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Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 1
20. September 2013
Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik
Auf den folgenden Seiten ist der Aufgabenkatalog für die Energiemethoden der Me hanik abge-
dru kt, aus dem jede Wo he Aufgaben für die Groÿe Übung, die Tutorien und das eigenständige
Arbeiten ausgewählt werden. Lösungen zu den Tutoriums- und Hausaufgaben werden ungefähr eine
Wo he na h Bearbeitung veröentli ht. Leider s hlei hen si h man hmal in die veröentli hten Lö-
sungen Fehler ein. Wir bemühen uns, diese mögli hst zügig zu beseitigen. Jede Studentin und jeder
Student ist aber in erster Linie selbst verantwortli h. Darum selbständig re hnen! Wer gerne no h
mehr Aufgaben (mit Musterlösungen) re hnen mö hte, sei auf die breite Auswahl an Aufgabenbü-
hern verwiesen.
Die Aufgaben werden ni ht notwendigerweise in der Reihenfolge des Katalogs abgearbeitet.
Inhaltsverzei hnis
1 Prinzip der virtuellen Verrü kungen 2
2 Lagranges he Glei hungen 8
3 Verfahren von Ritz 21
4 Sätze von Castigliano 27
5 Prinzip der kleinsten Wirkung 31
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 2
20. September 2013
Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik
1 Prinzip der virtuellen Verrü kungen
1. Ein Träger der Länge l, der an sei-
nem Ende A zweiwertig und an seinem
Ende B einwertig gelagert ist, werde
in Stabri htung in B dur h die Kraft
F2 und senkre ht dazu im Abstand azu A dur h die Kraft F1 belastet. Mit
dem Prinzip der virtuellen Arbeit be-
stimme man den im Träger wirkenden
(a) Normalkraftverlauf N(x),
(b) den Querkraftverlauf Q(x) und
( ) den Momentenverlauf M(x)
Geg.: F1, F2, l, a
PSfrag repla ements
x
z+
A BF1
F2
la
2. Bestimmen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit für den
skizzierten Balken die Lagerreaktionen.
Geg.: q0, l, a, α
PSfrag repla ements q0
l a
α
3. Ein Gelenkviere k besteht aus drei starren Balken der Länge
l. In der Mitte des Balkens AB ist eine Feder der Steigkeit
k angebra ht. Die Feder ist stets senkre ht und sei entspannt,
wenn α = 0 (horizontale Lage der Balken AB und CD).
Bestimmen Sie die Glei hgewi htslage (Winkel αG).
Geg.: F , l, α
PSfrag repla ements
A
B
C
D
F
α
k
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 3
20. September 2013
Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik
4. Ein unter dem Winkel α = 30 zur Horizontalen geneigter Träger der Länge a + b ist in Aeinwertig und in B zweiwertig gelagert. Der Träger wird dur h eine im Trägerteil B − Cangreifende konstante Stre kenlast q0 sowie dur h eine horizontale wirkende Kraft F an der
Stelle C belastet.
S
PSfrag repla ements
x
y +
A
B
C F
q0
a
bα
Man bere hne mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit:
(a) für q0 = 0 die Lagerreaktion A
(b) für q0 = 0 die im Berei h a ≤ s ≤ a+ b des Trägers auftretende
(a) Normalkraft N(s),
(b) Querkraft Q(s) und
( ) das Biegemoment M(s).
( ) für eine vorgegebene Stre kenlast q0 die im Berei h a ≤ s ≤ a+b des Trägers auftretendeQuerkraft Q(s).
Dazu skizziere man jeweils das virtuell vers hobene bzw. verdrehte System , stelle die kine-
matis hen Beziehungen auf und werte das Prinzip der virtuellen Arbeit aus.
Geg.: a, b, α, F , q0
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 4
20. September 2013
Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik
5. Das abgebildete Fa hwerk aus starren Stäben wird mit der
Kraft F belastet.
(a) Bere hnen Sie mit den Basisvektoren e1 und e2 sowie mitSkizze a) die Ortsvektoren ~rA und ~rF zu den Angris-
punkten der Kräfte A und F . Bere hnen Sie die Variatio-
nen δ~rA und δ~rF . Bere hnen Sie die Lagerkraft A mithilfe
des PdvV.
(b) Notieren Sie mit Skizze b) den Ortsvektor ~rF = ~rS zum
gemeinsamen Angrispunkt der Kräfte F und S. Bere h-nen Sie die Variationen δ~rF und δ~rS . Bere hnen Sie die
Stabkraft S mithilfe des PdvV, indem Sie S als äuÿere
Last ansehen.
Hinweis:
ar tan
√3
3= 30
os 30 =√3
2
sin 30 = 1
2Geg.: F , a
PSfrag repla ements
1
3a
1√3a
1√3aA
S
A
SS
F F
F
a
ϕ
ϕ
ϕ
e1
e2
Skizze a)Skizze b)
6. Das skizzierte Balkensystem ist dur h ein Einzelmoment M0, zwei Einzelkräfte H und V und
eine sinusförmige Stre kenlast mit dem Maximum q0 belastet. Alle Balken sind starr und
masselos.
Es sind die Auagerkraft im Lager A und das S hnittmoment im Berei h zwis hen dem Lager B
und dem Gelenk C mit der Methode der virtuellen Leistungen zu bestimmen.
Verwenden Sie dabei jeweils eine virtuelle Bewegung, bei der keine andere Auagerkraft bzw.
keine andere S hnittlast als die gesu hte einen Beitrag zur virtuellen Leistung liefert.
Skizzieren und/oder bes hreiben sie jeweils zuerst die virtuelle Bewegung, deren Leistungsbi-
lanz sie dana h aufstellen.
(a) Bestimmen Sie die Ersatzkraft der Stre ken-
last q(x) und deren Kraftangrispunkt.
(b) Bere hnen Sie die Auagerkraft im Lager A.
( ) Bere hnen Sie das Biegemoment im Berei h
zwis hen dem Lager B und dem Gelenk C.
Verwenden Sie das in die Skizze eingetragene
Koordinatensystem!
Geg.: a, H, V , M0, q0
PSfrag repla ements
V
H
M0
q(x)
aa a a
x
z
A B C
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 5
20. September 2013
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7. Das skizzierte Balkensystem ist dur h ein Einzelmo-
ment M0 und eine Einzelkraft K belastet. Alle Balken
sind starr und masselos.
(a) Bere hnen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Ver-
rü kungen das S hnittmoment M an der Stelle C
(x = a).
(b) Bestimmen Sie ebenfalls mit Hilfe des Prinzip der
virtuellen Verrü kungen die Lagerkraft in B.
Geg.: a, b, c, K, M0
PSfrag repla ements
K
M0
aa bb
cx
z
A C B
8. Die abgebildete Konstruktion aus starren
Stäben wird mit der Kraft F belastet und
bendet si h im statis hen Glei hgewi ht.
Bere hnen Sie mit dem Prinzip der virtu-
ellen Arbeit die Haltekraft Fk als Funktion
des Winkels ϕ .
Geg.: F, l
PSfrag repla ements
l2l
B
A
C
ϕ ψ Fk(ϕ )
F
x
y
9. Die Massen m1 (S hwer-
punkt A) und m2
(S hwerpunkt F) sind
über zwei Stäbe und
ein Seil miteinander
verbunden. Der Stab AC
ist im Punkt B dreh-
bar gelagert. Der Stab
CD kann im Punkt D
horizontal vers hoben
werden. Auÿerdem ist
dort ein Seil befestigt,
wel hes die Masse m2
trägt. Die Punkte B und
D liegen auf der selben
Höhe.
PSfrag repla ements
ex
eyA
B
C
D
E
F
a
bb g
ϕ
m1
m2
Es gelten folgende Annahmen: Stäbe und Seil sind masselos und starr bzw. undehnbar. Rei-
bung kann verna hlässigt werden.
Geg.: g,m1,m2, a, b, sinπ4= cos π
4= 1√
2
(a) Die Ortsvektoren zu den Punkten A und F seien mit rA
bzw. rF
bezei hnet. Bestimmen
Sie die virtuellen Verrü kungen δrA
und δrF
in Abhängigkeit von ϕ bzw. δϕ.
(b) Untersu hen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit, bei wel hen Winkeln ϕ, 0 ≤ϕ < 2π, das System im Glei hgewi ht ist. Bes hränken Sie si h dabei auf den Sonderfall
m2 = 2m1 und a = 4b.
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 6
20. September 2013
Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik
10. Bei einem Kolbenkompressor wirke in der skizzierten
Stellung auf die Kolbenä he die Gaskraft FG. Auf die
re hte Stange wirkt das Antriebsmoment MA. Bestim-
men Sie mit dem Prinzip der virtuellen Verrü kungen
die Glei hgewi htslage (Winkel α), wenn die Reibungs-
kräfte verna hlässigt werden.
Geg.: FG, l, MA
PSfrag repla ements
A
MA
FG
α
l
11. Bestimmen Sie mit der Methode der virtuellen Verrü kungen für fol-
genden Kragbalken die Lagerreaktionen.
