Simulación/2002 Héctor Allende 1 Capítulo 9 Modelos de Espera Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María

Simulación/2002 Héctor Allende

1

Capítulo 9

Modelos de Espera

Departamento de Informática

Universidad Técnica Federico Santa María


2

IntroducciónIntroducción

Una línea de espera es la resultante de un sistema cuando la demanda por un bien o servicio supera la capacidad que puede proporcionar dicho sistema.

Un sistema está formado por un conjunto de entidades que en paralelo proporcionan el bien o servicio donde las transacciones ingresan aleatoriamente al sistema


3

Ejemplos de Líneas de Espera

• Redes de Comunicaciones y Computadores• Tareas en un Computador • Cajas en Supermercado o Bancos• Modelos de Tráfico en una Ciudad ( T-A -M)• Líneas de Producción e Inventario• Talleres de Reparación• Hospitales• Estaciones de Bomberos• Sistemas de Distribución o Logísticos


4

IntroducciónIntroducción

Elementos de estudio de dichas líneas de espera serán

entonces los tiempos asociados a cada uno de los

procesos que se desarrollan y las llegadas de las

transacciones al sistema.

Debido a que las variables están fuera del control del

tomador de decisiones, será necesario realizar el

modelado utilizando procesos estocásticos.


5

Esquema Líneas de Espera

Población o Fuente deEntrada deClientesAl Sistema

Instalacionesde Servicio

SISTEMA

Clientes Servidossalen del Sistema

de Servicio y vuelven a laPoblación

Algunos Clientespueden no entrar

al sistema deServicio

Clientes que entran al Sistema de Servicioy Esperan ser Atendidos


6

Definición BásicaDefinición Básica

Una línea de espera puede modelarse como un

proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se

define como el número de transacciones en el

sistema en un momento dado.

El conjunto de valores que puede tomar dicha variable

es { 0, 1, 2, 3, 4,.......,N } y cada uno de ellos tiene

asociada una Prob.de ocurrencia {P0, P1, P2........, PN }


7

Objetivo del EstudioObjetivo del EstudioDeterminar el nivel de desempeño del sistema:

• Cantidad de entidades presente

• Velocidad del Servicio en el sistema

Interesa minimizar el costo total del sistema

Los costos de transacciones dan cuenta de la pérdida por

tiempo de espera o la pérdida de clientes por abandono del

sistema.

Los costos de proporcionar el servicio, dan cuenta de los

salarios, energía, mantención, etc.


8

Objetivo del estudioObjetivo del estudio Matemáticamente :

Min {Ct} = Ce S + C q Lq

dondeS = 1,2,3,4.........

Lq= f {S,E(t),.......}

Donde:

S: Número de entidades que proporcionan servicio.E(t): tiempo promedio de Servicio.

Lq: : Número de transacciones en espera.

Ce : Costo de servicio por entidad - tiempo.

Cq : Costo de servicio por transacción - tiempo.

Ct : Costo total por unidad de tiempo


9

Optimización de CostosOptimización de Costos

No. de Servidores

Costo de servicio

Ce.S

Costo de servicio

Ct

Costo de espera

Cq.Lq

$/tiempo

Ct mínimo

S*


10

Líneas de Espera (LE)• Los modelos de LE nos permitirán estudiar

este tipo de fenómeno y determinar:

Tiempo de Espera Promedio de los ClientesLargo Promedio de la LEFactor de Utilización de ServidoresDistribución Tiempos de Espera (Difícil)Tiempos OciososEficiencia del SistemaPérdidas de Clientes


11

• Población: Fuente de Entradas– Tamaño Poblacional:

Infinito ; Finito

– Patrón de Llegadas : Tasa de Llegada– Patrón de Salidas :

Cliente Satisfecho Cliente vuelve a la LE.

– Actitudes de los Clientes Cambios Renuncias etc.

Elementos Básicos de M-LE


12

Estructura General Sistema Espera

Estructura General Sistema Espera

Salida del Sistema

Entrada al Sistema

Servidores en paralelo

Fuente deTransacciones potenciales

Fila


13

EstructuraEstructura

Los elementos básicos constituyentes de un

sistema de espera son los siguientes:

Servidor

Fila o Cola

Transacciones Potenciales


14

ServidorServidor

Representa el mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el servicio deseado.

Sus principales características son:

La Cantidad asignada a cada fila existente en el

sistema.

La distribución de probabilidad del Tiempo de

Atención a las transacciones o (Velocidad de

Servicio)


15

FilaFilaEs el conjunto de Clientes que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema.


