Upload
yasheive-saadi
View
1.112
Download
20
Embed Size (px)
DESCRIPTION
fourier terjemahan
Citation preview
DERET FOURIER
1. PENDAHULUAN
Masalah yang melibatkan getaran atau osilasi sering terjadi dalam fisika dan rekayasa.
kamu dapat memikirkan contoh Kamu telah bertemu/melihat peristiwa garpu tala bergetar,
bandul, berat badan yang melekat pada musim semi, Wates gelombang,gelombang suara, arus
listrik bolak-balik, dll. Selain itu, ada lebih banyak contoh yang kamu akan temukan ketika kamu
melanjutkan untuk mempelajari fisika.Beberapa dari mereka misalnya, konduksi panas, medan
listrik dan magnet, cahaya tidak muncul dalam dasar kerja untuk memiliki sesuatu berosilasi
tentang mereka, tapi akan berubah jika kamu lebih bekerja maju untuk melibatkan sinus dan
cosinus yang digunakan dalam menggambarkan gerak harmonik sederhana dan gerak gelombang.
Dalam bab I kita membahas penggunaan deret kuasa untuk perkiraan banyak masalah
rumit fungsi.Di, seri disebut deret Fourier, yang istilah yang sinus dan cosinus, lebih berguna dari
deret pangkat.Di kekuatan bab ini kita akan melihat bagaimana untuk menemukan dan
menggunakan deret Fourier. Kemudian, dalam bab 13 (bagian 2 sampai 4), kita akan
mempertimbangkan beberapa masalah fisika yang Fourier berusaha memecahkan ketika ia
menemukan deret Fourier.
2. SEDERHANA HARMONISA GERAK DAN GERAK GELOMBANG;
CATATAN FUNGSI
Kami akan membutuhkan banyak notasi dan terminologi yang digunakan dalam
membahas gerak harmonik sederhana dan gelombang gerak. Mari kita bahas dua topik singkat.
Unsur P bergerak dengan kecepatan konstan berputar
mengelilingi dengan jari-jari A. Pada waktu yang sama, unsure
Q bergerak naik dan turun (bergerak bolak-balik) melalui garis
lurus memotong RS di daerah koordinat P dan Q selalu sama.
Jika ω adalah kecepatan anguler terhadap P dengan rad/sekon,
dan (Gambar 2.1) θ = 0 ketika t = 0, kemudian beberapa
waktu t
(2.1) θ = ωt .
Pada koordinat y terhadap Q (yang mana sama dengan koordinat y terhadap P) adalah
Nama : NPM : 094211Kelas : Fisika IID
(2.2) y = A sin θ = A sin ωt .
Gerakan mundur dan maju di Q disebut Gerak Harmonik Sederhana. Dengan definisi, sebuah
obyek yang melakukan gerak harmonic jika mengalami perpindahan dari keseimbangannya dapat
ditulis A sin ωt [atau A cos ωt atau A sin (ωt+φ ), tetapi dua fungsi ini berbeda dari A sin ωt
hanya mengubah mulanya; fungsi ini dapat disebut fungsi sinus]. Kamu dapat memikirkan
beberapa contoh fisik dari jenis getaran sederhana: sebuah bandul/buaian, garpu tala, nilai gerak
naik-turun (gerak bolak-balik) pada akhir sebuah getaran.
Pada koordinat x dan y dari unsure P pada gambar 2.1 adalah
(2.3) x = A cos ωt , y = A sin ωt .
Apabila kita bayangkan P pada titik z = x + iy dalam bilangan kompleks, kita dapat mengganti
2.3 dengan persamaan tunggal untuk menjelaskan gerak P:
(2.4) z = x + iy = Acos ωt+i sin ωt
= Ae lcos
Ini sering bernilai ketika menggunakan notasi bilangan kompleks untuk menjelaskan gerak Q;
kemudian kita mengetahui bahwa posisi sebenarnya Q sama dengan bagian bilangan imajiner
dari z (atau dengan perbedaan kondisi permulaan bagian bilangan real z). sebagai contoh,
kecepatan Q di bagian imajiner
(2.5)
dzdt
= ddt
( Ae lcos )=Aiωel cos=Aiω (cosωt+sin ωt ).
[Pada bagian imajiner 2.5 adalah A cos ωt , yang mana
dydt dari 2.2.]
Ini berguna untuk menggambarkan sebuah grafik x atau y di 2.2 dan 2.3 seperti fungsi t.
Bilangan 2.2 mewakili beberapa fungsi sin ωt , cos ωt , sin( ωt+φ) apabila kita mengubah
awalnya dengan tepat. Pada angka A disebut amplitude getaran atau amplitude fungsi. secara
phisik itu adalah penggantian/jarak yang maksimum Q dari posisi keseimbangan nya. Periode
gerak harmonik sederhana atau periode fungsi adalah waktu untuk melakukan getaran lengkap,
yaitu adalah, 2π/ω ( Lihat Gambar 2.2).
Kita bisa tulis kecepatan Q dari ( 2.5) sbb:
(2.6) dydt
= Aω cos ωt = B cos ωt .
Di sini B adalah nilai maksimum kecepatan dan disebut kecepatan amplitudo Catatan bahwa
kecepatan [itu] mempunyai periode yang sama ketika penggantian/jarak [itu]. Jika massa partikel
Q adalah m, maka energy kinetic adalah:
(2.7) energy kinetik = 12
m dydt
² = ½ m B2 cos2 ωt .
Kita sedang mempertimbangkan suatu osilator harmonik diidealkan yang tidak hilangkan energi.
Kemudian total energi ( kinetik + potensial) harus sebanding dengan nilai yang paling besar dari
energy kinetic yaitu adalah ½ mB2. Sehingga kita dapat :
( 2.8) Total energy = ½ m B2
Pesan bahwa energi adalah sebanding tegak lurus ( percepatan) amplitudo; kita akan
menyimpulkan hasil ini yang kemudiannya ketika kita mendiskusikannya.
Gelombang adalah contoh penting yang lain dari suatu peristiwa getaran. Gagasan
matematik untuk gerak gelombang adalah bermanfaat dalam banyak bidang; sebagai contoh, kita
memperbincangkan tentang gelombang air, gelombang suara, dan gelombang radio. Mari kita
mempertimbangkan, sebagai contoh sederhana, gelombang air di mana bentuk permukaan air
adalah ( dengan tidak realistic!) suatu kurva-sinus. Kemudian jika kita mengambil suatu foto
(saat tertentu t= 0) tentang permukaan air, persamaan dari gambar-an ini yang dapat ditulis
( sehubungan dengan kampak sesuai).
(2.9) y = A sin 2 πx
λ
Di mana x menghadirkan jarak horisontal dan λ adalah jarak antara puncak gelombang. Pada
umumnya λ disebut panjang gelombang , tetapi mathematically [itu] adalah bentuk kesamaan
fungsi periode fungsi x. Sekarang mengira, kita mengambil foto lain ketika gelombang sudah
bergerak maju dengan suatu jarak vt ( v adalah kecepatan gelombang dan t adalah waktunya
antara gambar ). Gambar 2.3 pertunjukan dua foto melapiskan. Amati bahwa nilai y di titik x
pada grafik memberi label t, adalah sama seperti nilai y di titik (x – πι) pada grafik label t= 0.
Jika ( 2.9) adalah persamaan gelombang pada t= 0, kemudian
(2.10) y = A sin 2 πχ
λ ( x−vt )
Hadirkan gelombang pada waktu t. merupakan gelombang pada waktu t. kita bisa menafsirkan
(2.10) dengan cara lain. Misalkan anda berdiri pada satu titik di dalam air [tetap x pada (2.10)].
Dan mengamati gerakan naik turun air, yaitu, y di (2.10) sebagai fungsi t (untuk tetap x). Ini
adalah gerak harmonik sederhana A λ amplitudo dan periode / v, Anda melakukan sesuatu analog
dengan ini ketika Anda berdiri diam dan mendengarkan suara (gelombang suara melewati telinga
Anda dan Anda amati frekuensi mereka) atau saat Anda mendengarkan radio (gelombang radio
penerima lulus dan itu bereaksi terhadap frekuensi).
kita melihat bahwa dalam (2.10) sebagai fungsi periodik salah satu dari x (t tetap) atau t
(x tetap); kedua interpretasi berguna. Itu tidak membuat perbedaan dalam matematika dasar,
tetapi yang tertulis yang kami gunakan untuk variable.untuk independen menyederhanakan notasi
kita biasanya akan menggunakan x sebagai variabel, tetapi jika masalah fisik panggilan untuk itu,
Anda dapat mengganti x dengan t.
sinus dan cosinus adalah fungsi periodik; sinx sekali Anda telah ditarik dari x = 0 ke x =
2π, sisa grafik dari x =- ∞ ke x = ± ∞ hanya pengulangan di atas dan lebih dari grafik 0 sampai
2π. Nomor 2π adalah periode dosa x. Sebuah fungsi periodik tidak perlu menjadi sederhana atau
sinus kosinus, tetapi mungkin akan ada semacam grafik yang rumit yang berulang (gambar 2.4).
Interval pengulangan adalah periode. Sebagai contoh, jika kita jelaskan,getaran dari bandul detik,
jangka waktunya adalah 2 detik Interval pengulangan adalah periode. Sebagai contoh, jika kita
jelaskan getaran dari bandul detik. periode tersebut adalah 2 detik (waktu untuk satu osilasi
lengkap back-dan-sebagainya). Kebalikan periode adalah frekuensi, jumlah osilasi per detik,
untuk bandul detik, frekuensi adalah 1 / 2 per detik. Ketika annpuncers radio mengatakan,
"beroperasi pada frekuensi 780 kilohertz," mereka berarti bahwa gelombang radio mencapai
780.000 Anda per detik, atau periode thatthe satu gelombang adalah (1 / 780, 000) sec. Menurut
definisi, functionf (x) periodik jika f (x + p) = f (x) untuk setiap: p nomor periode. Periode dosa x
adalah 2π karena dosa (x +2 π) = sin x; sama, periode sin 2πx adalah 1
sin 2π (x = 1) = sin (2πx +2 π) = sin 2πx
dan periode sin (πx/l) adalah 2l sehingga (π / ln) (x +2 l) = sin (πx / l). Secara umum, periode 2πx
sinus / T = T.