Geg.: q0, l
PSfrag repla ements
q0
l
12. Bestimmen Sie für das skizzierte System mit Hil-
fe der Methode der virtuellen Arbeit / Leistung /
Verrü kungen
(a) die Lagerkraft im Punkt B
(b) alle S hnittlasten.
Geg.: F , H, a, b
PSfrag repla ements
ab
F
HA
B
13. Für den dur h eine Einzelkraft P belasteten skizzierten Bal-
ken ist die Lagerkraft im Punkt C sowie das S hnittmoment
im Punkt B mit dem Prinzip der virtuellen Verrü kungen zu
bestimmen.
Geg.: P , l, a, b
PSfrag repla ements
bl
a
A B C
P
14. Die abgebildete Konstruktion besteht aus drei starren Bal-
ken (AB, BC und CD) und einer Stütze, die in der Mitte
des Balkens AB angebra ht ist.
Zur Dimensionierung der Stütze soll die Kraft in der Stütze
bestimmt werden.
Führen Sie die Bere hnungen auf zwei vers hiedenen Wegen
dur h:
(a) S hneiden Sie frei und bere hnen Sie die gesu hte
Kraft mittels Kräfte- und Momentenglei hgewi hten.
(b) Nutzen Sie das Prinzip der virtuellen Verü kungen zur
Bestimmung der gesu hten Kraft.
Geg.: F , l
PSfrag repla ements
A
B
CD
E
F
l
l
1
2l
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 7
20. September 2013
Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik
15. Für das aus starren Stäben bestehende
skizzierte Fa hwerk unter der BelastungWsind folgende Gröÿen mit dem Prinzip der
virtuellen Verrü kungen zu bestimmen:
(a) Die Auagerkraft im Punkt B,
(b) die Stabkraft SBC .
Geg.: W, l, β
PSfrag repla ements
l l
A
B
C
D
W
β
16. Das skizzierte System besteht aus
drei starren Körpern, wird be-
lastet dur h die Kraft F und
ist statis h bestimmt gelagert.
Bestimmen Sie mit Hilfe des
Prinzips der virtuellen Arbeit die
Lagerreaktionen in A und in B.Skizzieren Sie dazu jeweils das vir-
tuell vers hobene bzw. verdrehte
System.
Geg.: l1, l2, l3, F
PSfrag repla ements
A
B
C
D
F
l1
l2
l3/2l3/2
ey
ex
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 8
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2 Lagranges he Glei hungen
17. Zwei masselose Stangen (Längen l1 und l2) und zwei Punktmassenm1 und m2 bilden ein Doppelpendel.
(a) Bestimme für die Bewegung des skizzierten Doppelpendels
in einer vertikalen Ebene (Erdbes hleunigung g) mit Hilfeder Lagranges hen Glei hungen 2. Art die Bewegungsglei-
hungen. Nutze die generalisierten Koordinaten ϕ1 und ϕ2.
(b) Wie lauten die Glei hgewi htslagen?
Geg.: m1, m2, l1, l2, g
18. Auf einer s hiefen Ebene bewegt si h reibungsfrei ein
Körper der Masse m, Bewegungskoordinate s, infol-ge der S hwerkraft abwärts. In einer radialen Bohrung
ist ein Zylinder der MasseM , der Relativkoordinate x,elastis h angeordnet, der si h ebenfalls reibungsfrei be-
wegen kann. Ausgehend von der Ruhelage des Systems
sind mit den Lagranges hen Glei hungen 2. Art die
Bewegungsdierentialglei hungen für die generalisier-
ten Koordinaten s und x aufzustellen.
Geg.: m, M , c, α, g
PSfrag repla ements
2c
c
y
x
s
m
M g
α
19. Ein Massenpunkt m ist am unteren Ende einer Feder k angebra ht. Am
oberen Ende ist die Feder drehbar gelagert. In spannungloser Ruhelage
hat die Feder die Länge r0.
Stellen Sie die Bewegungsdierentialglei hungen des Systems mit Hilfe
der Lagranges hen Glei hungen 2.Art auf.
Geg.: k, m, r0, g
PSfrag repla ements
g
k
m
rϕ
y
20.
PSfrag repla ements
m1
m2
x
y
l(t)
Die Aufhängevorri htung eines ebenen
Pendels mit der zeitli h veränderli hen
Länge l(t) und der Pendelmasse m2 gleitet
reibungsfrei auf einer horizontalen Füh-
rung und hat die Masse m1.
Ermitteln Sie mit Hilfe der Lagranges hen
Glei hungen 2. Art die Bewegungsdie-
rentialglei hungen für das System.
Geg.: m1, m2, l(t), g
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 9
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21.
(a) Für das skizzierte System stelle man
das Bewegungsdierentialglei hungssy-
stem auf und s hreibe es auf Matrizen-
form um. Es sollen von vornherein klei-
ne Auslenkungen angenommen werden.
(b) Man bere hne die Eigenkreisfrequenzen
und die dazugehörigen Eigenformen des
Systems.
Geg.: c1 =1
4c , c2 = c3 = c , m1 =
2
3m, m2 = m, ΘS = 1
2m1r
2, r
22. Ein starrer Körper (Masse m1) gleitet reibungsfrei in vertika-
ler Ri htung und ist über eine masselose Stange (Länge l) miteiner Punktmasse m2 gelenkig verbunden. Die Punktmasse ist
über eine weitere Stange (Länge l) gelenkig an die Umgebung
gekoppelt.
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Bestimme mit den Lagranges hen Glei hungen 2. Art
die Bewegungsdierentialglei hung für das System?
Geg.: l, g, m1, m2
PSfrag repla ements
ϕ
m1
m2
l
l
g
x
y
glatt
23. Eine masselose starre Stange ist am Punkt P aufgehängt. Im
Abstand l ist eine Punktmasse m1 befestigt. Auf der Stange glei-
tet auÿerdem eine zweite Punktmasse m2 reibungslos unter der
Wirkung der Federkraft und der Erdanziehungskraft auf und ab.
Der Abstand der zweiten Punktmasse vom Aufhängungspunkt
P sei mit r(t) bezei hnet. Die Feder hat die Federsteigkeit kund die unverformte Länge l0.
(a) Wie lauten die Bewegungsdierentialglei hungen für das
System in den generalisierten Koordinaten r(t) und ϕ(t)?
(b) Prüfe dur h Betra htung von Grenzfällen die Plausibilität
der hergeleiteten Dierentialglei hungen.
PSfrag repla ements
ϕ
m1
m2
kP
g
Geg.: m1, m2, l, l0, k
24. Für eine übers hlägige Dimensionierung einer
Werkzeugmas hine sollen die Eigenfrequenzen des
abgebildeten Ersatzsystems bere hnet werden.
Bei der Untersu hung des s hwingungsfähigen Sy-
stems soll die Reibung verna hlässigt werden. Für
q1 = q2 = 0 sind alle Federn entspannt.
PSfrag repla ements
1
2c
1
2c
cc
m
m
q1 q2
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Stellen Sie die kinetis he Energie T und potentielle Energie U des Systems auf.
( ) Bestimmen Sie nun die Lagrangefunktion L.
(d) Wie lauten die Bewegungsdierentialglei hungen?
Geg.: m, c
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 10
20. September 2013
Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik
25. Dargestellt ist ein System aus einer Rol-
le (m1, ΘS), einem Klotz (m2), einer Fe-
der (Steigkeit c) und einem Dämpfer
(Dämpfungskonstante d). Am S hwer-
punkt S der Rolle greift ein konstantes
Moment M an. In der dargestellten La-
ge seien x1 = 0, x2 = 0 und die Feder
entspannt.
Geg.: g, c, d, r,m1,m2,ΘS = 1
2m1r
2,M
reines Rollen
PSfrag repla ements
m1,ΘS
m2
x1
x2
c d
µ = 0
r
g
M
S
(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion für das System in den Koordinaten x1 und x2 auf.
(b) Bes hreiben Sie den Einuss des Dämpfers und des Moments M mittels Dissipations-
funktion oder generalisierter Kraft.
( ) Bestimmen Sie die Bewegungsglei hungen des Systems.
26. Das dargestellte System besteht aus einem dünnen,
homogenen Stab (Länge l, Massem, Massenträgheits-
moment ΘS) und einem Klotz (Masse M), der rei-
bungsfrei auf der Unterlage gleitet. Er wird bei sei-
ner Bewegung entlang der Unterlage (Koordinate x)dur h eine vorgegebene Kraft F (t) in horizontaler
Ri htung angetrieben und ist andererseits mit einer
immer horizontal geri hteten Feder verbunden. De-
ren linker Fuÿpunkt wird dur h die vorgegebene Aus-
lenkung u(t) bewegt. Für x = u(t) = 0 ist die Fe-
der spannungslos. Zwis hen Klotz und Stange wirkt
ein winkelges hwindigkeitsproportionaler Drehdämp-
fer mit der Dämpferkonstante kd.
