Branimir Daki cNeven Elezovi cMATEMATIKA 1zbirka detaljno rije
senih zadatakaza 1. razred gimnazija i tehni ckih skola1. dio1.
izdanjeZagreb, 2014.cBranimir Daki c, prof.prof. dr. sc. Neven
Elezovi c, 2013.UrednicaSandra Gra can, dipl. ing.LektoricaDunja
Apostolovski, prof.Crtezi, slog i prijelomElement d.o.o.,
ZagrebDizajnEdo Kadi cNakladnikElement d.o.o., Zagreb, Men ceti
ceva 2tel. 01/ 6008-700, 01/ 6008-701faks 01/
[email protected] d.o.o.,
ZagrebSadr zaj1. Brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 11.1. Prirodni i cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Racionalni brojevi . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 61.3. Realni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4. Operacije sa
skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 242. Potencije i algebarski izrazi . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.
Pojam potencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 282.2. Ra cunanje s potencijama . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.
Znanstveni zapis realnog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 422.4. Algebarski izrazi. Potenciranje binoma .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5. Razlika i zbroj
potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 632.6. Rastavljanje na faktore . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.7. Algebarski razlomci
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 792.8. Linearne jednad zbe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943. Ure -daj na skupu
realnih brojeva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .1293.1. Svojstva relacije ure -daja . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1303.2.
Linearne nejednad zbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .1323.3. Apsolutna vrijednost realnog broja .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1663.4. Udaljenost
to caka na brojevnom pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.1723.5. Jednad zbe i nejednad zbe s apsolutnim vrijednostima . . .
. . . . . . .1774. Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1894.1.
Koordinatni sustav u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .1904.2. Udaljenost dviju to caka u ravnini . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2054.3. Povr sina
trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .2134.4. Polovi ste du zine . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2235. Vektori
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2335.1. Definicija i
opis vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .2345.3. Zbrajanje vektora . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2355.4. Rastav vektora
u komponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .2405.5. Vektori u koordinatnom sustavu . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .2441 BROJEVI1.1. Prirodni i cijeli
brojeviZadatak 1. 1) Zapi si prirodni broj koji neposredno slijedi
iza prirodnog broja n .2) Zapi si prirodni broj koji neposredno
prethodi prirodnom broju n 2 . Kadzadatak ima rje senje?3) Zapi si
broj koji je za 2 ve ci od zbroja brojeva m i n .4) Zapi si broj
koji je dvostruko ve ci od razlike brojeva a i b .5) Zapi si broj
koji je tri puta manji od umno ska brojeva a i b .Rje senje. 1)
Sljedbenik broja n je broj n + 1 .2) Prethodnik broja n 2 je(n 2) 1
= n 3 . Zadatak ima rje senje kadje n > 3 .3) To je broj m + n +
2 . 4) To je broj 2(a b) . 5) To je broj ab3.Zadatak 2. Ispi si:1)
sve cijele brojeve koji su izme -du cijelih brojeva k 1 i k + 5 ;2)
sve neparne cijele brojeve koji su ve ci od 2k 1 i manji od 2k + 7,
gdjeje k cijeli broj;3) sve parne cijele brojeve ve ce od 2k 5 i
manje od 2k +1, gdje je k cijelibroj.Rje senje. 1) To su brojevi k
, k + 1 , k + 2 , k + 3 , k + 4 .2) To su brojevi 2k + 1 , 2k + 3 i
2k + 5 .3) To su brojevi 2k 4 , 2k 2 , 2k .Zadatak 3. Marko je
dvostruko stariji od Filipa, a Filip je 3 godine stariji od Luke.
Ako jeLuki n godina, koliko ukupno godina imaju sva trojica?Rje
senje. Ako je Luki n godina, a Filip je 3 godine stariji, onda
Filip ima n + 3 godina.Marko je dvostruko stariji od Filipa pa ima
2 (n + 3) = 2n + 6 godina. Svatrojica ukupno imaju n + n + 3 + 2n +
6 = 4n + 9 godina.Zadatak 4. Zamisli neki broj.Dodaj mu 1 pa zbroj
pomno zi s 4. Zatim oduzmi 4 padobiveni rezultat podijeli s 4. Koji
je broj rezultat?Ponovi ovaj postupak nekoliko puta. Sto primje
cuje s? Obrazlo zi!Rje senje. [(n + 1) 4 4] : 4 = (4n + 4 4) : 4 =
4n : 4 = n. Tako ovim ra cunomuvijek dobijemo broj od kojega smo
krenuli.Zadatak 5. Neka je d dan, a m mjesec ro -denja tvojeg
prijatelja. Evo kako ce s odreditikoji je dan njegov ro -dendan.
Zadaj mu neka provede sljede ci ra cun: Podvostru ci broj d.