Capacidad : Es la cantidad máxima de transacciones que puede albergar cada fila existente en el sistema.

De acuerdo a esto se clasifican en finitas o infinitas.

Orden : Es la forma como los Clientes son extraídas de la fila para su atención.

Ejemplos: FIFO, prioridad, aleatorio, etc.

Forma de salir : como sale de la filamediante el proceso de serviciomediante factores de abandono : insatisfacción, desesperación, etc.


16

Transacciones PotencialesTransacciones Potenciales

Representan el número de clientes potenciales que podría requerir el servicio proporcionado por el sistema.


El Tamaño del conjunto de potencial de

clientes.

La distribución de probabilidad del Tiempo entre

llegadas o tasa de entrada promedio.


17

NomenclaturaNomenclatura

S número de servidoresn número de clientes en el sistemaN número máximo de clientes permitidos en el sisteman flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sisteman capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistemaE(t) tiempo promedio de proceso por clienteV(t) varianza del tiempo de procesoE(a) tiempo promedio entre llegadasV(a) varianza del tiempo entre llegada

C a

2

C s

2

C p

2

Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al sistema.Coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio.

Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema.


18

NomenclaturaNomenclaturapii Probabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado j

después de un intervalo de tiempo

Pn Probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el

sistema

L Número promedio de clientes en el sistema

Lq Número promedio de clientes en la fila

W Tiempo promedio de permanencia en el sistema

Wq Tiempo promedio de permanencia en la fila

Factor de utilización promedio del servicio

Ct Costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de

tiempo

Ce Costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo

Cq Costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo


19

Clasificación de Kendall y Lee


Kendall y Lee 1953

Proponen un sistema de clasificación para sistemas

de líneas de espera, el cual considera seis de las

características mencionadas en la estructura de los

modelos.

El cual tiene el siguiente formato

(a/b/c)(d/e/f)


20



Donde

a Distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones

b Distribuciones de probabilidad del tiempo de servicio.

Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:D : constanteEk: distribución Erlang con parámetro kG : cualquier tipo de distribuciónGI: distribución general independienteH : distribución hiperexponencialM : distribución exponencial


21



c número de servidores

d orden de atención de los clientes

Símbolos utilizados en este campo son:

FIFO : primeras entradas, primeros serviciosLIFO : últimas entradas, primeros servicios SIRO : orden aleatorioPR : con base en prioridadesGD : en forma general

e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo

f número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera


22

EjemplosEjemplos

Un modelo (M/D/3)(FIFO/20/20) representa la clasificación

de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo

atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas,

primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El

sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían

encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El

tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución

exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los

servidores ocupados, pasan a formarse de una fila común.


23



Respetando la clasificación Kendall y Lee, es posible

agrupar los diferentes modelos de una manera donde los

procesos Markovianos y los no Markovianos se separan

claramente.

Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad finita

y modelos de capacidad Infinita.

Los No Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos

entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios con

cualquier tipo de distribución.


24


Mediante cadenas deMarkov de estadofinito

Mediante el factor de corrección K

(G/G/1) (FCFS/ / )

Mediante la fórmula de Pollaczek- Khintchine

(M/G/1) (FCFS/ / )

(M/M/S) (d/N/f)

(M/M/1) (FCFS/N/)

(M/M/1) (FCFS/N/N)

(M/M/S) (FCFS/N/)

(M/M/S) (FCFS/N/N)

Mediante cadenas de Markov y series geométricas

(M/M/S) (d/ / )

(M/M/1) (FCFS/ / )

(M/M/S) (FCFS/ / )Mediante el cálculo de límite superior

(G/G/S) ( FCFS //)

Mediante fórmulas generales


25

Medidas de desempeñoMedidas de desempeño

Medidas de desempeño:Utilización de Servicio

Tasa de entrada Promedio

Número Promedio de Clientes en el sistema

Número promedio de Clientes en la fila

Tiempo promedio de espera en el sistema

Tiempo promedio de espera en la fila

Coeficiente cuadrado de variación


26

Ecuaciones GeneralesEcuaciones Generales

Utilización de Servicios

Tasa de entrada Promedio

N

nnnP

0

Número Promedio de clientes en el sistema

SLL

nL

q

N

nnP

0


27


Número promedio de clientes en la fila

Tiempo Promedio de espera en el sistema

)(tEWW

LW

q

Tiempo promedio de espera en la fila

N

snn

q PsnL )(

q

qL

W


28


Coeficiente cuadrado de variación

)()(2

2

aE

aVCa Tiempo entre llegadas

Tiempo de servicio

Tiempo entre salidas del servicio

)()(2

2

tE

tVCs

22222 )1( sap CCC


29

Procesos MarkovianosProcesos Markovianos

El proceso estocástico asociado a una línea de espera

tiene la propiedad markoviana, es decir la probabilidad

condicional de llegar a un estado futuro depende

exclusivamente del estado actual en el que se

encuentre el sistema, sin importar el estado inicial de

dicho sistema.

