CRUZ JUAREZ LUIS ROBERTO 2NV8

Defina los siguientes conceptos:

Que es la probabilidad:

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

Que es un fenómeno Deterministicos y un aleatorios:

En estadística, un fenómeno determinístico es aquel en que se obtiene siempre el mismo resultado bajo las mismas condiciones iníciales. La relación causa-efecto se conoce en su totalidad.

Experimento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iníciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia particular. (Ej: Lanzamiento de un dado). Este tipo de fenómeno es opuesto al fenómeno determinista, en el que conocer todos los factores de un experimento nos hace predecir exactamente el resultado del mismo.

Enfoques de la probabilidad:

El enfoque clásico: Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:

P(A) = __x__

(x+z)

El enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que cada resultado sea igualmente posible. Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite, (en caso de que pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra.

El enfoque de frecuencia relativa: También llamado Enfoque Empírico, determina la probabilidad sobre la base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un numero de observaciones. En este enfoque no ese utiliza la suposición previa de aleatoriedad. Porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación y recopilación de datos.

El enfoque subjetivo: Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.

Espacio muestral:

En la teoría de probabilidades se llama espacio muestral o espacio de muestreo al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos.

Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-álgebra F, por la cuál se define la medida de probabilidad P.

Población:

Población estadística, en estadística, también llamada universo o colectivo, es el conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan las observaciones

Evento:

Un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

Formalmente, sea Ω un espacio muestral, entonces un evento es un subconjunto

, donde (w1,w2,...) son una serie de posibles resultados.

Se dice que un evento A ocurre, si el resultado del experimento aleatorio es un elemento de A.

Permutación, combinación:

Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones:

1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a

la vez.

Combinaciones

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

Axiomas de la probabilidad:

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.

Tipos de probabilidad:

1) PROBABILIDAD CLÁSICA: Supone que todos los números tienen igual probabilidad de salir en una determinada tirada.

Se calcula dividiendo el número o la cantidad de números que elijamos sobre la cantidad total de números; es decir, por ejemplo, si queremos saber cuántas probabilidades tenemos de que salga un número par al tirar un dado, calcularemos de la siguiente manera: un dado tiene 6 caras, y los números pares son 3 (2,4 y 6). O sea, 3/6= 50% de probabilidades de obtener un número par.

2) PROBABILIDAD ESTADÍSTICA: Se utiliza este tipo de probabilidad cuando la posibilidad que salga un determinado número no es igualmente probable en todos los casos. Lo mejor, en estos casos, es anotar en cada tirada qué número sale e ir formándonos mentalmente un espectro de posibilidades que salgan con mayor frecuencia.

Si observáramos un dado cargado, por ejemplo, y lo estudiásemos, podríamos darnos cuanta de tal factor al ver que la posibilidad de que salga un 5 es de 7/10 en vez de 1/6, como sucedería si el dado fuese normal.

3) PROBABILIDAD INDUCTIVA: En toda tirada, existe cierto grado de credibilidad y verosimilitud que los estudiosos de la materia atribuyen a ciertas leyes y a ciertas teorías. Esta probabilidad se utiliza cuando no conocemos la naturaleza de lo que estamos observando, y cuando nuestra observación se vuelve insuficiente como para llegar a poder formular una ecuación valedera.

Por ejemplo, un estudioso de los astros, basándose en todos sus conocimientos sobre la ciencia, la astronomía y las matemáticas, puede llegar a concluir que la existencia de los

agujeros negros es más probable que su inexistencia. Podemos aplicar esta probabilidad en el casino basándonos en una mezcla exacta de observación, deducción e instinto.

Leyes de la probabilidad:

Análisis combinatorioEn ocasiones el trabajo de enumerar los posibles sucesos que ocurren en una situación dada se convierte en algo difícil de lograr o, simplemente, tedioso. El análisis combinatorio, o cálculo combinatorio, permite enumerar tales casos o sucesos y así obtener la probabilidad de eventos más complejos.En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que contar el número de veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello se utiliza el principio fundamental de conteo:Si un suceso se puede presentar de n1 formas, y otro se puede presentar de n2 formas, entonces el número de formas en que ambos sucesos pueden presentarse en ese orden es de n1·n2.En otras palabras, basta multiplicar el número de formas en que se pueden presentar cada uno de los sucesos a observar.Este principio nos remite automáticamente al factorial de un número natural, que se puede pensar como una función con dominio los números naturales junto con el cero y codominio los números naturales. El factorial de un número n, denotado n!, se define como:

Ahora, n es muy grande el proceso de cálculo se vuelve tedioso y muy cargado, incluso para una computadora, por lo que se utiliza la aproximación de Stirling a n!:

donde e2.71828..., que es la base de los logaritmos neperianos.En Excel existe la función FACT(n) que calcula el factorial de un número entero no negativo n.  En el análisis combinatorio se definen las permutaciones, con o sin repetición, y las combinaciones.2.2 Permutaciones (u ordenaciones) con repeticiónLas permutaciones son también conocidas como ordenaciones, y de hecho toman este nombre porque son ordenaciones de r objetos de n dados. En este curso las representaremos como ORn

r ó nORr.Por ejemplo: Sea A={a,b,c,d}, ¿cuántas "palabras" de dos letras se pueden obtener?Se pide formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de letras es 4. En este caso r=2 y n=4.Las "palabras" formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd. En total son 16.En general, si se toman r objetos de n, la cantidad de permutaciones u ordenaciones con repetición obtenidas son:

ORnr = nORr = n r

2.3 Permutaciones (u ordenaciones) sin repeticiónEn este caso, a diferencia del anterior, se realizan ordenaciones de r objetos de n dados atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. Su representación será Pn

r ó nPr.Por ejemplo: Sea el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántas ordenaciones sin repetición se pueden obtener?Lo que resulta es: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. Son 12 en total.En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de permutaciones

Pnr = nPr =

El Excel cuenta con la función PERMUTACIONES(n,r) que realiza el cálculo.

2.4 CombinacionesEs una selección de r objetos de n dados sin atender a la ordenación de los mismos. Es decir, es la obtención de subcojuntos, de r elementos cada uno, a partir de un conjunto inicial de n

elementos. La denotaremos con Cnr, nCr ó .

Por ejemplo: Si tomamos el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántos subconjuntos de 2 elementos cada uno se pueden obtener?Haciéndolos se obtienen: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}. Son seis los subconjuntos.En general, si de n objetos dados se hacen combinaciones de r objetos cada una, el número de combinaciones obtenidas son:

Cnr = nCr =

o, que es lo mismo,

Cnr = nCr =

En Excel la función COMBINAT(n,r) calcula las combinaciones de n objetos tomando r de ellos.

3. EventosCuando se realiza un experimento, que es cualquier proceso que produce un resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de valores. A este conjunto de valores que puede tomar una variable se le denomina espacio muestral.Por ejemplo: Si se tiene un dado cualquiera, el espacio muestral (EM) es EM={1,2,3,4,5,6}.Si existen más de una variable, el espacio muestral está formado por las combinaciones de valores de cada una de las variables.Si tomamos un subconjunto cualquiera del espacio muestral tenemos lo que se denomina un evento, y si éste consta de un solo elemento entonces es un evento elemental.Como se puede uno imaginar, existen eventos que siempre, no importa el número de experimentos o su situación, ocurren, y en cambio existen otros que nunca ocurren. Los que siempre ocurren son los eventos seguros, y los que nunca son los eventos imposibles.Sin embargo, no todos los resultados son al azar, pues si un experimento es cualquier proceso entonces los resultados pueden tomar cualquier tipo de valor. Por esta razón, se define como experimento aleatorio al proceso en el que se pueden predecir con certeza la ocurrencia de sus eventos, con excepción del seguro o del imposible. Hay que hacer la observación que esta definición habla en términos generales y no específicamente sobre algún experimento en particular.A aquélla variable que está asociada a un experimento de este tipo se le denomina variable aleatoria.En cambio, a un experimento no aleatorio se le denomina experimento determinístico.Cuando hablamos de varios eventos dentro del mismo experimento se pueden dar varios casos.Si dos o más eventos no pueden ocurrir simultáneamente, se llaman eventos mutuamente excluyentes, es decir, que la intersección de ambos eventos es vacía.Por otro lado, en ocasiones un evento o más eventos dependen de otro evento previo, es decir, un evento A ocurre dado que ocurrió un evento B. Si existe este tipo de relación entre eventos se dice que son eventos dependientes o condicionados (el evento A depende del evento B, o el resultado del evento A está condicionado al resultado del evento B). Por otro lado, si no existe tal relación entre eventos se dice que son eventos independientes. Los criterios de dependencia o de independencia se definirán más adelante, en términos de probabilidad condicional.

4. Probabilidad de eventosPara calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se comporten de una maner más o menos estable. Precisamente, se echa mano de la regularidad estadística, que es la propiedad de los fenómenos aleatorios, y que consiste en que al aumentar el número de repeticiones de un experimento en condiciones prácticamente constantes, la frecuencia relativa de ocurrencia para cada evento tiende a un valor fijo.

