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Deflexiones
(contraflechas)
producidas por los
cables de
tensionamiento en las
vigas simples de
concreto
2017
I.C. ECCELINO FARÍAS GARCÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS - BOGOTÁ
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 1 de 38
DEFLEXIONES (CONTRAFLECHAS) PRODUCIDAS POR LOS CABLES DE
TENSIONAMIENTO EN LAS VIGAS SIMPLES DE CONCRETO
ECCELINO FARIAS
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 2 de 38
T1Introducción:
En general, las fórmulas más comunes de las deflexiones producidas por los
cables en las vigas preesforzadas se encuentran enunciadas, mas no deducidas, a
partir de la aplicación de los principios del análisis estructural. Por tanto,
consideramos importante, desde el punto de vista académico e investigativo,
acometer estas deducciones, tanto para las fórmulas conocidas como para
muchas otras de condiciones especiales que corresponde a la geometría real de
los cables.
Para este cometido, encontramos aplicable el principio de AREAS-MOMENTOS
derivado de la ecuación general de la línea elástica de las vigas. Dicho principio,
se encuentra enunciado en en el libro Resistencia de materiales, de Fred B. Seely
(1954), se basa en sus dos teoremas así:
I. “Cuando una viga recta es sometida a flexión, la diferencia de las
pendientes de la curva elástica en dos puntos cualesquiera está
representada en magnitud por el área limitada por el diagrama EIM y
las ordenadas levantadas en los puntos correspondientes”.
II. “Cuando una viga recta es sometida a flexión, la distancia de un punto
cualquiera (A) de la curva elástica, medida normalmente a la posición
original de la viga, a una tangente trazada a la curva elástica en otro
punto cualquiera (B), está representada en magnitud por el momento del
área del diagrama EIM , comprendida entre los dos puntos, con respecto
a una ordenada que pase por (A)”.
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 3 de 38
En estos enunciados, (M ) es el momento flexionante, ( E ) es el módulo de
elasticidad del material, e ( I ) es el momento de inercia de la sección con
respecto a su eje.
En el caso que nos ocupa, (M ) es el momento que produce en la viga el cable
tensionado tanto por la fuerza concentrada en el anclaje como por la carga
aproximadamente uniforme que produce la curvatura a lo largo de su cuerda.
Se ha procurado, además, lograr un coeficiente común ( EIL 82 ) en la mayoría de
las fórmulas para efectos comparativos.
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 4 de 38
T1Casos contemplados:
1) T2Cable recto de excentricidad constante (2y )
ELASTICA
L
F
M2 M2
y2
A
xG
L/2
tA
A B
EJE CENTROIDAL (E.C)
F
22 FyM
GA AXt
42
2 LL
EI
M
2
2
8M
EI
L
1
EI
M 2
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 5 de 38
2) T2Cable curvo (parabólico) con anclajes en el eje
ELASTICA
L
F
A
xG
L/2
tA
A B
G
E.C
f=y1
GA AXt
11 FyM
T3Cálculo de A
La ecuación de la parábola para la posición indicada es:
L
xf
L
xfy 44
2
2/
0
2/
0
2
44L L
dxL
xf
L
xfydxA
2/
0
22/
044
LL
dxL
xfdx
L
xfA
2/
0
22/
0
3
2
2/
0
2/
0
2
2 2
4
3
444LL
L L x
L
fx
L
fxdx
L
fdxx
L
fA
23
2
36
2
268
4
24
4 23
2
fLfLfL
fLfLL
L
fL
L
fA
EI
MEI
Mf 1
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 6 de 38
EI
LMA
23
2 1
T3Cálculo de GX
Por momentos estáticos:
xdxL
xf
L
xfyxdxAX
L L
G
2/
0
2/
0
2
44
2/
0
32/
0
2/
0
4
2
22/
0
3
2 3
4
4
444LL
LL
G
x
L
fx
L
fdxx
L
fdxx
L
fAX
61624
4
64
4 2234
2
fLfLL
L
fL
L
fAXG
222
48
5
48
8
48
3fL
fLfLAXG
28
5
16
5
23
248
5 2
LL
fL
fL
A
AXX G
G
1
22
11 54848
5
28
5
23
2M
EI
L
EI
LML
EI
LMAXG
O, finalmente: 1
2
658
MEI
L
Nota: En el centro de la luz 8
2
1
wLM siendo w la carga por metro lineal, en
este caso ascendente.
