Determ Acet 1

8/19/2019 Determ Acet 1

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DETERMINANTES

Introdução

• A qualquer matriz quadrada é possível associar um escalar, que édesignado por determinante da matriz.

• A noção de determinante pode ser utilizada na obtenção da matrizinversa de uma matriz quadrada não singular.

• A noção de determinante pode ainda ser aplicada na resolução desistemas de equações lineares .

• Também pode ser usada na análise e determinação da característica de uma matriz genérica do tipo m ×n .

• Comecemos por apresentar a sua definição e um conjunto depropriedades que serão fundamentais para justificar as técnicasutilizadas no seu cálculo.


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Definição

Seja a matriz quadrada A do tipo n ×n .

Definição: Determinante da matriz A

Designa-se por determinante da matriz A, representando-se por A oudet A , o escalar cujo valor é dado pela soma dos termos distintosexistentes na matriz, afectados dos respectivos sinais.

• Vejamos agora o que se entende por termo da matriz e por sinal deum termo .

• Para melhor compreendermos estes conceitos vamos particularizá-lospara os casos de 2n = e 3n = (determinantes de 2ª e 3ª ordens).

Definição: Termo da matriz A Designa-se por termo da matriz A qualquer produto de n elementos damatriz, com um e um só elemento em cada linha e, da mesma forma, comum e um só elemento em cada coluna.


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• Relativamente à matriz A do tipo n ×n tem-se:

i) O número total de termos distintos é igual a !n ;

ii) Termo principal : 11 22 nn a a a … (produto dos elementos principais);

iii) Termo secundário : 1 2 1 3 2 1n ,n ,n n a a a a − − … (produto dos elementos da

diagonal secundária);

iv) É irrelevante a ordem pela qual os elementos se dispõem no termo;

v) Dois termos só serão considerados distintos se não possuirem, na

sua totalidade, elementos da matriz coincidentes.

Definição: Sinal de um termo da matriz A

Designa-se por sinal de um termo da matriz A, o sinal de ( 1)α − , onde

l c α α α = + e em que:

i) l α é número de inversões dos índices das linhas no termo;

ii) c α é número de inversões dos índices das colunas no termo.

• O sinal de um termo depende da forma como estão ordenados osíndices das linhas e das colunas nesse termo; o termo é positivo sesinal é positivo, sendo um termo negativo se o sinal é negativo.

• O número de inversões dos índices das linhas (colunas) no termo éobtido comparando a ordenação dos índices das linhas (colunas) coma chamada permutação principal

(1,2,3, , )n …

onde a ordenação dos índices é feita pela ordem crescente;


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• Quando se compara um índice de linha (coluna) de um dado elementode um termo com um outro índice de linha (coluna) de um elementosubsequente, pode concluir-se:

i) Se os dois índices se dispõem pela mesma ordem com que surgemna permutação principal , constituem uma permanência ;

ii) Se os dois índices se dispõem por ordem inversa com que surgemna permutação principal , constituem uma inversão .

• O sinal de um termo é invariante relativamente à ordem pela qual osseus elementos aparecem no termo.

• Em particular tem-se a a = , já que o escalar ‘a ’ pode ser considerado

como o único elemento de uma matriz quadrada de ordem 1.


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Exemplo 1: A matriz de ordem 2

11 12

21 22

a a

a a

=

A

tem 2! 2= termos distintos:

11 22a a ou 22 11a a (termo principal)

12 21a a ou 21 12a a (termo secundário)

11 22

12 21

Termo Sinal

0 0 0 1

0 1 1 1

a a

a a

+

−

l cα α α

Em alternativa, pode obter-se

22 11

21 12

Termo Sinal

1 1 2 1

1 0 1 1

a a

a a

+

−

l cα α α

Então

11 1211 22 12 21

21 22 a a

a a a a a a

= = −A

Regra dos produtos cruzados:

11 12

21 22 a a

a a = =A 11

22

Termo ( )

a

a

+

− 12 11 22 12 2121

Termo ( )

a

a a a a a

−

= −


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Exemplo 2: A matriz de ordem 3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

=

A

possui 3! 6= termos distintos:

11 22 33a a a (termo principal) ; 21 33 12a a a ; 31 12 23a a a

11 23 32a a a ; 21 13 32a a a ; 31 13 22a a a (termo secundário)

O termo 21 33 12a a a é equivalente a qualquer uma das formas seguintes:

