Upload
dinhphuc
View
217
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 1
Teoria dei segnali
Unità 2Sistemi lineari
2
Sistemi lineari
Definizioni e concetti di base
Concetti avanzati
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 2
Sistemi lineari
Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
4
Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
Definizione
Risposta all’impulso e funzione di trasferimento
Fisica realizzabilità di un sistema LTI
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 3
Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
Definizioni
6
t
( )tx ( )ty
t
( )x t sistema ( )y tsistema
( ){ }S x t
Che cos’è un sistema
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 4
7
Esempi di sistema
Filtri realizzati come circuiti elettronici“Equalizzatori” nei sistemi audio“Equalizzatori” nei ricevitori per telecomunicazioniProcessori di segnale di varia natura
8
Sistemi lineari
Detto x(t) il segnale di ingresso ad un sistemalineare ed y(t) la sua uscita, un sistema si dice lineare se il segnale di ingressox(t)=a1x1(t)+a2x2(t) ha come uscitay(t)=a1y1(t)+a2y2(t) per ogni tIn questo caso vale il principio di“sovrapposizione degli effetti”: l’uscita del sistema somma linearmente i contributi dellevarie componenti del segnale di ingresso
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 5
9
Sistemi tempo-invarianti
Detto x(t) il segnale di ingresso ad un sistema ed y(t) la sua uscita, il sistema si dice tempo-invariante se, fissato un certo ritardo T, il segnaledi ingresso x(t-T) ha come uscita y(t-T) per ogni tOvvero, ritardando di T l’applicazione del segnaledi ingresso si ottiene la stessa uscita, ritardataanch’essa di TI sistemi tempo-invarianti sono buoni modelli disistemi i cui parametri non variano nel tempoEsistono però anche sistemi per cui la tempo-invarianza non è un buon modello
10
( ){ }txS
NON LINEARE
( ){ }txLLINEARE
Classificazioni dei sistemi
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 6
11
tempoinvarianteLTI
tempo varianteLTV
( ){ }txS
NON LINEARE
( ){ }txLLINEARE
Classificazioni dei sistemi
12
Sistemi con memoria
I sistemi, lineari o non lineari, possono esseresenza memoria, se il valore dell’uscita all’istante tdipende solo dal valore dell’ingresso all’istante tcon memoria in tutti gli altri casi
Esempi:
( ) | ( ) |
( ) ( )t
y t x t
y t x u du−∞
=
= ∫
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 7
13
Sistemi con memoria
Un sistema senza memoria è generalmente piùsemplice da realizzare di uno con memoriaUn sistema con memoria ha maggiore potenzialedal punto di vista dell’elaborazione del segnale
per esempio, il concetto di frequenza di un segnaleè legato al valore del segnale non in un solo istante, ma in un intervallo; quindi elaborare ilcontenuto armonico di un segnale generalmenterichiede l’uso di un sistema con memoria
14
Esempi di sistemi
Esempi:
∫ ∞−=
==
tdxty
txtytaxty
ττ )()(
|)(|)()()( lineare, tempo-invariante, senza memoria
non lineare, tempo-invariante, senza memoria
lineare, tempo-invariante, con memoria
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 8
