DESARROLLO Y CONOCIMIENTO DESARROLLO Y CONOCIMIENTO PROFESIONAL DEL PROFESOR DE PROFESIONAL DEL PROFESOR DE

MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

-Joao Pedro da Ponte (Universidad de Lisboa, Portugal)

jpponte@fc.ul.pt http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte

-Pablo Flores (Universidad de Granada, España)

pflores@ugr.es www.ugr.es/local/pflores

Curso 2009 - 2010

DESARROLLO Y CONOCIMIENTO DESARROLLO Y CONOCIMIENTO PROFESIONAL DEL PROFESOR DE PROFESIONAL DEL PROFESOR DE

MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

Dos partes:

Parte 1: Algunas dimensiones para comprender el papel del profesor de Matemáticas

- Pablo Flores (20 enero a 10 febrero y 24 febrero)

- Taller de reflexión

Parte 2: La Investigación sobre el profesor de Matemáticas

- Joao Pedro da Ponte (16 a 19 de febrero)

- Revisión investigaciones

DESARROLLO Y CONOCIMIENTO DESARROLLO Y CONOCIMIENTO PROFESIONAL DEL PROFESOR DE PROFESIONAL DEL PROFESOR DE

MATEMÁTICASMATEMÁTICASSesionesSesiones TemasTemas ProfesoresProfesores

20/1/201020/1/2010 1.1.Introducción.Introducción.De la práctica matemática a la investigación sobre formación de profesores de Matemáticas. De la práctica matemática a la investigación sobre formación de profesores de Matemáticas. Cuestiones generales en esta línea de investigación.Cuestiones generales en esta línea de investigación.

PFPF

27/1/201027/1/2010 1.2. Conocimiento profesional del profesor para enseñar Matemáticas. Conocimiento didáctico del 1.2. Conocimiento profesional del profesor para enseñar Matemáticas. Conocimiento didáctico del contenidocontenido

PFPF

3/2/20103/2/2010 1.3. Profesor reflexivo. Reflexión sobre la práctica y para investigar1.3. Profesor reflexivo. Reflexión sobre la práctica y para investigar PFPF

10/2/201010/2/2010 1.4. Formación de profesores basada en la reflexión Reflexión sobre un problema profesional1.4. Formación de profesores basada en la reflexión Reflexión sobre un problema profesional PFPF

16/2/201016/2/2010 2.1. Conocimiento matemático del profesor2.1. Conocimiento matemático del profesor JPPJPP

17/2/201017/2/2010 2.2. Conocimiento de enseñanza de las Matemáticas2.2. Conocimiento de enseñanza de las Matemáticas JPPJPP

18/2/201018/2/2010 2.3. Prácticas profesionales2.3. Prácticas profesionales JPPJPP

19/2/201019/2/2010 2.4. Formación inicial de profesores de Matemáticas2.4. Formación inicial de profesores de Matemáticas2.5. Proyectos de intervención educativa / colaboración2.5. Proyectos de intervención educativa / colaboración

JPPJPP

24/2 o 3/324/2 o 3/3 3.Discusión de trabajos de los estudiantes3.Discusión de trabajos de los estudiantes PFPF

1ª Parte

2ª Parte

1.1. EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Y 1.1. EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Y LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICALA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

PLANOS Y SISTEMAS IMPLICADOS PLANOS Y SISTEMAS IMPLICADOS EN LA ENSEÑANZA DE LAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS

MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Y EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Y LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA: LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA:

Relación con las matemáticasRelación con las matemáticas

- El - El profesor de Matemáticas ¿es profesor de Matemáticas ¿es matemáticomatemático??

- ¿¿Relación entre Didáctica de la Relación entre Didáctica de la Matemática y tarea del profesor?Matemática y tarea del profesor?

¿Qué puede aportar?¿Qué pedirle?¿Qué puede aportar?¿Qué pedirle?

- - ¿Mejora práctica docente quién investiga ¿Mejora práctica docente quién investiga en Didáctica de la Matemática?en Didáctica de la Matemática?

EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Y EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Y LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA:LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA:

Relación con la Investigación didácticaRelación con la Investigación didáctica

¿Por qué profesores no conocen ¿Por qué profesores no conocen investigaciones didácticas?investigaciones didácticas?

