Decaimiento a tres cuerpos en Teor´ıas Supersim´etricas con y …personalpages.to.infn.it/~lineros/pdf/tesismag.pdf · 2010. 8. 11. · Diccionario Jazaro. Agradecimientos Desde

Pontificia Universidad Católica de Chile

Facultad de F́ısica

Decaimiento a tres cuerpos en

Teoŕıas Supersimétricas con y

sin Paridad R.

por

ROBERTO ALFREDO LINEROS RODRIGUEZ

Tesis presentada a la Facultad de F́ısica de la

Pontificia Universidad Católica de Chile, como uno de

los requisitos para optar al grado académico de

Maǵıster en Ciencias Exactas con mención en F́ısica.

Profesor Gúıa : Dr. Marco A. Dı́az

Comisión Informante : Dr. Marcelo Loewe L.

Dr. Andreas Reisenegger

Junio, 2005

Santiago – Chile

Uno de los caminos seguros que conducen al

futuro verdadero - porque también existe un

futuro falso - es ir en la dirección en que crece

tu miedo.

Milorad Pavic

Diccionario Jázaro

Agradecimientos

Desde que ingresé al programa de Maǵıster en el año 2003, he tenido la oportunidad

de conocer muchas buenas personas. Cada una de ellas relacionadas directa o indirecta-

mente con el Maǵıster. Por esta razón es necesario agradecer a todas y a cada una de

ellas, partiendo por mi familia, en especial a mi madre, a mi t́ıa y a mis hermanos. Al

Profesor Marco Dı́az y la comisión examinadora de mi tesis, Profesor Marcelo Loewe

y Profesor Andreas Reisenegger, por todo el trabajo relacionado a mi tesis, junto a su

buena disposición.

Agradezco en especial, a todos quienes me brindaron la oportunidad de participar en

las escuelas internacionales de F́ısica de Altas Enerǵıas. En éstas, tuve la oportunidad

de conocer gente interesante, de fuera y dentro del área, junto con complementar lo

aprendido en Chile.

También a todos los compañeros de estudios, algunos desde la licenciatura, presentes

en el quehacer del postgrado. Junto a gran parte de los profesores de la facultad y al

CEFF.

Y sin lugar a duda, agradezco a todas las personas, que haciendo algo tan sencillo

como su trabajo, hacen posible que la facultad funcione. Ellos son todos los funcionarios,

secretarias y auxiliares.

1

AGRADECIMIENTOS

2

Resumen

Se estudió el comportamiento de los decaimientos del chargino, neutralino y gluino

en modelos supersimétricos basados en Anomaly Mediated SuSy Breaking (AMSB) con

y sin paridad R conservada para un benchmark espećıfico. El mecanismo común de de-

caimiento estudiado es el decaimiento a tres cuerpos, para lo cual se implementó una

forma sistemática de calcular el ancho de decaimiento de un fermión en otros tres, para

un número arbitrario de mediadores tipo escalar y vectorial. Las señales estudiadas may-

ormente son señales leptónicas para modelos que rompen paridad R de manera bilineal,

obteniéndose que los procesos que violan paridad R dominan por sobre los con paridad

R conservada para el caso del chargino y del neutralino. Además se estudió el efecto

producido por degeneraciones en masa presentes en los escalares del modelo, junto con

hacer hincapié en las señales resultantes de la producción de charginos y neutralinos.

i

RESUMEN

ii

Índice general

Resumen I

Introducción V

1. Supersimetŕıa 1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. MSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Violación bilineal de paridad R (BRpV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1. Fermiones Neutrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2. Fermiones Cargados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3. Escalares cargados y neutrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Reglas de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Acoplamientos del sector chargino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1. chargino - chargino - fotón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.2. chargino - chargino - bosón Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.3. chargino - chargino - Escalar Neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.4. chargino - chargino - pseudoescalar neutral . . . . . . . . . . . . . 11

2. Decaimiento a 3 cuerpos 13

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Cinemática del decaimiento a tres cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1. Cotas para los momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Amplitud de decaimiento a tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1. Procesos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Amplitudes cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1. Part́ıculas idénticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5. Cálculo del módulo cuadrado de la amplitud total . . . . . . . . . . . . . 30

2.6. El ancho de decaimiento a tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6.1. Primer grupo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

iii

ÍNDICE GENERAL

2.6.2. Segundo grupo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Fenomenoloǵıa asociada al decaimiento a tres cuerpos en AMSB 37

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. AMSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1. Espacio de parámetros de AMSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3. Decaimiento del chargino más liviano en AMSB con paridad R conservada. 39

3.4. Decaimiento del chargino en AMSB+BRpV . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.1. Algunas consideraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.2. Comportamiento bajo AMSB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4.3. Comportamiento bajo BRpV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5. Decaimiento del neutralino más liviano en AMSB+BRpV . . . . . . . . . 57

3.5.1. Comportamiento bajo AMSB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5.2. Comportamiento bajo BRpV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6. Estudio de la degeneración de masas del sector escalar . . . . . . . . . . . 64

3.7. Consideraciones experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.7.1. Producción de charginos y neutralinos . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.8. Decaimiento a tres cuerpos del gluino en AMSB - Split SuSy. . . . . . . . 72

3.8.1. Calculo aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.8.2. Cálculo aproximado versus cálculo exacto. . . . . . . . . . . . . . . 76

3.9. Propuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4. Conclusiones 81

A. Método de integración numérica 83

B. Generadores grupos SU(3) 85

C. Bosones de Gauge y gauginos de SU(2) 87

iv

Introducción

Desde la aparición de la Mecánica Cuántica y de la Relatividad - esta última

hace un siglo - el camino hacia entender el mundo de las part́ıculas comenzó a

desarrollarse. Cuando se observan los avances y resultados que suceden en estás

áreas, uno cree que falta poco para llegar a un entendimiento total y completo de

esta parte de la naturaleza, pero cuando uno se adentra en este mundo, se percata

que simplemente está comenzando todo, desde el avance tecnológico continuo asociado

a los experimentos hasta la constante evolución en distintos aspectos teóricos y filosóficos.

Uno de los grandes logros obtenidos fue la construcción del Modelo Estándar de

la interacciones Fuerte y Electrodébil, el cual explica con una precisión incréıble gran

parte de las observaciones hechas por los distintos experimentos alrededor del mundo. El

Modelo Estándar nació y evolucionó a partir de la conjunción de la mecánica Cuántica,

Relatividad y el esfuerzo de cientos de f́ısicos como Dirac, Pauli, Einstein, Majorana,

Weinberg, Wu entre mucho otros. Pero aún falta que una part́ıcula sea encontrada,

relacionada con el mecanismo de como las part́ıculas obtienen masa. Esta part́ıcula

se conoce como “el bosón de Higgs”. El Modelo Estándar presenta ciertos problemas

asociados a esta part́ıcula, además de no poder explicar ciertos aspectos relacionados

con la f́ısica de neutrinos y Cosmoloǵıa, pero aun aśı sigue siendo un buen modelo, lo

cual indica que se está en un buen camino.

Una constante presente en el desarrollo del actual Modelo Estándar son las simetŕıas:

aparentemente la naturaleza se basa en distintos tipos de simetŕıas que definen el

comportamiento de ella. Las fuerzas fundamentales que conocemos nacen de simetŕıas,

pero aún existen dos tipos de part́ıculas que no poseen ninguna simetŕıa entre ellas, los

fermiones y bosones, tal como el electrón y la luz. Una manera de relacionar ambos

tipos es mediante Supersimetŕıa, que nació en la década de los setenta desarrollada por

Golfand, Likntman y Volkov. Posterior a su nacimiento, vino su aplicación al mundo de

las part́ıculas, en las manos de Wess y Zumino, quienes construyeron el primer modelo

v

INTRODUCCIÓN

tipo Modelo Estándar. Con el correr del tiempo se construyó un modelo supersimétrico

que contiene al Modelo Estándar y resuelve muchos de los problemas que presenta su

antecesor. Cabe resaltar que la Supersimetŕıa no sólo tiene aplicaciones en f́ısica de

part́ıculas, sino que ha encontrado su espacio en f́ısica nuclear, mecánica cuántica y

teoŕıa de cuerdas, ayudando a resolver distintos problemas en esas áreas.

Este modelo supersimétrico introduce nuevas part́ıculas, las cuales nacen de la

Supersimetŕıa y se conocen como “compañeros supersimétricos”. Dentro de pocos años

más, la Supersimetŕıa, junto a otros modelos de f́ısica de altas enerǵıas, podrá ser

probada en los futuros aceleradores de part́ıculas como LHC y LC. Estos aceleradores

serán capaces de alcanzar enerǵıas por colisión nunca antes imaginadas, y suficientes

para probar el o los modelos. Pero antes del funcionamiento de estos experimentos,

existen métodos alternativos para poder probar la existencia de Supersimetŕıa. Uno

de ellos es utilizar al neutrino. El fenómeno registrado desde 1994, en observatorios de

neutrinos alrededor del mundo, evidencia un discrepancia entre teoŕıa y experimento.

Esto conduce a la aparición de la oscilación de neutrinos y hace pensar que el neutrino

debe tener masa. Dentro de ese contexto, uno de los posibles modelos supersimétricos

da la posibilidad de que el neutrino adquiera masa por estar compuesto levemente de

part́ıculas supersimétricas. Por otro lado, existen otras formas de probarla la Super-

simetŕıa, que se basan en observaciones astronómicas.

vi

Caṕıtulo 1

Supersimetŕıa

Nacida a principios de 1970 y habiendo un inmenso esfuerzo teórico en este campo,

ella brinda a la naturaleza un aspecto nunca antes imaginado. Dentro de su historia

se cuentan sobre 70.000 publicaciones, donde en ninguna de ellas se reclama un

descubrimiento experimental.

1.1. Introducción

Supersimetŕıa establece un nuevo tipo de simetŕıa entre grados de libertad bosónicos

y fermiónicos de una cierta teoŕıa. Su realización no sólo se restringe al ámbito de f́ısica

de part́ıculas, sino que ella ha encontrado su lugar en f́ısica nuclear, mecánica cuántica y

teoŕıa de cuerdas. Volviendo al contexto de la f́ısica de part́ıculas, Supersimetŕıa (SuSy)

provee una solución elegante frente a distintos problemas teóricos que tiene el actual

Modelo Estándar (SM) [6].

Presupuestar una naturaleza supersimétrica, va de la mano con el cuestinonamiento

de cómo ella se manifestará. Las respuestas sobre aquello se dejan ver inmediatamente,

la más pesimista habla de que ella no se manifestará porque simplemente no existe;

una segunda respuesta nos dice que ella no se ha manifestado porque se encuentra

rota, de una forma similar a la que describe el mecanismo de Higgs cuando rompe

espontáneamente la simetŕıa electrodébil en el Modelo Estándar.

Para que esta cara de la naturaleza se devele, es necesario desarrollar experimentos

y técnicas capaces de descubrir esta nueva realidad no evidente ante nuestros ojos.