Pomnozi dobiveni rezultat s 10. Dodaj 73. Pomnozi s 5. Dodaj broj
m.Neka ti sada prijatelj ka ze rezultat koji je dobio. Oduzmi kri
somod tog rezultatabroj 365 i dobit ce s datum njegovog ro
-denja.2PRIRODNI I CIJELI BROJEVI1.1Obrazlo zi matemati cku
pozadinu ovog op ceg rje senja.Rje senje. Prati niz zapisa:2d 20d
(20d + 73) (20d + 73) 5 (100d +365+m) (100d +m) . Rezultat je
cetveroznamenkast broj cije su prve dvijeznamenke redni broj dana,
a posljednje dvije redni broj mjeseca ro -denja.Zadatak 6. Neka
tvoj prijatelj broj svojih godina starosti pomno zi s 4.Tom broju
nekadoda 10 pa rezultat pomno zi s 25. Neka potom od dobivenog
rezultata oduzmebroj dana u neprestupnoj godini.Kona cno, neka
razlici doda iznos sitni sa ulipama koji ima u svojem d zepu
(svakako neka je manji od 100). Nakon ovogra cuna zahtijevajte da
vam ka ze rezultat. Dodat cemo tomrezultatu 115 i o cita-ti: prve
dvije znamenke su godine, a sljede ce dvije iznos sitni sa u d zepu
va segprijatelja. Mo zete li razobli citi ovu caroliju?Rje senje.
Ozna cimo sa n broj godina, a sa s koli cinu sitni sa. Slijedi niz
zapisa:4n 4n+10 (4n+10)25 (4n+10)25365 (4n+10)25365+s =100n+s 115 .
Dodamo li ovomposljednjembroju 115 dobit cemo 100n+s .O cigledno,
prve dvije znamenke su broj godina, posljednje dvije iznos su
sit-ni sa.Zadatak 7. Na polici se nalazi sest svezaka Op ce
enciklopedije, poredanih slijeva udesno,jedan do drugog. Svaki
svezak ima 515 stranica ne ra cunaju ci korice.1) Koliko ukupno
stranica ima Op ca enciklopedija?2) Koliko stranica ima izme -du
313. stranice drugog sveska i 127. stranicepetog?3) Brojimo li
stranice enciklopedije redom te izbrojimo 1784, u kojem sveskui na
kojoj stranici smo se zaustavili?4) Brojimo li stranice
enciklopedije redom, ali otraga prema naprijed te sezaustavimo na
broju 3000, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se
zaus-tavili?Rje senje. 1) 6 515 = 3090 ; 2)(515 313 + 1) + 2 515 +
127 = 1360 ;3) 1784 3 515 = 239 ;4) 3090 3000 + 1 = 91 , zaustavili
smo se na 91. stranici prvog sveska.Zadatak 8. Me -du brojevima 1,
2, 3,. . . , 9 odaberi dva me -dusobno razli cita broja. Ispi sisve
dvoznamenkaste brojeve kojima su znamenke ti brojevi, te ih zbroji.
Taj jezbroj uvijek djeljiv s 22. Zbog cega? Obrazlo zi! Mo ze s li
provesti analognozaklju civanje za tri odabrana broja?Napomena:
Dvoznamenkast broj xy zapisujemo u obliku 10x +y . Jednako jetako
xyz = 100x + 10y + z .Rje senje. Odaberemo li primjerice znamenke 2
i 5, svi dvoznamenkasti brojevi su 22, 25,52 i 55. Njihov zbroj je
154 i on je djeljiv s 22.Op cenito, odaberemo li dvije razli cite
znamenke x i y , svi dvoznamenkastibrojevi su xx , xy , yx , i yy ,
a njihov zbroj jexx + xy + yx + yy = 10x + x + 10x + y + 10y + x +
10y + x= 22x + 22y = 22 (x + y).Zadatak 9. Broj 100 zapi si
povezuju ci ra cunskim operacijama1) cetiri jedinice; 2) cetiri
trojke; 3) cetiri petice.Rje senje. Primjerice: 1) 111 11 ; 2) 33 3
+ 33 ; 3)(5 + 5 + 5 + 5) 5 .31 BROJEVIZadatak 10. Ispi si redom
brojeve 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Pove zi te brojeve znakovima+ i (koriste
ci ih ukupno triput) tako da dobije s 100.Rje senje. Primjerice:
123 45 67 + 89 .Zadatak 11. Zapi si broj 100 uporabom svih 10
znamenki i uporabom cetiriju osnovnihra cunskih operacija.Rje
senje. Primjerice: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 9 .Zadatak 12.