Las probabilidades condicionales deben cumplir con

ip

jipN

jij

ij

0

1

,0


30


Las probabilidades de estado estacionario Pj representan

el comportamiento Probabilístico de cada estado del

sistema a largo plazo y se calculan a partir de las

probabilidades de transición( del estado i al estado j) de

un paso de acuerdo con las Probabilidades de transición

de acuerdo con

N

jj

N

jijij

P

pPP

0

0

10

lim

j

jijn

n

P

Pp


31

NNNNN

N

N

N

pppp

pppp

pppp

pppp

...

...............

...

...

...

210

2221220

1121110

0020100

Estado Futuro

0 1 2 . . . N

0

1

2

. .

.

N

Estado

Actual

Matriz de probabilidades a un pasoMatriz de probabilidades a un paso


32


La matriz Probabilidades a un paso genera un sistema de

ecuaciones con N+1 incógnitas, N+1 ecuaciones

independientes y una ecuación redundante que debe ser

eliminada.

1......

......

......

......

......

210

221100

22221120022

12211110011

02201100000

N

NNNNNNN

NN

NN

NN

PPPP

PpPpPpPpP

PpPpPpPpP

PpPpPpPpP

PpPpPpPpP


33

Matriz de probabilidades

Matriz de probabilidades

La solución a este sistema de ecuaciones origina los

valores de las probabilidades estacionarias independientes

del estado en que se encuentra el sistema inicialmente.

N

N

N

N

PPPP

PPPP

PPPP

PPPP

...

...............

...

...

...

210

210

210

210

Estado Futuro

0 1 2 . . . N

0

1

2

. . .

N

Estado

Actual


34

Datos del ejemplo: Consultorio de Salud• Número total de observaciones del SM: 73• Intervalo entre observación: 5 Minutos• Tabla de relaciones existente entre datos

EjemploEjemplo

10001

001005

55555

41078

00253

Estado Futuro

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

Estado

Actual


35

La matriz anterior se explica como:

• De las 73 observaciones, en 10 de ellas el

sistema estuvo en estado 0 y 5 minutos

después el sistema había permanecido igual

en 3 ocasiones, había cambiado a estado 1

en 5 ocasiones, había cambiado a estado 2

en 2 ocasiones, y no se observaron cambios a

los estados 3 y 4.

EjemploEjemplo


36

EjemploEjemplo

Calculando la probabilidad condicional de estado presente i al estado futuro j, se obtiene la siguiente matriz a un paso:

5.00005.0

0066.0033.0

2.02.02.02.02.0

2.005.0035.04.0

002.05.03.0

Estado Futuro

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

Estado

Actual


37

EjemploEjemplo

Donde claramente

4....1,010

iparapN

jij

Aplicando las ecuaciones de estado estacionario a la matriz de un paso, se obtienen las ecuaciones

1

5.02.02.0

2.005.0

66.02.02.0

2.035.05.0

5.033.02.04.03.0

43210

4214

213

3202

2101

432100

PPPPP

PPPP

PPP

PPPP

PPPP

PPPPPP


38

EjemploEjemplo

Resolviendo el sistema de ecuaciones

173.0

041.0

122.0

310.0

355.0

4

3

2

1

0

P

P

P

P

P

Número promedio de transacciones en la cola

7179.0

)173.0(3)041.0(2)122.0(1)310.0(0)(

q

N

snnq

L

PsnL


39

Procesos Markovianos

Procesos Markovianos

Característica principal:

Distribución de probabilidad que define la llegada y salida de transacciones del sistema: sigue una ley Poisson.

Para un intervalo de tiempo t esta dado por:

.... 2, 1, 0!

) () | (0

00

0

xx

e tt x X p

t x


40


Condiciones que se deben cumplir

•Solamente puede ocurrir una llegada entre t y t.•Solamente puede ocurrir una salida entre t y t.•Solamente puede ocurrir una llegada o una salida entre t y t.

Por lo que el cambio de estado de n a n+1 se lleva a cabo

al ocurrir una llegada.

Un cambio de estado de n a n-1 solo ocurre cuando se

produce una salida.


