DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais Transformada de Laplace TRANSFORMADA DE LAPLACE Motivação. Definição: expressão algébrica e região de convergência

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACETRANSFORMADA DE LAPLACE

Motivação.

Definição: expressão algébrica e região de convergência.

Propriedades da região de convergência.

Transformada inversa.

Propriedades da transformada de Laplace.

Representação de SLITs contínuos usando a transformada de Laplace.

Propriedades dos SLITs e sua relação com a região de convergência da função de transferência.



thTL

Motivação

stetx th ?ty

SLIT

sts

ts

edeh

deh

dtxh

txthty

sH

stst esHtyetx

dtetxsX st dsesYj

ty stj

j

21

tx txthty convolução

sX sXsHsY produto

TL TL-1

js



Definição jsdtetxsXtx st

;

Exponencial direitaExponencial direita

R;1 tuetx t

1

tx

t

0

0

1lim

1

0

01

ts

t

ts

tsstt

ess

e

dtedtetuesX

0 para

sRe

)Re(;

11 s

stue t



Definição jsdtetxsXtx st

;

ts

t

ts

tsstt

ess

e

dtedtetuesX

lim11

0

0

1

0 para

sRe

)Re(;

11 s

stue t

Exponencial esquerdaExponencial esquerda

R;1 tuetx t

1

tx

t

0

0



Definição

)Re(;

11 s

stue t

1 tx

t

0

0 sRe

sIm

)Re(;

11 s

stue t

1

tx

t

0

0 sRe

sIm



sRe

sIm

1

tue t1

2TL tue t

1TL

Exemplos

Ex. 1Ex. 1

tuetuetx tt1

21

dtetuedtetue

dtetuetuesX

sttstt

sttt

12

1

12

1

2

1

1

1

sssX

2)Re(1)Re( ss

1Re;21

32

sss

s

Mapa polos/zerosMapa polos/zeros

2

23

zero: 23032 ss

21

021

ss

sspolos:



2Re3Replano

2

4

3

22

sss

sssX

Exemplos

Ex. 2Ex. 2

tuetuettx tt

12

13 422

ss

tue

ss

tue

st

t

t

Re;1

Re;1

plano;1

1

1

TabelaTabela

tuetuetsX tt

12

13 TL4TL2TL2

2Re3;23

222

2

sss

sssX sRe

sIm

3 2

Mapa polos/zerosMapa polos/zeros

1

j

j



Exemplos

Ex. 3Ex. 3

tuetuetx tt1

21

3 42

tuetuesX tt1

21

3 TL4TL2

ss

tue

ss

tue

t

t

Re;1

Re;1

1

1

TabelaTabela

2Re3Re

2

4

3

2

ss

sssX

não tem transformada de Laplace tx



P1 A RC é constituída por faixas do plano s paralelas ao eixo imaginário.

P2 A RC não contém polos.

Propriedades da Região de Convergência (RC)

P3 Se for de duração finita e se existir pelo menos um valor de para o qual a transformada de Laplace converge, então a RC é o próprio plano , exceptuando eventualmente as rectas ou . sRe sRe

tx s

s




P4

Re(s)

Im(s)

Se for um sinal direito e se a recta pertencer à RC, então todos os valores de tais que também pertencem à RC. tx 0Re s

s 0Re s

Re(s)

Im(s)

P5 Se for um sinal esquerdo e se a recta pertencer à RC, então todos os valores de tais que também pertencem à RC.

tx 0Re ss 0Re s




P6

Re(s)

Im(s)

Se for um sinal bilateral e se a recta pertencer à RC, então a RC é uma faixa do plano que contém a recta .

tx 0Re ss 0Re s



02

Transformada de Laplace inversa Funções racionaisFunções racionais

1Re;31

2

s

ss

ssX

1º Expansão em fracções simples de 1º Expansão em fracções simples de XX((s)s)

3131

2

s

B

s

A

ss

ssX

31

3

ss

BAsBA

3

1

03

2

B

A

BA

BA

1Re;3

3

1

1

sss

sX



3Re s 1Re s

Transformada de Laplace inversa Funções racionaisFunções racionais

2º Identificação da RC associada a cada uma das fracções2º Identificação da RC associada a cada uma das fracções

1Re;3

3

1

1

sss

sX

sIm

sRe

3 1

3º Determinação, por simples inspecção, da 3º Determinação, por simples inspecção, da transformada de Laplace inversa de cada um dos termostransformada de Laplace inversa de cada um dos termos

tuetuetx tt1

31 3



YR

3Re; s

P1: LinearidadeP1: Linearidade

sXtx

sXtx

22

11

Se

2

1

RRC

RRC

então sbXsaXtbxtax 2121 21 RRRC

Propriedades da transformada de Laplace

Ex. Ex.