Rije si rebus:O H O H O+ A H A H AA H A H A HRje senje. A mo ze
biti samo 1 pa imamo:O H O H O+ 1 H 1 H 11 H 1 H 1 HOdatle je O = 9
, pa sad rebus izgleda ovako:9 H 9 H 9+ 1 H 1 H 11 H 1 H 1 HLako se
vidi da je H = 0 . Dakle, rje senje je 90909 + 10101 = 101010
.Zadatak 13. Odredi cetiri uzastopna prirodna broja kojima je zbroj
jednak 1 258 .Rje senje. Neka je n najmanji od tra zena cetiri
broja. Onda mora bitin + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 1258,4n + 6
= 1258.Odatle je n = 313 , te su tra zeni uzastopni brojevi 313,
314, 315, 316.Zadatak 14. Zbroj pet uzastopnih parnih prirodnih
brojeva jednak je 6 080 . Koji su tobrojevi?Rje senje. Ozna cimo
tre ci po redu broj s n . Onda su ostala cetiri jednaka n 4 , n 2
,n + 2 i n + 4 pa mora biti(n 4) + (n 2) + n + (n + 2) + (n + 4) =
60805n = 6080te je n = 1216 . Rije c je o brojevima 1 212 , 1 214 ,
1 216 , 1 218 , 1 220 .Zadatak 15. Zbroj sedam uzastopnih neparnih
prirodnih brojeva jednak je 581.Koliki jezbroj sedam narednih
neparnih prirodnih brojeva?Rje senje. Srednji cemo broj ozna citi s
n . Onda su preostali brojevi n 6 , n 4 , n 2 ,n + 2 , n + 4 i n +
6 pa mora biti(n 6) + (n 4) + (n 2) + n + (n + 2) + (n + 4) + (n 6)
= 5817n = 581te je n = 83 . Rije c je o brojevima 77, 79, 81, 83,
85, 87 i 89. Sedam narednihneparnih brojeva su redom 91, 93, 95,
97, 99, 101 i 103, a njihov zbroj iznosi679.4PRIRODNI I CIJELI
BROJEVI1.1Zadatak 16. Umno zak triju uzastopnih prirodnih brojeva
jednak je 4080. Koliki je zbroj tihtriju brojeva?Rje senje.
Rastavljanjem broja 4080 na proste faktore, dobivamo 4080 = 24 3 5
17 =16 15 17 . Dakle, rije c je o umno sku brojeva 15, 16 i 17.
Njihov zbroj je 48.Zadatak 17. Koja je posljednja znamenka umno ska
1 3 5 7 . . . 99?Rje senje. Rije c je o umno sku uzastopnih
neparnih prirodnih brojeva od kojih neki zavr- savaju s 5, te i
cijeli umno zak zavr sava s 5.Zadatak 18. S koliko nula zavr sava
umno zak 1 2 3 4 . . . 33 ?Rje senje. Broj je djeljiv s 10 ako je
djeljiv s 2 i s 5. Kad bismo zadani umno zak rastavilina proste
faktore, zanima nas koliko u tomrastavu ima petica (dvojki o
ciglednoima vi se nego petica). Me -du zadanim brojevima imamo tri
koji zavr savaju s5 (5, 15 i 25 njihov je umno zak djeljiv s 5
cetiri puta), te tri koja zavr savajus nulom (10, 20 i 30 umno zak
je djeljiv s 5 tri puta). Stoga cijeli umno zakzavr sava sa sedam
ni stica.Zadatak 19. Koja je posljednja znamenka umno ska prvih
stotinu prostih brojeva?Rje senje. Broj 2 jedini je paran prost
broj. Svi su ostali prosti brojevi, a me -du njima je ibroj 5,
neparni. Zbog toga umno zak zavr sava nulom.Zadatak 20. Prepi si,
pa umjesto kvadrati ca upi si broj tako da dobije s to cne
jednakosti:1) 11 + = 24 ; 2) (45) = 13 ;3) 23 + = 1 ; 4) + (17) =
34 ;5) 33 (44) = ; 6) 75 28 = ;7) 61 + = 77 ; 8) (111) = 205 .Rje
senje. 1) = 24 + 11 = 13 ; 2) = 13 45 = 32 ;3) = 1 23 = 24 ; 4) =
34 + 17 = 17 ;5) = 33 + 44 = 77 ; 6) = 75 28 = 103 ;7) = 77 + 61 =
138 ; 8) = 205 111 = 316 .Zadatak 21. Izra cunaj:1) 5 (2 11) 4 (3
12) ; 2) 2 (3) 4 (5) + (6) (7) ;3) (12) (11) (10) (15) ; 4) 12 (3)
5 14 11 .Rje senje. 1) 5 (2 11) 4 (3 12) = 5 (9) 4 (9) = 45 + 36 =
81 ;2) 2 (3) 4 (5) + (6) (7) = 6 + 20 + 42 = 56 ;3)(12) (11) (10)
(15) = 132 150 = 18 ;4) 12 (3) 5 14 11 = 36 70 11 = 45 .Zadatak 22.
Ra cunamo: 1 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + . . . Ako imamo kona can
brojpribrojnika, recimo n , koliki je rezultat ovog zbrajanja?Rje
senje. Ako je n paran broj onda imamo (12)+(34)+(56)+. . .+[(n1)n]
=n2 (1) = n2 ;51 BROJEVIAko je n neparan broj onda imamo(0 + 1) +
(2 + 3) + (4 + 5) + . . . +[(n 1) + n] = n2 1 = n2 .Zadatak 23.
