford University Press, USA
(December 9, 2004), ISBN-10: 0195154517. 5 “Introduction To Fluid Mechanics”, Robert W.Fox, Philip J.Pritchard, Alan T.Mcdonald, 7Th Ed , Si Version 6 “Fundamentals of FLUID MECHANICS” , Munson, Young, Okiishi, Wiley.
Yatay Karşılaştırma Düzlemi
A
t
B
t
Akışkanlar Mekaniği Akışkanların Dinamiği AKM 204 / Ders Notu H08-S7
KKoonnuuyyllaa SSoorruullaarrıı
1) İdeal akışkan halinde sonlu enkesit dahilinde(içerisinde) hız dağılımı neden üniformdur.
2) Bir boyutlu akım halinde bir enkesitte piyezometrik basıncın sabit olduğunu gösteriniz.
3) Bernoulli denklemi ile enerji denkleminin farkını açıklayınız.
4) Potansiyel enerji hangi enerjilerin toplamıdır.
5) Enerji denklemi hareket doğrultusunda yatay düzleme göre artan bir eğim gösterebilir mi?
Neden ?
6) Bernoulli denklemini yazınız ve geometrik ve fiziksel yorumunu yapınız.
KKoonnuuyyllaa İİllggiillii PPrroobblleemmlleerr
1. Soru : Şekildeki hazne-boru sisteminden geçen akışkan (su) ideal kabul edilmektedir. Sistemin debisi Q= 0,0696 m3/s, D1=0,3 m, D2=0,20 m ve D3=0,10 m olduğuna göre, herbir borudaki hız yüksekliklerini belirleyiniz. Sistemin ; a) rölatif enerji ve piyezometre çizgilerini, b) mutlak enerji ve piyezometre çizgilerini çiziniz.
Yatay Karşılaştırma Düzlemi
D2
t
D3
t
D1
t
4 m
0 m
0
t
Akışkanlar Mekaniği Akışkanların Dinamiği AKM 204 / Ders Notu H08-S8
Süreklilik Denklemine göre;
;
;
;
a) 0 noktası hazne yüzeyinde olmak üzere ; hesaplar atmosfer basıncının rölatif ( ) değeri alınırsa; Permanan akım ortamında ve ideal akışkan halinde birim ağırlıktaki akışkanın akım çizgisi (aynı zamanda yörüngesi) üzerinde enerji dengesine göre (Bernoulli denklemi), olmalıdır.
Toplam enerji seviyeleri;
Piyezometre seviyeleri (potansiyel enerji seviyesi) ;
D2
t
D3
t
D1
t
4 m
0 m
Yatay Karşılaştırma Düzlemi
İdeal Akışkanın Rölatif Piyezometre Çizgisi : İ.A.R.P.Ç
İdeal Akışkanın Rölatif Enerji Çizgisi : İ.A.R.E.Ç
0
t
Akışkanlar Mekaniği Akışkanların Dinamiği AKM 204 / Ders Notu H08-S9
b)
Hesaplar atmosfer basıncının rölatif (
) değeri alınırsa;
Permanan akım ortamında ve ideal akışkan halinde birim ağırlıktaki akışkanın akım çizgisi üzerinde enerji dengesine göre (Bernoulli denklemi), olmalıdır.
2. Soru : Şekildeki hazne-boru sisteminden geçen akışkanı (su) ideal kabul edilmektedir. Sistemin debisi Q= 0,197 m3/s, D1=0,3 m, D2=0,15 cm ve D3=0,20 m olduğuna göre, herbir borudaki hız yüksekliklerini belirleyiniz. Sistemin rölatif enerji ve rölatif piyezometre çizgilerini çiziniz.
İdeal Akışkanın Mutlak Enerji Çizgisi : İ.A.M.E.Ç
D2
t
D3
t
D1
t
4 m
0 m
0
t
İdeal Akışkanın Mutlak Piyezometre Çizgisi : İ.A.M.P.Ç
D2
t
D3
t
D1
t
3 m
1 m
Akışkanlar Mekaniği Akışkanların Dinamiği AKM 204 / Ders Notu H08-S10
3. Soru : Şekildeki hazne-boru sisteminden geçen akışkanı (su) ideal kabul edilmektedir. Sistemin debisi Q= 0,197 m3/s, D1=0.3 m, D2=0,15 cm ve D3=0.20 m olduğuna göre, herbir borudaki hız yüksekliklerini belirleyiniz. Sistemin rölatif enerji ve rölatif piyezometre çizgilerini çiziniz.
D2
t D3
t
D1
t
3 m
1 m