MASALAH, BAGIAN 2.
Dalam masalah 1 sampai 6 menemukan amplitudo, periode, frekuensi, dan amplitudo kecepatan
untuk gerak partikel yang jarak s dari asal adalah fungsi yang diberikan.
1. S= 3 cos 5t
2. S=2 sin(4t-1)
3. S=1/2 cos (πt-8)
4. S=5 sin (t-π)
5. S= 2 sin 3t cos 3t
6. S= 3sin (2t+π/8)+ 3sin (2t-π/8)
PERMASALAHAN, Bagian ke 2
Pada soal 7-10 anda diberi sebuah fungsi kompleks z=f(t).Tunjukkan bahwa partikel yang
koordinatnya (a) x= Re z,(b) y= Im z mengalami gerak harmonic sederhana,dan temukan
amplitude,periode,frekuensi,kecepatan amplitude dari gerakan tersebut!
7. z= 5e it 8. z=2e –k/2 9.z= 2e ixt 10. z=-4e k2t+3xi
11. Muatan q pada kapasitor a dalam sebuah rangkaian a-c sederhana berubah dengan waktu
berdasarkan persamaan q= 3 sin (120πt+π/4).Temuka ampitudo,periode,dan frekuensi dari
osilasi ini.Dari pengertian,kuat arus dalam rangakaian saat t adalah I: dq/dt. Tunjukkan bahwa
I sebagai fungsi sinus dari t, dan temukan amplitudo,periode,dan frekuensi.
12.Ulangi soal 11 : (a) jika q= Re 4e 30iπt, (b) jika q= Im 4e 30iπt
θ
t
x m
13. Sebuah bandul sederhana dengan massa m ditahan,seperti pada gambar denga sebuah benang
(massa diabaikan).Buktikan bahwa untuk osilasi-osilasi kecil (θ kecil),0 dan x adalah fungsi
sinus dari waktu.
Petunjuk: tulislah pertidaksamaan F=ma untuk m.Gunakan perkiraan sin θ =0 untuk θ
kecil,dan buktikan bahwa V=A sin ωt adalah pemecahan dari persamaanmu.Tentukan A dan
ω!
14. Perpindahan x dari 2 bandul sederhana (lihat soal 13) adalah 4 sin (πt/4) .Mereka mulai
bersama di x=0.Berapa lama ini akan terjadi sebelum mereka bersama lagi di x= 0?
Petunjuk : Temukan periode dan gambarlah kedua gerakan tersebut.
15. Seperti soal 14, jarak x dari 2 bandul sederhana adalah x= -2 cos (t/2) dan 3 sin(t/3).Mereka
tidak bersama saat t= 0.Buatlah gambar untuk menemukan kapan mereka pertama kali
bersama.
16.Seperti soal 14,biarkan jarak menjadi 3 sin(t/√2) dan sin t.Bandul-bandul tersebut mulai mulai
bersama di x=0.Gambarlah untuk memperkirakan kapan mereka akan bersama lagi.Kamu
bisa menggunakan kalkulator.
17. Buktikan persamaan (2.10) untuk sebuah gelombang dapat ditulis :
Y= A sin 2π/λ (x-vt)= A sin 2π(x/ λ – 1/T)
= A sin ω (x/v - t) = A sin (2 πx/ λ- 2πft) = A sin 2π/T(x/v -t)
X adalah panjang gelombang,f adalah frekuensi,v adalah kecepatan gelombang, T periode,
dan ω: 2πf disebut frekuensi anguler.Buktikan bahwa v = if.
Pada soal 18-20,tentukan amplitude,periode,frekuensi,kecepatan gelombang,dan panjang
gelombang dari gelombang tersebut.Gambarkan dalam sebuah fungsi x untuk setiap nilai t, dan
sebuah fungsi t untuk setiap nilai x.
18. y= 2 sin 2/3 π(x-3t) ; t = 0,t = ½; x=0,x=1
19. y=cos 2π (x- ½ t), t=0,1,2 ; x =0, ½ ,1
20. y= 3 sin π(x- ½t) ; t=0,1,2 ;z=0,1,2
21. Tulislah persamaan untuk sebuah gelombang dengan panjang gelombang 4,amplitude 20 dan
kecepatan 6.(Lihat soal 17).Buatlah gambar dari y sebagai fungsi t untuk x= 0,1,2,3 dan y
sebagai sebuah fungsi
Dari x untuk t = 0,1/6,1/3, ½. jika gelombang ini merupakan bentuk sebuah tali panjang yang
sedang terguncang bolak-balik di salah satu ujung eilotof menemukan partikel kecepatan dari
para ropeas fungsi x dan t. (Perhatikan bahwa kecepatan ini telah mencatat hubungannya
dengan kecepatan gelombang yang tingkat di mana puncak-puncak gelombang bergerak
maju)
22. Mengerjakan soal 21 untuk periode amplitude 6, gelombang 6, grafik 3,skes panjang
gelombang sebagai suatu fungsi x ketika t = 0, 1, 2, 3, dan sebagai berfungsi utama ketika x
= ½, 1, 3/2, 2.
23. Menulis persamaan untuk gelombang suara sinusoidal I amplitudo dan frekuensi 440 hertz
(1 hertz berarti 1 siklus per detik.). (Ambil kecepatan suara 350 m/sec)
24. Kecepatan suara dalam air laut sekitar 1530 m/sec. Menulis persamaan untuk sebuah
gelombang suara sinusoidal dalam Osean, I amplitudo dan frekuensi 1000 hertz.
25. Menulis dan persamaan untuk gelombang radio sinusoidal amplitude 10 dan frekuensi 600
kilohertz. Petunjuk : kecepatan gelombang radio kecepatan cahaya = 3.10 m/sec.
3. APLIKASI DARI SERI FOURIER
Kami telah mengatakan bahwa getaran garpu tala adalah contoh gerak harmonik
sederhana. Ketika kita mendengar not yang dihasilkan, kita mengatakan bahwa sebuah
gelombang suara telah lulus melalui udara dari garpu tala untuk pendengaran. Sebagai garpu tala
bergetar adalah mendorong terhadap molekul udara, bergantian menciptakan tokoh daerah
tekanan tinggi dan rendah. (gambar 3.1)
Jika kita mengukur tekanan sebagai fungsi dari x dan t dari garpu berjalan sebagai, kita
menemukan bahwa tekanan adalah dari (2.1). Jika kita mengukur tekanan di mana kita sebagai
fungsi t sebagai gelombang berlalu, kita menemukan bahwa tekanan adalah fungsi periodik dari t.
gelombang suara adalah gelombang sinus murni frekuensi tertentu dalam bersamaan. Dalam
gelombang suara dihasilkan, tekanan tidak akan menjadi fungsi sinus tunggal tetapi jumlah fungsi
sinus serval. Jika kunci piano Anda tidak mendapatkan sejumlah nada (harmonisa) frekuensi 2, 3,
4, ..., kali frekuensi dasar. frekuensi yang lebih tinggi berarti periode pertengahan sortir. Jika sin
n dan cos n hubungan ke harmonik yang lebih tinggi.. Kombinasi yang fundamental dan
harmonik merupakan fungsi periodik rumit dengan periode fundamental (masalah 5). Mengingat
fungsi rumit, kita bisa bertanya bagaimana untuk menuliskannya sebagai jumlah istilah sesuai
dengan Mengingat fungsi yang rumit, kita bisa mengetahui bagaimana menulis itu sebagai jumlah
dari istilah sesuai dengan berbagai harmonik. Secara umum mungkin memerlukan semua
harmonisa, yang merupakan rangkaian tak terbatas. Istilah ini disebut deret Fourier. Memperluas
fungsi dalam seri Fourier maka jumlah untuk memecahnya ke dalam berbagai harmonisa.
Bahkan, proses ini kadang-kadang disebut analisis harmonik.
Ada aplikasi untuk bidang lain selain suara. Gelombang radio, cahaya tampak, dan sinar
X adalah contoh dari jenis gerak gelombang. Di mana "gelombang" sesuai dengan berbagai
kekuatan medan listrik dan magnet. Tepat persamaan matematika yang sama berlaku bagi
gelombang air dan gelombang suara. Kita kemudian bisa mengetahui frekuensi cahaya (ini
berhubungan dengan warna) berada dalam Bearn cahaya yang diberikan dan dalam proporsi
apapun. Untuk menemukan jawabannya, kami akan memperluas fungsi yang diberikan dengan
menggambarkan gelombang dalam deret Fourier.
Anda mungkin telah melihat kurva sinus digunakan untuk mewakili arus bolak-balik (AC)
atau tegangan listrik. Ini adalah fungsi periodik, tapi begitu juga fungsi ditunjukkan pada Gambar
3.2. Semua ini mungkin merupakan sinyal (tegangan atau arus) yang harus diterapkan pada
sebuah sirkuit listrik
.
Gambar 3.2
Kemudian kita bisa mengetahui gambar frekuensi a-c. Dimana frekuensi tersebut
membuat sebuah sinyal yang diberikan dalam suatu proporsi. Ketika sinyal listrik dilewatkan
melalui jaringan (misalnya radio), beberapa harmonik bisa hilang. Hal ini disebabkan karena
sebagian besar sinyal yang lewat dengan intensitas relatif. Untuk mengetahui keharmonikan
dalam suatu sinyal yang diberikan, kami memperluas itu dalam serangkaian Fourier.
Persyaratanmya adalah dengan memberikan koefisien besar sehingga bisa dinamakan sebagai
harmonisa penting atau frekuensi.