Najvi sa ikad izmjerena temperatura zraka na Zemlji zabilje zena je
u Libiji13.9.1922. Iznosila je 57.8 C ili 136 F. Najni za je
izmjerena na Antark-tici (Vostok Station) 12.1.1983., kada je
termometar pokazivao 89.2 C ili128.6 F.Kolika je razlika izme -du
najni ze i najvi se temperature ikad izmjerene na Zem-lji?U
Hrvatskoj je do sada najvi sa izmjerena temperatura iznosila 42.8C
ili109 F, a izmjerena je 5.8.1998. u Plo cama. Najni za temperatura
izmjerena jeu Cakovcu 3.2.1929., a bilo je 35.5 C ili 31.5 F.Kolika
je razlika izme -du najvi se i najni ze izmjerene temperature u
Hrvatskoj?Rje senje. Na Zemlji:57.8 C (89.2 C)= 147 C ili 136 F
(128.6 F)=264.6 F;U Hrvatskoj: 42.8 C (35.5 C) = 78.3 C ili 109 F
(31.5 F) =140.5 F.Zadatak 24. Arhimed je zivio od 287. g. pr. Kr.
do 212. g. pr. Kr. To bismo jednostavnijemogli zapisati: Arhimed je
zivio od 287. do 212. g.Koliko je godinapo zivio Arhimemed?
Odgovori na isto pitanje za sljede ce matemati care:Tales je zivio
od 620. do 540. godine.Vitruvije je zivio od 75. do 15.
godine.Heron je zivio od 10. do 70. godine.Rje senje. Arhimed je
zivio212 (287) = 75 godina. Tales je zivio540 (620) = 80 godina.
Vitruvije je zivio 15 (75) = 90 godina. Heron je zivio 70 10 = 60
godina.1.2. Racionalni brojeviZadatak 1. Razlomke 52 , 54 , 38 ,
1516 prika zi u obliku decimalnog broja.Rje senje.52= 2.5 , 54=
1.25 , 38= 0.375 , 1516= 0.9375 .Zadatak 2. Brojeve 0.5 , 0.25 ,
0.125 , 0.75 , 0.625 prika zi u obliku razlomka.Rje senje. 0.5 = 12
, 0.25 = 14 , 0.125 = 18 , 0.75 = 34 , 0.625 = 58 .Zadatak 3.
Poredaj po veli cini brojeve: 23 , 66 %, 0.666 , 0.6.Rje senje.
Prika zimo razlomak i postotak u obliku decimalnog broja:23= 0.6
i66 %= 0.66 .Brojevi poredani po redu od najmanjeg prema najve cem
su:0.66 , 0.666 , 23= 0.66RACIONALNI BROJEVI1.2Zadatak 4. Ako je
13= 0.3, koliko je130?Ako je 27= 0.285714, koliko je 2 67?Rje
senje.130= 13 110= 0.3 : 10 = 0.03 .267= 14 + 67= 207= 27 10 =
0.285714 10 = 2.857142.Zadatak 5. Odredi period u decimalnom zapisu
racionalnog broja:1) 56 ; 2)311 ; 3)513 ; 4) 67 .Rje senje. 1) 56=
0.83; 2)311= 0.27 ; 3)513= 0.384615; 4) 67= 0.857142.Zadatak 6.
Koja se znamenka nalazi na 101. mjestu iza decimalne to cke u
decimalnomzapisu svakog od cetiriju brojeva iz prethodnog
zadatka?Rje senje. 1) 56= 0.83; Na svim decimalnim mjestima je
znamenka 3 pa je i na 101.mjestu.2)311= 0.27 ; Uzastopno se
ponavlja skupina od dvije znamenke (27). Podi-jelimo li 101 s 2
dobit cemo 50 i 1 ostatka. To zna ci da ce na 101. mjestu bitiprva
znamenka iz skupine, a to je 2.3) 513= 0.384615; Uzastopno se
ponavlja skupina od sest znamenki (384615).Podijelimo li 101 s 6
dobit cemo 16 i 5 ostatka. To zna ci da ce na 101. mjestubiti peta
znamenka iz skupine, a to je 1.4) 67= 0.857142; Uzastopno se
ponavlja skupina od sest znamenki (857142).Podijelimo li 101 s 6
dobit cemo 16 i 5 ostatka. To zna ci da ce na 101. mjestubiti peta
znamenka iz skupine, a to je 4.Zadatak 7. Odredi 303. znamenku u
decimalnom zapisu broja 1537 .Rje senje.1537= 0.405405 . . . =
0.405.U decimalnom zapisu broja 1537 uzastopno se ponavlja skupina
od tri znamen-ke (405). Podijelimo li 303 s 3 dobit cemo 101. To
zna ci da na 303. mjestuzavr sava navedena skupina, te je tra zena
znamenka 5.Zadatak 8. Odredi 777. znamenku u decimalnom zapisu
broja 11111 .Rje senje. 11111= 10.090909 . . . = 0.09 .U decimalnom
zapisu broja 1537 uzastopno se ponavlja period od dvije zna-menke
(09). Podijelimo li 777 s 2 dobit cemo 388 i ostatak 1. To zna ci
