Upload
laharadeo
View
36
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Matematika Dasar III
Citation preview
DERET FOURIER
Fungsi Periodik
Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai periode T atau periodik dengan periode T jika untuk semua x berlaku f(x+T)=f(x), dimana T adalah suatu konstanta positif.
Nilai terkecil dari T>0 disebut periode terkecil atau periode dari f(x)
Contoh :
1. Fungsi sin x mempunyai periode 2,4,6,..karena sin(x+2)=sin(x+4)=.=sin x
sedangkan periode dari sin x adalah 2.
2. Fungsi sin nx atau cos nx mempunyai periode
3. Periode dari fungsi tan x adalah
2
n
Contoh soal : Gambarkan fungsi berikut :
3, 0 51.
3, 5 0
sin , 02.
0, 2
0,0 2
3. 1, 2 4
2, 4 6
xf x
x
x xf x
x
x
f x x
x
Periode 10
Periode 2
Periode 6
Deret Fourier
Misalkan f(x) didefinisikan pada interval (-L,L) dan diluar interval tersebut oleh f(x+2L)=f(x). Disini fungsi tersebut mempunyai periode 2L. Deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi tersebut diberikan oleh :
dimana koefisien an dan bn adalah :
0
1
cos sin2
n n
n
a n x n xa b
L L
1cos 0,1,2,...
1sin
L
n
L
L
n
L
n xa f x dx n
L L
n xb f x dx
L L
Jika f(x) mempunyai periode 2L, koefisien an dan bn dapat ditentukan sebagai berikut :
2
2
1cos 0,1,2,...
1sin
c L
n
c
c L
n
c
n xa f x dx n
L L
n xb f x dx
L L
dimana c adalah sebarang bilangan riil. Contoh : Tentukan ekspansi Fourier untuk fungsi berikut :
0, 5 0
1. 103, 0 5
xf x periode
x
Jawab :
Periode =2L=10, berarti L=5
Pilih interval c sampai c+2L sebagai -5 sampai dengan 5.
Berarti c=-5
5
5
0 5 5
5 0 0
5
0
1cos
1cos
5 5
1 30.cos 3.cos cos
5 5 5 5 5
3 5sin 0, 0
5 5
L
n
L
n xa f x dx
L L
n xf x dx
n x n x n xdx dx dx
n xn
n
5
0
0
5
0
5
5
0 0 5
5 5 0
5
0
3 0.0, cos
5 5
3 3.5 3
5 5
1sin
1sin
5 5
1 30.sin 3.sin sin
5 5 5 5 5
3 1 cos3 5cos
5 5
L
n
L
xJika n a dx
dx
n xb f x dx
L L
n xf x dx
n x n x n xdx dx dx
nn x
n n
Jadi deret Fouriernya adalah :
0
1
1
cos sin2
3 1 cos3sin
2 5
3 6 1 3 1 5sin sin sin .....
2 5 3 5 5 5
n n
n
n
a n x n xa b
L L
n n x
n
x x x
Misalkan bahwa :
1. f(x) didefinisikan dan bernilai tunggal, kecuali di
sejumlah berhingga titik di dalam (-L,L)
2. f(x) periodik di luar (-L,L) dengan periode 2L
3. f(x) dan f(x) kontinu sepotong-sepotong di dalam
(-L,L) maka deret Fourier (ekspansi Fourier) yang bersesuaian dengan f(x) konvergen ke :
(a) f(x) jika x adalah sebuah titik kontinuitas
(b) jika x adalah sebuah titik diskontinuitas
Disini
Kondisi Dirichlet
2
00 xfxf
xfxfxfxf00
lim0danlim0
Contoh :
Diketahui
(1) Tulis deret Fourier yang bersesuaian dengan f(x)
(2) Bagaimana seharusnya f(x) didefinisikan di
x=-5, x=0,dan x=5 supaya deret Fourier tersebut konvergen ke f(x) untuk
Jawab :
(1) Periode : 2L=10, berarti L=5
10 periode50,3
05,0
x
xxf
55 x
2 5
5
0 5
5 0
55
00
1 1cos cos
5 5
10.cos 3cos
5 5 5
1 3 53cos sin
5 5 5 5
3sin sin 0 0, 0
c L
n
c
n x n xa f x dx f x dx
L L
n x n xdx dx
n x n xdx
n
n nn
Jika n=0, 5 5
0
0 0
1 33cos 0 3
5 5a dx dx
2 5
5
0 5
5 0
55
00
1 1sin sin
5 5
10.sin 3sin
5 5 5
1 3 53sin cos
5 5 5 5
3 1 cos3cos cos0 , 0
c L
n
c
n x n xb f x dx f x dx
L L
n x n xdx dx
n x n xdx
n
nn n
n n
Jadi deret Fourier dari f(x) adalah :
0
1
1
cos sin2
3 1 cos3sin
2 5
3 6 1 3 1 5sin sin sin .......
2 5 3 5 5 5
n n
n
n
a n x n xa b
L L
n n x
n
x x x
(2) Karena f(x) memenuhi kondisi Dirichlet, maka :
Deret tersebut konvergen ke f(x) disemua titik kontinu dan
konvergen ke di titik-titik diskontinu
Titik-titik diskontinunya adalah x=-5,x=0,X=5
Di titik-titik tersebut deret Fourier dari f(x) konvergen ke
Dengan demikian deret Fourier dari f(x) akan konvergen ke f(x)
untuk jika f(x) didefinisikan kembali sebagai berikut :
2
00 xfxf
0 3 3
2 2
5 5x
3/ 2, 5
0, 5 0
3/ 2, 0
3, 0 5
3/ 2, 5
x
x
f x x
x
x