Unidad 6. Funciones Derivables Valores extremos

Valores Extremos Locales de Funciones en Intervalos

De�nición 1. Supónga que una función f : A ⊂ R→ R esta de�nida en A, x0 ∈ A. Entoncesa) f tiene un máximo local en x0 si

∃ δ > 0 � x0 es punto maximo de f sobre A⋂

(x0 − δ, x0 + δ)

b) f tiene un mínimo local en x0 si

∃ δ > 0 � x0 es punto minimo de f sobre A⋂

(x0 − δ, x0 + δ)

Ejemplo Analizar la función

g(x) =

{x2

2 − 2 si −3 < x ≤ 22− x si 2 < x ≤ 5

sobre (−3, 5)

Se tiene que

x ∈ (1, 3) ⇒ x ∈ (1, 2] y x ∈ (2, 3)

por lo que

x ∈ (1, 2] ⇒ x2 ≤ 4 ⇒ x2

2≤ 2 ⇒ x2

2− 2 ≤ 0

⇒ g(x) =x2

2− 2 ≤ 0 = g(2)

por lo tanto

g(x) ≤ g(2), ∀ x ∈ (1, 2]

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Unidad 6. Funciones Derivables Valores extremos

Analizando x ∈ (2, 3) Se tiene que

x ∈ (2, 3) ⇒ 2 < x < 3 ⇒ −3 < −x < −2 ⇒

−1 < −x+ 2 < 0 ⇒ g(x) = 2− x < 0 = g(2)

⇒ g(x) = 2− x ≤ 0 = g(2)

por lo tanto

g(x) ≤ g(2), ∀ x ∈ (2, 3)

Por lo tanto 2 es un punto máximo de g sobre (1, 3)

Demostración.(1, 3) = (−3, 5)

⋂(1, 3) = (−3, 5)

⋂(2− 1, 2 + 1)

es decir∃ δ = 1 � 2 es punto maximo de g sobre (−3, 5)

⋂(2− δ, 2 + δ)

por lo tanto 2 es punto máximo local de g sobre (−3, 5)

Analizando x ∈ (−1, 1) se tiene que

x ∈ (−1, 1) ⇒ 0 ≤ x2 ⇒ 0 ≤ x2

2⇒

−2 ≤ x2

2− 2 ⇒ g(0) = −2 ≤ x2

2= g(x)

⇒ g(0) ≤ g(x)

por lo tanto

g(0) ≤ g(x), ∀ x ∈ (−1, 1)

Por lo tanto 0 es un punto mínimo de g sobre (−1, 1)

Demostración.(−1, 1) = (−3, 5)

⋂(−1, 1) = (−3, 5)

⋂(0− 1, 0 + 1)

es decir∃ δ = 1 � 2 es punto minimo de g sobre (−3, 5)

⋂(0− δ, 0 + δ)

por lo tanto 0 es punto mínimo local de g sobre (−3, 5)

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Unidad 6. Funciones Derivables Valores extremos

Valores Extremos de Funciones en Intervalos

De�nición 2. Supónga que una función f : A ⊂ R→ R esta de�nida en A, x0 ∈ A.Se dice que x0 es un punto máximo de f sobre A si f(x) ≤ f(x0) ∀ x ∈ Aen este caso f(x0) recibe el nombre de valor máximo de f sobre ASe dice que x0 es un punto mínimo de f sobre A si f(x0) ≤ f(x) ∀ x ∈ A en este caso f(x0) recibe elnombre de valor mínimo de f sobre A

Ejemplo Sea f(x) = 2x en A = [1, 4). Encuentre los valores extremos de f en A.