da cena 777. mjestu biti prva znamenka iz skupine, a to je 0.71
BROJEVIZadatak 9. Odredi 1500. znamenku u decimalnom zapisu
broja313 .Rje senje.313= 0.230769230769 . . . = 0.230769.U
decimalnomzapisu broja 1537 uzastopno se ponavlja period od sest
znamenki(230769). Podijelimo li 1500 s 6 dobit cemo 250. To zna ci
da na 1500. mjestuzavr sava navedena skupina, te je tra zena
znamenka 9.Zadatak 10. Za koje su cijele brojeve a brojevi 1a ,a +
2a(a 3) ,a2a 10 , a + 2a24 racional-ni?Rje senje. Broj 1a je
racionalni broj za sve cijele brojeve a , a = 0 . Broja + 2a(a 3)
jeracionalan za sve a , a = 0 i a = 3 . Broja2a 10 je racionalan za
sve a ,a = 5 . Broj a + 2a24 je racionalan za sve a , a = 2 i a = 2
.Zadatak 11. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak6n + 1
cijeli broj.Rje senje. Razlomak6n + 1 je cijeli broj za n = 7 , 4 ,
3 , 2 , 0, 1, 2 i 5.Zadatak 12. Za koje je cijele brojeve n
razlomak6n 1 cijeli broj?Rje senje. n {5, 2, 1, 0, 2, 3, 4, 7}
.Zadatak 13. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak n + 2n
2 cijeli broj.Rje senje. Zapi simo n + 2n 2= n 2 + 4n 2= 1 +4n 2 te
je n {2, 0, 1, 3, 4, 6} .Zadatak 14. Odredi prirodni broj x tako da
vrijede jednakosti:1)x12= 23 ; 2)4x= 25 ; 3)37= x21 .Rje senje. U
rje savanju primjenjujemo definiciju jednakosti racionalnih
brojeva.1) 3x = 24 , slijedi x = 8 ; 2) 2x = 20 , slijedi x = 10
;3) 7x = 63 , slijedi x = 9 .Zadatak 15. Za koji cijeli broj x
vrijedi:1)15= x20 ; 2)x6= 13 ; 3) x24= 56 ?Rje senje. 1) Iz 5x = 20
slijedi x = 4 ; 2) Iz 3x = 6 slijedi x = 2 ;3) Iz 6x = 120 slijedi
x = 20 .8RACIONALNI BROJEVI1.2Zadatak 16. Za koji je broj x
ispunjena jednakost9+x15+x=23 ?Rje senje.9 + x15 + x= 23,3(9 + x) =
2(15 + x),27 + 3x = 30 + 2x,x = 30 27 = 3.Zadatak 17. Za koji je
broj x ispunjena jednakost 123x101+x=59 ?Rje senje.9(123 x) = 5(101
+ x),1107 9x = 505 + 5x,14x = 602,x = 43.Zadatak 18. Ako od
brojnika i nazivnika razlomka 1532 oduzmemo isti broj x , dobit
cemorazlomak421 . Koliki je x ?Rje senje.15 x32 x= 421,21(15 x) =
4(32 x),315 21x = 128 4x,21x + 4x = 128 315,17x = 187,x =
11.Zadatak 19. Ako brojniku razlomka 113212 dodamo neki broj, a
isti taj broj oduzmemo odnazivnika, dobit cemo razlomak 23 . O
kojem se broju radi?Rje senje.113 + x212 x= 23,3(113 + x) = 2(212
x),339 + 3x = 424 2x,5x = 85,x = 17.91 BROJEVIZadatak 20. Skrati
razlomke:1)105168 ; 2)11555775 ; 3)6 93012 870 ; 4)3 333 3335 555
555 ; 5)135 135234 234 .Rje senje. 1) 105 = 3 5 7, 168 = 8 3
7,105168 = 3 5 78 3 7= 58 ;2) 5775 = 5 1155,11555775 =11555 1155 =
15 ;3) 6930 = 10 9 7 11, 12870 = 10 9 11 13,6 93012 870 = 713 ;4) 3
333 333 = 3 1 111 111, 5 555 555 = 5 1 111 111,3 333 3335 555 555 =
35 ;5) 135 135 = 135 1001 = 9 15 1001, 234 234 = 234 1001= 9 26
1001,135 135234 234 = 1526 .Zadatak 21. Poredaj po veli cini
brojeve:1)34 , 1112 , 1924 , 1718 , 6772 ; 2)34 , 0.7, 1316 , 0.7 ,
2932 ;3) 34 , 1112 , 1924 , 1718 , 6772 .Rje senje. 1) 34 , 1924 ,
1112 , 6772 , 1718 ; 2) 0.7 , 34 , 0.7, 1316 , 2932 ;3) 6772 , 1112
, 34 , 1718 , 1924 .Zadatak 22. Ako je a = 0.3, b = 0.25 , koliko
je 1a , a2, a + b , a b , ab ?Rje senje. a = 13=1a= 3 , a2 = 19 , b
= 25100= 14= a + b = 13 + 14= 712 ,a b = 13 14= 112 , ab=1314= 43
.Zadatak 23. Ako je 1a + 1b= 1 , 1b + 1c= 2 , 1c + 1a= 5 , koliko
je a + b + c ?Rje senje. a = 12 , b = 1 , c = 13 , a + b + c = 16
.Zadatak 24. Primjenjuju ci jednakost 1n 1n + 1=1n (n + 1) izra
cunaj:11 2 +12 3 +13 4 + . . . +199 100.Rje senje.11 2+12 3+13 4+.