Sinus dan cosinus itu adalah fungsi periodik, tampaknya itu lebih mudah digunakan,
daripada deret pangkat. Ada alasan lain yang penting, darimana koefisien dari deret pangkat
diperoleh. Anda bisa melihatnya pada Bab 1 Bagian 12, dengan menemukan turunan berturut-
turut dari fungsi yang diperluas pada seri listrik.. Banyak fungsi periodik dalam prakteknya tidak
terdiferensiasi ornot kontinyu (Gambar 3.2). Untungnya, seri Fourier (seperti deret pangkat)
dapat mewakili fungsi terputus-putus atau fungsi grafik yang memiliki sudut. Namun pada
penggunaan lain diperlukan kejelian untuk memanipulasi seri Fourier tersebut. Misalnya,
biasanya anda tidak dapat membedakan istilah deret Fourier dengan istilah lain. (Untuk detail
lebih lanjut, lihat referensi pada seri Fourier)
Fungsi f(x) pada interval (a,b) untuk rataan angka dari f(x). Gambar 4.1
(4.1) Rataan f(x) pada (a,b) mendekati persamaan
f ( x1 )+f ( x2 )+.. . .+ f ( xn )n
Pendekatan akan menjadi lebih baik jika n makin besar. Misalkan selang antara x1 ,x2 ,…,adalah
Δx. Perkalian angka dan denominator mendekati rataan Δx. Pada persamaan (4.1) :
(4.2) Rataan f(x) pada (a,b) mendekati persamaan
[f ( x1 )+.. . .+ f ( xn )] Δx
nΔx
Sekarang n Δx = b – a, panjang interval dimana rataan, no matter what n dan Δx are. Jika n → ∞
dan Δx → 0, angka mendekati ∫a
b
f(x) dx dan mempunyai
Dalam aplikasi, sering terjadi rataan nilap pada sebuah kedudukan adalah nol/titik
terendah. Sebagai contoh , rataan dari sin x di atas setiap bilangan dari periods adalah nol/titik
terendah. Rataan nilai dari velocity dari suatu oscillator fungsi sederhana di atas setiap bilangan
pada getaran adalah nol/titik terendah. Dalam hal seperti ini rataan kotak pada kedudukan yang
mungkin dari bagian. Sebagai contoh, jika perubahan arus listrik mengalir melalui sebuah kabel
adlah menggambarkan suatu kedudukan sin, kotak akar dari rataan atau tepatnya nilai dari arus,
dan kamu akan mengukur dengan sebuah a-c ammeter. Dalam contoh dari oscillator fungsi
sederhana, rataan energy kinetic (rataan dari
12 m v
2) adalah
12 m waktu rataan dari v
2.
Sekarang kamu bisa menyajikan rataan nilai dari sin2
x pada sebuah periode ( say
– π to π ) dengan melihat lengkap pada persamaan (4.3) di dalam kotak dan menentukan nilainya.
Di sana sebagai casier way which adalah well harga diketahui. Dengan
menimbang/mempertimbangkan grafik dari cos2
x dan sin2
.
(4.3) Rataan f(x) pada (a,b) =
∫a
bf ( x )dx
b−a
GAMBAR GRAFIK 4.2
(Pada grafik 4.2) kamu dapat memungkinkan bahwa daerah kedua grafik tersebut sama dengan
seperempat periode dari nol sampai π2
,π2
sampai π.
(4.4) ∫−π
π
sin2 xdx=∫−π
π
cos2 x dx
(integral n ≠ 0 )
(4.5) ∫−π
π
sin2 nx dx=∫−π
π
cos2nx dx
Tapi sin2nx +cos2nx =1
(4.6) ∫−π
π
¿¿nx + cos2 x ¿dx=∫−π
π
dx=2 π
Menggunakan (4.5)
(4.7) ∫−π
π
sin2 nx dx=∫−π
π
cos2 nxdx=π
Dengan menggunakan (4.3) perhatikan:
Persamaan (4.5), nilai rata-rata dari sin2 nx sama dengan nilai rata-rata dari cos2 nx paada nilai
rata-rata sin2nx + cos2n=1 adalah 1. Semua nilai rata-rata dari cos2nx atau sin2nx adalah ½.
Permasalahan 4
1. Perhatikan jika f(x) memiliki periode p, nilai rata-rata pada f sama dengan nilai interval
yang panjangnya p
∫a
a+p
f ( x ) dx sama dengan 2 persamaan integral (a sampai p,dan p sampai a+p) dan
menggunakan variabel x=1 +p pada integral kedua.
2.ajika ∫0
π2
sin2 x dx=∫0
π2
cos2 x dx . Didapatkan dengan menggunakan variabel x=12
π−t pada salah
satu integralnya.
(4.8) nilai rata-rata dari sin2 nx= nilai rata-rata dari cos2nx
¿ 12 π
∫−π
π
sin2 nxdx= 12 π
∫−π
π
cos2 nx dx= π2 π
=12
(b) gunakan metode yang sama untuk menyatakan rata-rata dari sin2 (nπx/l) dan cos2 (nπx/l)
merupakan akhir sebuah periode.
Pada masalah 3 sampai 12, nilai rata-rata dari fungsi yang diberikan secara interval. Perhatikan
persamaan (4.8) jika diperlukan. Jika nilai rata-rata sama dengan nol, boleh di selesaikan dari
sketsa.
3. sin x+2sin2 x+3 sin 3x pada(0,2 π )
4. 1−e−x pada(0,1)
5. cos2 x2
pada(0 ,π2)
6. sin x pada (0 , π )
7. x−cos26 x pada(0 ,π6
)
8. sin 2 x pada(¿ π6
,7 π6
)¿
9. sin2 3 x pada(0,4 π )
10. cos x pada (0,3 π)
11.sin x+sin2 x pada(0,2 π)
12. cos2 7π2
pada(0 ,87)
13. menggunakan persamaan (4.3) dan persamaan yang sama untuk (4.5) sampai (4.7) bahwa
∫a
b
sin2kx dx=∫a
b
cos2 kx dx=12(b−a)
Jika k(b-a) maka dikalikan π.
Hasil dari persoalan 13 untuk mengevaluasi integral tanpa di kalkulasi.
14. (a) ∫0
4 π /3
sin2( 3x2 )dx (b) ∫
– π /2
3 π /2
cos2( x2 )dx
15. (a) ∫−1/4
11/4
cos2 πx dx (b)∫−1
2
sin2( πx3 )dx
16. (a) ∫0
2 πω
sin2 ωt dt (b) ∫0
2
cos2 2 πt dt
5. KOEFISIEN FOURIER
Kita akan megembangkan fungsi periodik pada persamaan sinus dan cosinus. Untuk
menyederhanakan rumus pertama, kita akan mulai dengan fungsi 2πdan fungsi dasar sin nx dan
cos n sama dengan sin nωtdan nωt . Kemudian kita akan melihat bagaimana kita dapat
menggunakan rumus – rumus tersebut ke periode differensial. Fungsi sin x dan cos xmemiliki
periode 2 π , sehingga sin nx dengan cos nx untuk berbagai integral n sehingga sin n (x+2 π)= sin
(nx+2 nπ) = sin nx, diberikan fungsi f(x) pada periode 2 π maka,
f ( x )=12
a0+a1 cos x+¿a2cos2 x+a3 cos3 x+…¿
+b1sin x+b2 sin 2x+¿b3sin 3 x+…¿
(5.1)
dan mendapat rumus untuk koefisien an dan bn. ( alasan untuk menulis ½a0 istilah konstan sebagai
akan [jadi] cerah nanti ini mke rumus untuk koefisien lebih sederhana ingat tetapi kamu harus
tidak melupakan ½ di seri ini !
kami menemukan rumus dari an dan bn di (5.1) kita membutuhkan integral berikut :
kami telah menunjukkan bahwa nilai rata-rata sin2 nx dan cos2 nx adalah ½. integral di (5.2) bilai
rata-rata dari 1 yang mana adalah 1. pertunjukan bahwa nilai rata-rata lain di (5.2) adalah nol,
kami dapat menggunakan rumus trigonometri untuk produk seperti sin θ cos dan kemudian
integrasikan. lebih mudah jalan menggunakan rumus untuk sinus dan kosinus bersifat exponen
gabungan dalam kaitan dengan.[lihat (7.1)] kami akan pertunjukan metode ini untuk satu integral.
(5.3) ∫−π
π
sin mx cos nxdx=¿∫−π
πelnx−e−lnx
2i− elnx+e−lnx
2 idx .¿
kami dapat lihat hasil tanpa sebenarnya mengalikan ini keluar. semua syarat-syarat di produk dari
e lnx, dimana bilangan bulat ≠ 0 ( kecuali cress-product syarat-syarat bila n=m, dan ini batal). kami
dapat menunjukan bahwa integral dari tiap sub istilah nol:
(5.4) ∫−π
π
e lnx dx= elnx
ik∫−π
π
¿ e lnx−e−lnx
ik=0
Karena e lnx=e−lnx=cos kπ (dimulai sin kπ=0¿. Integral lain pada bulan mei mengevaluasi
dengan cara yang sama (masalah 12). kami sekarang menunjukkan bagaimana menemukan an dan
bn di (5.1). menemukan a0, kami menemukan:
(5.5) ¿ 12 π
∫−π
π
f ( x ) dx=a0
21
2 π∫−π
π
dx+a11
2 π∫−π
π
cos x dx
(5.2) bilai rata-rata nilai sin mx cos nx ( melalui periode)
¿ 12 π
∫−π
π
sin mx cosnx dx=0
bilai rata-rata nilai sin mx sin nx ( melalui periode)
¿ 12 π
∫−π
π
sin mx sin nx dx=¿ { 0 , m≠ n ,12
, m=n ≠0 ,
0 ,m=n=0
¿
bilai rata-rata nilai cos mx sin cos nx ( melalui periode)
¿ 12 π
∫−π
π
cosmx cos nx dx=¿ { 0 ,m≠ n ,12
, m=n≠ 0 ,
1 , m=n=0
¿
+ a2 1
2 π∫−π
π
cos2 xdx+…+b 11
2 π∫−π
π
sin x dx+…
Dengan (5.2), semua integral di sisi kanan (5.5) adalah nol kecuali yang pertama, karena mereka
adalah integral dari mx cos nx dosa atau cos cos nx mx dengan n = 0 dan m≠0 (tat adalah , m≠n).
maka kita miliki.
