Embed Size (px)
Citation preview
Graðevinski fakultetSveuèiliðta u Mostaru
http://www.sve-mo.ba/gf/Strojarski fakultet
Sveuèiliðta u Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/sf/
Matematika 1 – zadaci za vježbu | derivacije 1
Derivacije
x)x(f)xx(f
lim)x('f0x D
-D+=®D
Tablica osnovnih derivacija:1. (c)' = 0, 2. (x)' = 1, 3. (xn)' = nxn-1,4. (ax)' = ax×ln a, 5. (ex)' = ex, 6. ,
x1
)'x(ln = (x > 0)
7.x
elog)'x(log a
a = ,(x > 0, a > 0, a ¹¹ 1)
8. (sin x)' = cos x, 9. (cos x)' = -sin x,
10.xcos
1)'xtg(
2= , 11.
xsin1
)'xctg(2
-= , 12. (arc sin x)' =2x1
1
-,
(|x| < 1)13. (arc cos x)' =-
2x1
1
-,
(|x| < 1)
14. (arc tg x)' = 2x11+ , 15. (arc tg x)' = - 2x1
1+ .
Osnovna pravila deriviranja:1. (c×f)' = c×f ' 2. (f ± g) = f ' ± g'3. (f×g)' = f '×g + f×g' 4) 2
/
g'gfg'f
gf ×-×=÷÷øö
ççèæ
Zadaci:Derivacije funkcija zadanih eksplicitno:1. y = x4 - 3x3 + 5x2 + 6x - 7 [y' = 4x3 - 9x2 + 10x + 6]2. y = (x - a)×(x - b) [y' = 2x - a - b]3. y = ex×(x2 - 4x + 5) [y' = (x - 1)2×ex]4.
x
xln1y
+= úûù
êëé -= xln
x
1'y
2
5.)xcosxsinx(
2
1y += [y' = cos2 x]
Graðevinski fakultetSveuèiliðta u Mostaru
http://www.sve-mo.ba/gf/Strojarski fakultet
Sveuèiliðta u Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/sf/
Matematika 1 – zadaci za vježbu | derivacije 2
6. 3 x1y +=úúûù
êêëé
+=
33 2 x1x6
1'y
7. y = (cos 3x)5 [y' = -15cos43x×sin 3x]8. y = (x×sin x)3 [y' = 3(x×sin x)2(sin x + x×cos x)]
9.2
xctglny = úû
ùêëé -=
xsin
1'y
10. 3 x2siny = úûù
êëé =
3 2 x2sin3
x2cos2'y
11.)xcosx(sin
2
ey
x
-= [y' = ex×sin x]
12. y = 2x×sin x + (2 - x2)×cos x [y' = x2×sin x]13.
)1x(2
1xarctg)1x(
2
1y 2 +-×+= [y' = x×arctg x]
14. y = x×(sin ln x - cos ln x) [y' = 2sin ln x]
15. ÷øöçè
æ -=3
1xln
3
xy
3
[y' = x2×ln x]
16. 2x1xy += úûù
êëé
++=
2
2
x1
x21'y
17.1x)2x(
3
1y 22 -+= úû
ùêëé
-=
1x
x'y
2
3
18. y= x×tg x + ln cos xúûù
êëé =
xcos
x'y
2
19. 2x2 e)1x(2
1y -×+-= [ 2x3ex'y -= ]
20. ( )x2x e1elny ++= úûù
êëé
+=
x2
x
e1
e'y
21. ( )xcosxxsin2y -= [ ]xsin'y =
Graðevinski fakultetSveuèiliðta u Mostaru
http://www.sve-mo.ba/gf/Strojarski fakultet
Sveuèiliðta u Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/sf/
Matematika 1 – zadaci za vježbu | derivacije 3
22. x2xsinarcx12)xsinarc(xy 22 -×-+= [y' = (arc sin x)2]
23. ( )xsin1xsinlny 2++= úûù
êëé
+=
xsin1
xcos'y
2
24. ( ) xsinarc2 ex1x21
y ×-+= [y' = earc sin x]
25.xsin1xsin1
lny +-= úû
ùêëé -=
xcos1
'y
26.xtg1xtg1
lny -+= úû
ùêëé =
x2cos1
'y
27. y = x×ln2 x - 2x×(ln x – 1) [y' = ln2 x]28.
