Capítulo 8 Modelos de Líneas de Espera Prof. Héctor Allende O. Departamento de Informática Universidad Santa María

Capítulo 8 Capítulo 8 Modelos de Líneas Modelos de Líneas

de de Espera Espera

Prof. Héctor Allende O.

Departamento de Informática

Universidad Santa María

IntroducciónIntroducción

Una línea de espera es la resultante de un sistema cuando la demanda por un servicio supera la capacidad que puede proporcionar dicho servicio.

Un sistema está formado por un conjunto de entidades que en paralelo proporcionan servicio a las transacciones que aleatoriamente ingresan al sistema

Ejemplos de Líneas de Espera• Cajas en Bancos• Tráfico en una Ciudad ( Terrestre o Aéreo)• Redes de Comunicaciones y Computadores• Tareas en un Computador• Líneas de Producción e Inventario• Talleres de Reparación• Hospitales• Estaciones de Bomberos• Sistemas de Distribución o Logísticos• Trabajos o Tareas que tenemos que hacer

IntroducciónIntroducción

Elementos de estudio de dichas líneas de espera serán

entonces los tiempos asociados a cada uno de los

procesos que se desarrollan y las llegadas de las

transacciones al sistema.

Debido a que las variables están fuera del control del

tomador de decisiones, será necesario realizar el

modelado utilizando procesos estocásticos.

Esquema Líneas de Espera

Población o Fuente deEntrada deClientes alSistema

Instalacionesde Servicio

SISTEMA de SERVICIO

Clientes Servidossalen del Sistema

de Servicio y vuelven a laPoblación

Algunos Clientespueden no entrar

al sistema deServicio

Clientes que entran al Sistema de Servicioy Esperan ser Atendidos

Definición BásicaDefinición Básica

Una línea de espera puede modelarse como un

proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se

define como el número de transacciones en el

sistema en un momento dado.

El conjunto de valores que puede tomar dicha variable

es { 0, 1, 2, 3, 4,.......,N } y cada uno de ellos tiene

asociada una probabilidad de ocurrencia {P0, P1,

P2... ........., PN }

Objetivo del EstudioObjetivo del EstudioDeterminar el nivel de servicio del sistema:

• Cantidad de entidades presente

•Velocidad del Servicio en el sistema

Interesa minimizar el costo total del sistema

Los costos de transacciones dan cuenta de la pérdida por

tiempo de espera o la pérdida de clientes por abandono del

sistema.

Los costos de proporcionar el servicio, dan cuenta de los

salarios, energía, mantención, etc.

Objetivo del estudioObjetivo del estudio Matemáticamente :

Min {Ct} = Ce S + C q Lq

dondeS = 1,2,3,4.........

Lq= f {S,E(t),.......}

Donde:

S: Número de entidades que proporcionan servicio.E(t): tiempo promedio de Servicio.

Lq: : Número de transacciones en espera.

Ce : Costo de servicio por entidad - tiempo.

Cq : Costo de servicio por transacción - tiempo.

Ct : Costo total por unidad de tiempo

Optimización de CostosOptimización de Costos

No. de Servidores

Costo de servicio

Ce.S

Costo de servicio

Ct

Costo de espera

Cq.Lq

$/tiempo

Ct min

S*

Líneas de Espera• Los modelos de LE nos permitirán estudiar

este tipo de fenómeno y determinar (en algunos casos):– Tiempo de Espera Promedio de los Clientes– Largo Promedio de la LE– Factor de Utilización de Servidores– Distribución Tiempos de Espera (Difícil)– Tiempos Ociosos– Eficiencia del Sistema– Pérdidas de Clientes

• Población: Fuente de Entradas– Tamaño :

Infinito Finito

– Patrón de Llegadas : Tasa de Llegada– Patrón de Salidas :

Cliente Satisfecho Cliente vuelve a la l.e.