21 12 33a a a , 12 21 33a a a , 12 33 21a a a , 33 12 21a a a , 33 21 12a a a

11 22 33

21 33 12

31 12 23

11 23 32

21 13 32

31 13 22

Termo Sinal

0 0 0 1

2 1 3 1 2 0 2 1

0 1 1 1

1 1 2 1

2 1 3 1

a a a

a a a a a a

a a a

a a a

a a a

+

−

+

−

+

−

l cα α α

Em relação ao termo 21 33 12a a a , cujo sinal é3( 1) 1− = − , verifica-se

21 12 33

12 21 33

12 33 21

33 12 21

33 21 12

Termos Equivalentes Sinal

1 0 1 1

0 1 1 1

1 2 3 1

2 3 5 1

3 2 5 1

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

−

−

−

−

−

l cα α α


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Então

11 12 13

21 22 23 11 22 33 21 13 32 31 12 23

31 32 33

( )

a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a

= = + + −A

31 13 22 11 23 32 21 33 12( )a a a a a a a a a − + +

Regra de Sarrus:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

11

21 22 11 22 33 21 13 32 31 12 23

31 32 33

12 13

23

Termos ( )

a

a a a a a a a a a a a

a a a

a a

a

+

= + +

13

22 23 31 13 22 11 23 32 21 33 12

31 32 33

11 12

21

Termos ( )

( )

a

a a a a a a a a a a a

a a a

a a

a

−

= − + +


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Exemplo 3: Recorrendo à regra dos produtos cruzados, o determinanteda matriz quadrada de ordem 2

3 4

2 5

=

A

é

3 4 3 5 2 4 15 8 72 5

= = × − × = − =A

Exemplo 4: Considerando a regra de Sarrus, o determinante da matriz

quadrada de ordem 31 1 2

2 3 1

4 1 2

=

A

é

1 1 2

2 3 14 1 2

= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −

1 1 2

2 3 1

(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −


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• O recurso à definição não é viável para calcular um determinante deordem elevada; se 4n = o número de termos a considerar é 4! 24= epara 5n = esse número eleva-se a 5! 120= .

• Não são conhecidas quaisquer regras práticas para determinar, de um

modo simples e eficaz, o valor de um determinante de ordem 3n > .

• São analisados três processos de cálculo para obter o determinantede uma matriz quadrada:

1. Método da condensação da matriz – é um método semelhante aoque é utilizado na determinação da característica de uma matriz.

2. Desenvolvimentos Laplaceanos

i) Formulação geral : transforma um determinante de ordem n numasoma de determinantes de ordem p n < ;

ii) Formulação particular : transforma um determinante de ordem n numa soma de n determinantes de ordem 1n − .

3. Método misto – trata-se da aplicação combinada dos dois métodosanteriores, o que permite transformar, em cada fase do processo decálculo, um determinante de uma dada ordem p num únicodeterminante de ordem 1p − .


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Propriedades

Seja A uma matriz quadrada de ordem n , num corpo Ω.

Propriedade 1: Se a matriz A possuir uma fila (linha/coluna) nula, então

0=A

Exemplo 5: Relativamente à matriz quadrada de ordem 3

1 2 0

7 3 0

9 4 0

=

A

1 2 0

7 3 0 1 3 0 7 4 0 9 2 0

9 4 0

= = × × + × × + × × −A

(0 3 9 0 4 1 0 2 7) 0− × × + × × + × × =


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Propriedade 2: Multiplicando os elementos de uma fila da matriz A por umescalar λ ∈ Ω , obtém-se uma nova matriz B , tal que

λ =B A

Exemplo 6: Seja

1 1 2

2 3 1

4 1 2

= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −

(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −

Multiplicando a linha 1 da matriz A pelo escalar 3λ = , obtém-se

3 3 6

2 3 1

4 1 2

= =B 3 3 2 2 1 6 4 3 1 (6 3 4 1 1 3 2 3 2)× × + × × + × × − × × + × × + × ×

[ ]3 1 3 2 2 1 2 4 1 1 (2 3 4 1 1 1 2 1 2)= × × + × × + × × − × × + × × + × ×B

3 45= = −B A


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Propriedade 3 −−−− Multiplicando os elementos de m filas paralelas de A,respectivamente, pelos escalares 1 2, , , m λ λ λ ∈ Ω… , obtém-se uma nova

matriz B , tal que

1 2 m λ λ λ = …B A

Exemplo 7:

1 1 2

2 3 1

4 1 2

= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −

(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −

Multiplicando as colunas 1, 2 e 3 da matriz A, respectivamente, pelosescalares 1 3λ = , 2 1λ = − e 3 2λ = , obtém-se