(5.6)
12 π ∫−π
πf ( x )dx
=
a0
2
12 π ∫−π
πdx
=
a0
2 ,
a0 =
1π ∫−π
πf ( x )dx
Diberikan f (x) yang akan diperluas dalam serangkaian Fourier, sekarang kita dapat mengevaluasi
a0 dengan menghitung integral dalam (5.6)
Untuk menemukan a1 , kalikan kedua sisi (5,1) dengan cos x dan lagi menemukan nilai rata-rata
setiap istilah:
(5.7) 2
1∫−π
πf ( x )cos xdx
=
a0
21
2 π ∫−π
πcos xdx
+ a1
12 π ∫−π
πcos2
x dx
+ a2
12 π ∫−π
πcos2 x cos xdx
+ ………
+ b1
12 π ∫−π
πsin x cos xdx
+………
Kali ini, oleh (5.2), semua persyaratan di sebelah kanan adalah nol kecuali
12 π ∫−π
πcos2
x dx =
12
Penyelesaian untuk a1 , kami telah
a1 =
1π ∫−π
πf ( x )
cos x dx
Metode ini harus jelas sekarang, jadi kita berikutnya akan menemukan rumus umum untuk
sebuah an . Kalikan kedua sisi (5,1) dengan nx cos dan menemukan nilai rata-rata. setiap istilah.
(5.8)
12 π ∫−π
πf ( x )cosnxdx
=
a0
21
2 π ∫−π
πcos nxdx
+a1
12 π ∫−π
πcos x cosnxdx
+a2
12 π ∫π
πcos2 x cosnxdx+.. . .. .. . ..
+ b1
12 π ∫−π
πsin x cosnxdx+.. . .. .. .
Dengan (5.2), semua persyaratan di sebelah kanan adalah nol kecuali satu.
12 π ∫−π
πcos2nxdx=
12
Penyelesaian untuk an ,kita punya
(5.9) an =
1π ∫−π
πf ( x )cosnxdx
Sekarang kita memiliki seri, tetapi masih ada beberapa pertanyaan yang kita harus mendapatkan
jawaban. Kita menemukan, dan jika demikian, apakah kita menemukan dengan nilai dari f (x)?
Anda akan menemukan, jika Anda mencoba, bahwa untuk sebagian besar nilai x seri dalam
(5.12) tidak menanggapi salah satu tes untuk konvergensi yang kita bahas dalam bab 1.Apa
adalah jumlah seri di x = 0 di mana f (x) melompat dari 0 ke 1? Anda dapat melihat dari seri
(5.12) bahwa nilai pada x = 0 adalah ½, tapi apa hal ini harus dilakukan dengan f (x)?
Pertanyaan ini tidak akan mudah bagi kita untuk menjawab untuk diri kita, tetapi mereka
menjawab bagi kita untuk tujuan praktis paling oleh teory dari dirichelt:
Jika f (x) adalah periode 2π periodik, dan jika antara-π dan π itu adalah nilai
tunggal, memiliki jumlah maksimum dan nilai minimumterbatas, dan jumlah
terbatas diskontinuitas dan jika terbatas, ∫−π
π
|f ( x )|dx maka seri Fourier (5.1) (dengan
koefisien diberikan (5.9) dan (5.10) menyatu ke titikf (x) pertengahan di mana f (x)
kontinu, di seri Fourier melompat menyatu dengan titik tengah melompat (ini
termasuk melompat yang terjadi pada ± π untuk fungsi periodik).
Untuk melihat apa artinya semua ini, kita harus mempertimbangkan beberapa fungsi.kita
khusus telah membahas apa fungsi means.fungsi periodic f (x) adalah nilai tunggal jika hanya ada
satu nilai dari f (x) untuk setiap f(x) contoh x. jikax2+ y2=1 , y bukan fungsi bernilai tunggal x,
kita pilih hanya y =+√1−x2 atau hanya y =−√1−x2
Contoh fungsi dengan jumlah tak terbatas
maxima dan minima adalah sin
1x , yang berosilasi jauh banyak timesas x 0.jika kita
membayangkan suatu fungsi yang dibangun dari sin(
1x )dengan membuat f (x) = 1 untuk setiap x
yang sin (
1x )> 0, dan f (x) = -1 untuk setiap x, untuk setiap x yang sin(
1x ) <0, fungsi ini akan
memiliki jumlah tak terbatas tidak kontinuitas .kamu bisa melihat bahwa fungsi yang paling
Anda cenderung untuk bertemu dalam pekerjaan yang diterapkan tidak akan seperti ini, tetapi
akan memuaskan mereka dirichelt kondisi.
Akhirnya, jika y =
1x , kita menemukan
∫−x
x
|1x|dx=2∫
0
x1x
dx=2 ln x|0x=∞
Jadi fungsi ini diperintah oleh kondisi.pada dirichelt sisi lain, jika f (x) =,
1
√x maka
∫−x
x1
√|x|dx=2∫
0
xdx√ x
=4 √x|0x=4√π
Jadi fungsi periodik yang
1
√x antara-π dan π dapat diperluas dalam seri Fourier. Dalam masalah
yang paling tidak diperlukan untuk menemukan nilai dari ∫π
π
l f (x)l dx. Mari kita lihat mengapa.
Jika ƒ(x) dibatasi ( yaitu semua nilai yang terletak antar ± M ∫konstan positif), maka
∫ | ƒ ( x) | dx ≤ ∫ M dx = M 2π
Dan begitu juga terbatas , sehingga anda cukup benar bahwa fungsi anda sedang di
pertimbangkan yang diatasi ( jika bukannya konvergensi integral). Gambar 6.1 adalah contoh
fungsi yang memenuhi kondisi tesebut Dirichlet pada ( - π,π ).
Kita lihat, maka bukan bahwa tes deret Fourier untuk konvergensi seperti yang kita
lakukan pada deret pangkat. Kita bukan memeriksa fungsi kita ingin perluas, jika memenuhi
kondisi Dirichlet kita kemudian yakin bahwa deret Fourier. Ketika kita mendapatkannya, akan
berkumpul untuk mata fungsi diperluas pada melompat dimana konvergensi titik tengah
melompat. Kita sekarang dapat kebenaran bahwa seri(5.12) sebenarnya merupakan fungsi. Kami
mulai dengan ( gambar 5.1) pada semua titik diantar titik nπ.( kami telah mencatat bahwa pada nπ
di seri memberikan nilai ½ yang setengah arah antara 0 dan 1 sebagai teorema Dirichlet
mengatakan ) . antara -π dan π yang memberikan ƒ (x) adalah single nilai ( satu nilai untuk
setiap x) dibatasi antara ( +1 dan 0) memiliki jumlah terbatas maksimal dan minimal (satu dari
masing- masing) dan jumlah terbatas diskontinuitas ( pada -π , 0, dan π) dan karena itu memenuhi
kondisi Dirichlet. Theorema Dirichlet lalu meyakinkan kita bahwa seri (5.12) sebenarnya
konvergensi untuk fungsi f(x) dalam gambar 5.1 pada semua titik kecuali x = nπ.
Itu menarik untuk melihat grafik jumlah dari sejumlah istilah dari seri Fourier. Gambar 6.2
menunujukan beberapa jumlah parsial yang berbeda dari seri dalam (5.12) untuk fungsi pada
gambar 5.1 kita dapat melihat bahwa jumlah seri mendekati fungsi jauh dari melompat dan pergi
melalui titik tengah melompat yang “overshoot” dikedua sisi . itu tidak hilang seperti kita
menambahkan istilah semakin banyak seri. Itu hanya menjadi sempit dan sempit spike tinggi
sebesar sekitar 9% dari lompat fakta disebut fenomena Gibbs.
Kita harus mengatakan disini bahwa kebalikan teorema Dirichlet adalah tidak benar, jika
fungsi gagal untuk memenuhi kondisi Dirichlet . hal itu mungkin masih dengan deret Fourier .
Fungsi periodic yang mana adalah sin ( 1/x ) pada (-π,π) merupakan contoh fungsi. Namun fungsi
tersebut jarang bertemu dalam praktek.
11. untuk Cach dari periodik berfungsi utama dalam masalah 5,1-5,11, gunakan teorema Dirichlet
untuk menemukan nilai yang seri Fourier menyatu pada x = 0, ± π / 2, ± π, ± 2π.
12. sketsa grafik jumlah tiga hal dari setiap seri dalam masalah 5.1. 5.8 dan 5.11 dan
membandingkan pendekatan ini dengan grafik dari f (x). petunjuk: sketsa setiap jangka waktu
terpisah (pada sumbu yang sama) dan menambahkan istilah grafis.
7. KOMPLEKS BENTUK deret Fourier
Ingat bahwa sinus cosinus nyata dan dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial kompleks
dengan rumus
sin nx= e lnx−e−lnx
2 i
cos nx= elnx+e−lnx
2
persamaan pengganti jika kita (7.1) menjadi serangkaian Fourier seperti (5.12), kita mendapatkan
serangkaian hal bentuk e lnx and e−lnx. ini adalah bentuk af kompleks seri Fourier. kita juga dapat
menemukan bentuk kompleks secara langsung, ini sering casier daripada menemukan bentuk
sinus-cosinus. kita kemudian bisa, jika ingin, bekerja kembali dengan cara lain dan
(menggunakan Euler's formula, bab 2, (9,3)) mendapatkan formulir sinus-cosinus dari bentuk
eksponensial.
Contoh, misalkan kita kembangkan persamaan f(x) yang telah kita kerjakan sebelumnya yaitu
(5.1) yang kita dapatka dari :
Cn = 1
2 π ∫
−π
0
e−inx . 0 . dx + 1
2 π ∫
0
π
e−inx . 1 . dx
( 7.7) = 1
2 π e
−inx
−¿ l0
π = 1
−2 πin (e−inx - 1) =
1πin
dengan n = ganjil dan 0 jika n ≠ 0
C0 = 1
2 π ∫
0
π
dx = 12
Kemudian
(7.8) f(x) = ∑−∞
∞
C n e−inx =
12
+ 1iπ
( eix
1+ e3 ix
3+ e5 ix
5+…)
+ 1iπ
(e−ix
−1+ e−3 ix
−3+ e−5 ix
−5+…)
Ini menarik untuk diuj yang mana sama dengan bab sinus _ cosines yang telah kita pelajari
sebelumnya. Kita data menggunakan rumus Euler untuk setiap eksponensial, tapi ini lebih mudah
untuk mengklasifikasikan istilah seperti ini :
(7.9) f(x) = 12
+ 2π
( eix−e−ix
−1 +
13
e3 ix−e−3 ix
−3 + ……)
= 12
+ 2π
( sin x + 13
sin 3x + …. )
Yang mana ini sama dengan (5.12)
Permasalahan seri 7.