Se tiene que

x ∈ [1, 4) ⇒ 1 ≤ x ⇒ 2 ≤ 2x ⇒ f(1) = 2 ≤ 2x = f(x)

por lo tanto

f(1) ≤ f(x), ∀ x ∈ [1, 4)

por lo tanto 1 es punto mínimo de f sobre [1, 4)y 2 es el valor mínimo de f sobre [1, 4)f no tiene puntos máximos

Ejemplo Hallar los puntos máximos y mínimos de f(x) = x5 + x+ 1 sobre [−1, 1]

Solución Tenemos quex ∈ [−1, 1] ⇒ − 1 ≤ x ≤ 1 ⇒ − 1 ≤ x5 ≤ 1(

−1 ≤ x ≤ 1−1 ≤ x5 ≤ 1

)⇒ − 2 ≤ x5 + x ≤ 2 ⇒ − 1 ≤ x5 + x+ 1 ≤ 3

De esta maneraf(−1) = −1 ≤ x5 + x+ 1 = f(x)

es decir −1 es un punto mínimo de f sobre [−1, 1] También se tiene

f(x) = x5 + x+ 1 ≤ 3 = f(1)

es decir 1 es punto máximo de f sobre [−1, 1]

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Unidad 6. Funciones Derivables Valores extremos

Teorema de Rolle

Teorema 1. Teorema de Rolle Sea a < b y suponga que f : [a, b]→ R es derivable en (a, b) y continuaen [a, b] y f(a) = f(b). Entonces ∃ x0 ∈ (a, b) � f ′(x0) = 0

Demostración. Caso 1 f es una función constanteen este caso

f ′(x) = 0 ∀ x ∈ (a, b) ∴ si x0 ∈ (a, b) entonces f ′(x0) = 0

Caso 2 f es una función no constanteen este caso existen c, d ∈ (a, b) tal que

f(c) = min f([a, b]) y f(d) = max f([a, b])

al ser f una función no constante f(c) < f(a) = f(b) y f(d) > f(a) = f(b) y por lo tanto f(c) y f(d)son extremos locales para f en (a, b) y según el teorema de los valores extremos f ′(c) = 0 y f ′(d) = 0 portanto existe al menos un x0 ∈ (a, b) tal que f ′(x0) = 0

Ejemplo Muestre que f(x) = 4x2 − 20x+ 29 satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo[1, 4] y encontrar x0 ∈ (1, 4) tal que f ′(x0) = 0

Solución En este caso se tiene que f es una función polinomica, por lo que f es continua y derivable enR en particular(1) Es continua en [1, 4](2) Es diferenciable en (1, 4)Ademas (

f(1) = 4(1)2 − 20(1) + 29 = 13f(4) = 4(4)2 − 20(4) + 29 = 13

)⇒ f(1) = f(4)

por lo tanto f satisface las hiótesis del teorema de Rolle.Ahora vamos a encontrar x0 ∈ (1, 4) tal que f ′(x0) = 0 , para esto se tiene

f(x) = 4x2 − 20x+ 29 ⇒ f ′(x) = 8x− 20 ⇒ f ′(x) = 0 ⇔ 8x− 20 = 0 ⇔ x =5

2

por lo tanto x0 =5

2es tal que

x0 ∈ (1, 4), y f ′(x0) = 0

Ejemplo Muestre que f(x) = x3 − x satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1]y encontrar x0 ∈ (−1, 1) tal que f ′(x0) = 0

Solución En este caso se tiene que f es una función polinomica, por lo que f es continua y derivable enR en particular(1) Es continua en [−1, 1](2) Es diferenciable en (−1, 1)Ademas (

f(−1) = (−1)3 − (−1) = 0f(1) = (1)3 − (1) = 0

)⇒ f(−1) = f(1)

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Unidad 6. Funciones Derivables Valores extremos

por lo tanto f satisface las hiótesis del teorema de Rolle.Ahora vamos a encontrar x0 ∈ (−1, 1) tal que f ′(x0) = 0 , para esto se tiene

f(x) = x3 − x ⇒ f ′(x) = 3x2 − 1 ⇒ f ′(x) = 0 ⇔ 3x2 − 1 = 0 ⇔ x = ±√

1

3

por lo tanto x0 = ±√

1

3es tal que

x0 ∈ (1, 4), y f ′(x0) = 0

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