¿Por qué son poco prácticas las ¿Por qué son poco prácticas las investigaciones didácticas?investigaciones didácticas?

Tesis doctoral ¿una investigación práctica?Tesis doctoral ¿una investigación práctica?

EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Y EL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Y LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICALA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Vamos a analizar:Vamos a analizar:1.1. SistemasSistemas relacionados con práctica relacionados con práctica

docente del profesor de Matemáticasdocente del profesor de Matemáticas2.2. PlanosPlanos implicados (sujetos, finalidades, implicados (sujetos, finalidades,

funciones, criteriosfunciones, criterios))3.3. Tipo de Tipo de decisionesdecisiones que se pueden adoptar que se pueden adoptar

desde la prácticadesde la práctica4.4. Actitudes de reflexiónActitudes de reflexión del profesor del profesor

Un problema clásico en enseñanza:Un problema clásico en enseñanza:

Dos pastores que tienen 5 y 3 panes, Dos pastores que tienen 5 y 3 panes, respectivamente, se encuentran a un cazador respectivamente, se encuentran a un cazador hambriento, sin comida, con quien comparten hambriento, sin comida, con quien comparten sus panes y comen igual cantidad los tres. Al sus panes y comen igual cantidad los tres. Al despedirse el cazador les da 8 monedas ¿Cómo despedirse el cazador les da 8 monedas ¿Cómo se las deben repartir los dos pastores?se las deben repartir los dos pastores?

1.1. Sistemas implicados en la Sistemas implicados en la docencia:docencia:

CUESTIONES PROFESIONALES CUESTIONES PROFESIONALES DEL PROFESORDEL PROFESOR

¿Es adecuado este problema para la enseñanza de la proporcionalidad en ESO? ¿Qué aporta?

¿Qué espera el profesor que haga el alumno en este problema?

¿Qué cuestiones se va a plantear el alumno cuando afronta este problema?.

¿Cuándo se puede plantear este problema, antes, durante el estudio, después, como aplicación, como aplicación del algoritmo de reparto?

PROBLEMA:

Dos pastores que tienen 5 y 3 panes, respectivamente, se encuentran a un cazador hambriento, sin comida, con quien comparten sus panes y comen igual cantidad los tres. Al despedirse el cazador les da 8 monedas ¿Cómo se las deben repartir los dos pastores?

Un problema para la enseñanza de la proporcionalidad

EJERCICIO 1:

* Resolverlo

* Enunciar cuestiones que se van a plantear los alumnos al resolverlo

Formas en que resuelven los alumnosFormas en que resuelven los alumnos

A:A: Resuelven por reparto proporcional

B: Hacen preguntas sobre las condiciones:– A. ¿Cada pan vale una moneda? – B. ¿Tienen que repartir todo el dinero? – C. ¿Todos reciben la misma cantidad de

monedas, ya que reciben igual cantidad de pan?

Dos pastores que tienen 5 y 3 panes, Dos pastores que tienen 5 y 3 panes, respectivamente, se encuentran a un cazador respectivamente, se encuentran a un cazador hambriento, sin comida, con quien comparten hambriento, sin comida, con quien comparten sus panes y comen igual cantidad los tres. Al sus panes y comen igual cantidad los tres. Al despedirse el cazador les da 8 monedas despedirse el cazador les da 8 monedas ¿Cómo se las deben repartir los dos pastores?¿Cómo se las deben repartir los dos pastores?

Pastor APastor APastor BPastor B

Cazador:Cazador:

RESOLUCIÓN POR PROPORCIONALIDADRESOLUCIÓN POR PROPORCIONALIDAD

Tienen que repartir en la proporción que han dado.