1 sampai 11. Kembangkan persamaan persamaan yang sama pada permasalahan 5.1 – 5.11 di bab
Fourier dari eksponensial kompleks e inx pada interval (-π , π ) dan ujilah setiap
permasalahan ( dengan menggunakan rumus Euler ). Jawaban tersebut sama dengan
yang terdapat di pembahasan 5 !
12. Tunjukkan jika bilangan real f(x) aalah pengembangan eksponensial kompleks di bab
Fourier ∑−∞
∞
C n einx , kemudian C−n = C n, dimana C nberarti konjugasi komplek dari
Cn.
13. Jika f(x) = 12
a0 +∑1
∞
a0 cosnx + ∑1
∞
b0 sin nx = ∑−∞
∞
C n einx , menggunakan rumus Euler
untuk menemukan an dan bnyang berhubungan dengan C n dan untuk menemukan
C n dan C−n yang berhubungan dengan an dan bn .
8. Interval – Interval Yang Lain
Fungsi sin x dan cos x dan e inx mempunyai periode 2π. Kita telah mengetahui (-π , π )
sebagaiinterval dasar dari panjang 2π. Memberi f(x) pada (-π , π ) , pertama kita mempunyai
urian tersebut dari interval ini dankemudian mengulangi uraian tersebut ke dalam interval –
interval (π , 3π ) (3π , 5π (-3π , π ), dan lain – lain. Ada ( tak hingga ) beberapa interval – interval
yang lain dari panjang 2π.
Begitu pula dengan cos (nπx/l) dan einπx/l mempunyai periode 2l. Persamaan (5.1) dan (7.2)
sekarang diganti dengan
f(x) = a0/2 + a1 cos πx/l + a2 cos 2πx/l + … + b1 sin πx/l + b2 sin 2πx/l + …
= a0/2 + Σ1∞(an cos nπx/l + bn sin nπx/l)
f(x) = Σ-∞∞ cn einπx/l
Kita telah menemukan nilai rata-rata periode dari semua fungsi yang kita perlukan di sini
untuk mencari an, bn dan cn. Periode ini panjangnya 2l (-l sampai l), kemudian dalam mencari
nilai rata-rata dari batas tersebut kita ganti
1/2π ∫-ππ dengan 1/2l ∫-l
l
Mengingat bahwa rata-rata kuadrat dari salah satu sin atau cos atas periode tersebut adalah ½ dan
rata-rata dari einπx/l. e-inπx/l = 1 adalah 1. Maka rumus (5.9), (5.10) dan (7.6) untuk koefisien tersebut
menjadi
an = 1/l ∫-ll f(x) cos nπx/l dx,
bn = 1/l ∫-ll f(x) sin nπx/l dx,
cn = 1/2l ∫-ll f(x) e-inπx/l dx.
Untuk inerval utama (0, 2l) kita hanya perlu mengganti batas integral menjadi 0 sampai 2l. Dalam
Teorema Dirichlet hanya perlu mengganti π dengan l agar dapat diterapkan di sini.
Contoh.
0, 0<x<l
Diberikan f(x){ 1, l<x<2l
Nyatakan f(x) dalam eksponensial deret Fourier dengan periode 2l. [fungsinya diberikan oleh
rumus yang sama dengan (5.11) tetapi dalam interval yang berbeda]
F(x)
1
-2l -l 0 l 2l 3l 4l 5l
Gambar 8.3
Pertama kita buat sketsa grafik f(x) diulangi dengan periode 2l (gambar 8.3).
dengan persamaan (8.3), kita temukan :
Cn = 12l ∫0
1
0.dy +12l ∫
l
2 l
1 .e−inπ /l dx
=12l
e−inπx
l
−inπl
Il 2l = 1
−2inπ¿- e
−inπ¿
¿)
(8.4) =1
−2inπ ( 1- einπ¿
¿) = 0 ketika n≠ 0 dan1
−2inπ dengan n ganjil
Cn = 12l ∫
l
2 l
dx = 12
Kemudian, (8.5 ) :
f(x) = 12 -
1iπ ( e iπx /l - e−iπx /l +
13 e3 inx /l -
13 e−3 inx /l + …..)
= 12 -
2π ( sin
πxl +
13sin
3 πxl + …. )
Permasalahan. Bagian 8.
1 – 8. Dalam banyak hal 5.1 – 5.8 menjelasan tiap fungsi dengan rumus yang
diberikan tapi paa interval ( -l , l ) , {Yaitu menggantikan + π dan ±π2
dengan ±l2 }. Kembangkanlah tiap fungsi dalamsinus dan cosines Fourier
dan di dalam eksponensial kompleks seri Fourier.
Penyelesaian untuk permasalahan 2 : f(x) = 14 +
1π (cos
πxl
−13 cos
3 πxl +
15cos
5 πxl
…..) + 1π
( sin πxl
+ 22sin
2 πxl
+ 13
sin 3 πx
l +
15
sin 5 πx
l +
26
sin πxl
….)
Penyelesaian untuk permasalahan 7 : f (x) = 14 -
2l
π 2 (cos πxl
+ 19 cos
3 πxl +
125cos
5 πxl
……) + 1π
( sin πxl
- 12
sin 2 πx
l +
13
sin 3 πx
l …)
9. Tulis sampai detail tentang turunan rumus (8.3)
10. (a) Buatlah setiap beberapa periode tentang fungsi f(x) dari periode 2π yang
sama dengan x pada -π < x <π. Kembangkanlah f(x) dalam sin – cosines
Fourier dan dalam eksponensial komplek seri Fourier.
Jawab : f(x) = 2 (sin x - 12 sin 2x +
13 sin 3x -
14 sin 4x + ….. )
GAMBAR 9.2
Fungsi ganjil salah satunya seperti x atau sin x (gambar 9.2) dimana nilai dari f (x) dan f (-x)
adalah negatif satu sama lainnya. Menurut definisi
Perhatikan bahwa bahkan kekuasaan x bahkan, dan kekuatan aneh dari x yang aneh, bahkan, ini
adalah alasan untuk nama-nama. Anda harus memverifikasi (masalah 14) aturan berikut untuk
perkalian dua fungsi: Sebuah fungsi genap, atau fungsi ganjil kali fungsi ganjil, memberikan
fungsi genap, sebuah fungsi ganjil kali fungsi genap memberikan fungsi ganjil. Beberapa fungsi
(9.2) f(x) is odd if f(-x) =-f(x)
-l l0
Odd
-l l0
Even
genap, ada yang ganjil, dan beberapa (misalnya, e x) adalah tidak keduanya. Namun, fungsi
apapun dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi genap dan fungsi ganjil, seperti ini:
F (x) = 12
[f (x) + f (-x)] + 12
[f (x) - f (-x)];
Bagian pertama adalah genap dan bagian kedua adalah ganjil. Misalnya
ex=12
( ex+ex )+12
(ex−ex)=cosh x+sinh x;
Cosh x adalah genap dan bahkan Sinh x adalah ganjil.
Integral dari fungsi genap atau fungsi ganjil, lebih dari interval simetris seperti (−π , π ) atau
(−l , l), dapat disederhanakan. Lihatlah grafik sin x dan berpikir abaut∫−π
π
sin xdx. Daerah negatif
dari-π ke 0 sedangkan area positif dari 0 π tho, sehingga integral adalah nol. Integral ini tetap
nol untuk setiap interval(−l , l) yang simetris tentang asal, seperti yang Anda lihat dari grafik. Hal
yang sama berlaku dari sembarang ganjil f (x); area ke kiri dan ke kanan
menghilangkan. Selanjutnya lihat grafik kosinus dan integral ∫– π /2
π /2
cos x dx. Anda lihat bahwa area
dari-π / 2 sampai 0 adalah sama sebagai daerah dari 0 sampai π / 2. Kita bisa kemudian hanya
mencari integral dari 0 ke π / 2 dan kalikan dengan 2. Dalam integral, jika f (x) adalah genap,
integral dari f (x) dari –l to l ke dua kali integral dari 0 sampai l. Lalu kami memiliki
Misalkan sekarang kita diberi fungsi pada interval(0 , l). Jika kita ingin mewakili hal oleh deret
Fourier pada periode 2 l, kita harus memiliki f (x) didefinisikan ( – l , 0 ) juga.
Contoh 9.3
Ada beberapa hal yang bisa kita lakukan. Kita bisa mendefinisikan itu menjadi nol (atau,
memasukkan, hal lain) pada (-l, 0) dan selanjutnya seperti yang telah kita lakukan sebelumnya
untuk menemukan baik secara eksponensial atau serangkaian sinus-cosinus 2l periode. Namun,
sering terjadi dalam praktek yang kita butuhkan (untuk alasan Fisika-lihat Bab 13) untuk
mendapatkan fungsi genap (atau, dalam masalah yang berbeda, fungsi ganjil). Kami pertama
sketsa fungsi yang diberikan pada (l, 0) (garis berat pada Gambar 9.3 dan 9.4). Lalu kami
memperpanjang fungsi pada (-l, 0) akan menjadi genap atau ganjil seperti yang diperlukan. Untuk
(9.3)
∫−l
l
f ( x )dx={ ¿ if f ( x ) is odd
2∫0
l
f ( x ) dx∧if f (x ) is even
0
-l l0
Odd
-l l0
Even
sketsa periode lebih, hanya ulangi sketsa (-l, l). (Jika grafik rumit, akan sangat membantu untuk
melacaknya dengan jari satu tangan sementara anda gunakan tangan yang lain untuk menyalin
persis apa yang Anda Hidupkan kertas kalkir. Putar terbalik untuk menghindari persimpangan
tangan.)