1

CAPÍTULO 1. SUPERSIMETRÍA

Bosones Fermiones SU(2)w y Rp

Multipletes de Gauge

SU(2) V aµ λa triplete 0 (1,-1)

U(1) V ′µ λ′ singlete 0 (1,-1)

Multipletes de Materia

sleptones - leptones L̃j = (ν̃, ẽL) (ν, e−)L doblete -1 (-1,1)

R̃ = ẽ∗R eRc singlete 2 (-1,1)

Q̃j = (ũL, d̃L) (u, d)L doblete 1/3 (-1,1)

squark - quarks Ũ = ũ∗R uRc singlete -4/3 (-1,1)

D̃ = d̃∗R dRc singlete 2/3 (-1,1)

campos de Higgs Hjd = (H0d , H

−d ) (H̃

0d , H̃

−d )L doblete -1 (1,-1)

Hju = (H+u , H

0u) (H̃

+u , H̃

0u)L doblete 1 (1,-1)

Cuadro 1.1: Descripción de los campos del MSSM en base a sus números cuánticos.

1.2. MSSM

El Modelo Estándar Supersimétrico Mı́nimo (MSSM) es un modelo supersimétrico

que contiene los campos y las simetŕıas que posee el Modelo Estándar. En cierta forma,

el Modelo Estándar es una teoŕıa efectiva de bajas enerǵıas del MSSM:

SM ∈ MSSM.

En primera instancia, el MSSM se define a partir de su superpotencial (WMSSM), el

cual esta construido en base a supercampos. La forma más general de un superpotencial

es,

W = αijkΦ̂iΦ̂jΦ̂k + βijΦ̂iΦ̂j + γiΦ̂i , (1.1)

donde los supercampos Φ̂i están constituidos campos bosónicos y fermiónicos [2].

Los supercampos contienen a los campos del SM junto a unos nuevos campos que son

el resultado de considerar un espacio-tiempo supersimétrico. Estos nuevos campos son

conocidos como compañeros supersimétricos. Por ejemplo, el supercampo del electrón -

que posee los mismos números cuánticos que el electrón del SM - está conformado por el

electrón y su compañero supersimétrico, llamado selectrón.

2

1.2. MSSM

A este nivel, el superpotencial del MSSM considera el grupo de simetŕıas

Poincaré× SU(3)color × SU(2)L × U(1)y × SuSy. (1.2)

Además, hay que definir los supercampos y los números cuánticos asociados a estos

(Cuadro 1.1), de tal manera de poder escribir el superpotencial manteniendo el grupo

de simetŕıas; pero también existe un cierto número de simetŕıas discretas, las cuales hay

que considerar - como conservación del número leptónico y bariónico - de manera tal,

que el modelo las contenga. Para estos efectos aparece un número cuántico multiplicativo

llamado paridad R, que se define como:

Rp = (−1)3(B−L)+2S , (1.3)

donde B, L y S son el número bariónico, leptónico y el spin, de una part́ıcula, respecti-

vamente. La paridad R distingue part́ıculas SM de las nuevas part́ıculas SuSy (Cuadro

1.1).

El superpotencial del MSSM está escrito de manera la que paridad R esté conservada,

obteniéndose

WMSSM = εab

(hLiĤ

ad L̂

bi Êi + hDiĤ

ad Q̂

biD̂i − hUiĤauQ̂bi Ûi − µĤad Ĥbu

), (1.4)

donde los términos (Φ̂), hacen referencia a los supercampos (Cuadro 1.1). Los acoplamien-

tos hΦ son los acoplamientos de Yukawa con los supercampos de Higgs (Ĥu,d), los cuales

estarán presentes en el mecanismo de Higgs, dando masa al resto de las part́ıculas. El

término µ es conocido como la masa del higgsino.

A partir del superpotencial del MSSM se obtiene el lagrangeano del modelo, que es

invariante bajo transformaciones supersimétricas [2]. Sin embargo, la naturaleza no es

supersimétrica a nuestra escala de enerǵıa, por lo tanto, la invariancia ante SuSy no debe

estar presente en el modelo final. Uno de los requisitos para que una transformación

SuSy sea válida, es que la masa de una part́ıcula y la de su compañera SuSy deben ser la

misma. Motivado por esto y manteniendo ciertas propiedades del modelo, al lagrangeano

invariante ante SuSy se agrega un lagrangeano o potencial soft (Lsoft), que rompe lainvariancia ante SuSy.

LMSSM = LSuSy + Lsoft (1.5)

Este lagrangeano soft tiene el mismo grupo de simetŕıas que el lagrangeano SuSy, pero sin

SuSy [2]. Se identifican en él términos de masa para los compañeros SuSy de los fermiones

del SM, es decir, términos de masa para los squarks y sleptones; también existen términos

3


de masa para los gauginos - compañeros SuSy de los bosones de Gauge.

Lsoft = M2QiQ̃a∗i Q̃ai +M2UiŨiŨ∗i +M2DiD̃iD̃∗i +M2LiL̃a∗i L̃ai +M2RiR̃iR̃∗i (1.6)

+m2HdHa∗d H

ad +m

2HuH

a∗u H

au −

[1

2M1B̃B̃ +

1

2M2W̃W̃ +

1

2M3g̃g̃ + h.c.

]

+εab

[AUiQ̃

ai ŨiH

bu +ADiQ̃

biD̃iH

ad +AEi L̃

biR̃iH

ad −BµHadHbu

]

La adición de ambas partes da nacimiento al MSSM, pero aún no queda claro de qué

forma SuSy se rompió. Sólo se conoce la forma final que debe tener este rompimiento [5].

1.3. Violación bilineal de paridad R (BRpV)

El MSSM conserva paridad R (RpX), lo que se traduce en que part́ıculas SuSy sólo

pueden aparecer o desaparecer en pares. Cuando se rompe paridad R lo anterior queda

sin validez, abriendo nuevas posibilidades y posibles señales en colisionadores [7]. Los

términos prohibidos en el superpotencial del MSSM, los cuales no conservan paridad R

son,

L̂L̂Ê, L̂Q̂D̂, L̂Ĥ ⇒ ∆L 6= 0, (1.7)ÛD̂D̂ ⇒ ∆B 6= 0, (1.8)

pero cabe resaltar, que esta combinación de supercampos siguen satisfaciendo el grupo

de simetŕıas originales, salvo la conservación de número leptónico (∆L 6= 0) y bariónico(∆B 6= 0). La violación paridad R se realiza a nivel de superpotencial,

WMSSM +WRp/ , (1.9)

desde donde se extraerá el lagrangeano SuSy. La manera más sencilla de violar paridad

R, es mediante el único término bilineal que se puede construir, es decir,

WRp/ = −εab(ǫiL̂ai Ĥ

bu

). (1.10)

De manera análoga a la observada en el MSSM, el lagrangeano SuSy extráıdo desde

WRp/ tendrá asociado un lagrangeano soft que viola paridad R:

LsoftRp/ = −εab BiǫiL̃aiH

bu. (1.11)

Esta forma de romper paridad R se conoce como violación bilineal de paridad R

(BRpV), la cual no conserva el número leptónico, dependiendo del valor de ǫi que

controla la intensidad de la violación.

4

1.3. VIOLACIÓN BILINEAL DE PARIDAD R (BRPV)

LMSSM+BRpV = LMSSM + LRp/ + LsoftRp/ (1.12)

Uno de los efectos de la violación es que part́ıculas SM y part́ıculas SuSy estarán

mezcladas a nivel de matriz de masa, provocando nuevos fenómenos, por ejemplo, que

los neutrinos adquieran masa [7].

1.3.1. Fermiones Neutrales

En el MSSM+BRpV, la mayoŕıa de las matrices de masa son modificadas por nuevos

términos que se agregan. Los únicos fermiones neutrales son los neutralinos - mezcla de

higgsinos y gauginos neutrales - y los neutrinos [8].

A partir de los autoestados de Gauge Ψ0 se encuentra la matriz de masa asociada a

estos. Para el caso de los fermiones neutrales, se define la base Ψ0:

Ψ0t =(B̃ W̃ 3 H̃d H̃u νe νµ ντ

)(1.13)

Al considerar esta base de Gauge, en el lagrangeano aparecerán términos de la siguiente

forma:

L ∼ Ψ0tMNΨ0, (1.14)

donde MN es la matriz de masa de los neutralinos y neutrinos [8]:

MN =

M1 0 − 12g′vd 12g′vu − 12g′v1 − 12g′v2 − 12g′v30 M2

12gvd − 12gvu 12gv1 12gv2 12gv3

− 12g′vd 12gvd 0 −µ 0 0 012g

′vu − 12gvu −µ 0 ǫ1 ǫ2 ǫ3− 12g′v1 12gv1 0 ǫ1 0 0 0− 12g′v2 12gv2 0 ǫ2 0 0 0− 12g′v3 12gv3 0 ǫ3 0 0 0

, (1.15)

en la cuál vi1 y ǫi son términos que regulan la violación paridad R. Los términos ǫi

aparecen expĺıcitamente en el superpotencialWRp/ , mientras vi aparece de la mezcla de los

sneutrinos con los campos de Higgs neutrales y del correspondiente rompimiento espon-

táneo de la simetŕıa electrodébil. Se puede notar que la matriz de masa está compuesta

de 3 sub-matrices :

MN =

[Mχ̃0 m

t

m Mν

](1.16)

Cada una de éstas se identifica como Mχ̃0 , que es la matriz de neutralinos, propia del

MSSM, Mν , que es la matriz de masa de neutrinos (en el SM es idénticamente cero), y

1son los valores de expectación de los sneutrinos

5


por último m que corresponde a términos de mezcla entre campos SuSy y SM. A esta

última matriz se le conoce como matriz de mezcla.

Esta matriz de mezcla tiene un papel fundamental dentro de la f́ısica del neutrino, ya

que, como resultado de la obtención de los campos observables, los neutrinos obtendrán

masa debido a la mezcla con los neutralinos [8].

1.3.2. Fermiones Cargados

De manera similar al caso de los neutralinos y neutrinos, los charginos (χ̃±),

part́ıculas observables compuestas por wino cargado (W̃±) y higgsino cargado (H̃±), se

mezclan con los leptones.

A partir del lagrangeano se construye la matriz de masa de los fermiones cargados.

Definiendo el siguiente espacio de autoestados de gauge:

ψ+t=(−iλ+, H̃+u , e+R, µ+R, τ+R

), ψ−

t=(−iλ−, H̃−d , e−L , µ−L , τ−L

). (1.17)

Se puede observar en el lagrangeano la forma de la matriz de masa :

L ∼ −12

(ψ+

tψ−

t) ( 0 MtC

MC 0

) (ψ+

ψ−

)(1.18)

donde

MC =

M21√2gvu 0 0 0

1√2gvd µ − 1√2hL1v1 −

1√2hL2v2 − 1√2hL3v3

1√2gv1 −ǫ1 1√2hL1vd 0 0

1√2gv2 −ǫ2 0 1√2hL2vd 0

1√3gv3 −ǫ3 0 0 1√2hL3vd

(1.19)

Las part́ıculas observables se obtienen mediante la diagonalización de esta matriz de

masa:

U∗MCV† = diag(me,mµ,mτ ,mχ̃±

1

,mχ̃±2

) ; UU † = V V † = 1l. (1.20)

Utilizando los valores de las masas y las matrices de rotación, se puede construir

la f́ısica de estas part́ıculas observables, mediante la reescritura de las interacciones en

términos de los campos observables [9].

