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nadiascarvalho
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8/19/2019 Determ Acet 1
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DETERMINANTES
Introdução
• A qualquer matriz quadrada é possível associar um escalar, que édesignado por determinante da matriz.
• A noção de determinante pode ser utilizada na obtenção da matrizinversa de uma matriz quadrada não singular.
• A noção de determinante pode ainda ser aplicada na resolução desistemas de equações lineares .
• Também pode ser usada na análise e determinação da característica de uma matriz genérica do tipo m ×n .
• Comecemos por apresentar a sua definição e um conjunto depropriedades que serão fundamentais para justificar as técnicasutilizadas no seu cálculo.
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Definição
Seja a matriz quadrada A do tipo n ×n .
Definição: Determinante da matriz A
Designa-se por determinante da matriz A, representando-se por A oudet A , o escalar cujo valor é dado pela soma dos termos distintosexistentes na matriz, afectados dos respectivos sinais.
• Vejamos agora o que se entende por termo da matriz e por sinal deum termo .
• Para melhor compreendermos estes conceitos vamos particularizá-lospara os casos de 2n = e 3n = (determinantes de 2ª e 3ª ordens).
Definição: Termo da matriz A Designa-se por termo da matriz A qualquer produto de n elementos damatriz, com um e um só elemento em cada linha e, da mesma forma, comum e um só elemento em cada coluna.
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• Relativamente à matriz A do tipo n ×n tem-se:
i) O número total de termos distintos é igual a !n ;
ii) Termo principal : 11 22 nn a a a … (produto dos elementos principais);
iii) Termo secundário : 1 2 1 3 2 1n ,n ,n n a a a a − − … (produto dos elementos da
diagonal secundária);
iv) É irrelevante a ordem pela qual os elementos se dispõem no termo;
v) Dois termos só serão considerados distintos se não possuirem, na
sua totalidade, elementos da matriz coincidentes.
Definição: Sinal de um termo da matriz A
Designa-se por sinal de um termo da matriz A, o sinal de ( 1)α − , onde
l c α α α = + e em que:
i) l α é número de inversões dos índices das linhas no termo;
ii) c α é número de inversões dos índices das colunas no termo.
• O sinal de um termo depende da forma como estão ordenados osíndices das linhas e das colunas nesse termo; o termo é positivo sesinal é positivo, sendo um termo negativo se o sinal é negativo.
• O número de inversões dos índices das linhas (colunas) no termo éobtido comparando a ordenação dos índices das linhas (colunas) coma chamada permutação principal
(1,2,3, , )n …
onde a ordenação dos índices é feita pela ordem crescente;
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• Quando se compara um índice de linha (coluna) de um dado elementode um termo com um outro índice de linha (coluna) de um elementosubsequente, pode concluir-se:
i) Se os dois índices se dispõem pela mesma ordem com que surgemna permutação principal , constituem uma permanência ;
ii) Se os dois índices se dispõem por ordem inversa com que surgemna permutação principal , constituem uma inversão .
• O sinal de um termo é invariante relativamente à ordem pela qual osseus elementos aparecem no termo.
• Em particular tem-se a a = , já que o escalar ‘a ’ pode ser considerado
como o único elemento de uma matriz quadrada de ordem 1.