PSfrag repla ements
M
x
ϕ
c
kd
F (t)
m, l,ΘS
u(t)
g
~ex
~ey
(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion L des Systems bzgl. der generalisierten Koordinaten
x und ϕ auf.
(b) Stellen Sie die Dissipationsfunktion D des Systems auf.
( ) Geben Sie die generalisierte (Rest-)Krafte Qx an.
(d) Bestimmen Sie die Bewegungsdierentialglei hungen für das System.
Geg.: M , ΘS, m, l, c, g, F (t), kd
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 11
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Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik
27. Das skizzierte System wird dur h das Moment M(t) zum S hwingen angeregt. In der einge-
zei hneten Position (x = 0) sind beide Federn gespannt. Die obere Feder ist um die Länge
l0 gespannt; die untere Feder ist so gespannt, daÿ x = 0 die Glei hgewi htslage ist. Die Seile
seien undehnbar. Es werden auss hlieÿli h kleine S hwingungen um die Glei hgewi htslage
betra htet.
(a) Stellen Sie die kinetis he Energie
T und potentielle Energie U für
das System auf.
(b) Bestimmen Sie die Dissipations-
funktion D oder die generalisier-
te Kraft Q.
( ) Bestimmen Sie nun die
Bewegungsdierentialglei hung
in der S hwerpunktskoordinate
x. Um wel he Länge muÿ die un-
tere Feder gespannt sein, damit
x = 0 die Glei hgewi htslage
ist?
(d) Bestimmen sie die Amplitude
der stationären S hwingung!
PSfrag repla ements
m, ΘS
M(t)
xS
c
c
d
r
R
reines Rollen
Geg.: m, ΘS, M(t) =M0 cos Ωt, M0, Ω, c, d
28. Das skizzierte System wird von einem im Massenmittel-
punkt S angreifenden Moment angetrieben. Na h einer
Eins hwingphase stellt si h ein stationärer Zustand mit
kleinen Auss hlägen ein. (Gravitation spielt keine Rolle.)
(a) Bestimmen Sie die lineare Bewegungsdierentialglei-
hung!
(b) Wie groÿ ist die Kreisfrequenz der freien gedämpften
S hwingung?
( ) Bestimmen Sie die Amplitude und den Phasenwinkel
der stationären S hwingung!
Geg.: a, r, c, m, ΘS = 2ma2, M(t) =M0 cos Ωt
PSfrag repla ements
c
S
E
D
M(t)
r
m,ΘS
a
a
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 12
20. September 2013
Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik
29. Das skizzierte System (homogene Kreiss heibe M ,
ΘS, masselose Umlenkrolle, ideales Seil, Masse m,
lineare Feder c, linearer Dämpfer k) erfährt eine
Fuÿpunkterregung u(t) = u cos Ωt.
(a) Wie viele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Stellen Sie die Bewegungsglei hung für die Be-
wegung des S heibens hwerpunktes mit Hilfe
der Lagranges hen Glei hungen 2. Art auf.
Geg.: M , m, ΘS = 1
2Mr2, c, k, r, u, Ω, g
M, Js
m
r
c
k
u( )t
g
PSfrag repla ements
reines Rollen
30. Das skizzierte System besteht aus einem starren
Körper der Masse m, der auf einer Ebene reibungs-
frei gleitet und mit zwei Federn und zwei Dämp-
fern an die Umgebung gebunden ist. Im Körper-
s hwerpunkt ist ein mathematis hes Pendel (Län-
ge l, Masse m) angebra ht, das von einem Wind
der Ges hwindigkeit vw von unten angeblasen wird
(Luftwiderstandsbeiwert k). Die Pendelmasse wirddur h die Kraft P (t) = P0 cos Ωtex erregt. Die Be-
wegung verläuft im Erds hwerefeld.
(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion L des Sy-
stems bzgl. der generalisierten Koordinaten
x und ϕ auf.
(b) Bere hnen Sie den Betrag der Relativge-
s hwindigkeit |vrel| zwis hen Pendelmasse
und Wind.
( ) Stellen Sie die DissipationsfunktionD des Sy-
stems auf.
PSfrag repla ements
m
m
bb
ccx
ex
ey
ϕ l
g
vw
P (t)
(d) Geben Sie die generalisierten Ni ht-Potentialkräfte Qx und Qϕ an, die ni ht dur h Dmodellierbar sind.
(e) Bestimmen Sie die Bewegungsdierentialglei hungen für das System.
Hinweis: vrel = vm − vw; vm: Ges hw. der Pendelmasse, vw Windges hwindigkeit
Geg.: m, b, c, k, l, g, vw, P0, Ω
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 13
20. September 2013
Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik
31. Ein starrer Körper (Masse m1) gleitet reibungsfrei in vertika-
ler Ri htung und ist über eine masselose Stange (Länge l) miteiner Punktmasse m2 gelenkig verbunden. Der starre Körper
ist auÿerdem über ein lineares Feder-Dämpfer-Element (Feder-
steigkeit k, Dämpferkonstante d) an den Boden gekoppelt. Dieentspannte Länge der Feder sei 2l. Die Punktmasse m2 ist über
eine weitere Stange (Länge l) gelenkig an den Boden gekoppelt.
PSfrag repla ements
ϕ
m1
m2
l
l
g
d k
x
yglatt
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Stellen Sie die kinetis he Energie T , die potentielle Energie U und die Dissipationsfunk-
tion D als Funktion von ϕ und ϕ auf. Wie ist die Lagrangefunktion L deniert?
( ) Arbeiten Sie im folgenden mit der Lagrangefunktion
L = (2m1 sin2 ϕ+
1
2m2)l
2ϕ2 − (2m1 +m2)gl cosϕ− 2kl2(1− cosϕ)2
weiter. Bestimmen Sie die Bewegungsdierentialglei hung für das System.
(d) Wie groÿ muÿ die Federsteigkeit k sein, damit das System für ϕS = π3eine Glei hge-
wi htslage hat?
(e) Wel he weiteren Glei hgewi htslagen sind im Berei h −π2< ϕ < π
2vorhanden, wenn die
Federsteigkeit k den in Teil (d) bestimmten Wert hat?
Geg: k, d, m1, m2, l, g
32. Das skizziere System besteht aus einem Zahnrad 1 (Masse m1, Radius R), einer Zahnstange3 und einem Gleitkörper 2 (Masse m2). Die Masse der Zahnstange soll verna hlässigt werden.
Zudem soll für eine erste Untersu hung des S hwingungsverhaltens auf eine Berü ksi htigung
der Reibung verzi htet werden.
Dur h eine periodis he
Kraft P (t) wird das Sy-
stem zu S hwingungen
angeregt. Bestimme mit
Hilfe der Lagranges hen
Glei hungen die Bewe-
gungsglei hungen des
Systems!
Geg.: m1, m2, R, P (t), c
PSfrag repla ements
c
P (t)
1
2
3
reibungsfreies Gleiten
reibungsfreies Gleiten
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 14
20. September 2013
Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik
33. Ein homogener Balken (Länge b, Masse M) ist in A
und B gelenkig mit masselosen S hiebehülsen verbun-
den, die reibungsfrei auf den beiden Linearführungen
gleiten können. Die S hiebehülse A ist dur h ein Feder-
Dämpfer-Element (Federsteigkeit k, entspannte Lage
bei α = α0, lineare Dämpferkonstante d) an die Umge-
bung gekoppelt. Zusätzli h ist im Punkt A ein Punkt-
massependel (Länge l, Masse m) angebra ht, an des-
sen Ende die ni htkonservative Kraft F wirkt. Der Be-
trag der Kraft F ist konstant, die Wirkungslinie ist stets
senkre ht zu der Pendelstange.
(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion L des Systems
bzgl. der generalisierten Koordinaten α und ϕ auf.
(b) Stellen Sie die Dissipationsfunktion D des Systems
auf.
PSfrag repla ements
M,ΘS
b
α
ϕ
k
d
Fm
l
g
x
y
A
B
C
S
( ) Geben Sie die generalisierten Ni ht-Potentialkräfte Qα und Qϕ an, die ni ht dur h Dmodellierbar sind.
(d) Bestimmen Sie die Bewegungsdierentialglei hung für das System ohne Pendel und Kraft
F .Hinweis: Nutzen Sie dazu die bereits dur hgeführten Re hnungen und setzen Sie m = 0und F = 0 ein.
Geg.: M , b, ΘS = Mb2
12, m, l, d, k, g, F , α0
34. Ein starrer Körper führt S hwingungen in einer vertikalen Ebene unter dem Einuÿ der
S hwerkraft aus. Der Zapfen (Radius r) rollt ohne zu gleiten auf der starren Unterlage. Der
Zapfenmittelpunkt P wird über eine Feder mit der Steigkeit k gehalten. Die Reibung des
Systems sei verna hlässigbar bis auf ein Rollreibmoment M mit konstantem Betrag.
Die Lage des Systems ist bestimmt dur h den Drehwinkel ϕ. Bei ϕ = 0 sei die Feder entspanntund der Massenmittelpunkt C stehe genau senkre ht über dem Zapfenmittelpunkt P.