6

1.4. REGLAS DE FEYNMAN

1.3.3. Escalares cargados y neutrales

También las matrices de masa se ven modificadas por los términos bilineales agregados

al MSSM, de manera que los escalares supersimétricos y los del SM se mezclaran. La base

de Gauge para los escalares cargados consta de

S+tgauge =

(H+d H

+u ẽ

+L µ̃

+L τ̃

+L ẽ

+R µ̃

+R τ̃

+R

), (1.21)

la cual provoca una mezcla entre los campos de Higgs cargados con los sleptones. De

manera análoga, los escalares neutrales también se mezclarán, pero de dos maneras dis-

tintas. La primera base está constituida por escalares neutrales CP-even o simplemente

escalares,

S0tgauge =

(φ0d φ

0u ν̃

Re ν̃

Rµ ν̃

Rτ

). (1.22)

La segunda base está formada por escalares neutrales CP-odd o pseudoescalares,

P 0tgauge =

(σ0d σ

0u ν̃

Ie ν̃

Iµ ν̃

Iτ

). (1.23)

Cada una de estas bases tiene asociada una matriz de masa.Para el caso de los escalares,

la matriz de masa es mucho mas compleja que para los fermiones [8, 9].

De la misma manera que para los fermiones, los escalares que interesan son los campos

resultantes de la diagonalización de la matriz de masa, no obstante para cada una de las

bases antes vistas existirán distintas diagonalizaciones:

RS±

M2S± RS±

t= diag(mS±

i) ∀ i ∈ {1, 8}, (1.24)

RS0

M2S0 RS0

t= diag(mS0

i) ∀ i ∈ {1, 5}, (1.25)

RP0

M2P 0 RP 0

t= diag(mP 0

i) ∀ i ∈ {1, 5}. (1.26)

(1.27)

Cabe resaltar que de la diagonalización de la matriz de masa de los escalares cargados

aparecerá el boson de Goldstone cargado, y de la matriz de masa de los pseudoescalares

surgirá el boson de Goldstone neutral, los cuales aparecen en teoŕıas con 2 dobletes de

Higgs.

1.4. Reglas de Feynman

Para poder construir el lagrangeano de interacción entre los campos del MSSM, es

necesario construir el lagrangeano SuSy a partir del superpotencial [2]. Al hacer esto,

aparecen ciertas reglas que sirven para construir los términos de interacción [4].

7


Interacción entre gauginos y bosones de Gauge:

La parte del lagrangeano que expresa esto es:

L = igfabcλaσµλ̄bV cµ (1.28)

donde g es el acoplamiento de gauge, fabc es la constante de estructura del grupo de

Gauge, Vµ es el campo de Gauge, y λ es el gaugino, expresado como espinor de 2 com-

ponentes.

Interacción entre bosones de Gauge, fermiones, escalares y gauginos:

Éste es el lagrangeano de interacción más grande que aparece, en el cual todos los

fermiones están escritos como espinores de dos componentes:

L = −gT aijV aµ(ψiσ̄

µψj + iA∗i

←→∂ µAj

)+ ig√

2T aij(λaψjA

∗i − λ̄aψ̄iAj

)(1.29)

+g2(T aT b

)ijV aµ V

µbA∗iAj ,

donde T aij son los generadores del grupo utilizado, además los campos Aj son campos

escalares. También es necesario hacer hincapié en que los fermiones ψj son compañeros

de los escalares Aj .

Interacción tipo Yukawa y términos de masa de fermiones:

Para calcular estos términos, es necesario introducir el “superpotencial escalar” W̃ ,

que es una expresión con la misma forma que el superpotencial, pero cambiando todos

los supercampos por los escalares correspondientes, es decir,

W = ĤL̂Ê −→ W̃ = HL̃Ẽ.

Al utilizar esto, el lagrangeano de interacción queda

L = −12

[( ∂2W̃∂Ai∂Aj

)ψiψj +

( ∂2W̃∂Ai∂Aj

)∗ψ̄iψ̄j

]. (1.30)

De aqúı, se obtendrán los términos de masa para los fermiones, debido a que el escalar

que sobreviva de la derivación podrá adquirir valor de expectación.

Para escribir el lagrangeano de interacción de un grupo de part́ıculas observables,

primero hay que obtener los acoplamientos entre los campos “originales” del MSSM, es

decir, los acoplamientos de los campos en la base de Gauge.

8

1.5. ACOPLAMIENTOS DEL SECTOR CHARGINO

1.5. Acoplamientos del sector chargino

Para obtener los acoplamientos en la base de Gauge de los campos que conforman a los

charginos, es necesario clasificar los acoplamientos que aparecerán. En esta clasificación

existen tres grandes grupos:

i) Acoplamientos chargino - bosones de Gauge

ii) Acoplamientos chargino - escalares

iii) Acoplamientos charginos - quarks - squarks

El primer grupo se construye a partir del siguiente lagrangeano de interacción [4]:

Li) = igfabcλaσµλ̄bV cµ − gT aijV aµ(ψiσ̄

µψj). (1.31)

Cabe recordar que el chargino está compuesto por campos de wino o gaugino de SU(2)

(Apéndice C), higgsino y la mezcla inducida por la violación de la paridad R con los

leptones.

El segundo y tercer grupo de interacción se obtiene utilizando [4]

Lii) y iii) = ig√

2T aij(λaψjA

∗i − λ̄aψ̄iAj

)− 1

2

[( ∂2W̃∂Ai∂Aj

)ψiψj +

( ∂2W̃∂Ai∂Aj

)∗ψiψj

].

(1.32)

De esta forma se puede obtener el lagrangeano de interacción de los charginos con

cualquier clase de escalares.

En base a la diagonalización de la matriz de masa de los charginos, Los campos de

charginos pueden ser descritos por el espinor de Dirac χ̃±i :

χ̃−i =

(F−i

F+i

)=

(Uijψ

−j

V ∗ijψ+j

). (1.33)

Al utilizar esto y habiendo obtenido los acoplamientos entre los campos en la base de

Gauge del MSSM, somos capaces de escribir los acoplamientos del chargino con distintos

campos observables del modelo, pero considerando la violación de paridad R.

1.5.1. chargino - chargino - fotón

A partir de la definición del espinor de Dirac correspondiente al chargino y utilizan-

do las matrices unitarias que diagonalizan la matriz de masa del chargino, es posible

parametrizar el acoplamiento que sufre éste con el fotón de la siguiente forma [9]:

9


L = χ̃−k γµ(OL

ccajk PL +OR

ccajk PR

)χ̃−j Aµ. (1.34)

Al utilizar esta parametrización, cada uno de los acoplamientos queda:

OLccajk = ηkηj gsw

(Uk1U

∗j1 + Uk2U

∗j2 +

3∑

α=1

Uk2+αU∗j2+α

)= gsw δkj , (1.35)

ORccajk = gsw

(V ∗k1Vj1 + V

∗k2Vj2 +

3∑

α=1

V ∗k2+αVj2+α

)= gsw δkj . (1.36)

Esto muestra que el fotón se acopla de igual manera a todos los charginos y leptones.

1.5.2. chargino - chargino - bosón Z

El lagrangeano de interacción entre el bosón Z y los charginos tiene la misma forma

de parametrizar que para el fotón, o sea :

L = χ̃−k γµ(OL

cczjk PL +OR

cczjk PR

)χ̃−j Zµ. (1.37)

En base a la parametrización anterior, los acoplamientos distinguidos por helicidad

son :

OLcczjk = ηkηj

(gcwUk1U

∗j1 +

1

2(gcw − g

′

sw)[Uk2U∗j2 +

3∑

α=1

Uk2+αU∗j2+α]

),(1.38)

ORcczjk = gcwV

∗k1Vj1 +

1

2(gcw − g

′

sw)V∗k2Vj2 − g

′

sw

3∑

α=1

V ∗k2+αVj2+α. (1.39)

Se aprecia que el boson Z no se acopla de igual manera a la componente left que a la

componente right del espinor.

1.5.3. chargino - chargino - Escalar Neutral

La parametrización del lagrangeano es distinta que para el caso de los campos vec-

toriales, ya que la forma de acoplarse a los fermiones obedece a un acoplamiento tipo

Yukawa [9].

L = χ̃−k(OL

ccs0

jki PL +ORccs0

jki PR

)χ̃−j S

0i (1.40)

En este caso, el acoplamiento entre el chargino y los escalares neutrales es un poco

más complicado, ya que aparte de las matrices unitarias de los chargino, aparecen las

matrices unitarias de la diagonalización de la matriz de masa de los escalares neutrales.

De esta forma, los acoplamientos son:

10

1.5. ACOPLAMIENTOS DEL SECTOR CHARGINO

OLccs0

jki = −ηk[g√2

(V ∗k1U

∗j2R

S0

i1 + V∗k2U

∗j1R

S0

i2 +

3∑

α=1

V ∗k1U∗j2+αR

S0

i2+α

)(1.41)

+1√2

3∑

α=1

hα

(V ∗k2+αU

∗j2+αR

S0

i1 − V ∗k2+αU∗j2RS0

i2+α

)], (1.42)

ORccs0

jki = −ηj[g√2

(Uk2Vj1R

S0

i1 + Uk2Vj2RS0

i2 +

3∑

α=1

Uk2+αVj1RS0

i2+α

)(1.43)

+1√2

3∑

α=1

hα

(Uk2+αVj2+αR

S0

i1 − Uk2Vj2+αRS0

i2+α

)]. (1.44)

Cabe aclarar que los campos observables se definen como:

S0i = RS0

ij S0gauge,j (1.45)

1.5.4. chargino - chargino - pseudoescalar neutral

La parametrización es idéntica a la anterior, salvo que ahora aparecen los pseu-

doescalares neutrales [9]:

L = χ̃−k(OL

ccp0

jki PL +ORccp0

jki PR

)χ̃−j P

0i . (1.46)

Los acoplamientos asociados a los campos observables son:

OLccp0

jki = iηj

[g√2

(V ∗k1U

∗j2R

P 0

i1 + V∗k2U

∗j1R

P 0

i2 +

3∑

α=1

V ∗k1U∗j2+αR

P 0

i2+α

)(1.47)

− 1√2

3∑

α=1

(V ∗k2+αU

∗j2+αR

P 0

i1 − V ∗j2+αU∗j2RP0

i2+α

)], (1.48)

ORccp0

jki = −iηk[g√2

(Uk2Vj1R

P 0

i1 + Uk1Vj2RP 0

i2 +

3∑

α=1

Uk2+αVj1RP 0

i2+α

)(1.49)

− 1√2

3∑

α=1

hα

(Uk2+αVj2+αR

P 0

i1 − Uk2Vj2+αRP0

i2+α

)], (1.50)

donde la definición de los campos pseudoescalares observables viene dada en términos de

las matrices unitarias:

P 0i = RP 0

ij P0gauge,j (1.51)

De esta manera, hemos completado los acoplamientos del sector de charginos y lep-

tónico.

11


12

Caṕıtulo 2

Decaimiento a 3 cuerpos

El ejemplo más sencillo de decaimiento a tres cuerpos es el decaimiento β. A

principios del siglo XX, se pensó que el principio de conservación de la enerǵıa y del

momentum sólo era válido a nivel estad́ıstico.

