DERET TAYLOR

AYU AULIA KHAIRUNNISAAGIA DWI

Oleh:

Bentuk umum deret Taylor

Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan f terhadap x diketahui pada titik tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1

yang terletak pada jarak ∆x dari titik xi .

Grafik fungsi

Grafik fungsi berdasarkan deret taylor

f(xi ) fungsi di titik xi

f(xi+1 ) fungsi di titik xi+1

f’, f’’,..., f n turunan pertama, kedua, ...., ke n dari fungsi

∆x jarak antara xi dan xi+1

Rn kesalahan pemotongan! operator faktorial

• Dengan:

Persamaan Deret Taylor Jika memperhitungkan semua suku pada deret Taylor tersebut

akan sulit dan biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.

1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

Artinya nilai f pada titik xi+1 sama dengan nilai pada xi . Perkiraan tersebut benar jika fungsi yang diperkirakan konstan

Perkiraan Orde nol

Persamaan Deret Taylor

Jika fungsi tidak konstan, maka harus diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret Taylor.

2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua) Perkiraan Orde Satu

Perkiraan Orde Dua

Contoh Soal

Diketahui suatu fungsi f(x) = - Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1 = 0,5 berdasar nilai fungsi pada titik xi = 0.

Solusi

satu suku pertama (order nol)

dua suku pertama (order satu)

88)0(20)0(14)0(5)0()5,0()( 231 ffxf i

2108

)5,0)(20)0(28)0(15(8

!105,0)0(')0(

!1)(')()5,0()(

2

1

ff

xxfxffxf iii

Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakan deret Taylor terpotong yg dinyatakan:

)()(!

)(....)(!2

)()(!1

)()()( )(''2

0' xRxf

nxxxfxxxfxxxfxf no

nn

oo

ooo

)(/ );()!1()()( )1( residusisagalatdisebutxcxcf

nxxxR o

non

Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis :

Dimana:

)()()( xRxPxf nn

)(!

)()(1

ok

n

k

ko

n xfkxxxP

)()!1(

)()( )1()1(

cfnxxxR n

no

n