Unidad 6. Funciones Derivables Valores extremos

Valores Extremos de Funciones

De�nición 1. Supónga que una función f esta de�nida en una vecindad alrededor de un punto x0.Entoncesa) f tiene un máximo local en x0 si para cierta vecindad de x0, f alcanza su máximo en x0. Esto es:

∃ δ > 0 � f(x0) = max f(x0 − δ, x0 + δ)

ó equivalentemente∃ δ > 0 � ∀ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), f(x) ≤ f(x0)

b) f tiene un mínimo local en x0 si para cierta vecindad de x0, f alcanza su mínimo en x0. Esto es:

∃ δ > 0 � f(x0) = min f(x0 − δ, x0 + δ)

ó equivalentemente∃ δ > 0 � ∀ (x0 − δ, x0 + δ), f(x) ≥ f(x0)

c) Una función f tiene un valor extremo local en x0 si f tiene un máximo local ó f tiene un mínimo localen x0.

Sabemos que una función continua de�nida en un intervsalo cerradoi alcanza sus valores máximo ymínimo.

Ejemplo Muestre que la función f(x) = −x2 alcanza valores extremos en [−3, 2]

Solución Se tiene que

x ∈ [−3, 2] ⇒ x2 ≥ 0 ⇒ − x2 ≤ 0

⇒ f(x) = −x2 ≤ 0 = −(0)2 = f(0)

por lo tanto

f(x) ≤ 0 = f(0), ∀ x ∈ [−3, 2]

por lo tanto 0 es un valor extremo de la funciónf(x) = −x2, en este caso un valor máximo sobre[−3, 2]

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Por otro lado se tiene que

x ∈ [−3, 2] ⇒ |x| ≤ 3 ⇒ x2 ≤ 9 ⇒ −9 ≤ −x2

⇒ f(−3) = −(−3)2 = −9 ≤ −x2 = f(x)

por lo tanto

f(−3) = −9 ≤ f(x), ∀ x ∈ [−3, 2]

por lo tanto f alcanza un valor extremo es x0 =−3 y el valor f(x0) = f(−3) = −9 es un valorminimo pra f(x) = −x2 sobre [−3, 2]

Ejemplo Analizar la función

f(x) =

2x− 2 si 0 < x ≤ 24− x si 2 < x ≤ 42x− 8 si 4 < x < 6

sobre (0, 6)

Solución Se tiene que

x ∈ (1, 3) ⇒ x ∈ (1, 2] y x ∈ (2, 3)

por lo que

x ∈ (1, 2] ⇒ 1 < x ≤ 2 ⇒ 2 < 2x ≤ 4 ⇒ 0 < 2x−2 ≤ 2

⇒ f(x) = 2x− 2 ≤ 2 = 2(2)− 2 = f(2)

por lo tanto

f(x) ≤ f(2), ∀ x ∈ (1, 2]

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Se tiene que

x ∈ (1, 3) ⇒ x ∈ (1, 2] y x ∈ (2, 3)

por lo que

x ∈ (2, 3) ⇒ 2 < x < 3 ⇒ −3 < −x < −2 ⇒ 1 < 4−x < 2

⇒ f(x) = 4− x < 2 = f(2)

por lo tanto

f(x) < f(2), ∀ x ∈ (2, 3)

Se tiene entonces que x0 = 2 es un valor extremode f(x) sobre (1, 3) en este caso un valor máximo

Vamos a demsotrar que 2 es un valor máximo de f(x) en (1, 3)

Demostración. Se tiene que

(1, 3) = (0, 6)⋂

(1, 3) = (0, 6)⋂

(2− 1, 2 + 1)

es decir∃ δ = 1 � 2 es un valor maximo sobre (0, 6)

⋂(2− δ, 2 + δ)

por lo tanto 2 es un máximo local de f sobre (0, 6)

Se tiene que

x ∈ (3, 5) ⇒ x ∈ (3, 4] y x ∈ (4, 5)

por lo que

x ∈ (3, 4] ⇒ 3 < x ≤ 4 ⇒ −4 ≤ −x < −34 ⇒ 0 ≤ 4−x < 1

⇒ f(4) = 0 ≤ f(x) = 4− x

por lo tanto

f(4) ≤ f(x), ∀ x ∈ (3, 4]

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Se tiene que

x ∈ (4, 5) ⇒ 4 < x < 5 ⇒ 8 < 2x < 10 ⇒ 0 < 2x−8 < 2

⇒ f(4) = 0 < f(x) = 2x− 8

por lo tanto

f(4) < f(x), ∀ x ∈ (4, 5)

Se tiene entonces que x0 = 4 es un valor extremode f(x) sobre (3, 5) en este caso un valor minimo

Vamos a demsotrar que 2 es un valor minimo de f(x) en (3, 5)

Demostración. Se tiene que

(3, 5) = (0, 6)⋂

(3, 5) = (0, 6)⋂

(4− 1, 4 + 1)

es decir∃ δ = 1 � 4 es un valor minimo sobre (0, 6)

⋂(4− δ, 4 + δ)

por lo tanto 4 es un minimo local de f sobre (0, 6)

Teorema 1. Si una función f tiene un valor extremo local en un punto x0 de su dominio entoncesf ′(x0) = 0

Demostración. Supongamos que f ′(x0) 6= 0 esto es f ′(x0) > 0 ó f ′(x0) < 0Caso 1 f ′(x0) > 0 esto implica que

∃ δ > 0 � ∀ x ∈ (x0 − δ, x0) f(x) < f(x0)

y también∃ δ > 0 � ∀ x ∈ (x0, x0 + δ) f(x) > f(x0)

Lo anterior quiere decir que x0 no es ni un máximo local, ni un mínimo local para f, por lo tanto f noalcanza un valor extremo en x0El caso 2 f ′(x0) < 0 es analogo

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