2.1. Introducción

El decaimiento a tres cuerpos, en f́ısica de part́ıculas, es un proceso menos probable que

el decaimiento a dos cuerpos, pero igual o más interesante. El ancho de decaimiento nos

entrega la información de cuan probable es un cierto proceso espećıfico. Estos procesos

envuelven distintos aspectos de la f́ısica. Por un lado, se encuentra la cinemática del

decaimiento, que resulta ser mucho más fácil de imaginar, pero también envuelve lo más

profundo de la f́ısica, que es su faceta cuántica.

2.2. Cinemática del decaimiento a tres cuerpos.

Consideramos la regla de oro para los decaimientos, que en nuestro caso es [1]:

dΓ =(2π)4

2M|M|2δ4(P − p1 − p2 − p3)

d3p1(2π)32E1

d3p2(2π)32E2

d3p3(2π)32E3

. (2.1)

Nos interesa el decaimiento integrado en el espacio de momenta,

Γ =1

(2π)516M

∫|M|2δ4(P − p1 − p2 − p3)

d3p1d3p2d

3p3E1E2E3

, (2.2)

donde la delta de Dirac es la representación del principio de conservación de la enerǵıa

y del momentum. Al considerar que el decaimiento ocurre en el marco en reposo de la

part́ıcula inicial P (MRP), es decir Pµ = (M, 0, 0, 0) (figura 2.2). La tasa de decaimiento

13

CAPÍTULO 2. DECAIMIENTO A 3 CUERPOS

Figura 2.1: Esquema del decaimiento a 3 cuerpos visto desde un marco de referencia arbitrario.

se reduce a:

Γ =1

(2π)516M

∫|M|2δ(M − E1 − E2 − E3)

d3p1d3p2

E1E2E3, (2.3)

donde por la conservación del momentum, se tiene que:

~p3 = − (~p1 + ~p2) ; E3 =√

(~p3)2 +m23. (2.4)

Como el problema no tiene una dirección privilegiada, escogemos la siguiente base:

~p1 = p1ẑ , ~p2 = p2 (cos θẑ + sin θx̂) , (2.5)

por lo tanto, tenemos un factor 4π por la integración resultante de la simetŕıa procedente

de escoger la base, y un factor 2π por la simetŕıa azimutal de ~p2 con respecto a ẑ.

Γ =1

(2π)38M

∫|M|2δ(M − E1 − E2 − E3)

p21dp1 p22dp2 d(cos θ)

E1E2E3(2.6)

Ahora nos falta imponer la conservación de la enerǵıa, ya que p1, p2 y cos θ no pueden

tener cualquier valor. Para satisfacer la conservación de la enerǵıa, vamos a transformar

la delta de Dirac, tal que ahora cos θ sea nuestra “cantidad a satisfacer”.

x = cos θ x0 = cos θ0 (2.7)

Γ =1

(2π)38M

∫|M|2δ(x− x0)

E3(x0)

p1p2

p21dp1 p22dp2 dx

E1E2E3(x)(2.8)

14

2.2. CINEMÁTICA DEL DECAIMIENTO A TRES CUERPOS.

Figura 2.2: Esquema del decaimiento a 3 cuerpos en el marco de referencia de la part́ıcula

inicial (MRP).

Cabe destacar que θ0 es el ángulo f́ısico del proceso ya que satisface la conservación

de enerǵıa. Entonces al integrar sobre x se obtiene que,

Γ =1

(2π)38M

∫|M|2 p1dp1

E1

p2dp2E2

=1

(2π)38M

∫|M|2 dE1 dE2, (2.9)

que es el ancho de decaimiento simplificado, donde los momenta p1 y p2 considerados

son:

~p1 = p1ẑ , ~p2 = p2 (cos θ0ẑ + sin θ0x̂) . (2.10)

Pero aún no conocemos el ángulo f́ısico de los momenta. Partiendo de que:

(~p3)2 = (~p1)

2 + (~p2)2 + 2p1p2x0, (2.11)

E3(x0) = M − E1 − E2, (2.12)

se obtiene que el ángulo entre los momenta ~p1 y ~p2 es:

x0 =1

p1p2

[q1q2 −N2

], (2.13)

15


donde

q1 = M − E1 > 0, (2.14)q2 = M − E2 > 0, (2.15)

N2 =1

2

(M2 +m23 −m21 −m22

)> 0, (2.16)

Con esto último, la cinemática del decaimiento está descrita de manera satisfactoria, ya

que basta integrar en p1(E1) y p2(E2) para conocer la tasa de decaimiento.

2.2.1. Cotas para los momenta

En la práctica no es una tarea trivial Calcular el ancho de decaimiento (Γ), ya que

a priori p1 y p2 pueden ir de 0 a infinito. La idea es acotar el espacio de momenta para

integrar lo justo y necesario. El parámetro x0 es el que mantiene válida la conservación

de la enerǵıa. Además, restringe el espacio de momenta a una sección:

−1 ≤ x0 ≤ 1⇒ pi min ≤ pi ≤ pi max (2.17)

Tomando como cota x0 = 1 y con p1 dado, se puede encontrar que la conservación

de la enerǵıa se puede reducir a una ecuación cuadrática para p2 cuya solución tiene la

forma:

p±2 =−B ±

√B2 − 4AC2A

, (2.18)

donde los términos A, B y C son funciones de p1 :

A(p1) =(p21 − q21

), (2.19)

B(p1) = −2p1(Mq1 −N2

), (2.20)

C(p1) =[(M −m2)q1 −N2

] [(M +m2)q1 −N2

], (2.21)

Al imponerse x0 = 1, entonces las 2 soluciones para p2 equivalen a una con x0 = 1 y

a otra solución con x0 = −1 que se manifiesta como p2 ≤ 0.

Las soluciones a la ecuación cuadrática establecen los ĺımites de integración para p2

con un p1 dado (figura 2.2.1).

mı́n(|p+2 |, |p−2 |

)≤ p2 ≤ máx

(|p+2 |, |p−2 |

)(2.22)

mı́n(E+2 , E

−2

)≤ E2 ≤ máx

(E+2 , E

−2

)

16


a) b)

Figura 2.3: a) Solución para p2 considerando m1/M = 0, m2/M = 0 y m3/M = 0,4. b)

Solución para p2 considerando las masas para las part́ıculas resultantes m1/M =

0,1, m2/M = 0 y m3/M = 0,3.

Pero aún falta encontrar cotas para p1, ya que se corre el riesgo de violar la conser-

vación de la enerǵıa y el momentum al extender los limites brindados por la ecuación

cuadrática. Hasta el momento, sólo sabemos que:

0 ≤ p1 ≤ p1max ↔ m1 ≤ E1 ≤ E1max

Como el cálculo del decaimiento a tres cuerpos se basa en la Teoŕıa de la Relativi-

dad, se pueden definir cantidades invariantes de Lorentz. La conservación de la enerǵıa-

momentum establece que:

Pµ − pµ1 − pµ2 − pµ3 = 0 ∀ µ = 0, 1, 2, 3 (2.23)

Al definir el 4-vector Qµ y el correspondiente invariante:

Qµ = (P − p1)µ = (p2 + p3)µ, (2.24)QµQµ = M

2 +m21 − 2Pµp1µ = m22 +m23 + 2p2µp3µ. (2.25)

El 4-vectorQ puede ser interpretado como el 4-momentum de una part́ıcula intermedia

o virtual en el proceso de decaimiento (figura 2.2.1). Ahora existen 2 marcos de referencia

que resultan útiles: El marco de reposo de P (MRP) y el marco de reposo de Q (MRQ):

MRP → QµQµ = M2 +m21 − 2ME1, (2.26)MRQ → QµQµ = m22 +m23 + 2(E2E3 + p22). (2.27)

Entonces, el valor mı́nimo de QµQµ se obtiene cuando p2 es mı́nimo y, por otro lado,

también es mı́nimo cuando E1 es máximo. Finalmente,

mı́nQµQµ = (m2 +m3)2 = M2 +m21 − 2MEmax1 , (2.28)

⇒ Emax1 =M2 +m21 − (m2 +m3)2

2M. (2.29)

17


a)

p2'

p3'

Q=0

b)

P'

p1'

Qp1

p2

p3

M

P=0

Q2

Figura 2.4: Esquema de decaimiento a 3 cuerpos en término de una part́ıcula virtual intermedia

Q. La figura a) corresponde al proceso en MRP y la figura b) corresponde en

MRQ.

De esta forma, hemos encontrado el valor máximo que puede tomar E1 bajo la

condición de satisfacer la conservación de la enerǵıa-momentum.

Otro aspecto interesante que se obtiene del estudio del espacio de fase, dentro del cual

puede ocurrir en decaimiento, es ver la dependencia del área del espacio de fase definida

como

A(M,m1,m2,m3) =

∫∫dE1dE2. (2.30)

Al utilizar las cotas de E2 en función de E1, el área se reduce a:

A(M,m1,m2,m3) =

∫ Emax1m1

(Emax2 (E1)− Emin2 (E1)

)dE1, (2.31)

donde las cotas para E2 son el resultado de la ecuación cuadrática. También la función

área es simétrica entre el intercambio de m1, m2 y m3. Primero estudiaremos el caso

donde las part́ıculas finales no tienen masa. En este caso, los ĺımites se reducen a:

E2 = {M

2− E1,

M

2} , E1 = {0,

M

2}, (2.32)

lo cual dentro del espacio de fase se traduce en un triángulo rectángulo isóceles de ladoM2 , en el plano E1 −E2, por lo tanto el área del espacio de fase en el caso sin masa será

A(M, 0, 0, 0) =M2

8. (2.33)

18


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

p 1m

ax /M

m1/M

m23/M = 0m23/M = 1/3m23/M = 2/3

Figura 2.5: Valor máximo de p1 acorde a la conservación de la enerǵıa y momentum.

m1/M

r

m1/M

r'

a) b)

Figura 2.6: a) Area del espacio de fase normalizado, de aqúı se puede visualizar el cambio del

area en función de las masas de las part́ıculas salientes para m3 = 0. b) la derivada

de la función ρ con respecto a m1/M se aprecia que todas las curvas pertenecen a

una misma familia.

19


t

r

Figura 2.7: Area del espacio de fase normalizada para m1/M = 0 con cambios lineales entre

m2/M y m3/M manteniendo la suma constante.

De aqúı se observa la dependencia cuadrática en M del área del espacio de fase y, por

otro lado también se observa, que el ancho de decaimiento depende linealmente de M .

Utilizaremos este resultado para normalizar el área y comparar distintos escenarios en

función de ρ y su derivada.

ρ(M,m1,m2,m3) =A(M,m1,m2,m3)

A(M, 0, 0, 0)=

8

M2A(M,m1,m2,m3) (2.34)

Se puede ver que para el caso m2 = 0 (figura 2.6) y m1 < M/5, la pendiente de la

curva cambia más rápidamente. Param1 > M/5, la pendiente se acerca lentamente a cero.