Mientras A ha dado 7 (tercios)

B ha dado 1 (tercios)

Luego se repartirán 7 monedas para A y 1 para B

Posiciones al resolverPosiciones al resolver

a) Como alumnos aplicados (tienen que resolver el problema empleando sólo estos datos, haciendo uso de una teoría matemática tratada en este curso)

(SITUACIÓN DE ENSEÑANZA)

b) Como consumidores (se plantean cuestiones sobre cuándo se sentirían satisfechos)

(SITUACIÓN COTIDIANA)

Conflictos escolares por las posicionesConflictos escolares por las posiciones

El profesor puede pretender que el alumno:

- Adopte posición de enseñanza (responda lo que se espera de él -reparto proporcional-)

- Sea crítico con el resultado (vea si solución es aceptable) [exige adoptar posición cotidiana, pero dentro de situación de enseñanza]

- Esto puede generar conflictos: el alumno está acostumbrado a una posición, y le cuesta trabajo cambiarla (problema de la edad del capitán, p.e., concepto de contrato didáctico)

SITUACIÓN COTIDIANASITUACIÓN COTIDIANA

PROBLEMA Sujetos pacientes:

- Pastores y cazador

Sujeto experto:

-Perito

(Matemático / ecónomo, etc.)

SITUACIÓN COTIDIANASITUACIÓN COTIDIANA

Sujetos pacientes = pastores y cazador

Para resolver el problema hacen uso de conocimientos técnicos y cotidianos para dar una solución consensuada.

Si no llegan a acuerdo piden apoyo de un

Sujeto experto = perito

externo, quien les sugiere formas de reparto basadas en sus conocimientos teóricos.

(Estas soluciones sólo son aceptadas cuando las consensúan los sujetos pacientes)

SITUACIÓN DE ENSEÑANZASITUACIÓN DE ENSEÑANZA

PROBLEMA Sujetos pacientes:

- Alumnos

Sujeto experto:

-Profesor

SITUACIÓN DE ENSEÑANZASITUACIÓN DE ENSEÑANZA

Sujetos pacientes = los alumnos, (dirigido)

obligados por el profesor a buscar una solución.

Cuya validez la establece el profesor,

Luego los alumnos tienen que “adivinar” cuál es la solución que el profesor considera adecuada.

Sujeto experto = profesor (director)

RESUMENRESUMEN

-Cierto paralelismo entre Situación Cotidiana y Situación de Enseñanza,

Pero:

- Debemos distinguir Matemática que se enseña (S. Enseñanza) de la Matemática que se utiliza (S. Cotidiana)

- Matemática cotidiana es conocimiento práctico, derivada de una Matemática teórica

- El conocimiento se valida por consenso de los sujetos del sistema correspondiente

RELACIÓN ENTRE SITUACIONES Y ENTRE SISTEMAS

¿Cuál es el conocimiento del experto (teórico)? ¿De dónde surge? ¿Cómo llega el perito a ser experto?¿Relación entre conocimiento teórico y conocimiento práctico? ¿Qué relación existe entre el sistema de enseñanza y el sistema cotidiano? ¿Cómo situar cada uno de ellos?

PROBLEMA

PLANO TEÓRICO SUBYACENTE AL PRÁCTICOPLANO TEÓRICO SUBYACENTE AL PRÁCTICOAl Al SISTEMA COTIDIANOSISTEMA COTIDIANO, el , el SISTEMA MATEMÁTICOSISTEMA MATEMÁTICO

PROBLEMA MATEMÁTICO

PR

AC

TIC

O

TE

ÓR

ICO

Sujeto paciente:

Pastores y cazador

Sujeto experto:

PERITOCONOCIMIENTO EXPERTO

PROBLEMA

PLANO TEÓRICO SUBYACENTE AL PRÁCTICOPLANO TEÓRICO SUBYACENTE AL PRÁCTICOAl Al SISTEMA DE ENSEÑANZASISTEMA DE ENSEÑANZA, el , el SISTEMA DIDÁCTICOSISTEMA DIDÁCTICO

PROBLEMA

de Enseñanza

Investigador en Didáctica de la

Matemática

PR

AC

TIC

O

TE

ÓR

ICO

Sujetos pacientes:

Alumnos

Sujeto experto:

PROFESORCONOCIMIENTO DEL PROFESOR

PLANO PLANO TEÓRICOTEÓRICO SUBYACENTESUBYACENTE AL PRÁCTICO AL PRÁCTICO

• PLANO MATEMÁTICO (P.teórico) subyace a Sistema cotidiano (P. Práctico):

• Hace abstracción de algunas condiciones y estudia forma de resolver categorías de problemas similares

-Su intención es obtener teorías sobre estas categorías de problemas.