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Exemplo 1: A matriz de ordem 2
11 12
21 22
a a
a a
=
A
tem 2! 2= termos distintos:
11 22a a ou 22 11a a (termo principal)
12 21a a ou 21 12a a (termo secundário)
11 22
12 21
Termo Sinal
0 0 0 1
0 1 1 1
a a
a a
+
−
l cα α α
Em alternativa, pode obter-se
22 11
21 12
Termo Sinal
1 1 2 1
1 0 1 1
a a
a a
+
−
l cα α α
Então
11 1211 22 12 21
21 22 a a
a a a a a a
= = −A
Regra dos produtos cruzados:
11 12
21 22 a a
a a = =A 11
22
Termo ( )
a
a
+
− 12 11 22 12 2121
Termo ( )
a
a a a a a
−
= −
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Exemplo 2: A matriz de ordem 3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
=
A
possui 3! 6= termos distintos:
11 22 33a a a (termo principal) ; 21 33 12a a a ; 31 12 23a a a
11 23 32a a a ; 21 13 32a a a ; 31 13 22a a a (termo secundário)
O termo 21 33 12a a a é equivalente a qualquer uma das formas seguintes:
21 12 33a a a , 12 21 33a a a , 12 33 21a a a , 33 12 21a a a , 33 21 12a a a
11 22 33
21 33 12
31 12 23
11 23 32
21 13 32
31 13 22
Termo Sinal
0 0 0 1
2 1 3 1 2 0 2 1
0 1 1 1
1 1 2 1
2 1 3 1
a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a
+
−
+
−
+
−
l cα α α
Em relação ao termo 21 33 12a a a , cujo sinal é3( 1) 1− = − , verifica-se
21 12 33
12 21 33
12 33 21
33 12 21
33 21 12
Termos Equivalentes Sinal
1 0 1 1
0 1 1 1
1 2 3 1
2 3 5 1
3 2 5 1
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
−
−
−
−
−
l cα α α
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Então
11 12 13
21 22 23 11 22 33 21 13 32 31 12 23
31 32 33
( )
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
= = + + −A
31 13 22 11 23 32 21 33 12( )a a a a a a a a a − + +
Regra de Sarrus:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22 23
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
11
21 22 11 22 33 21 13 32 31 12 23
31 32 33
12 13
23
Termos ( )
a
a a a a a a a a a a a
a a a
a a
a
+
= + +
13
22 23 31 13 22 11 23 32 21 33 12
31 32 33
11 12
21
Termos ( )
( )
a
a a a a a a a a a a a
a a a
a a
a
−
= − + +
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Exemplo 3: Recorrendo à regra dos produtos cruzados, o determinanteda matriz quadrada de ordem 2
3 4
2 5
=
A
é
3 4 3 5 2 4 15 8 72 5
= = × − × = − =A
Exemplo 4: Considerando a regra de Sarrus, o determinante da matriz
quadrada de ordem 31 1 2
2 3 1
4 1 2
=
A
é
1 1 2
2 3 14 1 2
= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −
1 1 2
2 3 1
(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −
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• O recurso à definição não é viável para calcular um determinante deordem elevada; se 4n = o número de termos a considerar é 4! 24= epara 5n = esse número eleva-se a 5! 120= .
• Não são conhecidas quaisquer regras práticas para determinar, de um
modo simples e eficaz, o valor de um determinante de ordem 3n > .
• São analisados três processos de cálculo para obter o determinantede uma matriz quadrada:
1. Método da condensação da matriz – é um método semelhante aoque é utilizado na determinação da característica de uma matriz.
2. Desenvolvimentos Laplaceanos
i) Formulação geral : transforma um determinante de ordem n numasoma de determinantes de ordem p n < ;
ii) Formulação particular : transforma um determinante de ordem n numa soma de n determinantes de ordem 1n − .
3. Método misto – trata-se da aplicação combinada dos dois métodosanteriores, o que permite transformar, em cada fase do processo decálculo, um determinante de uma dada ordem p num únicodeterminante de ordem 1p − .
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Propriedades
Seja A uma matriz quadrada de ordem n , num corpo Ω.
Propriedade 1: Se a matriz A possuir uma fila (linha/coluna) nula, então
0=A
Exemplo 5: Relativamente à matriz quadrada de ordem 3
1 2 0
7 3 0
9 4 0
=
A
1 2 0
7 3 0 1 3 0 7 4 0 9 2 0
9 4 0
= = × × + × × + × × −A
(0 3 9 0 4 1 0 2 7) 0− × × + × × + × × =
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Propriedade 2: Multiplicando os elementos de uma fila da matriz A por umescalar λ ∈ Ω , obtém-se uma nova matriz B , tal que
λ =B A
Exemplo 6: Seja
1 1 2
2 3 1
4 1 2
= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −
(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −
Multiplicando a linha 1 da matriz A pelo escalar 3λ = , obtém-se
3 3 6
2 3 1
4 1 2
= =B 3 3 2 2 1 6 4 3 1 (6 3 4 1 1 3 2 3 2)× × + × × + × × − × × + × × + × ×
