Upload
imansari-nurul
View
69
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
TEORI DERET FOURIER
Pengertian fungsi periodik:
Suatu fungi f(t) dikatakan fungsi periodik dengan periode T, jika untuk setiap harga t, f (t+T) = f
(t) dimana T konstanta positif.
Contoh 1.: sin t fungsi periodic dengan periode 2π, 4π, 6π karena sin ( t + 2π ), sin ( t + 4π ),…. =
sin t. 2π disebut periode dasar.
Deret Fourier dalam Bentuk Kompleks.
F(t) periodic dengan periode T, diuraikan menjadi deret fourier dalam bentuk kompleks.
F (t) = a0 + a1e
KOSOOOOONGGGGGGG!!!!! Kerja sendiri…….
Maka:
An = cos n tdt
Bn = I (an – a-n) = sin n tdt
a0 = . e0 dt = dt
F(t) = a0 + An cos n t + Bn sin n t)
Contoh:
Tentukan deret Fourier dari fungsi yang grafiknya adalah:
Jawab:
Fungsi F (t) adalah:
A jika 0 < t <
F (t) = periode = T
- A jika < t < T
An = cos n tdt
= [ cos n tdt + cos n tdt ]
= [ sin n t | + t | ]
= (0-0) - (0-0) ]
An = 0
Bn = sin n tdt
= [ sin n tdt + sin n tdt ]
= [ cos n t | + t | ]
= (-1)n – 1 ) + ( 1 – ( -1 ) n) ]
= ( 2 – 2 (-1)n ) ]
Untuk n ganjil adalah Bn = . 4] =
Untuk n genap adalah : Bn = 0
Sehingga deret fouriernya adalah:
F (t) = n sin n t = n ganjil
Dari rumus (3) :
Jika F (t) fungsi genap, maka Bn = 0 sebab F 9t) fungsi genap dan sin ( n t )fungsi ganjil,
perkalian keduamya menghasilkan fungsi ganjil.
Bn = sin n xdx
Batas integrasi diubah dari - T sampai T
Bn = sin n xdx = 0
Jika F (x) fungsi ganjil, mak An = 0, karena F(x) ganjil, cos ( n x ) adalah fungsi genap,
sehingga peralian keduanya menghasilkan ungsi ganjil, sehingga :
An = cos n xdx = 0
ganjil
ganjil
Jadi:
Jika F(x) genap :
F (x) = a0 + n cos n x
Jika F(x) ganjil:
F(x) = n sin n x ( a0 = 0 )
Deret Fourier dalam Bentuk Cosinus
F(x) dianggap bagian dari fungsi genap (dalam interval 0 sampai T)
y
-T 0 T x
a0 = dx = dx
An = cos n xdx = cos n xdx
Bn = sin n xdx = sin n xdx = 0 ( nol)
Sehingga dret fourier dalam bentuk cosines adalah:
F (x) = a0 + n cos (n x)
Deret Fourier dalam Benuk Sinusi
F(x) dalam selang 0 sampai T dianggap sebagai bagian dari fungsi ganjil.
y
-T
T x
a0 = 0 (karena F(x) ganjil, sehingga dx = 0
An = 0 karena F(x) ganjil, cos n x genap, perkalian keduanya menghasilkan fungsi ganjil).
ganjil
Bn = = sin n xdx
Sehingga deret Fourier dalam bentuk sinus adalah:
F(x) = n sin (n x)
IDENTITAS PARSEVAL
Ruas kiri dan kanan dikalikan dengan F(x) dx, lalu di integrasikan dari 0 sampai T:
2dx=
Lalu kedua ruasnya dikalikan dengan :
2dx=
= 2 . +
2dx = 2 2 + 2 + 2 IDENTITAS PARSEVAL
Identitas Parseval untuk Deret Fouriier Cosinus:
2dx = 2 + 2
Identitas Parseval untuk Deret Fourier Sinus:
2dx = 2
INTEGRAL FOURIER
F(x) tidak periodic antara -∞ dan ∞, fungsi tersebut dapat dinggap periodic dengan periode ∞.
F(x) = nein
an = in dx
Dipergunakan variabel baru:
an = = in
an = = -in
F(x) = -in .e in x
= in e -in u du
Misalkan =Δs, maka:
F(x) = ein2Δs(x-u) du
Dimana n. Δs = s (interval antara 0 dan s dibagi n bagian masing-masing Δs).
Untuk T ∞, s 0, maka:
F(x) = du
Jika 2π s dimisalkan = v, maka:
F(x) = du (Integral Fourier dalam bentuk kompleks)
Dalam Bentuk Riil:
F(x) = du
= (Integral Fourier dalam bentuk riil)
Keterangan:
TRANSFORMASI FOURIER
F(x) = du
=
f(v) = disebut Transformasi Fourier dari F(x)
dan F(x) = disebut Transformasi Invers dari f(v)
Transformasi Fourier dalam bentuk riil:
ganjil
F(x) =
=
=
Transformasi Fourier dalam bentuk cosines:
Dianggap F(u) fungsi genap:
F(x) =
=
F(v) = disebut transfomasi Fourier dalam bentuk cosinus
F(x) =
Transformasi Fourier dalam bentuk sinus:
F(v) =
F(x) =
IDENTITAS PARSEVAL UNTUK INTEGRAL FOURIER
Jika f(v) dan g(v) adalah transformasi sinus Fourier dari F(x dan G(x) maka:
=
Jika f(v) dan g(v adalah transformasi cosinusFourier dari F(x) dan G(x) maka:
=
Jika F(x) = G(x) , maka:
2 dv = 2 dx
2 dv = 2 dx