15
Sistemi LTI
In questo corso ci occuperemo principalmente disistemi lineari e tempo-invarianti (LTI)Per questi sistemi è facile dare una precisacaratterizzazione matematicaObiettivo: trovare un modello dei sistemi LTI chepermetta di calcolare il segnale di uscita dati
il segnale di ingressouna descrizione matematica del comportamentodel sistema
16
LTI
Risposta nel tempo
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 9
17
t
( )ti
LTI
Risposta nel tempo
18
t
( )ti
t
( )tu
LTI
Risposta nel tempo
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 10
19
t
( )ti
t
( )tu
t
( )Tti −2
LTI
T
LTI
Risposta nel tempo
20
t
( )Ttu −2
T
t
( )ti
t
( )tu
t
( )Tti −2
LTI
T
LTI
Risposta nel tempo
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 11
21
LTI( )Tti −5.0
tT
+
( )ti
t
Linearità e invarianza
22
( )tyLTI
( )Tti −5.0
tT
+
( )ti
t
Linearità e invarianza
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 12
23
( )tyLTI
( )Tti −5.0
tT
+
( )ti
t
t
( )Tti −5.0
( )ti
Linearità e invarianza
24
( )ty
invarianza
t
( )ty
LTI( )Tti −5.0
tT
+
( )ti
t
t
( )Tti −5.0
( )ti
Linearità e invarianza
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 13
25
( )ty
t
linearità
( )ty
invarianza
t
( )ty
LTI( )Tti −5.0
tT
+
( )ti
t
t
( )Tti −5.0
( )ti
Linearità e invarianza
26
( ) ( )∑ −≅ ittitx iα
( ) ( )∑ −≅ ittuty iα
Risposta a x(t) generico
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 14
27
Risposta a x(t) generico
28
Risposta a x(t) generico
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 15
Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
Risposta all’impulso e funzione di trasferimento
30
( )ti1
T t
area=1
( ) ( )1ii
x t i t iTα≅ −∑
( ) ( )iy t u t iTα≅ −∑
( )1 1i t dt+∞
−∞
=∫ ( )i x iTα =
Risposta all’impulso
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 16
31
( )ti1
T t
area=1
( ) ( )1ii
x t i t iTα≅ −∑
( ) ( )iy t u t iTα≅ −∑
( )1 1i t dt+∞
−∞
=∫area=1
t
( )ti2
( )i x iTα =
Risposta all’impulso
32
( )ti1
T t
area=1
( ) ( )1ii
x t i t iTα≅ −∑
( ) ( )iy t u t iTα≅ −∑
( )1 1i t dt+∞
−∞
=∫area=1
t
( )ti2
)(iTxi =α
( ) ( ) ( )x t x t dϑ δ ϑ ϑ+∞
−∞
= −∫
( ) ( ) ( )y t x h t dϑ ϑ ϑ+∞
−∞
= −∫
t
( ) 1t dtδ+ ∞
− ∞
=∫
( )tδ
Risposta all’impulso
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 17
33
( )ti1
T t
area=1
( ) ( )1ii
x t i t iTα≅ −∑
( ) ( )iy t u t iTα≅ −∑
( )1 1i t dt+∞
−∞
=∫
( )tδ
t
( )th
t
rispostaall’impulso
area=1
t
( )ti2
( )i x iTα =
( ) ( ) ( )x t x t dϑ δ ϑ ϑ+∞
−∞
= −∫
( ) ( ) ( )y t x h t dϑ ϑ ϑ+∞
−∞
= −∫
t
( ) 1t dtδ+ ∞
− ∞
=∫
( )tδ
Risposta all’impulso
34
Risposta all’impulso
y(t)=S[x(t)]Scriviamo x(t) tramite le delta di Dirac:
Ora otteniamo l’uscita del sistema applicandol’operatore S:
∫+∞
∞−−= duutuxtx )()()( δ
{ }∫+∞
∞−−== duutuxStxSty )()()}({)( δ
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 18
35
Risposta all’impulso
Possiamo scambiare l’ordine di due operatorilineari:
Definiamo quindi
{ }
{ }∫∫
∞+
∞−
+∞
∞−
−=
=−=
duutSux
duutuxSty
)()(
)()()(
δ
δ
{ })()( tSth δ=
36
Risposta all’impulso
Per la tempo-invarianza del sistema
e quindi
Definiamo infine il prodotto di convoluzione:
{ })()( utSuth −=− δ
∫+∞
∞−−= duuthuxty )()()(
∫+∞
∞−−= duutyuxtytx )()()(*)(
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 19
37
Risposta all’impulso
Questo ci porta a scrivere la relazione ingresso-uscita come
La è detta “risposta all’impulso” del sistema LTI Questa funzione descrive il sistema in modounivocoPuò però essere difficile da calcolare per via delladefinizione di tipo integrale
)(*)()( thtxty =
{ })()( tSth δ=
38
Convoluzione
Definizione:
Calcolo grafico:
( ) ( ) ( )( ) * ( )y t x t h t x u h t u du+∞
−∞
= = −∫
u
( )ux1
( )uh
u
( )uth −
t t
( )ty
1 121
tt+−1 121
2
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 20
39
Sistema causale
Nota:con uno dei due che può essere infinito
Un sistema LTI si dice causale se h(t)=0 per t<0
Questo significa che il sistema non produce uscitaprima che vi sia un ingresso applicato
)}(supp{)}(supp{)}(supp{ thtxty +=
40
Causalità e ritardo
Un sistema causale è generalmente un sistemache potenzialmente non introduce ritardo, perchénon c’è bisogno di campioni “futuri” del segnaleper generare l’uscita in un dato istanteSe il ritardo non è un problema, si può ritardaredi T l’emissione del campione di uscita all’istantet, così da poter utilizzare per l’elaborazione del segnale anche i campioni compresi tra t e t+T
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 21
41
Altri esempi di calcolo
Esempio 1
Esempio 2
[ ]
∑
∑∞+
−∞=
∞+
−∞=
−==
−=
−+=−+=
−+=
ii
ii
iTthathtxty
iTtatx
TtxtxTtttxty
Tttth
)()(*)()(
)()(
)(21)()(2
1)(*)()(
)(21)()(
δ
δδ
δδ
42
( )th( )tx ( )tydominio del tempo
La funzione di trasferimento
( ) ( ) ( )duuthuxty −= ∫+∞
∞−
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 22
43
( )th( )tx ( )ty
( ) ( ) ( )duuthuxty −= ∫+∞
∞−
dominio del tempo
dominio della frequenza
( )th( )tx ( ) ( ) ( )thtxty ∗=
( )fH( )fX ( ) ( ) ( )fHfXfY =
⇓⇓ ⇓F F F
convoluzione
prodotto
La funzione di trasferimento
44
La funzione di trasferimento
La funzione di trasferimento lega le trasformatedi Fourier dei segnali di ingresso e uscitaCome si vedrà tra poco, questa funzione cipermette di dare un’interpretazione del comportamento di un sistema LTI nel dominiodella frequenzaAbbiamo a disposizione due relazioni ingresso-uscita ciascuna delle quali definisceunivocamente il sistema LTI
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 23
45
La funzione di trasferimento
La relazione nel dominio del tempofornisce direttamente la forma d’onda di uscita del sistemail calcolo può essere complicatola risposta all’impulso è misurabile in laboratorio
La relazione nel dominio della frequenzafornisce lo spettro del segnale di uscitail calcolo non richiede la soluzione di un integraledi convoluzionela risposta all’impulso è misurabile in laboratoriola descrizione del sistema è più “intuitiva”, e puòfacilitare il progetto
46
φπ +tfjAe 02 ( ) ( )( )0020
ftfjefAM ϕφπ ++( )fH
0f f
)()( 022 0 ffAedteeAefX jftjjtfj −== ∫
+∞
∞−
− δφπφπ
Risposta in frequenza
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 24
47
φπ +tfjAe 02 ( ) ( )( )0020
ftfjefAM ϕφπ ++( )fH
0f f
)()( 022 0 ffAedteeAefX jftjjtfj −== ∫
