Interpretacin de Feyman del principio de Fermat

Justificacin matemtica

Feyman (1918-1988), fue premio Nbel en 1965 por su trabajo fundamental en

electrodinmica cuntica, con sus profundas consecuencias para la fsica de las partculas

elementales. Es autor de varios libros de Introduccin a la Fsica, resumen de unos cursos

que imparti en el tecnolgico de California a principio de los sesenta, que todos

deberamos leer.

Feyman explica as el Principio de Fermat.

"Imagina que nos encontramos en la costa, lejos de la orilla, en un punto A y en el mar,

alejado de la orilla, una persona cae de una barca en un punto B. Nosotros vemos el

accidente y podemos acudir corriendo y luego nadando. Qu hacemos?.Vamos en lnea

recta?s, sin duda!.....Sin embargo, si usramos un poco ms la inteligencia nos daramos

cuenta que es ventajoso correr una

distancia un poco mayor por tierra

para disminuir la distancia que

debemos nadar, porque nos

movemos ms lentamente por el mar

que por la tierra. Es preferible

recorrer un mayor camino para tardar

el menor tiempo posible ya que sta

es la magnitud que interesa para

salvar a la persona de morir ahogada.

Pues bien, esto es lo que hace la luz

para ir de A hacia B cuando cambia

de medio de propagacin".

Explicacin matemtica del Principio de Fermat.

El medio superior aire (equivale en el ejemplo anterior a la zona de tierra donde corremos

ms rpido) tiene de ndice de fraccin n1 y el otro medio (agua) n2 . La velocidad de la luz

es c y la velocidad en cada medio v1 y v2.

n1= c/ v1 ; n2= c/ v2.

L1 es la distancia recorrida en el medio 1 y L2 la recorrida en el medio 2.El tiempo que tarda

la luz en recorrer el camino total AB es t.

Cuando el rayo va por el camino en que se encuentra el punto P el camino recorrido ser

mnimo y sucede lo siguiente:

Por el teorema de Pitgoras sabemos que las distancias L1 y L2 valen

;

La derivada del tiempo respecto a la distancia debe ser cero para el mnimo de la funcin

tiempo frente a distancia. De todos los caminos posibles, el elegido por la luz, tanto en la

reflexin como en la refraccin, es aquel en el que emplea un tiempo mnimo.

Es un problema del mnimo de una funcin: Su derivada primera ser cero

Sustituimos L por su valor respecto a x :

Derivando se obtiene:

pero x /L1 es justamente el seno del ngulo.

Procediendo de manera anloga para la distancia L2, tenemos

Esta es la frmula de Snell que algunos tambin atribuyen a Descartes.

Esto demuestra que la luz, cuando va de un lugar a otro, e incluso cuando cambia de medio,

siempre va por el camino donde emplea menos tiempo, incidiendo y saliendo con los

ngulos dados por la ley de Snell.

Recuerda que: Camino ptico de un punto A a otro B, es el camino que recorrera la

luz en el vaco en el mismo tiempo que tarda en ir de A hasta B.

C=n1d1+n2d2=c(t1+t2)

(d1 y d2 son las distancias recorridas en cada medio)