2Re;2

111

s

ssXtx

2Re;32

122

s

sssXtx

txtxty 21 3

1

32

2

32

13

32

1

2

1

sss

s

ss

s

ssssY

2

21 RR

sRe3

sIm




P2: Translação no TempoP2: Translação no Tempo

sXtx Se RRC

então sXettx st0

0 RRC excepto para a possível

inclusão/exclusão de sRe

Ex. Ex.

0Re;1

1 ss

tu

;1

001 s

ettu st

0Re:00 st

t

01 ttu 1

0t

s

st

Reexcepto

,0Re:00

t

01 ttu

0t

1



P3: Translação no Domínio da TransformadaP3: Translação no Domínio da Transformada

sXtx Se RRC

então 00 ssXtxe ts 0Re sRRC


Ex. Ex.

0Re;1

111 ss

sXtutx

;1

001212

0

ssssXsXtuetx ts

00 ReRe0Re ssss



P4: Mudança de EscalaP4: Mudança de Escala


sXtx Se RRC

então

a

sX

aatx

1aRRC

Ex. Ex.

2Re;2

111

21

ss

sXtuetx t

;6

1

23

1

3

1

33

13 1212

sss

XsXtxtx 6Re23

Re

ss

tue

tuet

t

16

16 3



YR

2Re; s


P5: ConvoluçãoP5: Convolução

sXtx

sXtx

22

11

Se

2

1

RRC

RRC

então sXsXtxtx 2121 21 RRRC

Ex. Ex.

2Re;2

111

ss

ssXtx

1Re;1

122

s

ssXtx

txtxty 21

1

21 RR

2

1

1

1

2

1

sss

ssY

sRe2

sIm



P6: Diferenciação no Domínio do TempoP6: Diferenciação no Domínio do Tempo

sXtx Se RRC

então ssX

dt

tdx RRC


Ex. 1 Ex. 1

0Re;1

1 ss

tu

studt

dt plano;11

Ex. 2 Ex. 2

2Re;2

ss

ssX

tuess

t1

22Re;2

1

ttuetetuetuedt

dtx tttt

1

221

21

2 22

Tabela:



sds

dsXtuettx t 1

1

Ex. Ex.


P7: Diferenciação no Domínio da TransformadaP7: Diferenciação no Domínio da Transformada

sXtx Se RRC

então ds

sdXttx RRC

s

sRe;

12

s

ssds

dsXtuettx t Re;

21321

2



P8: Integração no Domínio do TempoP8: Integração no Domínio do Tempo

sXtx Se RRC

então sXs

dxt 1

0Re sRRC


Nota: Nota: pela propriedade da convoluçãopela propriedade da convolução

0Re;1

)(1 sRRCs

sXtutxdx X

t

Ex.Ex.

0Re;1

1 ss

dtut

st plano;1



Diferenciação no domínio da transformada Translação no domínio da transformada

Translação no tempo

Exemplos

Ex. 1Ex. 1 Sabendo que , determine a transformada de Laplace de tuetx t 13

55 2 txetty tj

55 22

txettwety tjtj

tuetx t1

3

ttxtz

555

txttztw

3Re;3

1

s

ssX

3Re;3

12

s

ssX

ds

dsZ

;3

12

55

sesZesW ss

ss Re.excl3Re

;

32

12 2

25

jsejsWsY js

ss Re.excl3Re



Translação no tempo

Diferenciação no tempoExemplos

Ex. 2Ex. 2 Sabendo que , determine o sinal . ty 2Re;2

3

ss

sesY s

2Re;2

1

s

ssX

2Re;2

ss

sssXsZ

2Re;2

133

ss

sesZesY ss

tuetx t1

2

ttue

tetuetxdt

dtz

t

tt

12

21

2

2

2

332

3

132

ttue

tzty

t




P9: Teorema do Valor InicialP9: Teorema do Valor Inicial

Se para e se não contiver impulsos ou singularidades de ordem superior na origem , o limite de quando por valores positivos é

ssXxs

lim0

0tx 0t tx 0t tx 0t

P10: Teorema do Valor FinalP10: Teorema do Valor Final

Se para e se convergir para um valor constante quando , então

ssXtxst 0limlim

0tx 0t txt



ExemploExemplo ssXxs

lim0TVI:

