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Decomposição de funções racionais PRÓPRIAS
Se é racional própria e
com então existem constantes (únicas) tais que
Sobre fatoração de termos quadráticosLembre-se de que:
em que são as raízes do polinômio de segundo grau, ou seja, fazem com que
Exemplo:
Sobre soma e produto das raízes do trinômio
Lembre-se de que para , sendo as raízes então
Exemplo: encontrar, mentalmente, as raízes de
Procure por dois números tais que
Não é difícil perceber que: e .
Exemplo 1Decompor em frações parciais
1ª providência: fatorar o denominadorPara tal, precisamos de conhecer suas raízes, ou seja, números que fazem com que
Exemplo 1Decompor em frações parciais
1ª providência: fatorar o denominadorProcure dois números que adicionados dê 10 e multiplicados dê 21. Não é difícil.
Exemplo 1Decompor em frações parciais
1ª providência: fatorar o denominadorProcure dois números que adicionados dê 10 e multiplicados dê 21. Não é difícil.
Exemplo 1Decompor em frações parciais
1ª providência: fatorar o denominadorAssim, as raízes do polinômio que está no denominador são: e . Desse modo,
Exemplo 1Decompor em frações parciais
2ª providência: Escrever a fração original com o denominador fatorado.
Exemplo 1Decompor em frações parciais
3ª providência: Escrever a decomposição genérica
Exemplo 1
Você deve descobrir os valores das constantes A e B. Há pelo menos três formas de fazer isso.
1ª Solução: encontre o mínimo múltiplo comum no primeiro membro e compare o polinômio do numerador da fração da esquerda com o polinômio do numerador da direita.
Exemplo 1
Já que os denominadores já são iguais, resta pedir que sejam iguais também os numeradores. Assim, devemos ter:
Exemplo 1
Agora, desenvolvendo o membro direito ficaremos com:
Exemplo 1
Comparando os polinômios passaremos a ter o seguinte sistema:
Observe que esse sistema 2x2 apareceu porque tínhamos um denominador com DOIS FATORES LINEARES DISTINTOS. Se o número de fatores fosse quatro, o sistema seria 4x4. Sabe resolver um sistema assim? Um pouco trabalhoso, não? Vamos continuar com a resolução.
Exemplo 1
Vamos multiplicar ambos os membros por 3? Ficaremos com:
Adicionando as duas equações teremos:
Exemplo 1
Agora, como , substituindo esse valor na primeira equação (por exemplo) ficaremos com:
Assim,
Exemplo 1Desse modo,
e a decomposição está feita.
Exemplo 1Qual é o problema ou a limitação desse procedimento?
• Fica muito trabalhoso se estiver diante de situações onde o denominador é um polinômio com três ou mais fatores distintos. O sistema passa a ser 3x3, 4x4, 5x5 etc.
• É possível resolver esses sistemas? Claro que sim. O método de escalonamento está aí para isso, mas, se possível, vamos usar um caminho com menos espinhos.
Exemplo 1Do slide 12 temos que
2ª Solução: Consiste em fazer uso do “” e do fato de que existe uma única solução (não vamos discutir o porquê disso... Teremos fé ;-))
Exemplo 1Do slide 12 temos que
2ª Solução: Ora, se a relação é válida para TODO número real, em particular deve valer para alguns valores que escolheremos a dedo. Qual seria um bom valor para colocar no lugar do “x”?
Exemplo 1Do slide 12 temos que
2ª Solução: A ideia é deixar apenas um parâmetro. Por exemplo: se queremos descobrir o valor de “A”, então a parcela que está com o “B” deve anular e isso acontece se “”. Assim, fazendo , ficaremos com:
Exemplo 1Do slide 12 temos que[]
Não importa qual é o valor de “B”, o produto “” sempre e assim,
Exemplo 1
de onde vem que
De volta a mesma expressão:
podemos encontrar o valor de “B” se a parcela com o “A” se anular e isso ocorrerá se . Daí,
Exemplo 1
[]
de onde vem que
Exemplo 1Desse modo, temos mais uma vez,
e a decomposição está feita.
Exemplo 1Do slide 11 temos que
3ª Solução: Consiste em fazer uso do “” e do fato de que existe uma única solução logo na igualdade inicial depois que deixar o parâmetro que quer encontrar seu valor “desacompanhado” da variável “x”.
Exemplo 1Do slide 11 temos que
Veremos que chegaremos no seguinte:
Exemplo 1Do slide 11 temos que
Vejamos como: [A] Para descobrir o valor de “A” multiplicamos ambos os membros pelo DENOMINADOR de [A]. Ficamos então com:
Exemplo 1
Cancelando os termos idênticos ficaremos com
Agora, pense em uma escolha boa para o valor que vai atribuir ao “x”. Deve ser tal que a parcela que está com o “B” seja anulada. Logicamente, devemos fazer . Ficaremos então com:
Exemplo 1
de onde vem (já que a última parcela é nula) que
Ou seja,
Exemplo 1Do slide 11 temos que
Vejamos como: [B] Para descobrir o valor de “B” multiplicamos ambos os membros pelo DENOMINADOR de [B]. Ficamos então com:
Exemplo 1
Cancelando os termos idênticos ficaremos com
Agora, pense em uma escolha boa para o valor que vai atribuir ao “x”. Deve ser tal que a parcela que está com o “A” seja anulada. Logicamente, devemos fazer . Ficaremos então com:
Exemplo 1
de onde vem (já que a primeira parcela é nula) que
Ou seja,
Exemplo 1Desse modo, temos mais uma vez,
e a decomposição está feita.
Simples assim...
Tudo de bom.Luís Cláudio LA
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