Sin embargo, al momento de definir la probabilidad de un evento podemos tomar en cuenta los siguientes criterios:

1. La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica, aunque en la vida diaria es de las más comúnes que se utilizan al no apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no en resultados estadísticos.

2. La probabilidad frecuencial de un evento es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadística. Esta definición sería la más real, pero proporciona probabilidades aproximadas, es decir, proporciona estimaciones y no valores reales. Además, los resultados son a posteriori, pues se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo. (Para ver un ejemplo haz click aquí.)

3. La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:

Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir.

5. Axiomas de la probabilidadRecordemos primero que las frecuencias relativas de una distribución tenían las siguientes propiedades:

1. Las frecuencias relativas son mayores o iguales que cero. 2. La frecuencia relativa del espacio muestral es igual a la unidad. 3. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, es decir que no ocurren simultáneamente,

entonces la frecuencia relativa de su unión es la suma de las frecuencias relativas de cada uno.

Tomando en cuenta que la probabilidad de un evento, de acuerdo a la definición ya expuesta, es la frecuencia relativa cuando se aumenta el tamaño de la muestra, se tienen lo siguiente.Si E es un evento de un espacio muestral S y P(E) es la probabilidad de E, entonces se satisfacen los axiomas de la probabilidad:

1. 0 P(E)1.

2. P(S) = 1. 3. Si E1, E2, ... , En son eventos mutuamente excluyentes, entonces

Con estos axiomas podremos tratar algunas de las propiedades de la probabilidad de eventos.

6. Posibilidades y probabilidadesSe habla muy comúnmente en sitios de apuestas, como en las autódromos o hipódromos, de que "las apuestas a tal o cual participante es de x a y", es decir, que las posibilidades de que gane es de x a y. Esta manera de expresarse se refiere al uso de razones.En términos generales, la posibilidad de que ocurra un evento se determina mediante la razón de la probabilidad de que ocurra a la probabilidad de que no ocurra.Esto quiere decir que si la probabilidad de que un evento ocurra es p, entonces las posibilidades de que ocurra son x a y, es decir

Tales que x y y son enteros positivos.Por ejemplo: Si se tiran dos monedas normales (no trucadas), la probabilidad de que las dos monedas caigan cara es de ¼. Esto quiere decir si alguien apuesta a que las dos monedas no caen simultáneamente en cara, la posibilidad de ganar la apuesta es de

es decir, 3 a 1.Hemos de considerar que si es mayor la probabilidad de que no ocurra un evento, entonces se acostumbra mencionar las posibilidades en contra del evento.Por ejemplo: Si se tira un dado no trucado, sabemos que la probabilidad de obtener un cuatro es 1/6, es decir que la posibilidad de obtener un cuatro es de 1 a 6; pero se acostumbra decir que las posibilidades en contra, esto es, de no obtener un cuatro es de 6 a 1.Inversamente, en el caso de tener las posibilidades de un evento, entonces es fácil obtener su probabilidad, pues si la posibilidad de un evento es de x a y, entonces la probabilidad p de que ocurra tal evento es

Por ejemplo: En la Copa Mundial de Futbol Francia 1998 se decía que el equipo mexicano tenía una posibilidad de 1 a 75 de llegar a ser el campeón del torneo.Si se desea encontrar la probabilidad de que el equipo mexicano llegase a ser campeón, entonces se tiene que

es la probabilidad de que ocurriese el evento.Esto tiene la ventaja de que permite, en combinación con el tercer axioma de la probabilidad, medir la confiabilidad que tienen las opiniones de las personas sobre las posibilidades que le asignan a algunos eventos. Esto quiere decir que el cálculo de las probabilidades de dos eventos mutuamente excluyentes a partir de las posibilidades otorgadas de manera subjetiva resulta como un criterio de consistencia.Por ejemplo: Un criminólogo piensa que las posibilidades de que en la próxima semana la cantidad de delitos en una ciudad aumente con respecto a la anterior es de 5 a 2, de que sea la misma cantidad de delitos es de 1 a 3 y las posibilidades de que aumente la cantidad o sea la misma es de 7 a 4.Si se desea saber si son consistentes las probabilidades correspondientes habría que hacer los cálculos.Las probabilidades de aumente la cantidad de delitos, sea igual la cantidad de delitos, y de que aumente o sea igual la cantidad de delitos es, respectivamente, de

y dado que (como son eventos mutuamente excluyentes) no es lo mismo que 7/11, entonces los criterios del criminólogo pueden ser cuestionados.