Por otro lado, al estudiar los casos donde m1 y m2 + m3 = cte. (figura 2.7), se

observa que el máximo valor se obtiene cuando m2 = m3 (t=0.5) y el mı́nimo cuando la

diferencia entre las masas es máxima. También se puede apreciar de manera sencilla la

simetŕıa existente ante el intercambio de m2 con m3. Para mantener m2 +m3 constante

se utiliza una variación lineal entre las masas, dada por:

ρ(t) = ρ(M,m1, (1− t) m23, t m23) (2.35)

2.3. Amplitud de decaimiento a tres cuerpos

Lo que nos interesa conocer es el módulo cuadrado de la amplitud de decaimiento

(|M|2). Para obtener esto, es necesario conocer y reconocer los posibles procesos existentescon igual estado inicial y final, ya que la amplitud de decaimiento es:

M =N∑

i=1

Mi. (2.36)

20

2.3. AMPLITUD DE DECAIMIENTO A TRES CUERPOS

(~P ,M)(~p2,m2)

(~p3,m3)

(~p1,m1)

Figura 2.8: Decaimiento de un fermion en otros tres, donde es necesario que uno sea un an-

tifermión (p2) .

En el momento de querer obtener el cuadrado de la amplitud, ésta adquiere la siguiente

forma:

|M|2 =N∑

i=1

N∑

j=1

MiM†j, (2.37)

la cual es una pesadilla si se quiere calcular de manera directa para cada proceso posible.

La estrategia a seguir es tratar de reconocer patrones entre las distintas amplitudes.

2.3.1. Procesos fundamentales

En el contexto de la teoŕıa de part́ıculas y campos, el mecanismo por el cual un fermión

podŕıa decaer en otros tres será posible de part́ıculas virtuales, que en este caso serán de

part́ıculas escalares y vectoriales (figura 2.9).

Aśı, cada decaimiento de un fermión en otros 3 y que considere un campo mediador

de tipo escalar o vectorial podrá ser determinado con sólo 6 parámetros, 2 reales y 4

complejos, independientes de las patas externas:

m,Γ, NL, NR, OL, OR, (2.38)

que son la masa, el ancho de decaimiento de la part́ıcula mediadora y los acoplamientos

con las patas externas distinguidos por quiralidad, respectivamente.

Para facilitar la visualización del cálculo, vamos a introducir la siguiente notación

basada en diagramas de Feynman, donde para mediadores escalares tenemos que la am-

21


~P

~p1

Sk

~p3

~p2 ~P

~p1

Vk

~p3

~p2

Figura 2.9: Decaimiento de un fermion mediante un campo escalar o un campo vectorial.

plitud de decaimiento y su hermı́tica conjugada son:

Sj =MSj M†Sj

= Sj (2.39)

Para el caso de mediadores vectoriales la notación queda:

Vk=MVk M†Vk = Vk (2.40)

donde los momenta asociados a cada pata external en cada diagrama de amplitud tipo

M óM† son:

P p1

p2

p3

−→M M† ←−

Pp1

p2

p3

(2.41)

Con estos procesos genéricos, podemos construir la amplitud de decaimiento de un

fermión a otros tres, para un caso cualquiera.

2.4. Amplitudes cuadradas

Los términos que componen el módulo cuadrado de la amplitud de decaimiento para

cualquier proceso (MiM†j) están compuestos por 3 piezas básicas. Visto esto con la

22

2.4. AMPLITUDES CUADRADAS

notación diagramática, cada una de estas piezas queda:

Sk Sj= MSkM†Sj (2.42)

Vk Vj= MVkM†Vj (2.43)

Sk Vj= MSkM†Vj (2.44)

Cálculo del primer proceso

Queremos calcular el siguiente producto de amplitudes:

Sk Sj=MSkM†Sj (2.45)

La amplitud con mediador escalar es:

MSj = ū(p3) [iOjLPL + iOjRPR] v(p2)[

i

q2 −m2j + imjΓj

](2.46)

ū(p1) [iNjLPL + iNjRPR] u(P )

donde NjL,R es el acoplamiento entre los fermiones asociados a P y p1 y el escalar j. De

forma análoga pasa con los acoplamientos OjL,R. La amplitud de un proceso mediado con

otro escalar vendrá definido por otro ı́ndice j. Al realizar el cálculo para una amplitud

sin polarizar, resulta:

MSkM†Sj =1

(q2 −m2k + imkΓk)(q2 −m2j − imjΓj)1

2×

4∑

l=1

AlBl, (2.47)

donde los términos Al y Bl son:

A1 = 4p3µp2µp1

νPν (2.48)

A2 = 4p3µp2µm1M (2.49)

A3 = −4m3m2p1µPµ (2.50)A4 = −4m3m2m1M (2.51)

23


B1 = ANAO B2 = BNAO (2.52)B3 = ANBO B4 = BNBO (2.53)

y además

AO = (OkLOj∗L +OkROj∗R) AN = (NkLNj∗L +NkRNj∗R) (2.54)BO = (OkLOj∗R +OkROj∗L) BN = (NkLNj∗R +NkRNj∗L) (2.55)

También es necesario recordar que, por conservación de enerǵıa-momentum, q queda

definido por:

q2 = (P − p1)µ(P − p1)µ = M2 +m21 − 2Pµp1µ (2.56)

Cálculo del segundo proceso

Nuestro objetivo ahora es:

Vk Vj=MVkM†Vj . (2.57)

La amplitud genérica con un mediador vectorial es:

MVj = ū(p3) [iOjLγµPL + iOjRγµPR] v(p2)[

−iηµνq2 −m2j + imjΓj

](2.58)

ū(p1) [iNjLγνPL + iNjRγ

νPR] u(P ).

Entonces el producto de amplitudes es:

MVkM†Vj =1

(q2 −m2k + imkΓk)(q2 −m2j − imjΓj)1

2×

5∑

l=1

BlCl (2.59)

Donde los términos Bl y Cl corresponden a:

B1 = 8[p3

νp1νp2µPµ + p3

νPνp2µp1µ

](2.60)

B2 = 4[p3

νp1νp2µPµ − p3νPνp2µp1µ

](2.61)

B3 = −8p3µp2µm1M (2.62)B4 = 8m3m2p1

µPµ (2.63)

B5 = 16m3m2m1M (2.64)

24


C1 = ANAO (2.65)C2 = BNBO (2.66)C3 = CNAO (2.67)C4 = ANCO (2.68)C5 = CNCO (2.69)

Además

AO = OkLOj∗L +OkROj∗R AN = NkLNj∗L +NkRNj∗R (2.70)BO = OkLOj∗L −OkROj∗R BN = NkLNj∗L −NkRNj∗R (2.71)CO = OkLOj∗R +OkROj∗L CN = NkLNj∗R +NkRNj∗L (2.72)

Con lo cual hemos calculado el producto de amplitudes para mediadores vectoriales

distintos.

Cálculo del tercer proceso

Este proceso se describe diagramáticamente como:

Sk Vj=MSkM†Vj (2.73)

Y como ya conocemos las amplitudes de cada parte, nos resulta que:

MSkM†Vj =−1

(q2 −m2k + imkΓk)(q2 −m2j − imkΓj)1

2×

4∑

l=1

ClDl (2.74)

Donde los términos Cl y Dl corresponden:

C1 = 4m3p2µPµm1 (2.75)

C2 = −4p3µPµm2m1 (2.76)C3 = 4p2

µp1µm3M (2.77)

C4 = −4p3µp1µm2M (2.78)

D1 = ANAO (2.79)D2 = ANBO (2.80)D3 = BNAO (2.81)D4 = BNBO (2.82)

25


Además

AN = NkLNj∗L +NkRNj∗R AO = OkLOj∗L +OkROj∗R (2.83)BN = NkRNj∗L +NkLNj∗R BO = OkROj∗L +OkLOj∗R (2.84)

Con esto queda definido este proceso, junto con los ladrillos básicos para cualquier

proceso. Salvo que exista decaimiento de part́ıculas idénticas.

2.4.1. Part́ıculas idénticas

Siguiendo con la convención de los momenta asignados, procesos de part́ıculas idénti-

cas se pueden observar si se intercambian los momentum p1 y p3. Por lo tanto, es necesario

considerar las interferencias que producirán estos procesos. Además, como los procesos

de part́ıculas idénticas que vamos a considerar son para fermiones, hay que considerar un

signo negativo dentro de la sumatoria de las distintas amplitudes.

En la notación de diagramas, la amplitud con momentum intercambiado I equivale a:

Sj= ISj I†Sj =

Sj(2.85)

Vk= IVk I†Vk =

Vk(2.86)

Esto se traduce a que la asignación de los momenta será:

P

p1

p2

p3

−→ I I† ←−

P

p1

p2

p3

(2.87)

No es dif́ıcil ver que las amplitudes módulo cuadrado e interferencias entre de part́ıcu-

las idénticas son equivalentes a las amplitudes comunes y corrientes, es decir:

IVkI†Vk ↔ MVkM†Vk

(2.88)

ISjI†Sj ↔ MSjM†Sj

(2.89)

ISjI†Vk ↔ MSjM†Vk

(2.90)

Claro que la equivalencia es válida si se intercambian los momentum p1 y p3. Cabe

resaltar que lo que nos interesa conocer, son los procesos de interferencia entre amplitudes

tipoM y amplitudes tipo I.

26


Cálculo del primer proceso

El primer proceso es la interferencia entre el decaimiento entre part́ıculas idénticas,

pero mediadas a través de escalares, por lo tanto:

Sk

Sj=MSkI†Sj (2.91)

Donde las expresiones paraMSk ISj son:

MSj = ū(p3) [iOjLPL + iOjRPR] v(p2)[

i

q2 −m2j + imjΓj

](2.92)


ISj = ū(p1) [iOjLPL + iOjRPR] v(p2)[

i

r2 −m2j + imjΓj

](2.93)


Donde r2 viene determinado por la conservación de enerǵıa y momentum.

r2 = (P − p3)µ(P − p3)µ = M2 +m23 − 2Pµp3µ (2.94)

Notar que la única diferencia es a nivel del intercambio de momenta. El término de

interferencia entre estos procesos, y considerando estados sin polarización definida es:

MSkI†Sj =1

(q2 −m2k + imkΓk)(r2 −m2j − imjΓj)1

2×

9∑

l=1

AlBl (2.95)

Donde los términos A corresponden a:

A1 = −2m3m2m1M (2.96)A2 = −2m3m2p1µPµ (2.97)A3 = 2m3p2

µp1µM (2.98)

A4 = 2m3p2µPµm1 (2.99)

A5 = 2p3µp2µm1M (2.100)

A6 = 2(p3µp2µp1

νPν − p3µp1µp2νPν + p3µPµp2νp1ν) (2.101)A7 = 2iǫ

µνρσp3µp2νp1ρPσ (2.102)

A8 = −2p3µp1µm2M (2.103)A9 = −2p3µPµm2m1 (2.104)

27


y los términos relacionados con los acoplamientos son:

B1 = Nj∗ROkLOj

∗RNkL +Nj

∗LOkROj

∗LNkR (2.105)

B2 = Nj∗ROkLOj

∗RNkR +Nj

∗LOkROj

∗LNkL (2.106)

B3 = Nj∗ROkLOj

∗LNkL +Nj

∗LOkROj

∗RNkR (2.107)

