Liceo Cardenal Caro Nivel Segundo Medio Departamento de Matemática Reforzamiento

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Guía N° 22

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Contenidos: Ángulos en la circunferencia.

Objetivos:

Reconocer elementos de una circunferencia. Conocer teoremas relacionados con los ángulos de la circunferencia. Resolver problemas aplicando teoremas de una circunferencia.

Definiciones:

Circunferencia: dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O

y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto

O

Radio: trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de esta

(𝑂𝐴̅̅ ̅̅ ).

Cuerda: trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia (𝐷𝐸̅̅ ̅̅ )

Diámetro: cuerda que contiene al centro de la circunferencia (𝐵𝐶̅̅ ̅̅ )

Secante: recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (𝑃𝑄̅̅ ̅̅ )

Tangente: recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (𝑇𝑀̅̅̅̅̅). T punto de tangencia.

Arco: es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella (𝐶 𝐸̅̅ ̅̅̅).

Ángulo del Centro: Es todo ángulo interior cuyo vértice E es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma (∢𝐹𝑂𝐸).

Ángulo Inscrito: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ésta (∢𝐹𝐷𝐸)

Ángulo Externo: Es todo ángulo formado por secantes fuera de la circunferencia (∢𝐴𝐷𝐵).

Ángulo Interno: Es todo ángulo formado por cuerdas al interior de la circunferencia (∢𝐴𝐶 𝐵).

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Propiedades

Con respecto a los ángulos que se forman al interior de una circunferencia, se cumple que

1. En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco.

2. Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

Obs 1 Si β es un ángulo inscrito que subtiende el 𝐴�̂� y 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es diámetro, entonces 𝛽 = 90°

3. Todo ángulo interno a una circunferencia tiene como medida la semisuma entre los arcos comprendidos por las cuerdas que lo forman.

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4. Todo ángulo externo a una circunferencia tiene como medida la semidiferencia entre los arcos comprendidos por las secantes que lo forman.

𝐵�̂� − 𝐶�̂�

2= 𝛿

Obs 2 En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.

Obs 3 La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Obs 4 Varios ángulos inscritos formando el mismo arco poseen la misma medida

Obs 5 un ángulo formado por una cuerda y una tangente se llama ángulo semi-inscrito y mide la mitad del arco que subtiende.

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I. Clasifica los siguientes ángulos: en ángulo de centro, ángulo inscrito ángulo semi-inscrito, ángulo interior, ángulo exterior.

1)

X es: _____________

2)

X es: _____________

3)

X es: _____________

4)

X es: _____________

5)

X es: _____________

6)

X es: _____________

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7)

X es: _____________

8)

X es: _____________

9)

X es: _____________

10)

X es: _____________

11)

X es: _____________

12)

X es: ________

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II. Determine el valor de los ángulos o incógnitas que se piden a continuación.

1. 2.

3. 4. Los arcos AC y BD de la figura miden 144° 𝑦 76°, respectivamente, ¿Cuál es la medida del ángulo APC?

5. Si BC es tangente a la circunferencia, y el arco BC mide 250°.Determine la medida del ángulo ABC

6. Si el arco AC mide 94°y el BC mide 108°. Determine la medida del ángulo ABC

7. Si el arco CA=86° y el arco DB=144°. Determine la medida del ángulo APD

8. Sea la recta AB tangente a la circunferencia. Determine la medida del arco AC

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9. 10. Si al andulo ADP mide 75° y el arco BD mide 95°, determine la medida del arco AC

11. Si BC es tangente a la circunferencia, determine la medida del arco BA

12.

13. ¿Cuál es el valor de 𝛼?

14. El ángulo APC mide 38º y arco AC mide 145º, ¿Cuál es la medida del arco BD?

15. ¿Cuál es la medida del arco AB?

16. Si se sabe que 𝛼 = 35º, 𝛽 = 45º, ¿cuál es la medida de x?

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17. Si el ángulo DAC = 48º, Calcula el valor de x

18. Arco BD=20º y ángulo BCD=15º, ¿Cuánto vale el arco EFA?

19. Calcula los valores de X e Y 20. En la figura AB es diámetro AB//CD. El arco DC mide 106º, ¿Cuánto mide el ángulo BAD?