Demonstratia Inegalitatii lui Tiberiu POPOVICIU

Enunt:

Fie f o functie reala,convexa pe intervalul I. Atunci pentru orice x,y,z∈I are loc inegalitatea

(TP) f ( x )+ f ( y )+ f (z)

3+f ( x+ y+z3 )≥ 23 [ f ( x+ y2 )+ f ( y+z2 )+f ( z+x2 )] .

Pentru (TP) este citata T. Popoviciu Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes, Analele Stiintifice ale Univ. Iasi, Sectia I-a Mat, 11B, 1965, pp. 155-164.

Demonstratie, dupa Mircea BECHEANU, Bogdan ENESCU Inegalitati elementare…si mai putin elementare, editura Gil, Zalau, 2002,pp 63-64.

Folosim inegalitatea caracteristica functiilor convexe

(IC) f (∝ x+ (1−∝ ) y )≤∝ f ( x )+ (1−∝ ) f ( y )

unde x,y ∈I iar ∝∈[0,1] .

Putem presupune fara a restrange generalitatea ca x≤ y ≤ z.

Atunci avem ordonarile

x≤x+ y2≤{ x+ y+z3

x+z2

}≤ y+z2 ≤ z .

Au loc si evaluarile

x+ y+z3

–x+ y2

=2 z−x− y

6=

(z−x )+(z− y )6

≥0 ,

x+ y+z3

–x+z2

=2 y−x−z6 {≤0daca y ≤ x+z2 ( I )

≥0daca y≥x+z2

( II),

x+ y+z3

–y+z2

=2x− y−z

6=

(x− y )+(x−z )6

≤0 .

In cazul (I) avem y ≤x+ y+z3

deci situarea punctelor pe axa:

Pentru

x+ y+z3

≤x+z2≤ z

x+ y+z3

≤y+z2≤z

avem respectiv

(1)x+z2

= αx+ y+z3

+(1−α ) z ,α∈[0,1]

(2)y+ z2

= βx+ y+z3

+(1−β ) z , β∈[0,1]

iar inegalitatile de convexitate IC) ne permit sa scriem

(3) f ( x+z2 )≤∝ f ( x+ y+z3 )+(1−α ) f (z ) ,

(4) f ( y+ z2 )≤ β f ( x+ y+ z3 )+ (1−β ) f ( z );

in plus

(5) f ( x+ y2 )≤ 12 f ( x )+12f ( y ) .

x zx+ y2

y+ z2

x+z2

y

x+ y+z3

Putem preciza in (1) si (2) ∝=32

z−x2 z−x− y

, β=32

z− y2 z−x− y

si se observa ca avem

(6) ∝+β=32

.

Atunci adunand inegalitatile (3), (4), (5) si tinand seama se (6) obtinem

(7) f ( x+ y2 )+ f ( y+z2 )+ f ( z+x2 )≤ 32 f ( x+ y+z3 )+ 12 [ f (x )+ f ( y )+ f ( z )],

ceea ce conduce la (TP).

In cazul (II) avem y ≥x+ y+z3

cu asezarea pe axa:

Pentru

x≤x+ y2≤x+ y+z3

x≤x+z2≤x+ y+z3

,

scriem analog

(8)x+ y2

= (1−γ ) x+γ x+ y+ z3

γ ∈[0,1]

(9)x+z2

= (1−δ ) x+¿ δx+ y+z3

δ∈[0,1]

Avem in baza convexitatii inegalitatile

(10) f ( x+ y2 )≤ (1−γ ) f ( x )+γ f ( x+ y+z3 ) ,

x zx+ y2

y+ z2

x+z2

y

x+ y+z3

(11) f ( x+z2 )≤ (1−δ ) f ( x )+δ f ( x+ y+z3 ) ,

(12) f ( y+ z2 )≤ 12 f ( y )+ 12f ( z ) .

Fara a mai preciza γ si δ in (8) si (9) remarcam ca γ+δ=32

deci adunand inegalitatile (10), (11),

(12) obtinem tot (7).

Remarca (i) Se mentioneaza in Dumitru BUSNEAG si col. Complemente de algebra, editura Gil, Zalau, 2006, p 67 , cu trimitere la biblografia de acolo, o generalizare a inegalitatii (TP) formulata de Aleandru LUPAS sub forma

pentru orice x,y,z∈I si p,q,r ≥ 0

pf (x )+qf ( y )+rf ( z )+( p+q+r ) f ( px+qy+rzp+q+r )≥

≥ (p+q ) f ( px+qyp+q )+ (q+r ) f ( qy+rzq+r )+(r+ p ) f ( rz+ pxr+ p )(ii) Inegalitatea (TP) se poate generalize la n variabile (vezi Vasile CARTOAJE On

Popoviciu’s Inequality for Convex Functions, Gazeta Matematica, Seria A, anul XX(XCIX), No 4, 2002, pp 247-253 sau,in conditii mai restrictive de continuitate a functiei, vezi P.G. POPESCU si col. Inegalitati matematice:modele inovatoare, Ed Did. si Ped., Bucuresti, 2007, pp. 150-151 )

∑i=1

n

f ( xi)

n+ (n−2 ) f (∑i=1

n

x i

n)≥ n−1

n∑i=1

n

f (∑k=1

n

xk−xi

n−1).