Luego; EI
wLwL
EI
L 422
384
5
86
5
8
: fórmula conocida.
2
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 7 de 38
3) T2Cable curvo (parabólico) con excentricidad del anclaje hacia abajo (2y )
L
F
E.C
y1
y2
M2 M2
Llamando 11 FyM ,
22 FyM
Y teniendo en cuenta que los dos momentos producen deflexión ascendente (del
mismo signo), sumamos las fórmulas y
1
2
2
2
6/588
MEI
LM
EI
L ; 21
2
6/58
MMEI
L
4) T2Cable curvo (parabólico) con excentricidad del anclaje hacia arriba (2y )
L
F
E.C
y1
y2
M2 M2
En este caso la carga ascendente del cable ( lmw / ) produce deflexión hacia
arriba pero la excentricidad del anclaje hacia arriba produce deflexión hacia
abajo, por tanto, de la fórmula se resta la fórmula :
2
2
2
2
86/5
8M
EI
LM
EI
L ; 21
2
6/58
MMEI
L
Siendo 11 FyM ,
22 FyM
1 2
3
1 2
4
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 8 de 38
5) T2Cable recto con quiebre en el centro de la luz y los anclajes en el eje de
la sección
ELASTICA
L
F
A
xG
L/2
tA
A B
G
E.C
y1
23
2
22
1 1 L
EI
MLt A
34
1 LL
EI
M
EI
LM
12
2
1
En otra forma: 1
2
3/28
MEI
L
Siendo 11 FyM
6) T2Cable recto con quiebre en el centro de la luz y con excentricidad del
anclaje hacia abajo (2y )
5
EI
MEI
M 1
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 9 de 38
L
F
E.Cy2
y1
M2 M2
En este caso se suman las fórmulas y
1
2
2
2
3/288
MEI
LM
EI
L ; 21
2
3/28
MMEI
L
Siendo 11 FyM ,
22 FyM
7) T2Cable recto con quiebre en el centro de la luz y con excentricidad del
anclaje hacia arriba (2y )
L
F
E.C y2
M2 M2
y1
En este caso se restará la fórmula de la fórmula :
2
2
1
2
83/2
8M
EI
LM
EI
L ; 21
2
3/28
MMEI
L
8) T2Cable con tres tramos rectos y anclajes en el eje de la sección
1 5
6
1 5
7
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 10 de 38
ELASTICA
L
F
tA
A B
E.C
y1
a L-2a a
4
2
2
2
3
2
2
11 aLa
EI
MaLa
EI
Ma
4
2
2
2
6
2 2
1 aLa
aLa
EI
M
8
2
2
2
3
222
1 aLaaLa
EI
M
8
44
2
2
3
2222
1 aaLLaaLa
EI
M
24
1212324128 2222
1 aaLLaaLa
EI
M
221 4324
aLEI
M
EI
MEI
M 1
EI
M 1
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 11 de 38
En otra forma:
3
4
83
43
8
221
22
1 aL
EI
MaL
EI
M
22
1
2
22
1 2
3
11
83
41
8 L
a
EI
LM
L
a
EI
LM
Finalmente:
2
11
2 2
38 L
aMM
EI
L
9) T2Cable con tres tramos rectos y anclajes abajo del eje de la sección
L
F
E.C
y1
a L-2a a
M2 M2
y2
En este caso se suma la fórmula a la fórmula :
2
11
2
2
2 2
388 L
aMM