• PLANO DIDÁCTICO (P. Teórico) subyace a Sistema de enseñanza (P. Práctico):

-Hace abstracción de condiciones particulares de cada aula, para estudiar forma de resolver problemas sobre aprendizaje y enseñanza

-Su intención es obtener teorías sobre los problemas de enseñanza y aprendizaje de conceptos

PROBLEMA COTIDIANO

SISTEMA

MATEMÁTICO

PROBLEMA ENSEÑANZA

SISTEMA

DIDÁCTICO

TEORIZAR

ABSTRAER

PLANO PRÁCTICO

PLANO TEÓRICO

SISTEMA Y

PLANO

PROBLEMA SUJETOS FIN CRITERIOS VALIDEZ

CUESTIONES

INTERESADO EXPERTO

Sistema CotidianoP. Práctico

Problema reparto

Usuarios PeritoMatemático

Reparto adecuado

Acuerdo entre usuario

¿Cómo repartir?

Sistema Matemático

Plano Teórico

Concepto y propiedades de Proporcionalidad

Peritos, Matemáticos aplicados

Matemático aplicados y teóricos.

Teoría general Coherencia interna

¿Qué es proporcionalidad.? ¿Propiedades?

Sistema Enseñanza

Plano Práctico

Enseñanza de proporcionalidad(fines educativos)

Alumnos Profesor Aprender a resolver problemas(según fines educativos)

Logros de aprendizaje (relativos a fines educativos)

¿Cómo enseñar? ¿Cómo aprenden mis alumnos?¿Materiales de ayuda?

Sistema Didáctico

Plano Teórico

Didáctica de la proporcionalidad (enseñanza y aprendizaje)

profesores Didáctas de Matemática

Teoría de enseñanza y aprendizaje de proporcionalidad

Coherencia análisis.Complitud variables.

¿Cómo aprenden alumnos?¿Principios de enseñanza y aprendizaje?

 

SISTEMA Y

PLANO

PROBLEMA SUJETOS FIN CRITERIOS VALIDEZ

CUESTIONES

INTERESADO EXPERTO

Sistema CotidianoP. Práctico

Problema reparto

Usuarios PeritoMatemático

Reparto adecuado

Acuerdo entre usuario

¿Cómo repartir?

Sistema Matemático

Plano Teórico

Concepto y propiedades de Proporcionalidad

Peritos, Matemáticos aplicados

Matemático aplicados y teóricos.

Teoría general Coherencia interna

¿Qué es proporcionalidad.? ¿Propiedades?

Sistema Enseñanza

Plano Práctico

Enseñanza de proporcionalidad(fines educativos)

Alumnos Profesor Aprender a resolver problemas(según fines educativos)

Logros de aprendizaje (relativos a fines educativos)

¿Cómo enseñar? ¿Cómo aprenden mis alumnos?¿Materiales de ayuda?

Sistema Didáctico

Plano Teórico

Didáctica de la proporcionalidad (enseñanza y aprendizaje)

profesores Didáctas de Matemática

Teoría de enseñanza y aprendizaje de proporcionalidad

Coherencia análisis.Complitud variables.

¿Cómo aprenden alumnos?¿Principios de enseñanza y aprendizaje?

 

Ejercicio 2 de identificación: Identifica qué papeles has desempeñado en tu vida profesional, situándolos en el cuadro

3. Sistema práctico de formación de 3. Sistema práctico de formación de profesoresprofesores

FORMADOR PROFESORES

CONOCIMIENTO PROFESOR

PROFESORES

Sistema didáctico práctico de formación de profesoresSistema didáctico práctico de formación de profesores

Formador de

profesores

Conocimiento

profesional

Profesor

Conocimiento Matemático escolar

Alumno

SISTEMAS PRÁCTICOS RELACIONADOS CON EL PROFESORSISTEMAS PRÁCTICOS RELACIONADOS CON EL PROFESOR

Mundo físico-social usuario, matemático

Matemáticas Alumnos

Profesor

Conocimiento

Profesional

Formador de

profesores

Primera concepción de la práctica Primera concepción de la práctica (Distinción por planos)(Distinción por planos)

Tiene intención práctica (inmediata, referida a unos sujetos concretos, etc.)