– Actitudes de los Clientes Cambios Renuncias Elusión

Elementos Básicos de Modelos de Espera

Estructura General Sistema Espera

Estructura General Sistema Espera

Salida del Sistema

Entrada al Sistema

Servidores en paralelo

Fuente detransaccionespotenciales

Fila

EstructuraEstructura

Los elementos básicos constituyentes de un

sistema de espera son los siguientes:

Servidor

Fila

Transacciones Potenciales

ServidorServidor

Representa el mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el servicio deseado.

Sus principales características son:

La Cantidad asignada a cada fila existente en el

sistema.

La distribución de probabilidad del Tiempo de

Atención a las transacciones o (Velocidad de

Servicio)

FilaFilaEs el conjunto de transacciones que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema.


Capacidad : es la cantidad máxima de transacciones que puede albergar cada fila existente en el sistema.

De acuerdo a esto se clasifican en finitas o infinitas.

Orden : es la forma como las transacciones son extraídas de la fila para su atención.

Ejemplos: FIFO, prioridad, aleatorio, etc.Forma de salir : como sale de la fila

mediante el proceso de serviciomediante factores de abandono : insatisfacción, desesperación, etc.



Representan el número de clientes potenciales que podría requerir el servicio proporcionado por el sistema.


El Tamaño del conjunto de potencial de

clientes.La distribución de probabilidad del Tiempo entre

llegadas o tasa de entrada promedio.

NomenclaturaNomenclatura

S número de servidoresn número de clientes en el sistemaN número máximo de clientes permitidos en el sisteman flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sisteman capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistemaE(t) tiempo promedio de proceso por clienteV(t) varianza del tiempo de procesoE(a) tiempo promedio entre llegadasV(a) varianza del tiempo entre llegada

C a

2

C s

2

C p

2

Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al sistema.Coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio.

Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema.

NomenclaturaNomenclatura

pij probabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado j

después de un intervalo de tiempo

Pn probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el sistema

L número promedio de clientes en el sistema

Lq número promedio de clientes en la fila

W tiempo promedio de permanencia en el sistema

Wq tiempo promedio de permanencia en la fila

utilización promedio del servicio

Ct costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de

tiempo

Ce costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo

Cq costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo

Clasificación de Kendall y Lee


Kendall y Lee 1953

Proponen un sistema de clasificación para los sistemas

de líneas de espera, el cual considera seis de las

características mencionadas en la estructura de los

modelos.

El cual tiene el siguiente formato

(a/b/c)(d/e/f)



Donde

a distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones

b distribuciones de probabilidad del tiempo de servicio.

Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:D: constanteEk: distribución Erlang con parámetro kG: cualquier tipo de distribuciónGI distribución general independienteH distribución hiperexponencialM distribución exponencial


Clasificación de Kendall y Leec número de servidores

d orden de atención de los clientes

Símbolos utilizados en este campo son:

FIFO : primeras entradas, primeros serviciosLIFO: últimas entradas, primeros servicios SIRO: orden aleatorioPR: con base en prioridadesGD: en forma general

e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo

f número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera

EjemplosEjemplos

Un modelo(M/D/3)(FCFS/20/20) representa la

clasificación de un sistema donde existen 3 servidores

en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de

primeras entradas, primeras salidas, con un tiempo de

servicio constante. El sistema tiene sólo 20 clientes

potenciales, los cuales podrían encontrarse dentro del

sistema en un mismo instante. El tiempo entre llegadas

de los clientes sigue una distribución exponencial y, en

caso de llegar y encontrar todos los servidores

ocupados, pasan a formarse de una fila común.



Respetando la clasificación Kendall y Lee anterior, es

posible agrupar los diferentes modelos de una manera

donde los procesos Markovianos y los no Markovianos

se separan claramente.

Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad

finita y modelos de capacidad Infinita.

Los No Markovianos, se clasifican en modelos con

tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de

servicios con cualquier tipo de distribución.