)x1ln(21
xtgarcxy 2+-×= [y' = arc tg x]
29. ÷øöçè
æ +p=2x
4tglny úû
ùêëé =
xcos1
'y
30.xcosxsin
83
xsin41
8x3
y 3 ×÷øöçè
æ +-= [y' = sin4 x]
31. ÷øöçè
æ+-=
xcosxsinxcosxsin
lny úûù
êëé -=
x2cos2
'y
32.xsinarc
21
x12x
y 2 +-= [ ]2x1'y -=
33. 2x1xsinarcxy -+×= [y' = arc sin x]
34.x1x1
tgarc2y -+= úû
ùêëé
-=
2x1
1'y
35. ( )2x1xtgarcy +-= úûù
êëé
+=
2x12
1'y
36.1x1x
tgarcy -+= úû
ùêëé
+-=1x
1'y
2
Graðevinski fakultetSveuèiliðta u Mostaru
http://www.sve-mo.ba/gf/Strojarski fakultet
Sveuèiliðta u Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/sf/
Matematika 1 – zadaci za vježbu | derivacije 4
37.2x
tglny = úûù
êëé =
xsin21
'y
38.x1x1
lny -+= úû
ùêëé
-= 2x11
'y
39. y = arc sin(3x -4x3)úûù
êëé
-=
2x1
3'y
40. x xy = [ ])xln1(x'y x x21 -= -
41. y = (1 + x)xúûù
êëé
úûù
êëé
++++=x1
x)x1ln()x1('y x
42.x
1
)x(lny = úûù
êëé
úûù
êëé -= )xln(ln
xln1
)x(lnx1
'y x
1
2
43. y = xx [y' = xx (lnx+1)]44 y = xsin x
úûù
êëé ÷ø
öçèæ +×=
xxsin
xlnxcosx'y xsin
Derivacije funkcija zadanih implicitno:Funkciju zadanu u obliku F(x, y) = 0 deriviramo na slijedeãi naèin:
a) deriviramo obe strane jednadžbe F(x, y) = 0 po varijabli x uzimajuãi da je y = y(x),b) dobivenu jednakost
dx
d F(x, y) rijeðimo po y'.
45. x3 + y3 + 2xy - 1 = 0úûù
êëé
++-=
x2y3y2x3
'y 3
2
46. x + y + exy - 1 = 0 u M(0, 1)úûù
êëé =+
+-= 2)1,0('y;xe1ye1
'yxy
xy
47.01
by
ax
2
2
2
2
=-+ úûù
êëé =
yaxb
'y 2
2
48.3
2
3
2
3
2
ayx =+ úûù
êëé -= 3
xy
'y
Graðevinski fakultetSveuèiliðta u Mostaru
http://www.sve-mo.ba/gf/Strojarski fakultet
Sveuèiliðta u Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/sf/
Matematika 1 – zadaci za vježbu | derivacije 5
49. (x2 + y2)2 = a2(x2 - y2)úûù
êëé
--=
yx3yxy3x
'y23
23
50. y = 1 + exyúûù
êëé
-=xy
xy
xe1
ye'y
51. x = y×esin yúûù
êëé
+=-
ycosy1e
'yysin
52. 22 yxlnxy
tgarc += úûù
êëé
-+=
yxyx
'y
53. y3 - 2xy2 + 1 = 0úûù
êëé
-=x4y3
y2'y
54. 22 yxey += úûù
êëé
-= 2y21xy2
'y
Derivacije funkcija zadanihparametarski:Ako je funkcija zadana parametarski jednadžbama x = j(t) i y = y(t) tada je:
)t(')t('
dtdxdtdy
dxdy
'y jy===
55.þýü
==
tsinry
tcosrx [y' = -ctg t]
56.þýü
-=-=
)tcos1(ay
)tsint(axúûù
êëé =
2t
ctg'y
57.þýü
==
tsinby
tcosax3
3
úûù
êëé -= ttg
ab
'y
58.þýü
-=-=
)t2sintsin2(ay
)t2costcos2(axúûù
êëé =
2t3
tg'y
59.þýü
+=×=
)tcos1(tsiny
tsintcosx2
2 [y' = ctg t]
Graðevinski fakultetSveuèiliðta u Mostaru
http://www.sve-mo.ba/gf/Strojarski fakultet
Sveuèiliðta u Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/sf/
Matematika 1 – zadaci za vježbu | derivacije 6
60.
ïþ
ïýü
+=+=
3
2
3
t1at3
y
t1at3
x
úûù
êëé
--=
3
3
t21)t2(t
'y
61.þýü
==
tcosey
tsinext
t
úûù
êëé
+-=
tsintcostsintcos
'y
62.þýü
==
t2costcosy
t2costsinx [y' = - tg 3t]
Primjena derivacija:Tangenta krivulje y = f(x) u toèki M(xm, ym) ima jednadžbu y - ym = -y'(xm)×(x - xm).Normala krivulje y = f(x) u toèki M(xm, ym) ima jednadžbu y - ym =
)x('y1
m
×(x - xm).