41

Matriz de probabilidad a un paso

Matriz de probabilidad a un paso

NNNN

NNNN

pp

pp

pp

ppp

ppp

pp

,1,

,11,1

...0000

...0000

.......

00...00

00...0

00...0

00...00

3332

232221

121110

0100

Estado Futuro

0 1 2 3 . . . N-1 N

0

1

2

3

.

N-1

N

Estado

Actual


42


Lo cual conduce a:

Nntn

tnnnp

Nntnt

etnnnp

Nntntetnnn

p

n

n

,......,2,1,01,

,......,2,1,0)(1,

1,......,2,1,0)(1,


43

Ecuaciones de BalanceEcuaciones de Balance

1............10

1,1

1,11,121,2

2211110011

1100000

1

N

NNNNNN

NNNNNNNNN

PPP

PpPpP

PpPpPpP

PpPpPpP

PpPpP

N

N

De la matriz se obtienen las ecuaciones de balance


44


1............

)1()1(

)111(2

)1(

)()1(

10

1

121

22111001

11000

N

NNNN

NNNNNNNN

PPP

PtPtP

tPPtttPP

tPPtttPP

PtPtP

N

Sustituyendo se obtiene

Resolviendo el sistema

............4

321

02103

21

0102

1

001

P

PP

PP

PP


45


Generalizando

Finalmente se obtiene

0321

13210

.....

.....PP

n

nn

1

321

1210

321

210

21

10

1

00 .....

....1

n

nP


46

• Cola de Espera – Infinita– Finita : Tamaño Máximo

• Instalaciones de Servicio– Número Instalaciones

– Disposición Instalaciones de Servicio En Serie En Paralelo Redes de Servidores

– Distribución Tiempos de Servicio

Elementos Básicos de LE


47

• Disciplina de Servicio– LIFO– Aleatorio– FIFO– Asignación de Prioridades

A continuación realizaremos las definiciones

de las cantidades que permitirán el estudio

del comportamiento de un sistema de LE.

Elementos Básicos de LE


48

LE : Definiciones Elementales

N(t): Número Total de Clientes en el Sistema en el tiempo t

Pn(t): Probabilidad de Estado. Probabilidad que en elsistema se encuentren n clientes en el instante t

n(t): Tasa de llegada de clientes nuevos cuando se encuentran n Clientes en el Sistema, en el tiempo t

n(t): Tasa de servicio para el conjunto instalación de servicio cuando se encuentran n clientes en el sistema, en el instante t

S : número de servidores o estaciones de servicio delas instalaciones de servicio del sistema


49

n :Tasa de Llegada en Estado Estacionario cuando hay n clientes en el sisteman :Tasa de Atención de las instalaciones de servicio en estado estacionario cuando hay n clientes en el sistemabi : Probabilidad que existan i servidores ocupados

b0 = P0 si hay cero servidor ocupado, entonceshay cero clientes en el sistema

bi = Pi probabilidad que existan i, i < s, servidores ocupados, es igual a queexistan i clientes en el sistema

bs = Pn probabilidad que existan s servidoresocupados, es igual a que existans o más clientes en el sistema

n=s

8

LE : Definiciones y Cálculos Elementales


50

B Número Esperado de Servidores ocupados en uninstante cualesquiera

B = i * b i

esto resulta ser también al número esperado siendoatendidos en un instante dado cualquiera

Ls Número Esperado de Clientes en el Sistema, en cualquier instante

Ls = n Pn

i=0

8


n=0

8

[Servidores]

[Clientes]


51

qj Probabilidad que existan j clientes haciendo Cola,en un instante dado

q0 = Pn Probabilidad que existan cero clienteshaciendo Cola; e.o.p., que existan s omenos clientes en el sistema

qj = Ps+j j = 1, 2, 3, .... Probabilidad que existanj clientes haciendo Cola.

Lq Longitud de la Cola: Cantidad promedio o esperado de Clientes esperando ser atendidos, en cualquier instante. (no incluye a los que están siendo atendidos)

Lq= j q j Lq = (n-1)Pn

LE : Cálculos Elementales

j=0

8n=s+1

8

[Clientes]


52

U Tasa de Utilización de los servidores: Razón Promedio de ocupación por Servidor de la Instalación de Servicio

U =

Tasa Promedio de Llegada de Clientes

= n Pn

R Tasa Promedio (Esperada) de clientes que pasan: entran y salen del sistema. El número promedio de servicios completados por unidad de tiempo.