Mediante cadenas deMarkov de estadofinito

Mediante el factor de corrección K

(G/G/1) (FCFS/ / )

Mediante la fórmula de Pollaczek- Khintchine

(M/G/1) (FCFS/ / )

(M/M/S) (d/N/f)

(M/M/1) (FCFS/N/)

(M/M/1) (FCFS/N/N)

(M/M/S) (FCFS/N/)

(M/M/S) (FCFS/N/N)

Mediante cadenas de Markov y series geométricas

(M/M/S) (d/ / )

(M/M/1) (FCFS/ / )

(M/M/S) (FCFS/ / )Mediante el cálculo de límite superior

(G/G/S) ( FCFS //)

Mediante fórmulas generales

Medidas de desempeñoMedidas de desempeño

Medidas de desempeñoUtilización de Servicio

Tasa de entrada Promedio

Número Promedio de Clientes en el sistema

Número promedio de Clientes en la fila

Tiempo promedio de espera en el sistema

Tiempo promedio de espera en la fila

Coeficiente cuadrado de variación

Ecuaciones GeneralesEcuaciones Generales

Utilización de Servicios

Tasa de entrada Promedio

N

nnnP

0

Número Promedio de clientes en el sistema

SLL

nL

q

N

nnP

0


Número promedio de clientes en la fila

Tiempo Promedio de espera en el sistema

)(tEWW

LW

q

Tiempo promedio de espera en la fila

N

snn

q PsnL )(

q

qL

W


Coeficiente cuadrado de variación

)(

)(2

2

aE

aVCa Tiempo entre llegadas

Tiempo de servicio

Tiempo entre salidas del servicio

)(

)(2

2

tE

tVCs

22222 )1( sap CCC

Procesos MarkovianosProcesos Markovianos

El proceso estocástico asociado a una línea de espera

tiene la propiedad markoviana, es decir la probabilidad

condicional de llegar a un estado futuro depende

exclusivamente del estado actual en el que se

encuentre el sistema, sin importar el estado inicial de

dicho sistema.

Las probabilidades condicionales deben cumplir con

ip

jipN

jij

ij

0

1

,0


Las probabilidades de estado estacionario Pj

representan el comportamiento probabilístico de cada

estado del sistema a largo plazo y se calculan a partir

de las probabilidades de transición de un paso de

acuerdo con las probabilidades de transición de

acuerdo con

N

jj

N

jijij

P

pPP

0

0

10

lim

j

jijn

n

P

Pp

NNNNN

N

N

N

pppp

pppp

pppp

pppp

...

...............

...

...

...

210

2221220

1121110

0020100

Estado Futuro

0 1 2 . . . N

0

1

2

. .

.

N

Estado

Actual

Matriz de probabilidades a un pasoMatriz de probabilidades a un paso


La matriz probabilidades a un paso genera un sistema de

ecuaciones con N+1 incógnitas, N+1 ecuaciones

independientes y una ecuación redundante que debe ser

eliminada.

1......

......

......

......

......

210

221100

22221120022

12211110011

02201100000

N

NNNNNNN

NN

NN

NN

PPPP

PpPpPpPpP

PpPpPpPpP

PpPpPpPpP

PpPpPpPpP

Matriz de probabilidadesMatriz de probabilidades

La solución a este sistema de ecuaciones origina los

valores de las probabilidades estacionarias independientes

del estado en que se encuentra el sistema inicialmente.

N

N

N

N

PPPP

PPPP

PPPP

PPPP

...

...............

...

...

...

210

210

210

210

Estado Futuro

0 1 2 . . . N

0

1

2

. . .

N

Estado

Actual

Datos del ejemplo:• Número total de observaciones del SM: 73• Intervalo entre observación: 5 Minutos• Tabla de relaciones existente entre datos

EjemploEjemplo

10001

001005

55555

41078

00253

Estado Futuro

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

Estado

Actual

La matriz anterior se explica como:

• De las 73 observaciones, en 10 de ellas el

sistema estuvo en estado 0 y 5 minutos

después el sistema había permanecido igual

en 3 ocasiones, había cambiado a estado 1

en 5 ocasiones, había cambiado a estado 2

en 2 ocasiones, y no se obsevaron cambios a

los estados 3 y 4.