7. Propiedades de la probabilidad de eventos no elementalesCuando se tienen eventos elementales no existe mucho problema en el sentido del cálculo de las probabilidades, pues basta con una contabilización o el uso directo del cálculo combinatorio. Pero en el caso de eventos no elementales, que son los compuestos por más de un evento elemental, el proceder de manera análoga resulta muy complejo y las operaciones pueden sobrepasar la capacidad de cálculo existente. Sin embargo, utilizando los axiomas de la probabilidad y las siguientes propiedades, se podrán expresar las probabilidades de estos eventos en términos de los eventos elementales que lo componen, siempre y cuando se conozcan las probabilidades de éstos.Veamos la probabilidad de una unión de eventos, la cual la podremos calcular de la siguiente manera:Propiedad 1. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B, menos la probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente. Es decir,

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Ahora, si el caso es que los eventos sean mutuamente excluyentes se tiene:Propiedad 2. Si dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B. Es decir

P(AB) = P(A) + P(B)

Otra propiedad que se deriva de las anteriores es cuando se busca la probabilidad del complemento de un evento E, que denotaremos como ~E:Propiedad 3. Si E es un evento y ~E su complemento, entonces

P(~E) = 1 - P(E)

Retomando los conceptos de eventos dependientes o condicionales, se va a definir la probabilidad condicional como sigue:Propiedad 4. La probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurrió el evento B (el evento A depende del evento B), denotado P(A|B), es:

Hay que notar que esta propiedad no es conmutativa, situación que sí ocurre con la probabilidad de unión o la intersección de eventos, por lo que no hay que confundir P(A|B) y P(B|A).

Finalmente, el criterio para la independencia de eventos queda como sigue:Propiedad 5. Dos eventos A y B son independientes si y sólo si

P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B)o, que es lo mismo:

P(AB) = P(A) · P(B)

Teorema de Bayes:

En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763 [1] que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber -si se tiene algún dato más-, la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados

Resolver los siguientes casos:Un club tiene 10 miembros que desean elegir una mesa directiva de un Presidente, un vicepresidente y un secretario ¿Cuántas formas existen para seleccionar a estas personas?

Se tienen cuatro libros distintos de matemáticas, tres libros iguales de derecho, tres libros distintos de economía, tres libros iguales de administración y dos iguales de filosofía. Se desean acomodar en un estante donde caben quince libros.Determine:

a.De Cuantas maneras se pueden acomodar los libros?b.¿De cuantas maneras se pueden acomodar si queremos que los libros de derecho queden juntosc.¿De cuantas maneras se pueden acomodar si se desean que queden acomodados por materia y los de

filosofía al final?Se llevo a cabo un estudio sobre los hábitos de compra de mil personas en un supermercado dando la siguiente información:10 fueron hombres jóvenes compradores200 fueron compradores40 fueron mujeres jóvenes compradoras270 fueron hombres no compradores60 fueron hombres jóvenes300 fueron hombres190 mujeres jóvenesElabore una tabla de contingencias y determine todas las probabilidades, establezca un árbol de decisión e interprete toda la información.

Teorema de Bayes.

Resolver los siguientes casos:

Un club tiene 10 miembros que desean elegir una mesa directiva de un Presidente, un vicepresidente y un secretario ¿Cuántas formas existen para seleccionar a estas personas?

Se tienen cuatro libros distintos de matemáticas, tres libros iguales de derecho, tres libros distintos de economía, tres libros iguales de administración y dos iguales de filosofía. Se desean acomodar en un estante donde caben quince libros.

Determine:

a.De Cuantas maneras se pueden acomodar los libros?

b.¿De cuantas maneras se pueden acomodar si queremos que los libros de derecho queden juntos

c.¿De cuantas maneras se pueden acomodar si se desean que queden acomodados por materia y los de filosofía al final?

Se llevo a cabo un estudio sobre los hábitos de compra de mil personas en un supermercado dando la siguiente información:

10 fueron hombres jóvenes compradores

200 fueron compradores

40 fueron mujeres jóvenes compradoras

270 fueron hombres no compradores

60 fueron hombres jóvenes

300 fueron hombres

190 mujeres jóvenes

Elabore una tabla de contingencias y determine todas las probabilidades, establezca un árbol de decisión e interprete toda la información.

A CONTINUACION SE ANEXAN LOS EJERCICIOS.