Contoh 9.4
Untuk fungsi genap atau fungsi ganjil, rumus koefisien untuk menyederhanakan an dan bn.
Pertama misalkan f (x) adalah ganjil. Karena sin (nπx / l) adalah ganjil, f (x) sin (nπx / l) bahkan
dan f (x) cos (nπx / l) adalah ganjil. Maka an adalah integral, selama suatu interval simetris (-l,
l), suatu fungsi ganjil, yaitu f (x) cos (nπx / l) ; an Oleh karena itu nol. Tapi bn merupakan bagian
integral dari fungsi genap selama suatu interval simetris dan Oleh karena itu dua kali integrale 0
sampai l. Kita dapatkan:
bn = 2l
∫0
l
f (x )sinnπx
ldx
(9.4) If f (x) ganjil,
an = 0
Kami mengatakan bahwa kami telah memperluas f (x) dalam serangkaian sinus (an = 0 sehingga
tidak ada istilah kosinus). Demikian pula, jika f (x) bahkan, semua bn’s tersebut adalah nol, dan
an’s adalah integral dari fungsi genap. Kita dapatkan:
bn = 2l
∫0
l
f (x )cosnπx
ldx
(9.5) If f (x) genap,
an = 0
Kami mengatakan bahwa f (x) diperluas dalam seri cosinus.
Sekarang kamu telah mempelajari beberapa jenis yang berbeda dari sebuah deret fourier
yang diberikan oleh fungsi f(x) pada interval (0,L) untuk menentukan jenis mana yang diinginkan
dalam pemecahan kasus –kasus dalam fisika, ada dua hal yang perlu diperhatikan yaitu:
1. Periode, dari fungsi yang diberikan dapat menentukan berapa periodenya.
2. Dengan periode yang sudah diketahui, kita dapat menentukan fungsi ganjil atau genap
untuk penyelesaian kasus tersebut.
Sekarang kita anggap f(x) pada (0,1). Kita dapat menemukan jenis deret sinus, cosinus
atau eksponensial dari periode=1 (L=1/2).
Deret eksponensialnya :
f ( x )=∑−∞
∞
cn e2 inπx ; cn∫0
1
f ( x ) e−2 inπx dx
Pada periode =2 (L=1), didapat deret cosinus
ƒ(x)∑n=0
∞
an cosnπx dx ,an=¿2∫0
1
f ( x )cosnπx d x ;¿ bn=¿¿0
Dan mewakili fungsi genap. Bentuk yang lain, deret sinus mewakili fungsi ganjil. Sebelum
periode diketahui, kamu hanya menyebutkan sebagai fungsi cosinus saja. Setelah mengenal
periode, kamu bisa menyebutkan sebagai fungsi genap.
Contoh:
1. f ( x ) ¿0 ½<×<1 ,1 0< x<½ , ¿ carilah:
a) deret sinus Fourie
b) deret cosinus Fourier
c) Deret fourier (periode = 1)
Peneyelesaian:
a. Batas yang diberikan fungsi 0 dan 1. Perpanjangan pada interval (-1,0) membentuk fungsi
ganjil. Periode=2 (L=1). Teruskan fungsi dengan periode=2, didapat fungsi ganjil,an=¿¿ 0
dan
bn=2
L ∫
0
1
f ( x )sin nx dx=2∫0
½
sin nπx dx
= -2
nπcos nπx¿0
½= -
2nπ
( cos nπ2
- 1)
b1 = 2π
; b2 = 4
2 π ; b3 =
23 π
; b4 = 0,.......
Jadi deret sinus Fouriernya adalah
f( x )= 2π
( sin πx+ 2 sin 2 πx2
+ sin 3 πx3
+ sin 5πx5
+ 2sin 6 πx6
)
Deret Fourier sin untuk :
f(x) :f ( x )= 2
π (sin πx+ 2sin 2 πx2
+sin 3 πx3
+sin5 πx5
+ 2sin 6 πx6
+. . ..)(b) Sketsa kedudukan dari perode 2 ( Gambar 9.6 )
Dimana l = 1, bn = 0, dan
a0=2∫0
1f ( x )dx=2∫0
12 dx=1
an=2∫0
1f ( x )cos nπx fx= 2
nπsin nπx|0
12= 2
nπsin
nπ2
Selanjutnya deret Fourier cos untuk f(x) adalah
f ( x )=12+ 2
π (cos πx1
−cos 3πx3
+cos5 πx5
. . .)(c) membuat bagan suatu kedudukan dalam (0,1) dan selanjutnya dengan periode 1 (Gambar 9.7).
dimana 2l = 1, dan menjumpai cn seperti yang kita lakukan di bagian contoh 8. Seperti dalam
contoh itu, eksponen barisan ini, dimana sin – cos dari.
cn=∫0
1f ( x )c−2 inπx dx=∫0
21
e−2 in πx dx
=1−e−in π
2in π=
1−(−1 )n
2in π= {¿ 0
1in π
n≠0n
c0=∫0
12 dx=1
2
f(x) =
12+ 1
iπ (e2 iπx−e−2 iπx+ 13
e6 π ix−13
e−6 π ix+ .. ..)
=
12+ 2
π (sin 2πx+sin 6πx3
+. . .) ,
kita dapat merubah persamaan keduanya an danbn menunjukkan.
an=2∫0
12
cos2 nπx dx=0
bn ¿2∫0
1/2
sin 2nπ x dx= 1nπ
(1−cos nπ )= 1nπ
[1− (−1 )n ]
bn ¿2π
, b2=0 , b3=2
3 π,b4=0
ini adalah salah satu pilihan untuk menentukan nilai yang sangat berguna dengan meperhatikan
sesuatu yang sama dan fungsi yang ganjil .Jika kamu diberikan satu fungsi di (−1,1 ) dengan
memperhatikan sebuah deret sin-cosinus (pada periode 2/) dan yang terjadi dengan
memperhatikan fungsi yang sama,melaksanakan bentuk itu bn' s = 0 dan kamu tidak dapat keluar
tanpa melakukan itu.Juga an' s dapat menuliskan dua kali bilangan integral dri 0 sampai 1 tepat
seperti di (9.5).Begitupun jika menggunakan fungsi yang ganjil,kamu dapat meggunkan
(9.4).Pengenalan ini banyak diperoleh dari aljabar.
SOAL KE 9
Fungsi di soal 1 - 3 keduanya tidak genap juga tidak ganjil .Tulis masing-masing jumlah dari
jumlah fungsi genap dan fungsi ganjil.
1.(a) enx (b) x ex
2.(a) ln|1−x| (b) (1+x ) (sin x+cos x )
3.(a) x5−x4+x3−1 (b) 1+ex
4.Apa yang kamu ketahui tentang fungsi genap dan fungsi ganjil dengan membuktikan bagian
yang pertama dari (5.2)
Masing –masing fungsi dri soal no 5-12 menggunakan lebih dari satu periode.Untuk masing
masing fungsi,berikan bagan dan tentukan apakah ganjil atau genap.Ketika menggunakan (9.4)
atau (9.5) untuk menambahkan di penyediaan deret fourier
5.f ( x )={−1 ,−x<x<0 ,1 ,0<x<x ,
6.f ( x )={−1 ,−i<x<0 ,1 ,0<x<i .
answer : f ( x )= 4x (sin
πxi
+ 13
sin3 πx
i+ 1
3sin
5 πxi
+…)8.f ( x )=x ,− x
2<x< x
2.
23. Jika dawai biola dipetik (menarik kesamping dan melepaskannya), itu memungkinkan untuk
menemukan formula f(x,t) untuk penggantian waktu t terhadap beberapa titik x akibat getaran
dawai dari posisi kesetimbangan. Itu menunjukkan bahwa dalam menyelesaikan masalah ini
kita membutuhkan penjabaran fungsi f(x,0), yang memiliki grafik bentuk awal dari dawai,
dalam deret fourier sinus. Temukan deret ini jika dawai dengan panjang l ditarik dengan jarak
yang kecil h di pusatnya, seperti yang ditunjukkan.
f(x,0)
h
l x
24. Jika, dalam masalah 23, dawai dihentikan di pusat f(x,0) dan setengahnya dilepaskan, lalu
fungsinya dijabarkan dalam deret sinus dtunjukkan disini. Temukan deretnya. Perhatian:
catatan bahwa f(x,0) = 0 untuk ½ < x < l.
f(x,0)
h
l x
10. APLIKASI UNTUK BUNYI
Kita telah mengatakan bahwa ketika gelombang bunyi melewati udara dan kita mendengarnya,
tekanan udara dimana kita berada, berubah-ubah tiap waktu. Seandainya kelebihan tekanan di
atas (dan dibawah) tekanan atmosfer dalam gelombang bunyi diberikan melalui grafik bentuk
10.1. (Kita tidak akan dirisaukan dengan unit-unit dari p; Walaupun demikian unit-unit dalam
bentuk 10.1 akan menjadi p dalam 10-6 atmospheres).
p(t)
1 78 1
-1
524 -1
1048 0 1
1048 1
524 1
262 t dalam detik
-1 -78 -1
Bentuk 10.1
Biarkan kita bertanya frekuensi-frekuensi apa yang kita peroleh ketik kita mendengarkan bunyi
ini. Untuk mengetahuinya, kita menjabarkan p(t) dalam deret fourier. Periode dari p(t) adalah 1
262
; itu merupakan, gelombang bunyi yang menglanginya 262 kali per detik. Kita telah menyebu
periode 2l dalam rumus kita, jadi disini l = 1
524 . Fungsi-fungsi yang telah kita sebut sin (nx/l)
disini menjadi sin 524 nt. Kita dapat menghemat beberapa pekerjaan melalui pengamatan bahwa
p(t) adalah sebuah fungsi bebas; maka hanya ada bentuk sin dalam deret fourier dan kita hanya
butuh menghitung bn. Menggunakan (9.4), kita harus
(10.1)
bn = 2(524) ∫0
1/524p ( t )sin 524 nπt
dt
= 1048 ∫0
1/1048p ( t )sin524 nπt
dt - 78 (1048) ∫1/1048
1/524sin 524 nπt
dt
= 1048 (−cos nπ
2−1
524 nπ+ 7
8
cos nπ−cos nπ2
524 nπ )
=
2nπ
(−158
cosnπ2
+1+ 78
cosnπ ).