3 1 4

6 3 2

12 1 4

−

= − =

−

B 3 3 4 6 1 4 12 1 2− × × − × × − × × −

( 4 3 12 2 1 3 4 1 6)− − × × − × × − × ×

[ ]3 ( 1) 2 1 3 2 2 1 2 4 1 1 (2 3 4 1 1 1 2 1 2)= × − × × × + × × + × × − × × + × × + × ×B

6 90= − =B A


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Propriedade 4: O determinante da matriz A é igual ao determinante dasua matriz transposta, isto é,

T=A A

Exemplo 8:

1 1 2

2 3 1

4 1 2

= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −

(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −

T 1 2 41 3 1

2 1 2

=

A

T1 2 4

1 3 1 1 3 2 1 1 4 2 2 1

2 1 2

= = × × + × × + × × −A

(4 3 2 1 1 1 2 2 1)− × × + × × + × ×

T 1 3 2 2 1 2 4 1 1 (2 3 4 1 1 1 2 1 2)= × × + × × + × × − × × + × × + × ×A

T 15= = −A A


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Propriedade 5: Trocando, na matriz A, duas filas paralelas, obtém-se uma

nova matriz B , tal que

= −B A

Exemplo 9:

1 1 2 2 3 1

4 1 2

= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −

(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −

Troquemos, na matriz A, a 1ª coluna com a 3ª coluna. Obtém-se

2 1 1

1 3 2

2 1 4

=

B

2 1 1

1 3 2 2 3 4 1 1 1 2 1 2

2 1 4

= = × × + × × + × × −B

(1 3 2 2 1 2 4 1 1)− × × + × × + × ×

[ ]1 3 2 2 1 2 4 1 1 (2 3 4 1 1 1 2 1 2)= − × × + × × + × × − × × + × × + × ×B

15= − =B A


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Propriedade 6: Se a matriz A tem filas paralelas iguais, então

0=A

Exemplo 10: Seja a matriz quadrada de ordem 3

2 1 3

4 3 5

2 1 3

=

C

que possui 2 linhas iguais (1ª e 3ª linhas). Então

2 1 3

4 3 5

2 1 3

= =C 2 3 3 4 1 3 2 1 5× × + × × + × × −

(3 3 2 5 1 2 3 1 4) 40 40 0− × × + × × + × × = − =


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Propriedade 7: Se a matriz A tem duas filas paralelas proporcionais, então

0=A

Exemplo 11: Seja a matriz quadrada de ordem 3

2 1 3

5 2 3

4 2 6

=

D

em que as 1ª e 3ª linhas são proporcionais (a 3ª linha é o produto da 1ª por

2). Então

2 1 3

5 2 3 2 2 6 5 2 3 4 1 3

4 2 6

= = × × + × × + × × −D

(3 2 4 3 2 2 6 1 5) 66 66 0− × × + × × + × × = − =

As Propriedades 2 e 6 permitem ainda escrever

2 1 3

2 5 2 3 2 0 0

2 1 3

= = × =D


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Propriedade 8: Se A é uma matriz triangular (superior ou inferior), então o

seu determinante é igual ao produto dos elementos principais da matriz(termo principal), isto é,

1

n

ii i

a =

= ΠA

Exemplo 12:

2 1 3

0 3 4 2 3 6 0 0 3 0 1 4

0 0 6

= = × × + × × + × × −T

(3 3 0 4 0 2 6 1 0)− × × + × × + × ×

2 3 6 36= × × =T

1 0 0

5 4 0 1 4 6 5 3 0 2 0 0

2 3 6

= = × × + × × + × × −R

(0 4 2 0 3 1 6 0 5)− × × + × × + × ×

1 4 6 24= × × =R

• Uma matriz triangular (superior ou inferior) em que, pelo menos, umdos seus elementos principais é nulo, tem determinante nulo.


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Propriedade 9: Substituindo, na matriz A, os elementos da coluna deíndice g n ≤ por somas de m parcelas, ou seja, considerando na matriz

11 1 1

21 2 2

1

g n

g n

n ng nn

a a a

a a a

a a a

=

A

a coluna de índice g como o resultado da soma das m parcelas

(1) (2) ( )1 1 11(1) (2) ( )

2 2 2 2

(1) (2) ( )

m g g g g

m g g g g

m ng ng ng ng

a a a a

a a a a

a a a a

= + + +

é possível reescrever a matriz A sob a forma

(1) (2) ( )11 11 1 1

(1) (2) ( )21 22 2 2

(1) (2) ( )1

m n g g g m

n g g g

m n ng ng ng nn

a a a a a

a a a a a

a a a a a

+ + +

+ + + =

+ + +

A

Então o determinante da matriz A pode ser apresentado como a soma dosm determinantes seguintes:


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(1)11 11

(1)21 22

(1)1

n g

n g

n ng nn

a a a

a a a

a a a

= +

A

(2)11 11

(2)21 22

(2)1

n g

n g

n ng nn

a a a

a a a

a a a

+ +

( )11 11

( )21 22

( )1

m n g

m n g

m n ng nn

a a a

a a a

a a a

+

• A Propriedade 4 dos determinantes permite aplicar a formulação dapropriedade anterior a uma linha de índice h n ≤ da matriz A.