[ ]3 1 3 2 2 1 2 4 1 1 (2 3 4 1 1 1 2 1 2)= × × + × × + × × − × × + × × + × ×B
3 45= = −B A
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Propriedade 3 −−−− Multiplicando os elementos de m filas paralelas de A,respectivamente, pelos escalares 1 2, , , m λ λ λ ∈ Ω… , obtém-se uma nova
matriz B , tal que
1 2 m λ λ λ = …B A
Exemplo 7:
1 1 2
2 3 1
4 1 2
= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −
(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −
Multiplicando as colunas 1, 2 e 3 da matriz A, respectivamente, pelosescalares 1 3λ = , 2 1λ = − e 3 2λ = , obtém-se
3 1 4
6 3 2
12 1 4
−
= − =
−
B 3 3 4 6 1 4 12 1 2− × × − × × − × × −
( 4 3 12 2 1 3 4 1 6)− − × × − × × − × ×
[ ]3 ( 1) 2 1 3 2 2 1 2 4 1 1 (2 3 4 1 1 1 2 1 2)= × − × × × + × × + × × − × × + × × + × ×B
6 90= − =B A
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Propriedade 4: O determinante da matriz A é igual ao determinante dasua matriz transposta, isto é,
T=A A
Exemplo 8:
1 1 2
2 3 1
4 1 2
= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −
(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −
T 1 2 41 3 1
2 1 2
=
A
T1 2 4
1 3 1 1 3 2 1 1 4 2 2 1
2 1 2
= = × × + × × + × × −A
(4 3 2 1 1 1 2 2 1)− × × + × × + × ×
T 1 3 2 2 1 2 4 1 1 (2 3 4 1 1 1 2 1 2)= × × + × × + × × − × × + × × + × ×A
T 15= = −A A
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Propriedade 5: Trocando, na matriz A, duas filas paralelas, obtém-se uma
nova matriz B , tal que
= −B A
Exemplo 9:
1 1 2 2 3 1
4 1 2
= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −
(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −
Troquemos, na matriz A, a 1ª coluna com a 3ª coluna. Obtém-se
2 1 1
1 3 2
2 1 4
=
B
2 1 1
1 3 2 2 3 4 1 1 1 2 1 2
2 1 4
= = × × + × × + × × −B
(1 3 2 2 1 2 4 1 1)− × × + × × + × ×
[ ]1 3 2 2 1 2 4 1 1 (2 3 4 1 1 1 2 1 2)= − × × + × × + × × − × × + × × + × ×B
15= − =B A
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Propriedade 6: Se a matriz A tem filas paralelas iguais, então
0=A
Exemplo 10: Seja a matriz quadrada de ordem 3
2 1 3
4 3 5
2 1 3
=
C
que possui 2 linhas iguais (1ª e 3ª linhas). Então
2 1 3
4 3 5
2 1 3
= =C 2 3 3 4 1 3 2 1 5× × + × × + × × −
(3 3 2 5 1 2 3 1 4) 40 40 0− × × + × × + × × = − =
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Propriedade 7: Se a matriz A tem duas filas paralelas proporcionais, então
0=A
Exemplo 11: Seja a matriz quadrada de ordem 3
2 1 3
5 2 3
4 2 6
=
D
em que as 1ª e 3ª linhas são proporcionais (a 3ª linha é o produto da 1ª por
2). Então
2 1 3
5 2 3 2 2 6 5 2 3 4 1 3
4 2 6
= = × × + × × + × × −D
(3 2 4 3 2 2 6 1 5) 66 66 0− × × + × × + × × = − =
As Propriedades 2 e 6 permitem ainda escrever
2 1 3
2 5 2 3 2 0 0
2 1 3
= = × =D
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Propriedade 8: Se A é uma matriz triangular (superior ou inferior), então o
seu determinante é igual ao produto dos elementos principais da matriz(termo principal), isto é,
1
n
ii i
a =
= ΠA
Exemplo 12:
2 1 3
0 3 4 2 3 6 0 0 3 0 1 4
0 0 6
= = × × + × × + × × −T
(3 3 0 4 0 2 6 1 0)− × × + × × + × ×
2 3 6 36= × × =T
1 0 0
5 4 0 1 4 6 5 3 0 2 0 0
2 3 6
= = × × + × × + × × −R
(0 4 2 0 3 1 6 0 5)− × × + × × + × ×
1 4 6 24= × × =R
• Uma matriz triangular (superior ou inferior) em que, pelo menos, umdos seus elementos principais é nulo, tem determinante nulo.
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Propriedade 9: Substituindo, na matriz A, os elementos da coluna deíndice g n ≤ por somas de m parcelas, ou seja, considerando na matriz
11 1 1
21 2 2
1
g n
g n
n ng nn
a a a
a a a
a a a
=
A
a coluna de índice g como o resultado da soma das m parcelas
(1) (2) ( )1 1 11(1) (2) ( )
2 2 2 2
(1) (2) ( )
m g g g g
m g g g g
m ng ng ng ng
a a a a
a a a a
a a a a
= + + +
é possível reescrever a matriz A sob a forma
(1) (2) ( )11 11 1 1
(1) (2) ( )21 22 2 2
(1) (2) ( )1
m n g g g m
n g g g
m n ng ng ng nn
a a a a a
a a a a a
a a a a a
+ + +
+ + + =
+ + +
A
Então o determinante da matriz A pode ser apresentado como a soma dosm determinantes seguintes:
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(1)11 11
(1)21 22
(1)1
n g
n g
n ng nn
a a a
a a a
a a a
= +
A
(2)11 11
(2)21 22
(2)1
n g
n g
n ng nn
a a a
a a a
a a a
+ +
( )11 11
( )21 22
( )1
m n g
m n g
m n ng nn
a a a
a a a
a a a
+
• A Propriedade 4 dos determinantes permite aplicar a formulação dapropriedade anterior a uma linha de índice h n ≤ da matriz A.