B4 = Nj∗ROkLOj

∗LNkR +Nj

∗LOkROj

∗RNjL (2.108)

B5 = Nj∗ROkROj

∗RNkL +Nj

∗LOkLOj

∗LNkR (2.109)

B6 = Nj∗ROkROj

∗RNkR +Nj

∗LOkLOj

∗LNkL (2.110)

B7 = Nj∗ROkROj

∗RNkR −Nj∗LOkLOj∗LNkL (2.111)

B8 = Nj∗ROkROj

∗LNkL +Nj

∗LOkLOj

∗RNkR (2.112)

B9 = Nj∗ROkROj

∗LNkR +Nj

∗LOkLOj

∗RNkL (2.113)

Cálculo del segundo proceso

Este proceso está descrito por el diagrama:

Vk

Vj=MVkI†Vj , (2.114)

el cual está descrito por un proceso de part́ıculas idénticas, pero sólo mediados por vec-

tores, cuyas amplitudes de decaimientos son:

MVj = ū(p3) [iOjLγµPL + iOjRγµPR] v(p2)[

−iηµνq2 −m2j + imjΓj

](2.115)


νPR] u(P )

IVj = ū(p1) [iOjLγµPL + iOjRγµPR] v(p2)[

−iηµνr2 −m2j + imjΓj

](2.116)


νPR] u(P )

La expresión anaĺıtica en función de los momenta y acoplamientos es:

MVkI†Vj =1


2×

8∑

l=1

BlCl (2.117)

28


donde los términos Bl son:

B1 = −16p3νp1νp2µPµ (2.118)B2 = 8p3

νp2νm1M (2.119)

B3 = −8p3νPνm2m1 (2.120)B4 = −8p3νp1νm2M (2.121)B5 = −8m3m2p1νPν (2.122)B6 = 8m3m1p2

νPν (2.123)

B7 = 8m3p2νp1νM (2.124)

B8 = 16m3m2m1M (2.125)

y los términos Cl corresponden a:

C1 = Nj∗LOkLOj

∗LNkL +Nj

∗ROkROj

∗RNkR (2.126)

C2 = Nj∗LOkLOj

∗LNkR +Nj

∗ROkROj

∗RNkL (2.127)

C3 = Nj∗LOkLOj

∗RNkL +Nj

∗ROkROj

∗LNkR (2.128)

C4 = Nj∗LOkLOj

∗RNkR +Nj

∗ROkROj

∗LNkL (2.129)

C5 = Nj∗LOkROj

∗LNkL +Nj

∗ROkLOj

∗RNkR (2.130)

C6 = Nj∗LOkROj

∗RNkL +Nj

∗ROkLOj

∗LNkR (2.131)

C7 = Nj∗LOkROj

∗RNkR +Nj

∗ROkLOj

∗LNkL (2.132)

C8 = Nj∗LOkROj

∗LNkR +Nj

∗ROkLOj

∗RNkL (2.133)

Cálculo tercer proceso

El tercer proceso consiste en el cómputo del término de interferencia entre un proceso

mediado por un campo escalar y el proceso de part́ıcula idéntica, pero mediado por un

campo vectorial.

Sk

Vj=MSkI†Vj (2.134)

En este caso, la amplitud será:

MSkI†Vj =−1


2×

8∑

l=1

ClDl (2.135)

29


donde

C1 = −4m3m1p2νPν (2.136)C2 = −4m3p2νp1νM (2.137)C3 = −8m3m2p1νPν (2.138)C4 = −8m3m2m1M (2.139)C5 = 4p3

νPνm2m1 (2.140)

C6 = 4p3νp1νm2M (2.141)

C7 = 16p3νp2νp1

µPµ (2.142)

C8 = 8p3νp2νm1M (2.143)

Los términos de acoplamientos Dl son:

D1 = Nj∗LOkLOj

∗LNkL +Nj

∗ROkROj

∗RNkR (2.144)

D2 = Nj∗LOkLOj

∗LNkR +Nj

∗ROkROj

∗RNkL (2.145)

D3 = Nj∗LOkLOj

∗RNkL +Nj

∗ROkROj

∗LNkR (2.146)

D4 = Nj∗LOkLOj

∗RNkR +Nj

∗ROkROj

∗LNkL (2.147)

D5 = Nj∗LOkROj

∗LNkL +Nj

∗ROkLOj

∗RNkR (2.148)

D6 = Nj∗LOkROj

∗LNkR +Nj

∗ROkLOj

∗LNkR (2.149)

D7 = Nj∗LOkROj

∗RNkL +Nj

∗ROkLOj

∗LNkR (2.150)

D8 = Nj∗LOkROj

∗RNkR +Nj

∗ROkLOj

∗LNkL (2.151)

2.5. Cálculo del módulo cuadrado de la amplitud total

Como se esbozó con anterioridad, la amplitud total de decaimiento a tres cuerpos está

descrita por:

Mtot =MS +MV − IS − IV , (2.152)

donde cada uno de los términos equivale a la suma sobre los mediadores de cada tipo,

por ejemplo:

MS =NS∑

jSj , (2.153)

si se supone que existen N1S y N1V mediadores escalares y vectoriales asociados con las

amplitudesMS yMV respectivamente. De la misma forma para las amplitudes IS y IV ,supondremos que hay N2S y N

2V mediadores. El módulo cuadrado de la amplitud total

30

2.5. CÁLCULO DEL MÓDULO CUADRADO DE LA AMPLITUDTOTAL

queda de la siguiente forma.

|Mtot|2 = MSM†S +MVM†V + 2Re

(MSM†V

)(2.154)

+ISI†S + IV I†V + 2Re

(ISI†V

)(2.155)

−2Re(MSI†S +MV I

†V +MSI

†V +MV I

†S

)(2.156)

Cada uno de los términos puede ser descrito en función de notación diagramática

anteriormente introducida, primeramente se reconocen tres grupos dentro de la amplitud

total módulo cuadrado. El primero es el resultado de la multiplicación de términos My sus interferencias, el segundo es análogo a este último pero compuesto únicamente

por términos I y sus interferencias, por último un término compuesto solamente porinterferencias entreM e I.El primer grupo resulta ser:

MSM†S =N1S∑

k

k k + 2Re

N1S∑

j


2.6. El ancho de decaimiento a tres cuerpos

Como se vio anteriormente, el ancho de decaimiento queda descrito por una integral

sobre el espacio de fase (ecuación 2.9). Como la amplitud total de decaimiento queda

expresada en función de sumas de funciones, resulta adecuado trabajar sobre la integral

de cada uno de los términos de la suma,

Γ =∑

k,j

̺kj , (2.164)

donde cada uno de los ̺kj está expresado como integrales sobre el espacio de fase en

función de los términos de interferencia calculados en la sección 2.4. Aśı bien, dentro de

todas las integrales se pueden identificar dos tipos. El primer grupo son integrales de fun-

ciones tipoMM† e II† y el segundo grupo son los términos de interferencia entreM e I.

2.6.1. Primer grupo de integrales

El primer grupo las integrales tiene la forma,

̺kj =1

(2π)38M

∫∫k j dE1dE2 (2.165)

=1

(2π)38M

1

(2M)2

∫∫f(E1, E2)

(E1 − µk − iγk)(E1 − µj + iγj)dE1dE2, (2.166)

donde los términos µ y γ corresponden a:

µa =1

2M(M2 +m21 −m2a) ; γa =

maΓa2M

. (2.167)

La función f(E1, E2) corresponde al producto de dos amplitudes sin los términos que

son proporcionales a los propagadores de los mediadores. Esta función es anaĺıtica, y es

posible integrar con respecto a E2 definiendo una nueva función,

h(E1) =

∫ Emax2 (E1)

Emin2

(E1)

f(E1, E2)dE2, (2.168)

de modo que queda

̺kj =1

(2π)38M

1

(2M)2

∫h(E1)

(E1 − µk − iγk)(E1 − µj + iγj)dE1. (2.169)

Técnica de integración

Para calcular el ancho de decaimiento a tres cuerpos, es necesario integrar sobre todo

el espacio de fase que cumpla con el principio de la conservación de la enerǵıa-momentum

32

2.6. EL ANCHO DE DECAIMIENTO A TRES CUERPOS

[11].

A consecuencia de la introducción del ancho de decaimiento de la part́ıcula mediado-

ra, los polos del módulo cuadrado de la amplitud, que se encontraban en el eje real de

E1 (figura 2.10), Se han desplazado fuera de ésta. Por lo tanto, la función a integrar no

diverge por sobre el contorno de integración.

E1max

E2max

E1

E2

m1

m2

mjmk

Figura 2.10: Esquema de ubicación de los puntos mas cercanos a los polos para términos de

la forma MkM†j ó IkI†j .

Al utilizar la descomposición de fracciones parciales sobre el integrando, éste toma la

siguiente forma,

h(E1)

(E1 − µk − iγk)(E1 − µj + iγj)= Υ

[h(E1)

E1 − µk − iγk− h(E1)E1 − µj + iγj

], (2.170)

donde Υ es una constante que depende de las masas y anchos de decaimiento de los

mediadores

Υ =1

(µk − µj) + i(γk + γj). (2.171)

Se puede observar que nuestra integral toma una forma genérica:

∫ b

a

h(x)

x− µ− iγ dx, (2.172)

33


y al utilizar el cambio de variables

dt =dx

x− µ− iγ ⇒ t = log(x− µ− iγ)⇒ x(t) = et + µ+ iγ, (2.173)

finalmente la integral genérica queda descrita por:

κ(a, b, µ, γ) =

∫ log(b−µ−iγ)

log(a−µ−iγ)h(x(t))dt, (2.174)

la cual es más sencilla de implementar, utilizando métodos convencionales de integración

numérica (Apéndice A). Finalmente nuestra, integral objetivo toma la forma:

̺kj =1

(2π)38M

1

(2M)2κ(m1, E

max1 , µk, γk

)− κ(m1, E

max1 , µj ,−γj

)

(µk − µj) + i(γk + γj). (2.175)

2.6.2. Segundo grupo de integrales

Este segundo grupo es compuesto por las funciones provenientes de los términos de

interferencia entre funciones MkI†j ,

̺kj =1

(2π)38M

∫∫k

jdE1dE2. (2.176)

Al igual que la integral de términosMM†, esta integral se puede escribir de la siguienteforma:

̺kj =1

(2π)38M

−1(2M)2

∫∫f(E1, E2)

(E1 − µk − iγk)(E2 − µj + E1 + iγj)dE1dE2, (2.177)

donde los términos µ y γ esta vez son diferentes si se trata de µk o µj

µk =1

2M(M2 +m21 −m2k) ; γk =

mkΓk2M

; (2.178)

µj =1

2M(M2 +m2j −m23) ; γj = −

mjΓj2M

. (2.179)

Siguiendo el mismo raciocinio que antes, se puede eliminar la dependencia de E2 simple-

mente integrando sobre éste:

h(E1) =

∫ Emax2Emin

2

f(E1, E2)

E2 − µj + E1 + iγjdE2, (2.180)

pero esta vez es necesario un cambio de variable utilizando el logaritmo del divisor. Al

utilizar, esto la integral se reduce a:

h(E1) =

∫ log(Emax2 −µ′j+iγj)

log(Emin2

−µ′j+iγj)

f(E1, x(t))dt, (2.181)

donde

µ′j = µj − E1 ; x(t) = et + µ′j − iγj . (2.182)

34

2.6. EL ANCHO DE DECAIMIENTO A TRES CUERPOS

E1max

E2max

E1

E2

m1

m2

mjmk

mj

Figura 2.11: Esquema de ubicación de los puntos mas cercanos a los polos para funciones de

MkI†j .