• Se A e B são matrizes quadradas de ordem n , podemos aindaconcluir que, em geral, se verifica

+ ≠ +A B A B

ou seja, o determinante da matriz soma de duas matrizes não énecessariamente igual à soma dos determinantes de cada uma delas.


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Exemplo 13:

1 1 2 2 3 1

4 1 2

= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −

(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −

Desdobremos a 2ª coluna da matriz na soma de 3 parcelas, ou seja,

1 3 2 4

3 1 1 1

1 0 1 2

−

= + + −

Então

1 1 2 1 3 2 1 2 2 1 4 2

2 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 14 1 2 4 0 2 4 1 2 4 2 2

−

= = + +

−A

1 1 2 2 0 2 4 3 1 (2 1 4 1 0 1 2 3 2)= × × + × × + × × − × × + × × + × × +A

[ ]1 1 2 2 ( 1) 2 4 2 1 2 1 4 1 ( 1) 1 2 2 2+ × × + × − × + × × − × × + × − × + × × +

[ ]1 1 2 2 2 2 4 ( 4) 1 2 1 4 1 2 1 2 ( 4) 2+ × × + × × + × − × − × × + × × + × − ×

(14 20) (6 15) ( 6 6) 6 9 0 15= − + − + − + = − − + = −A

• Cada termo de A é desdobrado na soma de três parcelas,

representando, cada uma delas, um termo de um dos três

determinantes considerados na soma.


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Propriedade 10: Adicionando a uma dada fila da matriz A, umacombinação linear de filas paralelas, obtém-se uma nova matriz B , tal que

=B A

Exemplo 14:

1 1 2

2 3 14 1 2

= =A 1 3 2 2 1 2 4 1 1× × + × × + × × −

(2 3 4 1 1 1 2 1 2) 14 29 15− × × + × × + × × = − = −

Adicionemos à 1ª coluna da matriz, a 2ª coluna multiplicada por 2 e a 3ªcoluna multiplicada por ( 4)− . Obtém-se a matriz

5 1 2

4 3 1

2 1 2

−

= −

B

5 1 2

4 3 1

2 1 2

−

= =

−

B ( 5) 3 2 4 1 2 ( 2) 1 1− × × + × × + − × × −

[ ]2 3 ( 2) 1 1 ( 5) 2 1 4 24 9 15− × × − + × × − + × × = − + = −

• A justificação para o resultado obtido é-nos dada pela Propriedade 9dos determinantes.


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A 1ª coluna da matriz B pode ser desdobrada na soma de 3 parcelas

5 1 1 2

4 2 2 3 ( 4) 1

2 4 1 2

−

= + + − −

resultando, após a aplicação da Propriedade 9 dos determinantes,

5 1 2 1 1 2 2 1 2 8 1 2

4 3 1 2 3 1 6 3 1 4 3 1

2 1 2 4 1 2 2 1 2 8 1 2

− −

= = + + − =

− −

B A

em que

1 1 2 2 3 1

4 1 2

= A

2 1 2

6 3 1 0

2 1 2

= ⇐ a 1ª e 2ª colunas são proporcionais (Prop. 7)

8 1 2

4 3 1 0

8 1 2

−

− =

−

⇐ a 1ª e 3ª colunas são proporcionais (Prop. 7)


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Propriedade 11: As filas paralelas da matriz A são linearmente

dependentes, se e só se

0=A

Exemplo 15: Determine-se todos os valores de t ∈ , de modo que asmatrizes-linha

[ ]1 1t =A , [ ]1 0t =B e [ ]0 1 t =C

sejam linearmente independentes.

Solução:

Tendo em atenção a Propriedade 11 dos determinantes, o conjunto

{ }, ,=U A B C

será linearmente independente, se e só se

1 0

1 1 0

1 0

t

t

t

= ≠U

[ ]1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0t t t t t t = × × + × × + × × − × × + × × + × × ≠U

3 22 (2 ) ( 2 )( 2 ) 0t t t t t t t = − = − = − + ≠U

2t ≠ − ∧ 0t ≠ ∧ 2t ≠ ⇔ { \ 2,0, 2t ∈ −

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