EjemploEjemplo

EjemploEjemplo

Calculando la probabilidad condicional de estado presente i al estado futuro j, se obtiene la siguiente matriz a un paso:

5.00005.0

0066.0033.0

2.02.02.02.02.0

2.005.0035.04.0

002.05.03.0

Estado Futuro

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

Estado

Actual

EjemploEjemplo

Donde claramente

4....1,010

iparapN

jij

Aplicando las ecuaciones de estado estacionario a la matriz de un paso, se obtienen las ecuaciones

1

5.02.02.0

2.005.0

66.02.02.0

2.035.05.0

5.033.02.04.03.0

43210

4214

213

3202

2101

432100

PPPPP

PPPP

PPP

PPPP

PPPP

PPPPPP

EjemploEjemplo

Resolviendo el sistema de ecuaciones

173.0

041.0

122.0

310.0

355.0

4

3

2

1

0

P

P

P

P

P

Número promedio de transacciones en la cola

7179.0

)173.0(3)041.0(2)122.0(1)310.0(0)(

q

N

snnq

L

PsnL


Característica principal:

Distribución de probabilidad que define la llegada y salida de transacciones del sistema: Poisson.

Para un intervalo de tiempo t esta dado por:

.... 2, 1, 0!

) () | (0

00

0

xx

e tt x X p

t x


Condiciones que se deben cumplir

•Solamente puede ocurrir una llegada entre t y t.•Solamente puede ocurrir una salida entre t y t.•Solamente puede ocurrir una llegada o una salida entre t y t.Por lo que el cambio de estado de n a n+1 se lleva

a cabo al ocurrir una llegada.

Un cambio de estado de n a n-1 solo ocurre

cuando se produce una salida.

Matriz de probabilidad a un paso

Matriz de probabilidad a un paso

NNNN

NNNN

pp

pp

pp

ppp

ppp

pp

,1,

,11,1

...0000

...0000

.......

00...00

00...0

00...0

00...00

3332

232221

121110

0100

Estado Futuro

0 1 2 3 . . . N-1 N

0

1

2

3

.

N-1

N

Estado

Actual


Lo cual conduce a:

Nntn

tnnnp

Nntnt

etnnnp

Nntntetnnn

p

n

n

,......,2,1,01,

,......,2,1,0)(1,

1,......,2,1,0)(1,

Ecuaciones de BalanceEcuaciones de Balance

1............10

1,1

1,11,121,2

2211110011

1100000

1

N

NNNNNN

NNNNNNNNN

PPP

PpPpP

PpPpPpP

PpPpPpP

PpPpP

N

N

De la matriz se obtienen las ecuaciones de balance

Ecuaciones de BalanceEcuaciones de Balance

1............

)1()1(

)111(2

)1(

)()1(

10

1

121

22111001

11000

N

NNNN

NNNNNNNN

PPP

PtPtP

tPPtttPP

tPPtttPP

PtPtP

N

Sustituyendo se obtiene

Resolviendo el sistema

321

02103

21

0102

1

001

PP

PP

PP

Ecuaciones de Balance*****

Ecuaciones de Balance*****

Generalizando

Finalmente se obtiene

0321

13210

.....

.....PP

n

nn

1

321

1210

321

210

21

10

1

00 .....

....1

n

nP

Ejemplo • Una sala de espera de un servicio de emergencia (SE) tiene

capacidad para 3 pacientes. Los usuarios llegan con una tasa de 8 por hora, con distribución de Poisson y son atendidos por una unidad de cuidados de emergencia (UCE) en 10 minutos con distribución exponencial. Si alguien llega al SE, y esta lleno, se retira a otro servicio cercano.

• Analizar el desempeño del servicio de emergencia (M/M/1) (FIFO/4/)

• Si se aumenta a dos UCE, evalúe el mejoramiento del desempeño del sistema (M/M2) (FIFO/5/)

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