. .+199 100= 1212+1213+1314+. . .+ 199 1100= 1 1100= 99100
.10RACIONALNI BROJEVI1.2Zadatak 25. Izra cunaj:11 3 +13 5 +15 7 + .
. . +199 100.Rje senje. Imamo11 3 +13 5 +15 7 + . . . +199 100=
12__1 13_+_13 15_+. . . +_ 199 1101__= 12_1 1101_= 50101 .Zadatak
26. Izra cunaj:1) _1.6 35__214_0.2 :_45_;2) _45 1.8_:_145_+ 0.1
_59_;3) _32 23_1 + 23__:__0.75 23_: 1.25 1_;4) _35 1.2_1 +
112__:__2.5 25_: 78 3_.Rje senje.1) _1.6 35__214_ 0.2 :_45_=_1610
35__94_ 210 :_45_=_85 35__94_ 15 _54_= 1 _94_+ 14= 94 + 14= 84=
2;2) _45 1.8_:_145_+ 0.1 _59_=_45 1810_:_95_+ 110 _59_=_45 95__59_
118= 1 _59_ 118= 59 118= 10 118= 918= 12;3) _32 23_1 + 23__:__0.75
23_: 1.25 1_=_32 23 3 + 23_:__ 75100 23_:125100 1_=_32 23 53_:__34
23_: 54 1_=_32 109_:_9 812 45 1_= 27 2018:_ 112 45 1_= 718 :_ 115
1_= 718 : 1 1515= 718 _1514_= 512;111 BROJEVI4) _35 1.2_1 +
112__:__2.5 25_: 78 3_=_35 1210_1 + 32__:__2510 25_:78 3_=_35 65 2
+ 32_:__52 25_ 87 3_=_35 65 52_:_25 410 87 3_=_35 3_:_2110 87 3_= 3
155:_1253_= 125 : 12 155= 125_53_= 4.Zadatak 27. Izra cunaj:1)23 +
712 1434 1234 2532 45 72 ;2)23 41543 83283 122 15 + 320 ;3)_25 320
+ 110_: 12_ 320 + 110 18_ 5+_ 320 225_ 4 ;4)1 + 135 72_45 : 4 +
23_: 132: 27 +_2 37_: 1151 17 :_2 57_ ;5)52 _34 +__163+ 512_ 78_:
132 __ 512 + 34__32 1514_+_54 76_ 9 .Zadatak 28. Izra cunaj:1)3 425
+ 0.59_34 0.15_: 4 ; 2)724 : 0.125 + 3.523 0.25.Rje senje. 1)3 425
+ 0.59_34 0.15_: 4=7925 + 59100_34 15100_: 4=316 + 59100_75 15100_
14=37510060100 14=37510015100= 37515= 25 ;12RACIONALNI
BROJEVI1.22)724 : 0.125 + 3.523 0.25=724 : 1251000 + 351023
25100=724 : 18 + 7223 14=724 8 + 728 312=73 + 72512=14 +
216512=356512= 705= 14 .Zadatak 29. Izra cunaj:1) _1.5+25_
53__0.25+23_ 0.75 320 54_: 3 ;2)_2 + 32 0.8_ 53 _34 + 0.5 + 53_
0.62 + 0.875 32;3)0.9_340.7_ 16+0.4_2.15635_2__45+0.91.2 3467 :
1.2_: 97+35_2.Zadatak 30. Izra cunaj:1) _14 110_2:_73 56_2_ 710
35_2;2) _2+1432_2_3223_2_152 254 _2: 4 ;3) __32 14_2_12 14_2_:_1 +
12_2;4) __5354_2_2+25__56 710_2 154 _ 107 ;5) __1112 12_2 125_ 815
25_2 154 _: 75 .Zadatak 31. Izra cunaj:1)___0.75123 1.2 : 3 +
1121.4___12 1313 14; 2)___0.8753.2 113: 3 + 341.2___1 131 + 14.Rje
senje.1)___0.75123 1.2 : 3 + 1121.4___12 1313 14=___7510053 1210: 3
+ 321410___3 264 312=___3453 65: 6 + 3275___16112=___3425 1815:
9275___ 2 =___34715: 4514___ 2=_4528 1445_ 2 = 12 2 = 1;131
BROJEVI2)___0.8753.2 113: 3 + 341.2___1 131 + 14=___87510003210 43:
12 + 341210___3 134 + 14=___78165 43: 15465___2354=___7848 2015:
258___ 815=___782815 825___ 815= 1532 825 815= 225.Zadatak 32. Izra
cunaj x iz sljede cih jednakosti, primjenjuju ci svojstva osnovnih
ra cunskihoperacija s racionalnim brojevima:1) (5 0.2) : (3.3 x) =
12 ; 2) (184 + x):325= (2x 48) : 2.4 ;3) 1 :_345 0.8x_= 55 : (x +