Der Massenmittelpunkt C des Gesamtsystems hat den Abstand a vom Zapfenmittelpunkt P.
Der Körper hat die Masse m und das Massenträgheitsmoment JC um den Massenmittelpunkt.
(a) Bestimmen Sie die Lagrange-Glei hung(en)
2. Art (Bewegungsdierentialglei hung/en)
des Systems.
(b) Leiten Sie nun für den Fall des glatten Roll-
kontaktes (M = 0) aus den/der Bewegungs-dierentialglei hung(en) eine Bestimmungs-
glei hung für die statis he(n) Ruhelage(n) her.
Geg.: a, r, g, k, M , m, JC
PSfrag repla ements ϕ
C
P
g
r
a
k
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35. Ermittle für das skizzierte System die Be-
s hleunigung der Masse 1, die reibungsfrei auf
der s hiefen Ebene gleitet. Die Rolle 2 wird
dur h ein konstantes Moment M angetrieben,
und die Walze 3 rollt ohne zu gleiten.
Geg.: M , m, a, α, Θ1, Θ2, g
36. Ein starrer Körper (Masse M) gleitet reibungsfrei in einer
Führung und ist über ein Feder-Dämpfer-Element (Kon-
stanten k, d) an die Umgebung gekoppelt. Auÿerdem trägt
der starre Körper eine mit der Winkelges hwindigkeit Ωrotierende masselose Stange, die im Abstand e vom Dreh-
punkt eine Punktmasse m trägt. Zum Zeitpunkt t = 0 sei
die Stange horizontal und die Punktmasse re hts vom Dreh-
punkt. Für x = 0 sei die Feder entspannt.
PSfrag repla ements
Ω
m
M
k
d
x
e
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System, wenn die Winkelges hwindigkeit Ω vorgegeben
ist?
(b) Wie lautet die Bewegungsdierentialglei hung für das System?
( ) Bestimme die Lösung im einges hwungenen Zustand.
(d) Wie groÿ sind die Kräfte im Feder-Dämpfer-Element im einges hwungenen Zustand?
37. Das skizzierte s hwingungsfähige Sy-
stem besteht aus der reibungsfrei
drehbar gelagerten homogenen S heibe
(Masse M , Radius r) und dem rei-
bungsfrei horizontal bewegli hen Körper
(Masse m). S heibe und Körper sind
untereinander über eine Dehnfeder
(Steigkeit c) und der Körper über
Dehnfeder und Dämpfer (Konstanten
c, d) mit der Umgebung gekoppelt. Die
Federn seien für ϕ, x = 0 entspannt.
Leiten Sie mit Hilfe der Lagranges hen
Glei hungen 2. Art die linearisierten
Bewegungsglei hungen für kleine x und
ϕ her.
Geg.: m,M, r, c, d
PSfrag repla ements
x
ϕ
m
cc
d
Mr
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38. Gegeben ist das skizzierte s hwingungsfähige System mit 2 Freiheitsgraden bestehend aus
einem Körper der Masse m1 der si h reibungsfrei in horizontaler Ri htung bewegen kann,
sowie einer homogenen S heibe (Masse m2, Radius r), die auf der Unterlage abrollt. S heibeund Körper sind in der skizzierten Weise untereinander und mit der Umgebung dur h Feder
und Dämpfer gekoppelt. Die Federn seien für x1 = x2 = 0 entspannt. Das System wird dur h
die Kraft F (t) angeregt.
(a) Geben Sie die kinetis he Energie T und
die potentielle Energie U an.
(b) Leiten Sie mit Hilfe der Lagran-
ges hen Glei hungen 2. Art die Bewe-
gungsglei hungen in x1 und x2 her.
PSfrag repla ements
x1 x2
c1 c2m1
m2
ϕ
Abrollen
F (t)d
r
Geg.: m1, m2, r, c1, c2, d, F (t)
39. Auf einer unendli h langen starren mas-
selosen Stange gleitet reibungsfrei die
Punktmasse m. Die Drehung der Stan-
ge ist vorgegeben als ϕ(t) = ωt (Rota-
tion mit konstanter Winkelges hwindig-
keit). Bestimmen Sie die Kraft der Stange
auf die Masse. Benutzen Sie r und ϕ als
generalisierte Koordinaten. Und gehen Sie
wie folgt vor:
PSfrag repla ements
D
r
er
eϕ
ex
ey
ϕ
m
(a) Bestimmen Sie den Ortsvektor r mit Ursprung D. Bestimmen Sie die Ges hwindigkeit
v(r, ϕ, r, ϕ) = vrer + vϕeϕ und |v| =√v2r + v2ϕ.
(b) Bestimmen Sie die kinetis he Energie E und damit die Lagrange-Funktion L(r, r, ϕ).
( ) Geben Sie die (holonome, rheonome) Zwangsbedingung in der Form f(ϕ, t) = 0 an.
Bere hnen Sie
∂f∂r
sowie
∂f∂ϕ.
(d) Stellen Sie die Glei hungen
ddt
∂L∂qj
− ∂L∂qj
− λ ∂f∂qj
= 0 auf. Setzen Sie darin die Zwangsbe-
dingung ein. Und geben Sie die beiden resultierenden Dgln. für r und λ an.
(e) Geben Sie die generalisierten Zwangskräfte Qr und Qϕ an. Bere hnen Sie daraus die
Zwangskraft Z in der Basis 〈er,eϕ〉, also Z = Zrer + Zϕeϕ. Kontrollieren Sie die Di-
mension von Z.
Geg.: m, ω = onst.
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40. Der skizzierte Vertikals hwinger, der si h unter dem Einuÿ des Erds hwerefeldes g bendet,wird dur h eine vorgegebene Vers hiebung u(t) = u sinΩt erregt.
(a) Formuliere für die Koordinatenwahl q1 := x1, q2 := x2 die
Zwangsbedingung, und gib die zugehörigen Zwangskräfte an!
(Die ho hgestellten Zahlen sind hier ho hgestellte Indizes, kei-
ne Exponenten.)
Wel he Bedeutung hat der Zwangskraftparameter λ in diesem
Fall? Begründung!
(b) Stelle die Lagrange-Glei hungen 1. Art auf!
( ) Bestimme dur h Auswertung der Zwangsbedingung aus den
Lagrange-Glei hungen 1. Art die vertikale Lagerkraft bei A
und die Bewegugsglei hung des Systems!
Geg.: m, g, k, u(t) = u sinΩt
PSfrag repla ements
gA
m
m
k
k
x1
x2
u(t)
Hinweis: Betra hte auss hlieÿli h die Bewegung in Vertikalri htung!
41. Zwis hen der Masse m1 und der horizontalen Ebene besteht
Gleitreibung. Der Betrag der Gleitreibungskraft wird über die
Zwangskraft des Pendelfadens von der S hwingung der Masse
m2 beeinuÿt.
Ermitteln Sie mit Hilfe der Lagranges hen Glei hungen 1.Art
sowohl die Normalkraft zwis hen m1 und der Ebene als au h die
Bewegungsdierentialglei hungen des Systems (Die Zwangskraft
des Pendelfadens ist ni ht gesu ht!).
Geg.: m1, m2, l, g, µ
PSfrag repla ements
m1
m2
x
y
ϕ l
g
42. Eine masselose starre Stange ist am Punkt P aufgehängt. Im Abstand
r1 = l ist eine Punktmasse m1 befestigt. Auf der Stange gleitet auÿer-
dem eine zweite Punktmasse m2 reibungslos. Der Abstand der zweiten
Punktmasse vom Aufhängungspunkt P sei mit r2 bezei hnet. Die Federhat die Federsteigkeit k und die unverformte Länge l0.
Gesu ht sind die Bewegungsdierentialglei hungen und die Längskraft
in der Stange.
PSfrag repla ements
ϕ
m1
m2
kP
g
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?
(b) Wel he generalisierten Koordinaten sind zu wählen? Wie lauten die Zwangsbedingungen?
( ) Formuliere die kinetis he und potentielle Energie in den gewählten Koordinaten.
(d) Wie lauten die Lagranges hen Glei hungen 1. Art?
(e) Leite nun die Bewegungsdierentialglei hungen und die Kraft in der Stange her.
(f) Wie lauten die Glei hgewi htslagen? Wel he Lagerkraft wirkt dann im Lager P?
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43. Auf einem ruhenden, parabelförmig gebogenen Draht ruts ht eine Perle
mit Reibung. Die S hwerkraft wirkt in negative y-Ri htung.
Stellen Sie die Bewegungsdierentialglei hung auf und bere hnen Sie
die Zwangskraft mit Hilfe der Lagrangeglei hungen 1.Art.
Geg.: m, g, y(x) = ax2, a = const., µ
PSfrag repla ements
m
x
y
g
44. Bei dem skizzierten Pendel tritt am Gelenk ein linear viskoses Reibmoment
der Gröÿe Mr = −rϕϕ auf (rϕ: Drehviskosität).