EI
LM
EI
L
2
112
2 2
38 L
aMMM
EI
L
10) T2Cable con tres tramos rectos y anclajes arriba del eje de la sección:
8
1 8
9
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 12 de 38
L
F
E.C
y1
a L-2a a
y2
M2 M2
En este caso se restará la fórmula de la fórmula :
2
22
11
2
8
2
38M
EI
L
L
aMM
EI
L
2
121
2 2
38 L
aMMM
EI
L
11) T2Cable con tres tramos rectos, quiebres al tercio de la luz y anclajes en
el eje de la sección
L
F
E.C
y1
L/3 L/3 L/3
En un caso particular de la fórmula cuando 3/La
El término
22
L
aqueda:
9
4
9
4322
22
L
L
L
L
1 8
10
8
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 13 de 38
Reemplazando en la fórmula :
27
427
827
4
89
4
38
11
2
11
2
11
2 MM
EI
LMM
EI
LMM
EI
L
Finalmente:
1
2
27
23
8M
EI
L
12) T2Cable con tres tramos rectos, quiebres al tercio de la luz y anclajes
abajo del eje
En este caso se suma la fórmula a la fórmula
2
2
1
2
827
23
8M
EI
LM
EI
L
21
2
27
23
8MM
EI
L
13) T2Cable con tres tramos rectos, quiebres al tercio de la luz y anclajes
arriba del eje
8
11
1 11
12
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 14 de 38
L
F
E.C
L/3 L/3 L/3
M2 M2
y1
y2
En este caso se resta la fórmula de la fórmula :
2
2
1
2
827
23
8M
EI
LM
EI
L
21
2
27
23
8MM
EI
L
14) T2Cable con tres tramos rectos, quiebres al cuarto de la luz y anclajes en
el eje de la sección
L
F
E.C
y1
L/4 L/2 L/4
En un caso particular de la fórmula cuando 4/La
El término
22
L
aqueda
4
1
16
442
2
2
2
L
L
L
L
Reemplazando en la fórmula :
1 11
13
8
8
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 15 de 38
12
12
84
1
38
11
2
11
2 MM
EI
LMM
EI
L
Finalmente:
1
2
12
11
8M
EI
L
15) T2Cable con tres tramos rectos, quiebres al cuarto de la luz y anclajes
abajo del eje
L
F
E.C
L/4 L/2 L/4
y1
y2
M2 M2
En este caso se sumará la fórmula de la fórmula :
2
2
1
2
812
11
8M
EI
LM
EI
L
21
2
12
11
8MM
EI
L
16) T2Cable con tres tramos rectos, quiebres al cuarto de la luz y anclajes
arriba del eje
14
1 14
15
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 16 de 38
En este caso se resta la fórmula de la fórmula :
2
2
1
2
812
11
8M
EI
LM
EI
L
21
2
12
11
8MM
EI
L
T3Nota: Cálculo aproximado de la carga ascendente mlw/ del cable parabólico:
a) T4Parábola completa:
F˜HEJE
f
F
F FL
A
Debido a que los cables son muy tendidos, el ángulo ( ) es muy pequeño y la
componente horizontal (H) puede considerarse igual a (F).
0 AM
222
2/2
LwLLwFf
884
222 wLwLwLFf
2
8
L
Ffw
1 14
16
a
2
wL
w
2
wL
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 17 de 38
b) T4Media parábola:
EJE
f
F
L
AF
0 AM
wLLwL
Ff 2
2
22
222 wLwL
wLFf
2
2
L
Ffw (w se computa a partir de A)
17) T2Planteamiento de una fórmula general para viga simple de una luz
y2
Efectos del cable
F
E.C
f=y1
BA
BA
Cable
x1 a a x1
M2 M2
wL
w
b
l
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 18 de 38
BA
BA
x1 x1L-2x1
BA
tAELASTICA
L/2
11 FyM ; 22 FyM
21 MM
(-) para 2y (anclaje arriba del eje)
(+) para 2y (anclaje abajo del eje)
waRA 2
2
a
Ffw
22 FyM 11waxM x
222
2
1
22
1
2
11
wawax
wawawax
waaxwM aax
4228
5
23
2
23
2
2
11
2
11
3
11
2
1
2
1
1
lax
lwawaxax
waaxxwax
wax
EIM
4228
5
323111
2
11
3
1
1
lax
laxax
aaxax
x
EI
waM
β
EI
M1
EI
M 2
2
2wa
1wax
2M
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 19 de 38
Pero 2
12
a
Fyw según fórmula
4228
5
323
2111
2
11
3
1
2
1
1
lax
laxax
aaxax
x
EI
a
a
FyM
4228
5
323
2111
2
11
3
11
1
lax
laxax
aaxax
x
EIa
FyM
Ahora:
4
2
2
21 11
122
xLx
xLM
EIM
4
2
2
2 11
12
2
xLx
xL
EI
MM
4
2
2
2 11
12
2
xLx
xL
EI
FyM
Luego la fórmula general queda:
4
2
2
2
4228
5
323
2
11
12
111
2
11
3
11
xLx
xL
EI
Fy
lax
laxax
aaxax
x
EIa
Fy
b
β
17
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 20 de 38
T3Casos particulares:
18)
F
E.C
y1
a L a
y2
M2 M2
11 FyM , 22 FyM
Si en la fórmula se hace 01 x y el cable llega con excentricidad hacia
arriba en los extremos de la viga, tenemos:
EI
LFylala
EI
Fy
831210
24
2
2221
T4Si en la fórmula se hace 01 x y el cable llega centrado a los
extremos de la viga, tenemos:
F
E.C
a L a
M2 M2
y1
y2
17
18
17
l
l
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 21 de 38
EI
LFylala
EI
Fy
831210
24
2
2221
T4Si en la fórmula se hace 01 x y el cable llega centrado a los
extremos de la viga, tenemos:
F
E.C
a L a
y1
221 3121024
lalaEI
Fy
T4Si la fórmula se hace 0l y el cable totalmente parabólico llega con
excentricidad hacia arriba antes de los extremos de la viga, tenemos:
F
E.C
a ax1 x1
y2
M2 M2
y1
4
2
4
2
8
5
323
2 11
121
2
11
3
11 xLx
xL
EI
Fyax
aaxax
x
EIa
Fy
19
17
20
17
21
l
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 22 de 38
Observaciones:
a) T5 Si en la fórmula se hace 0l y el cable totalmente parabólico
llega con excentricidad hacia arriba en los extremos de la viga, tenemos:
L
F
E.C
y1
M2 M2
L/2 L/2
y2
2
La
EI
LFyL
EI
Fy
EI
LFyL
EI
Fy
84
10
248210
24
2
221
2
2
2
1
EI
LFyL
EI
Fy
EI
LFyL
EI
Fy
812
10
8810
96
2
221
2
221
21
2
21
2
6
5
812
10
8FyFy
EI
LFyFy
EI
L
Que es la misma fórmula
b) T5 Análogamente, si en la fórmula se hace 0l y el cable
totalmente parabólico llega con excentricidad hacia abajo en los extremos
de la viga, tenemos:
18
4
19
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 23 de 38
L
F
E.C
y1
y2
M2 M2
L/2 L/2
21
2
6
5
8FyFy
EI
L que es la misma formula
c) T5Finalmente, si el cable totalmente parabólico llega centrado a los
extremos de la viga ( 02 y ), tenemos:
L
F
E.C
y1
L/2 L/2
1
2
6
5
8Fy
EI
L Que es la misma fórmula
19) T2Cable en un volado con excentricidad constante
3
2
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 24 de 38
22 FyM
EI
LMLL
EI
M
22
2
22
2
2
48
MEI
L
20) T2Cable en un volado con concavidad positiva y el anclaje extremo en el
eje de la sección.
22
EI
M 2
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 25 de 38
11 FyM
Se trata de una parábola de eje vertical:
Ecuación: kyx 2 ; para Lx EI
My 1 ;
EI
MKL 12 ;
EI
M
LK
1
2
1
2
M
EILK ; y
M
EILx
1
22 ;
2
2
1
L
x
EI
My ;
2
1
L
x
EI
My
Deflexión GAX
Cálculo de A: dxxEIL
Mdx
L
x
EI
MydxA
LLL
0
2
2
1
2
0
1
0
EI
LML
EIL
Mx
EIL
MA
L
333
1
3
2
1
0
3
2
1
a
EI
M1
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 26 de 38
Cálculo de GX : dxxEIL
Mxdx
L
x
EI
MyxdxAX
LLL
G
0
3
2
1
2
0
1
0
EI
LM
EIL
LMx
EIL
MAX
L
G444
2
1
2
4
1
0
4
2
1
LEIML
EIML
A
AXX G
G4
3
3
42
1
22
1
444
3
3M
EI
L
EI
MLL
EI
LMAXG
1
2
28
MEI
L
Nota: En el apoyo 2
2
1
wLM , siendo w la carga ascendente por metro lineal
Luego:
EI
wLwL
EI
L
822
8
422
(Fórmula conocida).
21) T2Cable en un volado con concavidad positiva y anclaje extremo abajo
del eje
23
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 27 de 38
11 FyM , 22 FyM
Se restará la fórmula de la fórmula :
2
2
1
2
48
28
MEI
LM
EI
L
21
2
428
MMEI
L
22) T2Cable en un volado con concavidad positiva y el anclaje extremo arriba
del eje
11 FyM , 22 FyM
Se sumarán las fórmulas y :
1
2
2
2
28
48
MEI
LM
EI
L
21
2
428
MMEI
L
22 23
24
22 23
25
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 28 de 38
T3Caso en que el cable con concavidad positiva no llega al extremo del volado
y el anclaje extremo está centrado en la sección
11 FyM
2
2wL
21
1
2
1 28
MEI
a Según
)(2 aLtgaL , pero aEI
M 1
3
1 , fórmula
38
2
38
2
3
12
8
1
2
11
2 aLa
EI
aMaaL
a
EI
M
EI
MaaLM
EI
a
12
4
24
28
24
886
24
8
24
6 1111 aL
EI
aMaL
EI
aMaLa
EI
aMaLa
EI
aM
11
12
44
12M
EI
aLaaL
EI
aM
23
a
EI
M1
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 29 de 38
13/2
8
4M
EI
aLa
Observaciones:
a) T4Si en la fórmula se hace 2
La , queda:
1
22
1
22
1
22
1 3/232
83/2
8*4
83/2
8
42
4
3/28
2/42/M
EI
LLM
EI
LLM
EI
LL
MEI
LLL
1
2
1
2
1
2
12
14
896
143/2
32
7M
EI
LM
EI
LM
EI
L
1
2
6/78
MEI
L
b) T4 Aún más, si en la fórmula expresamos 1M en función de la
carga ascendente mlw/ :
82
2/
2
222
1
wLLwwaM
Luego:
86
7
8
22 wl
EI
L
EI
wL4
384
7
26
26
26`
26`
26``
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 30 de 38
T3Caso en que el cable con concavidad positiva no llega al extremo del volado
y el anclaje extremo abajo del eje
L
FE.C y1
y2
M2
L-a a
11 FyM , 22 FyM
Se restará la fórmula de la fórmula :
2
2
1 48
3/28
4M
EI
aM
EI
aLa
21 43/248
aMMaLEI
a
T3Caso en que el cable con concavidad positiva no llega al extremo del volado
y el anclaje extremo arriba del eje
L
F
E.C
y1
y2
L-a a
M2
11 FyM , 22 FyM
Se sumará la fórmula a la fórmula :
22 26
27
22 26
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 31 de 38
2
2
1 48
3/28
4M
EI
aM
EI
aLa
21 43248
aMMaLEI
a
23) T2Cable en un volado con concavidad negativa y el anclaje extremo en el
eje de la sección
2
2
11
wLFyM
El diagrama de momentos lo descomponemos en el que produce la reacción wL
del extremo del volado y en el que produce la carga w por metro lineal, en este
caso descendente. El primero produce deflexión ascendente a y el segundo
deflexión descendente b :
ba
28
w
wL
EI
wL2
EI
wL
2
2
ELASTICA
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 32 de 38
EI
wLL
EI
wLLa
33
2
2
1 42
EI
wLL
EI
wLLb
84
3
23
1 42
Ver
EI
wL
EI
wL
EI
wL
EI
wL
EI
wL 44444
24
5
24
3
24
8
83
38
10
24
10
224
10
2
2
24
5 1
2
1
22222 M
EI
LM
EI
LwL
EI
LwL
EI
L
1
2
3
10
8M
EI
L
24) T2Cable en un volado con concavidad negativa y el anclaje extremo
abajo del eje
11 FyM , 22 FyM
Se restará la fórmula de la fórmula :
2
2
1
2
483
10
8M
EI
LM
EI
L
23
29
22 29
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 33 de 38
21
2
43
10
8MM
EI
L
25) T2Cable en un volado con concavidad negativa y el anclaje extremo
arriba del eje
11 FyM , 22 FyM
Se sumará la fórmula a la fórmula
2
2
1
2
483
10
8M
EI
LM
EI
L
21
2
43
10
8MM
EI
L
T3Caso en que el cable con concavidad negativa no llega al extremo del
volado y el anclaje extremo está centrado en la sección
30
22 29
31
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 34 de 38
ELASTICA
11 FyM ó
2
2wa
21
1
2
1 3108
MEI
a según
aL 2
aEI
wa
EI
waa
23
1
2
1 22
según 1ª teorema.
11
233
323
2
3
2
236
1
2
1M
EI
a
EI
aM
EI
awa
EI
wa
EI
wa
12 3/2 MEI
aaL
29
EI
wa2
EI
wa
2
2
wa
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 35 de 38
11
2
323108
MEI
aaLM
EI
a
11
2
328
832
8
5M
EI
aaLM
EI
a
1
22
1
2
3/28
88532
8
85M
EI
aaLaM
EI
aaLa
1
2
3/28
38M
EI
aaL
13/28
38M
EI
aLa
T3Caso en que el cable con concavidad negativa no llega al extremo del
volado y el anclaje extremo abajo del eje
L
F
E.C y1
y2
M2
L-a a
11 FyM , 22 FyM
La fórmula se resta de la fórmula :
2
2
1 48
3/28
38M
EI
aM
EI
aLa
;
32
22 32
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 36 de 38
21 432388
aMMaLEI
a
T3Caso en que el cable con concavidad negativa no llega al extremo del
volado y el anclaje extremo arriba del eje
L
F
E.C
y1
y2
L-a a
M2
11 FyM , 22 FyM
La fórmula se sumará a la fórmula
2
2
1 48
3/28
38M
EI
aM
EI
aLa
21 432388
aMMaLEI
a
t2 Conclusiones
Las fórmulas anteriores están referidas, obviamente, a la actuación de un cable
individual en cada caso analizado. Si actúan varios cables, como es el caso
frecuente, se sumarán sus efectos. No me parece aconsejable, como indican
algunos autores, que se pueda proceder con el cable medio, es decir, con el
33
22 32
34
Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 37 de 38
cable resultante de todos, pues éste puede tener variaciones bruscas
especialmente cuando algunos de los cables afloran a la cara superior de las vigas
antes de llegar a los apoyos, lo cual es frecuente en las vigas de los puentes.
T1BIBLIOGRAFIA:
Fred, B. & Seely, M.S. (1954). Resistencia de materiales.
Lin, T. Y. (1978). Diseño de Estructuras de Concreto Presforzado.
Nilson, A. H. (1982). Diseño de Estructuras de Concreto Presforzado.