R =

B

s


n=0

8

[Clientes]

[Tiempo]

[Clientes]

[Tiempo]


53

Tasa Promedio de atención de las Instalaciones (cuando en el sistema hay menos clientes que servidores la tasa de atención del sistema es menor)

= n bn n s

Ws tiempo esperado que un cliente cualquiera estaráen el sistema, desde que entra hasta cuando sale de él.

Ws =

Wq Tiempo promedio que un Cliente esperará antes de ser atendido

Wq =

s


Ls

n=1

Lq


54

LsNúmero Esperado de Clientes en el Sistema

Ls = nPn

Lq Número Esperado de Clientes en la cola

Lq = (n-s)Pn

Ws Tiempo Estimado de Espera en el Sistema

Ls = Ws

Tasa Estimada de Llegada de Clientes

= nPn

LE : Medidas de Desempeño

n=0

n=s+1

n=0


55

Relación Tiempos de Espera

Ws = Wq + 1 /

Relación Número Esperado de Clientes

Ls = Lq + /

Número Esperado de Servidores Ocupados

B = Ls - Lq = /

Tasa Esperada de Utilización de los Servidores

U = / s

LE : Medidas de Desempeño


56

X X , x , X , X, X

PATRON de LLEGADASM: MarkovianoG : GeneralE : Erlang

PATRON del SERVICIOM: MarkovianoG : GeneralE: Erlang

NUMEROSERVIDORES

1: un servidors: s servidores en paralelo

TAMAÑO POBLACION : Infinita P : Finita

8

TAMAÑO COLA : InfinitaK : Finita

8

Notación en LEDISCIPLINA

DE SERVICIODG , FIFO , LIFO

RAND, PRI


57

Notación en L.E. : Distribuciones Llegadas y Salidas

• M : Distribución de Llegadas o Salidas de Poisson o Markoviana. (Distribución Exponencial de tiempos de servicio)

• D : Tiempo entre llegadas o de servicio constante o determinista

• EK : Distribución de Servicio de Erlang o Gamma de parámetro k entre llegadas o de servicio

• GI : Distribución de Llegadas General Independiente (o tiempo entre llegadas)

• G : Distribución de Salidas General (o tiempo de servicio)


58

Estudio de L.E.

• Todas las definiciones y ecuaciones anteriores, junto con suposiciones acerca de las distribuciones de llegada y salida nos permitirán realizar el estudio de un sistema de l.e. en el régimen transiente.

• Los cálculos se realizan en secuencia, siendo el primer paso el cálculo de Pn como función de n y n y así sucesivamente hasta lograr calcular todas las medidas de desempeño definidas antes.

• La deducción de una expresión para Pn se logra en base al diagrama de tasas de transición.


59

Estudio L.E.: Diagrama Tasas de Transición

• Dado que hay n clientes en el sistema en un instante t, el número de clientes luego de un t suficientemente pequeño será (n-1) si ocurrió una salida o (n+1) si fue una entrada

• Se obtiene la ecuación de equilibrio:

n-1Pn-1 + n+1Pn+1= ( n + n) Pn

n-1 n+1

n

n

n

n

n+1

... ...


60

Estudio L.E.: Ejemplos de Cálculo en base a Diagramas Tasas de Transición

• A continuación ejemplificaremos el proceso de cálculo de las medidas de desempeño de l.e. en 4 tipos de sistemas de colas definidas por tasas de llegadas y tiempos de atención poissonianos: M / M / 1 / DG / / M / M / s / DG / / M / M / 1 / DG / P / M / M / 1 / DG / / K


61

0 1 2 4 n

t

t

3

....... ....

M / M / 1 / DG / / : markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita


62

1 2 s+1 n

t

t (s

s-1 s

s s s s s

.... .... ....

M / M / s / DG / / : markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita


63

0 1 2 n P

P P

3

.... ....

(P (P-n (P-n

M / M / 1 / DG / P / : markoviano, markoviano, 1 servidor, población finita, cola infinita


64

0 1 2 n K

3

.... ....

M / M / 1 / DG / / K : markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola finita


65

Estudio de otros ME• Los 4 ejemplos anteriores corresponden a los casos “clásicos en teoría l.e. Veamos otros ejemplos de Poisson o

Markovianos de interés: M / M / s / DG / / K

M / M / s / DG / P /

Caso Finito: M / M / s / DG / P / s P

Autoservicio: M / M / / DG / /

Modelo de Servicio de Máquinas:

M / M / s / DG / P / P s P

Documents

Simulación/2002 Héctor Allende 1 Capítulo 9 Modelos de Espera Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María