Stelle für folgende Koordinatensysteme die Lagrange-Glei hungen 1. Art
auf, werte diese aus, bestimme die Zwangskraftparameter, werte diese aus
und führe eine verglei hende Diskussion dur h.
(a) kartesis he Koordinaten (x, y) des Massenmittelpunktes C und Dreh-
winkel ϕ
(b) ebene Polarkoordinaten (r, ϕ) des Massenmittelpunktes C
Geg.: m, ΘC
, R, g, Mr = −rϕϕ
PSfrag repla ements
x
y
Mr
C
R
ϕg
m,ΘC
45. Mit Hilfe der Lagranges hen Glei hungen 1. Art bere hne man alle
Kontaktkräfte und die Bewegungsglei hung des skizzierten Systems.
g
r
m , ΘC
αϕ
46. An einer vertikalen A hse, die si h mit der Winkelges hwin-
digkeit ω dreht, ist unter dem Winkel α ein gerader Draht
befestigt, auf dem eine Perle der Masse m reibungsfrei glei-
tet.
(a) Stellen Sie die Lagrangeglei hungen 1.Art für die Zy-
linderkoordinaten r, ϕ, z auf.
(b) Lösen Sie die Bewegungsdierentialglei hung für
z(t) unter Berü ksi htigung der Anfangsbedingungen
z(0) = z(0) = 0.
( ) Ermitteln Sie die Zwangskräfte in Abhängigkeit der
Zeit.
(d) Bere hnen Sie die Energie der Perle und zeigen Sie,
daÿ der Energiegewinn dur h rheonome Zwangsarbeit
verursa ht wird.
Geg.: m, g, α, ω
PSfrag repla ements
m
z
x yα
ω
g
r
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47. Ein starrer Körper (Massenmittelpunkt C) hat die
Masse m und das Massenträgheitsmoment bezügli h
des Massenmittelpunktes ΘC. Er ist wie abgebildet am
unteren Ende über ein Loslager an die Umgebung ge-
koppelt und am oberen Ende über eine vorgespann-
te Feder. Die Feder hat die Federsteigkeit k und die
entspannte Länge 0. Im Punkt C greift zusätzli h eine
äuÿere Einzelkraft an. Das Loslager verursa ht viskose
Reibung (Dämpfungskoezient γ).
Es soll die ebene Bewegung des Pendels im S hwerefeld
der Erde mit Hilfe der Lagrange-Glei hungen 1. Art
untersu ht werden. Dazu werden als generalisierte Ko-
ordinaten die kartesis hen Koordinaten u := xB , v :=yB des Punktes B am Körper und der Drehwinkel ϕbenutzt.
Gegeben: g, a, h, m, ΘC, k, F , γ
PSfrag repla ements
Ausgangslage
(ϕ = 0)Ausgelenkte Lage
(ϕ > 0)
A
A
B
B
C
C
D=O
D
Oxx
yy
a
a
h
k
g
ϕ
m,ΘC
γ
FF
(a) Wieviele Koordinatenfreiheitsgrade hat das System? Wieviele Lagrange-Glei hungen
werden mit dem oben angegebenen Koordinatensatz entstehen? Wievielen Zwangsbedin-
gungen müssen diese Koordinaten genügen.
(b) Stellen Sie die kinetis he und die potentielle Energie des Systems als Funktionen der
generalisierten Koordinaten und Ges hwindigkeiten auf.
( ) Stellen Sie die Zwangsbedingungen und die Leistung der Restkräfte auf.
(d) S hreiben Sie die Lagrange-Glei hungen 1. Art zunä hst in allgemeiner Form und an-
s hlieÿend speziell für dieses System hin.
48. Ein viere kiger Klotz bewegt si h ohne abzu-
heben auf einem dreie kigen Prisma im Erd-
s hwerefeld. Zwis hen beiden besteht auÿer-
dem eine linear elastis he und eine linear vis-
kose We hselwirkung. Am S hwerpunkt des
Klotzes greift eine horizontale zeitli h ver-
änderli he Kraft F (t) an. Zwis hen Prisma
und Unterlage sei die Reibung zu verna h-
lässigen.
PSfrag repla ements
F (t)
m1
m2
α
ξ
g
x
y k
r
Stellen Sie die Lagrange-Glei hungen für folgende Koordinaten auf: x und y sind die kartesi-
s hen Koordinaten des Prismas, ξ ist die relative Vers hiebung des Klotzes gegen das Prisma,
bei ξ = 0 sei die Feder entspannt.
Geben Sie den Satz von Dierential- und algebrais hen Glei hungen an, mit denen si h die
Bewegung und die Zwangskraftparameter bestimmen lassen.
Geg.: k, r, α, m1, m2, F (t), g
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49. Auf einer s hiefen Ebene (Neigungswinkel α)bendet si h ein System aus einem Klotz (Mas-
se m1) und einem Vollzylinder (Masse m2, Ra-
dius r), die dur h eine starre Stange (Länge l,Masse verna hlässigbar) miteinander verbun-
den sind.
Der Klotz gleitet reibungsfrei über den Bo-
den und ist mittels einer Feder (Federsteig-
keit c, entspannt bei x1 = a) und eines linea-
ren Dämpfers (Dämpfungskonstante b) an die
Umgebung gekoppelt. Die Rolle führt eine rei-
ne Rollbewegung aus. An ihr greift auÿerdem
das Moment M an.
Mittels des Lagrange-Formalismus sollen die
Bewegungsglei hung des Systems und die
Kraft in der Stange bere hnet werden. Geg.:
g,m1,m2, r, l, a, α, b, c,M
PSfrag repla ements
x1b
c
g
lm1
m2, r
M
α
(a) Wählen Sie eine geeignete generalisierte Koordinate x2 zusätzli h zu x1, so dass mit
dem Lagrange-Formalismus die Stangenkraft bestimmt werden kann. Erklären Sie die
Bedeutung dieser Koordinate und geben Sie die Zwangsbedingung(en) an.
(b) Stellen Sie die Lagrange-Funktion in den beiden generalisierten Koordinaten x1 und x2auf.
( ) Bes hreiben Sie den Einuss des Dämpfers und des Momentes M mittels Dissipations-
funktion bzw. generalisierter Kraft.
(d) Stellen Sie die Lagrange-Glei hungen 1. Art auf.
(e) Bestimmen Sie die Bewegungsglei hung(en) und die Kraft in der Stange.
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3 Verfahren von Ritz
50. Für das aus zwei Stäben und einer linearen Feder bestehende
System ist näherungsweise die Horizontalvers hiebung des
Punktes A zu bestimmen, wenn an diesem wie skizziert mit
der Kraft F gezogen wird. Zur Lösung dieser Aufgabe sind
folgende Teils hritte zu bearbeiten:
(a) Für die Biegelinie beider Berei he ist jeweils ein Po-
lynom 3.Grades als Ansatzfunktion zu wählen. Passen
Sie diese Ansatzpolynome den geometris hen Randbe-
dingungen an; fordern Sie zudem, daÿ die das Moment
betreenden Randbedingungen erfüllt sind.
(b) Stellen Sie das Energiefunktional Π = A−W auf.
( ) Bere hnen Sie dur h Extremalisierung dieses Funktio-
nals (δΠ = 0) die no h unbestimmten Koezienten
und geben Sie die Näherungslösung für die Horizon-
talvers hiebung im Punkte A an.
Gegeben: l, EI, cf = 2EIl3
, F
APSfrag repla ements
l
x1 x2
w1 w2
EI 3EI
cf
F
51. Dargestellt ist ein Balken unter der Last q0.Am re hten Ende ist eine Drehfeder (Feder-
steigkeit cM ) angebra ht. Bestimmen Sie eine
Näherungslösung für die Dur hsenkung w(x).
Verwenden Sie den Ansatz
w(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x
3. Gehen Sie wie
folgt vor:
PSfrag repla ements
l
x
wEI
cM
q0
ϕ
(a) Passen Sie den Ansatz an die 3 geometris hen Randbedingungen an. Eliminieren Sie a0,a1 und a2, und geben Sie die angepasste Ansatzfunktion an.
(b) Bere hnen Sie die Formänderungsenergie W und die äuÿere Arbeit A. Die Formände-
rungsenergie einer Drehfeder bere hnet si h aus WF = 1
2cMϕ
2.
Hinweis: Es gilt ϕ(x = l) = −w′(x = l).
( ) Bere hnen Sie den Freiwert a3 aus der Bedingung δ(W − A) = 0, und geben Sie damit
die Näherungslösung an.
52. Bestimmen Sie für den skizzierten Balken mit Hilfe des
Ritzs hen Verfahrens eine Näherungslösung für die Bie-
gelinie w(x). Passen Sie zunä hst die Ansatzfunktion
den geometris hen Randbedingungen an.