+∞
∞−
− δφπφπ
)()()()()( 0 fHffAefHfXfY j −== δφ
Risposta in frequenza
48
φπ +tfjAe 02 ( ) ( )( )0020
ftfjefAM ϕφπ ++( )fH
0f f
)()( 022 0 ffAedteeAefX jftjjtfj −== ∫
+∞
∞−
− δφπφπ
)()()()()( 0 fHffAefHfXfY j −== δφ
( ) ( ) ( )j fH f M f e ϕ=
Risposta in frequenza
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 25
49
φπ +tfjAe 02 ( ) ( )( )0020
ftfjefAM ϕφπ ++( )fH
0f f
)()( 022 0 ffAedteeAefX jftjjtfj −== ∫
+∞
∞−
− δφπφπ
)()()()()( 0 fHffAefHfXfY j −== δφ
( ) ( ) ( )j fH f M f e ϕ=
( ) ( )( )
( ) ( )( )00
0
20
00
)(
)()(ftfj
fj
efAMty
ffefAMfYϕφπ
ϕφ δ++
+
=
−=
Risposta in frequenza
50
( )fH
0f f
0cos2A f t Aπ → ( ) ( )( )0 0 0cos 2M f f t fπ ϕ+
( ) ( ) ( )( )000 20
2 ftfjtfj efAMAe ϕφπφπ +++ →
φπ +tfjAe 02 ( ) ( )( )0020
ftfjefAM ϕφπ ++
Risposta in frequenza
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 26
51
Interpretazione della risposta in frequenza
Entra una sinusoide a frequenza f0Esce una sinusoide a frequenza f0
la funzione di trasferimento modula ampiezza e fase della sinusoide
La funzione di trasferimento modifica il segnale diingresso “frequenza per frequenza”
( ) ( )00 02 20 fj f t j f te M f e eϕπ π→
52
Interpretazione della risposta in frequenza
La sinusoide complessa agisce come un “autovettore” del sistema LTI
xAx λ=
( )
( ) ( )0
0
00
2
)(
)(
)()}({
fj
tfj
efMfH
Aetx
txtxS
ϕ
φπ
λ
λ
==
=
=+
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 27
Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
Fisica realizzabilità di un sistema LTI
54
sistema reale
ℜ∈)(thLa risposta all’impulso è una funzione reale
sistema causale
0 0)( <= tthLa risposta all’impulso è nulla per t < 0
Condizioni di realizzabilità
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 28
55
Hid(f)=p2B(f)hid(t)=2B sinc(2Bt)
f
( )fHid
B− B
1
Il filtro ideale
56
( )fY
B− B f
f
( )fHid
B− B( )fX
f
1
Il filtro ideale
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 29
57
( )thid
tNon causale
Non fisicamente realizzabile
Il filtro ideale
( )fY
B− B f
f
( )fHid
B− B( )fX
f
1
58
non realizzabile
( )fH id
B− B f
1
Dal filtro ideale al filtro realizzabile
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 30
59
ancora non causale
( )thNC ( )fHNC1
t f
1−F
Dal filtro ideale al filtro realizzabile
( )fH id
B− B f
1
non realizzabile
60
( )thC ( )fHC1−F
t
modulo
( ) ( ) fTjNCfC efHH π2−=
fase f
Dal filtro ideale al filtro realizzabile
ancora non causale
( )thNC ( )fHNC1
t f
1−F
( )fH id
B− B f
1
non realizzabile
Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base
© 2005 Politecnico di Torino 31
61
non realizzabile
( )fHid
B− B f
1
ancora non causale
( )thNC ( )fHNC
1
t f
1−F
( )th1−F
t
( )fH
f
1
Dal filtro ideale al filtro realizzabile
( )thC ( )fHC1−F
t
modulo
( ) ( ) fTjNCfC efHH π2−=
fase f
62
BIBO (Bounded Input Bounded Output): ad un ingresso x(t) di ampiezza limitata corrispondeun’uscita y(t) di ampiezza limitata, ovvero
Questa definizione equivale a verificare la seguente condizione:
In alternativa si può usare la condizionenecessaria:
( )h t dt+∞
−∞
< ∞∫
( )H f < ∞
( ) ( ) x t t y t t< ∞ ∀ ⇒ < ∞ ∀
Sistema stabile