• Se A e B são matrizes quadradas de ordem n , podemos aindaconcluir que, em geral, se verifica
+ ≠ +A B A B
ou seja, o determinante da matriz soma de duas matrizes não énecessariamente igual à soma dos determinantes de cada uma delas.
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Exemplo 13:
1 1 2 2 3 1
4 1 2
= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −
(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −
Desdobremos a 2ª coluna da matriz na soma de 3 parcelas, ou seja,
1 3 2 4
3 1 1 1
1 0 1 2
−
= + + −
Então
1 1 2 1 3 2 1 2 2 1 4 2
2 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 14 1 2 4 0 2 4 1 2 4 2 2
−
= = + +
−A
1 1 2 2 0 2 4 3 1 (2 1 4 1 0 1 2 3 2)= × × + × × + × × − × × + × × + × × +A
[ ]1 1 2 2 ( 1) 2 4 2 1 2 1 4 1 ( 1) 1 2 2 2+ × × + × − × + × × − × × + × − × + × × +
[ ]1 1 2 2 2 2 4 ( 4) 1 2 1 4 1 2 1 2 ( 4) 2+ × × + × × + × − × − × × + × × + × − ×
(14 20) (6 15) ( 6 6) 6 9 0 15= − + − + − + = − − + = −A
• Cada termo de A é desdobrado na soma de três parcelas,
representando, cada uma delas, um termo de um dos três
determinantes considerados na soma.
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Propriedade 10: Adicionando a uma dada fila da matriz A, umacombinação linear de filas paralelas, obtém-se uma nova matriz B , tal que
=B A
Exemplo 14:
1 1 2
2 3 14 1 2
= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −
(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −
Adicionemos à 1ª coluna da matriz, a 2ª coluna multiplicada por 2 e a 3ªcoluna multiplicada por ( 4)− . Obtém-se a matriz
5 1 2
4 3 1
2 1 2
−
= −
B
5 1 2
4 3 1
2 1 2
−
= =
−
B ( 5) 3 2 4 1 2 ( 2) 1 1− × × + × × + − × × −
[ ]2 3 ( 2) 1 1 ( 5) 2 1 4 24 9 15− × × − + × × − + × × = − + = −
• A justificação para o resultado obtido é-nos dada pela Propriedade 9dos determinantes.
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A 1ª coluna da matriz B pode ser desdobrada na soma de 3 parcelas
5 1 1 2
4 2 2 3 ( 4) 1
2 4 1 2
−
= + + − −
resultando, após a aplicação da Propriedade 9 dos determinantes,
5 1 2 1 1 2 2 1 2 8 1 2
4 3 1 2 3 1 6 3 1 4 3 1
2 1 2 4 1 2 2 1 2 8 1 2
− −
= = + + − =
− −
B A
em que
1 1 2 2 3 1
4 1 2
= A
2 1 2
6 3 1 0
2 1 2
= ⇐ a 1ª e 2ª colunas são proporcionais (Prop. 7)
8 1 2
4 3 1 0
8 1 2
−
− =
−
⇐ a 1ª e 3ª colunas são proporcionais (Prop. 7)
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Propriedade 11: As filas paralelas da matriz A são linearmente
dependentes, se e só se
0=A
Exemplo 15: Determine-se todos os valores de t ∈ , de modo que asmatrizes-linha
[ ]1 1t =A , [ ]1 0t =B e [ ]0 1 t =C
sejam linearmente independentes.
Solução:
Tendo em atenção a Propriedade 11 dos determinantes, o conjunto
{ }, ,=U A B C
será linearmente independente, se e só se
1 0
1 1 0
1 0
t
t
t
= ≠U
[ ]1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0t t t t t t = × × + × × + × × − × × + × × + × × ≠U
3 22 (2 ) ( 2 )( 2 ) 0t t t t t t t = − = − = − + ≠U
2t ≠ − ∧ 0t ≠ ∧ 2t ≠ ⇔ { \ 2,0, 2t ∈ −