Ansatz: w(x) = a0 + a1 cos(π xl) + a2 sin(π x
l)
Geg.: l , EI, c, F
PSfrag repla ements
c
F
ll
x
z, w
EI
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53. Mit Hilfe des Ritzs hen Verfahrens bere hne
man die Dur hsenkung des skizzierten Balkens
an der Stelle x = 2l. Als Ritzansatz soll folgen-de Funktion verwendet werden:
w(x) = a0 + a1x+ a2 cosh(xl)
Gegeben: M0, EI, c, l
PSfrag repla ements
ll
x
w
EI
c
M0
54. Im folgenden soll die Längsvers hiebung eines einsei-
tig eingespannten Stabes mit linear veränderli hem
Quers hnittsradius r im S hwerefeld der Erde (Erd-
bes hleunigung g) untersu ht werden. Es seien linear-
elastis hes Material, ein eindimensionaler Spannungs-
zustand, über die Stablänge l konstante Di hte ρ und
E-Modul E vorausgesetzt. Für die Radien r0 = r(x =0) und r1 = r(x = l) gelte die Beziehung r1 = 2
3r0.
Zudem gilt r ≪ l.
(a) Wählen Sie eine Ansatzfunktion, die den geo-
metris hen Randbedingungen genügt. Bere hnen
Sie nun näherungsweise die Absenkung des freien
Endes.
(b) Verglei hen Sie das Ergebnis mit dem exakten
Ergebnis.
PSfrag repla ements
x
l r(x)
55. Ermitteln Sie mit dem Ritzs hen Verfahren für das
skizzierte System die Dur hbiegung an der Stelle x =ℓ/2. Verwenden Sie dazu den folgenden Ansatz, na h-
dem Sie ihn an die geometris hen Randbedingungen
angepaÿt haben.
Ansatz: w(x) = a2x2 + a1x+ a0
Geg.: EI, c, qo, ℓ
PSfrag repla ements
cc
z
xEI
1
6ℓ1
6ℓ 2
3ℓ
q0
56. Ein Kragbalken der Länge L mit konstanter Biegesteig-
keit EI ist mit einer wie skizziert linear verteilten Stre ken-
last q und einer in der Mitte angreifenden Kraft F belastet.
Die Vers hiebung des freien Balkenendes soll mit dem Ver-
fahren von Ritz näherungsweise bestimmt werden.
Geg.: EI, L, F , q0
PSfrag repla ements
F
q0
L2
L2
(a) Passen Sie die Ansatzfunktion w(x) = ax3 + bx2 + cx + d für die Biegelinie an die
geometris hen Randbedingungen an und berü ksi htigen Sie zusätzli h, dass am freien
Balkenende das Biegemoment vers hwindet, M(x = L) = 0.
(b) Bestimmen Sie die Vers hiebung des freien Balkenendes mit dem Verfahren von Ritz.
Benutzen Sie dabei die angepasste Ansatzfunktion.
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57. Bestimmen Sie eine Näherung für die Biegelinie w(x). Ver-wenden und diskutieren Sie den Ritz-Ansatz
w(x) =
n∑
k=1
Ck sin
(kπx
l
)
Verglei hen Sie das Ergebnis mit der analytis hen Lösung.
Geg.: EI, P , q0, l
PSfrag repla ements
x
z
q0
P
EI
ll
58. Bere hnen Sie mit einem eingliedrigen Po-
lynomansatz die kritis he Kni klast für das
dargestellte System.
Geg.: l, cT , cf , EI
PSfrag repla ements
1
2l1
2l1
2l
EI
cf
cTx
z
P
59. Ein massebehafteter Balken (Länge l, Biegestei-gkeit EI, Massebelegung µ) ist bei A gelen-
kig gelagert und bei B in eine Hülse geste kt,
die dem Balken dort eine horizontale Tangente
aufzwingt. Die Hülse (Masse m) kann auf einer
starren Stange in vertikaler Ri htung reibungs-
frei gleiten. Der Balken s hwingt auss hlieÿli h
in Querri htung.
PSfrag repla ements
x
wEI, µ
l
m
glatt, starr
A
B
(a) Wählen Sie eine Ansatzfunktion (z.B. eine harmonis he Funktion), die den geometris hen
Randbedingungen genügt.
(b) Bestimmen Sie nun die bezogene kinetis he und maximale potentielle Energie des Sy-
stems.
( ) Bere hnen Sie s hlieÿli h eine Näherung für die erste Eigenkreisfrequenz ω1?
Geg.: EI, l, m, µ
Hinweis:
∫sin2 ax dx = x
2− 1
4asin 2ax
60. Für den skizzierten Balken mit federnder Lagerung er-
mittle man mit Hilfe des Energiequotienten die erste
Eigenkreisfrequenz der Tranversals hwingung.
Man verwende den Polynomansatz niedrigster Ord-
nung, der alle Randbedingungen bis zur zweiten Ab-
leitung der Biegelinie erfüllt.
PSfrag repla ements
k
EI, ,A
ℓ
x
Geg.: EI, ,A, k, ℓ
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61. Für den skizzierten einseitig fest eingespannten und am an-
deren Ende gelenkig gelagerten Balken ermittle man na h
Ritz die erste Eigenkreisfrequenz und verglei he sie mit dem
exakten Wert:
ω1, exakt = 15, 421
l2
√EI
ρA
Warum ist die Näherungslösung zu groÿ?
Ansatzfunktion:
w(x, t) = x2(l − x)2q(t)
Geg.: ρ, A, EI, l
PSfrag repla ements
l
ρ, EI, A
62. Bere hnen Sie die beiden ersten Eigenkreisfrequenzen des skiz-
zierten Balkens näherungsweise mit einem zweigliedrigen An-
satz na h Ritz:
w(x, t) = ϕ1(x)q1(t) + ϕ2(x)q2(t) .
Verwenden Sie die Ansatzfunktionen
ϕ1(x) =x
l; ϕ2(x) = sin
πx
l.
Geg.: l, EI, c, ρA, c = π4EI2l3
, EI = onst.
l
EI r, A
x c
63. Der dargestellte Stab führt infolge einer einmaligen Anregung Longitudinals hwingungen aus.
Mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz soll eine Näherungslösung für die erste Eigenkreisfre-
quenz bestimmt werden. Verwenden sie den Ritz-Ansatz
u(x, t) = x2(3l − 2x)q(t)
PSfrag repla ements
x, u(x, t)
ρ, A, E, l
und gehen Sie wie folgt vor:
(a) Prüfen Sie, ob die Ansatzfunktion u(x, t) die geometris hen Randbedingungen erfüllt.
(b) Stellen Sie unter Verwendung der Ansatzfunktion die Lagrange-Funktion für den Stab
auf.
( ) Bestimmen Sie daraus eine Näherungslösung für die erste Eigenkreisfrequenz.
Geg.: ρ, A, E, l
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64. Der skizzierte Betons hornstein konstanter Wandstärke führt Biege-
s hwingungen aus.
(a) Überprüfe die angegebene Funktion ϕ(x) auf ihre Brau hbar-keit als Ansatz für eine näherungsweise Bestimmung der ersten
Eigenkreisfrequenz (na h Ritz).
(b) Bestimme näherungsweise die niedrigste Eigenfrequenz des Sy-
stems!
ϕ(x) = l4[6(xl
)2
− 4(xl
)3
+(xl
)4]
Geg.: l, E, ρ, ra, Ra = 2ra , Ra −Ri =1
2ra R i
R a
l
ra
x
y
65. Das abgebildete System besteht aus einem elastis hen, massebehaf-
teten Stab (Di hte ρ, Länge l, Quers hnittsä he A, E-Modul E)und einer Endmasse m.
Mit Hilfe eines eingliedrigen Ansatzes na h Ritz soll näherungsweise
die erste Eigenkreisfrequenz bere hnet werden, wobei die Längsver-
s hiebung der Punktmasse den Freiheitsgrad q(t) beinhaltet. Als
Formfunktion ist ein linearer Ansatz zu wählen.
Geg.: l, E, A, ρ, m, g,
PSfrag repla ements
E, A, ρ, l
m
g
66. Bestimmen Sie näherungsweise die erste Eigen-
frequenz des gegebenen Systems.
Passen Sie zunä hst die Ansatzfunktion den
geometris hen Randbedingungen an!
Ansatz:
W1(x) = a0 + a1x+ a2 cosh(xl)
Geg.: EI, c, l, µ
Hinweis:
∫cosh2 ax dx = x
2+ 1
4asinh 2ax
PSfrag repla ements
ll
x
w
EI, µ
c
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67. Betra htet wird ein Stabwerk aus zwei iden-
tis hen Stäben (Länge l, Dehnsteigkeit EA,Massebelegung µ). Am oberen Ende sind die
Stäbe gelenkig an die Umgebung angebunden.
Am unteren Ende sind beide Stäbe gelenkig
mit einer Punktmasse m verbunden. Betra h-
tet werden auss hlieÿli h kleine Vertikalbewe-
gungen der Punktmasse. Vereinfa hend sei an-
genommen, daÿ beide Stäbe stets glei h s hwin-
gen.
PSfrag repla ements
1
2
√2l
√2l
EA, µ
m
Im folgenden soll mit vers hiedenen Verfahren die niedrigste Eigenkreisfrequenz bzw. eine
Näherung für die niedrigste Eigenkreisfrequenz des Systems bestimmt werden.