ssXtxst 0limlim

TVF: 0Re;2

107

sss

ssX

72

1

107

lim2

107lim

2

107lim0

s

ss

s

ss

ssx

sss

52

107lim

2

107limlim

00

s

s

ss

sstx

sst

tuetutxsssss

ssX t

12

1 250Re;2

12

15

2

107



2Re: sRH

Resposta Impulsional Função de Transferência

txthty tx th XHY RRRsXsHsY , XRsX ,

HRsH ,

HRsHth ,TL

2Re0,2

32

2

13

sss

s

sssY

0)Re(,1

ss

sXEx.Ex.SLIT

tutx 1 tuetuty t 12

13

??, HRsH

sX

sYsH

2

32

123

2

s

s

s

sss

)Re(s

)Im(s

32

XHY RRR

2Re0 s 0)Re( s



SLITs em série – propriedade da convoluçãoSLITs em série – propriedade da convolução


ty tx th2 th1 thth 21 tx ty

XRsX , 11 , RsH 22 , RsH YRsY , 21

21RRRC

sHsH

XRsX , YRsY ,




SLITs em paralelo – propriedade da linearidadeSLITs em paralelo – propriedade da linearidade

thth 21 tx ty ty tx

th2

th1

11 , RsH

22 , RsH

XRsX , YRsY , 21

21RRRCsHsH

XRsX , YRsY ,



Função de Transferência RealimentaçãoRealimentação

Analisar o SLIT no domínio do tempo não é simples;

Obter a expressão algébrica da função de transferência entre a entrada e a saída é imediato.

sX sY

sZ

sE sX sY sH1

sH 2

sYsHsZ 2

sYsHsXsZsXsE 2

sYsHsXsHsEsHsY 211

sXsHsYsHsH 1211

sHsH

sH

sX

sYsH

21

1

1



Equação Diferencial Função de Transferência

tySLIT

tx

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

00

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

00

TLTL

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

00

TLTLLinearidade

Diferenciação no tempo sXsbsYsa kM

kk

N

k

kk

00

sXsbsYsa kM

kk

N

k

kk

00

N

k

kk

kM

kk

sa

sb

sX

sYsH

0

0




tySLIT

tx

M

kk

k

k

N

kk

k

k txdt

dbty

dt

da

00

N

k

kk

kM

kk

sa

sbsH

0

0

A equação diferencial não dá informação sobre a região de convergência de . sH

É necessário informação adicional, nomeadamente sobre a estabilidade ou causalidade do SLIT, para inferir a região de convergência de . sH

E a região de convergência de ? sH




Ex.Ex. SLITcausal

tx ty txtytydt

d3

??, HRsH

sXsYssY 3

TL

3

1

ssX

sYsH

SLIT causal

3Re; s

sRe

sIm

3



Propriedades dos SLITs SLIT causal:SLIT causal: 0,0 tht

1. 1. th de duração limitada com 0iT

t

th

iT fT

A região de convergência de é todo o plano incluindo a recta

sHs sRe

Ex. 1Ex. 1

0;Re

0;Reexcluindoplano;

0

00

0

ts

tssesHttth st

t

th

00 t

sistema causal:

0tt

HRs Re

00 t

0tt

sistema não causal:

HRs Re





t

th

iT fT


sHs sRe

Ex. 2Ex. 2 fi TtuTtuth 11

0e0;Re

0e0;Re

0e0;Re

excluindoplano;1

fi

fi

fi

sTsT

TTs

TTs

TTs

ss

eesH fi

t

th

sistema causal:

HRs Re

iT fT

1

sistema não causal: HRs Re

iT fTiT fTsistema não causal:

HRs Re





t

th

iT fT


sHs sRe

ssRH Reexcluindoplano:

sRe

sIm

ssX

sYsH

sistema não causal

Ex. 3Ex. 3 txdt

dty

SLIT tx




A região de convergência de é a região do plano para a direita de uma recta paralela ao eixo imaginário, incluindo .

sHs

sRe

2. 2. th de duração ilimitada com 0iT

t

th

iT

…

Quando é uma função racional e a região de convergência é direita, incluir na região de convergência é equivalente a .

sH sRe zeros nº polosnº

Ex.Ex.

)Re(s

)Im(s

Sistema não causal

)Re(s

)Im(s

Sistema causal

)Re(s

)Im(s

Sistema não causal



condição necessária para que o sistema seja estável

1

dteeth tjt

js

Propriedades dos SLITs SLIT estável:SLIT estável:

dtth

dtethsH st

dteeth tjt

dteth t

Para , i.e., 0 js

dtthjH quando o SLIT é estável.

HR imaginário eixo

HR imaginário eixo e zeros nº polos nºestável SLIT

Para racional, a condição anterior é também condição suficiente desde que ,i.e.

sH zeros nº polos nº



tem 1 zero mas não tem polos sH

sistema instável


dtth


Ex.Ex. txdt

dty

SLIT tx

sRe

sIm

ssX

sYsH




dtth


Ex.Ex.

)Re(s

)Im(s

Sistema estável

)Re(s

)Im(s

Sistema instável

)Re(s

)Im(s

Sistema instável

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