No basta con el conocimiento teórico para resolver los problemas prácticos

Tiene una lógica propia

La validez de sus principios la establecen los propios prácticos

PLANOS DE REFLEXIÓNPLANOS DE REFLEXIÓN

Reflexión Reflexión docente docente PRÁCTICAPRÁCTICA

. Objetivos . Objetivos inmediatosinmediatos

. Eficacia práctica. Eficacia práctica

. Jornadas . Jornadas específicas:específicas:

- JAEM- JAEM - Formación - Formación

profesores profesores

PROBLEMA COTIDIANO

SISTEMA

MATEMÁTICO

PROBLEMA ENSEÑANZA

SISTEMA

DIDÁCTICO

TEORIZAR

ABSTRAER

PLANO PRÁCTICO

PLANO TEÓRICO

RESUMEN

PROBLEMA COTIDIANO

SISTEMA

MATEMÁTICO

PROBLEMA ENSEÑANZA

SISTEMA

DIDÁCTICO

TEORIZAR

ABSTRAER

PLANO PRÁCTICO

PLANO TEÓRICO

RESUMEN

¿CÓMO ES ESTA REFLEXIÓN QUE ESTAMOS LLEVANDO A

CABO?

¿QUÉ INTENCIONES TIENE?

El plano EPISTEMOLÓGICOEl plano EPISTEMOLÓGICO

Se ocupa de estudiar la naturaleza del conocimiento que se produce en los dos planos anteriores

Matemático:¿Qué es la matemática? ¿Cómo se establece su verdad? ¿Se descubren o se inventan?

Didáctico:

¿Qué es la didáctica? ¿Qué verdad hay en la didáctica? ¿Cómo se llega a ella?

Reflexión PRÁCTICA y TEÓRICAReflexión PRÁCTICA y TEÓRICA

-Estudiar el plano que corresponde a cada una de las situaciones siguientes, identificando:

-Sujetos (paciente y experto)

-Problema

-Finalidades

-Criterios de validez

EJERCICIO 3

Reflexión matemática epistemológica: Reflexión matemática epistemológica: Naturaleza de la matemáticaNaturaleza de la matemática

¿Es dogmática la matemática?

Reflexión didáctica Reflexión didáctica epistemológica: epistemológica:

Naturaleza del conocimiento Naturaleza del conocimiento didácticodidáctico

Cuadro resumen sistemas y niveles de reflexiónCuadro resumen sistemas y niveles de reflexión

filósofos dela ciencia

investigadores

Figura 4: Planos y perspectivas de reflexión

prácticos

Perspectivas de reflexión: finalidades de la reflexión (para qué), objeto (qué), y Perspectivas de reflexión: finalidades de la reflexión (para qué), objeto (qué), y sujetos principales (quiénes) y secundarios (a quiénes)sujetos principales (quiénes) y secundarios (a quiénes)

 

Perspectivas de reflexión

Objeto Fin Sujeto principal Sujeto secundario

Práctica Problemas técnicos y de la enseñanza

Resolver problemas

Profesionales prácticos (matemáticos, profesores, formadores de profesores)

Sujetos que presentan los problemas (alumnos, profesores en formación)

Teórica-investigadora

Reflexiones y teorías sobre la forma en que se han resuelto los problemas

Establecer conocimiento

Investigadores(matemáticos, didácticos de las matemáticas)

Sujetos secundarios de los planos prácticos

Epistemo-Lógica

Naturaleza del conocimientoCriterios de validación

Caracterizar el conocimiento

Filósofos de la ciencia

Investigadores

EJERCICIO 4: Identificar los sistemas implicados y el nivel de reflexión en cada situación

DECISIONESDECISIONES QUE SE ADOPTAN EN CADA SISTEMA QUE SE ADOPTAN EN CADA SISTEMA

¿Cómo se toman las decisiones en el sistema práctico docente?

