Prof. Cleber Costa Jr

O conceito de Derivada está

intimamente ligado ao conceito de reta

tangente a uma curva.

A

B A tangente é

determinada por sua

inclinação (Coeficiente

angular) e pelo ponto

de tangência.

Como determinar a inclinação da reta

tangente ao ponto P da função

representada abaixo?

P

x

Y

P

Q

s

x

Y

P

Q

x

y

s)xx(f

)x(f

xx x

Δx

Δytgα

Δx

f(x)-Δx)f(xtgα

x

Y

P

Q

x

y

s

)xx(f

)x(f

xx x

PQ

0x

Δx

f(x)-Δx)f(xtg

Δx

f(x)-Δx)f(xtg

0x

Δx

f(x)-Δx)f(xtg

x

y

Δx

f(x)-Δx)f(x

0x0xlim

x

ylim

Δx

f(x)-Δx)f(x

0xlim)x(m

)x(mx

ylim,Fazendo

0x

x

Y

P

x

Y

P

Δx

f(x)-Δx)f(xlim)x(m

0x

0x

o

o

xx,Logo

xxx

0

0

x-x

)f(x-f(x)

0xxlim)x(m

x

Y

P

0 0 0y f(x ) f '(x ) (x x )

0

0

xx0

x-x

)f(x-f(x)lim)x('f

0

0 0 0y f(x ) f '(x ) (x x )

Encontrar a equação da reta tangente

ao gráfico da função

no ponto de abscissa

𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔

𝒙 = −𝟏

E no ponto de abscissa 𝒙 = 𝟐 ?

Determine o coeficiente angular e a

equação da reta tangente à curva y = x2

no ponto P(2, 4)

04x4y

0x

0f(x )

0 0

0

1y f(x ) (x x )

f '(x )

t

n

0f '(x ) 0

0 0

0

1y f(x ) (x x )

f '(x )

Encontre a reta normal ao gráfico

da função anterior.

APLICAÇÃO:

Determinar a equação da reta tangente e da

reta normal às curvas, nos pontos indicados:

𝒂) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟏; 𝒙 = 𝟏

𝒃) 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟏; 𝒙 = 𝟏

𝒄) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏; 𝒏𝒐 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 (−𝟐, 𝟗)

TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

Sabe-se que a velocidade média de

um corpo móvel é dado pelo quociente

entre o espaço percorrido e o tempo gasto

para percorrê-lo. Desse modo, se um

corpo se move em linha reta, s(t)

representa a posição do móvel no

instante t.

Logo, no intervalo de tempo entre t e

t + Δt, o corpo sofre um deslocamento

Δs = s(t + Δt) – s(t).

0

0

0 tt

)t(s)t(slim)t(v

tt

Notação:

A função posição de um corpo que se move

em linha reta é dada por s(t) = 16t - t2, onde t é

dado em segundos e s em centímetros .

Determine:

a) A velocidade média no intervalo [2; 4]

b) A velocidade instantânea em to = 1s

Agora é com a aceleração:

1) A derivada de uma função num ponto ,

denotada por , é igual ao limite 0x

0f '(x )

0

00

x x0

f(x) f(x )f '(x ) lim

x x

se esse limite existe e é finito.

O limite considerado no cálculo do

coeficiente angular da reta tangente e da

taxa instantânea de variação de uma

função nos leva às seguintes definições:

2) A derivada de uma função num ponto

qualquer do domínio, denotada por

, é igual ao limite

se esse limite existe e é finito.

𝒇′(𝒙)

Δx

f(x)-Δx)f(xlim)x('f

0x

Y'dy

dx

d(f)

dxxD f

Notações de

f’(x)

0

0

x-x

)f(x-f(x)

0xxlim)x(m

Determine a derivada da função

Determine a derivada da função.

4x3x)x(f 3

Δx

f(x)-Δx)f(xlim)x('f

0x

2x)x(f

FLEMMING, Diva Maria. Cálculo A. São

Paulo: Makron Books, 1992.

LEITHOLD , Louis. O cálculo com

Geometria Analítica. v. 1. Harbra, 1976.

STEWART, James. Cálculo. v. 1, 5 ed. São

Paulo: Pioneira, 2005.

(Isaac Newton)