De acá se observa la dependencia en forma de recta que se manifiesta en el espacio de

fase (figura 2.11). Con esta primera integración, nuestra integral se ha reducido a

̺kj =1

(2π)38M

−1(2M)2

∫h(E1)

E1 − µk − iγkdE1, (2.183)

y al utilizar la función κ antes definida, nuestra integral queda:

̺kj =1

(2π)38M

−1(2M)2

κ(m1, Emax1 , µk, γk). (2.184)

De esta forma se puede calcular de manera sistemática el ancho de decaimiento a tres

cuerpos, para un número arbitrario de mediadores.

35


36

Caṕıtulo 3

Fenomenoloǵıa asociada al

decaimiento a tres cuerpos en

AMSB

Éste es uno de los modelos de rompimiento de la supersimetŕıa que aún no ha sido

descartado por las observaciones experimentales, siendo una de sus particularidades

que el chargino y el neutralino más liviano son muy cercanos en masa.

3.1. Introducción

El mecanismo de cómo Supersimetŕıa ha sido rota todav́ıa no se entiende bien.

Existen distintos modelos para su rompimiento, como Supergravedad (SUGRA), Gauge

Mediated SuSy Breaking (GMSB) y Anomaly Mediated SuSy Breaking (AMSB), entre

otros [12]. La mayoŕıa de estos modelos postulan la existencia de un sector observable

(OS), donde existen los campos del MSSM junto a las simetŕıas que este tiene. Junto a

OS aparece un sector oculto (HS), compuesto de campos que no interactúan directa-

mente con los del OS. Es en este sector donde ocurre el rompimiento de la Supersimetŕıa,

el cual se transmite mediante distintos tipos de mecanismos o interacciones, al sector

donde existen los campos del MSSM.

3.2. AMSB

Anomaly Mediated SuSy Breaking o simplemente AMSB, es uno de los modelos que

considera la existencia del HS desde donde Supersimetŕıa se ha roto, transmitiéndose el

37

CAPÍTULO 3. FENOMENOLOGÍA ASOCIADA AL DECAIMIENTO ATRES CUERPOS EN AMSB

rompimiento al OS mediante la anomaĺıa Super-Weyl1 [12, 13, 14]. De esta forma, la

mayoŕıa de los términos que aparecen en el potencial que rompe Supersimetŕıa (Lsoft) -como masas de gauginos y términos trilineales Ai - quedan definidos a escala de Gran

Unificación (GUT), proporcionales a la masa del Gravitino M3/2 [15]

Mgaugino, Atrilineal ∝M3/2. (3.1)

De esta manera, la mayoŕıa de los términos que aparecen en el lagrangeano SuSy

quedan determinados por AMSB.

3.2.1. Espacio de parámetros de AMSB

En AMSB, existen 4 parámetros que dominan el modelo:

M3/2 ; m0 ; sign(µ) ; tanβ. (3.2)

Estos parámetros se encuentran a escala GUT. El parámetro M3/2 se conoce como la

masa del Gravitino, m0 es la masa común unificada de los escalares, µ es conocido como

la masa del higgsino, que aparece expĺıcitamente en el superpotencial del MSSM, y por

último tanβ que es un parámetro electrodébil definido como la razón entre los valores de

expectación de los Higgses up y down. Como AMSB se encuentra definido a escala GUT,

se puede evolucionar el modelo a partir de las ecuaciones del grupo de renormalización

(RGE) del MSSM. Del espectro de masas a bajas enerǵıas se observa que M3/2 domina

sobre las masas de los fermiones, en especial sobre las masas de los gauginos (M1, M2,

M3). Por otro lado, m0 domina fuertemente sobre las masas de todos los escalares

supersimétricos, aunque también existe una contribución dada por la masa del Gravitino.

Cotas sobre AMSB obtenidas de las búsquedas en colisionadores de part́ıculas [16],

establecen ĺımites sobre las masas de ciertas part́ıculas supersimétricas que a su vez

restringen a AMSB (cuadro 3.1). Aunque si se considera que la cota inferior para la masa

del chargino ha subido a 94 [GeV], esto modifica las cotas sobre AMSB a:

Nuevas Cotas sobre AMSB

M3/2 >30 [TeV]

Mχ̃ >94 [GeV]

1conocida en la literatura como Super-Weyl Anomaly.

38

3.3. DECAIMIENTO DEL CHARGINO MÁS LIVIANO EN AMSB CONPARIDAD R CONSERVADA.

Cotas sobre AMSB

µ < 0 > 0

M3/2 > 26.3 [TeV] > 23 [TeV]

m0 > 183 [GeV] > 156 [GeV]

tanβ > 5.7 > 3.8

Cotas sobre masas

Mχ̃ > 73 [GeV] > 66 [GeV]

Mν̃ > 114 [GeV] > 95 [GeV]

Ml̃ > 75 [GeV] > 68 [GeV]

Cuadro 3.1: Cotas sobre AMSB en base a búsquedas en el detector DELPHI.

3.3. Decaimiento del chargino más liviano en AMSB

con paridad R conservada.

Una de las caracteŕısticas de la fenomenoloǵıa de AMSB a bajas enerǵıas es que las

masas del chargino y del neutralino más liviano son muy similares, por lo que resulta

conveniente definir la diferencia relativa entre las masas de estas part́ıculas,

ρ =mχ̃±

1

−mχ̃01

mχ̃01

. (3.3)

En AMSB, resulta que el parámetro ρ es menor que 0,1 para el espacio de parámetros

permitido por las observaciones. Esto es debido a que los términos M2, M1 y µ cumplen

que

M1 : M2 = 3 : 1 , M2 ∼ 100 [GeV]≪ |µ|, (3.4)

provocando que en las matrices de masas de los charginos y de los neutralinos, los

primeros autoestados de masas sean muy similares en valor. Además, se obtiene que

los campos asociados a estas masas sean principalmente compuestos por gauginos,

especialmente winos.

Si se estudia a AMSB con paridad R conservada (RpX) junto con el caso donde el

LSP - o part́ıcula supersimétrica más liviana - corresponde al neutralino más liviano,

entonces ésta es una part́ıcula estable y candidato a materia oscura [19]. Además, como

ρ es pequeño el chargino más liviano corresponderá al NLSP2 en gran parte del espacio

de parámetros de AMSB. Como nos encontramos en el caso donde paridad R está

conservada, entonces para que el chargino pueda decaer, es necesario que en el estado

2Next Lightest Supersymmetric Particle

39


final de decaimiento aparezca el neutralino más liviano. Es en este decaimiento donde

el parámetro ρ adquiere mucha importancia, porque nos entrega información de cuán

suprimido se encuentra el espacio de fase.

El proceso decaimiento del chargino, que conserva paridad R y que considera a i

part́ıculas del modelo estándar en el estado final, puede ser descrito por

χ̃±

χ̃0

∑imi

. (3.5)

Al utilizar la información del parámetro ρ, es posible encontrar el ĺımite para que no

se pueda producir el decaimiento. Este ĺımite resulta ser:

ρ <1

mχ̃0

∑

i

mi (3.6)

Tampoco es posible el decaimiento del chargino en dos cuerpos, ya que se necesita un

chargino con una masa superior a mW +mχ̃, para tener suficiente enerǵıa para producir

un bosón W± y un neutralino donde ambos se encuentren en la capa de masas (on-shell).

Se aprecia que esta condición está en contracción al hecho que, en AMSB, ρ resulta ser

pequeño. Aśı que los únicos procesos posibles, deben ocurrir como decaimiento a tres

cuerpos. Utilizando este hecho, existen dos procesos que maximizan el espacio de fase del

chargino, gracias a que las part́ıculas del estado final tienen menor masa.

i) χ̃− → χ̃0ν̄e−(χ̃− → χ̃0ν̄l−

)

ii) χ̃− → χ̃0ūd(χ̃− → χ̃0q̄uqd

)

Dentro del espacio de parámetros de AMSB (figura 3.1 y 3.2), se observa una gran

sección del plano M3/2 − m0 donde el proceso de decaimiento a un neutralino, unneutrino y un electrón no es posible (zona roja/gris). Esto se observa para cualquier

valor de tanβ y elección de sign(µ). También se observa una región mucho más pequeña

donde śı existe este proceso, pero no el proceso relacionado con quarks (zona verde/gris

claro). Y, por último, una sumamente pequeña zona en la cual ambos procesos son

posibles (zona azul/gris oscuro).

Se observa que, al considerar el espectro de masas corregido a un loop, aparecen

algunas diferencias, pero en rasgos generales aún se manifiesta la similitud en masas entre

40


r < me/mcme/mc < r < (mu+md)/mc(mu+md)/mc < r sign(m) = +1

Tree Level

r < me/mcme/mc < r < (mu+md)/mc(mu+md)/mc < r sign(m) = -1

Tree Level

Figura 3.1: Espacio de parámetros de AMSB a nivel árbol dividido en zonas en las cuales

el decaimiento del chargino es o no factible. La zona roja/gris es la zona donde

el chargino es una part́ıcula estable, la zona verde/gris claro es la zona donde el

chargino sólo puede decaer en neutralino, electrón y neutrino y la zona azul/gris

oscuro es donde pueden ocurrir el canal antes mencionado junto con el proceso del

chargino a neutralino, quark up y quark down. 41


r < me/mcme/mc < r < (mu+md)/mc(mu+md)/mc < r sign(m) = +1

One loop

r < me/mcme/mc < r < (mu+md)/mc(mu+md)/mc < r sign(m) = -1

One loop

Figura 3.2: Espacio de parámetros de AMSB a un loop dividido en zonas en las cuales el

decaimiento del chargino es o no factible. La zona roja/gris es la zona donde el

chargino es una part́ıcula estable, la zona verde/gris claro es la zona donde el

chargino sólo puede decaer en neutralino, electrón y neutrino y la zona azul/gris

oscuro es donde pueden ocurrir el canal antes mencionado junto con el proceso del

chargino a neutralino, quark up y quark down42


el chargino y el neutralino. En el contexto de paridad R conservada, la zona roja/gris

implica un chargino totalmente estable. Este escenario resulta ser muy desfavorecido

porque seŕıa posible observar charginos en forma de rayos cósmicos además de observar

su radiación de manera directa. De estar presentes estos charginos en el principio del

universo, se modificaŕıa la formación de átomos, ya que un chargino podŕıa reemplazar

a un protón. Las otras zonas brindaŕıan charginos de gran vida media debido a la

supresión del espacio de fase.