¿Qué valores prevalecen?¿Cuáles deben prevalecer?Por ejemplo: ¿Incluimos el problema de

reparto en nuestra clase?Analizar criterios que se pueden adoptar

para tomar la decisión

DECISIONES QUE SE ADOPTAN EN CADA SISTEMADECISIONES QUE SE ADOPTAN EN CADA SISTEMA

TecnológicaTecnológica: : se basa en la aplicación de se basa en la aplicación de estrategia adecuada estrategia adecuada 

TTeóricaeórica: : busca las variables que influyen, busca las variables que influyen, modelosmodelos

CCríticarítica: : analiza consecuencias sociales analiza consecuencias sociales de aplicación y de aplicación y de de decisiones de su decisiones de su aplicaciónaplicación

DECISIONES QUE SE ADOPTAN EN DECISIONES QUE SE ADOPTAN EN EL EL SISTEMASISTEMA DOCENTEDOCENTE

TecnológicaTecnológica: : Se introduce el problema si con ello Se introduce el problema si con ello se consigue que el alumno aprenda se consigue que el alumno aprenda proporcionalidad (como puede inducir a proporcionalidad (como puede inducir a interpretaciones, no es adecuado, por ejemplo)interpretaciones, no es adecuado, por ejemplo)  TTeóricaeórica: : El problema encierra un solo sistema de El problema encierra un solo sistema de representación (los números), puede ser abierto, representación (los números), puede ser abierto, se presta a que los alumnos debatan, por lo que se presta a que los alumnos debatan, por lo que permite que saquen lo que sabenpermite que saquen lo que sabenCCríticarítica: : El problema encierra una reflexión sobre El problema encierra una reflexión sobre variables que pueden tenerse en cuenta en los variables que pueden tenerse en cuenta en los repartos equitativos, se presta a analizar las repartos equitativos, se presta a analizar las condiciones de reparto, y la economía liberal.condiciones de reparto, y la economía liberal.

DECISIONESDECISIONES EN SISTEMA DIDÁCTICO DOCENTE EN SISTEMA DIDÁCTICO DOCENTE

Buscar y describir situaciones prácticas en las que habéis tomado decisiones (reflexión) de estos tipos

Formular cuestiones que se habrían podido tomar en cuenta adoptando los otros tipos de decisiones sobre el mismo problema

EJERCICIO 5

SEGUNDA CONCEPCIÓN DE LA PRÁCTICA: Según la SEGUNDA CONCEPCIÓN DE LA PRÁCTICA: Según la forma de intervención y los principios éticosforma de intervención y los principios éticos

(Contreras 1997)(Contreras 1997)

. . La educación encierra una reflexión La educación encierra una reflexión PRÁCTICAPRÁCTICA

Por su componente éticoPor su componente éticoPor la repercusión de los métodos Por la repercusión de los métodos

empleados en ellaempleados en ellaPor la diversidad de fines Por la diversidad de fines

perseguidos, según la variabilidad de los perseguidos, según la variabilidad de los sujetossujetos

SEGUNDA CONCEPCIÓN DE LA PRÁCTICA: Según la SEGUNDA CONCEPCIÓN DE LA PRÁCTICA: Según la forma de intervención y los principios éticosforma de intervención y los principios éticos

(Contreras 1997)(Contreras 1997)

TTecnológicaecnológica: : se dirige a la producción, se dirige a la producción, el el interés fundamental es producir resultados interés fundamental es producir resultados satisfactorios, los métodossatisfactorios, los métodos ocupan un lugar ocupan un lugar subordinadosubordinado

PPrácticaráctica: : se dirige a realizar se dirige a realizar los valores los valores correctos correctos en la propia acción, en la propia acción, por lo que tienen por lo que tienen que ser adecuados que ser adecuados el proceso el proceso y y el resultadoel resultado

PRÓXIMA SESIÓNPRÓXIMA SESIÓN

CONOCIMIENTO PROFESIONAL DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS

Lecturas:- Bromme, R. (1994): “Beyond subject matter:

A psychological topology of teachers’ professional knowledge”. En R. Biehler, et all. (Eds). Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline. Dordrecht:Kluwer Academic Pb. (p. 73-88)

- Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching,