Embed Size (px)
Citation preview
Departamento de InformáticaUniversidad Técnica Federico Santa María
Departamento de InformáticaUniversidad Técnica Federico Santa María
EconometríaEconometríaEconometríaEconometría
Modelos Pronósticos
Prof. Dr. Héctor Allende
Héctor Allende O. 2
Modelos de Box-Jenkins.
RECORDEMOS X proceso estocástico ssi la función
es tal que sucesión de variables aleatorias
Dado X (p.e.), se definen:
X, se dice p.e. e. estricto ssi
Un X un p.e. e. débil ssi
Se llaman autocovarianza de X y autocorrelación de X a:
: TttX ,,
ktXtXCovktt
tXE
X
Xt
,, )2
1)
ktXktXFtXtXF nn ,.,,., 11
. , tctetXE Xt .,, ,,, khtkhthtktt XX
ktXtXCovkX , 0r
krkX
Héctor Allende O. 3
Propiedades:
Procesos de medias móviles (MA).
Sea X un p.e. Se dirá MA(q) si existe un ruido blanco
y reales tal que
Propiedades:
1) Todo es un MA(q) es p.e.e.
1 1) kX kk XX )2
kk XX )3
Ζ tta 0,,, 21 q
,
2211
tt
qtqtttt
aX
aaaaX
qkkX ,0 )2
Héctor Allende O. 4
4.2 Procesos Autoregresivos (AR).
Sea X un p.e., se dirá autoregresivo general de orden p si existe un
ruido blanco y reales tal que
Propiedades: AR(p)Un no es en general estacionario.Un AR(P) es estacionario ssi las raíces de
están fuera del círculo unitario.Todo X p.e. AR(p):
Autoregresivos de media móvil (ARMA(p;q)).
X se dirá un ARMA(p,q) general si existe un ruido blanco reales
Ζ tta 0,,, 21 p
tptpttt aXXXX 2211
)( pAR
01 1 pp
. ,0 pkkk
Ζ tta00con , ,,,,,, 2121 qpqp
qtqtttptpttt aaaaXXXX 22112211
Héctor Allende O. 5
Anotando
Se tiene que:
Propiedades: ARMA(p,q)1. XARMA(p,q) es estacionario ssi no tiene
raíces dentro del círculo unitario.2. XARMA(p,q) es invertible ssi no tiene raíces
dentro del círculo unitario.3. XARMA(p,q) es
donde función de autocovarianza cruzada.
4. XARMA(p,q)
q
q
pp
1
1
1
1
tt aX
0
0
, kkaX XXtt kttX aXEk
. ,0 qkkX
Héctor Allende O. 6
X se dirá un ARIMA(p,d,q) ssi es un p.e.e. ARMA(p,q) con
Tres formas de visualizar un ARIMA.
Ejemplo: ARIMA(1,1,1)
Xd
dd 1
1
1
111111
)3
)2
1 1d
1 )1
jtjtjt
jtjtjt
qtqttptpptpptt
ttd
aXX
aaX
aaaXXXX
aX
4.4 Proceso ARIMA.
tj
jtj
tt
ttt
aXXX
aaX
2
21
1
11
11
Héctor Allende O.
Diremos que X es un ARIMA estacional de orden P,D,Q y período “s” si con raíces fuera del disco unitario grados P y Q:
XARIMA(P,D,Q)s
Es decir
Obs: Diremos que X es un proceso ARIMA estacional multiplicativo de ordenes P,D,Q, p,d,q y período “S” si existen polinomios de grados P, Q, p y q respectivamente, con sus raíces fuera del círculo unitario
y un ruído blanco A:
Notación: X ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s
7
4.5 ARIMA estacional.
00 y : s
sts
tss aX 1 donde 00
tss
t
Dspsp
s aBBX QQ11 111
ssDs X Q,PARMAun es
y ;; 00
ts
tDs
ds aX 00
Héctor Allende O. 8
Método de Box-Jenkins.
Se postula una clase
de modelos ARIMA
Identificación del modelo
tentativo: p, d, q, P, D, Q
Estimación de Parámetros del modelo tentativo
Verificación de diagnóstico ¿Es adecuado el modelo?
Uso del modelo con fines de: Control, Predicción.