Podemos estudiar el comportamiento del proceso

χ̃− → χ̃0ν̄e−

en función de los parámetros de AMSB donde se observa que para tanβ = 15 y µ < 0

(figura 3.3) el ancho de decaimiento máximo se obtiene cuando M3/2 = 30 [TeV] y que

a medida que este parámetro crece el ancho de decaimiento disminuye. Sin embargo, el

ancho de decaimiento máximo es del orden de 10−23 [GeV]. Se puede calcular el tiempo

de vida media de una part́ıcula, a partir de su ancho de decaimiento mediante:

τ =~

Γ; ~ = 6,582× 10−25 [GeV] [s]. (3.7)

De esta forma el ancho de decaimiento, está asociado a un tiempo de vida de 65,82 ×10−3 [s] que resulta ser bastante grande para una part́ıcula supersimétrica, si es que se

compara con la vida media del muón (2,19703± 0,00004)× 10−6 [s]. El muón presentaproblemas en la detección debido a su longevidad, ya que estas part́ıculas se producen

con tanta enerǵıa cinética que decaen fuera del detector, lo cual trae complicaciones para

determinar de mejor manera su f́ısica.

Al comparar las curvas con µ < 0 con µ > 0 (figura 3.3), se observa que para igual

valor de M3/2, la curva con µ > 0 presenta ancho de decaimiento diez veces más grande

y además el umbral de esta curva está por sobre los 2 [TeV] para m0. Esto se debe

principalmente al efecto de µ sobre las masas de los charginos y neutralinos aumentando

o disminuyendo la degeneración entre estos. Si estudiamos el comportamiento del ancho

de decaimiento del chargino, pero bajo variaciones de M3/2 (figura 3.4) observamos que

todas las curvas presentan un comportamiento similar, no obstante para grandes valores

de M3/2 el ancho de decaimiento disminuye lentamente.

Por otro lado, el ancho de decaimiento del chargino sufre un comportamiento distinto

cuando se varia tanβ (figura 3.5), se puede apreciar que el ancho disminuye si tanβ

aumenta.

43


1e-32

1e-30

1e-28

1e-26

1e-24

1e-22

400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Γ (χ

- ->

χ0

ν e)

[G

eV]

m0 [GeV]

M3/2 = 30 [TeV], µ

3.4. DECAIMIENTO DEL CHARGINO EN AMSB+BRPV

1e-31

1e-30

1e-29

1e-28

1e-27

1e-26

1e-25

1e-24

1e-23

1e-22

35 40 45 50 55 60

Γ (χ

- ->

χ0

ν e)

[G

eV]

M3/2 [TeV]

m0 = 500 [GeV], µ < 0m0 = 1 [TeV], µ < 0

m0 = 1.4 [TeV], µ < 0m0 = 1 [TeV], µ > 0

Figura 3.4: Comportamiento del ancho de decaimiento del chargino en un neutralino, un

neutrino y un electrón bajo variaciones de M3/2 y con tan β = 15.

iii) Canal 2 jets de quarks [DUN]

χ̃− −→ qd q̄u ν

iv) Canal 2 jets de quarks y un leptón [LUU, LDD]

χ̃− −→ qu q̄u l− ; χ̃− −→ qd q̄d l−

donde el nombre de los canales está asociado al tipo de part́ıculas detectables. Por ese

motivo no se nombra al neutrino, siendo que es un leptón. Por otro lado, el primer y

tercer canal poseen procesos análogos que conservan paridad R.

Por lo general, los procesos que conservan paridad R dominan por sobre los que la

violan, ya que los parámetros ǫi y Λi deben ser pequeños para satisfacer la f́ısica de

neutrinos [8].

Vamos a estudiar el comportamiento de los canales i) e ii) junto con los canales

RpX para el decaimiento del chargino bajo AMSB+BRpV, es decir, vamos a realizar

un estudio basado en las señales leptónicas. Para aquello utilizaremos un benchmark3

3punto del espacio de parámetros de un modelo.

45


1e-27

1e-26

1e-25

1e-24

1e-23

1e-22

1e-21

5 10 15 20 25 30

Γ (χ

- ->

χ0

ν e)

[G

eV]

tanβ

µ < 0µ > 0

Figura 3.5: Comportamiento del ancho de decaimiento del chargino en un neutralino, un

neutrino y un electrón bajo variaciones de tan β y con M3/2 = 35 [TeV], m0 =

1 [TeV].

46


AMSB benchmark

M3/2 = 35 [TeV]

m0 = 1 [TeV]

tanβ = 10

µ < 0

BRpV benchmark

ǫ1,2,3 = −0,01 [GeV]Λ1,2,3 = −0,001 [GeV2]|Λ| = 1,732× 10−3 [GeV2]ǫ2 = 3× 10−4 [GeV2]

Cuadro 3.2: Benchmark de AMSB y de BRpV usados para estudiar el comportamiento del

ancho de decaimiento a tres cuerpos del chargino.

de AMSB junto con uno de BRpV (cuadro 3.2). El benchmark AMSB ha sido escogido

en un sector del espacio de parámetros donde es posible que se produzca el decaimiento

RpX, y de este modo poder compararlo con los decaimientos Rp/ . El benchmark BRpV

ha sido ideado de la forma más sencilla posible, ya que todos los valores de ǫ1,2,3 y Λ1,2,3

son iguales. Además están en concordancia con los valores provenientes de la f́ısica de

neutrinos [18].

Es necesario resaltar, que cuando tanβ = 15, aparecen degeneraciones en las masas

del sector escalar neutral y cargado. Esta situación es particular dentro del espacio

de parámetros de AMSB [17]. Por lo que se ha escogido tanβ = 10, para poder

estudiar y comparar los distintos procesos de decaimiento del chargino, en un caso más

común. Posteriormente se estudiará con más detención este fenómeno y sus consecuencias.

3.4.1. Algunas consideraciones.

La primera consideración necesaria es tener en mente la cantidad de mediadores

escalares y vectoriales que están presentes en el decaimiento a tres cuerpo del chargino;

El número de mediadores presentes en un proceso tipo LLL no es el mismo que en un

proceso LNN (cuadro 3.3). Como el ancho de decaimiento está relacionado con el módulo

cuadrado de la amplitud de decaimiento, entonces el número de términos y de integrales

en el espacio de fase que aparecen es aproximadamente proporcional al cuadrado del

número de mediadores, lo cual se traduce en un gran tiempo de cálculo necesario para

poder obtener un ancho de decaimiento espećıfico.

La segunda consideración que aparece es la que se presenta dentro de los propa-

gadores tipo Breit-Wigner [10], ya que estos necesitan del ancho total de la part́ıcula

mediadora. Se conocen los anchos totales para los bosones Z0 y W±, los cuales son de

2,4952±0,0023 [GeV] y 2,124±0,041 [GeV] respectivamente, pero los anchos totales para

47


proceso mediador vectorial mediador escalar número total

LNN γ, Z0, W± S0, P 0, S± 21

LLL γ, Z0 S0, P 0 12

DUN W± S±, Ũ 11

LUU γ, Z0 S0, P 0, D̃ 14

LDD γ, Z0 S0, P 0, Ũ 14

Cuadro 3.3: Conteo de la cantidad de mediadores en total que existen para los distintos procesos

de decaimiento del chargino

el sector escalar son desconocidos. A modo de aproximación, se define el factor escalar

de decaimiento (As), el cual define el ancho de decaimiento de un escalar de manera que

sea proporcional a la masa de éste y de esta forma realizar una aproximación más realista.

Γescalar = As mescalar (3.8)

Se puede apreciar que todos los procesos no se ven afectados ante la elección del

factor escalar de decaimiento, por lo que para el benchmark AMSB utilizado (figura 3.6)

este factor no tiene mucha importancia. El valor escogido para nuestro benchmark es de:

As = 10−4 (3.9)

La aproximación mediante As tiene puntos a favor y en contra. Por un lado, se reduce

en gran medida el tiempo de cálculo del ancho de decaimiento del chargino, porque no es

necesario calcular todos los anchos de decaimientos de cada uno de los mediadores. Por

otro lado, existe el riesgo de encontrarse en una zona del espacio de parámetros donde la

aproximación falla, como en el caso de escalares extremadamente livianos, porque si la

part́ıcula mediadora alcanza la capa de masas,

pµpµ = m2, (3.10)

resulta necesario calcular de manera exacta, el ancho de decaimiento del mediador en

cuestión.

3.4.2. Comportamiento bajo AMSB.

Si se estudia el comportamiento del ancho de decaimiento del chargino más liviano en

el contexto de AMSB, se puede observar que el proceso RpX tiene una alta dependencia

48


LNNLLL

Figura 3.6: Comportamiento del ancho de decaimiento del chargino en función del factor de

decaimiento común de los escalares para el benchmark de AMSB+BRpV usado.

de tanβ (figura 3.7), por efectos sobre la diferencia relativa en la masa entre el chargino

y el neutralino, en especial sobre la matriz de masa del chargino. El máximo valor lo

adquiere en tanβ = 5 donde el ancho de decaimiento es 3 órdenes de magnitud más

grande que en valores de tanβ ≥ 15. Este aumento en tanβ pequeño no es suficientepara superar a los procesos Rp/ .

Ocurre lo contrario cuando se analizan los anchos asociados a los procesos LLL y LNN:

Cuando tanβ es pequeño, se aprecia una disminución en en ellos, pero siempre los

anchos LNN son mayores a los LLL. Esto se debe a que LNN tienen un mayor espacio

de fase que los procesos LLL. Si se observa con detención, se puede distinguir un peak

producto de la degeneración en masa que existe en el sector de escalares. En LNN se

manifiesta dos degeneraciones que están presentes en los escalares neutrales (H0, A0

- ν̃). De manera distinta, en LLL sólo se aprecia una única degeneración, aunque en

realidad existen muchas degeneraciones en torno a tanβ = 15, pero por efecto de la

discretización no se pueden apreciar.

El comportamiento que experimentan los anchos de decaimiento, cuando se varia

M3/2 (figura 3.8), arroja que el ancho de decaimiento asociado al proceso RpX disminuye

en valor pese a que M3/2 aumenta, y por lo tanto aumenta la masa del chargino. No

obstante, la disminución aparece porque la masa del neutralino crece en igual proporción

49


LNNLLL

muLLeLL

tauLLmuNNeNN

tauNN

Figura 3.7: Comportamiento del ancho de decaimiento del chargino en función de tan β para

el benchmark de AMSB y BRpV.

50


que la del chargino. Por otro lado, los anchos de decaimientos asociados a los procesos

Rp/ también presentan el efecto de la degeneración de masas de los escalares. Nuevamente

los anchos de decaimiento tipo LNN son mayores que los LLL, y éstos a su vez son

mayores que el del proceso RpX.

Si vamos a un estudio más detallado, es decir, estudiando los anchos de decaimiento

detallados por el tipo de leptón cargado (e, µ, τ). Es posible percatarse, que los anchos

de decaimiento que envuelven al leptón tau, resultan ser mucho más grandes que aquellos

que consideran al electrón o al muón. Esto se explica por la mayor diferencia entre los

acoplamientos que tienen estos leptones frente a los campos de Higgs. El comportamiento

colectivo de los anchos de decaimiento asociados a los proceso

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Decaimiento a tres cuerpos en Teor´ıas Supersim´etricas con y …personalpages.to.infn.it/~lineros/pdf/tesismag.pdf · 2010. 8. 11. · Diccionario Jazaro. Agradecimientos Desde