[y'(xm) je vrijednost derivacije funkcije y = f(x) za x = xm]
63. U toèki x = 1 naãi jednadžbu tangente i normale krivulje:a) y = x3 - 3x2 + 2x + 1
[y = -x + 2; y = x]b) 2x
1y =[y = -2x + 3; x - 2y + 1 = 0]
c) y = ln x[y = -x + 1]
64. Naãi jednadžbu tangente krivulje y = x2 + 2 koja je paralelna spravcem y = x -2.
[4x - 4y + 7 = 0]65. Na krivulji y = x2 - 2x + 1 naãi toèku u kojoj je normala paralelna s
pravcemx + 2y - 3 = 0.
[x = 2]66. Iz ishodiðta su povuèene tangente na krivulju y = ax2 + bx + c. Naãi
koordinate dodirnih toèaka.úûù
êëé ±=
ac
x
Graðevinski fakultetSveuèiliðta u Mostaru
http://www.sve-mo.ba/gf/Strojarski fakultet
Sveuèiliðta u Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/sf/
Matematika 1 – zadaci za vježbu | derivacije 7
67. Naãi jednadžbu tangente na krivulju:a) y3 - 2x2y + a3 = 0 u toèki M(a, a)
[y = 4x - 3a]b) x - y = ln(1 + 2x + y) u toèki O(0, 0)
úûù
êëé -= x
21
y
c) y + exy - 2 = 0 u toèki P(0, 1)[y = -x + 1]
68. Naãi jednadžbu normale krivulje:a) y = x + ln(2x - y) u toèki M(1, 1)
[2x + 3y - 5 = 0]b) y2 = sin(x + y) u toèki O(0, 0)
[y = x]c) y = 1 + x×ey u toèki N(-1, 0)
[y = -2(x + 1)]69. Naãi jednadžbu tangente na krivulju:
a)þýü
==
tsinby
tcosax u toèki4
tp=
úûù
êëé =+ 2
by
ax
b)þýü
== -
tcosty
ex t
u toèki t = 0[y = -x + 1]
c)þýü
==
3
2
ty
tx u toèki t = 1[3x - 2y - 1 = 0]
70. Naãi jednadžbu normale krivulje:a)
þýü
+== -
)1tln(y
ex t
u toèki t = 0[y = x - 1]
b)þýü
×=×=
tlnty
etx t
u toèki t = 1[y = -2e(x -e)]
71. Naãi kut pod kojim se sijeku krivulje x2 + y2 = 8 i 2x21
y = .[j = arc tg 3]
Graðevinski fakultetSveuèiliðta u Mostaru
http://www.sve-mo.ba/gf/Strojarski fakultet
Sveuèiliðta u Mostaruhttp://www.sve-mo.ba/sf/
Matematika 1 – zadaci za vježbu | derivacije 8
72. U toèki P(1, 2) krivulje y = x3 + 1 povuèene je tangenta i ona sijeèekrivulju u toèki Q. Naãi koordinate toèke Q.
[Q(-2, -7)]73. Iz toèke A(-1, 0) povuèena je tangenta ne krivulju y2 = x3 +1 i ona
dodiruje krivulju u toèki B. Naãi koordinate toèke B.úûùêë
é --+--+- )936,31(B);936,31(B 21
74. U toèki M(-1, 0) krivulje y = x4 + 7x3 + 17x2 + 16x + 5 povuèena jetangenta koja sijeèe danu krivulju u toèkama A i B. Izraèunatiduljinu tetive AB .[ ]2AB =
75. Tangenta krivulje 3
2
3
2
3
2
ayx =+ sijeèe koordinatne osi u toèkama A iB. Pokazati da je AB = const.[ ]aAB =
76. Pokazati da krivuljax10x4
4x5xy 3
24
-+-= sijeèe os Ox uvijek pod istim
kutom i naãi taj kut.úûù
êëé p=a
4
77. Normale povuèene u toèkama x = 0 i x = a krivulje y = ex sijeku se utoèku C. Naãi granièni položaj toèke C kad a ® 0.
[C(-2, 3)]78. Pokazati da je svaka normala krivulje
þýü
×-=×+=
)tcostt(sinay
)tsintt(cosax tangenta
kružniceþýü
×=×=
tsinay
tcosax .
79. Tangenta krivuljex2
ay
2
= sijeèe koordinatne osi i toèkama A i B.Pokazati da je povrðina trokuta OAB konstantna.