4) ; 4) 1.2 (0.8 + x) = 3.6 ;5) 1.1 (5x + 5.5) = 11.1 ; 6) 12 (0.22
x) = 1.44 ;7) 1.2 (0.3 + x) = 3.6 ; 8)10[(8x + 24) : 5] : 4 + 6= 1
;9) 208:_112 (100 3x)423_=2 ; 10)(x 11.875) : 580.625 825 215= 1
;11) _(145 24x) : 529+ 24_: 5 = 5 ;12)3 415(5.5 + x) : 2137138=
5.625 .Rje senje. 1) 2) (5 0.2) : (3.3 x) = 124.8 : (3.3 x) = 124.8
= 12(3.3 x)4.8 = 39.6 12x12x = 39.6 4.812x = 34.8x = 34.8 : 12x =
2.9;(184 + x) : 325= (2x 48) : 2.4(184 + x) 532= 2(x 24) : 2410(184
+ x) 532= (x 24) 2 512(184 + x) 116= (x 24) 133 (184 + x) = (x 24)
16552 + 3x = 16x 3843x 16x = 384 55213x = 936x = 72;14RACIONALNI
BROJEVI1.23)1 :_345 0.8x_= 55 : (x + 4)x + 4 = 55 _345 0.8x_x + 4 =
55 15 + 4555 0.8xx + 4 = 209 44xx + 44x = 209 445x = 205x = 419 ;4)
5) 1.2 (0.8 + x) = 3.61.2 0.8 x = 3.60.4 x = 3.6x = 3.6 0.4x =
4;1.1 (5x + 5.5) = 11.11.1 5x 5.5 = 11.14.4 5x = 11.15x = 11.1 +
4.45x = 15.5x = 3.1;6) 7) 12 (0.22 x) = 1.4412 0.22 12x = 1.442.64
12x = 1.4412x = 1.44 2.6412x = 4.08x = 0.34;1.2 (0.3 + x) = 3.61.2
0.3 1.2x = 3.60.36 1.2x = 3.61.2x = 3.6 + 0.361.2x = 3.24x = 2.7;8)
9)10[(8x + 24) : 5] : 4 + 6= 1[(8x + 24) : 5] : 4 + 6 = 10[(8x +
24) : 5] : 4 = 4(8x + 24) : 5 = 168x + 24 = 808x = 80 248x = 56x =
7;208 :_112 (100 3x) 423_= 2104 :_112 400 12x23_= 1112 400 12x23=
104400 12x23= 104 112400 12x = 8 (23)12x = 184 400x = 216 : (12)x =
18;151 BROJEVI10) 11)(x 11.875) : 580.625 825 215= 1_x 118751000_:
58= 6251000 825 115_x 958_ 85= 58 825 11585x 19 = 15 11585x = 2 +
19x = 17 58x = 858x = 1058;_(145 24x) : 529+ 24_: 5 = 5(145 24x) :
5 + 24 2929= 2529 245 x + 696 = 725725 245 x = 725245 x = 0x =
0;12)3 415(5.5 + x) : 2137138= 5.6254915(5.5 + x) : 1507= 56251000
+ 1184915_5510 + x_7150= 458+ 118491555107150 +7150x = 568491577300
+7150x= 74915= 539300 + 49150x49 20 = 539 + 49 2x98x = 980 + 53998x
= 441x = 92.16RACIONALNI BROJEVI1.2Zadatak 33. Ako je a : b : c = 1
: 2 : 4 , koliko je a + 2b 3c3a 2b + c ?Rje senje. Iz a : b : c = 1
: 2 : 4 = a = k , b = 2k , c = 4k .a + 2b 3c3a 2b + c= k + 2 2k 3
4k3k 2 2k + 4k= k + 4k 12k3k 4k + 4k= 7k3k= 73 .Zadatak 34. Broj
135 podijeli na dva dijela koji su u omjeru 7 : 8 .Rje senje. Iz x
+ y = 135 i x : y = 7 : 8 imamo x = 7k i y = 8k . 7k + 8k = 135 =k
= 9 . Odavde slijedi da je x = 7 9 = 63 i y = 8 9 = 72 . 135 = 63
+72 .Zadatak 35. Ako je 3x : 5y = 7 : 11 , koliko je x : y ?Rje
senje.3x5y= 711= xy= 711 53= xy= 3533 . Slijedi x : y = 35 : 33
.Zadatak 36. Ako su veli cine kutova u trokutu u omjeru 1 : 3 : 4 ,
koliki je najve ci kuttrokuta?Rje senje. = k , = 3k i = 4k . Iz ++=
180 slijedi k+3k+4k = 180=8k = 180= k = 22.5. Najve ci kut u
trokutu je = 4k = 422.5 = 90.Zadatak 37. Mjere unutarnjih kutova
cetverokuta u omjeru su 1 : 2 : 3 : 4 . Kolika je mjeranajmanjeg