(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das abgebildete System?
(b) Wie lauten die geometris hen Randbedingungen?
( ) Leite die Bewegungsdierentialglei hungen und die dynamis hen Randbedingungen für
das untersu hte System her.
(d) Wie lautet die Frequenzglei hung des untersu hten Systems? Bestimme nun für µ = m10l
die niedrigste Eigenkreisfrequenz des Systems.
Hinweis: Die kleinste positive Lösung der Glei hung 10χ tanχ = 1 ist χ1 ≈ 0, 3111.
(e) Wel he Eigenkreisfrequenz erhält man für µ = m10l
, wenn man einen linearen Ritz-Ansatz
für die Längsvers hiebung der Stäbe wählt?
(f) Verna hlässigt man die Stabmasse gegenüber der Punktmasse, erhält man einen Ein-
massens hwinger. Bestimme die zugehörige Eigenkreisfrequenz mit dem zweiten Satz
von Castigliano. Verglei he die drei Ergebnisse miteinander.
68. Ein eingespannter, massebehafteter Stab mit kreis-
förmigem Quers hnitt trägt an seinem Ende eine
Einzelmasse m. Geeignete Anfangsbedingungen las-
sen den Stab um seine Längsa hse s hwingen.
Bestimmen Sie näherungsweise die erste Eigenkreis-
frequenz.
Geg.: l, r, m, G, Ip, A,
PSfrag repla ements
G, Ip, A,
m
r
ϑ
x
yz
l
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Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik
4 Sätze von Castigliano
69. Gegeben ist die nebenstehend skizzierte Konstruktion.
Bere hnen Sie unter Verwendung des ersten Satzes von
Castigliano die Dur hsenkung an der Stelle A.
Gegeben: l, q0, E, I, der Balken sei s hubstarr
PSfrag repla ements
q0
l 2lA BE, I
70. Für den skizzierten s hubstarren Träger mit der kon-
stanten Biegesteigkeit EI ist mittels des ersten Sat-zes von Castigliano die Lagerkraft an der Stelle B zu
bestimmen.
Gegeben seien die Gröÿen: l, EI, q0
PSfrag repla ements
q0
l
B
EI
71. Ein Balken (Länge 2l, Biegesteigkeit EI) ist
mit drei Stäben (Dehnsteigkeit EA) statis h be-
stimmt gestützt. Bere hnen Sie mit Hilfe des Sat-
zes von CASTIGLIANO die Vers hiebung des
Punktes B in Ri htung der Kraft F .
Geg.: l, EI, EA
PSfrag repla ements
F
ll
3030A B
C
x
y
12
3
72. Alle Stäbe des Fa hwerks haben die glei he Quers hnittsä-
he A und den glei hen E-Modul E. Bere hne die vertikaleVers hiebung des Lasteinleitungspunktes C unter der Ein-
wirkung der äuÿeren Last P .
Geg.: P , l, E, A
PSfrag repla ements
P
l
l
1
2
3
4
5
AB
C
D
73. Bere hnen Sie für den skizzierten s hubstar-
ren Balken(Länge 2l, Biegesteigkeit EI) un-ter Verwendung des Satzes von Castigliano
die Dur hsenkung an der Stelle C (x = l).
PSfrag repla ements
EI
q0
A
B
C
x
z,w
ll
Geg.: q0, EI, l
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74. Das abgebildete Fa hwerk aus 7 Stäben mit der
Dehnsteigkeit EA ist innerli h statis h bestimmt.
Aufgrund der Lagerung in den Punkten B, C, D
ist das Fa hwerk äuÿerli h einfa h statis h überbe-
stimmt.
Die (komplementäre) Formänderungsenergie eines
longitudinal gedehnten Stabes beträgt:
UStab
=1
2
∫ x1
x0
N2
EAdx
17
4
53
6
2
PSfrag repla ements
A
B
C
D
E
l
ll
FA
(a) Ma hen Sie die Lagerung des Fa hwerks statis h bestimmt, indem Sie das Lager bei B
entfernen und dort die Lagerkraft FB einführen. Bestimmen Sie dann die Kräfte in den
Stäben, z.B. indem Sie die Knoten A, B und E freis hneiden.
(b) Bere hnen Sie nun die (komplementäre) Formänderungsenergie U des Fa hwerkes als
Funktion der Kräfte FA und FB .
( ) Nutzen Sie im folgenden die (komplementäre) Formänderungsenergie
U =l
EA
[aF 2
A + bFAFB + cF 2
B
],
mit den bekannten Konstanten a, b und c. Bere hnen Sie die Lagerkraft FB .
(d) Wie groÿ ist die statis he Dur hsenkung in vertikaler Ri htung uA am Punkt A?
(e) An der Stelle A sei nun statt der Kraft FA eine Punktmasse m angebra ht. Die Masse
der Stäbe soll gegenüber dieser Punktmasse verna hlässigt werden.
Betra htet werden auss hlieÿli h vertikale S hwingungen der Punktmasse m. Das Fa h-
werk verhält si h dann wie eine lineare Feder. Wie groÿ ist die Ersatzfedersteigkeit?
Wel he Eigenkreisfrequenz hat das System?
Geg.: FA, l, EA, m
75. Ein Fa hwerk aus 9 Stäben ist in A und D gelagert. Im Punkt B wirkt eine vertikale Kraft P .Die Stäbe haben alle die glei he Quers hnittsä he A und den glei hen E-Modul E.
PSfrag repla ements
P Pl
l
lll
l
ll
Variante 1 Variante 2
11 2 23 3
4 45 56
6
77 88
99
AA
B BC C
DD
EE FF
Es werden zwei vers hiedene Varianten vorges hlagen (siehe Bild). Wel he Variante ist zu
wählen, wenn die vertikale Dur hsenkung in B mögli hst klein sein soll? Wie groÿ ist die
Dur hsenkung im besseren Fall?
Geg.: P , l, E, A
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76. Der dargestellte Balken ist mit einer linearen Stre ken-
last beaufs hlagt. Es ist die Verdrehung an der Stelle
x = l unter Verwendung des Satzes von Castigliano zu
bestimmen.
Geg.: EI, l, qo
PSfrag repla ements
ex
ez 3l
q0
EI
A
B
(a) Überführen Sie das System in ein äquivalentes, statis h bestimmtes Ersatzsystem indem
Sie das Lager bei A dur h eine Kraft ersetzen. Bestimmen Sie diese.
(b) Bestimmen Sie nun den Verdrehwinkel ϕl des Balkens an der Stelle x = l. Gehen Sie
dabei davon aus, dass A = − 3
10q0lez die Ersatzkraft an der Stelle A ist.
77. Bere hne mit Hilfe des Satzes von Castigliano die Biegelinie w(x) desskizzierten Kragarms mit der Biegesteigkeit EI unter Einwirkung der
Einzellast F am freien Ende.
Geg.: F , l, EI
PSfrag repla ements
F
l
EIx
78. Am Ende des skizzierten s hubstarren Balkens mit der Biegesteigkeit EI greifen ein Mo-
ment M0 und eine Einzellast F an.
(a) Bere hne die das elastis he Potential Uel des Systems. Bestim-
me nun mit dem ersten Satz von Castigliano die Dur hsen-
kung w1(l) und den Biegewinkel ϕ1(l) am re hten Ende des
Balkens (x = l).
(b) Bere hne den Biegewinkel ϕ2(l) am re hten Balkenende für
den Fall M0 = 0.
PSfrag repla ements
F M0
l
EIx
Geg.: M0, F , EI, l
79. Der skizzierte dehn- und s hubstarre Träger mit der konstanten Biegesteigkeit EI ist einfa hstatis h unbestimmt.
(a) Ma hen Sie das System statis h bestimmt, indem Sie
das Lager an der Stelle B dur h eine no h zu bestim-
mende Kraft ersetzen.
(b) Unterteilen Sie den Balken in zwei Berei he, und er-
mitteln Sie den Momentenverlauf analytis h.
( ) Ermitteln Sie die Ableitung der Formänderungsener-
gie, und bestimmen Sie die eingeführte unbekannte
Kraft.
(d) Geben Sie alle Lagerkräfte bzw. -momente an.
Gegeben seien die Gröÿen: l, E, I, q0
PSfrag repla ements
x
z
A
B C
l2l
q0
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80. Ein re htwinkliger, einhüftiger Tragrahmen wird wie skizziert
dur h die Stre kenlast q(x) belastet. Der Rahmen wird als
s hubstarr angesehen.
Bere hnen Sie mit den Sätzen von CASTIGLIANO die Lager-
reaktionen an den Orten A und B.
Gegeben seien die Gröÿen: h, l, E, I, c, q0
PSfrag repla ements
A
B
EI
h
l
c
q0
81. Ein Fa hwerk aus 5 Stäben ist in A und C gelagert. Im Punkt C wirkt eine vertikale Kraft F .Die Stäbe haben alle die glei he Quers hnittsä he A und den glei hen E-Modul E.
PSfrag repla ements
FF
l
l
l
l
Variante 1 Variante 2
11
22
3 3
4 4
5 5
AAB B
C
C
D D
Es werden zwei vers hiedene Varianten vorges hlagen (siehe Bild).
(a) Wel he Variante ist zu wählen, wenn die vertikale Dur hsenkung in C mögli hst klein
sein soll? Begründen Sie Ihre Ents heidung dur h geeignete Bere hnungen. Wie groÿ ist
die Dur hsenkung im besseren Fall?
(b) Wel he Gesi htspunkte könnten bei der Auswahl auÿerdem eine Rolle spielen.
Geg.: P , l, E, A
82. Bere hnen Sie die vertikale Vers hiebung bei C und die
Verdrehung in B mit dem ersten Satz von Castigliano.
Geg.: F , a, b, EI
PSfrag repla ements
F
l
a b
A B C
83. Bere hnen Sie die Auagerreaktionen mit dem er-
sten Satz von Castigliano.
Geg.: q, l, EI
PSfrag repla ements
q
llA B C
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5 Prinzip der kleinsten Wirkung
84. Ein Balken (Länge l, Massebelegung µ, Biege-steigkeit EI) ist bei A gelenkig gelagert und
bei B in eine Hülse geste kt, die dem Balken
dort eine horizontale Tangente aufzwingt. Die
Hülse (Masse m) kann auf einer starren Stange
in vertikaler Ri htung reibungsfrei gleiten. Der
Balken s hwingt auss hlieÿli h in Querri htung.
Leite die Bewegungsdierentialglei hungen und
die dynamis hen Randbedingungen mit dem
Prinzip der kleinsten Wirkung her.
Geg.: EI, µ, l, m
PSfrag repla ements
x
wEI, µ
l
m
glatt, starr
A
B
85. Ein bei x = 0 eingespannter Balken (Länge l, Biegestei-gkeit EI = konst., Massenverteilung µ = konst.) mit der
Endmasse m an der Stelle x = l soll Eigens hwingungendur hführen. Mit Hilfe des Hamilton Prinzips sind die dy-
namis hen Randbedingungen und die Bewegungsdieren-
tialglei hung zu ermitteln.
PSfrag repla ements
EI, µ
x
w(x, t)
l
m
Geg.: EI, l, µ, m.
Hinweis: Die Formänderungsenergie des Biegebalkens beträgt UBalken
= 1
2
∫ x2
x1EIw′′(x)2dx.
86. Zwei Stäbe (Längen l1, l2 Quers hnittsä hen A1, A2, E-
Moduln E1, E2 und Di hten ρ1, ρ2) sind wie skizziert mit-
einander verbunden und links fest eingespannt. Das System
s hwingt auss hlieÿli h in Längsri htung.
Benutze zur Formulierung der Bewegungsdierentialglei-
hungen und Randbedingungen die eingezei hneten raum-
festen Koordinaten x1 und x2.
PSfrag repla ements
x1 x2
E1, A1, ρ1, l1 E2, A2, ρ2, l2
(a) Wie lauten die geometris hen Rand- und Übergangsbedingungen für das dargestellte
System?
(b) Formuliere die kinetis he und potentielle Energie für das Gesamtsystem.
( ) Leite nun die Bewegungsdierentialglei hungen und die dynamis hen Randbedingungen
mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung her!
(d) Mit wel hem Ansatz kann man die Eigenfrequenzen des Systems bestimmen? Wieviele
Eigenfrequenzen hat das System?
Geg.: E1, E2, A1, A2, ρ1, ρ2, l1, l2
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Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik
87. Gegeben ist der skizzierte homogene Dehnstab.
(a) Wie lauten die geometris hen Randbedingungen für das System?
(b) Bere hnen Sie die kinetis he Energie T und die potentielle Energie U für
das Gesamtsystem.
( ) Formulieren Sie das Prinzip von Hamilton für das untersu hte System.
(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdierentialglei hung und die dynamis hen
Randbedingungen her.
Geg.: µ, A, E, l
PSfrag repla ements
l
x, u
88. Ein Kragbalken wird wie abgebildet dur h ein Moment
am re hten Rand belastet.
(a) Wie lauten die geometris hen Randbedingungen
für das System?
(b) Bere hnen Sie die kinetis he Energie T , die po-tentielle Energie U sowie die virtuelle Arbeit δWfür das Gesamtsystem.
PSfrag repla ements
x
z,w(x, t)
ME(ℓ, t)
EI, µ, l
( ) Formulieren Sie das Prinzip von Hamilton für das untersu hte System.
(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdierentialglei hung und die dynamis hen Randbedingun-
gen her.
Geg.: EI, µ := ρA, l,ME =M(t)
89. Ein elastis her, massebehafteter Balken
(Biegesteigkeit EI, Länge L, Quer-
s hnittsä he A und Di hte ρ) ist linksund re hts gelenkig gelagert. An beiden
Enden greift ein periodis hes Moment
M(t) =M0 cos Ωt an.
PSfrag repla ements
EI, µ
L
x
A B
M(t) M(t)
(a) Wie lauten die geometris hen Randbedingungen für das System?
(b) Bere hnen Sie die kinetis he Energie T , die potentielle Energie U sowie die virtuelle
Arbeit δW für das Gesamtsystem.
( ) Formulieren Sie das Prinzip von Hamilton für das untersu hte System.
(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdierentialglei hung und die dynamis hen Randbedingun-
gen her.
Geg.: M0, Ω, L, EI, A, µ
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90. Ein massebehafteter elastis her Stab (Dehnsteigkeit EA,Massebelegung µ, Länge l) ist am linken Rand (x = 0)fest eingespannt und trägt am re hten Rand (x = l) einePunktmasse m. Die Punktmasse ist auÿerdem über eine
Feder (Steigkeit k) an die Umgebung gekoppelt.
PSfrag repla ements x
m
k
EA, µ, l
Die Feder sei entspannt, wenn der Stab unverformt ist. Es werden auss hlieÿli h Längss hwin-
gungen u (x, t) betra htet.
(a) Wie lautet die geometris he Randbedingung für das System?
(b) Bere hnen Sie die kinetis he Energie T und die potentielle Energie U des Gesamtsystems.
( ) Formulieren Sie das Prinzip von Hamilton für das untersu hte System.
(d) Leiten Sie die Bewegungsdierentialglei hung und die dynamis he Randbedingung her.
Geg.: m, k, l, EA = konst., µ := ρA = konst.,
91. Gegeben ist ein einfa hes Modell für S hwingungen
eines Gleisbetts unter Einwirkung eines mit der Ge-
s hwindigkeit v in x-Ri htung bewegten Eisenbahn-
radsatzes. Die S hiene wird dur h einen s hlanken
Euler-Bernoulli-Balken (µ,EI = konst.) und
das S hotterbett und die S hwellen dur h die kon-
stante elastis he Bettung c0 abgebildet.
PSfrag repla ements
v · tF
x
w(x, t) l
µ,EI
c0
Der Balken ist auÿerdem in der skizzierten Weise gelagert. Die S hwerkraft des Balkens wird
verna hlässigt. Der bewegte Radsatz wird dur h eine Einzelkraft F abgebildet, die si h zum
Zeitpunkt t an der Stelle x = v · t bendet.
(a) Geben Sie mit Hilfe der Deltafunktion δ(ξ) die wirkende Einzelkraft F als Stre kenlast
q(x, t) an.
(b) Ermitteln Sie die kinetis he Energie T , die potentielle Energie U und die virtuelle Arbeit
δW der potentiallosen Kräfte und Momente für 0 ≤ t ≤ lv.
( ) Geben Sie die geometris hen Randbedingungen an.
(d) Ermitteln Sie über das Prinzip von Hamilton die Bewegungsdierentialglei hung und
die dynamis hen Randbedingungen für 0 ≤ t ≤ lv.
Geg.: F , v, µ := ρA, EI, l, c0
92. Eine (dehnstarre) Saite der Länge l wird mit Fs vorge-
spannt und trägt die Masse pro Länge µ := ρA. LeitenSie die Bewegungs-Dierentialglei hung mit dem Prin-
zip der kleinsten Wirkung (Prinzip von Hamilton) her.
Geg.: Fs, µ, l
PSfrag repla ements
Fs
z, w(x, t)
ρA
x
l
Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 34
20. September 2013
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93. Ein eingespannter, massebehafteter Stab mit kreisför-
migem Quers hnitt trägt an seinem Ende eine Einzel-
masse.
(a) Wie lautet die geometris he Randbedingung für
das System?
(b) Bere hnen Sie die kinetis he Energie T und die
potentielle Energie U für das Gesamtsystem.
PSfrag repla ements
G, Ip, A, ρ
m
rϑ(l)
x
yz
l
( ) Formulieren Sie das Prinzip von Hamilton für das untersu hte System.
(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdierentialglei hung und die dynamis he Randbedingung
her.
Geg.: l, m, G, Ip, A, ρ, r