Dari sini kita dapat memperhitungkan nilai dari bn untuk beberapa nilai n yang pertama:
(10.2)
Kemudian kita
mempunyai
(10.3)
p (t )= 14 π
(sin 524 πt1
+30 sin (524 . 2πt )
2+
sin (524 .3 πt )3
+sin (524 .5 πt )
5+
30 sin (524 .6πt )6
+sin (524 .7 πt )
7+…)
Kita dapat memahami hanya dengan melihat koefisien yang merupakan kedua bentuk
penting. Bentuk pertama yang sesuai yang menjadi dasar dengan frekuensi getaran 262 perdetik
(ini mendekati c tengah pada piano). Tetapi itu lebih rendah pada nada yang pertama (harmoni
kedua) yang cocok ke bentuk kedua dengan frekuensi nada 524 getaran perdetik (mendekati c
tinggi). Harmoni keenam (mendekati n=6) dan juga untuk harmoni n=10,14,18,22, dan 26 yang
keseluruhannya lebih menonjol (yang mana itu mempunyai koefisien yang lebih besar) daripada
dasarnya,kita dapat mengelompokkan tentang makna relatif dari bermacam-macam frekuensi.
Kembali ke diskusi osilasi harmoni sederhana,kita menunjukkan bahwa energi rata-rata
sebanding dengan amplitudo kecepatan. Itu dapat di timbulkan dari intensitas gelombang bunyi
(energi rata-rata yang termapat dari kesatuan wilayah yang dapat kamu dengar perdetik) adalah
sebanding dengan rata-rata kuadrat dari kelebihan tekanan.Kemudian untuk sinuscidal macam-
macam tekanan A sin 2πft, intensitas dasarnya adalah A2. Di deret fourier untuk p(t),macam-
macam intensitas harmoni menjadi dasar dari koefisien fourier yang sesuai/cocok (intensitas
kasar yang sesuai ke nada yang lebih keras/bising tidak tepat karena kedengaran kepekaan
frekuensinya tidak sama. Intensitas relatif dari harmoni dapat di contohkan sbb:
N= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,...
Intensitas relative = 1 225 19
0 1
25 25
149
0 1
81 9 ...
Dari sini kita dapat melihat bahwa prinsip harmoni kedua dengan frekuensi 524 (C tinggi).
MASALAH, BAGIAN 10
Di masalah 1 ke 3, graf yang menggurati mewakili satu periode dari desakan kelebihan p (t) pada
satu gelombang suara. Temukan selaras penting dan intensitas relatif mereka.
Di masalah 4 ke 10, sket memperlihatkan beberapa contoh praktis dengan sinyal elektrik
(tegangan listrik atau arus). Di masing-masing kasus kita mau mengetahui harmonik isi suatu
sinyal, yang apa frekuensi ini berisi dan di apa proporsi. Untuk menemukan ini, perluas masing-
masing funstion pada satu deret fourier sesuai. Asumsikan di masing-masing kasus itu bagian
dari graf yang diperlihatkan adalah repeared enampuluh times per kedua.
Keluaran dari satu sederhana d c generator; bentuk dari kurva adalah nilai mutlak dari satu fungsi
sinus. Biar tegangan listrik maksimum menjadi 100 v
Dikoreksi separuh gelombang; kurva adalah satu sinus funstion untuk semi siklus dan nol untuk
setengah yang lain. Biar arus maksimum menjadi 5 amp.
Tringular lambaikan; graf terdiri dari dua garis lurus siapa penyamaan kamu harus tulis! tegangan
listrik maksimum dari 100v terjadi pada tengah dari siklus.
7. Gigi gergaji 8.Gigi gergaji diperbaiki
l(t) l(t)
10 10
0
120 60 t 120 60 t
9. Gelombang persegi 10. Fungsi periodik jalan
V(t)
100 100
0 120 6 t 0 120 60 t
11. TEOREMA VARSEVAL
Sekarang kita akan menemukan relasi antara rata – rata kuadrat (atau kuadrat mutlak) dari
f(x) dan koefisien dalam deret fourier untuk f(x), dengan asumsi bahwa ∫ -xπ |f(x)|2 dx adalah
terbatas. Hasilnya adalah dikenal sebagai teorema varseval atau hubungan kelengkapan. Anda
harus memahami bahwa titik pada teorema tidak untuk mendapatkan rata – rata dari kuadrat yang
diberikan f(x)dengan menggunakan seri fouriernya. [diberikan f(x),maka mudah mendapatkan
kuadrat rata – rata hanya dengan melakukan integrasi] titik eorema ini adalah untuk menunjukan
hubungan antara rata – rata dari kuadrat f(x) dan koefisien fourier. Kita dapat memperoleh suatu
bentuk teorema parseval dari satu ekspansi berbagai fourier yang telah kita buat marilah kita
menggunakan persamaan(5.1).
(11.1) f(x) = 1/2ao + Σ∞1an cos nx + Σ∞
1 bn sin nx
kita kuadratkan f(x) dan rata – rata kuadrat lebih (-π,π):
(11.2) rata –rata [f(x)]2 adalah 1/2π ∫π-π[f(x)]2 dx.
Ketika kita kuadratkan f(x), kita mendapatkan banyak hal. untuk menghindari penulisan
sejumlah besar angka dari mereka , mempertimbangkan tipe istilah terdapat dalam [f(x)] kuadrat
dan apa yang rata – ratadari perbedaan jenis pada bilangan tersebut. Pertama, diantara kuadrat –
kuadrat pada bilangan individu dalam f(x). Menggunakan fakta bahwa rata –rata dari kuadrat
sinus dan kosinus periode adalah ½, kita memiliki:(11.3) rata – rata (1/2ao)2 adalah (1/2ao)
2
rata – rata (an cos nx)2 adalah a2n . ½
rata – rata (bn.sin nx) adalah b2n . 1/2
Maka, ada croos-product dari bentuk – bentuk 2.1/2a0an cos nx, 2.1/2a0bn sin nx, dan 2anbm
cos nx sin mx dimana m≠0 (n kita tulis dalam faktor kosinus dan m dalam faktor sinus dari setiap
batas sinus harus dikalikan dengan setiap batas kosinus.
Kemudian ada syarat hasil silang dari bentuk 2 .
12
aoan cos nx, 2.12
aobnsin nx,dan
2 .an bmcos nx sin mx dengan m≠n (kita menulis m dalam factor cosinus dan m dalam factor
sinus karena setiap syarat sinus harus dikalikan dengan setiap syarat cosinus). Pada (5.2) syarat
nilai rata-rata dari semua tipe adalah o
(11,4) Rata-rata dari [ f ( x )]2 (titik yang berlebih) = ( 1
2ao)
2
+12∑ ¿
1
∞
an
2
+12∑ ¿
1
∞
bn
2
¿¿
Ini adalah satu dari bentuk teorema parseval. Anda bias dengan mudah membuktikan (masalah 1)
bahwa teorema parseval tidak berubah jika f (x) mempunyai titik 21 sebagai pengganti 2 π dan
hasil kuadratnya adalah rata-rata melebihi titik dari panjang 21. Anda juga bisa membuktikan
(masalah 3) bahwa jika f (x) ditulis sebagai sebuah rangkaian exponential fourier yang kompleks
dan jika dalam penjumlahan, termasuk kemungkinan bahwa f (x) itu sendiri mungkin komplek,
kemudian kamu menemukan :
Rata – rata dari [ f ( x )]2 (titik yang berlebih) = ∑ ¿
−∞
∞
|6n|2 ¿
Teorema parseval’s kadang-kadang disebut dengan kelengkapan hubungan. Dalam suatu masalah
yang menggambarkan sebuah pemberian gelombang suara seperti sejumlah keselarasan, andai
kata kita telah meninggalkan salah satu dari rangkaian keselarasan itu terlihat masuk akal secara
fisik dan itu bisa dibuktikan secara matematik, bahwa dengan satu atau lebih keselarasan yang
keliru, kita tidak akan mampu untuk menggambarkan gelombang suara yang mengisi keselarasan
yang hilang. Kita mengatakan bahwa pasangan dari fungsi sin nx, cos nx adalah sebuah pasangan
yang lengkap dari fungsi diatas sedikit waktu jeda dari panjang 2π ; bahwa ada fungsi (memnuhi
kondisi Dirichlet) yang bisa dikembangkan dalam sebuah rangkaian fourier yang mempunyai
syarat ketetapan waktu sin nx dan cos nx. Jika kita mengeluarkan / menghilangkan beberapa dari
nilai n, kita akan memiliki sebuah fungsi dasar yang tidak lengkap dan tidak bisa
menggunakannya untuk mengembangkan beberapa fungus yang diberikan, sebagai contoh, andai
kata Anda membuat sebuah kesalahan dalam menemukan titiknya (itu adalah nilai dari 1) dari
fungsi yang anda berikan dan dicoba untuk menggunakan kumpulan dari fungsi yang diberikan
dari titik 2π . Anda akan mendapatkan sebuah jawaban yang salah karena anda menggunakan
sebuah kumpulan fungsi yang tidak lengkap (dengan sin x, sin 3 x, ……., massanya yang hilang).
Jika rangkaian fourier anda salah karena kumpulan dari fungsi dasar yang Anda gunakan tidak
lengkap. Dan kemudian hasilnya, Anda dapatkan dari teorema parseval (11,4) or (11,5) akan
salah juga. Sebaliknya, jika (11,14) dan (11,5) benar dari semua f (x), kemudian kumpulan dasar
dari fungsi digunakan dalam kumpulan yang lengkap. Ini sebabnya mengapa teorema Parsenal’s
sering disebut kelengkapan hubungan.
Mari kita mencari beberapa contoh dari makna fisik dan penggunaan teorema Parseval’s
Contoh 1 dalam bab 10 mengatakan bahwa intensitas (energi persentimeter kuadrat perdetik) dari
sebuah gelombang suara adalah sebanding dengan nilai rata-rata dari kuadrat tekanan yang
berlebih. Jika secara sederhana kita menulis (10,3) dengan angka pengganti dari numeric, kita
punya.
(11.6) P(t) = ∑ ¿
1
∞
bn sin 2 π nft . ¿
Untuk kasus ini, teorema Parveval’s mengatakan bahwa :
(11.7) Rata-rata dari
[ p ( t ) ]2 = ∑ ¿1
∞ bn
2
. 12
=∑ ¿
1
∞
¿¿
rata – rata dari bn2 sin2 2 π ft
Sekarang intensitas atau energi (per cm2/detik) dari gelombang bunyi adalah proporsional
menyamai rata-rata dari [p(t)]2, dan energi yang berhubungan dengan harmonik ke-n adalah
proporsional menyamai rata-rata dari b2n sin2 2nft. Dengan demikian, teori parseval mengatakan
bahwa energi total dari gelombang bunyi menyamai jumlah dari energi-energi yang berhubungan
dengan berbagai jenis harmonik.
Contoh 2. Gunakan teori parseval untuk menemukan jumlah dari deret tak hingga. Dari
permasalahan 8.15 kita memperoleh:
Fungsi f(x) dari periode 2 yang menyamai x di (-1,1)
= -
iπ (eix - e-i -
12 e2 ix +
12 e-2 ix+
13 e3 ix -
13 e-3 ix +…)
Temukan rata-rata dari [f(x)]2 di (-1,1).
Rata-rata dari [f(x)]2 =
12∫−1
1
x2 dx =
12 [
x3 3
]-11 =
13 .
Melalui teori parseval (11.5), ini menyamai ∑−∞
∞
| cn |2, jadi kita mempunyai
13 =
∑−∞
∞
| cn |2 =
1π 2 (1+1+
14 +
14 +
19 +
19 + …) =
2π 2
∑1
∞
1n 2.
Lalu kita mendapat jumlah dari deret ini
1+14 +
19 +… =
∑1
∞
1n 2 =
π2 2
•
13 =
π6 2
.
MASALAH- MASALAH, BAGIAN 11
1. Buktikan (11.4) untuk fungsi dari periode 2l Yng dijabarkan dalam deret sinus-cosinus.
2. Buktikan bahwa jika f(x) = ∑−∞
∞
cn einx, lalu nilai rata-rata dari [f(x)]2 adalah ∑−∞
∞
cn c-n.
Tunjukkan melalui masalah 7.12 bahwa untuk f(x) yang nyata, ini menjadi (11.5).
3. Jika f(x) adalah kompleks, kita biasanya menginginkan rata-rata dari nilai mutlak f(x). Ingat
kembali bahwa | f(x)|2 = f(x)• f ( x ) , dimana f ( x ) merupakan kompleks konjugat dari f(x).
Tunjukkan bahwa jika kompleks f(x)= ∑−∞
∞
cn einxl, lalu gunakakan (11.5).
4. Jika sebuah arus I mengalir melalui hambatan R, energi panas yang hilang setiap detik adalah
nilai rata-rata dari RI2. Biarka periodic (bukan sinusoidal) arus I(t) dijabarkan dalam deret
fourier I(t) = ∑−∞
∞
cn 120int. Beri pengertian secara fisika untuk teori Parseval dalam masalah
ini.
Gunakan teori Parseval dan hasil dari masalah- masalah yang ditunjukkan untuk menemukan
jumlah dari deret dalam masalah 5 sampai 9.
5. Deret 1+
13 2+
15 2+…, gunakan masalah 9.6.
6. Deret ∑n=1
∞
1n 4, gunakan masalah 9.9.
7. Deret ∑n=1
∞
1n 2, gunakan masalah 5.8.
8. deret ∑ganjil π
1
n4, menggunakan masalah 9.10
9.deret ini 1
32+ 1
152+ 1
352+…, menggunakan masalah 5.11
10. teori parseval menyatakan bahwa apabila dua fungsi memperluas deret fourier
f ( x )=12
a0∑1
∞
an cosnx+∑1
∞
bn sin nx ,
g ( x )=12
a0' +∑
1
∞
a0' cosnx+∑
1
∞
bn' sin nx ,
Kemudian rata-rata nilainya f(x)g(x) adalah 14
a0a0' + 1
2∑
1
∞
an an' + 1
2∑
1
∞
bn bn' buktikan.
12. MACAM-MACAM PERMASALAHAN
1. perpindahan (dari kesembangan) sebuah partikel melaksanakan gerak suara sederhana
mungkin salah dari y=Asin ωt atau y=A sin(ωt+∅ ) tergantung pilihan kita dari waktu aslinya.
Tunjukan bahwa rata-rata energi kinetik sebuah massa partikel m (waktu gerak lagi) adalah sama
untuk dua formula (seperti itu seharusnya terjadi sejak keduanya di buat dalam gerakan fisik yang
sama). Temukan nilai rata-rata energi kinetik dari keadaan sin(ωt+¿∅ )¿ dengan dua cara:
a. dengan pilihan batas integrasi (mungkin seperti masalah 4.1) kemudian sebuah perubahan
penurunan variabel integral untuk keadaan sin ωt .
b. dengan perluasan sin (ωt+∅ ) dengan rumus penjumlahan trigonometri dan menggunakan (5.2)
untuk menulis rata-rata.
2. simbol [x] berarti bilangan bulat kurang dari atau sama dengan x (sebagai contoh [3] = 3, [2.1]
= 2, [-4.5] = -5. Luas x−[ x ]−12
di suatu deret fungsi eksponen Fourier untuk periode 1.
Petunjuk : sekatsa fungsi.
Jawaban : i2 π (…− e−4 πix
2− e−2 πix
1+ e2 πix
1+ e4 πix
2+…)
3. kami telah mengatakan bahwa deret Fourier dapat menggambarkan terputusnya fungsi
walaupun tidak terdapat rangkaian daya. Mungkin kamu haran mengapa kita tidak dapat deret
pengganti daya untuk sin nx dan cosnx (yang mana untuk semua kumpulan x) di dalam sebuah
deret Fourier dan mengumpulkaan syarat-syarat m diperoleh sebuar rangkaian daya untuk
memutuskan sebuah fungsi. Sebagai contoh apa yang terjadi seandainya kita mencoba ini,
pertimbangkan rangkaian di masalah 9.5. tunjukkan bahwa koefisien dari x, seandainya
terkumpul, bentuk sebuah rangkaian berbeda, dengan cara yang sama, koefisien dari x3 bentuk
sebuah deret berbeda dan seharusnya.
4. diagram tersebut menunjukkan sebuah “pengendoran” gerak bolak-balik. Beban q di kapasitor
dirangkai sampai ke api tabung neon dan pemberhentian kapasitor (kita mulai yang seketika itu
juga). Kemudian lingkaran terulang sendiri lagi dan lagi
a. Beban q di kapasitor cukup berbeda persamaan:
Dimana R adalah resistansi, C adalah kapasitas, dan V adalah konstanta d-c tegangan, seperti
yang terlihat dalam diagram. Tunjukan bahwa jika q=0 ketika t=0, kemudian di waktu
selanjutnya (satu putaran sebelum tabung neon terbakat)
q=CV (1−e−tRC )
(b) misalkan tabung neon terbakar pada t=12
RC. Gambarkan q sebagai fungsi t untuk beberapa
putaran/siklus.
(c) jabarkan periode q dibagian(b) sesuai dalam deret fourier.
5. mempertimbangkan kurva f ( x )=sin x . Tunjukkan bahwa nilai rata-rata f(x) melalui
lengkungan kurva ketiga adalah 2 kali nilai rata-rata yang melalui akhir lengkungan
tersebut.
6. f (t )=eiωt on (−π , π ). Jabarkan f(t) dalam deret fourier eksponensial kompleks dari periode
2π. (asumsi ω ≠ bilangan bulat).
7. Diberikan f ( x )=|x| on (−π , π ), jabarkan f(x) sesuai dalam deret fourier dari periode 2π.
8. Tentukan dengan cara termudah untuk mendapatkan nilai rata-rata dari
a. x3−3 sinh 2 x+sin2 πx+cos3 πx on (-5,5)
b. 2 sin2 3x−4 cos x+5 x cosh2 x−x cos2 x on (-π,π)
Petunjuk : kamu harus dapat mengerjakan soal di atas dalam pikiranmu
9. Diberikan f ( x )={x ,0<¿ x<1−2,1<x<2
a. Gambarkan grafik paling tidak tiga periode dari fungsi yang di tampilkan oleh
deret sinus untuk f(x). Tanpa menemukan deret apapun, jawab pertanyaan berikut:
b. Untuk apakah nilai sin dalam x=1? ; x=2? ; x=0? ; x=-1?
c. Jika fungsi yang diberikan adalah kontinyu dengan periode 2 dan kemudian
ditampilkan kembali oleh oksponensial deret kompleks ∑n
∞
¿, berapa nilai dari
∑n=−∞
∞
|cn|2?
10. a. Gambarkan paling tidak 3 periode dari fungsi grafik yang kemudian di tampilkan
kembali oleh deret cos untuk f(x) dalam masalah 9.
b. gambarkan paling tidak 3 periode dari grafik deret Fourier eksponensial periode 2
untuk dalam masalah 9.
c. untuk apakah nilai cos dalam x=0?, x=1?, x=2?, x=-2?
d. untuk apakah nilai deret eksponensial dalam x=0?, x=1?, x=3/2?, x=-2?
11. Tentukan 3 deret Fourier di soal 9 dan 10!
12. Apa yang akan di bentuk dari frekuensi gelombang bunyi yang tampak seperti yang
ditunjukkan oleh p (t )=∑n=1
∞cos 60 nπt
100 (n−3)2+1?
13. A. Telah di beri f ( x )= π−x2
on (0 , π ) , tentukan deret sin pada periode 2π untuk f(x).
B. Gunakan hasil anda dalam mengevaluasi ∑ 1 /n2.
14. A. Tentukan deret fourier pada periode 2 untuk f ( x )=(x−1)2on (0,2 ) .
b. gunakan hasil anda untuk mengevaluasi ∑ 1 /n4.