kuta ovog cetverokuta?Rje senje. Zbroj svih kutova cetverokuta
iznosi180 pa iz zadanog omjera imamok + 2k + 3k + 4k = 360 ,10k =
360. Najmanji kut ovog cetverokutaima mjeru 36.Zadatak 38. Ako su a
, b i c duljine stranica trokuta i ako je a : b = 5 : 4 , a : c = 3
: 5 , aopseg trokuta iznosi 156 cm, kolika je duljina najkra ce
stranice ovog trokuta?Rje senje. Iz a : b = 5 : 4 = b = 45a , a iz
a : c = 3 : 5 = c = 53a . Odavdeslijedia + 45a + 53a = 156 cm,15 +
12 + 2515a = 156 cm,5215a = 156 cm,a = 45 cm, b = 36 cm, c = 75
cm.Duljina najkra ce stranice je b = 36 cm.Zadatak 39. Broj 2 400
podijeli na tri dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8 .Rje senje. x + y
+ z = 2400 i x : y : z = 3 : 5 : 8 . Slijedi x = 3k , y = 5k , z =
8k .Uvrstimo li to u prvu jednad zbu dobit cemo 3k +5k +8k = 2400 =
16k =2400 = k = 150 . Odavde slijedi x = 3 150 = 450 , y = 5 150 =
750 iz = 8 150 = 1200 .Zadatak 40. Broj 697 podijeli na tri dijela,
a, b i c tako da je a : b = 3 : 4 i b : c = 3 : 5 .Rje senje. a : b
: c= 9 : 12 : 20 , dijelovi su redom 9k , 12k i 20k te iz 41k=
697dobijemo k = 17 i a = 153 , b = 204 , c = 340 .Zadatak 41. Opseg
oranice iznosi 2 800 metara. Kolike su duljina i sirina oranice ako
su uomjeru 5 : 9 ?171 BROJEVIRje senje. d : s= 5 : 9 =d= 5k , s= 9k
.O = 2d + 2 s= 10k + 18k = 28k .2800 = 28k = k = 100 . Slijedi da
je duljina oranice d = 5 100 = 500 mi s = 9 100 = 900 m.Zadatak 42.
Za 1.5 sat napuni se 0.3 obujma bazena. Koliko treba vremena da bi
se napunilo0.9 obujma bazena?Rje senje. 0.3 : 0.9 = 1.5 : x = 1 : 3
= 1.5 : x = x = 4.5 .Zadatak 43. Nakon 12 minuta gorenja duljina
svije ce smanji se s 30 cm na 25 cm. Nakonkoliko ce vremena svije
ca dogorjeti?Rje senje. 5 : 25 = 12 : x = 5x = 25 12 = x = 25 125=
60 minuta.Zadatak 44. Ako su od 70 proizvoda 3 s gre skom, koliko
se proizvoda s gre skom mo zeo cekivati u 840?Rje senje. 70 : 840 =
3 : x = 70x = 840 3 = x = 840 370= 36 proizvoda.Zadatak 45. U
jednom razredu na pismenom ispitu iz matematike 1/ 3 u cenika nije
rije silajedan zadatak, 1/ 4 nije rije sila po dva zadatka, 1/ 6 po
po tri zadatka, a 1/ 8sva cetiri zadatka. Koliko je u cenika to cno
rije silo sve zadatke ako je u razredumanje od 30 u cenika?Rje
senje. Najmanji prirodni broj djeljiv sa 3, 4, 6 i 8 je broj 24
(sljede ci je 48). Dakle,barem jedan zadatak neto cno je rije sio
ukupno 21 u cenik pa je sve zadatkerije silo samo troje.1.3. Realni
brojeviZadatak 1. Koji su od sljede cih brojeva racionalni:1115 ,
17 , 2 , 22 , 5 ,55 , 444 ?Rje senje. Racionalni su brojevi: 1115 ,
5 , 444 .Zadatak 2. Izme -du kojih se dvaju uzastopnih cijelih
brojeva nalaze sljede ci brojevi:117, 515, 53 , 77 , 777, 15 ?Rje
senje. 10