Héctor Allende O. 9
4.5 Identificación de modelos ARIMA.
Sea X p.e.e.
kkkkF
F
X
X
X
kk
k
k
X
XX
kk
X
X
X
X
X
XXX
ee
ee
kk
k
φ
k
k
qkkk
k
kkk
2
1
11
1
111
parcial.n correlació de ecoeficient : 6)
p.k departir a mentegeométrica decae qp,ARMA 5)
p.k 0 cero a lmenteexponencia decae pAR )4
. 0 MA )3
cero. a erápidament decae )2
0 ;0lim 1)
1
,
,2
,1
kk
k
Héctor Allende O. 10
4.6 Estimación de parámetros.
Se pueden utilizar los siguientes métodos de estimación: Mínimos cuadrados condicionados [Box and Jenkins]. Máxima verosimilitud [ Denby and Martin]. GM-estimadores [ Allende and Heiler]. Etc.
4.7 Verificación y diagnóstico. Dado
Todos se basan en el análisis de los residuos. Se postula:
tatX
n
tt
kn
tktt
a
aa
tt
aan
aaaaknk
kr
Xa
1
2
1
1
ˆ1
ˆˆ1
0
ˆ,ˆ
Héctor Allende O. 11
Test de bondad de ajuste.
Test de Ljung-Box (1978).
Función de autocovarianza residual
Test robusto de Portmanteau (Allende; Galbiati, 1996).
2
1
2
1 ˆ
2Q qpK
K
k
a
kn
krnn
2
1
21
3 Q qpK
K
k
K
knna
n
KptKttK aa
1
ˆˆ;ˆˆ
ˆˆ;ˆˆ 12
tt aaa
Héctor Allende O. 12
4.8 Predicciones en modelos ARMA.
Sean los mejores predictores lineales de
dado Por la linealidad de los predictores tenemos que el mejor
predictor de
Además,
ktaktX
ktktX ay ˆ ktaktX y
. , tssX
ktaktayktXktX ˆ es ˆ es
0k ,
0k ,0ˆ
0k ,
0k ,ˆ
kta
kta
ktX
kXktX t
0 ,1ˆˆ 1 kXktXktasiendo kt
Héctor Allende O. 13
4.9 Predicciones en modelos ARIMA.
Consideremos la predicción de un modelo ARIMA(p,d,q)
El mejor predictor lineal de a partir de o bien
tajtXtX
jtatX
qtatadptXtXtX
jj
jj
qdp
1
0
1
)3
)2
1 )1
tX tuuX : tuua :
1
0
22
1
0
1
0
,0
ˆ
ˆ
jjatt
jjt
jj
jj
jj
eVeE
jtaXtXe
jtaX
jtajtatX
tatX
Héctor Allende O. 14
Luego, el mejor predictor lineal de es
Nota: Los errores de predicción no están correlacionados hacia
adelante
tX
tuuatXE
tuuXtXEX t
:
:ˆ
0, jtt eee
Héctor Allende O. 15
4.9 Algorítmo de Predicción en ARIMA(p,d,q).
Usando
A partir de n tenemos
Usando podemos estima:
nuuXdpuua
ndptXtXa
qtatatadptXtXX
tt
qdpt
,,2,1: ,0ˆ
,, ,1ˆ1ˆ )2
ˆ1ˆˆˆ1ˆ )1
1
11
. hastarepetir ,ˆ )2(
1ˆ )1(
1 nta
X
pt
dp
dpqmáxX
qaX
n
un
, ,0ˆ
para ˆ de depende no ˆ
ndptat ;:ˆ
n
dpt
ta dpn
a
1
22 ˆ
Héctor Allende O. 16
Actualización de las predicciones
Luego, un intervalo de confianza para
tX
1ˆ1ˆ
ˆ1ˆˆ
1
11
tt
ttt
ytXa
aXX
1
0
221
0
,0
j
jaj
jt Njtae
21
0
2
2
1ˆ
aj
jt ZXtXIC
Héctor Allende O. 17
Ejemplo: Dada la serie
1ˆ1ˆ
ˆ5,05,01ˆ :Algorítmo
8;7;ˆEstimar 5,015,01 Modelo
1
95,095,02
tt
t
a
XtXa
tatXX
XIXItatX
t 1 2 3 4 5 6 X(t) 2 1 -1 0 -2 0
t tX 1tX ta 2ta
1 2 1 0 0 2 1 0,5 0 0 3 -1 -1,25 -1,5 2,25 4 0 0,63 1,25 1,563 5 -2 -2,32 -2,63 6,917 6 0 1,16 2,32 5,382
